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Tema 1 - INTRODUCCIÓN AL NÚMERO REAL. (Pendientes de Matemáticas CCSS) Tipo I. Relación de orden y recta real. Operaciones 1. Calcula las potencias: a) 3-3, (−3)3, (−3)-3, −3-3 b)(1/3)-3, (−1/3)3, −(−1/3)-3 1 1 −1 [sol] a) ; 27 ; − (b) 27; ; 27 27 27 27

(

2. Simplifica y no dejes exponentes negativos: a) 8a −1b 2 [sol] a)

c) 3-1 – (1/3)-1

)

−2

b)

(a −1 ) 2 (−b) 3 (− ab) − 2

c)

(− a ) −3 (2b) −1 4ab −3

a2 b2 5 (b) − b (c) − 82 b 4 8a 4

3. Simplifica y da el resultado en forma radical: a) 5a1 / 3 2a1 / 2 [sol] a) 106 a 5 b) 4 3

b) (16a −2 / 3b 2 / 3 )1 / 2

b a

4. Ordena de menor a mayor y representa en la recta real los siguientes números: 0,0256 9 23 a) –0,75 b) c) 3 d) e) − 4 20 2 0,0256 23 9 [sol] −0,75 < − < < < 3 2 20 4 5. Escribe en forma de intervalo y representa en la recta real, los conjuntos: (a) A = {x ∈ R x < −1} b) B = {x ∈ R x < ½ y x ≥ –0,5} c) C = {x∈ R x ≤ 1 y x > 3} d) D = {x∈ R −2,5 ≤ x < 1,2} [sol] a) (−∞, −1) b) [−1/2, ½) c) ∅ d) [−5/2, 6/5) 6. Escribe la desigualdad que cumplen los números que pertenecen a los intervalos: a) (− ∞ , 2] b) [2, 5] c) (−1, 3) ∪ [0, ∞ ) d) [0, 3) ∩ (−1, 1] [sol] a) {x, x ≤ 2} b) {x, 2 ≤ x ≤ 5} c) {x, −1< x ≤ ∞} d) {x, 0 ≤ x≤ 1} 7. Halla y representa en la recta real los números que distan de –1 menos de 2 unidades [sol] (−3, 1) Tipo II. Notación científica. Números aproximados. 8. Redondea a las milésimas: –0,0996; 56,4444; 1,897645 [sol] −0,1; 56,444; 1,898 9. Expresa en notación científica los siguientes números indicando su orden de magnitud: a) 1.234·105 b) 0,0000000067012 c) 0,00763·106 d) −527,05·10-3 [sol] a) 8 b) −9 c) 4 d) −1

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Tipo III. Simplificación y Operaciones con radicales. 10. Reduce a una sola potencia fraccionaria:

a

a)

2 ·a 3

( a)

1 2

b)

c)

a a

d) 2· 8 ·

c)

81·144·400

d)

1 32

[sol] a) a 7 / 6 b) a1 / 4 c) a 3 / 4 d) 1 11. Halla, sin utilizar calculadora, el valor de: 0,09 10 ·169 b) 144· a) 0,1 100 [sol] a) 130; b) 0,36; c) 2160; d) −24 12. Reduce todo lo posible las sumas:

(

) ( 2

a) 1 − 2 2 − 1 + 2 2 [sol] a) -8√2 b) 9

)

2

b)

(

5−2

)(

3

− 8·27·64

) ( )

5+2 + 2 2

2

b) 2 3 −

13. Reduce las sumas: a) 3 5 − 80 + 2 45 − 125

1 12 + 4 27 2

[sol] a) 5 5 b) 13 3

14. Reduce las sumas: 75 7 48 a) 4 +2 3− 27 + 4 3 9 25 5 19 3 [sol] a) (b) − 3 3 3

b) − 2

20 125 6 45 5 + − −3 27 3 5 12 3

Tipo IV. Racionalización 15. Racionaliza: a) 2 2 [sol] a)

2 b)

3 1 c) d) 2 2

b)

2 3

c)

8

d)

4 2

1− 3 2 3

 x2   e)   3  x 

2

3 −3 e) x 6

16. Racionaliza las fracciones: a) [sol] a)

3

3 1+ 3

b)

5 2 5−2

3 −3 5+ 5 b) −2 8

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Tema 2 - POLINOMIOS Y FRACC. ALGEBRAICAS (Pendientes de Matemáticas CCSS) Tipo I. Operaciones con polinomios 1. Calcula y simplifica: 4 2 1  4 2 1  a)  −  ⋅  2 +  b) − ⋅  2 +  5 5 6  5 5 6  2 7 2 14 d) : e) − : 5 4 15 42 49 1 19 8 2 7 [sol] a) ; b) − ; c) ; d) ; e) − ; f) − 75 15 15 35 5 2

