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Curso 2006-2007

Tema 1. Introducci´ on a las EDP.

Asignatura: M´ etodos Matem´ aticos de la Ingenier´ıa Qu´ımica Profesores: Emanuele Schiavi y Ana Isabel Mu˜ noz. Apuntes elaborados por: C. Conde (UPM), E. Schiavi (URJC) y A.I. Mu˜ noz (URJC).

´Indice

1

´Indice

1.

Generalidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.

5

Notaci´on y Conceptos fundamentales. Ejemplos . . . . . . . . 1.1.1.

2.

Una aplicaci´on de la teor´ıa de campos . . . . . . . . 13

Ecuaciones cuasilineales de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.

2.2.

2.3.

Teor´ıa matem´atica general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.1.

Interpretaci´on geom´etrica . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1.2.

El proceso de resoluci´on . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.1.3.

Interpretaci´on geom´etrica del problema del flujo potencial: deducci´on del m´etodo de las trayectorias . . 32

2.1.4.

El problema de Cauchy para ecuaciones cuasilineales

2.1.5.

El caso param´etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.1.6.

∗

2.1.7.

∗

2.1.8.

∗

2.1.9.

∗

2.1.10.

∗

Valores iniciales discontinuos . . . . . . . . . . . . 50

2.1.11.

∗

Derivadas iniciales discontinuas . . . . . . . . . . . 51

2.1.12.

∗

Las ecuaciones de Pfaff . . . . . . . . . . . . . . . . 51

36

Parametrizaci´on mediante la longitud de arco . . . 44

Un ejemplo de formaci´on de ondas de choque en una ecuaci´on cuasilineal. Ecuaci´on de B¨ urgers . . . . 45 Discontinuidades y soluciones d´ebiles . . . . . . . . 47

Propagaci´on de discontinuidades en EDP de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Introducci´on progresiva de las EDP hiperb´olicas de primer orden 54 2.2.1.

El caso lineal homog´eneo con coeficientes constantes

55

2.2.2.

El caso lineal no homog´eneo con coeficientes constantes 56

Sistemas hiperb´olicos con coeficientes constantes . . . . . . . . 58

´Indice

2

2.4.

Ecuaciones hiperb´olicas lineales homog´eneas con coeficientes variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.5.

∗

2.6.

∗

2.7. 3.

4.

6.

Problemas de valor inicial y de contorno para una EDP de primer orden con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . 65 2.6.1.

∗

2.6.2.

∗

∗

Problemas de valor inicial y de contorno para sistemas de primer orden con coeficientes constantes . . 67 Problemas peri´odicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Sistemas de leyes de conservaci´on: la notaci´on de operadores

70

Ecuaciones lineales de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.1.

Ecuaciones de segundo orden: curvas caracter´ısticas y clasificaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.2.

Problemas de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.3.

Condiciones iniciales y de contorno . . . . . . . . . . . . . . . 83

Ecuaciones el´ıpticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.1.

5.

Sistemas hiperb´olicos con coeficientes variables . . . . . . . . 64

Ecuaciones de Laplace y de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.1.1.

Laplaciana bidimensional en coordenadas polares . . 90

4.1.2.

Laplaciana tri-dimensional en coordenadas cil´ındricas 91

4.1.3.

Laplaciana tri-dimensional en coordenadas esf´ericas . 91

4.1.4.

Laplaciana N-dimensional en coordenadas radiales

. 92

4.2.

Algunos fen´omenos f´ısico-t´ecnicos que modelizan . . . . . . . . 92

4.3.

∗

F´ormulas de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.3.1.

Principio del m´aximo para funciones arm´onicas . . . 96

4.3.2.

Unicidad para la ecuaci´on de Laplace . . . . . . . . . 96

Ecuaciones parab´olicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 5.1.

La ecuaci´on de difusi´on y algunas variantes . . . . . . . . . . . 97

5.2.

∗

Algunos fen´omenos f´ısico-t´ecnicos que modelizan . . . . . . . 101

Anexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 6.1.

Introducci´on a las trayectorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Indice.

3

6.1.1.

Flujo de un campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.1.2.

Flujos potenciales

6.1.3.

Flujos incompresibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6.1.4.

Fluidos perfectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.2.

Representaciones de curvas y superficies . . . . . . . . . . . . 117

6.3.

Tablas de operadores diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . 121

6.4.

6.3.1.

Operador Divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

6.3.2.

Operador Derivada Material . . . . . . . . . . . . . . 123

6.3.3.

Operador Laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Tablas de Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 6.4.1.

Ecuaci´on de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . 125

6.4.2.

Ecuaci´on de conservaci´on de la cantidad de movimiento127

6.4.3.

Ecuaci´on de conservaci´on de la energ´ıa . . . . . . . . 129

7.

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

8.

Ejercicios propuestos en ex´amenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

9.

Bibliograf´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 9.1.

Bibliograf´ıa avanzada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

4

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

Tema 1. Introducci´ on a las EDP.

1.

Generalidades.

Todas las operaciones b´asicas, f´ısicas y qu´ımicas de la Ingenier´ıa Qu´ımica, implican el transporte de una o varias de las tres magnitudes fundamentales siguientes: cantidad de movimiento, energ´ıa y materia. Estos fen´omenos de transporte se producen en el seno de los fluidos o entre s´olidos y fluidos, bien como consecuencia de las diferencias de concentraciones de dichas magnitudes en aquellos (representando la tendencia de todos los sistemas a alcanzar el equilibrio) bien como consecuencia del movimiento de los propios fluidos. Para poder dise˜ nar adecuadamente los equipos e instalaciones donde hayan de desarrollarse las operaciones indicadas, se requiere una informaci´on precisa sobre los caudales de transporte de las citadas magnitudes f´ısicas1 . El an´alisis de los fen´omenos de transporte nos conduce naturalmente a la consideraci´on de las ecuaciones de conservaci´on de la masa (ecuaci´on de continuidad), de la cantidad de movimiento (ecuaci´on del equilibrio) y de la energ´ıa. Tales ecuaciones suelen ser de un tipo determinado, llamado ecuaciones en derivadas parciales o, m´as brevemente, EDP2 . En este curso desarrollaremos las t´ecnicas matem´aticas b´asicas que permiten abordar tales problemas desde los puntos de vista anal´ıtico (exacto) y num´erico (aproximado). Tras haber introducido la notaci´on y definiciones b´asicas para los sucesivos tratamientos, y puesto que en el an´alisis del flujo (transporte) de fluidos (l´ıquidos o gases) las ecuaciones del movimiento (vectorial), continuidad (escalar) y energ´ıa (escalar) se pueden combinar en una u ´nica ecuaci´on vectorial de conservaci´on (v´ease la secci´on dedicada a los sistemas hiperb´olicos de leyes de conservaci´on) empezare1

Los tres fen´omenos de transporte se producen casi siempre simult´aneamente en todas las operaciones b´asicas, tanto f´ısicas como qu´ımicas, pero la importancia relativa de los mismos var´ıa en cada caso, siendo frecuente que s´olo uno de ellos, por su mayor lentitud, determine el tama˜ no del equipo necesario para el desarrollo de dichas operaciones. V´ease el libro de Costa Novella, Vol 2 (Fen´omenos de transporte). 2 Usaremos indistintamente la sigla EDP para indicar una ecuaci´on en derivadas parciales o un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales.

1. Generalidades.

5

mos este tema con el an´alisis de las ecuaciones hiperb´olicas cuasilineales de primer orden lo que nos permitir´a, mediante la interpretaci´on din´amica (en t´erminos de la mec´anica de fluidos) del proceso de resoluci´on, entrar r´apidamente en materia relacionando los fen´omenos f´ısicos y su formulaci´on matem´atica rigurosa, adquirir una cierta soltura en el manejo de los operadores de derivaci´on parcial, introducir el concepto de caracter´ısticas, ver su aplicaci´on e interpretaci´on geom´etrica, familiarizarnos con los problemas de valor inicial (PVI) y los problemas de valor inicial y de contorno (PVIC) entendidos como procedimientos para seleccionar entre las infinitas soluciones posibles de una EDP aquella con sentido f´ısico3 . Digamos que relacionaremos r´apidamente las t´ecnicas matem´aticas con la problem´atica f´ısicoqu´ımica a estudiar creando un v´ınculo entre nuestra asignatura y las asignaturas del ´area f´ısico-qu´ımica donde el formalismo matem´atico es conveniente y, a veces, necesario.

1.1.

Notaci´ on y Conceptos fundamentales. Ejemplos

Siguiendo la notaci´on introducida en el curso de Elementos de Matem´aticas, denotaremos las derivadas parciales de una funci´on de varias variables, digamos u(x, t), en las formas ux =

∂u , ∂x

uxx =

∂ 2u , ∂x2

uxt =

∂ 2u , ∂x∂t

ut =

∂u ∂t

Utilizaremos indistintamente ambos tipos de notaci´on aunque observamos que al trabajar con campos de velocidades (que aparecen en los problemas de fluidodin´amica) la notaci´on con el sub´ındice puede generar algo de confusi´on y no es recomendada. En los libros de texto se suele, en efecto, denotar v = (vx , vy , vz ) donde vx indica la componente horizontal de la velocidad y no su derivada parcial. En este caso es conveniente utilizar la notaci´on extendida de operadores ∂/∂x pues, de lo contrario, al calcular la aceleraci´on de una part´ıcula en un campo de fuerzas tendr´ıamos a = vxx lo que resultar´ıa bastante incomprensible. Una notaci´on alternativa, suficientemente clara, ser´ıa a = (vx )x . Pasamos ahora a describir las regiones del espacio donde ha de satisfacerse una EDP. Denotaremos por Ω ⊂ IRn , n = 1, 2, 3 (ocasionalmente se utilizar´a la letra N para indicar la dimensi´on espacial) a una regi´on (dominio) abierta del espacio n-dimensional, que eventualmente podr´a ser infinita (no acotada) y coincidente con todo el espacio: Ω ≡ IRn . El s´ımbolo ≡ denota igualdad entre conjuntos. Tambi´en se usa para indicar que una funci´on es, por ejemplo, id´enticamente nula . en una regi´on, en la forma f ≡ 0. El s´ımbolo = denotar´a igualdad por definici´on y es el an´alogo del operador de asignaci´on := que aparece en muchos programas 3

No nos referimos aqu´ı a las soluciones de entrop´ıa, para las cuales se necesitan fundamentos matem´aticos muy avanzados sino a la b´ usqueda de soluciones que cumplan unas condiciones de contorno y/o iniciales obtenidas mediante experimentos y mediciones.

6

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

inform´aticos (por ejemplo en Maple). Si Ω es una regi´on acotada4 entonces su frontera, denotada por ∂Ω, se supondr´a suficientemente regular para que el an´alisis posterior tenga validez 5 . En general la condici´on de regularidad que pediremos ser´a la existencia de un vector normal en ¯ = Ω ∪ ∂Ω al cierre del dominio todo punto de ∂Ω. Denotaremos adem´as por Ω Ω. Cuando una de las variables independientes representa el tiempo se suele introducir otra notaci´on (y nomenclatura) que utilizaremos al trabajar con problemas de evoluci´on (es decir donde el estado del sistema evoluciona con el tiempo). Otras notaciones t´ıpicas, del tipo (x1 , x2 ) = (x, y) y (x1 , x2 , x3 ) = (x, y, z) (para denotar puntos del plano o del espacio en coordenadas cartesianas) o F , ~v (para denotar vectores) y [A] para denotar matrices, ser´an tambi´en utilizadas. Conceptos y definiciones Entramos ahora en materia considerando la definici´on general de una ecuaci´on en derivadas parciales. Definici´ on 1.1. Se llama ecuaci´ on diferencial en derivadas parciales a una ecuaci´ on de la forma: µ ¶ ∂u ∂u ∂ mu F x1 , x2 , ..., xn , u, , ..., , ....., k1 k2 =0 (1) ∂x1 ∂xn ∂x1 ∂x2 ...∂xknn que relaciona las variables independientes x1 , x2 , ..xn (n > 1), la variable dependiente u = u(x1 , x2 , ..., xn ) y sus derivadas parciales hasta el orden m, siendo m un n´ umero entero tal que m ≥ 1. Los super´ındices k1 , k2 , .., kn son n´ umeros enteros no negativos tales que k1 + k2 + ... + kn = m. Ejemplo 1.1. T´ıpicos ejemplos de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales pueden ser 1) uxx + uyy = 0, 4

2) ut = α2 uxx ,

3)

utt = −β 2 uxxxx ,

4)

ut = iβuxx ,

Recu´erdese que la condici´on necesaria y suficiente para que un conjunto est´e acotado es que exista una bola cerrada que lo contenga. V´ease el tema 7 de los guiones del primer curso. 5 Puede parecer excesivo todo este tipo de precisiones sobre el dominio y su frontera pero es conveniente observar que muchos resultados y t´ecnicas de an´alisis matem´atico est´an condicionados a la geometr´ıa del dominio en consideraci´on. Su frontera tiene tambi´en un papel fundamental y la teor´ıa de trazas que aparece en el c´alculo variacional lo confirma. Para la definici´on exacta y una clasificaci´on muy rigurosa de los dominios dependiendo de su frontera se puede consultar el libro de Adams (v´ease la referencia en la secci´on final de este cap´ıtulo dedicada a la bibliograf´ıa avanzada).

1. Generalidades.

7

(siendo α, β constantes reales e i la unidad imaginaria). Tambi´en 5)

uxx + uyy + α2 u = 0,

6) ut + αuux + βuxxx = 0,

7)

uxx + xuyy = 0

En todos los casos se trata de ecuaciones en derivadas parciales famosas que suelen llevar el nombre de su descubridor. En concreto se trata de la ecuaci´on de Laplace (1), de la ecuaci´on de Fourier (2), de la ecuaci´on de Euler-Bernoulli (3), de la ecuaci´on de Schrodinger (4), de la ecuaci´on de Helmholtz (5), de la ecuaci´on de Korteweg-de Vries (6) y de la ecuaci´on de Tricomi (7). Aparecen en numerosos problemas de la f´ısica matem´atica. Algunas de ellas las aprenderemos a conocer a lo largo del curso; otras, distintas, las iremos descubriendo al entrar m´as en materia. Precisaremos ahora lo que se entiende por orden de una EDP (puesto que en los ejemplos anteriores han aparecido diferentes ´ordenes de derivaci´on parcial en la misma ecuaci´on). N´otese que se trata de una extensi´on directa de la definici´on an´aloga de orden de una EDO que vimos el a˜ no pasado (tema 13 de los guiones de primer curso) on diferencial del tipo (1) al mayor Definici´ on 1.2. Se llama orden de una ecuaci´ de los ´ordenes de las derivadas parciales que aparecen en la ecuaci´ on. Las 7 ecuaciones propuestas en el ejemplo son (respect.) de orden 2,2,4,2 y 2,3,2. Una EDP t´ıpica de primer orden es la ecuaci´on de advecci´on6 (o convecci´on) ut + aux = 0 que ser´a analizada m´as adelante. Cuando se consideran varias EDP simult´aneamente se generan sistemas de ecuaciones en derivadas parciales. Excepto unos pocos casos concretos es extremadamente dif´ıcil el estudio de tales sistemas, especialmente si se consideran ecuaciones de distinta naturaleza7 . Un caso especial lo constituyen los sistemas de EDP de primer orden. Bajo ciertas hip´otesis existe una teor´ıa anal´ıtica y un tratamiento num´erico de estos sistemas que aparecen, a menudo, trabajando con fen´omenos de transporte. Veamos por ejemplo el sistema que modeliza la propagaci´on de una peque˜ na perturbaci´on en un gas (una onda sonora). Se trata de un modelo matem´atico para la propagaci´on del sonido. 6

Originariamente el t´ermino advecci´on se utilizaba para los fen´omenos de transporte de masas de aire y se extendi´o despu´es su uso al transporte gen´erico de materia reserv´andose el t´ermino de convecci´on para el transporte de energ´ıa. Actualmente se suele abarcar todos estos fen´omenos de transporte con el t´ermino de convecci´on. 7 V´ease la secci´on referente a la clasificaci´on de las ecuaciones en derivadas parciales en el´ıpticas, parab´olicas e hiperb´olicas.

8

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

Ejemplo 1.2. El movimiento unidimensional de un gas, cuya viscosidad es inapreciable, se describe mediante  ∂u ∂ρ ∂ρ   +u + = 0  ρ ∂x ∂x ∂t    ρ ∂u + ρu ∂u + ∂p = ρF ∂t ∂x ∂x donde u(x, t) es la velocidad en el punto x y en el tiempo t, ρ(x, t) es la densidad de masa, p(x, t) es la presi´ on y F (x, t) es una fuerza dada por unidad de masa. La primera de estas ecuaciones expresa la conservaci´ on de la masa; la otra es la segunda ley de Newton del movimiento.

Consideremos nuevamente la ecuaci´on diferencial en derivadas parciales (1) de orden m. La ecuaci´on estar´a planteada (en el sentido de que se tiene que satisfacer) en una regi´on abierta (eventualmente infinita) de IRn , digamos Ω ⊂ IRn , n ≥ 2. Denotamos adem´as por C m (Ω) al conjunto de funciones continuas con derivadas continuas hasta el orden m en la regi´on Ω. Para m = 1 se tiene el espacio C 1 (Ω) de funciones continuamente diferenciables (o diferenciables con continuidad). Introducida la definici´on de ecuaci´on en derivadas parciales y caracterizado el orden de la misma, veamos lo que se entiende por soluci´on de una EDP Definici´ on 1.3. Se llama soluci´on de una ecuaci´ on diferencial de orden m del tipo n (1) en cierta regi´ on abierta Ω ⊂ IR de variaci´on de las variables independientes x1 , x2 , .., xn a una funci´on u = u(x1 , x2 , ..., xn ) ∈ C m (Ω), tal que sustituyendo esta funci´on y sus derivadas en la ecuaci´ on (1) se obtiene una identidad. Observaci´ on 1.1. En la definici´on anterior no se especifica la regularidad de la soluci´on en la frontera ∂Ω de la regi´ on (abierta) Ω. Lo que generalmente se pide es que la funci´on sea continua o diferenciable en ∂Ω, que admita todas las derivadas parciales que aparecen en la ecuaci´ on en el interior de Ω (que es lo mismo que Ω pues es una regi´ on abierta por hip´otesis) y que se satisfaga la ecuaci´ on en el interior de Ω. Observaci´ on 1.2. La definici´on anterior caracteriza las soluciones de una EDP de orden m como aquellas funciones de clase C m (Ω) que satisfacen la ecuaci´ on en n todo punto de Ω ⊂ IR , n = 1, 2, 3. A este tipo de soluciones se les suele llamar soluciones cl´ asicas pues son soluciones (en el sentido de que es posible realizar las operaciones de derivaci´on parcial que aparecen en la ecuaci´ on alcanzando una

1. Generalidades.

9

identidad) y son cl´asicas pues esta identidad se tiene en todo punto de la regi´ on Ω. Este tipo de soluciones son las que han sido objeto de estudio a partir de los primeros trabajos de Fourier, Laplace, Liouville, etc... En realidad es posible demostrar la existencia de un tipo de soluciones, llamadas soluciones d´ ebiles, que satisfacen 8 la ecuaci´ on (o una versi´on modificada de la misma ) no en todo punto del dominio sino en una parte digamos significativa (en casi9 todo punto). No entraremos en detalles sobre la teor´ıa (la Teor´ıa de Distribuciones de L. Schwartz) que justifica este tipo de an´alisis (conocido como an´alisis funcional) pero avisamos al lector de la existencia de este tipo de soluciones que han sido y son actualmente objeto de atento estudio e investigaci´on. Varios ejemplos de soluciones d´ebiles se encontrar´ an al final de la parte de este tema dedicada a las ecuaciones en derivadas parciales de primer orden donde consideraremos unos problemas de Cauchy con ecuaciones de tipo lineal o cuasilineal10 cuya soluci´on no es de clase C 1 (Ω) (y no es, por tanto, una soluci´on cl´asica en el sentido de la definici´on (1.3) sino d´ebil). Veremos c´omo la prescripci´ on de datos iniciales discontinuos o cuya derivada es discontinua puede generar soluciones discontinuas.

Como ya se ha se˜ nalado en la introducci´on se llaman ecuaciones diferenciales en derivadas parciales a aqu´ellas ecuaciones en las que las funciones desconocidas dependen de m´as de una variable independiente y aparecen operadores de derivaci´on parcial. El proceso de resoluci´on de una EDP se llama tambi´en integraci´ on de la EDP. En algunos casos la resoluci´on de la ecuaci´on en derivadas parciales es directa entendiendo por ello que se realiza mediante una integraci´on directa. Recordemos, para ello, las f´ormulas de integraci´on para derivadas parciales que vienen dadas por Z

∂f (x, y) dx = f (x, y) + φ(y), ∂x

Z

∂f (x, y) dx = f (x, y) + ψ(x) ∂y

siendo φ(y), ψ(x) funciones derivables arbitrarias. Las f´ormulas anteriores se aplican en la integraci´on indefinida. Por ejemplo, si conocemos la derivada parcial primera de una funci´on, digamos fx (x, y) = 2xy, entonces considerando y como constante e integrando en x se tiene Z Z 2xydx = 2y xdx = yx2 + φ(y) luego f (x, y) = yx2 +φ(y). N´otese que cualquier funci´on del tipo f (x, y) = yx2 +φ(y) 8

Se est´a hablando aqu´ı de las ecuaciones en forma de divergencia a las cuales son aplicables las t´ecnicas del c´alculo variacional. Para ello es b´asica la teor´ıa de distribuciones de L. Schwartz en la que no profundizaremos en este curso. 9 Es fundamental aqu´ı el concepto de conjunto de medida cero que aparece en la teor´ıa de la medida de Lebesgue. 10 M´as adelante daremos definiciones precisas de todo este tipo de terminolog´ıa.

10

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

satisface fx = 2xy, independientemente de la funci´on φ elegida. Es una generalizaci´on del concepto de primitivas para funciones de una variable real. Para la integraci´on definida (es decir especificando los extremos de integraci´on) se tiene Z

h2 (y) h1 (y)

∂f (x, y) x=h (y) dx = [f (x, y) + φ(y)]x=h21 (y) = f (h2 (y), y) − f (h1 (y), y) ∂x

Por ejemplo, si h1 (y) = 1, h2 (y) = 2y la integraci´on definida de fx (x, y) = 2xy nos dar´a Z 2y Z 2y 3 2xydx = y 2xdx = [yx2 + φ(y)]x=2y x=1 = 4y − y = f (2y, y) − f (1, y) 1

1

siendo f (x, y) = yx2 + φ(y). Es una generalizaci´on de la Regla de Barrow para funciones de una variable. De forma an´aloga se tiene la f´ormula Z

g2 (x) g1 (x)

∂f (x, y) g (x) dy = [f (x, y) + ψ(x)]g21 (x) = f (x, g2 (x)) − f (x, g1 (x)) ∂y

N´otese que la variable de integraci´on no Z puede aparecer en los l´ımites de integraci´on. x

Por ejemplo, no tiene sentido escribir ydx. Simplemente se introduce una variable 0 Z x muda en la forma yds lo que indica claramente que el resultado de la integraci´on 0

es una funci´on de x (el extremo superior del intervalo de integraci´on) Podemos ahora considerar el siguiente ejemplo: on Ejemplo 1.3. Resolver la ecuaci´ ∂u (x, y) = y + x ∂x Se trata evidentemente de una EDP de primer orden que es del tipo (1) para los valores param´etricos m = 1, n = 2, k1 = 1, k2 = 0 y la notaci´on (x1 , x2 ) = (x, y). Buscamos una soluci´on del tipo z = u(x, y) (dependiente de dos variables) que sea de clase C 1 . Integrando directamente (y de manera indefinida) respecto a x, obtenemos u(x, y) = xy +

x2 + φ(y) 2

donde φ(y) es una funci´on derivable arbitraria de y. Para cada elecci´on concreta de φ(y) tendremos una u ´nica soluci´on, es decir una funci´on u = z(x, y) tal que ux = y + x.

1. Generalidades.

11

Por ser φ(y) arbitraria hemos obtenido infinitas soluciones de la EDP que dependen de una funci´on arbitraria. La expresi´on anterior es por tanto la soluci´ on general de la EDP en cuesti´on. N´otese que la gr´afica de una soluci´on del tipo z = u(x, y) es una superficie. En el caso bidimensional, las superficies que son soluciones de una EDP de primer orden se llamar´an superficies integrales de la EDP. Matizaremos este concepto en la secci´on dedicada a la interpretaci´on geom´etrica del proceso de resoluci´on de una EDP de primer orden. Consideremos ahora la siguiente EDP Ejemplo 1.4. Resolver la ecuaci´ on ∂ 2u (x, y) = 0 ∂x∂y Se trata de una EDP de segundo orden que es del tipo (1) para los valores param´etricos m = 2, n = 2, k1 = 1, k2 = 1 y la notaci´on (x1 , x2 ) = (x, y). Buscamos una soluci´on del tipo z = u(x, y) que sea de clase C 2 . Integrando respecto a x, obtenemos ∂u (x, y) = φ(y) ∂y donde φ(y) es una funci´on (continua) arbitraria de y. Integrando ahora respecto a y se obtiene Z u(x, y) =

φ(y)dy + φ1 (x)

donde φ1 (x) es una funci´on (derivable) arbitraria de x. O bien, designando Z φ(y)dy = φ2 (y) a una primitiva de φ(y) tendremos finalmente u(x, y) = φ1 (x) + φ2 (y) donde φ2 (y), en virtud de la arbitrariedad (y continuidad) de φ(y), es tambi´en una funci´on arbitraria (y derivable) de y. Los ejemplos expuestos sugieren por tanto que la soluci´on general de una ecuaci´on en derivadas parciales de primer orden depende de una funci´on arbitraria; la soluci´on general de una ecuaci´on en derivada parciales de segundo orden depende de dos

12

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

funciones arbitrarias, y la soluci´on general de una ecuaci´on en derivada parciales de orden p probablemente depender´a de p funciones arbitrarias. Estas consideraciones son ciertas, pero deben ser precisadas. De ello se ocupa el teorema de S.V. Koval´eskaia (1850-1891) sobre la existencia y unicidad de la soluci´on del problema de Cauchy asociado a una ecuaci´on en derivadas parciales. Las hip´otesis y el enunciado del teorema de Sofya Koval´eskaia 11 desbordan los objetivos de este curso (pues exigen la aplicaci´on del concepto de derivada para funciones de variable compleja y de la teor´ıa de las funciones anal´ıticas 12 ) y no ser´an considerados. Alternativamente desarrollaremos un an´alisis local del problema de Cauchy asociado a ecuaciones en derivadas parciales de primer orden que nos proporcionar´a los resultados te´oricos de existencia y unicidad de soluciones del problema considerado. En este tema estudiaremos brevemente s´olo los m´etodos de integraci´on (resoluci´on) de las ecuaciones en derivadas parciales de primer orden, cuya teor´ıa est´a estrechamente ligada a la integraci´on de ciertos sistemas de ecuaciones ordinarias. Las ecuaciones en derivadas parciales de orden mayor se integran por m´etodos completamente distintos13 y ser´an tratadas (en el caso de las ecuaciones de segundo orden) en los temas siguientes (temas 2 y 3). La resoluci´on num´erica de las ecuaciones en derivadas parciales de primer y segundo orden se considerar´a en el tema 6. Finalizamos esta secci´on resolviendo un problema muy b´asico y com´ un de la teor´ıa de campos que aparece en fluidodin´amica: la determinaci´on de la funci´on de corriente 11

V´ease, por ejemplo el libro de Fritz John, Partial Differential Equations, pag 61, donde se presenta el teorema bajo el nombre de teorema de Cauchy-Koval´eskaia. 12 La condici´on de analiticidad de una funci´on en un punto introduce una restricci´on muy fuerte a una funci´on. Implica en efecto la existencia de todas las derivadas de orden superior en un entorno del punto y esto garantiza la existencia de una serie de potencias convergente que representa la funci´on en un entorno del punto. Esto est´a en marcado contraste con el comportamiento de las funciones reales, para las que es posible que exista la derivada primera y que sea continua sin que por ello se pueda deducir la existencia de la derivada segunda. Las funciones anal´ıticas tienen un papel muy importante en la resoluci´on de problemas de flujos bidimensionales a trav´es de la funci´on de corriente. Una introducci´on bastante sencilla a la teor´ıa de las funciones anal´ıticas se puede encontrar en el libro de Apostol, T.M., (1982), An´alisis matem´atico. Segunda ed. Editorial Revert´e. cap´ıtulo 16. Resultados matem´aticos avanzados se encuentran en el cap´ıtulo 3 del libro de F. John. Una aplicaci´on a los problemas de fluidodin´amica se encuentra en el cap´ıtulo 2, Vol 5 del libro de Costa Novella dedicado al flujo potencial de un fluido perfecto (o ideal). Nosotros introduciremos paulatinamente este tipo de problemas mediante un ejemplo concreto de flujo potencial que analizaremos seg´ un se vayan desarrollando las t´ecnicas matem´aticas necesarias para su tratamiento (y comprensi´on). Una introducci´on muy interesante al uso de la funci´on de corriente en la resoluci´on de problemas de flujos incompresibles (l´ıquidos) que aparecen en mec´anica de fluidos en el caso bidimensional se encuentra en el libro de W. Deen, Analysis of Transport Phenomena, cap´ıtulo 5, secci´on 5.9, pag 239. Aplicaciones avanzadas de la teor´ıa se encuentran en los cap´ıtulos 7 y 8 del mismo libro. 13 En realidad en los temas 2 y 3 presentaremos algunos m´etodos de resoluci´on de EDP de segundo orden que se pueden aplicar tambi´en a ecuaciones de primer orden. Nos referimos por ejemplo al m´etodo de separaci´on de variables o al m´etodo de la transformada de Laplace.

1. Generalidades.

13

asociada a un campo de velocidades bidimensional irrotacional. Calcularemos tambi´en el potencial del campo resolviendo as´ı el problema de la determinaci´on de las l´ıneas equipotenciales de un campo escalar de IR2 planteado en el tema 12, secci´on 12.1.4 del gui´on de la asignatura del primer curso dedicado a la Teor´ıa de Campos. Mediante el conocimiento de las l´ıneas de corriente y de las l´ıneas equipotenciales analizaremos algunas propiedades geom´etricas interesantes del flujo. 1.1.1.

Una aplicaci´ on de la teor´ıa de campos

Empezaremos introduciendo el concepto y la definici´on de la funci´on de corriente asociada a un campo de velocidades. La funci´on de corriente es un objeto matem´atico extremadamente u ´til para resolver problemas de flujo de fluidos incompresibles (l´ıquidos) donde s´olo hay dos componentes del campo no nulas y s´olo dos coordenadas espaciales. Esto incluye los fluidos con un movimiento plano o los procesos de transporte (flujo) sim´etricos respecto a un eje. Se trata de una herramienta muy u ´til para deducir los campos de velocidad y presiones en tales problemas y proporciona adem´as informaci´on para la visualizaci´on de los patrones de flujo. Detalles sobre la terminolog´ıa utilizada en esta aplicaci´on se encuentran en los temas de Teor´ıa de Campos, EDO y Sistemas de EDO de los guiones de la asignatura de Elementos de Matem´aticas del primer curso. Mayores detalles se pueden encontrar en el libro de Deen14 , pag 239, donde se deducen las ecuaciones que gobiernan (determinan) la funci´on de corriente en los distintos sistemas de coordenadas, cartesianas, cil´ındricas y esf´ericas t´ıpicamente utilizados en la Ingenier´ıa Qu´ımica. Funci´on de corriente Introducimos la definici´on de la funci´on de corriente como un campo escalar ψ : IR2 → IR cuya gr´afica (dada por la superficie de ecuaci´on z = ψ(x, y)) verifica un cierto problema geom´etrico. En este caso se busca la superficie ψ(x, y) tal que sus l´ıneas de nivel (tambi´en llamadas l´ıneas de corriente) sean tangentes a un campo de velocidades v dado (es decir conocido). Puesto que el gradiente de esta superficie, ∇ψ, es ortogonal a las l´ıneas de nivel de ψ, para que ´estas sean tangentes al campo de velocidades v se tiene que ∇ψ deber´a ser ortogonal al mismo campo luego tendr´a que ser de la forma ∇ψ = (−vy , vx ) ya que (vx , vy ) · (−vy , vx ) = −vx vy + vy vx ≡ 0 es decir 14

W.M. Deen, (1998), Analysis of Transport Phenomena. Oxford University Press.

14

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

µ ∇ψ · v =

∂ψ ∂ψ , ∂x ∂y

¶ · (vx , vy ) =

∂ψ ∂ψ vx + vy = 0 ∂x ∂y

(2)

siendo ½

∂ψ = −vy , ∂x

∂ψ = vx , ∂y

(3)

Esta es la definici´on t´ıpicamente utilizada para la funci´on de corriente en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares (x, y) ∈ IR2 y un campo de velocidades v : IR2 → IR2 definido por v(x, y) = (vx (x, y), vy (x, y)) N´otese que ser´ıa perfectamente equivalente definir ∇ψ = (vy , −vx ) (es decir en la direcci´on perpendicular pero en el sentido opuesto) puesto que la condici´on de ortogonalidad v · ∇ψ = 0 ser´ıa igualmente cierta. Conociendo el campo de velocidades v = (vx , vy ) podremos determinar la funci´on de corriente mediante integraci´on directa de las EDP que aparecen en el sistema (3). La utilidad de la funci´on de corriente en la visualizaci´on del flujo de un fluido nace del hecho que ψ (la funci´on de corriente) es constante a lo largo de una l´ınea de corriente. N´otese que el operador v · ∇ψ mide la tasa de cambio de ψ a lo largo de una l´ınea de corriente y la ecuaci´on v · ∇ψ = 0 nos dice simplemente que la tasa es nula (pues ψ es constante a lo largo de cada una de ellas por definici´on). Veremos m´as adelante que las l´ıneas sobre las que ψ(x, y) es constante deben ser perpendiculares a las l´ıneas equipotenciales (que son las l´ıneas a lo largo de las cuales el potencial φ(x, y) es constante). Como aplicaci´on de lo anterior obtendremos un posible m´etodo para el c´alculo de las l´ıneas de campo de un campo vectorial, por ejemplo de un campo de velocidades v. Recordamos que las l´ıneas de campo se interpretan geom´etricamente como las curvas que en todos sus puntos son tangentes al vector de campo v (en todo instante t) y tienen una interpretaci´on f´ısica muy clara. Se trata en efecto de un problema t´ıpico que aparece en mec´anica de fluidos y fen´omenos de transporte (fluidodin´amica) donde las l´ıneas de campo se llaman tambi´en l´ıneas de corriente o trayectorias.

1. Generalidades.

15

Si el campo de velocidades es estacionario la trayectoria que seguir´ıa una part´ıcula puntual de fluido depositada en un punto coincide con la l´ınea trazada por la corriente del fluido y esto justifica la terminolog´ıa adoptada. Establecida la analog´ıa entre los conceptos de l´ıneas de campo y l´ıneas de corriente (para campos estacionarios ´estas u ´ltimas no son otra cosa que las primeras consideradas en el contexto de la mec´anica de fluidos), podemos ahora considerar el siguiente ejemplo Ejemplo 1.5. Se considera el campo de velocidad bidimensional estacionario v = (vx , vy ) dado por vx = x, vy = −y Determinar las l´ıneas de corriente del campo. Determinar, si existe, el potencial del campo.