4 2 1 c)  −  ⋅ 2 + 5 5 6  1  f) − − − (− 4 )  2 

2. Simplifica al máximo las siguientes expresiones:

[sol] a)

2

 26 x 2 y 7 z 2  13 x 4 yz 3  : c)  2 3  2 2 8 xy z   32 x y z

6 2 ⋅ 35 ⋅ 2 6 ⋅ 335 b) 18 3 ⋅ 1212 ⋅ 12 4

64a 3b 2 a) 32a 4 b 26 y 11 2b 99 c) b) a 8 z4

3. Haz las siguientes multiplicaciones de polinomios:

(3x (4 x

)(

)

2  2 1  1 b)  − x 2 + 5 x +  x 2 − 3 x +  5  5 2  3 2 3 2 2 3 a) − 6 x + 5 3x − 4 x − 2 d) 5 x + 3 x − 5 7 x − 6 x + 3 2 2251 2 13 1 [sol] a) – 9x5 + 30x4 – 58x3 + 70x2 – 53x + 20 b) − x 4 + 3 x 3 − x + x+ 15 150 10 5 c) 12x5 – 34x4 + 39x3 – 28x2 + 12x – 10 d) 35x5 + 21x4 – 65x3 – 3x2 + 39x – 15

a)

3

− 5 x 2 + 7 x − 5 − 3x 2 + 5 x − 4

)(

)

(

)(

)

4. Haz las siguientes divisiones de polinomios: a) 20 x 3 + 12 x 4 + 29 − 39 x 2 − 28 x : 4 x 2 − 5 b) 2 x 3 − 3 x + 2 : (2 x − 1) 3 [sol] Damos el resto. a) –3x – 1 b) 4

(

)(

5. Halla:

( x − 6 )2

a)

b)

(4 + x )

2 2

) (

)

c) (2 x − 1)

2

e)

1  1   x + 5  x − 5  2  2 

1 2 x − 25 4 6. Utiliza la regla de Ruffini para hacer las siguientes divisiones: a) x 5 + x − 2 x 3 : ( x − 1) b) 2 x 3 − x 5 − 3 x : (x − 3) [sol] Resto: a) 0; b) −198; c) −3 [sol] a) x2 – 12x + 36 b) 16 + 8x2 + x4 c) 4x2 – 4x + 1 d)

(

)

(

)

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Tipo II. Factorización de polinomios 7. Factoriza los siguientes polinomios: a) P(x) = 3x3 – 9x2 + 6x b) P(x) = 2x2 + x – 15 4 3 2 c) P(x) = 8x + 80x + 200x d) P(x) = 6x5 + 14x4 + 4x3 [sol] a) 3x(x – 1)(x – 2) b) 2(x + 3)(x – 5/2) c) 8x2(x + 5)2 d) 6x3(x + 2)(x + 1/3) 8. Halla un polinomio de segundo grado sabiendo que una de sus raíces es x = –5 y que P(2) = –7 [sol] x2 + 2x – 15 Tipo III. Fracciones algebraicas 9. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: 3x 2 − 4 x 21x 2 4− x a) c) b) 3 x − 12 7 x − 14 x 2 x3 3x 1 3x 2 − 4 [sol] a) b) − c) 1 − 2x 3 x2 10. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: 4 x 2 − 40 x + 100 3x 3 − 6 x 2 x 2 + 6x − 7 b) a) c) 2x − 2 4 x 2 − 100 3x 4 + 24 x 3 − 60 x 2 x+7 x−5 1 [sol] a) b) c) 2 x+5 x + 10 11. Halla, simplificando el resultado: 2 x −1 a) x − 1 + b) 2 x − 2 x +1 x 1 2 4 8 3x − 2 3x − 3 − 2+ 3− 4 d) c) − x x x x+2 x x 3 3 2 2 x − 2x + 4x − 8 x +1 2x − x + 1 7x − 4 b) [sol] a) c) d) 2 4 x +1 x ( x + 2) x x 12. Halla, simplificando el resultado: x2 −1 x +1 x + 3 x 2 − 4x + 4 a) : b) ⋅ x x+2 x−2 x2 − 9 x2 + x − 2 x−2 [sol] a) b) x x−3 Tipo IV. Aplicaciones 13. Desde Sevilla a Toulouse se puede ir en un número exacto de horas viajando a 100 km/h o a 130 km/h de velocidad media. ¿Qué distancia hay entre las dos ciudades, si a 80 km/h se tarda menos de 25 horas? [sol] 1300 km. 14. De una cuba llena de vino se saca 1/6 de su capacidad; después, 1/4 de lo que queda. Si aún quedan 100 litros, ¿cuál es la capacidad de la cuba? [sol] 160 litros 15. Un grifo llena un depósito en 10 horas, y otro en 8 horas. a) ¿Cuánto llenan entre los dos en una hora? b) ¿Cuánto tardarían en llenarlo entre los dos? 40 [sol] a) 9/40 b) horas 9 Matemáticas I CCSS

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Tema 3 - ECUACIONES E INECUACIONES (Pendientes de Matemáticas CCSS) Tipo I: Ecuaciones de primer grado 1. Resuelve:

x − 1 2( x + 2) 3 x + 1 = − 4 3 6

[sol] −21/11

2. Juan gasta un tercio del dinero que tiene en la compra de un libro. Más tarde, paga la entrada al cine, costándole la mitad del dinero que le queda más 0,72 euros. Si aún le sobran 2,25 €, ¿cuánto dinero tenía en un principio? [sol] 8,91 € 3. Tres operarios trabajan en total 96 horas semanales en una cadena de producción. Si el tiempo dedicado por uno de ellos a este fin son los 3/5 del tiempo empleado por otro y éste los 5/8 del dedicado por el tercero, ¿Cuántas horas semanales permanece en la cadena cada trabajador? [sol] 18, 30 y 48. 4. Un padre tiene actualmente 47 años y la suma de las edades de sus dos hijos es de 31. ¿Dentro de cuántos años la suma de las edades de los hijos será la edad del padre? [sol] 16 5. Se mezclan 50 litros de aceite de girasol de 0,99 €/l con aceite de 0,78 €/l, obteniéndose una mezcla de 0,9 €/l. ¿Cuántos litros se han empleado del aceite más barato? [sol] 37,5 Tipo II: Ecuaciones de segundo grado 6. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas: a) 3x2 + x = 0 b) 3(x + 1)2 = 27 [sol] a) 0 y −1/3; b) 2 y −4; c) 7/2 y −5/2

c) 4x2 − 4x − 35 = 0

Tipo III: Ecuaciones reducibles a cuadráticas 7. Resuelve las ecuaciones: a) x 2 − 4 = 12 [sol] a) ±4; b) 9; c) 3 y 12

b) x − x = 6

c) 2 x − 3 x − 3 = x + 3

8. Calcula las soluciones de: a) x4 − 9x2 = 0

b) 3 x 2 + 1 =

8 x +1 2

c) x 4 − 3x 2 + 2 = 0

[sol] a) 0, 3 y −3 b) ±1 c) ± 2 y ±1

9. Resuelve: 1 − 4x x 2 − 3x + 2 a) = 0 b) =0 2x 2 −1 x +1 [sol] a) 1/4 b) 2 y 1 c) 1/5 d) −8/5

c)

−2 4 = 3x − 1 1 − x

d)

x−2 x+4 = x +1 x + 2

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Tipo IV: Inecuaciones 10. Resuelve las inecuaciones: x ≥ −1 5 [sol] a) x −4

a) 3x < 0

b)

c) 1 −

x 2 ≤ 2 3

d)

2 −1 < x 2

11. Halla el intervalo solución de las inecuaciones: x x − 5x ≤ 1 − 3 2 x + 3 x −1 3 1 < +1 d) 2 + ≥ − c) −2 6 x 5 15 [sol] a) x > 0 b) −6/25 ≤ x c) −7/2 < x d) x ≤ − 11 a) –x +2 + 4x > x + 2

b)

12. Un pastor afirma que en su rebaño de 120 ovejas, el triple de las churras es mayor que el cuádruplo de las merinas. ¿Qué número mínimo de ovejas churras tiene el rebaño? [sol] 69 13. Resuelve las inecuaciones siguientes: a) x (x + 1) < 0 b) –2x2 + 10 > 26 [sol] a) −1 < x < 0 b) ∅ c) (-∞, -1) ∪ (0, ∞)

c) 4x2 + 4x > 0

14. Halla gráficamente la solución de las inecuaciones cuadráticas: a) 2x2 + 9x < 0 b) 3x2 − 27 > 0 c) (x+1)(x-3) > 0 [sol] a) (−9/2, 0) b) R − [−3, 3] c) R − [−1, 3] 15. Resuelve gráfica y analíticamente la inecuación −x2 +2x +3 > 0 16. Halla la solución de: 2 x+2 a) ≤0 b) ≤1 3x − 2 2x −1 [sol] a) x < 2/3 b) (-∞, ½) ∪ [3, ∞) c) x ≤ 0

c) 0 ≤

[sol] (-1, 3)