Resolveremos ahora el problema planteado en el ejemplo 1.5 resolviendo un sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de primer orden para la funci´on de corriente asociada al campo. Estas ecuaciones nacen a partir de la definici´on de la funci´on de corriente. De manera similar, es decir resolviendo un sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de primer orden para la funci´on potencial asociada al campo dado (que es irrotacional) determinaremos el potencial del campo. C´ alculo de las l´ıneas de corriente mediante la funci´ on de corriente. Utilizando la definici´on de la funci´on de corriente dada en (3) (v´alida para coordenadas rect´angulares con vz = 0 y ninguna dependencia en la variable z) se tiene ½

∂ψ = vx = x, ∂y

∂ψ = −vy = y ∂x

Integrando directamente estas ecuaciones diferenciales en derivadas parciales se obtienen las siguientes expresiones para la funci´on de corriente: ψ(x, y) = xy + f (x),

ψ(x, y) = xy + g(y)

siendo f (x), g(y) funciones arbitrarias diferenciables. Las dos expresiones corresponden a la misma funci´on, de donde se obtiene que f (x) = g(y) = C. El valor de C es arbitrario. La funci´on de corriente es por tanto ψ(x, y) = xy + C Si ponemos C = 0 tenemos ψ(x, y) = xy

16

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

Figura 1: L´ıneas de corriente del fluido: son las curvas de nivel de la funci´on corriente. y la ecuaci´on para las l´ıneas de corriente es ψ(x, y) = xy = K, siendo K ∈ IR. La elecci´on hecha para la constante tiene el efecto de asignar el valor ψ = 0 a las l´ıneas de corriente que corresponden a x = 0 o y = 0 (es decir: los ejes coordenados). Funci´on potencial La funci´ on potencial (o potencial escalar) es un concepto que ya hemos introducido en el tema de teor´ıa de campos del gui´on del primer curso. Recordamos aqu´ı brevemente la definici´on de potencial escalar de un campo vectorial. Consideremos nuevamente el campo de velocidades del ejemplo v = (vx , vy ) dado por vx = x, vy = −y En este contexto la funci´on potencial se llama velocidad potencial. Puesto que ∂vy ∂vx =0= ∂y ∂x se tiene

1. Generalidades.

17

µ rotv(x, y) = ∇ ∧ v(x, y) =

¶ ∂vy ∂vx (x, y) − (x, y) k = 0 ∂x ∂y

luego el campo de velocidades es un campo vectorial plano irrotacional pues el rotacional escalar µ ¶ ∂vy ∂vx (x, y) − (x, y) ∂x ∂y es nulo. El campo vectorial considerado se puede por tanto identificar con un campo conservativo luego deriva de un campo escalar φ(x, y) llamado potencial escalar de forma que ∇φ = v.

C´ alculo de las l´ıneas equipotenciales mediante el potencial escalar. La determinaci´on del potencial escalar de un campo conservativo se realiza integrando las igualdades µ ¶ ∂φ ∂φ , = (vx , vy ) ∂x ∂y En nuestro caso vemos que la funci´on escalar φ(x, y) verifica el sistema de EDP: ½

∂φ = vx = x, ∂x

Integrando se tiene ½ 1 φ(x, y) = x2 + f (y), 2

∂φ = vy = −y ∂y

1 φ(x, y) = − y 2 + g(x) 2

Derivando parcialmente con respecto a y en la primera expresi´on de φ y derivando parcialmente con respecto a x en la segunda expresi´on de φ se deduce ∂φ = vy = −y = f 0 (y), ∂y

∂φ = vx = x = g 0 (x), ∂x

luego para determinar las expresiones de las funciones arbitrarias f y g es suficiente resolver las EDO { f 0 (y) = −y,

g 0 (x) = x

18

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

y obtener ½

1 f (y) = − y 2 + C1 , 2

1 g(x) = x2 + C2 2

a partir de las cuales se tiene la siguiente expresi´on del potencial escalar del campo de velocidades 1 φ(x, y) = (x2 − y 2 ) + C 2 siendo C = C1 = C2 una constante arbitraria de integraci´on. Las l´ıneas equipotenciales de este campo escalar (v´ease su definici´on en el tema de teor´ıa de campos del gui´on de primer curso), se definen por φ(x, y) = α, α ∈ IR es decir 1 φ(x, y) = (x2 − y 2 ) + C = α 2 luego tienen la ecuaci´on x2 − y 2 = K,

K = 2(α − C)

y son por tanto (

x = ±

p

K + y2 K ≥ 0

√ y = ± x2 − K

K≤0

y el gradiente de φ en cada punto (es decir los vectores de m´ aximo ascenso) marca la velocidad en ese punto: ∇φ = v. Ortogonalidad de las l´ıneas de corriente con las l´ıneas equipotenciales de un flujo plano irrotacional Es posible demostrar que las l´ıneas equipotenciales son ortogonales a las l´ıneas de campo (o l´ıneas de corriente). Lo veremos primero en nuestro caso concreto donde φ(x, y) = x2 − y 2 ,

ψ(x, y) = xy

son el potencial de velocidad y la funci´on de corriente determinados antes (se han elegido constantes arbitrarias tales que φ(0, 0) = ψ(0, 0) = 0); posteriormente veremos que la propiedad de ortogonalidad se tiene en general (si el flujo es plano e irrotacional). Sea (x0 , y0 ) un punto gen´erico del plano IR2 . Por comodidad supondremos y0 > 0 (se razonar´ıa de forma an´aloga si y0 < 0). Si y0 = 0 la l´ınea de corriente que pasa

1. Generalidades.

19

Figura 2: L´ıneas potenciales: son las curvas de nivel de la funci´on potencial. por (x0 , 0) es ψ(x, y) = xy = 0, es decir el eje y = 0. Si (x0 , y0 ) = (0, 0) entonces la l´ınea de corriente viene dada por los ejes coordenados de ecuaci´on y = 0 o x = 0. La l´ınea equipotencial y la l´ınea de corriente que pasa por (x0 , y0 ), y0 > 0 ser´an, respectivamente, φ(x, y) = x2 − y 2 = x20 − y02 , es decir

q y = y(x) = ± x2 − x20 + y02 ,

ψ(x, y) = xy = x0 y0

x0 y 0 x Calculando sus derivadas (que nos dan el coeficiente angular de sus rectas tangentes) se tiene x , y 0 = y 0 (x) = ± p 2 x − x20 + y02

y = y(x) =

y 0 = y 0 (x) = −

x0 y 0 x2

y evaluando en x0 (recu´erdese que, por hip´otesis, y0 > 0): x0 x0 . y 0 (x0 ) = m1 = ± =± , |y0 | y0

y0 . x0 y 0 y 0 = y 0 (x0 ) = m2 = − 2 = − x0 x0

Un conocido resultado de la geometr´ıa anal´ıtica nos dice que dos rectas son ortogonales cuando el producto de los coeficientes angulares es −1. Calculamos entonces

20

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

el producto m1 m2 para obtener µ ¶ ¶µ x0 y0 y0 m1 m2 = ± − =∓ = ∓1 |y0 | x0 |y0 | luego si y0 > 0 entonces la l´ınea equipotencial q y = y(x) = x2 − x20 + y02 (cuya recta tangente tiene coeficiente angular m1 = x0 /y0 ) es ortogonal a la l´ınea de corriente x0 y 0 y(x) = x (cuya recta tangente tiene coeficiente angular m2 = −y0 /x0 ). Si y0 < 0 entonces la l´ınea equipotencial q y = y(x) = −

x2 − x20 + y02

(cuya recta tangente tiene coeficiente angular m1 = x0 /y0 ) es ortogonal a la l´ınea de corriente x0 y 0 y(x) = x (cuya recta tangente tiene coeficiente angular m2 = −y0 /x0 ) En lugar de desarrollar los c´alculos anteriores, es posible demostrar la ortogonalidad de las l´ıneas de corriente con las l´ıneas equipotenciales en el caso de flujos planos irrotacionales mediante la siguiente observaci´on. Por la definici´on (3) de la funci´on de corriente se tiene que µ ¶ ∂ψ ∂ψ ∂ψ ∂ψ v · ∇ψ = (vx , vy ) · , = vx + vy = −vx vy + vy vx ≡ 0 ∂x ∂y ∂x ∂y Por otra parte, al ser v un campo potencial se tiene que ∇φ = v. Juntando las dos ecuaciones, v · ∇ψ = 0 y ∇φ = v se deduce ∇ψ · ∇φ = 0 lo que expresa la ortogonalidad de los respectivos gradientes. Ahora bien, ∇ψ(x0 , y0 ) es un vector ortogonal a la l´ınea de corriente que pasa por (x0 , y0 ) mientras que ∇φ(x0 , y0 ) es un vector ortogonal a la l´ınea equipotencial que pasa por (x0 , y0 ) luego las l´ıneas mencionadas se cruzan ortogonalmente. Volveremos a este ejemplo tras haber introducido otros conceptos, definiciones y t´ecnicas de resoluci´on necesarios para ulteriores desarrollos. Puesto que los fundamentos de la interpretaci´on geom´etrica del proceso de resoluci´on de una EDP se apoyan fuertemente en los de curvas y superficies hemos resumido algunos resultados b´asicos en los anexos al primer tema.

2. Ecuaciones cuasilineales de primer orden

21

Figura 3: L´ıneas potenciales y de corriente: obs´ervese la ortogonalidad entre ellas.

2.

Ecuaciones cuasilineales de primer orden

La ecuaci´on (1) en el caso en que m = 1 nos proporciona la denominada ecuaci´on cuasilineal de primer orden µ F

∂u ∂u x1 , x2 , ..., xn , u, , ..., ∂x1 ∂xn

¶ =0

(4)

que tendr´a que verificarse en una regi´on Ω ⊂ IRn , siendo n ≥ 2. Si n = 2 entonces se pone (x1 , x2 ) = (x, y) ∈ Ω ⊂ IR2 y se tiene la forma general de la EDP de primer orden cuasilineal bidimensional dada por µ F

∂u ∂u x, y, u, , ∂x ∂y

¶ =0

(5)

La ecuaci´on en la forma (5) admite una interpretaci´on geom´etrica en t´erminos de la teor´ıa de campos (tema 12 de la asignatura de primer curso). Dos problemas que surgen de modo natural al estudiar un campo vectorial continuo (aunque supondremos algo m´as de regularidad, digamos campos de clase C 1 para poder aplicar las t´ecnicas del c´alculo diferencial vectorial) son los problemas sobre la determinaci´on de las l´ıneas vectoriales y de las superficie vectoriales. Casi con la mis-

22

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

ma frecuencia surge el problema sobre la determinaci´on de la familia de superficies ortogonales a las l´ıneas vectoriales. Analizaremos estos problemas en las siguientes secciones haciendo hincapi´e en su interpretaci´on geom´etrica. Previamente, es necesario considerar algunos aspectos, conceptos y definiciones de la teor´ıa matem´atica general de las EDP de primer orden.

2.1.

Teor´ıa matem´ atica general

Seguiremos en esta exposici´on el libro de Elsgoltz15 cap´ıtulo 5. Tambi´en se ha utilizado el cap´ıtulo 1 del libro de F. John16 . Se denomina ecuaci´on cuasilineal de primer orden en derivadas parciales en forma normal (o expl´ıcita) a una ecuaci´on de la forma:

P1 (x1 , x2 , ...., xn , u)

∂u ∂u + ..... + Pn (x1 , x2 , ...., xn , u) = R(x1 , x2 , ...., xn , u) (6) ∂x1 ∂xn

N´otese que el tipo de ecuaci´on (6) es un caso particular de (4) donde la inc´ognita del problema es u(x1 , ..., xn ). Esta ecuaci´on es lineal con respecto a las derivadas, pero puede no ser lineal con respecto a la funci´on desconocida u (en cuyo caso es cuasilineal). Concretamente, se tiene la siguiente clasificaci´on: ´ CLASIFICACION

1. Si R ≡ 0 y Pi = Pi (x1 , x2 , ..., xn ) (no dependen de u) la ecuaci´on (6) se llama lineal homog´ enea: P1 (x1 , x2 , ...., xn )

∂u ∂u + ..... + Pn (x1 , x2 , ...., xn ) =0 ∂x1 ∂xn

Si definimos ~x = (x1 , ..., xn ), P~ = (P1 , ..., Pn ) la ecuaci´on anterior se puede escribir en la forma equivalente P~ (~x) · ∇u(~x) = 0, siendo ~x ∈ Ω ⊂ IRn . Si adem´as los coeficientes Pi son constantes, Pi ≡ ci , ci ∈ IR, i = 1, .., n, la ecuaci´on (6) se dice lineal homog´ enea con coeficientes constantes. ∂u ∂u + ....... + cn =0 c1 ∂x1 ∂xn 15

Elsgoltz, L., (1983). Ecuaciones diferenciales y c´alculo variacional. Tercera ed. Editorial Mir. Fritz John, (1982). Partial differential equations. IV Ed. Applied Mathematical Sciences. Springer Verlag. 16

2. Ecuaciones cuasilineales de primer orden

23

Si definimos ~c = (c1 , ..., cn ) y utilizamos la notaci´on anterior la ecuaci´on se puede escribir en la forma equivalente ~c · ∇u(~x) = 0, siendo ~x ∈ Ω ⊂ IRn . Ejemplos concretos pueden ser ∂u ∂u − = 0, ∂x ∂y

eyx

∂u ∂u − (x + y) =0 ∂x ∂y

que son dos ecuaciones en derivadas parciales de primer orden lineales homog´eneas. La primera con coeficientes constantes, ~c = (c1 , c2 ) = (1, −1) y la segunda con coeficientes variables, P~ = (P1 (x, y), P2 (x, y)) = (exy , x + y). 2. Si R 6= 0 y R(x1 , x2 , ...., xn , u) es lineal en u y adem´as se tiene que los coeficientes Pi son funciones del tipo (como antes) Pi = Pi (x1 , x2 , ..., xn ) (es decir no dependen de u) entonces la ecuaci´on (6) se llama lineal no homog´ enea: P1 (x1 , x2 , ...., xn )

∂u ∂u + ..... + Pn (x1 , x2 , ...., xn ) = a(x1 , ..., xn )u + b(x1 , ..xn ) ∂x1 ∂xn

siendo a, b funciones coeficientes que no dependen de u: R(x1 , ..., xn ) = a(x1 , ..., xn )u + b(x1 , ..xn ) Esta ecuaci´on se puede escribir en la forma equivalente P~ (~x) · ∇u(~x) = a(~x)u + b(~x) siendo ~x ∈ Ω ⊂ IRn . Ejemplos pueden ser ∂u ∂u − = 2u − (x2 + y 2 ), ∂x ∂y

eyx

∂u ∂u − (x + y) =x+y+u ∂x ∂y

que son dos ecuaciones en derivadas parciales de primer orden lineales no homog´eneas. La primera con coeficientes constantes y la segunda con coeficientes variables. 3. Si alg´ un coeficiente Pi depende de u, en la forma Pi = Pi (x1 , x2 , ..., xn , u) y adem´as R ≡ 0 la ecuaci´on (6) se llama cuasilineal homog´ enea y es de la forma P1 (x1 , x2 , ...., xn , u)

∂u ∂u + ..... + Pn (x1 , x2 , ...., xn , u) =0 ∂x1 ∂xn

(donde la homogeneidad se deduce de la condici´on R = 0). Esta ecuaci´on se puede escribir en la forma equivalente P~ (~x, u) · ∇u(~x) = 0

24

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

siendo ~x ∈ Ω ⊂ IRn . N´otese que si los coeficientes Pi dependen de u en forma lineal la ecuaci´on sigue siendo cuasilineal. Por ejemplo, el t´ermino uux1 es no lineal aunque la dependencia P1 (x1 , x2 , ..., xn , u) = u es lineal. De hecho, es un t´ermino cuadr´atico pues se puede escribir en la forma u

∂u 1 ∂ = (u2 ) ∂x1 2 ∂x1

Ejemplo

∂u ∂u ∂u ∂u − = 0, eyx − (u + x + y) =0 ∂x ∂y ∂x ∂y son dos ecuaciones en derivadas parciales de primer orden cuasilineales homog´eneas. u

4. Sea R 6= 0 (no id´enticamente nula; puede depender de u). Si alg´ un coeficiente Pi depende de u, Pi = Pi (x1 , x2 , ..., xn , u) entonces la ecuaci´on (6) se llama cuasilineal no homog´ enea. Esta ecuaci´on se puede escribir en la forma equivalente P~ (~x, u) · ∇u(~x) = R(~x, u) siendo ~x ∈ Ω ⊂ IRn . Por ejemplo u

∂u ∂u − = x, ∂x ∂y

eyx

∂u ∂u − (u + x + y) = −u2 ∂x ∂y

son dos ecuaciones en derivadas parciales de primer orden cuasilineales no homog´eneas. En el caso bidimensional la notaci´on anterior se simplifica. Si n = 2, entonces (x1 , x2 ) = (x, y) ∈ Ω ⊂ IR2 y la ecuaci´on cuasilineal de primer orden (6) se tranforma en ∂u ∂u + Q(x, y, u) = R(x, y, u) (7) ∂x ∂y siendo P1 (x, y, u) = P (x, y, u), P2 (x, y, u) = Q(x, y, u). Obviamente la clasificaci´on correspondiente se obtiene particularizando lo anterior. T´ıpicamente se denota la soluci´on u(x, y) en la forma z = u(x, y), que es la ecuaci´on (expl´ıcita y en coordenadas cartesianas) de una superfice en el espacio tridimensional. Las superficies z = u(x, y) que son soluciones de la EDP se llaman superficies integrales de la EDP. P (x, y, u)

Introducida la forma general de las ecuaciones que trataremos en las secciones siguientes pasaremos ahora a dar una interpretaci´on geom´etrica del proceso de resoluci´on. El resultado principal que veremos es que la soluci´on general de una EDP del

2. Ecuaciones cuasilineales de primer orden

25

tipo (4) (o en la forma expl´ıcita (6)) se puede obtener resolviendo sistemas (eventualmente acoplados) de ecuaciones diferenciales ordinarias que nacen al considerar ciertos problemas geom´etricos t´ıpicos de la teor´ıa de campos.

2.1.1.

Interpretaci´ on geom´ etrica

Daremos ahora una interpretaci´on geom´etrica del problema de la resoluci´on de una EDP lineal no homog´enea (o cuasilineal) de primer orden. Veremos que resolver una EDP de tal tipo implicar´a buscar las l´ıneas de campo (o l´ıneas vectoriales) de un campo vectorial naturalmente asociado a la EDP. El problema se reconducir´a por tanto a resolver un sistema de EDO cuyas soluciones (denominadas las caracter´ısticas de la EDP) ser´an las ecuaciones de las l´ıneas de campo del campo vectorial. La soluci´on general de la EDP original nos dar´a las ecuaciones de las superficies vectoriales del campo. Seleccionar una superficie vectorial concreta equivaldr´a a resolver un problema de Cauchy prefijando una curva en el espacio por donde tiene que pasar la superficie seleccionada. Analizaremos, adem´as, los problemas que surgen al prefijar una curva que sea caracter´ıstica para la EDP. Para mayor claridad en la interpretaci´on geom´etrica, estudiemos la ecuaci´on cuasilineal con dos variables independientes (x, y) ∈ Ω ⊂ IR2 dada en (7), es decir

P (x, y, u)

∂u ∂u + Q(x, y, u) = R(x, y, u) ∂x ∂y

siendo u = u(x, y) la inc´ognita del problema. La ecuaci´on (7) se deduce de la ecuaci´on (6) para N = 2, (x1 , x2 ) = (x, y), (P1 , P2 ) = (P, Q), R = R. Supondremos que las funciones coeficientes P , Q, R son diferenciables con continuidad (de clase C 1 (Ω)) en la regi´on considerada de variaci´on de las variables, Ω, y que no se anulan simult´aneamente en un punto de Ω pues de lo contrario obtendr´ıamos en aquel punto la identidad 0 = 0 que ser´ıa cierta para cualquier funci´on y la ecuaci´on desaparecer´ıa. Otras situaciones delicadas se podr´ıan presentar al anularse uno de los dos coeficientes P o Q. En tal caso la ecuaci´on degenerar´ıa, en el sentido de que cambiar´ıa de tipo, pasando de EDP a EDO pues nos quedar´ıa s´olo una derivada parcial. En estos casos ser´ıa todav´ıa posible encontrar las soluciones de la EDP pero en un sentido d´ebil. Tambi´en podr´ıa ocurrir que ambos coeficientes P y Q se anularan simult´aneamente en un punto (sin que lo hiciera R). En tal caso pasar´ıamos de una EDP a una ecuaci´on algebraica siendo a´ un m´as dram´ atica la degeneraci´on. En estos casos sigue siendo posible desarrollar un an´alisis local de la ecuaci´on pero procuraremos evitar estos casos digamos patol´ ogicos.

26

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

La interpretaci´ on geom´ etrica La idea b´asica de la interpretaci´on geom´etrica consiste en asociar a la ecuaci´on (7) el campo vectorial de clase C 1 (Ω), siendo Ω una regi´on abierta de IR3 , F : Ω ⊂ IR3 → IR3 dado por: F (x, y, u) = P (x, y, u)i + Q(x, y, u)j + R(x, y, u)k

(8)

siendo i, j, k vectores unitarios dirigidos por los ejes de coordenadas. Antes de entrar en detalles con la interpretaci´on geom´etrica recordaremos algunos conceptos y definiciones b´asicos para sucesivos tratamientos. Las l´ıneas vectoriales de este campo (es decir, las l´ıneas cuyas tangentes tienen en cada punto la direcci´on del vector F en dicho punto) son las curvas caracter´ısticas de la EDP y se determinan por la condici´on de paralelismo entre el vector T = idx + jdy + kdu (vector director de la tangente a las l´ıneas buscadas) y el vector F . Utilizando el producto vectorial esta condici´on se escribe en la forma (v´ease el tema de vectores de los guiones de la asignatura de primer curso) T ∧ F = (Rdy − Qdu)i + (P du − Rdx)j + (Qdx − P dy)k = 0 A lo largo de una curva caracter´ıstica se tiene por tanto: dx dy du = = P (x, y, u) Q(x, y, u) R(x, y, u)

(9)

Las ecuaciones (9) se conocen con el nombre de ecuaciones caracter´ısticas de la EDP y su resoluci´on nos proporciona las l´ıneas vectoriales del campo. Introduciendo un par´ametro θ podemos escribir la condici´on (9) (que define las curvas caracter´ısticas de la EDP) en la forma dy du dx = = = dθ P (x, y, u) Q(x, y, u) R(x, y, u) para obtener el sistema de ecuaciones diferenciales ½

dx = P (x, y, u), dθ

dy = Q(x, y, u), dθ

du = R(x, y, u), dθ

Este sistema se dice aut´onomo ya que la variable independiente θ no aparece expl´ıcitamente. Suponiendo que P, Q, R son de clase C 1 (Ω) sabemos por la teor´ıa de

2. Ecuaciones cuasilineales de primer orden

27

las ecuaciones diferenciales ordinarias (v´eanse los temas correspondientes de EDO y sistemas de EDO del primer curso) que a trav´es de cualquier punto de Ω pasa exactamente una curva caracter´ıstica de la EDP o (lo que es lo mismo) una l´ınea vectorial del campo. N´otese que aunque la introducci´on del par´ametro θ pueda parecer bastante artificial, ser´a en realidad entendida como natural al considerar la expresi´on param´etrica de las curvas buscadas. Consideraremos esta situaci´on en la secci´on dedicada al caso param´etrico. Las superficies formadas por las l´ıneas vectoriales del campo se llaman superficies vectoriales. Si una superficie S definida por u = u(x, y) es la uni´on de curvas caracter´ısticas, entonces S es una superficie integral (es decir una soluci´on de la EDP). Por otra parte, cualquier superficie integral es uni´on de curvas caracter´ısticas (lo que equivale a afirmar que a trav´es de cualquier punto de la superficie S pasa una curva caracter´ıstica contenida en S). Estos resultados son una consecuencia del siguiente teorema (cuya demostraci´on se puede encontrar en el libro de F. John, pag 10) Teorema 2.1. Sea dado un punto P0 = (x0 , y0 , z0 ) ∈ IR3 que pertenece a una superficie integral S de la EDP definida por z = u(x, y). Sea Γ la curva caracter´ıstica que pasa por el punto P0 . Entonces Γ est´a completamente contenida en S. Como consecuencia directa de este resultado, dos superficie integrales que tienen un punto P0 en com´ un se intersecan a lo largo de toda la caracter´ıstica que pasa por P0 (es decir que ambas contienen completamente a la caracter´ıstica). Tenemos ahora una simple descripci´on de la soluci´on general de (7): las superficies integrales z = u(x, y) que son uni´on de curvas caracter´ısticas. Siendo N un vector normal a la superficie vectorial, esta superficie se caracteriza por la ecuaci´on N · F = 0 pues el vector N que tiene la direcci´on de la normal a la superficie, es ortogonal al vector F del campo en todo punto de ´esta. Esta ecuaci´on tiene dos expresiones distintas dependiendo del tipo de representaci´on que se utilize para definir la superficie. En concreto, se tiene:

1. Si la superficie vectorial se determina expl´ıcitamente por la ecuaci´on z = u(x, y), entonces el vector normal es N=

∂u ∂u i+ j − k = (ux , uy , −1) ∂x ∂y

y la condici´on de ortogonalidad N · F = 0 toma la forma de la ecuaci´on (7).

28

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

El vector normal unitario es n=

N (ux , uy , −1) =p . kN k 1 + u2x + u2y

2. Si la superficie vectorial se determina impl´ıcitamente por la ecuaci´on S(x, y, z) = 0, siendo µ ¶ ∂S ∂S ∂S ∇S = , , ∂x ∂y ∂z entonces el vector normal es N=

∂S ∂S ∂S i+ j+ k ∂x ∂y ∂z

y la condici´on de ortogonalidad N · F = 0 toma la forma de la ecuaci´on: P (x, y, u)

∂S ∂S ∂S + Q(x, y, u) + R(x, y, u) = 0, ∂x ∂y ∂u

(10)

siendo S(x, y, u) la soluci´on buscada. El vector normal unitario es, en este caso n=

∇S . k∇Sk

Por consiguiente, para hallar las superficies vectoriales hay que integrar la ecuaci´on cuasilineal (7), o la ecuaci´on lineal homog´enea (10), seg´ un se busque la ecuaci´on de las superficies vectoriales en forma expl´ıcita o impl´ıcita.

2.1.2.

El proceso de resoluci´ on

Veamos ahora como actuar cuando la integraci´on de una EDP no es directa. Puesto que las superficies vectoriales pueden formarse por l´ıneas vectoriales, la integraci´on de la ecuaci´on cuasilineal no homog´enea (7) (que nos proporciona las ecuaciones expl´ıcitas de las superficies integrales soluciones de la EDP) se reduce a la integraci´on del sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de las l´ıneas vectoriales que aparece en (9) y que aqu´ı recordamos: dy du dx = = P (x, y, u) Q(x, y, u) R(x, y, u) Sean ψ 1 (x, y, u) = c1 , ψ 2 (x, y, u) = c2 dos soluciones (se las llama tambi´en integrales primeras) independientes del sistema (9). Obs´ervese que la independencia

2. Ecuaciones cuasilineales de primer orden

29

se obtiene al considerar s´olo dos de las tres ecuaciones caracter´ısticas. Esta selecci´on se realiza siguiendo los siguientes principios: siempre se considera la primera de ellas, dx dy = P (x, y, u) Q(x, y, u) que nos proporciona las caracter´ısticas de la EDP y despu´es se considera una cualquiera (se suele elegir la m´as sencilla) entre dx du = , P (x, y, u) R(x, y, u)

dy du = Q(x, y, u) R(x, y, u)

lo que nos proporciona las superficies integrales de la EDP. En general, las curvas ψ 1 , ψ 2 (obtenidas al resolver dos de las tres ecuaciones diferenciales ordinarias) son las caracter´ısticas de la ecuaci´on en derivadas parciales. Su expresi´on define, como ya vimos en la secci´on anterior, las l´ıneas vectoriales del campo asociado a la EDP. Puesto que las superficies vectoriales (soluciones de la EDP) deben contener todas las caracter´ısticas podemos encontrar la ecuaci´on de las superficies vectoriales estableciendo una dependencia continua cualquiera Φ(c1 , c2 ) = 0 entre los par´ametros c1 , c2 que nos permita pasar con continuidad de una l´ınea vectorial a otra generando as´ı una superfice. Eliminando los par´ametros ci del sistema { ψ 1 (x, y, u) = c1 ,

ψ 2 (x, y, u) = c2 ,

Φ(c1 , c2 ) = 0

obtenemos la ecuaci´on buscada: Φ(ψ 1 (x, y, u), ψ 2 (x, y, u)) = 0 siendo Φ una funci´on arbitraria. De este modo, la integral de la ecuaci´on cuasilineal (7) (dependiente de una funci´on arbitraria) P (x, y, u)

∂u ∂u + Q(x, y, u) = R(x, y, u) ∂x ∂y

puede obtenerse por el m´etodo siguiente: 1. Se integra el sistema auxiliar de ecuaciones (9): dy du dx = = P (x, y, u) Q(x, y, u) R(x, y, u) 2. Se hallan dos integrales primeras de ´este: ψ 1 (x, y, u) = c1 ,

ψ 2 (x, y, u) = c2 ,

30

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

3. Se obtiene la integral buscada en la forma: Φ(ψ 1 (x, y, u), ψ 2 (x, y, u)) = 0 siendo Φ una funci´on arbitraria. Ejemplo 2.1. Determinar la integral de la ecuaci´ on ∂u ∂u + =1 ∂x ∂y que depende de una funci´on arbitraria. Se trata de una EDP de primer orden, lineal, con coeficientes constantes no homog´enea. El sistema auxiliar de ecuaciones caracter´ısticas es dx = dy = du. Considerando las ecuaciones dx = dy y dx = du, sus primeras integrales tienen la forma 1) ψ 1 (x, y, u) = x − y = c1 , 2) ψ 2 (x, y, z) = u − x = c2 La integral (o soluci´on general) de la EDP original es 3)

Φ(c1 , c2 ) = Φ(x − y, u − x) = 0,

siendo Φ una funci´on arbitraria. De 2) se tiene que u = x + c2 . Como por 3) y 1) Φ(c1 , c2 ) = Φ(x − y, c2 ) = 0, se tendr´a que c2 = f (c1 ) = f (x − y), siendo f es una funci´on de clase C 1 (IR2 ) arbitraria. Por tanto u = x + f (x − y) N´otese en efecto que, al sustituir en la ecuaci´on se tiene ∂u ∂u ∂ ∂ + = (x + f (x − y)) + (x + f (x − y)) = 1 + f 0 − f 0 = 1, ∂x ∂y ∂x ∂y

∀f

es decir una identidad luego u = x + f (x − y) es una familia (infinita) de superficies que representa la soluci´on general de la EDP. Las caracter´ısticas de la EDP son las rectas del plano de ecuaci´on y = x + C, C ∈ IR.

2. Ecuaciones cuasilineales de primer orden

31

Figura 4: Caracter´ısticas de la EDP. Interpretaci´ on geom´ etrica del proceso resolutivo de la EDP del ejemplo (2.1) El proceso de resoluci´on seguido en el ejemplo (2.1) ha consistido en considerar el . campo vectorial de clase (C 1 (IR3 ))3 = C 1 (IR3 ) × C 1 (IR3 ) × C 1 (IR3 ) (es decir, cada componente del campo es de clase C 1 (Ω)) definido por F (x, y, u) = P (x, y, u)i + Q(x, y, u)j + R(x, y, u)k = i + j + k

(11)

es decir F (x, y, u) = (1, 1, 1). Las l´ıneas vectoriales de este campo (es decir, las l´ıneas cuyas tangentes tienen en cada punto la direcci´on del vector F en dicho punto) se determinan por la condici´on de paralelismo entre el vector T = dxi + dyj + duk, dirigido por la tangente a las l´ıneas buscadas (v´ease la secci´on en los anexos dedicada a la representaci´on de curvas de este mismo gui´on) y el vector F = i + j + k. Tal condici´on se expresa en forma de producto vectorial de la siguiente forma T ∧ F = (dy − du)i + (du − dx)j + (dx − dy)k = 0 = (0, 0, 0) que es la ecuaci´on auxiliar dx = dy = du de las caracter´ısticas de la EDP. Las l´ıneas vectoriales de este campo son ψ 1 (x, y, u) = x − y = c1 ,

ψ 2 (x, y, u) = u − x = c2

32

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

y son una familia bi-param´etrica (pues dependen de (c1 , c2 )) de l´ıneas vectoriales (las caracter´ısticas de la EDP). De esta familia se extrajo (arbitrariamente) una familia uniparam´etrica estableciendo una dependencia continua cualquiera Φ(c1 , c2 ) = 0 entre los par´ametros (c1 , c2 ). Esta operaci´on de extracci´on (arbitraria pues Φ es una funci´on arbitraria) de una familia uniparam´etrica ha correspondido a la determinaci´on de la integral de la ecuaci´on original Φ(x − y, u − x) = Φ(c1 , c2 ) = 0, que nos proporcion´o la ecuaci´on buscada de las superficies vectoriales: u = u(x, y) = x + φ(x − y).

2.1.3.

Interpretaci´ on geom´ etrica del problema del flujo potencial: deducci´ on del m´ etodo de las trayectorias

En esta secci´on veremos c´omo la interpretaci´on geom´etrica de las EDP permite interpretar los problemas de flujo asociados a un campo de velocidades mediante los conceptos de curvas caracter´ısticas y superficie integrales. Lo que haremos ser´a identificar las curvas caracter´ısticas con las l´ıneas de corriente y las superficie integrales con la gr´afica de la funci´on de corriente. Deduciremos as´ı una forma alternativa de determinar las l´ıneas de corriente de un campo de velocidades mediante la integraci´on de una EDO. El c´alculo de las l´ıneas de corriente mediante este m´etodo se conoce como m´ etodo de las trayectorias. N´otese que este m´etodo se puede usar para cualquier flujo donde el campo de velocidades es conocido. No es necesario que el flujo sea bidimensional o incompresible. Tambi´en se aplica al tratamiento de problemas de flujo no estacionario. Otra forma de deducir las l´ıneas de corriente ser´a mediante la resoluci´on de un sistema de EDO lo que nos proporcionar´a una representaci´on param´etrica de estas curvas. Recu´erdese que en el ejemplo (1.5) las l´ıneas de corriente se determinaron s´olo tras la determinaci´on de la funci´on de corriente mediante integraci´on directa de las EDP que la definen. En la secci´on anterior vimos que, dada una EDP de primer orden, si una superficie S definida por z = ψ(x, y) es la uni´on de curvas caracter´ısticas, entonces S es una superficie integral (es decir una soluci´on de la EDP). Por otra parte, cualquier superficie integral es uni´on de curvas caracter´ısticas. Al trabajar con problemas de

2. Ecuaciones cuasilineales de primer orden

33

flujo las curvas caracter´ısticas se denominan l´ıneas de corriente17 . Las superficies formadas por las l´ıneas de corriente del campo de velocidades se llaman superficies vectoriales y la gr´afica de la funci´on de corriente es una de ellas. Siendo N un vector normal a la superficie vectorial, esta superficie se caracteriza por la ecuaci´on N · v = 0 pues el vector N , que tiene la direcci´on de la normal a la superficie, es ortogonal al vector v del campo en todo punto de ´esta. Si la superficie vectorial se determina expl´ıcitamente por la ecuaci´on z = ψ(x, y), entonces el vector normal es N=

∂ψ ∂ψ i+ j − k = (ψ x , ψ y , −1) ∂x ∂y

y la condici´on de ortogonalidad N · v = 0 toma la forma de la ecuaci´on vx

∂ψ ∂ψ + vy = 0. ∂x ∂y

La idea b´asica de la interpretaci´on geom´etrica del problema propuesto en el ejemplo (1.5) (determinaci´on de las l´ıneas de corriente de un campo de velocidades plano dado) consiste por tanto en asociar a la ecuaci´on de primer orden, lineal homog´enea P (x, y)

∂ψ ∂ψ + Q(x, y) =0 ∂x ∂y

el campo vectorial de velocidades v(x, y) = vx (x, y)i + vy (x, y)j La ecuaci´on que caracteriza la funci´on de corriente ψ asociada a un campo de velocidades v es ∂ψ ∂ψ v · ∇ψ = vx + vy =0 ∂x ∂y Puesto que el campo dado era (vx , vy ) = (x, −y) se obtiene la EDP (de primer orden lineal homog´enea) x 17

∂ψ ∂ψ −y =0 ∂x ∂y

En mec´anica de medios continuos se distingue claramente entre l´ıneas de campo (trayectorias) y l´ıneas de corriente. Sin embargo si el campo de velocidades es estacionario, las l´ıneas de campo y l´ıneas de corriente son iguales. Trataremos, en este tema, tan s´olo este caso (es decir, estudiaremos s´olo reg´ımenes de flujo estacionarios).