−x x2 +1

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Tema 4 - SISTEMAS (Pendientes de Matemáticas CCSS) Tipo I. Sistemas lineales y problemas asociados 1. Resuelve los siguientes sistemas: x+ y +1 x+ y − y = y + 1 = −y +1  x + 2 y = −2 2 x − 3 y = 2   2 2 a)  b)  c)  d)  x x y 6 − = 1 3 x − 5 = 1    x − y = 1− x − y = 1   2 2 [sol] a) 8/7, −11/7 b) 4, 1 c) 1/16, −5/8 d) 4/5, 2/5. 2. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:  x + y + z =1  2x − y + z = 3   a) 2 x + 3 y − 4 z = 9 b)  x + 2 y + z = 1  x − y + z = −1 4 x + 2 y − 3z = 11  

+ 2 z = −1 x  c)  − x + 3 y + z = 0  y − 3z = 5 

[sol] a) 1, 1, −1 b) 2, 0, −1 c) 5/3, 1, −4/3 3. La suma de edades de una madre y su hija es 42 años. Cuando la hija tenga la edad de la madre esa suma será de 90. ¿Cuántos años tienen cada una en la actualidad? [sol] 33 y 9 4. Se mezclan 5 dl de esencia con 12 dl de agua de lavanda, pagándose por el perfume resultante 15,30 €. Si se mezclase 1 dl de cada colonia se pagarían 2,28 €. Calcula el precio del decilitro de la esencia. [sol] 1,72 € 5. Se alea un lingote de oro puro con otro lingote de 75% de pureza, obteniéndose 1 kilo de aleación, con una pureza del 90%. ¿Cuántos gramos de cada tipo de lingote se han empleado? [sol] 600 y 400 6. Compramos en un colmado 6 kg de café y 3 de arroz por lo que pagamos 31,8 €. Otro día, por 1 kg de café y 10 de arroz se pagan 20,5 €. ¿Cuánto nos costarían 5 kg de café y 12 de arroz? [sol] 41,7 € 7. En dos tinajas de igual capacidad hay repartidos 100 litros de aceite. La primera se llenaría si vertiéramos los 2/3 del contenido de la segunda y ésta lo hará, si trasvasamos los 3/4 de la primera.  ¿Cuántos litros contiene cada tinaja? [sol] 400/7 y 300/7 8. Un individuo posee 20 monedas, unas son de 0,50 € y otras de 1 €. ¿Puede tener un total de 16 €? [sol] Sí: con 8 y 12 monedas, respectivamente. 9. [S] Una empresa ha invertido 73.000 € en la compra de ordenadores portátiles de tres clases A, B y C, cuyos costes por unidad son de 2.400 €, 1200 € y 1000 € respectivamente. Sabiendo que, en total, ha adquirido 55 ordenadores y que la cantidad invertida en los de tipo A ha sido la misma que la invertida en los de tipo B, averiguar cuántos aparatos ha comprado de cada clase. [sol] 10, 20, 25

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10. [S] En los tres cursos de una diplomatura hay matriculados un total de 350 alumnos. El número de matriculados en primer curso coincide con los de segundo más el doble de los de tercero. Los alumnos matriculados en segundo más el doble de los de primero superan en 250 al quíntuplo de los de tercero. Calcula el número de alumnos que hay matriculados en cada curso. [sol] 200, 100, 50 Tipo II. Sistemas no lineales 11. Resuelve los sistemas: y+ x 5 2 x 2 + 3 y 2 = 11  = a)  6 b)  6 xy = 2   xy = 6 y − x = x −1  x− y =4 c)  2 d)  2 2 2 x + y = 2  x − y = 24 [sol] a) 3 y 2; 2 y 3 b) ±2 y ±1; ±√3/2, ±4/√3 c) 1, 1; −1/5, −7/5 d) 5, 1 12. Las longitudes de la altura y la base de un rectángulo cuya área mide 20 cm2 son dos números enteros consecutivos. ¿Cuánto mide la altura? [sol] 4 13. Encuentra las dimensiones de un rectángulo de perímetro 110 m y área 700 m2. [sol] 20 por 35 Tipo III. Sistemas de inecuaciones 14. Halla en el plano la solución de: a) x − 2y ≤ −1

b)

x +y≥2 2

15. Resuelve dando el resultado en forma de intervalo:  x≤2  x≥2 a)  b)  2 x − 1 ≥ 6 2 x − 3 > 5 [sol] a) ∅ b) (4, +∞) 16. Resuelve los sistemas: x − y ≤ 2 a)   2x ≥ 6

2( x − 1) − y ≤ 2 b)  y≥0 

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Tema 5 - FUNCIONES (Pendientes de Matemáticas CCSS) Tipo I. Funciones. Dominio y recorrido 1. Halla el dominio y recorrido de las funciones cuya gráfica se da a continuación:

[sol] a) [–1, 3]; [0, 2]. b) [0, 5]; [–1, 3] c) R; {–1, 1} 2. Indica cuáles de las siguientes relaciones definen una función: a) A cada número le asignamos el doble. b) A cada alumna le asignamos su estatura. c) A cada número natural le asignamos sus múltiplos. d) A cada ciudad le asignamos la provincia a la que pertenece. [sol] a) Sí. b) En cada momento sí. c) No. d) Sí. 3. Halla el dominio de las siguientes funciones: a) f(x) = 3x10 + 5x6 – 18 d) k ( x) = x 2 − 1

5x − 1 x 2 − 25 8x − 9 e) l ( x) = 2 2 x − 3x + 1

b) g ( x) =

c) h( x) = 3 x − 4

4  1  [sol] a) R b) R – {–5, 5} c)  , ∞  d) (− ∞,−1] ∪ [1, ∞ ) e) R –  ,1 3  2  Tipo II. Representación y características gráficas 4. [S] Álvaro va cada tarde al instituto; pasa primero por la panadería y compra un bollo, luego se detiene en la siguiente esquina a esperar a un compañero. Por fin, después de las clases, vuelve a casa. Aquí tienes la gráfica de su recorrido. a) ¿Qué distancia hay de la casa al instituto? ¿Y a la panadería? b) ¿Cuánto tarda en comprarse el bollo? c) ¿Tiene que esperar mucho a su compañero? d) ¿Cuánto duran las clases? e) Si las clases comienzan a las 4 de la tarde, ¿dónde estaba a las 15 h 32 min, 15 h 36 min y a las 15 h 54 min? f) ¿Lleva la misma velocidad a la ida que a la vuelta? g) Estudia la velocidad en cada trayecto. [sol] a) 600 m, 400 m. b) 5 min. c) 10 min. d) 2 h. f) Va tres veces más rápido a la vuelta. g) Por trayectos: 80, 0 (panadería), 20, 0 (espera), 20, 0 (clase) y 60 m/min.

5. Estudia la simetría de las siguientes funciones: a) f(x) = x4 – x2

b) g(x) = x3 – x + 1

c) h( x) = −

x x +4 2

[sol] a) Par b) no es par ni impar. c) Impar.

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 x + 3, si x < −3  6. Dada la función, definida a trozos, f ( x) = 0, si − 3 ≤ x < 0  2 si x ≥ 0  x − 1, a) Halla f(–4), f(–2), f(–1), f(0) y f(2). b) Representa f(x). c) Da los valores de x que se transforman en 0. Ídem en –1. [sol] a) –1; 0; 0; –1; 3. c) [− 3,0) ∪ {1} ; {–4, 0}  x 2 si x < 0 7. Calcula algunos pares de la función f ( x) =  , represéntalos en un diagrama 3 x si x ≥ 0 cartesiano y traza, uniendo los puntos, la gráfica de f(x). ¿Para que valores de x la función toma el valor 9? [sol] f −1 (9) = {−3, 3}

Tipo III. Composición de funciones 5 , halla: 8. Dadas f ( x) = x − 3 y g ( x) = x +1 a) f ( g ( x)) y g ( f ( x)) b) f (g (4)) y f (g (1)) . Determina el domino de f ( g ( x)) c) g ( f (3)) y g ( f (2)) . Determina el dominio de g ( f ( x)) 2 − 3x 5 [sol] a) f ( g ( x)) ; g ( f ( x)) = b) −2; −1/2; R – {–1} c) 5; no definido; R – {2} x +1 x−2 Tipo IV. Funciones dadas por enunciados 9. La factura bimensual de una compañía telefónica consta de una cantidad fija (las cuotas de abono) por un importe de 29,84 euros, más el importe de los pasos gastados, con un precio por paso de 0,06 euros. A esa suma hay que cargarle el 16% de IVA. Se pide: a) ¿Cuánto debe pagar una familia que consumió en dos meses 990 pasos? b) Escribe la expresión que dé el importe total, IVA incluido, de la factura en función de los pasos gastados. [sol] a) 103,52 € b) I(p) = 34,6144 + 0,0696p. 10. Se desea cercar con cuerda dos parcelas rectangulares adyacentes (consecutivas) e iguales que encierren entre las dos un área de 1.000 m2. a) Si x indica el ancho de las parcelas, encuentra la función que da la longitud L(x) de cuerda necesaria para cercarlas. b) Representa L(x), y a partir de esa gráfica determina, aproximadamente, el mínimo necesario de cuerda para cercar las dos parcelas. (Puede convenirte hacer una ampliación de la gráfica desde x = 15 hasta x = 25). 1.500 [sol] a) L(x) = 4x + x 11. Se quiere construir una caja partiendo de un trozo de cartulina rectangular de 24 por 32 cm, recortando un cuadradito en cada esquina y doblando. a) Determina la función que da el volumen de la caja dependiendo del lado del cuadrado cortado. b) ¿Qué volumen tendrá la caja cuando cortamos 0, 5 y 10 cm? c) Representa dicha función. A partir de su gráfica, determina su dominio, recorrido y máximo. [sol] a) V(x) = (32 – 2x) · (24 – 2x) · x b) 0; 1.540; 480