34

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

Recordando la definici´on de ψ dada en (3) ∂ψ = −vy , ∂x

∂ψ = vx ∂y

se deduce que ψ es una superficie integral (soluci´on) de la EDP de primer orden. Las l´ıneas vectoriales de este campo (es decir, las l´ıneas cuyas tangentes tienen en cada punto la direcci´on del vector F en dicho punto) se interpretan como las l´ıneas de corriente del campo de velocidades y representan las curvas caracter´ısticas de la EDP. Se determinan por la condici´on de paralelismo entre el vector T = idx + jdy + kdψ (vector director de la tangente a las l´ıneas buscadas) y el vector v. Utilizando el producto vectorial esta condici´on se escribe en la forma (v´ease el tema 2 de los guiones de la asignatura de primer curso) T ∧ v = (Rdy − Qdu)i + (P du − Rdx)j + (Qdx − P dy)k Puesto que P = vx , Q = vy y R = 0 se tiene T ∧ v = vy dψi + vx dψj + (vy dx − vx dy)k = 0 A lo largo de una curva caracter´ıstica se tiene por tanto: dx dy = vx vy

(12)

y la soluci´on ψ(x, y) es constante, ψ ≡ C, a lo largo de una caracter´ıstica pues su tasa de cambio (dada por v · ∇ψ) es nula por la definici´on y construcci´on de ψ. El hecho de que ψ es constante se denota en la forma dx dy dψ = = vx vy 0 Las ecuaciones (12) se conocen con el nombre de ecuaciones caracter´ısticas de la EDP y su resoluci´on nos proporciona las l´ıneas de corriente del campo. N´otese que las ecuaciones (12) ya hab´ıan sido introducidas en la primera secci´on del tema 12 del primer curso para la determinaci´on de las l´ıneas de campo.

Ecuaciones param´ etricas de las l´ıneas de corriente El m´etodo de las trayectorias para la determinaci´on de las l´ıneas de corriente consiste en la resoluci´on de la ecuaci´on (12) previa introducci´on de un par´ametro. Este

2. Ecuaciones cuasilineales de primer orden

35

procedimiento permite obtener propiamente las ecuaciones param´etricas de las l´ıneas de corriente en t´erminos de trayectorias. En efecto, introduciendo un par´ametro θ podemos escribir la condici´on (12) (que define las curvas caracter´ısticas de la EDP) en la forma dx dy dψ = dθ = = vx vy 0 para obtener el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias ½

dx = P (x, y) = vx , dθ

dy = Q(x, y) = vy , dθ

dψ = R(x, y) = 0, dθ

es decir ½

dx = x, dθ

dy = −y, dθ

dψ = 0, dθ

El sistema es desacoplado (es decir, podemos resolver las ecuaciones que lo componen de manera independiente, de una en una). Puesto que se trata de EDO lineales de primer orden separables se obtiene (separando variables) la representaci´on param´etrica de las l´ıneas de corriente x(θ) = c1 eθ ,

y(θ) = c2 e−θ ,

ψ(θ) = c3

Los valores de c1 , c2 y c3 se determinan imponiendo unas condiciones ulteriores que complementan la EDP. Analizaremos tales situaciones en las secciones siguientes, al introducir la definici´on de Problema de Cauchy asociado a una EDP de primer orden. El problema de Cauchy Si entre las infinitas superficies vectoriales del campo F se deseara determinar la superficie que pasa por una l´ınea dada, definida a su vez por las ecuaciones Φ1 (x, y, u) = 0, Φ2 (x, y, u) = 0, entonces la funci´on Φ ya no ser´a arbitraria sino que se determina Φ(c1 , c2 ) por eliminaci´on de x, y, u de las ecuaciones: { Φ1 (x, y, u) = 0,

Φ2 (x, y, u) = 0,

ψ 1 (x, y, u) = c1 ,

ψ 2 (x, y, u) = c2

a trav´es del cual se tiene la ecuaci´on Φ(c1 , c2 ) = 0 y la integral buscada ser´a Φ(ψ 1 (x, y, u), ψ 2 (x, y, u)) = 0 Para poder explicar con rigor este proceso de selecci´on de soluciones precisamos antes la definici´on de Problema de Cauchy para EDP cuasilineales de primer orden.

36

2.1.4.

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

El problema de Cauchy para ecuaciones cuasilineales

Para seleccionar una entre las infinitas superficies integrales de una EDP cuasilineal de primer orden seguiremos el siguiente camino que nos llevar´a a la definici´on del problema de Cauchy para EDP cuasilineales de primer orden, que no es otra cosa que un m´etodo para generar soluciones a partir de la prescripci´on de un conjunto de funciones que representan los datos del problema (digamos la informaci´on f´ısica o experimental) sobre el fen´omeno a estudiar. Es decir, buscamos asociar soluciones a datos mediante una aplicaci´on entre espacios vectoriales (el espacio de los datos como espacio inicial y el espacio de las soluciones como espacio de llegada). El espacio de las soluciones se describe entonces mediante el espacio (usualmente m´as simple) de los datos18 . Una manera simple de seleccionar una funci´on u(x, y) en el conjunto infinito de soluciones de (7) ∂u ∂u P (x, y, u) + Q(x, y, u) = R(x, y, u) ∂x ∂y consiste en prescribir una curva Γ en el espacio tridimensional que debe estar contenida en la superficie integral z = u(x, y). Sea Γ una curva dada param´etricamente mediante x = f (s),

y = g(s),

u = h(s)

(13)

Estamos buscando una soluci´on u(x, y) de (7) tal que la relaci´on h(s) = u(f (s), g(s))

(14)

sea una identidad. Definici´ on 2.1 (Problema de Cauchy). Sea dada la ecuaci´ on cuasilineal de primer orden (7). Un problema de Cauchy asociado a la ecuaci´ on (7) consiste en encontrar la funci´on u(x, y) asociada a los datos f (s), g(s) y h(s) mediante (13). Obviamente se entiende por funci´on asociada a los datos a una funci´on que satisface la EDP y la condici´on (14). N´otese que es posible dar muchas parametrizaciones distintas de la misma curva Γ eligiendo distintos par´ametros s. Sin embargo la introducci´on de un par´ametro diferente σ tal que s = φ(σ) no cambia la soluci´on del problema de Cauchy. En cuanto al tipo de soluci´on, nos contentaremos con 18

No queremos (ni podemos) entrar en detalles sobre este tipo de problemas propio de la teor´ıa de la regularidad de las EDP. S´olo se˜ nalamos que la caracterizaci´on del espacio de soluciones de una EDP mediante la informaci´on sobre los datos del problema representa uno de los problemas m´as interesantes de la teor´ıa de las ecuaciones en derivadas parciales.

2. Ecuaciones cuasilineales de primer orden

37

soluciones locales19 definidas para (x, y) en un entorno del punto x0 = f (s0 ), y0 = g(s0 ). En muchos problemas f´ısicos la variable y se identifica con el tiempo y x con la posici´on en el espacio. Adem´as en dichos problemas es frecuente que y0 se tome como inicio del intervalo temporal en el que se plantea el problema. Es entonces natural proponerse resolver el problema de determinar una soluci´on u(x, y) a partir del conocimiento de su valor inicial en el tiempo y = 0: u(x, 0) = u0 (x)

(15)

Se tiene entonces Definici´ on 2.2 (Problema de Valor Inicial). Sea dada la ecuaci´ on cuasilineal de primer orden (7). Un problema de valor inicial para la ecuaci´ on consiste en encontrar la funci´on u(x, y) que satisface la ecuaci´ on (7) y la condici´ on inicial (15). N´otese que un problema de valor inicial (PVI) es un caso especial de un problema de Cauchy en el cual la curva Γ tiene la representaci´on x = s,

y = 0,

u = u0 (s)

(16)

Sea Ω ⊂ IR3 y sea F = (P, Q, R) un campo vectorial de clase (C 1 (Ω))3 . Sea dada adem´as una curva inicial Γ0 en la forma param´etrica (13). Es posible entonces demostrar que el problema de Cauchy admite soluci´on si se verifica la siguiente condici´on suficiente ¯ ¯ f 0 (s0 ) g 0 (s0 ) ¯ ∆ = ¯¯ ¯ P (x0 , y0 , u0 ) Q(x0 , y0 , u0 )

¯ ¯ ¯ ¯ = Q0 f00 − P0 g00 6= 0 ¯ ¯

(17)

En el caso del problema de valor inicial se tiene (aplicando (16) con f (s) = s, g(s) = 0) ¯ ¯ 1 0 ¯ ∆ = ¯¯ ¯ P (x0 , y0 , u0 ) Q(x0 , y0 , u0 )

¯ ¯ ¯ ¯ = Q(x0 , y0 , u0 ) 6= 0 ¯ ¯

(18)

La condici´on de no anulaci´on del determinante jacobiano ∆ garantiza la existencia (local pues se debe a una aplicaci´on del teorema de la funci´on impl´ıcita v´alida en un entorno del punto (x0 , y0 , u0 ) ∈ IR3 ) de una superficie integral u = u(x, y). La unicidad se deduce del teorema (2.1). N´otese que la condici´on (17) es fundamental para la existencia de una u ´nica soluci´on u(x, y) de clase C 1 pues se puede demostrar 19

Es una de las caracter´ısticas m´as notables de las EDP de primer orden hiperb´olicas: la existencia local, es decir hasta un tiempo finito.

38

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

que ∆ = 0 es incompatible con la existencia de tales soluciones a menos que la curva prefijada Γ0 sea caracter´ıstica (en cuyo caso se tendr´an infinitas soluciones). Acabamos la parte te´orica con el siguiente resultado de existencia y unicidad para el problema de Cauchy asociado a una curva inicial Γ0 dada en la forma param´etrica: x = f (s),

y = g(s),

u = u0 (s)

(19)

siendo f, g funciones derivables con continuidad. Se tiene entonces Teorema 2.2. Sea dada la ecuaci´ on en derivadas parciales P (x, y, u)

∂u ∂u + Q(x, y, u) = R(x, y, u) ∂x ∂y

y sea Γ0 una curva inicial dada por (19) con la condici´ on que (f 0 )2 + (g 0 )2 6= 0 (es decir f 0 y g 0 no ambas nulas simult´aneamente). Sea adem´as 0

0

0

0

∆ = Q0 x0 − P0 y0 = Q0 f0 − P0 g0 el determinante jacobiano. Se tiene entonces 1. Si ∆ 6= 0 en toda Γ0 entonces existe una u ´nica soluci´on del problema de Cauchy. 2. Si ∆ = 0 en toda Γ0 y Γ0 es una curva caracter´ıstica entonces existen infinitas soluciones del problema de Cauchy. 3. Si ∆ = 0 en toda Γ0 y Γ0 no es una curva caracter´ıstica entonces no existe soluci´on del problema de Cauchy. Lo anterior se puede interpretar de la siguiente forma: si el problema de Cauchy (o el PVI) tienen soluci´on y ∆ = 0 a lo largo de Γ0 entonces la curva Γ0 es ella misma una curva caracter´ıstica de la EDP. Pero si Γ0 es una curva caracter´ıstica entonces infinitas superficies integrales pasan a trav´es de (contienen) Γ0 . Observemos que si la funci´on u no es de clase C 1 (en un entorno de Γ0 y en la misma Γ0 ) entonces no es posible deducir, a partir de ∆ = 0, que la curva Γ0 es caracter´ıstica. En efecto, pueden existir soluciones de la EDP que pasen por una curva no caracter´ıstica Γ0 y para las cuales ∆ = 0. N´otese finalmente que este teorema no cubre el caso en el cual ∆ = 0 s´olo en alg´ un punto de Γ0 puesto que en este caso las soluciones no ser´ıan de clase C 1 . Aparecer´ıan soluciones d´ebiles. Existe una teor´ıa al respecto que no ser´a aqu´ı considerada. Una

2. Ecuaciones cuasilineales de primer orden

39

referencia a un posible tratamiento general de este caso se encuentra en el libro de Courant-Hilbert, pag 65. En general es suficiente considerar por separado las regiones de degeneraci´on de los coeficientes de la EDP (es decir donde se anulan) y utilizar el an´alisis local mediante el estudio del determinante jacobiano ∆ a lo largo de Γ0 en las regiones de no degeneraci´on. Ejemplo 2.2 (Problema de Cauchy). Hallar la superficie integral de la ecuaci´ on x

∂u ∂u −y =0 ∂y ∂x

que pasa por la curva inicial Γ0 dada por x = 0, u = y 2 . Se trata de una EDP de primer orden, lineal, con coeficientes variables, homog´enea. Para que la ecuaci´on no pueda degenerar imponemos la condici´on x2 + y 2 6= 0. El problema de Cauchy est´a bien planteado (existe una u ´nica soluci´on). En efecto, notamos que, parametrizando la curva dada en la forma x = f (s) = 0,

y = g(s) = s,

u = u0 (s) = h(s) = s2

se tiene f 0 (s) = 0, g 0 (s) = 1. Considerando que P = −y, Q = x se deduce ∆ = Qf 0 − P g 0 = y 6= 0 si y 6= 0 y esto es cierto a lo largo de la curva Γ0 para todo s 6= 0. Si s = 0 entonces x = y = 0 pero este punto ya hab´ıa sido excluido con la condici´on de no degeneraci´on. Aplicando el teorema (2.2) se tiene asegurada la existencia de una u ´nica superficie integral que contiene la curva inicial Γ0 . El campo vectorial a estudiar es F (x, y, u) = (P (x, y, u), Q(x, y, u), R(x, y, u)) = (−y, x, 0) La ecuaci´on auxiliar T ∧ F = 0 nos conduce en este caso a: dx dy du = = −y x 0 La notaci´on du/0 significa que du = 0, es decir que u es constante a lo largo de las caracter´ısticas. Esta notaci´on (dividir por cero) se aplica tambi´en en el caso P ≡ 0 o Q ≡ 0. A partir de la ecuaci´on auxiliar se pueden obtener las siguientes integrales primeras (caracter´ısticas o l´ıneas vectoriales del campo o l´ıneas de corriente si el campo F se considera un campo de velocidades estacionario plano F = v = (vx , vy )): xdx = −ydy,

=⇒

1 1 2 x = − y2 + K 2 2

=⇒

es decir ψ 2 (x, y, u) = x2 + y 2 = c2 y du = 0

=⇒

u = C1

x2 + y 2 = 2K = C2

40

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

es decir ψ 1 (x, y, u) = u = c1 . Hemos obtenido: ψ 1 (x, y, u) = u = c1 ,

ψ 2 (x, y, u) = x2 + y 2 = c2

N´otese que la curva Γ0 no es (una curva) caracter´ıstica pues no satisface ninguna de las ecuaciones ψ = c1 , ψ = c2 . Considerando las condiciones x = 0, u = y 2 se tiene el siguiente sistema de ecuaciones u = c1

x2 + y 2 = c 2

x = 0 u = y2

y se deduce que (eliminando las variables x, y, u) c1 = c2 . Por ello la superficie integral buscada ser´a 0 = c1 − c2 = Φ(c1 , c2 ) = Φ(u, x2 + y 2 ) = u − (x2 + y 2 ) es decir u = x2 + y 2 . N´otese que evidentemente al seccionar la superficie con el plano x = 0 se obtiene la curva prefijada u = y 2 . En t´erminos de la mec´anica de fluidos, la superficie integral obtenida corresponde a la gr´afica de la funci´on de corriente asociada al campo de velocidades.

Figura 5: El problema de Cauchy. Obs´ervese adem´as que el problema quedar´ıa indeterminado si la curva dada por Φ1 = Φ2 = 0 fuese caracter´ıstica ya que en este caso diferentes superficies integrales

2. Ecuaciones cuasilineales de primer orden

41

pasar´ıan por dicha curva. Es decir: existir´ıan infinitas soluciones. Encontraremos concretamente esta situaci´on en el siguiente ejemplo Ejemplo 2.3 (Problema de Cauchy). Hallar la superficie integral de la ecuaci´ on x

∂u ∂u −y =0 ∂y ∂x

que pasa por la circunferencia u = 1, x2 + y 2 = 4. Puesto que la l´ınea dada es caracter´ıstica, el problema es indeterminado (es decir existen infinitas soluciones (superficies) que pasan por la circunferencia dada). Por ejemplo los paraboloides de revoluci´on u = x2 + y 2 − 3,

4u = x2 + y 2 ,

u = −x2 − y 2 + 5

son soluciones pues corresponden a las superficies Φ(c1 , c2 ) = c2 −c1 −3 = 0,

Φ(c1 , c2 ) = c2 −4c1 = 0,

Φ(c1 , c2 ) = c1 +c2 −5 = 0

En efecto cualquier superficie de revoluci´on u = Φ(x2 + y 2 ) cuyo eje de rotaci´on coincida con el eje Oz, es superficie integral de la EDP. Tambi´en la esfera x2 + y 2 + u2 = 5 es soluci´on pues corresponde a la superficie Φ(c1 , c2 ) = c21 + c2 − 5 = 0 El problema de Cauchy anterior estaba mal planteado (pues existen infinitas soluciones). N´otese que, parametrizando la curva dada en la forma x = f (θ) = 2 cos θ,

y = g(θ) = 2 sin θ,

u = u0 (θ) = 1

se tiene f 0 (θ) = −2 sin θ, g 0 (θ) = 2 cos θ. Considerando que P = −y, Q = x se deduce ∆ = Qf 0 − P g 0 = −4 sin θ cos θ + 4 sin θ cos θ ≡ 0, ∀ θ. Hasta ahora hemos considerado el caso en que la expresi´on de la curva inicial ven´ıa dada en coordenadas cartesianas mediante un sistema de dos ecuaciones cuya soluci´on (la curva) es la intersecci´on de dos superficies (las ecuaciones). Consideraremos ahora el caso en el que la curva inicial se expresa en forma param´etrica. 2.1.5.

El caso param´ etrico

Si la ecuaci´on de la curva Γ0 por la cual se exige trazar la superficie integral de la ecuaci´on P (x, y, u)

∂u ∂u + Q(x, y, u) = R(x, y, u) ∂x ∂y

42

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

Figura 6: Problema mal planteado: existen dos soluciones del mismo problema de Cauchy. se proporciona en forma param´etrica Γ0 = { x0 = x0 (s),

y0 = y0 (s),

u0 = u0 (s)

entonces es tambi´en conveniente buscar la soluci´on en forma param´etrica20 x = x(t, s),

y = y(t, s),

u = u(t, s).

Para ello se introduce un par´ametro t en el sistema (9) que determina las caracter´ısticas, haciendo dy du dx = = = dt P (x, y, u) Q(x, y, u) R(x, y, u)

(20)

Para que las caracter´ısticas pasen por la curva dada, se busca la soluci´on del sistema (20) que satisface (para t = 0 o t = T0 ) las condiciones iniciales x0 = x0 (s) = x(T0 , s), 20

y0 = y0 (s) = y(T0 , s),

u0 = u0 (s) = u(T0 , s)

V´ease el tema 12 de la asignatura de primer curso (y tambi´en los anexos a este gui´on) para la definici´on de una superficie param´etrica.

2. Ecuaciones cuasilineales de primer orden

43

Para estas condiciones iniciales (y para s fija) obtenemos una caracter´ıstica que pasa por un punto (fijado) de la curva. Cuando s es variable se obtiene la familia biparam´etrica de caracter´ısticas x = x(t, s),

y = y(t, s),

u = u(t, s)

que pasan por los puntos de la curva dada (en este caso se considera que la curva dada no es caracter´ıstica). El conjunto de puntos que pertenece a esta familia de caracter´ısticas forma precisamente la integral buscada. Ejemplo 2.4. Sea dada la ecuaci´ on ∂u ∂u − =1 ∂x ∂y Clasificar la EDP, determinar el campo asociado y hallar la superficie integral que pasa por la curva x0 = s, y0 = s2 , u0 = s3 Se trata evidentemente de una EDP de primer orden, lineal, no homog´enea con coeficientes constantes. Est´a asociada al campo F = (1, −1, 1). El sistema de ecuaciones que determina las caracter´ısticas tiene la forma dx = −dy = du = dt Su soluci´on general es x = t + c1 ,

y = −t + c2 ,

u = t + c3

Las constantes arbitrarias se determinan mediante las condiciones iniciales: c1 = s,

c2 = s2 ,

c3 = s3

y sustituyendo en la soluci´on general se tiene x = t + s,

y = −t + s2 ,

u = t + s3

44

2.1.6.

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

∗

Parametrizaci´ on mediante la longitud de arco

Consideraremos EDP de primer orden en dos variables independientes. La familia m´as general se puede escribir en la forma A

∂u ∂u +B =C ∂x ∂y

Si A = A(x, y), B = B(x, y) y C = C(x, y, u) es lineal en u la ecuaci´on es lineal. En los dem´as casos es no lineal21 En cada punto del plano x, y podemos definir un vector unitario µ ¶ A B s≡ √ ,√ A2 + B 2 A2 + B 2 y escribir la PDE de primer orden en la forma s · ∇u = √

C ≡D A2 + B 2

Fijada una curva inicial (que no coincida con una caracter´ıstica) podemos dibujar en el plano, para cada punto de la curva inicial, una trayectoria que es tangente en cada punto al vector s. La pendiente de la tangente (en cada punto) es dy B = (21) dx A y es la EDO verificada por la trayectoria. Estas trayectorias se llaman caracter´ısticas. Denotamos con σ a la longitud de arco22 a lo largo de una caracter´ıstica. Supongamos ahora que los coeficientes A, B y C son constantes reales. Se tiene entonces µ ¶ dx dy s= , dσ dσ Este resultado se puede comprobar f´acilmente definiendo una parametrizaci´on de las curvas caracter´ısticas en la forma r(t) = x(t)i + y(t)j,

t ≥ t0 = 0

luego r 0 (t) = x0 (t)i + y 0 (t)j, 21

kr 0 (t)k =

p (x0 )2 + (y 0 )2

Una clasificaci´on m´as precisa, clasifica las ecuaciones no lineales en semi-lineales, cuasi-lineales, completamente no lineales y doblemente no lineales dependiendo de las dependencias funcionales de las funciones coeficientes 22 V´ease el tema 12, secci´on 10 del gui´on de la asignatura del primer curso para la definici´on de este concepto.

2. Ecuaciones cuasilineales de primer orden

45

y por tanto, puesto que las ecuaciones caracter´ısticas vienen dadas por (param´etricamente) ½

dx = A, dt

dy =B dt

se tiene que la relaci´on entre el par´ametro t y el par´ametro longitud de arco es . σ=

Z

t

Z

t

0

kr (t)kdt = 0

√ √ ( A2 + B 2 )dt = ( A2 + B 2 )t

0

luego la diferencial de longitud de arco es √ dσ = kr 0 (t)kdt = ( A2 + B 2 )dt Por lo anterior escribimos entonces s · ∇u = D en la forma du =D (22) dσ Cuando A(x, y), B(x, y) son funciones conocidas de las variables independientes, podemos integrar primero (21) para encontrar las caracter´ısticas y despu´es (22) para obtener u. Si A(x, y, u), B(x, y, u) dependen de u (pero no de sus derivadas) entonces las caracter´ısticas no son conocidas a priori y hay que resolver el problema acoplado (21), (22) (generalmente con un m´etodo num´erico en diferencias finitas, ver Mei, pag 21) para encontrar las caracter´ısticas y la inc´ognita u. Concluimos esta secci´on observando que el esquema de resoluci´on indicado para el caso bidimensional se puede generalizar al caso (n + 1)−dimensional. Detalles se pueden encontrar en el libro de Elsgoltz, cap´ıtulo 5 pag 252 o en el libro de Courant-Hilbert, pag 69. 2.1.7.

∗

Un ejemplo de formaci´ on de ondas de choque en una ecuaci´ on cuasilineal. Ecuaci´ on de B¨ urgers

Un problema de valor inicial que a menudo se toma como ejemplo para ilustrar ciertos fen´omenos que pueden aparecer al trabajar con ecuaciones cuasilineales de primer orden es: Encontrar una funci´on u = u(x, y) que satisfaga las igualdades   ∂u + u ∂u = 0, x ∈ IR, ∂y ∂x  u(x, 0) = u0 (x), x ∈ IR

y > 0,

(23)

46

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

Este problema, que modeliza entre otros fen´omenos el rompimiento de la barrera del sonido por aviones supers´onicos fue propuesto por J.M. B¨ urgers y, en su honor, se conoce como el problema de B¨ urgers23 . La soluci´on u de la ecuaci´on cuasilineal se puede interpretar como un campo de velocidad longitudinal (en la direcci´on x) que var´ıa con el tiempo y. La ecuaci´on (23) afirma que cualquier part´ıcula del fluido tiene aceleraci´on nula (no hay efectos inerciales), luego tiene velocidad constante a lo largo de las trayectorias del fluido. Esto es evidente si ponemos u = vx = vx (x, y) siendo v = (vx (x, y), vy (x, y)) = (vx (x, y), 0) (n´otese que la variable y que aparece en las componentes del campo de velocidades denota una variable espacial) y calculamos su derivada material definida mediante el operador de derivaci´on total (donde t representa ahora el tiempo) 24 n

X ∂ D ∂ ∂ = +v·∇= + vi Dt ∂t ∂t i=1 ∂xi siendo v = (v1 , .., vn ), x = (x1 , .., xn ). En nuestro caso n = 2, (x1 , x2 ) = (x, y), v1 = vx , v2 = vy . La afirmaci´on anterior equivale por tanto a verificar (se deja por ejercicio al lector) que Dv/Dt = 0. Consid´erese nuevamente el problema (23) siendo y la variable temporal. La condici´on inicial u(x, 0) = u0 (x) describe la distribuci´on inicial de la velocidad, que corresponde a la curva en el espacio IR3 (v´ease la ecuaci´on (16)) x = s,

y = 0,

u = u0 (s)

(24)

Introduciendo un par´ametro θ las ecuaciones diferenciales ordinarias asociadas son ½

dx = P (x, y, u) = u, dθ

dy = Q(x, y, u) = 1, dθ

du = R(x, y, u) = 0, dθ

que combinadas con la condici´on inicial (24) para θ = 0 nos dan la representaci´on param´etrica de la soluci´on z = u(x, y) del PVI: x = s + uθ,

y = θ,

u = u0 (s)

(25)

Eliminando los par´ametros s, θ se tiene la f´ormula (impl´ıcita) de la soluci´on u = u0 (s) = u0 (x − uθ) = u0 (x − uy) 23

En realidad la ecuaci´on de B¨ urgers propiamente dicha es una ecuaci´on parab´olica de segundo orden a partir de la cual se puede deducir (mediante un l´ımite asint´otico que representa la hip´otesis de difusi´on despreciable) la ecuaci´on hiperb´olica cuasilineal de primer orden que analizaremos. 24 Algunos libros de texto denominan a la derivada material, derivada substancial. V´ease, por ejemplo, el libro de Costa-Novella, Vol 2, dedicado a los fen´omenos de transporte.

2. Ecuaciones cuasilineales de primer orden

2.1.8.

∗

47

Discontinuidades y soluciones d´ ebiles

En la primera parte del ejercicio anterior hemos encontrado una f´ormula impl´ıcita de la soluci´on. Queremos analizar m´as en detalle su naturaleza (su comportamiento cualitativo). Si proyectamos la caracter´ıstica (curva en el espacio) en el plano xy (es decir eliminamos u en (25)) obtenemos la curva Cs (proyecci´on de la caracter´ıstica) x = s + u0 (s)y a lo largo de la cual la soluci´on tiene el valor constante u(x, 0) = u(s, 0) = u0 (s) F´ısicamente, x = s + u0 (s)y define el camino de una part´ıcula localizada en x = s en el tiempo y = 0. Veamos que ocurre si dos caracter´ısticas tienen un punto en com´ un. Sea (x∗ , y ∗ ) ∈ IR2 el punto com´ un a las dos caracter´ısticas. Entonces, puesto que la ecuaci´on de las caracter´ısticas es x = s + u0 (s)y se tendr´a: x∗ = s1 + u0 (s1 )y ∗ ,

x∗ = s2 + u0 (s2 )y ∗

y se deduce s1 + u0 (s1 )y ∗ = s2 + u0 (s2 )y ∗ es decir y∗ = −

s2 − s1 u0 (s2 ) − u0 (s1 )

Si s2 6= s1 y u0 (s2 ) 6= u0 (s1 ) la funci´on toma valores distintos u0 (s1 ), u0 (s2 ) en el punto (x∗ , y ∗ ) luego la funci´on es multivaluada y salta. Hay una discontinuidad. En particular se puede demostrar que u est´a condenada a saltar y a presentar una singularidad en su derivada parcial primera si u0 tiene soporte compacto (se entiende por ello que la funci´on es nula fuera de un intervalo compacto), excepto en el caso trivial donde u0 (s) ≡ 0. Pensando en y como en el tiempo, para las funciones u0 (s) (dato inicial del problema) tales que y ∗ > 0, esta relaci´on define (y predice) la existencia de un instante de ex0 plosi´on (singularidad) de la soluci´on. Es f´acil comprobar en efecto que, si u0 (s) < 0, entonces y ∗ > 0. Para todo este tipo de datos iniciales la soluci´on u(x, y) ser´a discontinua en alg´ un tiempo y ∗ > 0. La naturaleza de esta singularidad ser´a m´as clara si consideramos los valores de la derivada ux (x, y) a lo largo de la caracter´ıstica x = s + u0 (s)y. A partir de la expresi´on (impl´ıcita) de la soluci´on u = u0 (x − uy) y aplicando derivaci´on impl´ıcita se tiene

48

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

0

0

0

ux = [u0 (x − uy)][(1 − ux y)] = u0 − ux u0 y y se deduce 0

u0 (s) ux = 0 1 + u0 (s)y 0

luego si u0 (s) < 0 entonces ux → ∞ para y=−

1 u0 (s) 0

El tiempo y m´as peque˜ no para el cual esta relaci´on se cumple corresponde al valor 0 0 s = s0 en el cual u0 (s) tiene un m´ınimo (negativo). En el instante T = y = −1/u0 (s) la soluci´on tiene un crecimiento incontrolable y su derivada explota (se pone vertical). No puede existir una soluci´on de clase C 1 m´as all´a del instante T . N´otese que este tipo de comportamiento es t´ıpico de las ecuaciones no lineales. Es posible, sin embargo, definir unas soluciones d´ebiles del PVI que existen m´as all´a del tiempo T . Para ello, debemos de dar un sentido a la EDP cuasilineal para una clase de funciones m´as amplia que C 1 (o incluso continuas). Para ello se escribe la EDP uy + uux = 0 en forma de divergencia (es decir mediante el operador de divergencia aplicado a funciones adecuadas) ∂R(u) ∂S(u) + =0 ∂y ∂x

(26)

siendo R(u) y S(u) funciones tales que S 0 (u) = uR0 (u). Por ejemplo podr´ıamos elegir R(u) = u y S(u) = (1/2)u2 . N´otese que se trata de una elecci´on natural pues µ ¶ 1 2 1 2 ∂R(u) ∂S(u) uy + uux = uy + (u )x = div u, u = div(R(u), S(u), ) = + =0 2 2 ∂y ∂x Integrando la relaci´on (26) en x ∈ (a, b) se tiene la ley de conservaci´ on d 0= dy

Z

b

R(u(x, y))dx + S(u(b, y)) − S(u(a, y)) a

(27)

2. Ecuaciones cuasilineales de primer orden

49

Por otra parte cualquier funci´on de clase C 1 que verifica (27) es soluci´on de (26). Ahora bien, la ecuaci´on (27) tiene sentido para funciones mucho m´as generales y puede ser utilizada para definir las soluciones d´ ebiles de (26). En particular con1 sideramos el caso donde u es una soluci´on C de (26) en cada una de dos regiones del plano separadas por una curva x = ξ(y) al cruzar la cual la soluci´on experimentar´a un salto (choque). Denotando los valores l´ımites de u a la izquierda y la derecha de la curva por u− y u+ (respect.) se tiene (a partir de (27) que d 0 = S(u(b, y)) − S(u(a, y)) + dy 0

µZ

Z

ξ

R(u(x, y))dx + a

ξ

+

= S(u(b, y)) − S(u(a, y)) + ξ R(u ) − ξ R(u ) − a +

−

0

−

R(u(x, y))dx ξ

Z 0

−

¶

b

∂S(u) dx − ∂x

Z

b ξ

∂S(u) dx ∂x

+

= −[R(u ) − R(u )]ξ − S(u ) + S(u ) Hemos encontrado la condici´ on de salto (shock conditions) dξ S(u+ ) − S(u− ) = (28) dy R(u+ ) − R(u− ) que relaciona la velocidad de propagaci´on dξ/dy de la discontinuidad con el tama˜ no del salto de R y S. N´otese que (28) depende no s´olo de la EDP sino tambi´en de la elecci´on hecha (R(u) = u y S(u) = (1/2)u2 ) entre las funciones que satisfacen S 0 (u) = uR0 (u). Con esta elecci´on de las funciones S y R y para el dato inicial  √  − 2 3x x > 0 3 u(x, 0) = u0 (x) =  0 x 0 3 u(x, y) =  0 4x + y 2 < 0 es una soluci´on d´ebil de la ecuaci´on en forma de divergencia. 2.1.9.

∗

Propagaci´ on de discontinuidades en EDP de primer orden

Se considera la ecuaci´on de primer orden, lineal, no homog´enea de coeficientes constantes: ∂u ∂u + = 1, y ≥ 0, −∞ < x < ∞ ∂x ∂y

50

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

donde u es conocida en los puntos (x0 , 0) del eje x: u(x0 , 0) = u0 (x). La direcci´on caracter´ıstica viene dada por dx = dy luego la caracter´ıstica que pasa por el punto (x0 , 0) es (por integraci´on directa) y = x − x0 A lo largo de la caracter´ıstica se tiene que du = dy luego por integraci´on directa deducimos que la soluci´on a lo largo de esta recta es u(x, y) = u0 (x − y) + y Consideraremos dos posibles situaciones: que los datos iniciales sean discontinuos o que lo sean sus derivadas. Seguiremos la exposici´on que aparece en el libro de Smith, en el cap´ıtulo dedicado a las ecuaciones hiperb´olicas y sus caracter´ısticas.

2.1.10.

∗

Valores iniciales discontinuos

Supongamos tener un dato inicial del tipo

u(x, 0) = u0 (x) =

  f1 (x) −∞ < x < xA  f (x) x < x < ∞ 2 A

y sean xp < xA < xq n´ umeros reales. A la izquierda de la caracter´ıstica y = x − xA la soluci´on uI es uI = f1 (xp ) + y a lo largo de y = x − xp . A la derecha de la l´ınea recta y = x − xA la soluci´on uD es uD = f2 (xq ) + y a lo largo de y = x − xq . Luego para el mismo valor de y en las dos soluciones se tiene uI − uD = f1 (xp ) − f2 (xq ) Si nos acercamos por ambos lados a xA , vemos que la cantidad uI −uD es discontinua a lo largo de y = x − xA cuando l´ım f1 (xp ) 6= l´ım f2 (xq )

xp →xA

xq →xA

Esto muestra que cuando los valores iniciales son discontinuos en un punto xA entonces la soluci´on es discontinua a lo largo de la caracter´ıstica que pasa por xA . Adem´as el efecto de esta discontinuidad no disminuye seg´ un nos vayamos alejando de xA a lo largo de la caracter´ıstica. Con las EDP parab´olicas y el´ıpticas el efecto de prescribir una discontinuidad inicial es muy diferente pues tiende a localizarse y a disminuir rapidamente al aumentar la distancia al punto de discontinuidad.

2. Ecuaciones cuasilineales de primer orden

2.1.11.

∗

51

Derivadas iniciales discontinuas

Supongamos tener ahora un dato inicial del tipo   0, −∞ < x ≤ 0, u(x, 0) = u0 (x) =  x, 0 < x < ∞. Evidentemente la funci´on (derivada del dato inicial)   0, −∞ < x < 0, ∂u (x, 0) =  1, 0 < x < ∞, ∂x es discontinua en (0, 0). Utilizando la ecuaci´on vemos que tambi´en ∂u (x, 0) ∂y es discontinua en (0, 0). Por otra parte u(x, 0) es continua en (0, 0). Como antes se deduce que la soluci´on u a lo largo de la caracter´ıstica y = x − xp que pasa por el punto (xp , 0) es u − up = y = x − x p La soluci´on uI a la izquierda de y = x es uI = u0 (x − y) + y = 0 + y = y,

−∞ < x ≤ 0,

y≥0

y la soluci´on uD a la derecha de y = x es uD = u0 (x − y) + y = x − y + y = x,

0 < x < ∞,

y≥0

Se deduce que uI = uD a lo largo de y = x pero que ∂uI = 0, ∂x

∂uD = 1, ∂x

es decir: la soluci´on es continua a lo largo de la caracter´ıstica que pasa por el punto de discontinuidad pero las discontinuidades iniciales de las derivadas parciales se propagan con velocidad constante a lo largo de esta caracter´ıstica. 2.1.12.

∗

Las ecuaciones de Pfaff

Si en las secciones anteriores hemos visto la relaci´on existente entre determinar las l´ıneas vectoriales (y las superficies vectoriales de un campo) y resolver una EDP de primer orden lineal no homog´enea veremos ahora las denominadas ecuaciones de

52

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

Pfaff cuya resoluci´on permite determinar la familia de superficies ortogonales a las l´ıneas vectoriales. En efecto, la ecuaci´on de ´estas superficies tiene la forma F ·T = 0, siendo T un vector contenido en el plano tangente a las superficies buscadas: T = dxi + dyj + duk = (dx, dy, du) Si F = P i + Qj + Rk = (P, Q, R), entonces F · T = (P, Q, R) · (dx, dy, du) nos conduce a P (x, y, u)dx + Q(x, y, u)dy + R(x, y, u)du = 0

(29)

Existen dos casos posibles dependiendo de si el campo vectorial F = P i + Qj + Rk es potencial o no. En el primer caso (si el campo es potencial) entonces F = ∇S es decir P =

∂S , ∂x

Q=

∂S , ∂y

P =

∂S ∂z

y las superficies buscadas son superficies de nivel S(x, y, z) = c de la funci´on potencial S. En este caso, la determinaci´on de ´estas no representa dificultad, puesto que I

(x,y,z)

S=

P dx + Qdy + Rdz (x0 ,y0 ,z0 )

donde la integral curvil´ınea se toma por cualquier camino entre el punto escogido (x0 , y0 , z0 ) y el punto con coordenadas variables (x, y, z), por ejemplo por la l´ınea quebrada compuesta por segmentos de recta paralelos a los ejes coordenados. Ejemplo 2.5. Sea dada la ecuaci´ on de Pfaff (6x + yz)dx + (xz − 2y)dy + (xy + 2z)dz = 0 Determinar la familia de superficies ortogonales a las l´ıneas vectoriales del campo asociado. El campo vectorial asociado es F = (6x + yz)i + (xz − 2y)j + (xy + 2z)k luego rotF ≡ 0. Entonces F = ∇S siendo I (x,y,z) I (x,y,z) S= P dx + Qdy + Rdz = (6x + yz)dx + (xz − 2y)dy + (xy + 2z)dz (x0 ,y0 ,z0 )

(0,0,0)

2. Ecuaciones cuasilineales de primer orden

53

Tomemos como camino de integraci´on una l´ınea quebrada con segmentos paralelos a los ejes de coordenadas. Integrando obtenemos S = 3x2 − y 2 + z 2 + xyz Por tanto la integral buscada ser´a S = c, es decir 3x2 − y 2 + z 2 + xyz = c

Si el campo no es potencial, en ciertos casos se puede escoger un factor escalar µ(x, y, z) tal que µF = ∇S es potencial. Ejemplo 2.6. Sea dada la ecuaci´ on de Pfaff dx + e−x dy = 0 Determinar la familia de superficies ortogonales a las l´ıneas vectoriales del campo asociado. El campo vectorial asociado es F = i + e−x j = (1, e−x , 0) Calculando su rotacional se tiene rotF = (0, 0, −e−x ) 6= 0 luego el campo F no deriva de un potencial. Sin embargo si multiplicamos el campo F por la funci´on escalar µ(x, y, z) = ex se tiene que el campo G = µF = ex i + j = (ex , 1, 0) es irrotacional (verificarlo por ejercicio) luego G = µF = ∇S es potencial, siendo I

I

(x,y,z)

S=

(x,y,z)

P dx + Qdy + Rdz = (x0 ,y0 ,z0 )

(0,0,0)

Integrando se obtiene S = ex + y Por tanto la integral buscada ser´a S = c, es decir ex + y = c

ex dx + dy

54

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

Observaci´ on 2.1. Observamos que las l´ıneas vectoriales del campo F = (1, e−x , 0) son exactamente iguales a las l´ıneas vectoriales del campo G = (ex , 1, 0) puesto que verifican la misma ecuaci´ on caracter´ıstica: dy dx = −x 1 e N´otese aqu´ı la relaci´on entre las ecuaciones de Pfaff y las ecuaciones diferenciales exactas (v´ease las secciones 2.5, 2.6 del cap´ıtulo 13 del gui´on de primero). Las ecuaciones de Pfaff se pueden integrar s´olo si el campo vectorial de coeficientes asociado a la ecuaci´on de Pfaff es potencial o si existe una funci´on (factor integrante de la ecuaci´on) tal que el producto de esta funci´on escalar por el campo vectorial es un campo potencial. En estos casos la ecuaci´on de Pfaff es una EDO exacta (o reducible a una EDO exacta) y es directamente resoluble. Se puede demostrar que la condici´ on necesaria y suficiente para que exista un factor integrante µ es que se cumpla la ecuaci´on F · rotF = 0 (es decir que los vectores F y rotF sean ortogonales). Si esta condici´on (llamada condici´on de integraci´ on total) no se cumple, entonces no existe ninguna familia de superficies S(x, y, z) = c ortogonales a las l´ıneas vectoriales del campo F (x, y, z). N´otese que en el ejemplo (2.6) la condici´on F · rotF = 0 se cumple. Ejemplo 2.7. Dada la ecuaci´ on de Pfaff zdx + (x − y)dy + zydz = 0 se verifica que la condici´ on F · rotF = 0, donde F = zi + (x − y)j + zyk no se cumple. En este caso la ecuaci´on de Pfaff no es integrable directamente y hace falta utilizar unas t´ecnicas que desbordan los objetivos del curso. M´as detalles se pueden encontrar en el libro de Elsgoltz 25 .

2.2.

Introducci´ on progresiva de las EDP hiperb´ olicas de primer orden

Se entiende por introducci´on progresiva la presentaci´on de distintos modelos de dificultad creciente para el entendimiento del proceso de resoluci´on de EDP de tipo 25

Elsgoltz, L. (1983). Ecuaciones diferenciales y c´alculo variacional. III Ed. Editorial Mir.

2. Ecuaciones cuasilineales de primer orden

55

hiperb´olico. Un libro de texto interesante en este sentido es el libro de Strikwerda26 .

Empezaremos considerando la estructura de un problema de valor inicial para una ecuaci´on en derivada parciales de primer orden lineal o cuasilineal, homog´enea o no homog´enea. Extenderemos el an´alisis al caso de sistemas de EDP de primer orden y discutiremos el importante papel de las caracter´ısticas en el proceso de resoluci´on de tales problemas. Tras considerar, en las secciones siguientes, los problemas de contorno (en dominios espacialmente acotados), pasaremos al estudio de los problemas de valor inicial y de contorno, definiendo los conceptos de problemas bien puestos y problemas mal puestos. 2.2.1.

El caso lineal homog´ eneo con coeficientes constantes

El prototipo de todas las EDP hiperb´olicas de primer orden (en particular de las homog´eneas con coeficientes constantes) es la ecuaci´on de onda uni-direccional (conocida tambi´en con el nombre de ecuaci´ on de advecci´ on o de convecci´on): ut + V u x = 0

(30)

siendo V una constante: V ∈ IR. Los sub´ındices denotan, como siempre, los operadores de derivaci´on parcial ux = ∂u/∂x y ut = ∂u/∂t. Un problema de valores iniciales consiste en prescribir el comportamiento de u en un instante inicial, t = 0, digamos u(x, 0) = u0 (x), ∀ x ∈ IR y en determinar los valores de u(x, t), ∀ x ∈ IR, ∀ t > 0. Es decir, determinar u(x, t) tal que   ∂u + V ∂u = 0 0 < x < ∞, ∂t ∂x  u(x, 0) = u0 (x), 0 < x < ∞,

t>0

(31)

t=0

Es f´acil comprobar que la soluci´on del problema de valor inicial (31) es: u(x, t) = u0 (x − V t)

(32)

Se puede adem´as demostrar (utilizando los resultados de la secci´on (2.1.4), concretamente el teorema (2.2)) que la soluci´on dada es la u ´nica soluci´on del problema de valor inicial. En efecto, parametrizamos la curva inicial Γ0 : x = f (s) = s, 26

y = g(s) = 0,

u = u0 (s)

Strikwerda J. C., Finite Difference Schemes and Partial Differential Equations. Chapman & Hall. International Thomson Publishing. 1989

56

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

e identificamos F = (P, Q, R) = (V, 1, 0). Se tiene entonces que ∆ = Qf 0 − P g 0 = 1 6= 0

La f´ormula de la soluci´on (32) puede decirnos varias cosas: en primer lugar nos dice que en cualquier instante la soluci´on es una copia del dato inicial obtenida por simple traslaci´on hacia la derecha si V > 0 y la izquierda si V < 0. Otra forma de verlo consiste en observar que la soluci´on depende s´olo de ξ = x − V t. Las rectas del plano (x, t) donde ξ es constante se llaman caracter´ısticas. El par´ametro V tiene las dimensiones de una distancia dividida por el tiempo y se llama la velocidad de propagaci´on a lo largo de las caracter´ısticas. Es decir que se puede interpretar la soluci´on como una onda que se propaga con velocidad constante V sin cambiar de forma a lo largo de la direcci´on x (de ah´ı el nombre de ecuaci´on de onda unidimensional). Un segundo aspecto relevante de la f´ormula u(x, t) = u0 (x − V t) es que tiene sentido aunque u0 no sea diferenciable mientras la ecuaci´on parece tener sentido s´olo si u es diferenciable. En general, se admitir´an soluciones discontinuas para las EDP hiperb´olicas27 .

2.2.2.

El caso lineal no homog´ eneo con coeficientes constantes

Para ilustrar con m´as detalle el concepto de caracter´ıstica consideraremos ahora la EDP hiperb´olica m´as general: ut + V ux + bu = f (x, t),

(33)

siendo V y b constantes, complementada con la condici´ on inicial u(0, x) = u0 (x). Se trata por tanto de resolver el problema de valor inicial   ∂u + V ∂u + bu = f (x, t) 0 < x < ∞, ∂t ∂x  u(x, 0) = u0 (x), 0 < x < ∞,

t>0

(34)

t=0

Si b = 0 y f ≡ 0 recuperamos (31). Un cambio de variables lineal del tipo τ = t,

ξ =x−Vt

=⇒

t = τ,

x=ξ+Vτ

junto a u(x, t) = u(ξ + V τ , τ ) = u˜(ξ, τ ) 27

Un ejemplo de soluci´on discontinua es una onda de choque (shock wave), t´ıpica de las ecuaciones no lineales. V´ease la secci´on dedicada a las soluciones discontinuas.

2. Ecuaciones cuasilineales de primer orden

57

(las variables u˜ y u representan la misma funci´on pero la tilda es necesaria para distinguir entre los dos sistemas ((x, t) y (ξ, τ )) de coordenadas para las variables independientes) permite escribir (33) en la forma   ∂ u˜ + b˜ u = f (ξ + V τ , τ ) −V τ < ξ < ∞, τ > 0 ∂τ  u˜(ξ, 0) = u0 (ξ), 0 < ξ < ∞, τ = 0

(35)

que es una EDO en τ (aunque ξ sea s´olo un par´ametro, la funci´on u˜ depende formalmente de las dos variables (τ , ξ); de ah´ı el significado del s´ımbolo de derivaci´on parcial a´ un cuando se puede considerar la ecuaci´on en el sentido de una EDO) que se complementa con la condici´on inicial u˜(ξ, 0) = u0 (ξ). El problema de valor inicial asociado se puede resolver por la f´ormula de variaci´on de las constantes (v´ease la secci´on correspondiente de los guiones de primer curso para la deducci´on de la f´ormula mediante el m´etodo de Lagrange): Z τ −bτ u˜(ξ, τ ) = u0 (ξ)e + f (ξ + V σ, σ)e−b(τ −σ) dσ 0

Volviendo a las variables originales tenemos una representaci´on para la soluci´on dada por: Z u(x, t) = u0 (x − V t)e

−bt

t

+

f (x − V (t − s), s)e−b(t−s) ds

(36)

0

A partir de (36) se deduce que u(x, t) depende s´olo del valor de u0 (x) en el punto x∗ tal que x∗ = x − V t y del valor de f (x, t) en todos los puntos de la caracter´ıstica que pasa por (x∗ , 0) para 0 ≤ t0 ≤ t. Este m´etodo de resoluci´on se puede f´acilmente extender a ecuaciones del tipo ut + V ux = f (x, t, u),

u(x, 0) = u0 (x)

(37)

complementadas con u(x, 0) = u0 (x). Se puede mostrar (se deja como ejercicio propuesto) que (37) es equivalente a la familia de P.V.I.: ∂ u˜ = f (ξ + V τ , τ , u˜), (38) ∂τ con u˜(ξ, 0) = u0 (ξ). La relaci´on entre la soluci´on del problema original (37) y la soluci´on del problema (38) viene dada por u(x, t) = u˜(x − V t, t) No siempre es posible resolver expl´ıcitamente el problema (38). En tales casos es necesario acudir a m´etodos num´ericos.

58

2.3.

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

Sistemas hiperb´ olicos con coeficientes constantes

Consideraremos sistemas hiperb´olicos espacialmente unidimensionales, ~x = x ∈ IR, ~ es un vector de dimensi´on d: con coeficientes constantes. La variable U ~ =U ~ (x, t) = (u1 (x, t), ..., ud (x, t)) ∈ IRd , U

d≥2

Definici´ on 2.3. Un sistema de la forma ~ t + [A]U ~ x + [B]U ~ = F~ (x, t) U

(39)

se dice que es hiperb´ olico si la matriz [A] es diagonalizable con autovalores reales. Los autovalores ai de [A] se denominan velocidades caracter´ısticas del sistema. Recu´erdese que si [A] es diagonalizable entonces existe una matriz no singular [P ] tal que [D] = [P −1 ][A][P ], siendo [D] una matriz diagonal. En el caso particular de que [B] ≡ 0, definiendo entonces el cambio de variables ~ = [P −1 ]U ~ se tiene: W ~ t + [D]W ~ x = [P −1 ]F~ (x, t) = G(t, ~ x) W es decir wti + λi wxi = g i (t, x),

i = 1...d

~ = (w1 , ...wd ), que es de la forma (33) para las componentes de los vectores W ~ = (g 1 , ...g d ) y los autovalores λi , i = 1, .., d de la matriz del sistema [A]. G Por tanto, cuando [B] ≡ 0 el sistema hiperb´olico se reduce a un sistema desacoplado de ecuaciones hiperb´olicas escalares independientes que se resuelven por separado. Consideraremos esta situaci´on en el siguiente ejemplo, donde supondremos [B] ≡ 0 y F~ (x, t) ≡ 0 (caso homog´eneo). Ejemplo 2.8. Se considera el PVI dado por el sistema hiperb´ olico   ut + 2ux + vx = 0  v + u + 2v = 0 t x x y las condiciones iniciales ( u(x, 0) = u0 (x) = Encontrar su soluci´on.

1 |x| ≤ 1 0 |x| > 1

,

v(x, 0) = v0 (x) = 0

2. Ecuaciones cuasilineales de primer orden

59

Se utiliza la teor´ıa matricial, concretamente la t´ecnica de diagonalizaci´on de matrices cuadradas. El sistema se puede escribir en la forma      u 2 1 u   +   = 0 v 1 2 v t

x

~ = (u, v). Es decir siendo U  ~ t + [A]U ~ x = 0, U

[A] = 

2 1

 

1 2

Es f´acil ver que la matriz [A] (que es sim´etrica) tiene autovalores λ1 = 3,

λ2 = 1

Los autovectores son ~µ1 = (1, 1) y ~µ2 = (1, −1). La matriz es diagonalizable y el ~ = [P −1 ]U ~ . N´otese que la matriz sistema se puede desacoplar mediante el cambio W [P ] viene dada por (escribiendo en columna las componentes de los autovectores ~µ1 y ~µ2 )  [P ] = 

1

1

 ,

1 −1



 1 1  2 2   [P −1 ] =   1 1  − 2 2

luego     1 1 1 w  2 (u + v)  2 2  u   =   =   1  1 1 2 v w − (u − v) 2 2 2 

1





   

Un simple razonamiento nos confirma que el cambio de coordenadas a efectuar es el anterior. En efecto, sumando y restando las dos ecuaciones ut + 2ux + vx = 0,

vt + ux + 2vx = 0

60

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

el sistema se puede reescribir en la forma 1 [(u + v)t + 3(u + v)x ] = 0, 2 1 [(u − v)t + (u − v)x ] = 0, 2

0 0 las caracter´ısticas en esta regi´on son l´ıneas rectas que se propagan de izquierda a derecha. Podemos prescribir la soluci´on en la frontera x = 0, junto a una condici´on inicial, para que la soluci´on est´e definida ∀ t ≥ 0. Por otra parte no podemos prefijar arbitrariamente la funci´on en la otra frontera (x = 1) pues la soluci´on podr´ıa estar sobre determinada (es decir podr´ıa no existir una soluci´on que cumpla todas las condiciones impuestas). Si especificamos un dato inicial u(x, 0) = u0 (x) y un dato de contorno

66

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

u(0, t) = g(t) entonces la soluci´on del problema de valor inicial y de contorno constituido por la ecuaci´on (43) y las condiciones l´ımite anteriores es ( u(x, t) =

u0 (x − V t) x − V t > 0 g(t − V −1 x) x − V t < 0

A lo largo de la caracter´ıstica dada por x − V t = 0 tendremos una discontinuidad de salto en u si u0 (x = 0) 6= g(t = 0). Si V < 0 el papel de las dos fronteras se invierte y el an´alisis es similar. Ejemplo 2.11. Calcular la soluci´on de la ecuaci´ on ∂u ∂u + = 0, ∂t ∂x

0 < x < ∞,

t>0

complementada con la condici´ on de contorno u(0, t) = g(t) = 2t,

t>0

y la condici´ on inicial ( u(x, 0) = u0 (x) =

x(x − 2) 0 ≤ x ≤ 2 2(x − 2) x ≥ 2

Puesto que V ≡ 1 se tiene que la soluci´on es ( u0 (x − t) x − t > 0 u(x, t) = g(t − x) x − t < 0 N´otese que en el origen (x, t) = (0, 0) se tiene u0 (0) = g(0) y no hay discontinuidad de salto. Expl´ıcitamente (utilizando los datos del problema) la expresi´on de la soluci´on es )  ( (x − t)(x − t − 2) 0 < x − t ≤ 2   x−t>0 u(x, t) = 2(x − t − 2) x−t≥2   2(t − x) x−t 0 luego la expresi´on anterior de la soluci´on es v´alida s´olo en la regi´on tal que s = x − t > 0. De manera an´aloga, si u(0, t) = g(t), la soluci´on a lo largo de la caracter´ıstica t − t0 = x que pasa por el punto (0, t0 ) es u(x, t) = g(t0 ) = g(t − x) Puesto que el dato de contorno viene dado para t > 0, se tiene que g(s) est´a definida para s > 0 luego la expresi´on anterior de la soluci´on es v´alida s´olo en la regi´on tal que s = t − x > 0. Juntando las dos expresiones se tiene ( u(x, t) =

2.6.1.

u0 (x − t) x − t > 0 g(t − x) x − t < 0

∗

Problemas de valor inicial y de contorno para sistemas de primer orden con coeficientes constantes

Consideremos ahora el sistema hiperb´olico      u1 a b u1   +   = 0, 2 2 u b a u t

0 ≤ x ≤ 1,

t≥0

(44)

x

Los autovalores (o velocidades caracter´ısticas) del sistema son λ1 = a + b,

λ2 = a − b

Considereremos s´olo el caso donde a y b son positivos. Si 0 < b < a, entonces los autovalores son ambos positivos y las dos familias de caracter´ısticas se propagan de ~ = (u1 , u2 )T se debe izquierda a derecha. Esto significa que la soluci´on (vector) U prefijar en x = 0 y ning´ un dato se debe especificar en x = 1. N´otese que la pendiente de las caracter´ısticas es el inverso de la velocidad (a−1 ), luego las caracter´ısticas m´as lentas ser´an aquellas con mayor pendiente. El caso m´as interesante se da cuando 0 < a < b. Los autovalores son de signo contrario y las familias de caracter´ısticas se propagan en direcciones opuestas. Escribimos el sistema en la forma

68

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

 

u1 + u2 1

u −u

2





 + t

a+b 0

0

 

a−b

u1 + u2 1

u −u

2

  = 0, x

donde las ecuaciones se tienen que verificar para 0 ≤ x ≤ 1 y t ≥ 0. Ciertamente una forma de determinar una u ´nica soluci´on consiste en prescribir u1 + u2 en x = 0 y prescribir u1 − u2 en x = 1. Sin embargo existen otras posibilidades. Por ejemplo, cualquier condici´on de la forma u1 + u2 = α0 (u1 − u2 ) + β 0 (t)

en x = 0

u1 − u2 = α1 (u1 + u2 ) + β 1 (t)

en x = 1

(45)

determinar´a (´ unicamente) la soluci´on del problema. Los coeficientes α0 , α1 pueden ser funciones de t o constantes. Las condiciones de contorno que determinan una u ´nica soluci´on se dicen bien puestas y el problema se dice bien planteado. Las condiciones (45) est´an bien puestas para el sistema (44). Adem´as son las u ´nicas condiciones bien puestas posibles para el sistema (44). Las condiciones de contorno (45) expresan el valor de las variables caracter´ısticas en la caracter´ıstica entrante 29 en t´erminos de la variable caracter´ıstica saliente. Por tanto, si especificamos u1 o u2 en x = 0 el problema est´a bien planteado y las condiciones bien puestas. Especificar u1 o u2 en x = 1 tambi´en genera un problema bien planteado con condiciones bien puestas. Sin embargo, especificar u1 − u2 en x = 0 o especificar u1 + u2 en x = 1 origina un problema mal planteado pues las condiciones est´an mal puestas. Para que un problema hiperb´olico de valores iniciales y de contorno est´e bien puesto, el n´ umero de condiciones de contorno debe ser igual al n´ umero de caracter´ısticas entrantes en el dominio. Ejemplo 2.12. Consid´erese el sistema hiperb´ olico (44) en el intervalo [0, 1], con a = 0 y b = 1 y las condiciones de contorno u1 (0, t) = 0 (en la frontera lateral izquierda) y u1 (1, t) = 1 (en la frontera lateral derecha). Determinar su soluci´on siendo u1 (x, 0) = x y u2 (x, 0) = 1 los datos iniciales. Las condiciones de contorno est´an bien puestas pues son del tipo (45) para los valores param´etricos α0 = −1, α1 = −1 y las funciones β 0 (t) ≡ 0, β 1 (t) ≡ 2. Los autovalores (o velocidades caracter´ısticas) del sistema son λ1 = a + b = 1, 29

λ2 = a − b = −1

Por caracter´ıstica entrante se entiende una caracter´ıstica que entra en el dominio en la frontera considerada. Una caracter´ıstica saliente es una que deja el dominio.

2. Ecuaciones cuasilineales de primer orden

69

Escribimos el sistema en la forma  

u1 + u2 1

u −u

2





 +

1

0

 

1

u −u

0 −1

t

u1 + u2 2

  = 0, x

donde las ecuaciones se tienen que verificar para 0 ≤ x ≤ 1 y t ≥ 0. Introduciendo, 1 1 como antes, las componentes w1 = (u1 + u2 ) y w2 = (u1 − u2 ) se tiene 2 2  

w1 w2





 + t

1

0

0 −1

 

w1 w2

  = 0, x

y nos hemos reconducido a resolver los dos PVI para las componentes (w1 , w2 )  1 1  wt + wx = 0  w1 (x, 0) = 1 (u1 (x) + u2 (x)) = 1 (x + 1) 0 2 0 2  2 2  wt − wx = 0 (46)  w2 (x, 0) = 1 (u1 (x) − u2 (x)) = 1 (x − 1) 0 2 0 2 donde las condiciones de contorno se deducen a partir de los datos del problema. La soluci´on es por tanto 1 w1 (x, t) = w01 (x − t) = (x − t + 1), 2

1 w2 (x, t) = w02 (x + t) = (x + t − 1) 2

En t´erminos de las componentes originales (u(x, t), v(x, t)) se tiene u1 (x, t) = w1 + w2 = w01 (x − t) + w02 (x + t) = x u2 (x, t) = w1 − w2 = w01 (x − t) − w02 (x + t)] = 1 − t Se comprueba directamente que las condiciones de contorno para la componente u1 en las fronteras laterales est´an satisfechas.

2.6.2.

∗

Problemas peri´ odicos

Es posible considerar tambi´en problemas peri´ odicos. Por ejemplo, supongamos que se quiera resolver la ecuaci´on de onda unidimensional en el intervalo [0, 1], donde la soluci´on satisface u(0, t) = u(1, t), ∀t ≥ 0

70

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

Esta condici´on se llama condici´on de contorno peri´odica. Un problema peri´odico para una funci´on u(x, t) con x ∈ [0, 1] es equivalente a un problema en la recta real sustituyendo la condici´on anterior por u(x, t) = u(x + p, t),

∀ t ≥ 0,

∀ p entero

N´otese que, hablando con rigor, una condici´on de tipo peri´odico no es una condici´on de contorno puesto que para las soluciones de los problemas peri´odicos no existe frontera (o contorno). No se aplican por tanto los comentarios hechos sobre las condiciones de contorno bien (y mal) puestas.

2.7.

∗

Sistemas de leyes de conservaci´ on: la notaci´ on de operadores

En esta secci´on presentamos la forma general de un sistema de leyes de conservaci´on en varias variables espaciales y daremos un ejemplo importante que aparece en la f´ısica matem´atica al describir la din´amica de gases. Sea Ω una regi´on abierta de IRn y sean fj , 1 ≤ j ≤ d funciones de clase C 1 tales que fj : Ω ⊂ IRn → IRn , es decir: sean dadas d funciones vectoriales de n variables suficientemente regulares para que est´e bi´en definido y sea continuo el gradiente de cada una de ellas. Consideraremos el sistema de n ecuaciones de conservaci´on dado por d ∂u X ∂fj + (u) = 0 (47) ∂t ∂xj j=1 para x = (x1 , ..., xd ) ∈ IRd y t > 0, y donde u = (u1 , ..., un ) es un campo vectorial u : IRd × (0, +∞) → Ω. El sistema (47) se puede escribir en la forma de divergencia ut + divf (u) = 0 siendo f una funci´on matricial con valores en Mnd . El conjunto Ω se llama el conjunto de estados (del sistema). Las funciones fj = (f1j , ..., fnj ) (es decir las componentes vectoriales de la funci´on matricial) se llaman las funciones de flujo. Formalmente el sistema (47) expresa la conservaci´on de las cantidades u1 , ..., un . En efecto, sea D un dominio arbitrario de IRd y sea n = (n1 , ..., nd ) el vector normal unitario exterior a la frontera ∂D de D. Entonces integrando la ecuaci´on (47) en D ⊂ IRd y aplicando el teorema de la divergencia (en el caso d-dimensional) se tiene d dt

Z udx + D

d Z X j=1

fj (u)nj dS = 0 ∂D

2. Ecuaciones cuasilineales de primer orden

71

Esta Z ecuaci´on de equilibrio (balance) tiene un significado muy natural: la variaci´on de udx, representada por D Z d udx dt D es igual a las p´erdidas a trav´es de la frontera: d Z X j=1

fj (u)nj dS ∂D

Caracterizaremos ahora los sistemas estr´ıctamente hiperb´olicos30 . Para ello se calcula la matriz jacobiana de cada funci´on de flujo fj (u) dada por µ ¶ ∂fij [Aj (u)] = (u) ∂uk 1≤i,k≤n El sistema (47) se dice hiperb´ olico si, ∀ u ∈ Ω y cada w = (w1 , ..., wd ) la matriz

[A(u, w)] =

d X

wj Aj (u)

j=1

tiene n autovalores reales λ1 (u, w) ≤ λ2 (u, w) ≤ .......... ≤ λn (u, w) ≤ ... y n correspondientes autovectores linealmente independientes r1 (u, w), r2 (u, w), ........ , rn (u, w) Si adem´as los autovalores son todos distintos entonces el sistema (47) se denomina estr´ıctamente hiperb´ olico. Definimos finalmente el problema de Cauchy para sistemas de leyes de conservaci´on. Definici´ on 2.5 (Problema de Cauchy). Determinar una funci´on u : IRd × [0, +∞) → Ω,

u = u(x, t) ∈ Ω

que satisfaga la ecuaci´on (47) y la condici´ on inicial u(x, 0) = u0 (x),

x ∈ IRd

siendo u0 : IRd → Ω una funci´on dada. 30

N´ otese que la mayor´ıa de los sistemas de leyes de conservaci´on que aparecen en las aplicaciones son hiperb´olicos. M´as exactamente, son simetrizables y esto implica que son hiperb´olicos. La simetrizabilidad se debe a la existencia de una funci´on de entrop´ıa. M´as detalles se pueden encontrar en el libro de Godlewski y Raviart que aparece en la bibliograf´ıa avanzada.

72

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

Como aplicaci´on de lo anterior consideraremos ahora las ecuaciones de las din´amicas de los gases en coordenadas eulerianas31 (~x, t) = (x1 , x2 , x3 , t). Lo que haremos ser´a escribir estas ecuaciones en la forma de una u ´nica ecuaci´on de conservaci´on del tipo (47). Ejemplo 2.13. Un ejemplo muy importante en las aplicaciones es el sistema de ecuaciones que gobierna la din´amica de los gases. Despreciando la conducci´ on de calor, las ecuaciones de Euler para un fluido compresible no viscoso (un gas) son  3  ∂ρ X ∂   + (ρvj ) = 0    ∂t ∂xj  i=1    3  ∂ X ∂ (ρvi vj + pδ ij ) = 0, (ρvi ) +  ∂t ∂xj  i=1    3  X  ∂ ∂   ((ρe + p)vj ) = 0   ∂t (ρe) + ∂xj i=1

1≤i≤3

(48)

siendo ρ la densidad del fluido, v = (v1 , v2 , v3 ) la velocidad, p la presi´on, ² la energ´ıa interna espec´ıfica (por unidad de masa), e = ² + kuk/2 la energ´ıa total espec´ıfica y δ ij el s´ımbolo de Kronecker: δ ij = 1 si i = j, δ ij = 0 si i 6= j. Las ecuaciones (48) expresan las leyes de conservaci´on de la masa, del momento y de la energ´ıa total del fluido. Se tienen que complementar con una ecuaci´on de estado (que caracteriza el gas estudiado) que suele ser del tipo p = p(ρ, ²)

(49)

Las ecuaciones (48) y (49) constituyen un sistema de 5 + 1 = 6 ecuaciones en las 6 variables (ρ, v1 , v2 , v3 , p, ²). En el caso de un gas ideal politr´opico la ecuaci´on de estado ser´ıa por ejemplo p = (γ − 1)ρ², siendo γ > 1. Si definimos mi = ρvi , i = 1.,3, E = ρe el sistema (48) se puede escribir en la forma de una u ´nica ecuaci´on vectorial del tipo (47): d

∂Φ X ∂fj + (Φ) = 0 ∂t ∂x j j=1 31

Utilizar coordenadas eulerianas consiste en dar una descripci´on espacial de la regi´on considerada. Se centra as´ı la atenci´on en los puntos del espacio en lugar de seguir la evoluci´on temporal de las pat´ıculas que componen la distribuci´on de masas inicial del sistema (lo que equivaldr´ıa a una descripci´on lagrangiana (o material)).

3. Ecuaciones lineales de segundo orden

73

siendo la inc´ognita dada por el campo vectorial   ρ    m1      Φ =  m2  ,    m  3   E las funciones de flujo dadas por    m2 m1     m1 m2 /ρ  p + m21 /2        f1 (Φ) =  m1 m2 /ρ  , f2 (Φ) =  p + m22 /ρ     m m /ρ  m m /ρ  2 3 1 3    (E + p)m2 /ρ (E + p)m1 /ρ





         , f3 (Φ) =       

m3 m1 m3 /ρ m2 m3 /ρ p + m23 /ρ (E + p)m3 /ρ

la ecuaci´on de estado p = p(ρ, (E − |m|2 /2ρ)/ρ) = (γ − 1)(E − |m|2 /2ρ) y el conjunto de estados Ω = {(ρ, m = (m1 , m2 , m3 ), E) / ρ > 0, m ∈ IR3 , E − |m|2 /2ρ > 0} donde aparecen las condiciones de admisibilidad f´ısica de las soluciones del problema.

3.

Ecuaciones lineales de segundo orden

La forma general de una ecuaci´on diferencial en derivadas parciales lineal de segundo orden con dos variables independientes x, y es ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u + B(x, y) + C(x, y) + a(x, y) + b(x, y) + c(x, y)u = f (x, y) 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y (50) siendo A, B, C, a, b, c, f funciones reales. Si las funciones A, B, C son id´enticamente nulas, es decir A(x, y) = B(x, y) = C(x, y) ≡ 0 en un dominio Ω ⊂ IR2 entonces la ecuaci´on es de primer orden y se estudia con las t´ecnicas expuestas en las dos primeras secciones de este tema. Si f (x, y) ≡ 0 en Ω entonces la ecuaci´on se dice que es homog´ enea, y en caso contrario, no homog´ enea. Al designar el primer A(x, y)

     ,   

74

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

miembro de (50) por L[u] (notaci´on de operadores) se puede escribir de forma m´as compacta la ecuaci´on (50) como: L[u] = f (x, y) siendo la ecuaci´on homog´enea correspondiente L[u] = 0. Aqu´ı L es el operador diferencial lineal definido en el espacio C 2 (D) mediante la funci´on u(x, y). Con m´as precisi´on, se define el operador L[·] : C 2 (D) → C(D) por µ L[u] =

¶ ∂2 ∂2 ∂2 ∂ ∂ A(x, y) 2 + B(x, y) + C(x, y) 2 + a(x, y) + b(x, y) + c(x, y) [u] ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y

El operador L es, evidentemente, lineal pues verifica L[αu + βv] = αL[u] + βL[v],

∀ u, v ∈ C 2 (Ω),

∀ α, β ∈ IR

Observaci´ on 3.1. N´ otese que no todos los operadores son lineales. Por ejemplo, el operador L tal que µ ¶2 µ ¶2 ∂u . ∂u + L[u] = ∂x ∂y no lo es. En realidad, muchos problemas f´ısicos implican operadores no lineales. Las hip´otesis de simplificaci´ on que se suelen hacer al considerar un modelo matem´atico de la realidad f´ısica est´an dirigidas a sustituir un operador no lineal por uno lineal. Esto es t´ıpico, en el sentido de que es posible aproximar las soluciones de muchos problemas sustituyendo operadores no lineales por otros lineales. En el tratamiento anal´ıtico exacto desarrollado en este curso nos referiremos tan s´olo a tales casos. El mundo no lineal ser´a considerado en el cap´ıtulo dedicado a la aproximaci´ on num´erica. Ya sabemos (v´ease el tema de EDO del primer curso) que si una EDO es lineal y homog´enea entonces a partir de soluciones conocidas es posible generar otras soluciones por superposici´on. Para una EDP lineal homog´enea la situaci´on es parecida. En efecto, utilizando la linealidad del operador L, se tienen las siguientes propiedades de las soluciones de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales:

PROPIEDADES

1. Caso homog´ eneo.

3. Ecuaciones lineales de segundo orden

75

Teorema 3.1. Si u(x, y) es una soluci´on de la ecuaci´ on en derivadas parciales lineal homog´enea L[u] = 0 entonces cu(x, y) (donde c es una constante cualquiera) es tambi´en soluci´on de L[u] = 0. Teorema 3.2. Si u1 (x, y) y u2 (x, y) son soluciones de la ecuaci´ on en derivadas parciales lineal homog´enea L[u] = 0 entonces la suma u1 (x, y) + u2 (x, y) es tambi´en soluci´on de L[u] = 0. Los teoremas anteriores se resumen diciendo que el conjunto de soluciones de una EDP lineal homog´enea es un espacio vectorial. De otra forma, si cada una de las funciones u1 (x, y), u2 (x, y), ... uk (x, y) es soluci´on de la ecuaci´on lineal homog´enea L[u] = 0 entonces la combinaci´on lineal c1 u1 (x, y) + c2 u2 (x, y) + .... + ck uk (x, y) donde ci , i = 1, ...k son constantes reales arbitrarias, tambi´en es soluci´on de esta ecuaci´on. N´otese que esta propiedad tiene lugar tambi´en para las EDO lineales homog´eneas (v´ease la definici´on de sistema fundamental de soluciones para una EDO lineal homog´enea de orden n de la secci´on 3 del cap´ıtulo 13 del gui´on del primer curso). Sin embargo una EDO lineal homog´enea de orden n tiene exactamente n familias de soluciones (un n´ umero finito por tanto) linealmente independientes (cuya combinaci´on lineal genera la soluci´on general de la EDO). Una EDP lineal homog´enea puede tener un conjunto infinito de soluciones linealmente independientes. Consecuentemente para EDP lineales homog´eneas tendremos que operar no s´olo con combinaciones lineales de un n´ umero finito de soluciones, sino tambi´en con las series infinitas32 ∞ X

cn un (x, y)

n=1

Es decir, el conjunto de soluciones de una EDP del tipo (50) es un espacio lineal (vectorial) de dimensi´on infinita contrariamente a lo que ocurr´ıa con las EDO de orden n cuyo espacio de soluciones tiene dimensi´on n. 2. Caso no homog´ eneo. Teorema 3.3. Si u(x, y) es soluci´on de la EDP lineal no homog´enea L[u] = f 32

Nos encontraremos con este tipo de soluciones, en forma de series infinitas, al resolver las EDP con el m´etodo de separaci´on de variables (tema 2 de este gui´on).