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Tema 6 – FUNC. POLINÓMICAS Y RACIONALES (Pendientes de Matemáticas CCSS) Tipo I. Funciones lineales 1. Representa gráficamente las siguientes rectas: a) y = x – 4

b) y = 0,8x

c) y = –0,4x – 4

d) y =

3 x−4 2

2. Calcula la ecuación de la recta que pasa por los puntos A = (–1, 3) y B(5, –2) 5 13 [sol] y = − x + . 6 6 3. Un coche cuesta 25.000 euros y se deprecia al mes 150 euros. ¿Cuál es su valor dependiendo del número de meses desde su compra? [sol] f(x) = 25000 – 150x 4. La factura bimensual de una compañía telefónica consta de una cantidad fija (las cuotas de abono) por un importe de 30,60 €, más el consumo, con un precio por minuto de 0,12 €. a) ¿Cuánto debe pagar una familia que consumió en dos meses 215 minutos? b) Halla la expresión que dé el importe total de la factura en función de los minutos consumidos. c) Si a esa suma hay que cargarle el 16% de IVA, ¿cuál es la función que da el importe total (IVA incluido) de la factura dependiendo de los minutos consumidos? [sol] a) 56,4 € b) f(x) = 30,60 + 0,12x c) I(x) = 35,496 + 0,1392x 5. La fuerza de la gravedad en la Tierra vale 9,81 y en Venus 8,85. a) ¿Cuánto pesaría Antonio en la Tierra si su peso en Venus es de 80? b) Escribe las funciones de conversión de pesos de un planeta a otro. [sol] a) 88,678 kg b) f(x) = 1,108x; g(z) = 0,9z Tipo II. Funciones cuadráticas 6. Representa gráficamente las siguientes parábolas, calculando previamente su vértice: 1 a) y = x2 – 4x + 5 b) y = –x2 + 6x – 6 c) y = − x 2 + x 2 [sol] a) (2, 1) b) (3, 3) c) (1, 1/2) 7. Representa gráficamente la recta y = x + 1 y la parábola y = x2 – 5x + 4. a) Determina analíticamente sus puntos de corte. b) Da una recta que no corte a la parábola. Justifícalo. [sol] a) (5,45, 6,45) y (0,55, 1,55) 8. Halla los puntos de corte con los ejes de coordenadas de las parábolas: a) y = x2 – 5x; b) y = x2 + x + 4; c) y = –x2 + 4 [sol] a) (0, 0) y (5, 0) b) (0, 4) d) (0, 4), (–2, 0) y (2, 0).

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Tipo III. Aplicaciones económicas 9. Las funciones de oferta y demanda de un producto son: qs = –5 + 2p; qd = 210 – 0,4p2, donde p viene dado en euros y q en miles de unidades. Halla: a) Las cantidades de oferta y demanda a un precio de 8 euros. b) El precio y la cantidad de equilibrio para ese producto. [sol] a) 11.000; 184.400 b) 20,82 €; 36.640 unidades. 10. Halla el precio de equilibrio (en euros) y el número de unidades ofertadas y demandadas a ese precio, para las siguientes funciones de oferta y demanda: a) qs = –70 + 2p y qd = 200 – p b) qs = –40 + p y qd = 500 – 2p [sol] a) 90 €; 110 b) 180 €; 140 11. Una empresa puede vender cierto producto a 9 € la unidad. Los costes de funcionamiento de la empresa son de 3.500 € y el coste de producción por unidad de producto es de 3,50 €. a) ¿Cuántas piezas deben producirse y venderse para que los costes se igualen a los ingresos? b) ¿Cuánto pierde si fabrica y vende 400 unidades? c) ¿Cuánto gana o pierde si fabrica 1.000 unidades y sólo vende 700? [sol] a) 636,36 b) 1300 €. c) Pierde 700 €. Tipo IV. Otras funciones 12. Halla el dominio de definición de las funciones: x x −1 6 a) f ( x) = b) g ( x) = c) h( x) = 2 x+5 2x − 6 x − 2x [sol] a) R – {5} b) R – {3} c) R – {0, 2} 13. Halla el dominio de definición de las funciones: a) f ( x) = x + 3 b) g ( x) = 2 x + 3 c) h( x) = x 2 + 3 x [sol] a) [-3, +∞) b) [-3/2, +∞) c) (-∞, -3]∪[0, +∞)