76

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

y v(x, y) es soluci´on de la EDP homog´enea correspondiente L[u] = 0, entonces la suma u + v es soluci´on de la EDP no homog´enea L[u] = f . Se tiene adem´as el siguiente resultado conocido con el nombre de Principio de superposici´ on. Teorema 3.4. Si u1 (x, y) es una soluci´on de la ecuaci´ on L[u] = f1 y u2 (x, y) es una soluci´on de L[u] = f2 entonces u1 + u2 es soluci´on de la ecuaci´ on L[u] = f1 + f2 .

En el pr´oximo tema veremos que el principio de superposici´on tiene una gran aplicaci´on en el proceso de resoluci´on de los problemas de contorno y/o iniciales para EDP lineales de segundo orden.

3.1.

Ecuaciones de segundo orden: curvas caracter´ısticas y clasificaci´ on

Sea dada la ecuaci´on diferencial lineal general de segundo orden (50): A(x, y)

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u + B(x, y) + C(x, y) + a(x, y) + b(x, y) + c(x, y)u = f (x, y) 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y

en cierta regi´on Ω ⊂ IR2 . Esta ecuaci´on, en un punto (x, y), se denomina hiperb´olica, parab´olica o el´ıptica seg´ un el siguiente criterio:

3. Ecuaciones lineales de segundo orden

77

´ CRITERIO DE CLASIFICACION 1. La ecuaci´on (50) es hiperb´ olica en Ω si: ∆ = B 2 − 4AC > 0

en Ω.

olica en Ω si: 2. La ecuaci´on (50) es parab´ ∆ = B 2 − 4AC ≡ 0

en Ω.

3. La ecuaci´on (50) es el´ıptica en Ω si: ∆ = B 2 − 4AC < 0

en Ω.

N´otese que las funciones coeficientes a, b y c de los t´erminos de primer orden no aparecen en absoluto en el criterio de clasificaci´on. Esto se interpreta diciendo que los t´erminos de primer orden no pueden modificar la naturaleza de una ecuaci´on lineal de segundo orden. Es decir, los t´erminos de primer orden influyen cuantitativamente pero no cualitativamente en las soluciones de la ecuaci´on. A partir del tipo de ecuaci´on considerado se pueden deducir importantes propiedades que sugieren no s´olo qu´e m´etodos de resoluci´on son adecuados sino tambi´en criterios para determinar si un problemas est´a bien planteado o no. Los conceptos de hiperbolicidad, parabolicidad y elipticidad son locales, es decir, se tienen en un punto concreto (x0 , y0 ). El conjunto de los puntos donde se tienen estas propiedades son las regiones donde la ecuaci´on (o el operador diferencial que la define) es hiperb´olica, parab´olica y el´ıptica. Ejemplo 3.1. Clasificar la ecuaci´ on de Tricomi uxx + xuyy = 0. Se trata evidentemente de una EDP de segundo orden lineal y homog´enea. Identificando coeficientes se tiene A(x, y) ≡ 1,

B(x, y) ≡ 0,

C(x, y) = x

Por tanto, B 2 − 4AC = −4x, luego la ecuaci´on es hiperb´olica si x < 0 y es el´ıptica si x > 0. Si x = 0 (en el eje y) la ecuaci´on es degenerada, pues cambia de tipo pasando de EDP a EDO (param´etrica). olico, parab´ olico y el´ıptico derivan de la clasiObservaci´ on 3.2. Los t´erminos hiperb´ ficaci´ on t´ıpica (de la geometr´ıa anal´ıtica) de las curvas cuadr´aticas (c´onicas).

78

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

Formas can´ onicas Haciendo unos cambios adecuados en las variables independientes, ξ = f (x, y),

η = g(x, y),

f, g ∈ C 2

y aplicando la regla de la cadena obtenemos las siguientes formas can´onicas: 1. La ecuaci´on (50) es hiperb´ olica en Ω si se puede reconducir a una de las dos siguientes expresiones: ¶ ¶ µ µ ∂ 2u ∂2u ∂u ∂u ∂u ∂u ∂ 2u , = F ξ, η, u, , − 2 = Φ ξ, η, u, , ∂ξ∂η ∂ξ ∂η ∂η ∂ξ ∂η ∂ξ 2 (son dos formas can´onicas de las ecuaciones de tipo hiperb´olico de segundo orden). Las curvas (coordenadas) (ξ, η) se llaman caracter´ısticas. En el caso hiperb´olico lineal uni-dimensional con coeficientes constantes hay exactamente dos curvas (rectas) caracter´ısticas dadas por ξ = y − α− x,

η = y − α+ x

donde las pendientes α± vienen dadas por: i √ 1 h 2 α± = −B ± B − 4AC 2A Las formas can´onicas son: uξη + auξ + buη + cu + d = 0, y (definiendo σ = (ξ + η)/2, τ = (ξ − η)/2) uσσ − uτ τ + (a + b)uσ + (a − b)uτ + cu + d = 0 El prototipo de EDP de segundo orden hiperb´olica es la ecuaci´on de ondas utt = c2 ∆u. En el caso unidimensional se expresa en la forma utt = c2 uxx . La ecuaci´on de ondas se puede resolver f´acilmente introduciendo las nuevas coordenadas (las caracter´ısticas) ξ = x + ct,

η = x − ct

y aplicando la regla de la cadena a trav´es de la cual se deduce la simple ecuaci´on ∂2u =0 ∂ξ∂η Esta ecuaci´on se satisface si y s´olo si u(ξ, η) = p(ξ) + q(η)

3. Ecuaciones lineales de segundo orden

79

es decir, u(x, t) = p(x + ct) + q(x − ct) donde p y q son funciones derivables cualesquiera de una variable. En consecuencia si u es soluci´on de la ecuaci´on de ondas tiene que ser del tipo anterior. La f´ormula anterior es la integral general de la ecuaci´on de onda unidimensional. D’ Alembert la encontr´o en 1747. Esta ecuaci´on nos dice que toda soluci´on es la suma de una onda que se desplaza hacia la izquierda con velocidad −c y de otra que lo hace hacia la derecha con velocidad +c. Puesto que las ondas se desplazan en direcciones opuestas, la forma de u(x, t) en general cambiar´a con el tiempo. Esta interpretaci´on origin´o el nombre de ecuaci´on de ondas. Resolver un problema de valores iniciales y de contorno concreto corresponder´a a determinar las funciones p y q adecuadas. Una referencia cl´asica muy clara es el libro de Weimberger, cap´ıtulo 2, dedicado a la ecuaci´on de ondas unidimensional. Como en el caso de las EDP de primer orden se admiten soluciones discontinuas (es decir d´ebiles o generalizadas) y las discontinuidades se propagan a lo largo de las caracter´ısticas. 2. La ecuaci´on (50) es parab´ olica en Ω si: µ ¶ ∂2u ∂u ∂u = Φ ξ, η, u, , ∂η 2 ∂ξ ∂η En este caso existe s´olo una familia de caracter´ısticas reales con pendiente α = α1 = α2 =

B . 2A

En el caso unidimensional lineal de coeficientes constantes la forma can´onica es: uηη + auξ + buη + cu + d = 0, El prototipo de EDP de segundo orden parab´olica es la ecuaci´on del calor ut = k∆u. En el caso unidimensional se expresa en la forma ut = kuxx . Nos ocuparemos de ella m´as tarde. 3. La ecuaci´on (50) es el´ıptica en Ω si: µ ¶ ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u + 2 = Φ ξ, η, u, , ∂η ∂ξ ∂η ∂ξ 2 En este caso B 2 − 4AC < 0 luego las ra´ıces α1 , α2 son complejas y no existen caracter´ısticas reales. En el caso bi-dimensional con coeficientes constantes si

80

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

definimos σ = (ξ + η)/2, τ = (ξ − η)/2i se tiene la forma can´onica para ecuaciones el´ıpticas: uσσ + uτ τ + (a + b)uσ + (a − b)uτ + cu + d = 0 El prototipo de EDP de segundo orden el´ıptica es la ecuaci´on de Laplace ∆u = 0. En el caso bidimensional se expresa en la forma uxx + uyy = 0. Este tipo de ecuaci´on ser´a abordada m´as adelante.

Los razonamientos anteriores puden ser generalizados al caso de coeficientes variables. A diferencia del caso con coeficientes constantes, pueden existir caracter´ısticas reales s´olo en una parte del dominio de inter´es. Las ecuaciones pueden cambiar de tipo de una regi´on a otra. Esto ocurre, por ejemplo, en din´amica de gases (transonic gas dynamics). En el libro de Mei, pag 28, puden encontrarse m´as detalles. Resumimos lo anterior considerando el operador ∂2u ∂2u . ∂ 2u L[u] = A 2 + B +C 2 ∂t ∂x∂t ∂x siendo A, B, C constantes dadas. Nos concentramos por tanto en la parte de segundo orden del operador lineal general de segundo orden (pues es la parte que gobierna el proceso de clasificaci´on). Utilizaremos adem´as variables (x, t) t´ıpicas de los problemas de evoluci´on (parab´olicos e hiperb´olicos). Podemos entonces transformar L[u] en un m´ ultiplo de ∂ 2u ∂ξ∂η si y s´olo si B 2 − 4AC > 0 Siempre que esto se cumple, L es hiperb´ olico. La transformaci´on en este caso viene dada por √ √ ξ = 2Ax + [−B + B 2 − 4AC]t, η = 2Ax + [−B − B 2 − 4AC]t y el operador se transforma en L[u] = −4A(B 2 − 4AC)

∂ 2u ∂ξ∂η

El caso A = 0 (y C 6= 0) puede tratarse del mismo modo, con ξ = t, η = x − (C/B)t. El caso A = C = 0 es trivial puesto que el operador ya es de la forma buscada. Si B 2 − 4AC = 0 se dice que L es parab´ olico. En este caso la transformaci´on ξ = 2Ax − Bt,

η=t

3. Ecuaciones lineales de segundo orden

transforma L[u] en

81

∂ 2u L[u] = A 2 ∂η

que es la forma corriente para un operador parab´olico. La soluci´on general de L[u] = 0 es ahora p(ξ) + ηq(ξ) Esta soluci´on puede interpretarse como una onda de forma fija que se mueve con velocidad B/2A junto con otra que crece linealmente con el tiempo y se mueve con la misma velocidad. Un operador parab´olico tiene s´olo una familia de caracter´ısticas ξ = C (constantes). Las discontinuidades de las derivadas se propagan a lo largo de estas caracter´ısticas. Finalmente, si B 2 − 4AC < 0, el operador L es el´ıptico. El prototipo de operador el´ıptico es ∂ 2u ∂ 2u + 2 ∂η ∂ξ 2 No tiene caracter´ısticas. Sin embargo, la transformaci´on 2Ax − Bt ξ=√ , 4AC − B 2

η=t

hace ·

¸ ∂ 2u ∂2u L[u] = A + 2 . ∂η ∂ξ 2 En la forma L[u] = 0 se tiene la ecuaci´on de Laplace. Las derivadas parciales de una soluci´on de la ecuaci´on de Laplace no presentan discontinuidades. Un gran n´ umero de problemas f´ısicos puede reducirse a una o varias de las ecuaciones anteriores. Observaci´ on 3.3. Cuando el n´ umero n de variables independientes es superior a dos, tambi´en se diferencian las ecuaciones de tipo hiperb´ olico, parab´ olico y el´ıptico. Finalmente observamos que no existe relaci´ on entre la clasificaci´ on de las EDP de segundo orden y las de primer orden ya que ´estas u ´ltimas son todas hiperb´ olicas y el criterio las clasificar´ıa (poniendo A = B = C ≡ 0), err´oneamente, como parab´ olicas. Sin embargo s´ı existe relaci´ on entre las ecuaciones lineales hiperb´ olicas de primer y segundo orden. Esta relaci´ on ata˜ ne las propiedades cualitativas de las soluciones. Por ejemplo, la propiedad de propagaci´ on con velocidad finita de las perturbaciones (el dato inicial). Este fen´omeno (v´ease la observaci´on referente la existencia de soluciones de soporte compacto para EDP de primer orden) no puede ocurrir en las ecuaciones lineales parab´ olicas en las cuales la velocidad de propagaci´ on es infinita,

82

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

entendiendo por ello que si el dato inicial tiene soporte compacto la soluci´on se propaga instant´aneamente a todo el dominio (es decir se difunde en todo el espacio).

3.2.

Problemas de contorno

Para describir completamente uno u otro proceso f´ısico no basta con tener s´olo la ecuaci´on diferencial que rige el proceso, hace falta plantear el estado inicial de este proceso (condiciones iniciales para problemas de evoluci´on) y el r´egimen en la frontera ∂Ω de la regi´on Ω donde tiene lugar el proceso. Se distinguen dos tipos principales de problemas de contorno para EDP: 1. Problemas de contorno para ecuaciones de tipo el´ıptico. Se trata de problemas estacionarios donde se plantean las condiciones en la frontera ∂Ω y no hay condiciones iniciales. 2. Problemas de contorno y de valores iniciales para ecuaciones en derivadas parciales en dominios acotados. Se trata de problemas de evoluci´on para ecuaciones de tipo hiperb´olico o parab´olico donde se plantean condiciones iniciales . y de contorno en dominios acotados Ω ⊂ IRn , |Ω| = diam Ω < ∞. Empezando por el caso m´as sencillo consideramos la ecuaci´on parab´olica de conductibilidad t´ermica unidimensional, conocida con el nombre de ecuaci´on del calor: ∂u ∂ 2u = k 2, 0 < x < 1, t > 0 (51) ∂t ∂x siendo k > 0 la conductividad t´ermica del medio conductor (supuesto homog´eneo) considerado. Complementamos la ecuaci´on (51) con una condici´on inicial (n´otese que el orden de derivaci´on temporal de la EDP es uno) u(x, 0) = f (x),

00

(53)

en x = 0, ∀ t > 0 y x = 1, ∀ t > 0, siendo φ0 (t), φ1 (t) funciones dadas (conocidas). N´otese que por fronteras laterales se entienden los conjuntos de puntos Γ0 , Γ1 ⊂ IR2 definidos por Γ0 = {(x, t) ∈ IR2 / (x, t) = (0, t), t > 0} = {0} × (0, ∞)

3. Ecuaciones lineales de segundo orden

83

y Γ1 = {(x, t) ∈ IR2 / (x, t) = (1, t), t > 0} = {1} × (0, ∞) M´as en general, si Ω ⊂ IRN es un dominio N-dimensional de frontera ∂Ω entonces la ecuaci´on se tiene en el cilindro (temporal) Q = Ω × (0, T ) de frontera lateral Σ = ∂Ω×(0, T ) donde T ∈ IR+ (soluciones locales en tiempo) o T = +∞ (soluciones globales). En este caso el problema de valor inicial y de contorno asociado a la ecuaci´on del calor con los valores de la soluci´on prefijados en el contorno (frontera lateral) se formula: Hallar una funci´on ¯ × [0, +∞) → IR u(x, t) : Ω tal que     

∂u = ∆u, en Q, ∂t u(x, t) = g(x, t), en Σ,     u(x, 0) = u0 (x), en Ω. N X ∂2 designa el operador laplaciano respecto de las variables espa2 ∂x i i=1 ciales, t es la variable tiempo y u0 (x) es una funci´on dada.

donde ∆ =

A veces es u ´til considerar (pues ah´ı se suele33 localizar el m´aximo de la soluci´on) la frontera parab´olica ∂Q del cilindro Q = Ω × (0, T ) que se define por [ ¯ × {0}) ∂Q = (Ω (∂Ω × [0, T ])

Cuando Ω es infinito se suelen distinguir los casos Ω = IRN , N = 1, 2, 3 y, en el caso unidimensional, Ω = (−∞, 0), Ω = (0, ∞) que corresponden al caso de dominio semi-infinito.

3.3.

Condiciones iniciales y de contorno

Para presentar los distintos tipos de condiciones iniciales y de contorno que se suelen imponer en las aplicaciones consideraremos la ecuaci´on del calor unidimensional. Existen tres tipos principales de condiciones iniciales y de contorno: 33

La naturaleza de las hip´otesis que garantizan la veracidad de esta afirmaci´on va mucho m´as all´a de los objetivos de este curso. Una exposici´on clara pero de nivel avanzado se puede encontrar en el cap´ıtulo 10 sobre problemas de evoluci´on del libro de H. Brezis, (1983). An´alisis Funcional. Teor´ıa y aplicaciones. Alianza Editorial.

84

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

1. Especificar la funci´on en la frontera del dominio. Se conoce como condici´on del tipo Dirichlet. Por ejemplo, si nuestra inc´ognita es la funci´on u(x, t) y queremos resolver la EDP del calor ∂u ∂ 2u = k 2 = ∇ · (k∇u), ∂t ∂x en un dominio acotado (un intervalo abierto de la recta real) Ω = (a, b) se pueden prefijar las siguientes condiciones l´ımite: u(x, 0) = f (x) (t = 0),

u(a, t) = g1 (t) (x = a),

u(b, t) = g2 (t) (x = b)

Este tipo de condiciones, junto con la EDP, genera lo que se llama un problema de Dirichlet o de primer tipo. N´otese que se ha impuesto una condici´on inicial de tipo Dirichlet y dos condiciones de contorno (siempre de tipo Dirichlet) en las fronteras laterales Γa y Γb . 2. Especificar la derivada de la funci´on en la frontera del dominio. Se conoce como condici´on del tipo Neumann y el problema asociado se llama problema de Neumann (o de segundo tipo). Por ejemplo, ∂u ∂u (a, t) = 0 (x = a), −k (b, t) = q (x = b), ∂x ∂x siendo q una constante. Para dominios Ω ⊂ IRn , n > 1, se prescribe la componente normal de vector gradiente en la forma ∇u · n =

∂u ∂n

siendo n el vector normal a la curva (o hipersuperficie) que representa la frontera del dominio. F´ısicamente este tipo de condici´on define el flujo de calor que atraviesa la frontera, que por ley de Fourier de la conducci´on del calor, es proporcional al gradiente de temperaturas. Por ejemplo, en un problema estacionario de conducci´on de calor en una geometr´ıa cil´ındrica (coordenadas (r, z)) podr´ıamos escribir q = −k∇u siendo las componentes del flujo qr = −k

∂u , ∂r

qz = −k

∂u ∂z

La componente qr (r, z) del vector de flujo q = (qr , qz ) denota flujo de calor molecular en la direcci´on radial mientras qz (r, z) representa el flujo de calor molecular en la direcci´on axial. Se trata en este caso de un flujo puramente difusivo. Si consideramos tambi´en el flujo convectivo (que es un fen´omeno de transporte del calor que tiene lugar

3. Ecuaciones lineales de segundo orden

85

debido al transporte de materia) se tienen condiciones del tipo qr = −k

∂u + Vr u, ∂r

qz = −k

∂u + Vz u, ∂z

siendo (Vr , Vz ) las componentes radial y normal (respectivamente) de un campo de velocidades conocido. 3. Especificar la funci´on y su derivada en la frontera del dominio. Se conoce como condici´on de tipo Robin (o mixto) y el problema asociado es un problema mixto (o de tercer tipo). Si consideramos por ejemplo el flujo de calor a trav´es de las paredes de un conducto por el cual fluye un fluido −k

∂u = h(u − u∞ ) r = R, ∂r

∀z

siendo h un coeficiente de transporte de calor caracter´ıstico del material s´olido del conducto que controla el flujo (de calor) en la frontera y u∞ un valor conocido (dato del problema) de la temperatura ambiente alrededor del sistema. Hay que controlar cuidadosamente los signos que aparecen en este tipo de condici´on. En procesos de enfriamiento la cantidad u − u∞ es positiva (pues obviamente la temperatura externa que controla el sistema es menor que la temperatura del fluido que se quiere enfriar) luego ∂u 0 ∂r y esto quiere decir que el calor se est´a difundiendo de donde hay m´as (en el interior del conducto) hacia donde hay menos (en el exterior). Comentarios parecidos se pueden hacer en los procesos de transporte (difusi´on molecular) de materia donde se aplica la ley de Fick. La componente radial del flujo en coordenadas cil´ındricas ser´ıa por ejemplo: Jr = −D

∂c ∂r

siendo c(r, z) la concentraci´on de una especie qu´ımica y D su coeficiente de difusi´on. Este tipo de condiciones es muy realista pues expresa que el flujo de calor conductivo es proporcional a la diferencia de temperaturas entre las paredes del conducto y el exterior.

86

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

Las condiciones anteriores se dicen homog´ eneas si se satisfacen (sin cambiar de expresi´on) para un m´ ultiplo cualquiera de la variable inc´ognita. El primer tipo de condiciones (condiciones de tipo Dirichlet) incluye las condiciones iniciales, que para una funci´on u(x, t) se pueden escribir en la forma u(x, 0) = f (x). Esta condici´on significa que en el instante t = 0 la distribuci´on de temperatura viene dada por la funci´on f (x). En alguna frontera podr´ıa haber variaciones temporales as´ı que podr´ıamos tener, por ejemplo en x = 0 u(0, t) = g(t) Ninguna de las dos condiciones del tipo 1 planteadas es homog´enea (a menos que las funciones f y g sean id´enticamente nulas). Sin embargo, si el valor en el contorno es una constante fijada, del tipo u(0, t) = u0 entonces podemos definir otra variable dependiente θ = u − u0 y obtener una condici´on θ(0, t) = 0 que es homog´enea en la frontera. En ocasiones las condiciones del tipo 2, en sistemas de coordenadas cil´ındricas y esf´ericas, es posible utilizarlas como condici´on de simetr´ıa: ∂u = 0, ∂r

r=0

N´otese que para tales sistemas de coordenadas r ≥ 0, luego para asegurar perfiles sim´etricos de u tenemos que imponer la condici´on anterior. En el caso de una pared de un conducto aislada t´ermicamente (si se considera un problema de transporte de calor) o impermeable (si se considera un problema de flujo de materia en un medio poroso saturado), la condici´on es −k

∂u = 0, ∂r

r=R

En el caso de las paredes de un conducto calentadas el´ectricamente, la entrada de calor puede ser uniforme y constante (controlando por ejemplo la intensidad de corriente) luego podr´ıamos imponer en un contorno del conducto: −k

∂u = q, ∂r

r=R

3. Ecuaciones lineales de segundo orden

87

El tercer tipo de condiciones es mixto e incluye la funci´on y su derivada (o su integral). Por ejemplo, la condici´on ∂u = h(u − u∞ ) r = R, ∀ z ∂r que simplemente modeliza el equilibrio entre el flujo conductivo y la transferencia de calor en la pared de un conducto. Puede ser reconducida a una condici´on homog´enea definiendo θ = u − u∞ (si u∞ es constante): −k

∂θ = hθ r = R, ∀ z ∂r En los l´ımites h → ∞ y h → 0 se recuperan las condiciones homog´eneas del tipo 1 y 2. Este tipo de condiciones de contorno se conoce tambi´en con el nombre de condici´ on de tipo convectivo34 . Ocasionalmente, una condici´on de tipo mixto puede nacer como un equilibrio integro-diferencial. Un ejemplo se encuentra en Rice y Do, pag 408. Tal tipo de condiciones se suele abarcar con la t´ecnica de la transformada de Laplace que veremos en el tercer tema de esta asignatura. −k

Otros tipos de condiciones de contorno son igualmente posibles. En los procesos de transporte de calor por radiaci´on (por ejemplo en combusti´on o en procesos que se desarrollan a altas temperaturas) se aplica la ley de Stefan-Boltzmann para describir el mecanismo de transporte de calor entre superficies s´olidas separadas por gases (que se asumen transparentes a la radiaci´on). Otras condiciones se imponen en procesos de fusi´on o evaporaci´on donde tienen lugar cambios de fases35 . El n´ umero de condiciones de contorno o iniciales necesario para resolver una EDO corresponde al n´ umero de constantes arbitrarias generadas en el curso del an´alisis. Una ecuaci´on de orden n genera n constantes arbitrarias. Esto implica que el n´ umero total de condiciones (de contorno o iniciales) a imponer es n. En las ecuaciones en derivadas parciales, existen siempre al menos dos variables independientes as´ı, por ejemplo, una ecuaci´on que describe el r´egimen transitorio de distribuci´on de temperatura en una barra cil´ındrica de metal: 1 ∂ ∂T =k ρcp ∂t r ∂r 34

µ

∂T r ∂r

¶

µ =k

1 ∂T ∂2T + 2 ∂r r ∂r

¶

V´ease por ejemplo pag 42 del libro de W.M. Deen, (1998), Analysis of Transport Phenomena. Oxford University Press. 35 Muy interesante en este sentido es el cap´ıtulo 2 secci´on 2.5, pag 41 del libro de Deen dedicado a la transferencia de calor en las interfases.

88

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

necesitar´a (normalmente) una condici´on para el tiempo (una condici´on inicial) y dos para las fronteras fijas espaciales (digamos r = 0 y r = R). En principio, por tanto, se necesita fijar generalmente una condici´on para cada orden de cada derivada parcial. Sin embargo, esto no siempre es el caso. Por ejemplo, una condici´on inicial no es necesaria si buscamos una soluci´on peri´odica en el tiempo. Un caso particular ser´ıa: T (r, t) = f (r)eiwt En tales casos, s´olo es necesario imponer condiciones en las fronteras (r = 0 y r = R). Comentarios parecidos se aplican cuando se habla de la posici´on angular en coordenadas cil´ındricas o esf´ericas. Concretamente cuando la soluci´on debe ser peri´odica en el ´angulo: T (r, θ) = T (r, θ + 2π)

4.

Ecuaciones el´ıpticas.

El estudio de los procesos estacionarios (que no var´ıan con el tiempo) de diferente naturaleza f´ısica conduce a la consideraci´on de EDP de tipo el´ıptico.

4.1.

Ecuaciones de Laplace y de Poisson

El operador lineal ∆u = ∇2 u = (∇ · ∇)u = ∇ · (∇u) = div(∇u) =

N X ∂ 2u ∂xi 2 i=1

se llama laplaciana N-dimensional de u. Al operador N X ∂2 ∂2 ∂2 ∂2 = + + .... + ∆= ∂xi 2 ∂x1 2 ∂x2 2 ∂xN 2 i=1

se le llama operador laplaciano en honor del matem´atico franc´es Pierre Laplace (1749-1827). A la ecuaci´on ∆u = 0,

Ω ⊂ IRN

se la conoce como ecuaci´on de Laplace y es la m´as simple de las ecuaciones de tipo el´ıptico. La ecuaci´on de Laplace siempre es homog´enea. Si se considera la ecuaci´on no homog´enea ∆u = f (x1 , ..xN ), Ω ⊂ IRN

4. Ecuaciones el´ıpticas.

89

entonces tenemos la ecuaci´on de Poisson (EDP el´ıptica lineal no homog´enea que lleva este nombre en honor del matem´atico S. D. Poisson (1781-1840)) que corresponde a un estado de equilibrio originado por una fuerza exterior. Si f dependiera tambi´en de u en la forma ∆u + λu = 0 entonces tendr´ıamos la ecuaci´on (lineal) de Helmholtz que es un caso particular de las ecuaciones el´ıpticas semilineales −∆u + f (x, u) = 0,

Ω ⊂ IRN

Otra clase de EDP el´ıpticas muy importante en las aplicaciones son las cuasilineales (ecuaciones no lineales donde las no linealidades aparecen en las derivadas de orden inmediatamente m´as bajo del orden de la ecuaci´on). Su expresi´on general es −∆u + f (x, u, ∇u) = 0,

Ω ⊂ IRN

Por u ´ltimo, definimos el operador bi-laplaciano ∇4 u = ∇2 (∇2 u) = ∆(∆u) = ∆2 u que es un operador el´ıptico del cuarto orden. Se trata en este caso de resolver la ecuaci´on el´ıptica bi-arm´onica del cuarto orden ∇4 u = uxxxx + 2uxxyy + uyyyy = 0. Se puede demostrar (v´ease el libro de Deen, cap´ıtulo 5, pag 239) que la funci´on de corriente de un fluido incompresible estacionario bidimensional satisface la ecuaci´on bi-arm´onica lo que expresa la conservaci´on de la cantidad de movimiento para flujos (lentos) de Stokes de fluidos newtonianos. Los flujos de Stokes (creeping flows en la literatura anglosajona) tienen muchas aplicaciones tecnol´ogicas (microcirculaci´on, reolog´ıa de suspensiones, dispersiones coloidales o el procesado de pol´ımeros) y aparecen relacionados con varios fen´omenos naturales asociados a fluidos muy viscosos. Dependiendo de los valores de n (es decir del n´ umero de variables independientes consideradas) se tienen las siguientes expresiones del operador laplaciano en coordenadas cartesianas. N = 1 ∆u ≡

d2 u = 0, dx2

N = 2 ∆u ≡

∂2u ∂ 2u + =0 ∂x2 ∂y 2

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + + =0 ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 donde el caso N = 1 corresponde a una EDO y los casos n = 2, 3 corresponden a una EDP. N = 3 ∆u ≡

90

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

Definici´ on 4.1. Una funci´on u ∈ C 2 (Ω) tal que ∆u = 0 en una regi´ on Ω ⊂ IRN se dice arm´ onica en Ω. Ejemplo 4.1. Demostrar que la funci´on f (x, y) = ex cos y es arm´onica en el plano IR2 . La funci´on dada es evidentemente de clase C 2 (IR2 ) (de hecho es de clase C ∞ ). Es inmediato calcular fx (x, y) = ex cos y,

fxx (x, y) = ex cos y

y fy (x, y) = −ex sin y,

fyy (x, y) = −ex cos y

por tanto, la laplaciana de f es ∆f (x, y) = fxx (x, y) + fyy (x, y) = ex cos y − ex cos y ≡ 0 y as´ı f es arm´onica. Existen muchas aplicaciones f´ısicas de las funciones arm´onicas pues describen con alto grado de precisi´on diferentes fen´omenos naturales. Por ejemplo, los procesos de conducci´on del calor en estado estacionario (es decir, una vez que la temperatura del material conductor se ha estabilizado y que no var´ıa en el tiempo) donde se considera el vector densidad del flujo de calor cuyo potencial φ(x, y) (la temperatura en el medio conductor) satisface la ecuaci´on de Laplace en todo punto del espacio donde no haya fuentes o sumideros de calor. Las funciones arm´onicas aparecen tambi´en al describir el flujo de un fluido ideal (no viscoso pues no hay p´erdidas de energ´ıa por fricci´on interna) incompresible donde se considera el campo de velocidades de un fluido irrotacional (ausencia de v´ortices o remolinos) cuyo potencial es arm´onico o en la teor´ıa de la electrost´atica donde la concentraci´on del flujo el´ectrico en un punto del espacio se describe por medio del vector densidad de flujo el´ectrico cuyo potencial electrost´atico verifica, en una regi´on sin cargas, la ecuaci´on de Laplace. 4.1.1.

Laplaciana bidimensional en coordenadas polares

La introducci´on de coordenadas polares x = r cos θ,

y = r sin θ

transforma u(x, y) en v(r, θ) y considerando la laplaciana bidimensional ∆u =

∂ 2u ∂ 2u + ∂x2 ∂y 2

(54)

4. Ecuaciones el´ıpticas.

91

se tiene (aplicando la regla de la cadena estudiada en el primer curso) la siguiente f´ormula: ∂ 2 v 1 ∂v 1 ∂2v ∆u ≡ 2 + + 2 2 ∂r r ∂r r ∂θ Ejemplo 4.2. Probar que la funci´on u(r, θ) = r2 cos 2θ es una funci´on arm´onica. Es an´alogo al ejemplo hecho en coordenadas cartesianas. Escribiendo la ecuaci´on de Laplace en coordenadas polares se tiene que u es una funci´on arm´onica si ∂ 2 u 1 ∂u 1 ∂ 2u + + ≡0 ∂r2 r ∂r r2 ∂θ2 Efectuando las derivaciones indicadas se tiene ∂2u = 2 cos 2θ, ∂r2

1 ∂u = 2 cos 2θ, r ∂r

1 ∂ 2u = −4 cos 2θ r2 ∂θ2

luego u es arm´onica.

4.1.2.

Laplaciana tri-dimensional en coordenadas cil´ındricas

La introducci´on de coordenadas cil´ındricas x = r cos θ,

y = r sin θ,

z=z

transforma u(x, y, z) en v(r, θ, z) y considerando la laplaciana tri-dimensional ∆u =

∂ 2u ∂2u ∂ 2u + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

(55)

se tiene (mediante aplicaci´on de la regla de la cadena) la siguiente f´ormula: ∆u ≡

4.1.3.

∂ 2 v 2 ∂v 1 ∂ 2v ∂ 2v + + + ∂r2 r ∂r r2 ∂θ2 ∂z 2

Laplaciana tri-dimensional en coordenadas esf´ ericas

La introducci´on de coordenadas esf´ericas x = r cos θ sin φ,

y = r sin θ sin φ,

z = r cos φ

transforma u(x, y, z) en v(r, θ, φ) y considerando la laplaciana tri-dimensional (55) se tiene (por aplicaci´on de la regla de la cadena) la siguiente f´ormula: ∆u ≡

∂ 2 v 2 ∂v 1 ∂ 2v 1 cos φ ∂v 1 1 ∂2v + + + + ∂r2 r ∂r r2 ∂φ2 r2 sin φ ∂φ r2 sin φ ∂θ2

92

4.1.4.

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

Laplaciana N-dimensional en coordenadas radiales

Un tipo de coordenadas extremadamente u ´til en el estudio de problemas de transporte en los cuales existan ciertas condiciones de simetr´ıa son las coordenadas radiales. Sea x ∈ Ω ⊂ IRN , x = (x1 , x2 , ..., xN ). Definimos el cambio de variables q r=

x21 + x22 + .... + x2N ,

u(x) = v(r)

Entonces se tiene que 1

d ∆u ≡ N −1 r dr

4.2.