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Tema 7 - FUNC. EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA (Pendientes de Matemáticas CCSS) Tipo I: La función exponencial 1. Representa gráficamente, utilizando la calculadora, estas funciones: a) y = 1,1x b) y = (0,8)x Tipo II: Logaritmos 2. Calcula, aplicando la definición de logaritmo, el valor de: a) log 9 81

b) log 2 128

c) log 4

1 16

d) log 5 4 125 [sol] a) 2. b)

7 3 . c) –2 d) 2 4

3. Sabiendo que log 2 = 0,3010, halla (sin calculadora) el valor de: a) log 20 b) log 200 c) log 0,0002 [sol] a) 1,3010. b) 2,3010; c) –3,699 4. Sabiendo que log 3 = 0,4771, halla (sin calculadora) el valor de: a) log 0,3 b) log 30.000 c) log (1/9) [sol] a) –0,5229 b) 4,4771 c) –0,9542 5. A partir de los valores de log 2 y de log 3, halla: a) log 6 b) log 75 c) log(0,36) d) log 4500 [sol] a) 0,7781; b) 1,8751; c) –0,4438; d) 3,6532 Tipo III: La función logarítmica 6. Con ayuda de la calculadora, representa gráficamente la función f ( x) = log( x 2 + 1) Tipo IV: Ecuaciones exponenciales y logarítmicas 7. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x = 15,21,1 b) x = 1,001100 c) 0,5 = 52x d) 3 = x2,5 e) x3,5 = 3,5 f) 52x = 625 g) 3x3 = 375 h) 53x + 2 = 15.625 [sol] a) 19,954; b) 1,105; c) –0,215; d) 2,5 3 = 1,552; e) 1,4302.; f) 2; g) 5; h) 4/3. 8. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales: a) 2

x 2 +1

x

= 32

b) 3

1 – 2x

= 2.187

c) 4

1 – 3x

=2

x– 2

1 d)   = 2 3 x +1 4 [sol] a) ± 6 ; b) –3; c) 4/7; d) −

9. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 3x – 3x – 1 + 3x – 2 = 21 80 c) 3x – 3–x = 9

1 5

b) 25x – 100 · 5x = 3.125 d) 9x – 8 · 3x + 1 – 81 = 0 [sol] a) 3; b) 3; c) –2; 2. d) 3

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10. Resuelve: a) e2x – 2 = 1

b) e–10x = 4

c) xex − 3 = 0 d) xex – x = 0 [sol] a) 1; b) –0,138629; c) 0; d) 0; e) 1; f) –0,6931

11. Halla el valor de x en las siguientes ecuaciones: a) log 6 x = 3 b) log 5 x = 2,5 c) log 7 3 x = −0,2 e) ln x = 3,2

d) log x = −4

 1  f) log 2   = x g) log 7 8 = x h) log16 4 = x  32  [sol] a) 216; b) 55,9; c) 0,226; d) 0,0001; e) 24,53; f) –5; g) 1,0686; h) 1/2

12. Resuelve: a) log 6 140 = x c) log 2 8x = 7

b) log x 100 = −2 d) 4 log 2 (2x + 1) = 16 [sol] a) 2,7580; b)

1 ; c) 16; d) 15/2. 10

13. Utilizando la fórmula del cambio de base, halla: a) log 2 100 b) log 5 500 c) log 8 320.000 d) log 3 0,3 [sol] a) 6,6439; b) 3,8614; c) 6,0959; d)–1,0959 (todos redondeados) 14. Resuelve las ecuaciones: a) 3 + log (x + 1.000) = 7 c) log (2x + 2) − log (x − 3) = 1

b) log (x + 6) − 2 · log (x −3) = 1 d) log (32x – 2 + 7) = 2log (3x – 1 + 1) [sol] a) 9000; b) 4; c) 4; d) 2.