µ r

N −1 dv

dr

¶

d2 v N − 1 dv = 2+ dr r dr

Algunos fen´ omenos f´ısico-t´ ecnicos que modelizan

Tal y como vimos en la secci´on anterior las ecuaciones de Laplace y Poisson en dos o tres dimensiones aparecen en problemas que conciernen campos potenciales como el electrost´atico, el gravitacional o el campo de velocidades (en mec´anica de fluidos al trabajar con flujos potenciales incompresibles). Por ejemplo, la velocidad potencial para el flujo estacionario de un fluido incompresible y no viscoso satisface la ecuaci´on de Laplace. En estas hip´otesis tambi´en la funci´on de corriente verifica la ecuaci´on de Laplace. Es la expresi´on matem´atica de la idea de que en ausencia de fuentes o sumideros la tasa con la cual el fluido incompresible entra en una regi´on es la misma con la cual la deja. Una soluci´on de la ecuaci´on de Laplace se puede interpretar tambi´en como la distribuci´on de temperatura en un estado de equilibrio estable. Aparece por tanto en la descripci´on de un r´egimen (de conducci´on) estacionario. Tambi´en es indicativa para la descripci´on del comportamiento de algunos sistemas transitorios (que evoluciona con el tiempo) que se estabilizan para tiempos grandes (a largo plazo). De forma parecida, el potencial el´ectrico V asociado a una distribuci´on bidimensional de electrones con densidad de carga ρ satisface la ecuaci´on ∂ 2V ρ ∂ 2V + + =0 2 2 ∂x ∂y ² siendo ² la constante diel´ectrica. Esta ecuaci´on no es otra cosa que la expresi´on del teorema de Gauss que afirma que el flujo el´ectrico total a trav´es de cualquier superficie cerrada es igual a la carga total encerrada por la superficie. Otra ecuaci´on destacada de la Matem´atica Aplicada es la ecuaci´on el´ıptica bidimen-

4. Ecuaciones el´ıpticas.

93

sional de difusi´on-convecci´on estacionaria 2 v ∇T} = ²∇ | ·{z | {zT} , convecci´on difusi´on

que se verifica en un dominio Ω ⊂ IR2 donde el campo de velocidades v es irrotacional, es decir v = (ψ y , −ψ x ) siendo ψ(x, y) la funci´on de corriente y donde ² es el coeficiente de dispersi´on del medio. Las l´ıneas de corriente del flujo son las curvas donde ψ es constantes (v´ease el ejemplo examinado al comienzo de este tema para el c´alculo de las l´ıneas de corriente en el flujo de un fluido).

4.3.

∗

F´ ormulas de Green

Introduciremos ahora las f´ ormulas de Green36 , una herramienta muy importante en la teor´ıa del potencial. Su aplicaci´on a las funciones arm´onicas permitir´a deducir sus propiedades fundamentales. Recordemos en primer lugar el teorema de la divergencia (primer curso, tema 13) a partir del cual ser´a posible deducir las f´ormulas de Green. Teorema 4.1 (Gauss-Ostrogradski). Sea Ω ⊂ IR3 un dominio acotado limitado por la superficie ∂Ω, orientable y cerrada. Sea F : D ⊂ IR3 → IR3 , Ω ⊂ D, un campo vectorial F (x, y, z) = P (x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k tal que sus componentes P , Q y R son campos escalares continuos con derivadas parciales continuas en Ω: F ∈ (C 1 (Ω))3 . Entonces el flujo del campo F a trav´es de la superficie (cerrada) ∂Ω es igual a la integral triple (integral de volumen) de la divergencia del campo: Z Z F · nds = div(F )dxdydz ∂Ω

Ω

siendo n el vector normal exterior a la superficie, y div(F ) = ∇ · F =

∂P ∂Q ∂R + + ∂x ∂y ∂z

el operador de divergencia. 36

Recu´erdese que las f´ormulas de Green ya han sido consideradas en la secci´on 12.4 del tema 12 del primer curso. Un ejercicio interesante se encuentra propuesto (y resuelto) en el gui´on de ejercicios.

94

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

Utilizando el teorema de Gauss podemos ahora deducir las f´ormulas de Green. Sean φ, ψ dos funciones escalares de clase C 2 en Ω. Observaci´ on 4.1. Hip´otesis de regularidad suficientes para la aplicaci´ on de las 2 1 ¯ 1 0 ¯ f´ormulas de Green son: ψ ∈ C (Ω) ∩ C (Ω), φ ∈ C (Ω) ∩ C (Ω) para la primera ¯ para la segunda f´ormula de Green (ver Courant-Hilbert, y ψ, φ ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω) pag 252). Tales hip´otesis no son en realidad necesarias y es posible suponer una regularidad menor. Para ello es necesario conocer la teor´ıa de distribuciones que no se contempla en este curso. Entonces, utilizando las propiedades del operador de divergencia ∇ · (φ∇ψ) = ∇φ · ∇ψ + φ∇ · ∇ψ = ∇φ · ∇ψ + φ∆ψ y considerando F = φ∇ψ en el teorema de la divergencia se tiene Primera f´ ormula de Green Z

Z 2

(∇φ · ∇ψ + φ∇ ψ)dΩ = Ω

donde

φ ∂Ω

∂ψ ds ∂n

(56)

∂ψ = n · ∇ψ es la componente normal exterior del vector gradiente. ∂n

La relaci´on (56) se conoce con el nombre de primera f´ormula de Green. Intercambiando φ y ψ y restando se tiene la segunda f´ormula de Green: Segunda f´ ormula de Green ¶ ∂ψ ∂φ (φ∇ ψ − ψ∇ φ)dΩ = φ −ψ ds (57) ∂n ∂n Ω ∂Ω N´otese finalmente que f´ormulas an´alogas se tienen en el plano y en dimensiones arbitrarias (ver Courant-Hilbert, pag 257). Z

Z

2

µ

2

Utilizando las f´ormulas anteriores es posible deducir las siguientes propiedades de las funciones arm´onicas: ¯ es una funci´on arm´onica y si ∂Ω es una suTeorema 4.2. Si u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω) perfice orientable y cerrada, entonces la integral de superficie de su derivada normal vale cero:

4. Ecuaciones el´ıpticas.

95

Z ∂Ω

∂u =0 ∂n

(58)

La demostraci´on de lo anterior es inmediata considerando φ = 1, ψ = u arm´onica (∆u = 0) y aplicando la primera f´ormula de Green. La integral (de superficie) (58) se denomina Integral de Gauss. ¯ es una funci´on arm´onica y consideramos φ = ψ en la primera Si φ ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω) f´ormula de Green se obtiene la identidad: Z Z ∂φ 2 |∇φ| dΩ = φ Ω ∂Ω ∂n La integral de volumen que aparece en la f´ormula anterior se conoce con el nombre de Integral de Dirichlet y juega un papel muy importante en la teor´ıa del potencial. Una consecuencia inmediata de la identidad anterior es el siguiente teorema para funciones arm´onicas: ¯ una funci´on arm´onica, Ω ⊂ IR3 un Teorema 4.3. Siendo u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω) dominio acotado limitado por la superficie ∂Ω orientable y cerrada se verifica 1. Si u se anula en la superficie ∂Ω entonces u ≡ 0 en Ω. 2. Si

∂u = 0 en ∂Ω entonces u es constante en Ω. ∂n Z

∂φ = 0 luego ∂Ω ∂n la integral de Dirichlet es nula y por tanto u es constante. En el primer caso adem´as la constante tiene que coincidir con el valor en la frontera (que es cero). La demostraci´on es inmediata observando que en ambos casos

φ

Si Ω es una esfera de centro (x0 , y0 , z0 ), radio R, superficie ∂Ω y u es una funci´on arm´onica que satisface el teorema (4.2) se tiene: Z 1 uds u(x0 , y0 , z0 ) = 4πR2 ∂Ω es decir: Teorema 4.4. El valor de una funci´on arm´onica en un punto (x0 , y0 , z0 ) es igual a la media aritm´etica de sus valores en cada esfera centrada en (x0 , y0 , z0 ). El teorema (4.4) tiene importante consecuencias:

96

4.3.1.

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

Principio del m´ aximo para funciones arm´ onicas

Teorema 4.5. Sea u una funci´on regular en una regi´ on conexa Ω y continua en la superficie ∂Ω que la limita. Entonces el valor m´aximo y m´ınimo de u se alcanzan en la frontera ∂Ω. La funci´on u alcanza sus valores m´aximo y m´ınimo en el interior Ω si y s´olo si u es constante. Corolario 4.1. Si una funci´on arm´onica u, regular en Ω y continua en la frontera ∂Ω es constante en ∂Ω entonces es constante en todo Ω.

4.3.2.

Unicidad para la ecuaci´ on de Laplace

Una simple aplicaci´on de la primera f´ormula de Green permite demostrar la unicidad de soluciones de la ecuaci´on de Laplace en un volumen Ω ⊂ IR3 con condiciones Dirichlet no homog´eneas en la superficie del volumen ∂Ω 37 Sean ψ 1 y ψ 2 dos soluciones de la ecuaci´on de Laplace en un volumen Ω ⊂ IR3 satisfaciendo la condici´on de contorno ψ i = f (x), i = 1, 2 en la frontera ∂Ω. Entonces, por la linealidad del operador, se tiene que la funci´on diferencia, Θ = ψ 1 −ψ 2 verifica ∆Θ = 0 y Θ = 0 en la frontera y por la I f´ormula de Green se tiene: Z Z ∂Θ 2 |∇Θ| dΩ = Θ d∂Ω; ∂n Ω ∂Ω pero Θ = 0 en ∂Ω luego

Z |∇Θ|2 dΩ = 0. Ω

Por ser el integrando no negativo lo anterior implica |∇Θ|2 = 0 en cualquier punto de Ω luego Θ es constante en Ω y como vale cero en ∂Ω se tiene: Θ ≡ 0 y ψ 1 ≡ ψ 2 . Otra forma de expresar este resultado (utilizando los teoremas anteriores) es la siguiente: Teorema 4.6. Dos funciones arm´onicas en Ω que sean continuas en Ω ∪ ∂Ω y coincidan en ∂Ω son id´enticas en todo Ω. La demostraci´on es inmediata observando que la diferencia entre dos funciones arm´onicas que satisfagan el teorema (4.6) es tambi´en una funci´on arm´onica que se anula en la frontera luego, por el corolario (4.1), es id´enticamente nula en Ω. 37

Este tipo de razonamiento se puede extender para obtener la unicidad de la soluci´on de la ecuaci´on de Laplace con condiciones de contorno m´as generales.

5. Ecuaciones parab´olicas.

5.

97

Ecuaciones parab´ olicas.

Las ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden de tipo parab´olico se presentan al estudiar los procesos de conducci´on t´ermica, difusi´on de materia y en general procesos termodin´amicos. Modelizan fen´omenos transitorios, de evoluci´on (en contraposici´on con los estados de equilibrio de las ecuaciones el´ıpticas, estacionarias), donde el estado del sistema var´ıa con el tiempo. En general, tales fen´omenos de difusi´on pueden completarse con procesos de convecci´on y dispersi´on que aparecen, por ejemplo, en varios modelos de difusi´on de contaminantes o en filtraci´on de aguas subterr´aneas.

5.1.

La ecuaci´ on de difusi´ on y algunas variantes

Empezaremos por el caso m´as sencillo: la ecuaci´on parab´olica de conducci´on t´ermica uni-dimensional, conocida con el nombre de ecuaci´on del calor: ∂u ∂2u = , 0 ≤ x ≤ 1, t > 0. (59) ∂t ∂x2 N´otese la ausencia de fuentes de calor internas al sistema (la ecuaci´on es, en efecto, homog´enea). Las ecuaciones del tipo (59) se resolver´an anal´ıticamente en el tema 2 (mediante el m´etodo de separaci´on de variables) y en el tema 3 (mediante la t´ecnica de la transformada de Laplace) donde se considerar´an situaciones m´as generales. La ecuaci´on (59) puede ser generalizada de distintas formas:

1. Introduciendo un t´ermino de fuente (o sumidero) estacionario q(x) en el interior del dominio: ∂u ∂ 2u = + q(x), 0 ≤ x ≤ 1, t > 0, (60) ∂t ∂x2 donde q(x) > 0 si es una fuente y q(x) < 0 si es un sumidero. La ecuaci´on (60) aparece en problemas de conducci´on de calor transitorios (evolutivos) con generaci´on de energ´ıa. El t´ermino de generaci´on de energ´ıa (o t´ermino de fuente) q(x) se conoce en la literatura como steady forcing (fuente estacionaria). Este tipo de ecuaciones se puede resolver anal´ıticamente con algunas variantes de los m´etodos que se utilizan para las ecuaciones del tipo (59). Un ejemplo de aplicaci´on a un problema concreto se puede encontrar en el libro de Mei, pag 75. 2. Introduciendo un t´ermino de fuente transitorio (o fuente de calor) en el interior del dominio:

98

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

∂u ∂ 2u = + f (x, t), 0 ≤ x ≤ 1, t > 0, (61) ∂t ∂x2 siendo f (x, t) > 0. La ecuaci´on (61) es la cl´asica ecuaci´on de reacci´on-difusi´on lineal. El t´ermino de generaci´on de energ´ıa f (x, t) se conoce en la literatura como transient forcing (fuente transitoria). Tambi´en este tipo de ecuaciones se puede resolver an´aliticamente con algunas variantes de los m´etodos que se utilizan para las ecuaciones del tipo (59) y (60). Un ejemplo de aplicaci´on a un problema concreto se puede encontrar en el libro de Mei, pag 75. 3. Considerando los efectos de disipaci´on viscosa (producci´on de energ´ıa t´ermica y disipaci´on de la energ´ıa mec´anica) en el interior del dominio debidos a procesos termodin´amicos: ∂u ∂ 2u = + f (x, t, u), ∂t ∂x2

0 ≤ x ≤ 1,

t > 0,

(62)

siendo f (x, t, u) > 0. Debido al signo (positivo) de f (x, t, u) este t´ermino tiene el efecto cualitativo de generar crecimiento en las soluciones, pudiendo aparecer efectos de blow up (singularidades o explosiones) de las mismas soluciones que tienen as´ı un car´acter local. La ecuaci´on (62) es lineal si f (x, t, u) es lineal en u. Si f (x, t, u) no es lineal en u entonces se dice semilineal. Si f fuese del tipo f (x, t, u, ux ), es decir si dependiera tambi´en de la derivada parcial primera ux y adem´as lo hiciera en forma no lineal entonces la ecuaci´on ser´ıa de tipo cuasilineal. 4. Incluyendo un t´ermino de absorci´on (o sumidero) en el interior del dominio: ∂u ∂ 2u = − f (x, t, u), ∂t ∂x2

0 ≤ x ≤ 1,

t > 0,

(63)

siendo f (x, t, u) > 0. Valen las mismas consideraciones sobre el car´acter de linealidad de (63) hechas en el caso anterior. Cualitativamente el t´ermino de absorci´on causa un decaimiento en los perfiles de las soluciones. En la forma f (x, t, u) = u y en problemas de conducci´on de calor, se le conoce como el t´ermino de enfriamiento de Newton. 5. Permitiendo un coeficiente de difusi´on variable espacialmente · ¸ ∂ ∂u ∂u = a(x) , 0 ≤ x ≤ 1, t > 0, ∂t ∂x ∂x

(64)

siendo a = a(x) una funci´on positiva y acotada en [0, 1], es decir 0 < a(x) < ∞. Este tipo de ecuaciones nace, por ejemplo, al considerar procesos de conducci´on de calor siendo la conductividad calor´ıfica k una funci´on no constante en todo el medio: k = k(x).

5. Ecuaciones parab´olicas.

99

6. Introduciendo efectos no lineales de difusi´on mediante un coeficiente del tipo a(x, u): · ¸ ∂u ∂ ∂u = a(x, u) , 0 ≤ x ≤ 1, t > 0. (65) ∂t ∂x ∂x La ecuaci´on (65) describe fen´omenos de filtraci´on en medios porosos donde la expresi´on t´ıpica del coeficiente es a(x, u) = um o procesos de conducci´on calor´ıfica en un medio cuya conductibilidad t´ermica depende de la propia temperatura. Son ecuaciones de tipo no lineal y no suelen tener soluciones anal´ıticas exactas, especialmente cuando se complementan con un t´ermino de fuente f (x, t). En estos casos se suelen calcular num´ericamente las soluciones de (65). 7. Modelizando el flujo de fluidos no newtonianos mediante un coeficiente del tipo a(x, u, ux ): · ¸ ∂u ∂ ∂u = a(x, u, ux ) , ∂t ∂x ∂x

0 ≤ x ≤ 1,

t > 0.

(66)

Los comentarios hechos para (65) valen, obviamente, en este caso m´as general. No suele ser posible resolver38 este tipo de ecuaciones en forma exacta y hay que acudir a m´etodos num´ericos. 8. Considerando fen´omenos de convecci´on (por ejemplo en problemas de fluidodin´amica) ∂u ∂u ∂ 2u + V (x, t) = µ 2, 0 ≤ x ≤ 1, t > 0, (67) ∂t ∂x ∂x siendo V (x, t) una distribuci´on de velocidades en la direcci´on longitudinal x conocida. La ecuaci´on (67) es una ecuaci´on de difusi´on-convecci´on. Es lineal pues V (x, t) es un dato del problema independiente de u. La inc´ognita u suele representar la concentraci´on de un contaminante (o m´as en general de una especie qu´ımica) o la temperatura de un fluido y µ es el coeficiente de difusi´on del medio. 9. Si V (x, t) = u(x, t), siendo u la inc´ognita del problema representando un campo de velocidades en la direcci´on x se tiene ∂u ∂ 2u ∂u +u = µ 2, ∂t ∂x ∂x 38

t > 0.

(68)

En realidad, como ya observamos, la posibilidad de resoluci´on anal´ıtica no est´a descartada en presencia de ciertas simetr´ıas en la ecuaci´on y en las condiciones de contorno. En tal caso se suele usar el m´etodo de combinaci´on de variables que es un m´etodo aplicable al caso lineal en los supuestos anteriores. M´as detalles sobre este m´etodo se ver´an en el tema 3.

100

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

Si µ = ², siendo 0 < ² ¿ 1 un par´ametro peque˜ no, la ecuaci´on anterior modeliza flujos poco viscosos y se conoce en la literatura como la ecuaci´on de B¨ urgers. La ecuaci´on (68) es una ecuaci´on de tipo no lineal debido al t´ermino no lineal uux de convecci´on. El t´ermino de viscosidad ²uxx tiene un papel regularizante sobre las soluciones. En el l´ımite ² → 0 se tiene la ecuaci´on hiperb´olica de primer orden considerada en la primera parte de este tema. Se pierden las propiedades regularizantes propias de la ecuaci´on del calor y se pueden desarrollar singularidades en forma de ondas de choque. 10. Simulando fen´omenos de dispersi´on ∂u ∂ 2u c(x, t) = , ∂t ∂x2

0 ≤ x ≤ 1,

t > 0,

(69)

siendo c(x, t) > 0. En problemas t´ermicos c(x, t) est´a relacionada con la capacidad calor´ıfica del medio. En problemas de flujo con el coeficiente de almacenamiento. 11. Dejando variar x en todo IR se pueden considerar problemas en dominios infinitos: ∂u ∂ 2u = , −∞ < x < ∞, t > 0. (70) ∂t ∂x2 Dos aplicaciones concretas de este tipo de modelos se encuentran en el libro de Mei, pag 137 y 139. Este tipo de problemas de difusi´on (o conducci´on) unidimensional en dominios no acotados se resolver´an an´aliticamente mediante el m´etodo de la Transformada de Fourier en el tema 3. Se suelen completar con condiciones de decaimiento en el infinito (u → ±∞ cuando |x| → ∞) y con condiciones iniciales especiales que simulan impulsos (fuerzas puntuales, localizadas) aplicadas al sistema. Tambi´en se modelizan problemas con cargas puntuales o temperaturas iniciales discontinuas. 12. Dejando variar x en todo IR+ = (0, ∞) (dominio semi-infinito) ∂u ∂ 2u = , 0 < x < ∞, t > 0. (71) ∂t ∂x2 Nuevamente se trata de procesos de difusi´on o conducci´on unidimensional. Se suelen resolver con el m´etodo de las Transformadas senos y cosenos de Fourier. Analizaremos algunos casos modelo en el segundo tema. 13. Considerando m´as variables espaciales: ∂u = ∆u, ∂t

x ∈ Ω ⊂ IRn ,

t > 0,

(72)

siendo Ω un dominio acotado. Para n = 2 se puede encontrar un ejemplo de proceso de conducci´on de calor bidimensional en un rect´angulo en el libro de

5. Ecuaciones parab´olicas.

101

Mei, pag 78. Varios ejemplos aparecen tambi´en en el libro de Zill y en general en la bibliograf´ıa comentada al final del cap´ıtulo. En el tema 2 desarrollaremos un ejemplo de difusi´on de la concentraci´on de una especie qu´ımica en un dominio circular. 14. Incluyendo varios de los fen´omenos y casos anteriores en la clase de ecuaciones parab´olicas cuasilineales c

∂u = ∆u + f (x, t, u, ∇u), ∂t

x ∈ Ω ⊂ IRn ,

t > 0,

(73)

de reacci´on-difusi´on-dispersi´on-convecci´on. Las ecuaciones anteriores y otras similares se tienen que complementar con una condici´on inicial y adecuadas condiciones en el contorno del dominio para obtener problemas de valor inicial y de contorno o problemas (el´ıpticos) s´olo de contorno que est´en bien planteados. En el caso de dominios no acotados (sin contorno, del tipo que aparece en (71)), complementando la ecuaci´on con una condici´on inicial se obtiene el problema de Cauchy o de valor inicial para ecuaciones en derivadas parciales.

5.2.

∗

Algunos fen´ omenos f´ısico-t´ ecnicos que modelizan

Ilustramos aqu´ı, muy brevemente, otros modelos matem´aticos (algunos b´asicos y otros avanzados) que aparecen en las ciencias aplicadas39 . El proceso de difusi´on (de materia o calor por ejemplo) se vuelve m´as interesante cuando otros procesos tienen lugar. Por ejemplo, si durante una reacci´on qu´ımica se libera calor internamente con una tasa, digamos f (T ), por unidad de volumen entonces la ecuaci´on del calor toma la forma Tt = ∇2 T + f (T ) Aunque las soluciones existan y sean u ´nicas para las elecciones t´ıpicas que aparecen en las aplicaciones, ´estas no tienen porque existir para todo tiempo t. As´ı, podemos 00 ver que T se hace singular en un tiempo finito si f > 0 (funciones convexas), caso, por ejemplo en el que f (T ) = T 2 y este fen´omeno se conoce como blow up. El ejemplo m´as conocido es cuando f (T ) = λeT que aparece en teor´ıa de la combusti´on. Este fen´omeno es propio de la difusi´on no lineal. Otra ecuaci´on de difusi´on no lineal viene dada por ejemplo por la ecuaci´on de calor 39

V´ease el libro de A.C. Fowler, Mathematical Models in the Applied Sciences. (1997).

102

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

con conductibilidad t´ermica dependiente de la temperatura ρcp Tt = ∇ (k(T )∇T ) Informaci´on sobre este tipo de dependencia en los modelos qu´ımicos se puede encontrar en el vol 2 del libro de Costa Novella sobre Fen´omenos de Transporte donde hay una aplicaci´on concreta pero al caso unidimensional (EDO). El flujo de un gas en un medio poroso es otro fen´omeno t´ıpico de difusi´on no lineal. Para verlo, se considera la ley de conservaci´on (de la masa) ρt + ∇ · q = 0 donde q es el flujo (de materia) y ρ la densidad del gas. En analog´ıa con la ley de Fourier y la ley de Fick, este flujo viene dado (en hip´otesis de flujo lento) por la ley de Darcy k q = − ρ∇p µ donde k es la permeabilidad y µ la viscosidad del gas. Aqu´ı p representa la presi´on (responsable del flujo). Finalmente, utilizando la ley constitutiva para los gases perfectos (o ideales) p = ρRT se tiene que (en hip´otesis de flujo isotermo, es decir T constante) ·½ ¾ ¸ kRT ρt = ∇ · ρ∇ρ µ que es una ecuaci´on del tipo (65). Esta ecuaci´on, escrita en variables adimensionales adecuadas se puede resolver mediante el m´etodo de combinaci´on de variables que estudiaremos en el tercer tema de esta asignatura. N´otese que el coeficiente de difusi´on a(x, ρ) = cρ (c = kRT /µ es constante) tiende a cero cuando ρ tiende a cero, un comportamiento muy interesante conocido con el nombre de degeneraci´ on y que consideraremos m´as adelante. S´olo observamos que la se˜ nal evidente de difusi´on no lineal degenerada es la existencia de un frente que se propaga con velocidad finita (contrariamente al caso de la ecuaci´on del calor propiamente dicha donde hay velocidad inifinita de propagaci´on de las perturbaciones). Digamos que las ecuaciones parab´olicas degeneradas tienen propiedades cualitativas m´as propias de las ecuaciones hiperb´olicas que de las parab´olicas. Otro contexto donde se generan ecuaciones parab´olicas no lineales degeneradas es el de la modelizaci´on del flujo de aguas subterr´aneas en un medio poroso no saturado. Complementando la Ley de Darcy con una ecuaci´on para la conservaci´on de la fase (o las fases40 ) y siendo φ la porosidad del suelo, ρ la densidad material (masa por 40

Por ejemplo en un yacimiento petrol´ıfero las fases son petr´oleo y agua.

5. Ecuaciones parab´olicas.

103

unidad de volumen del fluido) la ecuaci´on que describe el modelo para el flujo en un medio poroso r´ıgido es · ¸ ∂(ρφ) k =∇· ρ∇ρ ∂t µ Otro ejemplo es el flujo de agua en un terreno saturado que se describe (en el caso unidimensional y en la direcci´on transversal z) mediante la ecuaci´on φt − V φx = (Dφz )z siendo V y D constantes positivas y φ la porosidad del medio. Ecuaciones del tipo (65) (complementadas con un t´ermino de reacci´on del tipo f (x, t)) surgen tambi´en al describir la evoluci´on (en el caso isotermo) del espesor h(x, t) de una capa de hielo, en la forma · ¸ ∂ 1 3 ht = h hx + a(x, t) ∂x 3 En este caso m = 3, y a(x, t) es una funci´on que representa la tasa de acumulaci´on/ablaci´on de hielo debida a las condiciones atmosf´ericas y la ecuaci´on es una ecuaci´on de difusi´on no lineal degenerada41 . Excepto cuando a(x, t) ≡ 0 esta ecuaci´on no puede ser resuelta anal´ıticamente. Se puede sin embargo analizar cuantitativamente (es decir, a nivel num´erico) o cualitativamente (mediante m´etodos de energ´ıa). Tambi´en es posible realizar un detallado an´alisis asint´otico (una t´ecnica propia de la teor´ıa de la perturbaci´on). Una ulterior dificultad (especialmente a nivel num´erico aunque existen t´ecnicas avanzadas para su tratamiento) consiste en el hecho que el dominio donde se tiene que verificar la ecuaci´on no es conocido a priori y tiene que ser determinado junto con la soluci´on. El marco correcto en el cual considerar esta ecuaci´on se construye mediante la teor´ıa de operadores mult´ıvocos y el problema es unilateral42 (del tipo problema de obst´aculo). La teor´ıa y el comportamiento cualitativo de las soluciones de esta ecuaci´on no lineal depende, cr´ıticamente, de los valores de m seg´ un que se tenga 0 < m < 1 (caso singular) o m > 1 (caso degenerado). En general se emplea la ecuaci´on (66) (de tipo no lineal parab´olico eventualmente degenerado) para modelizar las din´amicas no lineales de los fluidos geof´ısicos. Por 41

Intuitivamente hay degeneraci´on cuando el coeficiente de difusi´on se anula en alguna subregi´on del dominio. Se trata de un fen´omeno propio de las ecuaciones no lineales (es decir no puede ocurrir en las ecuaciones lineales) pero no ocurre en todas las ecuaciones no lineales siendo caracterizado por un delicado balance entre la velocidad de difusi´on y el tama˜ no del dominio. Un estudio detallado se encuentra en el libro de J.I. D´ıaz sobre fronteras libres citado en la bibliograf´ıa avanzada. N´otese que el fen´omeno puede darse tanto en ecuaciones el´ıpticas como en ecuaciones parab´olicas siendo necesario pero no suficiente el car´acter no lineal del t´ermino de difusi´on. 42 Se trata de un tipo de formulaci´on matem´atica muy utilizado en mec´anica de fluidos que permite incorporar al problema matem´atico distintas fenomenolog´ıas que satisfacen unas condiciones de admisibilidad f´ısica.

104

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

ejemplo, la expresi´on a(x, u, ux ) = |ux |p−2 permite describir el flujo lento, viscoso, no newtoniano de las grandes masas de hielo polar que recubren la Ant´artida y Groenlandia. Otro fluido geof´ısico no newtoniano es el magma. Finalizamos este tema con unos comentarios sobre los sistemas de ecuaciones en derivadas parciales. Es evidente (v´eanse los comentarios en la primera secci´on sobre los fen´omenos de transporte) que una descripci´on detallada del estado de un sistema se puede obtener a partir de la consideranci´on simult´anea de las ecuaciones en derivadas parciales que nacen al aplicar las leyes de conservaci´on. Surgen as´ı unos sistemas modelo que aparecer´an muy a menudo en la carrera de un ingeniero qu´ımico. El modelo fundamental o b´asico, a partir del cual se obtienen otros casos digamos habituales, es el sistema de ecuaciones que se genera al considerar la ecuaci´on de conservaci´on de la masa (ecuaci´on de continuidad) con la de conservaci´on de la cantidad de movimiento (ecuaci´on del equilibrio) para la descripci´on del flujo de un fluido newtoniano. Nos referimos al sistema de Navier Stokes   

∇·u = 0

1   ut + (u · ∇)u = − ∇p + ν∇2 u ρ

(74)

siendo ν = µ/ρ la viscosidad cinem´atica, µ la viscosidad din´amica, ρ la densidad, p la presi´on y u la velocidad. Si U es una velocidad t´ıpica del fluido y l es una dimensi´on t´ıpica de la geometr´ıa del flujo entonces el sistema (74) se puede escribir en variables adimensionales en la forma   

∇·u = 0

  ut + (u · ∇)u = −∇p + 1 ∇2 u Re

(75)

siendo el par´ametro adimensional Re= U l/ν llamado n´ umero de Reynolds. Si Re¿ 1 (es decir, para valores del n´ umero de Reynolds muy peque˜ nos) el movimiento del flujo es muy lento (se llama flujo de Stokes) y la ecuaci´on del momento se puede aproximar por ∇p = ∇2 u donde la presi´on ha sido reescalada mediante 1/Re. Se trata de una perturbaci´on regular, al menos en dominios finitos. Si ReÀ 1 (es decir, si el n´ umero de Reynolds es muy grande) entonces la aproximaci´on de la ecuaci´on del equilibrio es la ecuaci´ on de Euler ut + (u · ∇)u = −∇p

5. Ecuaciones parab´olicas.

105

que se obtiene en el l´ımite µ l´ım Re→∞

1 2 ∇u Re

¶ →0

Se trata de una perturbaci´on singular pues al eliminar los efectos viscosos se reduce el orden de la ecuaci´on y pueden aparecer muchas complicaciones. Tras el abanico de posibilidades evidenciado en esta secci´on (y en las anteriores) podemos afirmar que las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales gobiernan numerosos fen´omenos que aparecen en f´ısica-matem´atica. Esto no quiere decir que las ecuaciones ordinarias (que suelen aparecer en modelos m´as b´asicos) no puedan ser v´alidas para modelizar adecuadamente un fen´omeno. Tampoco es cierto (en general) que las ecuaciones ordinarias son simples y m´as facilmente resolubles pero es evidente que las simplificaciones (mediante an´alisis dimensional) de los modelos suelen empobrecer el grado de aproximaci´on a la realidad del fen´omeno f´ısico considerado. Digamos que se suele simplificar el modelo43 hasta poder alcanzar una soluci´on anal´ıtica exacta o anal´ıtica aproximada del mismo que permita validar los resultados num´ericos. Tales simplificaciones suelen venir sugeridas por el an´alisis dimensional (previo) de las ecuaciones lo que proporciona una aproximaci´on sensible del modelo originario. Las ecuaciones en derivadas parciales representan, por tanto, un grado superior de aproximaci´on a la realidad del fen´omeno modelizado sin que ello haga in´ util o redundante el manejo de las ecuaciones ordinarias. N´otese en efecto que utilizaremos EDO para resolver anal´ıticamente EDP. Para los ingenieros qu´ımicos el campo de aplicaci´on dominante de las ecuaciones en derivadas parciales es, sin duda, el de los fen´omenos de transporte entendi´endose por ello el transporte difusivo-dispersivo-convectivo-reactivo de materia o transporte conductivo-convectivo de calor. Adem´as las t´ecnicas que veremos para su resoluci´on tendr´an m´ ultiples aplicaciones, por ejemplo la Transformada de Laplace al trabajar con control y dise˜ no de experimentos o las series de Fourier en el an´alisis de la estabilidad de los esquemas num´ericos en diferencias finitas utilizados para aproximar las soluciones de las EDP. Digamos que proporcionaremos m´etodos para resolver problemas con la idea de que el alcance de los m´etodos vaya mucho m´as all´a de la resoluci´on del problema inicialmente planteado. Entraremos en detalles en este tipo de problemas en los temas 2 y 3, al considerar algunos ejemplos concretos que se pueden encontrar, por ejemplo, en los libros de Costa Novella que aparecen en la bibliograf´ıa. 43

Una t´ecnica consolidada en la modelizaci´on consiste en efecto en desmontar el modelo (deducido a partir de las leyes de conservaci´on y de las leyes constitutivas) en sus piezas fundamentales, analizarlo y, tras ello, volver a considerar, uno a uno, los t´erminos inicialmente despreciados para tener as´ı una idea de los efectos producidos y de su importancia relativa.

106

6.

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

Anexo

En esta secci´on recordaremos r´apidamente varios conceptos necesarios para el entendimiento de las otras secciones. Se trata de un material que b´asicamente se vi´o en el curso de primero pero que ha sido complementado con una interpretaci´on directa y pr´actica del lenguaje matem´atico asociado a los conceptos de trayectorias y superficies en t´erminos de la mec´anica de fluidos. Sirven de enlace con la terminolog´ıa adoptada en cursos paralelos a ´este.

6.1.

Introducci´ on a las trayectorias

Matem´aticamente es u ´til pensar en una curva C como un conjunto de valores de una funci´on que manda un intervalo de n´ umeros reales al plano o al espacio. A dicha aplicaci´on le llamaremos trayectoria. Por lo com´ un se denota una trayectoria mediante c. Entonces la imagen C de una trayectoria corresponde a la curva. Frecuentemente escribimos t como la variable independiente y la imaginamos como el tiempo, de manera que c(t) es la posici´on en el tiempo t de una part´ıcula en movimiento, la cual describe una curva conforme t var´ıa. Tambi´en decimos que c (la trayectoria) parametriza C (la curva). Definici´ on 6.1. Una trayectoria en IRn es una aplicaci´ on c : [a, b] → IRn ; Si n = 2 es una trayectoria en el plano y si n = 3 es una trayectoria en el espacio. La colecci´ on C de puntos c(t), conforme t var´ıa en [a, b] se denomina curva, y c(a), c(b) son sus puntos extremos. Se dice que la trayectoria c parametriza la curva C. Si c es una trayectoria en IR3 , podemos escribir c(t) = (x(t), y(t), z(t)) y llamamos a x(t), y(t), z(t) funciones componentes de c. Formamos de manera an´aloga las funciones componentes en IR2 o, en general, en IRn . Si imaginamos los puntos c(t) como la curva descrita por una part´ıcula y t como el tiempo, es razonable definir el vector velocidad como sigue Definici´ on 6.2. Si c es una trayectoria y es diferenciable, decimos que c es una trayectoria diferenciable. La velocidad de c en el tiempo t se define mediante c(t + h) − c(t) h→0 h

c0 (t) = l´ım

La rapidez de la trayectoria c(t) es la longitud del vector velocidad: ||c0 (t)||.

6. Anexo

107

Si c(t) = (x(t), y(t)) en IR2 entonces c0 (t) = (x0 (t), y 0 (t)) = x0 (t)i + y 0 (t)j y si c(t) = (x(t), y(t), z(t)) en IR3 entonces c0 (t) = (x0 (t), y 0 (t), z 0 (t)) = x0 (t)i + y 0 (t)j + z 0 (t)k N´otese que la velocidad c0 (t) es un vector tangente a la trayectoria c(t) en el tiempo t. Si C es una curva descrita por c y si c0 (t) 6= 0, entonces c0 (t) es un vector tangente a la curva C en el punto c(t). Si c representa la trayectoria de una part´ıcula que se mueve, entonces su vector velocidad es una funci´on vectorial v = c0 (t) (que depende de t) y su rapidez es 00 ||v||. La derivada a = dv/dt = c (t) se llama aceleraci´ on de la curva. Si la curva es (x(t), y(t), z(t)) entonces la aceleraci´on en el tiempo t est´a dada por 00

00

00

a(t) = x (t)i + y (t)j + z (t)k

Muy a menudo se tratar´a de evaluar campos escalares a lo largo de curvas en el espacio. Particularmente u ´til es el siguiente resultado (que es un caso particular de la regla de la cadena) Teorema 6.1. Sea c : IR → IR3 , c(t) = (x(t), y(t), z(t)) una trayectoria diferenciable y f : IR3 → IR un campo escalar. Sea h : IR → IR definida por h(t) = f (c(t)) = f (x(t), y(t), z(t)) Entonces

dh = ∇f (c(t)) · c0 (t) dt

donde c0 (t) = (x0 (t), y 0 (t), z 0 (t)) Nos preguntamos cual es la longitud de una trayectoria. Puesto que la rapidez ||c0 (t)|| es la tasa de cambio de la distancia recorrida respecto al tiempo, la distancia recorrida por un punto que se mueve a lo largo de la curva debe ser la integral de la rapidez respecto al tiempo sobre el intervalo de tiempo [t0 , t1 ]. Definici´ on 6.3. La longitud de una trayectoria, llamada longitud de arco s (tambi´en se suele denotar por σ), es Z t1 . s= ||c0 (t)||dt t0

108

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

Se deduce que la longitud de arco de la trayectoria c(t) = (x(t), y(t), z(t)) para t0 ≤ t ≤ t1 es . s=

Z

t1

p x0 (t)2 + y 0 (t)2 + z 0 (t)2 dt

t0

La funci´ on de longitud de arco s(t) para una trayectoria dada c(t) se define por . s(t) =

Z

t

||c0 (τ )||dτ

t0

representa la distancia que una part´ıcula, viajando por la trayectoria c, habr´a recorrido en el tiempo t si comienza en el tiempo t0 ; esto es, proporciona la longitud de c entre c(t0 ) y c(t). Pasamos ahora a la definici´on de la diferencial de la longitud de arco Definici´ on 6.4. Un desplazamiento infinitesimal de una part´ıcula que sigue una trayectoria c(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k es µ ds = dxi + dyj + dzk = y su longitud ds =

sµ

p

dx2 + dy 2 + dz 2 =

¶ dx dy dz i + j + k dt dt dt dt

dx i dt

¶2

µ +

dy j dt

¶2

µ +

dz k dt

¶2 dt

es la diferencial de longitud de arco. La f´ormulas anteriores nos ayudan a recordar la f´ormula de la longitud de arco Z t1 s= ds t0

y, en general, la definici´on de integral de trayectoria (o integral curvil´ınea o integral del campo escalar f (x, y, z) a lo largo de la trayectoria) Definici´ on 6.5. Sea c : [a, b] → IR3 una trayectoria de clase C 1 y f : c(t) ⊂ IR3 → IR continua para cada t ∈ [a, b]. Se define entonces la integral de trayectoria del campo escalar f como Z Z t1 . f ds = f (x(t), y(t), z(t))||c0 (t)||dt c t0

6. Anexo

109

Los elementos diferenciales ds con respecto de los cuales se integra vienen dados por la longitud de la diferencial de longitud de arco. N´otese que, a veces, la integral de trayectoria se denota con Z Z Z t1 f ds = f (x, y, z)ds = f (c(t))||c0 (t)||dt c c t0

Un caso importante de la integral de trayectoria se presenta cuando la trayectoria c describe una curva plana. Suponiendo que f es una funci´on real de dos variables la integral de trayectoria a lo largo de c es Z

Z f (x, y)ds =

t1

p f (x(t), y(t)) x0 (t)2 + y 0 (t)2 dt

c t0 Otro tipo de integral de trayectoria, esta vez de un campo vectorial F : IR3 → IR3 continuo sobre una trayectoria diferencible con continuidad es la integral de l´ınea (o integral de circulaci´on). El elemento diferencial considerado es ahora ds es decir la diferencial de longitud de arco. Con m´as precisi´on se tiene Definici´ on 6.6. Sea F un campo vectorial continuo sobre la trayectoria c de clase 1 C en [t0 , t1 ]. Definimos la integral de l´ınea de F a lo largo de c como Z c

. F · ds =

Z

t1

F (c(t)) · c0 (t)dt

t0

Para trayectorias que satisfagan c0 (t) 6= 0 hay otra f´ormula u ´til para la integral de 0 l´ınea. Siendo T (t) = c (t) el vector tangente a la trayectoria (t = c0 (t)/||c0 (t)|| es el vector tangente unitario), tenemos Z

. F · ds =

Z

t1

Z 0

F (c(t)) · c (t)dt =

t1

[F (c(t)) · T (t)] ||c0 (t)||dt

c t0 t0 Esta f´ormula nos dice que la integral de l´ınea del campo vectorial es igual a la integral de trayectoria de su componente tangencial. Para campos vectoriales gradientes (o conservativos o irrotacionales) existe una f´ormula muy f´acil de c´alculo de sus integrales de l´ınea Definici´ on 6.7. Sea f : IR3 → IR un campo escalar de clase C 1 sobre la trayectoria c de clase C 1 en [t0 , t1 ]. Entonces Z ∇f · ds = f (c(t1 )) − f (c(t0 )). c

110

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

Volviendo al concepto de longitud de arco notamos que se puede extender a trayectorias en el espacio n-dimensional. V´ease a este respecto la secci´on 4.2, pag 260, del libro de Marsden y Tromba. Construimos ahora una reparametrizaci´ on de c mediante la longitud de arco. Para ello caracterizamos primero el concepto de reparametrizaci´on. Sea c(t) una trayectoria dada para t ∈ [a, b]. Sea s = α(t) una nueva variable donde α(t) una funci´on de clase C 1 estr´ıctamente creciente definida en [a, b]. Las hip´otesis efectuadas aseguran que para cada s ∈ [α(a), α(b)] existe un t u ´nico tal que α(t) = s. Definimos entonces la trayectoria d : [α(a), α(b)] → IR3 mediante d(s) = c(t). Las curvas imagenes de c y d son las mismas (es decir que d es una reparametrizaci´on de la curva imagen de la trayectoria c) y c y d tienen la misma longitud de arco. Elegimos ahora la funci´on α(t), definiendo Z

t

s = α(t) =

||c0 (τ )||dτ

a

Si definimos d como se hizo antes, mediante d(s) = c(t) entonces se verifica que ||d0 (s)|| = 1 Se dice entonces que d(s) es una reparametrizaci´ on de c dada por la longitud de arco. Una trayectoria parametrizada mediante la longitud de arco tiene rapidez unitaria. Pasamos a la definici´on de los conceptos geom´etricos de tangente unitaria, rapidez unitaria, vector normal principal y vector binormal. Definici´ on 6.8. Dada una trayectoria c : [a, b] → IR3 tal que c0 (t) 6= 0 para todo t el vector . c0 (t) t(t) = 0 ||c (t)|| es tangente a c en c(t) y, como ||t|| = 1, el vector t se llama tangente unitaria a c. Dada una trayectoria parametrizada mediante la longitud de arco, digamos por c(s), la curvatura en un punto c(s) sobre una trayectoria se define por 00

k = ||t0 (s)|| = ||c (s)|| Pasamos ahora a la definici´on de vector normal principal y vector binormal

6. Anexo

111

Definici´ on 6.9. Dada una trayectoria c(t), si t0 (t) 6= 0 se tiene que el vector . t0 (t) n(t) = 0 ||t (t)|| es normal a t(t) y es unitario. El vector n se llama vector normal principal. Un tercer vector unitario que es perpendicular tanto a t como a n se define por b = t ∧ n y se llama vector binormal. Los vectores t, n y b forman un sistema de vectores ortogonales entre s´ı que siguen la regla de la mano derecha y que se va moviendo a lo largo de la trayectoria.

Una aplicaci´on muy importante del concepto de trayectoria consiste en la caracterizaci´on de las l´ıneas de flujo de un campo vectorial. En mec´anica de fluidos el campo vectorial a considerar es el campo de velocidades de un fluido. Un campo de velocidades se dice estacionario en una regi´on del espacio (o del plano para campos bidimensionales) si la velocidad del fluido que pasa por los puntos de la regi´on considerada no cambia con el tiempo (n´otese que esto no quiere decir que el fluido no se est´a moviendo). Por ejemplo se dice que el flujo de agua por una tuber´ıa es estacionario si en cada punto de la tuber´ıa la velocidad del fluido que pasa por ese punto no cambia con el tiempo. Definici´ on 6.10. Si F es un campo vectorial, una l´ınea de flujo para F es una trayectoria c(t) tal que verifica el sistema de EDO c0 (t) = F (c(t)) Esto es, el campo de velocidad de la trayectoria viene generado (o producido) por el campo vectorial F . En el contexto del flujo de agua por una tuber´ıa una l´ınea de flujo se puede asemejar a la trayectoria seguida por una part´ıcula peque˜ na (con densidad igual a la del fluido y rozamiento con ´el nulo) suspendida en el fluido. Por ello, las l´ıneas de flujo se llaman, apropiadamente, l´ıneas de corriente o curvas integrales. El vector velocidad v de un fluido es tangente a una l´ınea de flujo y la expresi´on de esta propiedad es v ∧ t = 0, que es la ecuaci´on vectorial del sistema de EDO que determina las l´ıneas de flujo del campo dado por c0 (t) = F (c(t)). Si c(t) = (x(t), y(t), z(t)) = x(t)i + y(t)j + z(t)k,

F = v = P i + Qj + Rk

siendo P = P (x, y, z),

Q = Q(x, y, z),

se tiene que el sistema de EDO es

R = R(x, y, z),

112

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

 0 x (t) = P (x(t), y(t), z(t))   y 0 (t) = Q(x(t), y(t), z(t))   0 z (t) = Z(x(t), y(t), z(t)) Ejemplo 6.1. Probar que la trayectoria c(t) = (cos t, sin t) es una l´ınea de flujo para el campo F (x, y) = (−y, x). Determinar las otras l´ıneas de flujo. En primer lugar interpretamos el campo vectorial como un campo de velocidades de un fluido F (x, y) = v(x, y) = (vx (x, y), vy (x, y)) = (−y, x) = −yi + xj La imagen de la trayectoria dada es un c´ırculo. Para que sea una l´ınea de flujo debe verificar las ecuaciones c0 (t) = F (c(t)), lo que es cierto pues c0 (t) = − sin(t)i + cos(t)j = F (cos(t), sin(t)) = − sin(t)i + cos(t)j as´ı que tenemos una l´ınea de flujo. Las otras l´ıneas de flujo tambi´en son c´ırculos. En efecto, puesto que P (x, y) = −y, Q(x, y) = x y no hay dependencia en la variable z (pues se trata de un flujo plano) se tiene que resolver ½

x0 (t) = −y(t) y 0 (t) = x(t)

sujeto a las condiciones iniciales x(t0 ) = x0 , y(t0 ) = y0 . Utilizando las t´ecnicas expuestas en el tema 14 de la asignatura de Elementos de Matem´aticas y recordando la operaci´on de exponenciaci´on de matrices se deduce que las soluciones del sistema son x(t) = R cos(t − t0 ) y(t) = R sin(t − t0 ) es decir, las trayectorias c(t) = (R cos(t − t0 ), R sin(t − t0 )) cuyas im´agenes son las curvas dadas por todos los c´ırculos centrados en el origen, de radio R y que arrancan en los puntos del semieje positivo de las x dados por (x0 , y0 ) = (R, 0). Por cada punto del plano xy y en cada instante de tiempo pasa una u ´nica l´ınea de flujo.

6. Anexo

6.1.1.

113

Flujo de un campo

Es conveniente utilizar una notaci´on especial para la u ´nica soluci´on que pasa por un punto dado en el tiempo t = 0. Es posible razonar en una gen´erica dimensi´on n. Se fija una condici´on inicial x0 = x(0) ∈ IRn y se sigue a lo largo de la l´ınea de flujo durante un tiempo t hasta alcanzar la nueva posici´on φ(x, t). Es decir, que φ(x, t) ∈ IRn se define como la posici´on del punto en la l´ınea de flujo que pasa por x0 despu´es de haber transcurrido un tiempo t. Matem´aticamente esto se traduce diciendo que φ(x, t) est´a definida como la soluci´on del PVI asociado al sistema (

∂ φ(x, t) = F (φ(x, t)) ∂t φ(x, 0) = x0

La funci´on φ, que se considera como funci´on de las variables (x, t), φ : IRn ×[0, ∞) → IRn se llama flujo de F . Se demuestra tambi´en que φ es una funci´on diferenciable. El concepto de flujo nos permite introducir el concepto del operador diferencial derivada material de un campo escalar f respecto a un campo vectorial F . En concreto, sea f (x, t) una funci´on con valores reales, f : IRn × [0, ∞) y sea F : IRn → IRn un campo vectorial. Definici´ on 6.11. Se define la derivada material de un campo escalar f con respecto a un campo vectorial F como Df . ∂f = + ∇f (x) · F Dt ∂t La definici´on anterior se interpreta observando que la derivada material coincide con la derivada con respecto de t de f transportada por el flujo de F , es decir, la derivada con respecto de t de f (φ(x, t), t).

6.1.2.

Flujos potenciales

Recordaremos en esta secci´on las definiciones de la funci´on potencial para flujos irrotacionales (potenciales). Este tipo de flujo es propio de los fluidos no viscosos (que m´as adelante caracterizaremos como ideales o perfectos). En efecto, en un fluido sin viscosidad no pueden existir tensiones (fuerzas) tangenciales o rasantes (de cizalla) sobre sus elementos, y las fuerzas de presi´on o campo que act´ uen sobre ellos, podr´an provocar deformaciones pero nunca rotaciones de los mismos. Finalmente

114

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

observamos que en los supuestos de flujo plano y estacionario las l´ıneas de corriente de un flujo potencial siempre empiezan (y acaban) en el infinito. Sea v = (vx , vy , vz ) un campo vectorial de velocidades estacionario44 tal que w = rotv = 0 (es decir con vorticidad w nula). Entonces existe una funci´on potencial φ(x, y, z) tal que v = ∇φ. Nos limitaremos aqu´ı al caso bidimensional. Dependiendo del sistema de coordenadas se tiene

Sistema de Coord.

Funci´ on potencial φ µ

Rectangulares

v = (vx , vy ) = µ

Polares

6.1.3.

v = (vr , vθ ) =

∂φ ∂φ , ∂x ∂y

¶

∂φ 1 ∂φ , ∂r r ∂θ

¶

Flujos incompresibles

Recordaremos brevemente las definiciones de la funci´on de corriente para flujos incompresibles en los sistemas de coordenadas rectangulares y cil´ındricas. Obs´ervese que los fluidos incompresibles se caracterizan por la condici´on de divergencia nula. Si la densidad del fluido es constante entonces el fluido es, por supuesto, incompresible. Por otra parte existen fluidos incompresibles cuya densidad no es constante. En efecto, en condiciones isotermas, la compresibilidad de un fluido, c, se define mediante: 1 dρ c= ρ dp siendo ρ la densidad y p la presi´on del fluido. Si el fluido es incompresible dρ =0 dp Esto se cumple obviamente si ρ (la densidad) es constante en todo el fluido. Tambi´en se puede cumplir si ρ no es constante pero es independiente de la presi´ on, ρ = ρ(x), x ∈ Ω, como por ejemplo en el caso de flujos multif´asicos incompresibles (aguapetr´oleo, por ejemplo). En este sentido la incompresibilidad se puede traducir como 44

Esta hip´otesis no es absolutamente necesaria. S´olo simplifica el tratamiento matem´atico.

6. Anexo

115

constancia de la densidad respecto a la presi´ on (aunque pueda depender de otras variables que no sean a su vez funci´on de la posici´on. El flujo de un l´ıquido siempre es incompresible (digamos que se puede despreciar el efecto de la compresibilidad) pero el flujo de un gas podr´a tambi´en ser considerado como tal (es decir puede fluir sin importantes variaciones de su densidad) si el flujo es subs´onico45 pero no deja de ser m´as que una idealizaci´on. Sea v = (vx , vy , vz ) un campo vectorial de velocidades estacionario tal que divv = 0 (es decir con divergencia nula). Entonces existe una funci´on de corriente ψ(x, y, z) tal que v · ∇ψ = 0. Nos limitaremos aqu´ı al caso bidimensional luego tendremos, respectivamente, cuatro casos: I Coordenadas rectangulares con vz = 0 y ninguna dependencia en la variable z. II Coordenadas cil´ındricas con vz = 0 y ninguna dependencia en la variable z (son equivalentes a las coordenadas polares) III Coordenadas cil´ındricas con vθ = 0 y ninguna dependencia en la variable θ IV Coordenadas Esf´ericas con vφ = 0 y ninguna dependencia en la variable φ. Dependiendo del sistema de coordenadas se tiene: Sistema de Coord.

Funci´ on de corriente µ

I) Rectangulares con vz = 0

v = (vx , vy ) = µ

II) Cil´ındricas con vz = 0

v = (vr , vθ ) = µ

III) Cil´ındricas con vθ = 0

v = (vr , vz ) = µ

IV) Esf´ericas con vφ = 0

45

v = (vr , vθ ) =

∂ψ ∂ψ ,− ∂y ∂x

¶

1 ∂ψ ∂ψ ,− , r ∂θ ∂r

¶

1 ∂ψ 1 ∂ψ ,− , r ∂z r ∂r

¶

1 ∂ψ 1 ∂ψ ,− 2 r sin θ ∂θ r sin θ ∂r

¶

La clasificaci´on del flujo de un gas en subs´onico (flujo incompresible) y trans´onico, supers´onico o hipers´onico (flujos compresibles) se realiza mediante el c´alculo del n´ umero de Mach que expresa la relaci´on entre la velocidad media del gas y la del sonido en su seno.

116

6.1.4.

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

Fluidos perfectos

Deduciremos ahora la ecuaci´ on de Euler para un fluido perfecto (o ideal) entendiendo por ello un fluido que fluye sin viscosidad46 (el an´alogo del rozamiento entre los s´olidos). El flujo real es el flujo de los fluidos reales con viscosidad apreciable, siempre rotacional. Consideremos un fluido no viscoso que se mueve en un campo de velocidad v. Cuando decimos que el fluido es perfecto queremos decir que en cualquier parte del fluido Ω, act´ uan fuerzas de presi´on sobre la frontera ∂Ω a lo largo de su normal. Suponemos que la fuerza por unidad de ´area que act´ ua sobre ∂Ω es −pn, siendo p(x, y, z, t) la funci´on de presi´ on (es un campo escalar). As´ı la fuerza total de presi´on que act´ ua sobre ∂Ω es ZZ F ∂Ω = Fuerza = − pndS ∂Ω

´ Esta es una cantidad vectorial. Si aplicamos el teorema de la divergencia a cada componente del campo vectorial de fuerzas se tiene que ZZZ F ∂Ω = −

∇pdxdydz Ω

Sea φt (x) = φ(x, t) el flujo del campo v y sea Ωt = φt (Ω) una regi´on en movimiento. Aplicando la segunda ley de Newton a Ωt , la raz´on de cambio (la variaci´on) de la cantidad de movimiento de Ωt es igual a la fuerza que act´ ua sobre ella: ZZZ ZZZ d ρvdxdydz = F ∂Ωt = − ∇p dxdydz dt Ωt Ωt Utilizando la ecuaci´ on del transporte que afirma que en cualquier regi´on Ωt que se mueve con el fluido se tiene d dt

ZZZ µ

ZZZ f (x, y, z, t)dxdydz = Ωt

Ωt

Df + f divF Dt

¶ dxdydz

(siendo Df /Dt el operador de derivaci´on material) y aplicando el teorema del transporte se obtiene ZZZ · Ωt 46

¸ ZZZ ∂ (ρv) + v · ∇(ρv) + ρvdivv dxdydz = − ∇p dxdydz ∂t Ωt

En muchos textos (v´ease por ejemplo el vol. 2 sobre fen´omenos de Transporte, cap´ıtulo 1, secci´on 7.4, pag 50 de los libros de Costa Novella) se identifican los fluidos perfectos como los fluidos cuyo flujo es no viscoso, incompresible e irrotacional. Otros textos a˜ naden la hip´otesis de flujo estacionario.

6. Anexo

117

Puesto que Ωt es arbitraria (es decir que lo anterior es cierto para cualquier regi´on que se mueve con el fluido), esto es equivalente a ∂ (ρv) + v · ∇(ρv) + ρvdivv = −∇p ∂t Utilizando la ecuaci´on de continuidad ρt + divJ = 0 siendo J = ρv escrita en la forma ∂ρ + v · ∇ρ + ρdivv = 0 ∂t se deduce µ ρ

∂v + v · ∇v ∂t

¶ = −∇p

(76)

que es la ecuaci´on de Euler para un fluido perfecto. Para fluidos compresibles, p (la presi´on) es una funci´on dada (conocida) de ρ (por ejemplo, para muchos gases p = Aργ para constantes A y γ dadas). Si, por otra parte el fluido es incompresible, p se determina a partir de la condici´on divv = 0. En este caso, la condici´on de divergencia nula complementada con la ecuaci´on de Euler (76) gobiernan el movimiento del fluido.

6.2.

Representaciones de curvas y superficies

Existen b´asicamente tres m´etodos de representaci´on de superficies que permiten expresar anal´ıticamente tal lugar geom´etrico47 . Uno es la representaci´ on impl´ıcita en el que se considera una superficie como un conjunto de puntos (x, y, z) que satisfacen una ecuaci´on de la forma F (x, y, z) = 0 Por ejemplo la esfera de radio 1 y centro en el origen tiene la representaci´on impl´ıcita x2 + y 2 + z 2 − 1 = 0 Algunas veces (v´ease la secci´on 9.13 del gui´on del primer curso dedicada a las funciones definidas impl´ıcitamente) podemos despejar en la ecuaci´on una de las coordenadas en funci´on de las otras dos, por ejemplo z en funci´on de x e y. Cuando esto es posible obtenemos una representaci´ on expl´ıcita dada por una o varias ecuaciones de la forma z = f (x, y) 47

Una superficie, a groso modo, puede identificarse con el lugar geom´etrico de un punto que se mueve en el espacio con dos grados de libertad. V´ease el libro de Apostol, Vol 2, cap´ıtulo 12.

118

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

Por ejemplo, al despejar z en la representaci´on impl´ıcita anterior de la esfera se tiene p p z = 1 − x2 − y 2 , z = − 1 − x2 − y 2 , La primera es la representaci´on expl´ıcita de la semiesfera superior y la segunda de la inferior. Existe un tercer m´etodo de representaci´on de superficies que es m´as u ´til en el estudio de las mismas; es la representaci´ on param´etrica o vectorial por medio de tres ecuaciones que expresan x, y, z en funci´on de dos par´ametros u y v: x = X(u, v),

y = Y (u, v),

z = Z(u, v)

(77)

Aqu´ı el punto (u, v) puede variar en un conjunto conexo bidimensional Ω en el plano uv, y los puntos (x, y, z) correspondientes constituyen una porci´on de superficie en el espacio IR3 . Este m´etodo es an´alogo al de la representaci´on de una curva en IR3 mediante tres ecuaciones con un solo par´ametro. La presencia de los dos par´ametros en (77) permite transmitir dos grados de libertad al punto (x, y, z). Si introducimos el radio vector que une el origen con un punto gen´erico (x, y, z) de la superficie, podemos combinar las tres ecuaciones param´etricas (77) en una ecuaci´on vectorial de la forma r(u, v) = X(u, v)i + Y (u, v)j + Z(u, v)k

(78)

´ donde (u, v) ∈ Ω. Esta es la llamada ecuaci´ on vectorial de la superficie. Existen muchas representaciones param´etricas de la misma superficie. Una de ellas puede obtenerse a partir de la forma expl´ıcita z = f (x, y) tomando X(u, v) = u,

Y (u, v) = v,

Z(u, v) = f (u, v)

Ejemplo 6.2. La representaci´ on param´etrica de una esfera de radio a y centro en el origen es x = a cos u cos v,

y = a sin u cos v,

z = a sin v

Si elevamos al cuadrado las tres ecuaciones y sumamos resulta x2 + y 2 + z 2 = a2 y vemos que todo punto (x, y, z) que satisface las ecuaciones param´etricas est´a en la esfera. Consid´erese ahora una superficie representada por la ecuaci´on vectorial (78). Si X, Y y Z son derivables en Ω podemos considerar los dos vectores ∂X ∂Y ∂Z ∂r = i+ j+ k, ∂u ∂u ∂u ∂u

∂r ∂X ∂Y ∂Z = i+ j+ k ∂v ∂v ∂v ∂v

6. Anexo

119

Ambos vectores son tangentes a la superficie. M´as concretamente, el vector ∂r/∂u es tangente a una u-curva en la superficie (con la expresi´on u-curva se entiende una curva en la superficie que se obtiene manteniendo v constante) y el vector ∂r/∂v es tangente a una v-curva en la superficie (una curva en la superficie que se obtiene manteniendo u constante). En general estos vectores no son ortogonales entre ellos y tampoco son unitarios. Sin embargo su producto vectorial es ortogonal a ambos luego es normal a la superficie. El producto vectorial . ∂r ∂r ∧ = ru ∧ rv N= ∂u ∂v se denomina producto vectorial fundamental de la representaci´on r. Si (u, v) es un punto en Ω en el cual ∂r/∂u y ∂r/∂v son continuas y el producto vectorial fundamental no es nulo, el punto imagen r(u, v) se llama punto regular de r. Los puntos donde al menos una de estas condiciones no se verifica se llaman puntos singulares. Una superfice se llama regular si todos sus puntos son regulares. En cada punto regular los vectores ∂r/∂u y ∂r/∂v determinan un plano que tiene el vector ∂r/∂u ∧ ∂r/∂v como normal. Por esta raz´on el plano determinado por ∂r/∂u y ∂r/∂v se llama plano tangente. En cada punto regular de una superficie se designa como n al vector unitario normal que tenga el mismo sentido que el producto vectorial fundamental: ∂r ∂r ∧ ∂u ∂v ° = r u ∧ r v ° n= ° ° kr u ∧ r v k ° ∂r ∧ ∂r ° ° ∂u ∂v ° La continuidad de las derivadas parciales implica la continuidad de su producto vectorial y esto, a su vez, significa que el plano tangente se mueve con continuidad en una superfice regular. Observaci´ on 6.1. Una manera alternativa de calcular un vector normal unitario consiste en representar la superficie como S(x, y, z) = 0 y utilizar la f´ormula n=

∇S k∇Sk

Aplicando lo anterior veremos ahora c´omo se determina el vector normal a una superficie con representaci´on expl´ıcita z = f (x, y). Para ello podemos usar x e y como par´ametros lo que nos proporciona la ecuaci´on vectorial r(x, y) = xi + yj + f (x, y)k

120

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

Para calcular el producto vectorial fundamental observemos que, si f es diferenciable, ∂r ∂f =i+ k, ∂x ∂x

∂r ∂f =j+ k ∂y ∂y

Esto nos conduce a

∂r ∂r ∂f ∂f ∧ =− i− j+k ∂u ∂v ∂x ∂y N´otese que el producto vectorial fundamental nunca es nulo para este tipo de representaci´on puesto que la componente z del producto vale 1. Los u ´nicos puntos singulares que pueden presentarse son los puntos en los que al menos una de las derivadas parciales fx o fy no es continua. Ejemplo 6.3. Calcular el vector normal a la superficie dada por la ecuaci´ on p z = f (x, y) = 1 − x2 − y 2 que representa un hemisferio de radio 1 y centro en el origen si x2 + y 2 ≤ 1. En primer lugar parametrizamos la superficie usando x e y como par´ametros. La ecuaci´on vectorial es ³p ´ r(x, y) = xi + yj + 1 − x2 − y 2 k N´otese que r aplica el disco unidad D = {(x, y) : x2 + y 2 ≤ 1 } sobre el hemisferio y dicha aplicaci´on es uno a uno48 . Las derivadas parciales ∂r/∂x, ∂r/∂y existen y son continuas en el interior del disco pero no existen en su frontera. Por consiguiente todo punto del ecuador es un punto singular de esta representaci´on. En el interior del disco (donde f es diferenciable) se tiene ∂f x ∂r =i+ k =i− p k ∂x ∂x 1 − x2 − y 2 ∂r ∂f y =j+ k=j−p k ∂y ∂y 1 − x2 − y 2 El producto vectorial fundamental es ∂f ∂f x y ∂r ∂r ∧ =− i− j+k = p i+ p j+k ∂x ∂y ∂x ∂y 1 − x2 − y 2 1 − x2 − y 2 luego su norma es r ° s ° ° ∂r ∂r ° y2 1 x2 1 ° ° ° ∂u ∧ ∂v ° = 1 − x2 − y 2 + 1 − x2 − y 2 + 1 = 1 − x2 − y 2 = p1 − x2 − y 2 48

Recu´erdese que esto quiere decir que puntos distintos en el disco unidad tienen imagen distinta en el hemisferio. V´ease el tema 9, secci´on 12 dedicada a las funciones vectoriales invertibles

6. Anexo

121

El vector unitario normal a la superficie ser´a por tanto ∂r ∂r ´ ³ ∧ p ∂x ∂x 2 2 ° ° n= ° ° = x, y, 1 − x − y ° ∂r ∧ ∂r ° ° ∂x ∂x ° N´otese que es unitario pues knk = x2 + y 2 + 1 − x2 − y 2 = 1. A continuaci´on se presentan unas tablas para los distintos sistemas de coordenadas m´as utilizados, la expresi´on de los operadores vectoriales de derivaci´on en cada uno de los sistemas y la forma final de las ecuaciones de conservaci´on utilizadas en numerosos problemas.

6.3.

Tablas de operadores diferenciales

Es habitual trabajar en alguno de los tres sistemas de coordenadas siguientes: coordenadas cartesianas (tambi´en llamadas rectangulares), coordenadas cil´ındricas y coordenadas esf´ericas. Las coordenadas polares, que se usan en IR2 , se pueden obtener f´acilmente al proyectar en el plano z ≡ 0 las coordenadas cil´ındricas y no ser´an descritas como caso aut´onomo sino que se considerar´an como un caso particular de las cil´ındricas (que representan por tanto su generalizaci´on a IR3 ). Ya se han introducido estos sistemas de coordenadas en el tema 11 de la asignatura de primer curso al considerar el problema de la integraci´on m´ ultiple en dos y tres dimensiones, pues hemos visto que ciertas curvas tienen una descripci´on (ecuaci´on) m´as simple en coordenadas polares que en cartesianas o ciertas superficies y s´olidos en el espacio se pueden describir m´as f´acilmente en coordenadas ci´ındricas y esf´ericas que en cartesianas. Su utilidad fue por tanto simplificar la operaci´on de integraci´on m´ ultiple para el c´alculo, por ejemplo, de ´areas, vol´ umenes, centros de gravedad y momentos de inercia. En el tema 12 de la asignatura de primer curso dedicado a la teor´ıa de campos se definieron los operadores de derivaci´on vectoriales gradiente, divergencia y rotacional. Recordaremos aqu´ı su expresi´on en t´erminos del sistema de coordenadas empleado. Antes, daremos unas sencillas f´ormulas de conversi´on entre los distintos sistemas de referencia en el caso espacial tridimensional. Una gran cantidad de ejemplos donde se puede apreciar la importancia del sistema de coordenadas utilizado en el proceso de clasificaci´on y resoluci´on de una ecuaci´on diferencial se pueden encontrar en el tema 2 de estos guiones as´ı como en el Vol. 2 del libro de Costa Novella sobre Fen´omenos de Transporte. La notaci´on utilizada ser´a: (x, y, z) para la localizaci´on de un punto en coordenadas cartesianas, (r, θ, z) para la localizaci´on de un punto en coordenadas cil´ındricas y

122

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

(ρ, θ, φ) para la localizaci´on de un punto en coordenadas esf´ericas.

Coordenadas

F´ ormulas de conversi´ on

Cil´ındricas → Cartesianas

x = r cos θ,

Cartesianas → Cil´ındricas

Esf´ericas → Cartesianas

r=

p

x2 + y 2 ,

x = ρ sin φ cos θ,

Cartesianas → Esf´ericas

ρ=

y = r sin θ,

tan θ = (y/x),

y = ρ sin φ sin θ,

p x2 + y 2 + z 2 , Ã p

φ = arccos

Esf´ericas → Cil´ındricas

Cil´ındricas → Esf´ericas

6.3.1.

r = ρ sin φ,

ρ=

√

z=z

z=z

z = ρ cos φ

tan θ = (y/x), ! z x2 + y 2 + z 2

θ = θ,

z = ρ cos φ µ

r2 + z 2 ,

θ = θ,

φ = arccos

z √ 2 r + z2

¶

Operador Divergencia

Dependiendo del sistema de coordenadas utilizado se expresa de distinta manera. Si el campo vectorial v viene dado en coordenadas rectangulares entonces v = (vx , vy , vz ). Si viene dado en coordenadas cil´ındricas entonces v = (vr , vθ , vz ) y si viene dado en coordenadas esf´ericas entonces v = (vr , vθ , vφ ).

6. Anexo

123

Coordenadas

Operador de Divergencia

Rectangulares

∇·v =

∂vx ∂vy ∂vz + + ∂x ∂y ∂z

Cil´ındricas

∇·v =

1 ∂ 1 ∂vθ ∂vz ∂vr 1 1 ∂vθ ∂vz (rvr ) + + = + vr + + r ∂r r ∂θ ∂z ∂r r r ∂θ ∂z

Esf´ericas

∇·v =

1 ∂ 2 1 ∂ 1 ∂vφ (r vr ) + (vθ sin θ) + 2 r ∂r r sin θ ∂θ r sin θ ∂φ

6.3.2.

Operador Derivada Material

Las leyes generales de conservaci´on en mec´anica de fluidos se pueden escribir m´as f´acilmente en t´erminos del operador diferencial D ∂ ≡ +v·∇ (79) Dt ∂t que se conoce con el nombre de derivada material. La derivada material tiene un significado f´ısico concreto: es la tasa de cambio de un campo escalar vista por un observador que se mueve con el fluido. Por ejemplo, aparece en la ecuaci´on de conservaci´on de la energ´ıa aplicado al campo escalar de temperaturas. Tambi´en se aplica a un campo vectorial (por ejemplo, el campo de velocidades) actuando componente a componente.

Coordenadas

Operador de Derivada Material aplicado a T

Rectangulares T (x, y, z, t)

DT ∂T ∂T ∂T ∂T = + vx + vy + vz Dt ∂t ∂x ∂y ∂z

Cil´ındricas T (r, θ, z, t)

∂T ∂T vθ ∂T ∂T DT = + vr + + vz Dt ∂t ∂r r ∂θ ∂z

Esf´ericas T (r, θ, φ, t)

∂T ∂T vθ ∂T vφ ∂T DT = + vr + + Dt ∂t ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ

124

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

Consideremos el mismo operador pero aplicado al campo vectorial de velocidades Dv ∂v ≡ + v · ∇v Dt ∂t

(80)

Se tiene entonces

Coord. Rectangulares

Operador de Derivada Material aplicado a v

vx (x, y, z)

Dvx ∂vx ∂vx ∂vx ∂vx = + vx + vy + vz Dt ∂t ∂x ∂y ∂z

vy (x, y, z)

Dvy ∂vy ∂vy ∂vy ∂vy = + vx + vy + vz Dt ∂t ∂x ∂y ∂z

vz (x, y, z)

Dvz ∂vz ∂vz ∂vz ∂vz = + vx + vy + vz Dt ∂t ∂x ∂y ∂z

6.3.3.

Operador Laplaciano

El operador laplaciano puede aparecer49 en las ecuaciones de conservaci´on de la cantidad de movimiento y de la energ´ıa. En el primer caso (es decir considerando la ecuaci´on de conservaci´on de la cantidad de movimiento) es sabido que para un fluido newtoniano con densidad y viscosidad constantes se tiene: ∇ · [τ ] = µ∇2 v siendo [τ ] el tensor de tensiones (que denotamos como una matriz cuadrada)50 (o fuerzas) viscosas, siendo µ la viscosidad del fluido. T´ıpicamente se denota ∇2 v = ∆v. En el segundo caso, al aplicar la ley de conducci´on del calor de Fourier se tiene 49

Por ejemplo no aparece al trabajar con fluidos perfectos que satisfacen la ecuaci´on de Euler. No consideraremos en este curso la definici´on de tensor. S´olo observamos que un escalar se puede considerar un tensor de orden cero, un vector se considera un tensor de orden uno y que que un tensor de segundo orden en el espacio tridimensional es un objeto matem´atico que se puede representar como un conjunto ordenado de nueve n´ umeros. Cada uno de ello se asocia con dos direcciones. Habitualmente se utilizan las matrices para denotar los tensores. 50

6. Anexo

125

−∇ · q = −∇ · (−k∇T ) = k∇2 T siendo q el vector de flujo (de calor) y k la conductibilidad calor´ıfica. Nuevamente se suele denotar ∇2 T = ∆T . En general dado un campo escalar u(x, y, z, t) (que puede ser T o una componente del campo de velocidades) se tiene

Coordenadas

Operador Laplaciano

Rectangulares

∆u =

Cil´ındricas

Esf´ericas

Radiales

6.4.

1 ∂ ∆u = r ∂r

µ

1 ∂u ∆u = 2 r ∂r 1

∂u r ∂r

µ r

¶

1 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2 u 1 ∂u 1 ∂2u ∂ 2u + 2 2 + 2 = 2 + + + 2 r ∂θ ∂z ∂r r ∂r r2 ∂θ2 ∂z

2 ∂u

∂ ∆u = N −1 r ∂r

∂2u ∂ 2u ∂ 2u + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

¶

∂r µ r

1 ∂ + 2 r sin φ ∂φ

N −1 ∂u

∂r

¶ =

µ

∂u sin φ ∂φ

¶

1 + 2 2 r sin φ

∂ 2 u (N − 1) ∂u + , ∂r2 r ∂r

µ

∂ 2u ∂θ2

¶

N = 1, 2, 3

Tablas de Ecuaciones

Recordaremos aqu´ı las expresiones en distintos sistemas de coordenadas de las ecuaciones b´asicas que aparecen en los problemas de transporte de la mec´anica de fluidos. 6.4.1.

Ecuaci´ on de continuidad

En general se corresponde a la ley de conservaci´on de la materia total (v´ease por ejemplo la ecuaci´on 3.75 del vol. 2 del libro de Costa Novella). En forma de balance local de masa ∂ρ + ∇ · (ρv) = 0 ∂t

(81)

126

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

siendo ρ la densidad de masa por unidad de volumen y v el campo de velocidades51 . Desarrollando las operaciones de derivaci´on que aparecen en (81) se tiene (v´ease la propiedad 4 del operador ∇ que aparece en la secci´on 12.6 del gui´on de primero) ∂ρ + v · ∇ρ + ρ∇ · v = 0 ∂t

(82)

Esta ecuaci´on (o su forma m´as compacta (81)) expresa la conservaci´on de materia en fen´omenos en que esta se transporta s´olo convectivamente (por ejemplo en el movimiento de un fluido). Pero no es el caso m´as general pues no incluye otras formas de transporte. La identificaci´on de la ecuaci´on de conservaci´on de la masa con el nombre de ecuaci´ on de continuidad es propio de la mec´anica de fluidos52 y es una consecuencia de aplicar la ley de conservaci´on de la materia al fluido. Volviendo al ejemplo (1.2) (que describe el movimiento unidimensional de un gas) ponemos v = u(x), divv = ux , ∇ρ = ρx y vemos que la ecuaci´on de conservaci´on de la masa propuesta en (1.2) ρ

∂u ∂ρ ∂ρ +u + =0 ∂x ∂x ∂t

es del tipo (82) siendo v · ∇ρ = uρx y ρ(∇ · v) = ρux . Si la densidad del fluido es constante (fluidos incompresibles) la ecuaci´on de continuidad se simplifica a la condici´on de divergencia nula

∇·v =0

(83)

que es la expresi´on matem´atica de la conservaci´on de la masa para materiales incompresibles (representados por campos cuya divergencia es nula). Dependiendo del sistema de coordenadas utilizado se expresa de distinta manera.

51

Recu´erdese que en Mec´anica de Medios Continuos se entiende por fluido un cuerpo cuyas mol´eculas tienen poca coherencia entre si, de modo que pueden deslizarse libremente una sobre otras (l´ıquidos), o separase y desplazarse con completa independencia (gases), tomando siempre la forma del recipiente que lo contiene. 52 N´otese que la mec´anica de fluidos abarca la hidrost´atica, la hidrodin´amica (para fluidos incompresibles) y la aerodin´amica (para fluidos compresibles) subs´onica o supers´onica.

6. Anexo

127

Sistema de Coord.

Ecuaci´ on de continuidad para fluidos incomp.

Rectangulares

∇·v =

∂vx ∂vy ∂vz + + =0 ∂x ∂y ∂z

Cil´ındricas

∇·v =

1 ∂ 1 ∂vθ ∂vz (rvr ) + + =0 r ∂r r ∂θ ∂z

Esf´ericas

∇·v =

1 ∂ 2 1 ∂ 1 ∂vφ (r vr ) + (vθ sin θ) + =0 2 r ∂r r sin θ ∂θ r sin θ ∂φ

6.4.2.

Ecuaci´ on de conservaci´ on de la cantidad de movimiento

Se trata de una ecuaci´on vectorial. En mec´anica de fluidos se la suele llamar con el nombre de ecuaci´on del equilibrio o ecuaci´on de Navier-Stokes y modeliza los fluidos newtonianos con densidad y viscosidad constantes. Obs´ervese que la nomenclatura utilizada para las ecuaciones de conservaci´on de la masa (ecuaci´on de continuidad) y la ecuaci´on de conservaci´on de la cantidad de movimiento (ecuaci´on de Navier-Stokes) surge de su aplicaci´on a la mec´anica de fluidos53 . En realidad hay tres grandes leyes de conservaci´on: ley de conservaci´on de la masa, ley de conservaci´on de la energ´ıa y ley de conservaci´on de la cantidad de movimiento. Su aplicaci´on al caso de los fluidos proporciona la ecuaci´on de continuidad, las ecuaciones de Navier-Stokes y la ecuaci´on de la energ´ıa. La aplicaci´on a otras parcelas, como la mec´anica de s´olidos r´ıgidos, la mec´anica cu´antica (distancias microsc´opicas), la mec´anica relativista (distancias macrosc´opicas) o el electromagnetismo, se manifiesta por otras ecuaciones que se conocen con otros nombres pero que responden a las mismas leyes de conservaci´on. La ecuaci´on (vectorial) de Navier-Stokes es, por ejemplo, una consecuencia de la ecuaci´on de conservaci´on de la cantidad de movimiento. Dv ρ = ρg − ∇P + µ∇2 v (84) Dt Dependiendo del sistema de coordenadas utilizado se expresa de distinta manera. 53

La mec´anica de fluidos es s´olo una rama de la mec´anica de medios continuos que es la ciencia que estudia en general los medios deformables constituidos por infinitos puntos. Otra rama nace por ejemplo al estudiar los cuerpos el´asticos (membranas, vigas, cuerdas vibrantes).

128

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

Por ejemplo, las ecuaciones de Navier-Stokes en coordenadas rectangulares son

Ecuaciones de Navier-Stokes en Coord. Rectangulares ·

x

¸ · 2 ¸ ∂vx ∂vx ∂vx ∂vx ∂P ∂ vx ∂ 2 vx ∂ 2 vx ρ + vx + vy + vz = ρgx − +µ + + ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

y

¸ · 2 ¸ ∂P ∂vy ∂vy ∂vy ∂vy ∂ vy ∂ 2 vy ∂ 2 vy = ρgy − ρ + vx + vy + vz +µ + + ∂t ∂x ∂y ∂z ∂y ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 ·

·

z

¸ · 2 ¸ ∂vz ∂vz ∂vz ∂vz ∂P ∂ vz ∂ 2 vz ∂ 2 vz ρ = ρgz − + + + vx + vy + vz +µ ∂t ∂x ∂y ∂z ∂z ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

Las ecuaciones de Navier-Stokes en Coordenadas Cil´ındricas son:

Componente

Ecuaciones de Navier-Stokes ·

componente r

¸ ∂vr ∂vr vθ ∂vr vθ2 ∂vr ρ + vr + − + vz = ∂t ∂r r ∂θ r ∂z ¸ · µ ¶ ∂ 1 ∂ ∂P 1 ∂ 2 vr 2 ∂vθ ∂ 2 vr ρgr − +µ (rvr ) + 2 2 − 2 + 22 ∂r ∂r r ∂r r ∂θ r ∂θ ∂z ·

componente θ

¸ ∂vθ ∂vθ vθ ∂vθ vr vθ ∂vθ ρ + vr + + + vz = ∂t ∂r r ∂θ r ∂z · µ ¶ ¸ ∂P ∂ 1 ∂ 1 ∂ 2 vθ 2 ∂vθ ∂ 2 vθ ρgθ − +µ (rvθ ) + 2 2 + 2 + 22 ∂θ ∂r r ∂r r ∂θ r ∂θ ∂z ·

componente z

¸ ∂vz ∂vz vθ ∂vz ∂vz ρ + vr + + vz = ∂t ∂r r ∂θ ∂z · µ ¸ µ ¶¶ ∂P ∂ 1 ∂ ∂v 1 ∂ 2 vz ∂ 2 vz ρgz − +µ r + 2 2 + 22 ∂z ∂r r ∂r ∂z r ∂θ ∂z

6. Anexo

6.4.3.

129

Ecuaci´ on de conservaci´ on de la energ´ıa

En muchos problemas que requieren una ecuaci´on de la energ´ıa los efectos t´ermicos son mucho m´as importantes que los efectos mec´anicos. Esto ocurre por ejemplo cuando existen en el sistemas grandes variaciones de temperatura o cuando se produce calor por reacci´on. Si suponemos que la densidad ρ y el calor espec´ıfico cp son constantes entonces la ecuaci´on de la energ´ıa toma la forma

ρcp

DT = −∇ · q + HV Dt

(85)

donde el t´ermino de fuente HV representa la tasa de producci´on de energ´ıa debida a fuentes de energ´ıa externas por unidad de volumen. El ejemplo m´as com´ un es el calor que se produce por la resistencia al flujo de una corriente el´ectrica. El flujo de calor en un s´olido o en un fluido puro se calcula utilizando la ley de Fourier:

q = −k∇T

Si la conductividad calor´ıfica k es constante entonces la forma usual de la ecuaci´on de la energ´ıa interna es

ρcp

DT = k∇2 T + HV Dt

(86)

En esta ecuaci´on no est´a representado el fen´omeno de la disipaci´on viscosa que es la conversi´on de la energ´ıa cin´etica en calor debida a la fricci´on interna al fluido. Normalmente es despreciable exceptuando algunos flujos a alta velocidad (con gradientes de velocidades elevados) o el flujo de fluidos extremadamente viscosos (el hielo o el magma de los volcanes por ejemplo) Dependiendo del sistema de coordenadas considerado se tienen las siguientes expresiones de la ecuaci´on (86), siendo T (x, y, z, t) en coordenadas rectangulares, T (r, θ, z, t) en coordenadas cil´ındricas y T (r, θ, φ, t) en coordenadas esf´ericas:

130

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

Conservaci´ on de la Energ´ıa Coordenadas Rectangulares (x, y, z) · 2 ¸ ∂T ∂T ∂T ∂T ∂ T ∂ 2T ∂ 2T HV + vx + vy + vz =α + + 2 + 2 2 ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ρcp Coordenadas Cil´ındricas (r, θ, z) · µ ¶ ¸ ∂T ∂T vθ ∂T ∂T 1 ∂ ∂T 1 ∂ 2T HV ∂ 2T + vr + + vz =α r + 2 2 + 2 + ∂t ∂r r ∂θ ∂z r ∂r ∂r r ∂θ ∂z ρcp Coordenadas Esf´ericas (r, θ, φ) ∂T ∂T vθ ∂T vφ ∂T + vr + + = ∂t ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ ·

1 ∂T =α 2 r ∂r

µ r

2 ∂T

∂r

¶

∂ 1 + 2 r sin θ ∂θ

µ

∂T sin θ ∂θ

¶

1 + 2 2 r sin θ

µ

∂2T ∂θ2

¶¸ +

HV ρcp

7. Ejercicios

7.

131

Ejercicios

Ejercicio 1.1. Encontrar las soluciones u(x, y) de las siguientes ecuaciones diferenciales a) ux = 0, b) uy = 0. Comprobar el resultado obtenido. Ejercicio 1.2. Encontrar las soluciones u(x, y) de las siguientes ecuaciones diferenciales a) uxx = 0, b) uxy = 0. Comprobar el resultado obtenido. Ejercicio 1.3. Resolver las ecuaciones en derivadas parciales a) uxx − u = 0,

b) uxx + 4u = 0,

siendo u = u(x, y). Comprobar el resultado obtenido. Ejercicio 1.4. Encontrar las soluciones u(x, y) de las siguientes ecuaciones diferenciales a) uy + 2yu = 0, b) ux = 2xyu. Comprobar el resultado obtenido. Ejercicio 1.5. Resolver la ecuaci´on en derivadas parciales uxy = −ux . Ejercicio 1.6. Encontrar las soluciones u(x, y) de la siguiente ecuaci´on diferencial uxyy + ux = 0. Comprobar el resultado obtenido. Ejercicio 1.7. [Problema de Valor Inicial] Resolver el problema de valores iniciales  ∂u  = −q(x)u(x, t), 0 < x < ∞, t > 0, ∂t (P.V.I.) =  u(x, 0) = u0 (x), 0 < x < ∞, t = 0, siendo q(x) y u0 (x) funciones dadas. ¿Que condici´on sobre el signo de la funci´on q(x) es necesario imponer para que la soluci´on del P.V.I decaiga a cero en el infinito ? (Sugerencia: calcular el l´ımite de u(x, t) cuando t → ∞).

132

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

Ejercicio 1.8. [Problema de Valor Inicial] Resolver (mediante integraci´on directa y tambi´en aplicando el m´etodo de las caracter´ısticas) el problema de valores iniciales para la EDP  ∂u xt  = , 0 < x < ∞, t > 0, ∂t 2  u(x, 0) = u0 (x), 0 < x < ∞, t = 0, siendo u0 (x) definida por ( u0 (x) =

1

[−0,5, 0,5],

0 otros casos.

Comparar la soluci´on obtenida con los dos m´etodos. Ejercicio 1.9. Sean dados los siguientes campos de velocidades para flujos planos estacionarios: v 1 = (y, x),

v 2 = (y, −x),

v 3 = (x, y),

v 4 = (−y, x).

a) Calcular la divergencia y el rotacional de cada campo vectorial. Determinar si estos campos est´an asociados a flujos incompresibles y/o potenciales. b) Determinar (si existen!) la funci´on de corriente y la funci´on potencial de los campos dados. c) Comprobar que las respectivas l´ıneas de corriente y l´ıneas potenciales son ortogonales (sugerencia: utilizar la ecuaci´on ∇ψ · ∇φ = 0). Razonar las respuestas. Ejercicio 1.10. Clasificar las siguientes ecuaciones en derivadas parciales de primer orden en cuasilineales o lineales, homog´eneas o no homog´eneas, de coeficientes constantes o variables. A partir de la clasificaci´on deducir (sin resolver las ecuaciones) si las caracter´ısticas pueden ser l´ıneas rectas y/o las soluciones son constantes a lo largo de las mismas 1) xuux − uy = 1, 4) uux + xuy = 0,

2) ux − uy = x, 5) (y − u)uy = x,

3) (1 + x)uy − ux = u, 6) (u + x)uy − yuy = u.

Ejercicio 1.11. Clasificar y resolver las siguientes ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de I orden 1)

∂z ∂z − = 0, ∂x ∂y

2)

∂z ∂z + = 2z, ∂x ∂y

3) x

∂z = z. ∂y

7. Ejercicios

133

Ejercicio 1.12. [Problema de Cauchy] Se considera la ecuaci´on y

∂u =u ∂x

donde z = u(x, y) viene prescrita en la curva Γ0 definida por x = 2, u = y. Clasificar la EDP, analizar si el problema de Cauchy asociado est´a bien planteado y, finalmente, resolverlo. Ejercicio 1.13. [Problema de Cauchy] Se considera la ecuaci´on x

∂u ∂u −y =u ∂x ∂y

donde z = u(x, y) viene prescrita en la curva Γ0 definida por y = 1, u = 3x. Analizar el problema de Cauchy asociado. Ejercicio 1.14. [Problema de Cauchy] Se considera la ecuaci´on yu

∂u ∂u + =0 ∂x ∂y

donde z = u(x, y) viene prescrita en la curva Γ0 definida por x = 0, u = y 3 . Clasificar la EDP y analizar el problema de Cauchy asociado. Ejercicio 1.15. [Problema de Cauchy] Se considera la ecuaci´on ∂u ∂u − 2x =0 ∂x ∂y donde z = u(x, y) viene prescrita en la curva Γ0 definida por x = 1, u = y 2 . Analizar el problema de Cauchy asociado. Ejercicio 1.16. [Clasificaci´on] Clasificar los siguientes operadores en lineales y no lineales. ∂u ∂ 2u ∂u ∂2u L1 [u] = + x2 2 , L2 [u] = + u 2 + u. ∂t ∂x ∂t ∂x Ejercicio 1.17. Clasificar los operadores siguientes y encontrar sus caracter´ısticas (si hay alguna) que pasan por el punto (0, 1).

L1 [u] =

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + + , ∂t2 ∂x∂t ∂x2

L2 [u] =

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u +4 +4 , ∂t2 ∂x∂t ∂x2

L3 [u] =

∂ 2u ∂2u ∂2u −4 + , ∂t2 ∂x∂t ∂x2

Ejercicio 1.18. [Clasificaci´on] Hallar donde son hiperb´olicos, parab´olicos y el´ıpticos los siguientes operadores ∂ 2u ∂2u ∂ 2u L1 [u] = 2 +t +x 2 , ∂t ∂x∂t ∂x

u ∂ 2u L2 [u] = x − +u, ∂t2 ∂x2 2∂

2

∂2u ∂2u ∂ 2 u ∂u L3 [u] = t 2 +2 +x 2 + ∂t ∂x∂t ∂x ∂x

134

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

Ejercicio 1.19. Sea ² ∈ IR+ un par´ametro dado. Introduciendo la notaci´on adecuada, escribir expl´ıcitamente los operadores de derivaci´on parcial que aparecen en la ecuaci´on de convecci´on-difusi´on estacionaria u · ∇T = ²∇2 T,

Ω ⊂ IR2

en coordenadas cartesianas y demostrar que es una ecuaci´on el´ıptica de segundo orden. Ejercicio 1.20. Determinar los valores de m para los cuales u = f (y + mx), siendo f (s) una funci´on suficientemente regular (digamos de clase C 2 ), es soluci´on de la ecuaci´on en derivadas parciales a

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + b =0 + c ∂x2 ∂x∂y ∂y 2

Discutir la multiplicidad de soluciones dependiendo del tipo de EDP considerada (es decir el´ıptica, parab´olica o hiperb´olica). Ejercicio 1.21. Sea dada la ecuaci´on de segundo orden ∆u =

∂ 2u ∂ 2u + =0 ∂x2 ∂y 2

conocida con el nombre de ecuaci´on de Laplace bidimensional. Verificar si las funciones u1 = ex cos y,

u2 = ln(x2 + y 2 )

u3 = sin x sinh y,

u4 = arctan(y/x),

son soluciones de la ecuaci´on anterior, determinando para las que lo sean, la regi´on Ω ⊂ IR2 (eventualmente todo IR2 ) donde se verifica la ecuaci´on. Ejercicio 1.22. Sea dada la ecuaci´on de segundo orden ∆u =

∂ 2u ∂2u ∂ 2u + + =0 ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

conocida con el nombre de ecuaci´on de Laplace tridimensional. Mostrar que la funci´on 1 u(x, y, z) = p , x2 + y 2 + z 2 es soluci´on de la ecuaci´on de Laplace tridimensional. Ejercicio 1.23. Sea dada la ecuaci´on ∂ 2u ∂u =c 2 ∂t ∂x

7. Ejercicios

135

siendo c ∈ IR+ . La ecuaci´on anterior se conoce con el nombre de ecuaci´on del calor unidimensional. Verificar si las siguientes funciones son soluciones de la ecuaci´on del calor para un valor adecuado (siempre positivo) del par´ametro c: u1 = e−t cos x + x,

u2 = e−t sin 3x,

u3 = e−w

2 c2 t

sin wx

Determinar el calor de c en cada caso. Analizar el comportamiento de las soluciones para tiempos grandes comprobando la convergencia de la misma a una soluci´on del problema estacionario asociado. Sugerencia: calcular l´ım ui (x, t),

∀ i = 1, 2, 3.

t→∞

Ejercicio 1.24. [Te´orico∗ ] Mostrar que el problema de valores iniciales para la EDP   ∂u + V ∂u = 0, 0 < x < ∞, t > 0, ∂t ∂x  u(x, 0) = u0 (x), 0 < x < ∞, t = 0, es equivalente a una familia de problemas de valores iniciales para las EDO  ∂ u˜  = 0, 0 < ξ + V τ < ∞, τ > 0 ∂τ  u˜(ξ, 0) = u0 (ξ), 0 < ξ < ∞, τ = 0 Mostrar que la soluci´on u(x, t) viene dada por u(x, t) = u˜(t, x − V t). Ejercicio 1.25. [Problema de Valor Inicial] Se considera el P.V.I. dado por el sistema hiperb´olico   ut + ux + v x = 0 (P.V.I.)  v +u −v = 0 t x x y las condiciones iniciales u(x, 0) = u0 (x) ≡ 0,

v(x, 0) = v0 (x).

Encontrar su soluci´on. Ejercicio 1.26. [Problema de Valor Inicial (P.V.I)] Se considera el P.V.I.   ut + xux = u (P.V.I.)  u(x, 0) = u (x) 0 siendo la condici´on inicial u(x, 0) = u0 (x) =

(

1 0≤x≤1 0 otros casos

136

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

Encontrar su soluci´on. Ejercicio 1.27. [P.V.I] Se considera la ecuaci´on y

∂u ∂u + =2 ∂x ∂y

donde u viene prescrita en el segmento inicial Γ0 definido por y = 0, 0 ≤ x ≤ 1. Analizar el problema de valor inicial asociado. Ejercicio 1.28. [P.V.I] Sea u una soluci´on del P.V.I. dado por la EDP √ ∂u ∂u x +u = −u2 ∂x ∂y y la condici´on inicial u ≡ 1 en y = 0, 0 < x < ∞. Calcular la ecuaci´on de la caracter´ıstica que pasa por el punto (x0 , 0), x0 > 0 y la soluci´on a lo largo de esta caracter´ıstica. Ejercicio 1.29. [P.V.I] Sea u una soluci´on del PVI dado por la EDP x2 u

∂u ∂u + e−y = −u2 ∂x ∂y

y la condici´on inicial u ≡ 1 en y = 0, 0 < x < ∞. Calcular la ecuaci´on cartesiana de la caracter´ıstica que pasa por el punto (x0 , 0), x0 > 0 y la soluci´on a lo largo de esta caracter´ıstica. Ejercicio 1.30. [Problema de Valor Inicial y de Contorno] Sea u una soluci´on del problema de valor inicial y de contorno dado por la EDP ∂u x ∂u +√ = 2x ∂x u ∂y y las condiciones de contorno u ≡ 0 en x = 0, y ≥ 0 e inicial u ≡ 0 en y = 0, x > 0. Calcular las soluciones anal´ıticas en los puntos (2, 5) y (5, 4). Calcular la ecuaci´on cartesiana de las caracter´ısticas que pasan por estos dos puntos.

8. Ejercicios propuestos en ex´amenes

8.

137

Ejercicios propuestos en ex´ amenes

Ejercicio 1. Examen control. 7/4/2000. Problema 1 Sea dado el campo vectorial v(x, y) = (vx (x, y), vy (x, y)) = (x − y, αx − y) (siendo α ∈ IR un par´ametro real) que corresponde al campo de velocidades (estacionario y bidimensional) de un fluido cuyo flujo se quiere analizar. Se pide contestar, razonadamente, a las siguientes preguntas: 1. Calcular la divergencia y el rotacional del campo. ¿ Para qu´e valor (o valores) del par´ametro α el flujo asociado al fluido se puede considerar incompresible e irrotacional ? (1 punto) 2. Para los valores de α determinados en el apartado anterior calcular una funci´on de corriente ψ(x, y) y una funci´on potencial φ(x, y) del campo v utilizando las definiciones de las mismas. (2’5 puntos) 3. Comprobar que las funciones determinadas en el apartado anterior son ortogonales. (Sugerencia: utilizar la ecuaci´on ∇ψ · ∇φ = 0). (0’5 punto) 4. Determinar la l´ınea de corriente y la l´ınea potencial que pasan por el punto (1, 1). (1 punto)

Ejercicio 2. Examen control. 7/4/2000. Problema 2 Se considera el problema de valor inicial   ut + 2tux = 0 x ∈ IR, PVI =  u(x, 0) = cos(x) x ∈ IR,

t>0 t=0

1. Clasificar la ecuaci´on en derivadas parciales (EDP) que define el PVI. (0’5 punto)

138

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

2. Utilizando la clasificaci´on hecha en el apartado anterior, ¿se puede afirmar que las caracter´ısticas de la EDP son l´ıneas rectas y que la soluci´on es constante a lo largo de las caracter´ısticas ? (1 punto) 3. Calcular las caracter´ısticas de la EDP. (1’5 puntos) 4. Determinar la soluci´on general de la EDP. (2 puntos) 5. Encontrar la (´ unica) soluci´on del PVI. (2 puntos) Ejercicio 3. Examen control. 2/4/2001. Problema 1 Sea dado el campo vectorial µ v(x, y) = (vx (x, y), vy (x, y)) =

1 Ax + By + Cxy, Cx2 + y 2 + 2xy 2 2

¶

2

(siendo A, B, C, par´ametros reales), que corresponde al campo de velocidades (estacionario y bidimensional) de un fluido cuyo flujo se quiere analizar. Se pide contestar, razonadamente, a las siguientes preguntas: 1. Calcular la divergencia y el rotacional del campo. ¿ Para qu´e valores de los par´ametros A, B, C, el flujo asociado al fluido se puede considerar incompresible e irrotacional ? (1 punto) 2. Para los valores de A, B, C determinados en el apartado anterior calcular una funci´on de corriente ψ(x, y) y una funci´on potencial φ(x, y) del campo v utilizando las definiciones de las mismas. (2’5 puntos) 3. Comprobar que las funciones determinadas en el apartado anterior son ortogonales. (Sugerencia: utilizar la ecuaci´on ∇ψ · ∇φ = 0). (1 punto) 4. Considerando la funci´on de corriente y la funci´on potencial asociadas a la constante C = 0, determinar la l´ınea de corriente y la l´ınea potencial que pasan por el punto (1, 1). (0.5 punto)

8. Ejercicios propuestos en ex´amenes

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Ejercicio 4. Examen control. 2/4/2001. Problema 2 Se considera el problema de valor inicial  √  ( t + 1)ut + xux = 0 x > 0, PVI =  u(x, 0) = ln(x) x > 0,

t>0 t=0

1. Clasificar la ecuaci´on en derivadas parciales (EDP) que define el PVI. ¿Se puede afirmar que las caracter´ısticas de la EDP son l´ıneas rectas y que la soluci´on es constante a lo largo de las caracter´ısticas ? (1 punto) 2. Calcular las caracter´ısticas de la EDP y determinar la soluci´on general de la EDP. (1’5 puntos) 3. Demostrar que el PVI est´a bien puesto y encontrar su soluci´on. (2 puntos) 4. Calcular u(1, 0) y u(e2 , 3) y determinar las ecuaciones de las caracter´ısticas que pasan por los puntos (1, 0) y (e2 , 3). (0.5 punto)

Ejercicio 5. Examen control. 8/4/2002. Problema 1 Sea dado el campo vectorial v(x, y) = (vx (x, y), vy (x, y)) = (ax + by + cxy, 2x + 3y + dxy) (siendo a, b, c, d ∈ IR par´ametros reales) que corresponde al campo de velocidades (estacionario y bidimensional) de un fluido cuyo flujo se quiere analizar. Se pide contestar, razonadamente, a las siguientes preguntas: 1. Calcular la divergencia y el rotacional del campo. ¿ Para qu´e valor (o valores) de los par´ametros a, b, c, d el flujo asociado al fluido se puede considerar incompresible e irrotacional ? (1 punto)

140

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

2. Para los valores de a, b, c, d determinados en el apartado anterior calcular una funci´on de corriente ψ(x, y) y una funci´on potencial φ(x, y) del campo v utilizando las definiciones de las mismas. (2’5 puntos) 3. Comprobar que las funciones determinadas en el apartado anterior son ortogonales. (Sugerencia: utilizar la ecuaci´on ∇ψ · ∇φ = 0). (0’5 punto) 4. Determinar la l´ınea de corriente y la l´ınea potencial que pasan por el punto (1, 1). (1 punto)

Ejercicio 6. Examen control. 8/4/2002. Problema 2 Se considera el problema de valor inicial   ut + 3ux = xu x ∈ IR, PVI =  u(x, 0) = x2 x ∈ IR,

t>0 t=0

1. Clasificar la ecuaci´on en derivadas parciales (EDP) que define el PVI. (0’5 punto) 2. ¿ Utilizando la clasificaci´on hecha en el apartado anterior, se puede afirmar que las caracter´ısticas de la EDP son l´ıneas rectas y que la soluci´on es constante a lo largo de las caracter´ısticas ? (0.5 punto) 3. Calcular las caracter´ısticas de la EDP. (1 punto) 4. Determinar la soluci´on general de la EDP. (1 puntos) 5. Determinar si el problema de valor inicial est´a bien planteado. En caso afirmativo encontrar la (´ unica) soluci´on del PVI. (1 punto) 6. Determinar el comportamiento de la soluci´on para tiempos grandes (es decir, calcular el l´ımite cuando t → +∞). (1 punto)

8. Ejercicios propuestos en ex´amenes

141

Ejercicio 7. Examen de Septiembre. 2/9/2002. Problema 3 Consideramos el problema evolutivo unidimensional de convecci´on y absorci´on siguiente:   ∂u (x, t) + V ∂u (x, t) = −u1/2 , x ≥ 0, t > 0, . ∂t ∂x (P ) =  u(x, 0) = e−2x , x ≥ 0, siendo V una constante positiva que denota la velocidad del fluido. Se pide: a) [4 puntos] Clasificar la EDP. ¿Podr´ıas indicar cu´al es el t´ermino de convecci´on?. b) [4 puntos] Demostrar que el PVI (problema de valor inicial) est´a bien puesto. c) [12 puntos] Determinar su soluci´on anal´ıtica. d) [5 puntos] Determina el comportamiento de la soluci´on cuando x → ∞ en cada instante de tiempo fijado t = T .

Ejercicio 8. Examen control. 28/4/2003. Problema 1 Se considera el problema de valor inicial   ut + 2ux + u2 = 0, x ∈ IR, PVI =  u(x, 0) = x, x ∈ IR,

t > 0, t = 0.

1. Clasificar la ecuaci´on en derivadas parciales (EDP) que define el PVI. ¿ Utilizando la clasificaci´on anterior, se puede afirmar que las caracter´ısticas de la EDP son l´ıneas rectas y que la soluci´on es constante a lo largo de las caracter´ısticas ? (2 puntos)

142

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

2. Calcular las caracter´ısticas de la EDP en la forma ψ 1 (x, t, u) = c1 y ψ 2 (x, t, u) = c2 . (2 puntos) 3. Determinar la soluci´on general de la EDP. (2 puntos) 4. Determinar si el problema de valor inicial est´a bien planteado. En caso afirmativo encontrar la (´ unica) soluci´on del PVI. (4 puntos) 5. Determinar el comportamiento de la soluci´on para tiempos grandes (es decir, calcular el l´ımite cuando t → +∞). ¿ Sabr´ıas dar una interpretaci´on f´ısica de este comportamiento en t´erminos de los procesos de difusi´on, convecci´on, reacci´on y absorci´on eventualmente presentes en la ecuaci´on ? (2 puntos)

Ejercicio 9. Examen control. 28/4/2003. Problema 2 Se considera el problema de valor inicial   ut + e−x ux + u = αt, x ∈ IR, PVI =  u(x, 0) = sin(ex ), x ∈ IR,

t > 0, t = 0,

siendo α un par´ametro no negativo. 1. Clasificar la ecuaci´on en derivadas parciales (EDP) que define el PVI. ¿ Utilizando la clasificaci´on hecha en el apartado anterior, se puede afirmar que las caracter´ısticas de la EDP son l´ıneas rectas y que la soluci´on es constante a lo largo de las caracter´ısticas ? (2 puntos) 2. Determinar la soluci´on general de la EDP. (4 puntos)

8. Ejercicios propuestos en ex´amenes

143

3. Determinar si el problema de valor inicial est´a bien planteado. En caso afirmativo encontrar la (´ unica) soluci´on del PVI. (4 puntos) 4. Determinar el comportamiento de la soluci´on para tiempos grandes (es decir, calcular el l´ımite cuando t → +∞). Determinar los valores del par´ametro α que aseguran el decaimiento a cero (extinci´on) de la soluci´on. (3 puntos)

144

9.

Tema 1. Introducci´on a las EDP.

Bibliograf´ıa Apostol, T.M., (1982), An´alisis matem´atico. II ed. Editorial Revert´e. Apostol, T.M., (1996), Calculus. II ed. Editorial Revert´e. Costa Novella, E. (1986). Ingenier´ıa Qu´ımica. Vol. 2, Fen´omenos de Transporte. Vol. 3, Flujo de Fluidos. Vol. 4, Transmisi´on de Calor. Vol. 5, Transferencia de Materia. Alhambra Universidad. Courant, R y Hilbert, D. (1989). Partial Differential Equations. Vol 2. John Wiley & Sons, Inc. Deen, W.M., (1998). Analysis of Transport Phenomena. Oxford University Press. Elsgoltz, L. (1983). Ecuaciones diferenciales y c´alculo variacional. III Ed. Editorial Mir. Kreyszig, E. (1993). Advanced Engineering Mathematics. VII Ed. John Wiley & Sons, Inc. Marsden, J. E. y Tromba, A. J. (1991). C´alculo vectorial. (III edici´on). Ed. Addison-Wesley Iberoamericana Mei, C.C. (1997). Mathematical analysis in Engineering. Cambridge University Press. Rice, R.G, Do, D.D., (1995). Applied Mathematics and Modelling for Chemical Engineers. John Wiley & Sons, Inc. Smith, G.D. (1999). Numerical Solutions of Partial Differential Equations. Finite Difference Methods. III Ed. Oxford University Press. Strikwerda J. C., (1989). Finite Difference Schemes and Partial Differential Equations. Chapman & Hall. International Thomson Publishing. Weinberger, H., (1965). A first course in partial differential equations. Blaisdell. Zill, D.G., (1977). Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado. International Thomson Ed. 6 ed.

9. Bibliograf´ıa

9.1.

145

Bibliograf´ıa avanzada Adams, R., (1975), Sobolev spaces. Academic Press. Brezis, H., (1983) Analyse Fonctionelle. Masson. Paris. D´ıaz, J.I., (1985). Nonlinear Partial Differential Equations and Free Boundaries. Ed. Pitman. Londres. Fowler, A.C, (1997). Mathematical Models in the Applied Sciences. Cambridge texts in Applied Mathematics. Cambridge University Press. Froment, G.F y Bischoff, K.B., (1990). Chemical Reactor Analysis and Design. II Ed. John Wiley & Sons, Inc. Godlewski, E., Raviart, P.A., (1991). Hyperbolic Systems of Conservation Laws. Ed. Ellipses. John, F., (1982). Partial differential equations. IV Ed. Applied Mathematical Sciences. Springer Verlag