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Tema 8 - Estadística básica. (Pendientes de Matemáticas CCSS) Tipo I. Tablas y gráficos 1. En la siguiente tabla se dan los datos correspondientes a las notas de Matemáticas de 60 alumnos de 1º Bachillerato. IN SF BI NT SB Notas [1, 5) [5, 6) [6, 7) [7, 9) [9, 10] 13 12 10 5 Nº de alumnos 20 a) Haz una tabla de frecuencias y porcentajes, simple y acumulada. b) Dibuja el correspondiente histograma. c) Representa los datos mediante un diagrama de sectores y mediante una poligonal acumulativa. 2. La precipitación (P) y la temperatura media mensual (T) registradas en Soria a lo largo del año son: Mes E F M A M J J A S O N D P (mm) 44 45 48 47 62 55 32 31 47 46 49 55 T (ºC) 1,3 3,1 5,6 7,5 10,6 15,6 18,1 18,1 15 9,4 5,6 3,1 Representa gráficamente estos datos mediante un climograma. Tipo II: Parámetros estadísticos 3. Siete estudiantes han leído este curso el siguiente número de libros: 3 4 5 6 5 7 5 Para estos datos, determina: a) La media b) La mediana c) La moda d) El rango [sol] a) 5 b) 5 c) 5 d) 4 4. En una empresa hay 3 directivos, 50 operarios y 8 vendedores. Los sueldos mensuales, en euros, de cada categoría son los siguientes: directivos, 4.000; operarios, 1.400; vendedores, 2.000. a) Halla la moda, la mediana y la media de los sueldos. b) ¿Qué medida es más representativa del promedio? [sol] a) 1.400 €; 1.400 €; 1.606,56 € b) Ninguna es mala. 5. En primero de bachillerato de un centro escolar hay tres grupos, A, B y C, con 30, 35 y 25 alumnos, respectivamente. La nota media en Matemáticas fue, también respectivamente, de 5,3, 6,5 y 5,6. Halla la nota media de Matemáticas de todos los alumnos de primero. [sol] 5,86 6. Halla la media y la desviación típica de los datos correspondientes al diagrama de tallo y hojas adjunto. [sol] 52,04 y 8,08 kg 7. Los rendimientos medios (en kilogramos por hectárea) en España, para los cereales que se indican, fueron: Año 1999 2000 2001 2002 2003 Trigo 2150 3100 2300 2830 2840 Maíz 9450 9220 9720 9510 9110 Halla los rendimientos medios para el quinquenio de cada cereal. ¿Qué cereal es más fiable? [sol] 2.644 kg/ha y 9.402 kg/ha. El maíz. Tipo III: Problemas varios 8. A un congreso asisten seis mujeres cuyas edades son: 27 34 38 42 33 36 a) Calcula la media y varianza de sus edades. b) Cinco años después coinciden las mismas mujeres. A partir de los cálculos anteriores, halla la nueva media y varianza de sus edades. [sol] a) 35 años y 21,33 b) 40 años y 21,33.

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Tema 9 - Distribuciones bidimensionales. (Pendientes de Matemáticas CCSS) Tipo I. Correlación y regresión 1. El número de españoles (en millones) ocupados en la agricultura, para los años que se indican, era: Año 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 Ocupados 2,1 2,04 1,96 1,74 1,69 1,49 1,25 1,16 a) ¿Podría explicarse su evolución mediante una recta de regresión? b) ¿Qué limitaciones tendrían las estimaciones hechas por esa recta? [sol] a) Si; b) No vale para hacer estimaciones alejadas de los años considerados. 2. Asocia las rectas de regresión y = –x +16, y = 2x – 12, y = 0,5x + 5 a las nubes de puntos siguientes:

3. Asigna los coeficientes de correlación lineal r = 0,4, r = –0,85 y r = 0,7, a las nubes del problema anterior. [sol] a) Respectivamente: (c), (b), (a). b) Respectivamente: (a), (b), (c) Tipo II. Cálculo de la correlación y regresión 4. [S] a) Calcula la recta de regresión de Y sobre X en la distribución siguiente realizando todos los cálculos intermedios. X 10 7 5 3 0 Y 2 4 6 8 10 b) ¿Cuál es el valor que correspondería según dicha recta a X = 7? [sol] a) y = –0,8276x +10,138; b) 4,3448. 5. [S] El número de bacterias por unidad de volumen, presentes en un cultivo después de un cierto número de horas, viene expresado en la siguiente tabla: X: Nº de horas 0 1 2 3 4 5 Y: Nº de bacterias 12 19 23 34 56 62 Calcula: a) Las medias y desviaciones típicas de las variables, número de horas y número de bacterias. b) La covarianza de la variable bidimensional. c) El coeficiente de correlación e interpretación. d) La recta de regresión de Y sobre X. [sol] a) x = 2,5; sx = 1,70782; y = 34,3333; sy = 18,6964; b) 31; c) 0,97086. d) y = 10,6285x + 7,7619

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6. La tabla siguiente muestra las notas obtenidas por 8 alumnos en un examen, las horas de estudio dedicadas a su preparación y las horas que vieron la televisión los días previos al examen. Nota 5 6 7 3 5 8 4 9 Horas de estudio 7 10 9 4 8 10 5 14 Horas de TV 7 6 2 11 9 3 9 5 a) Representa gráficamente los diagramas correspondientes a nota-estudio y nota-TV. b) ¿Se observa correlación entre las variables estudiadas? ¿De qué tipo? ¿En qué caso estimas que es más fuerte? [sol] b) Sí. Directa; inversa. 7. Con los datos del problema anterior, halla el coeficiente de correlación de nota-estudio y notaTV. ¿Qué puede deducirse con más precisión conociendo la nota que obtuvo una persona en el examen: el tiempo que dedicó al estudio o el que dedicó a ver la televisión? [sol] 0,943382 y −0,846283. El tiempo que dedicó al estudio. 8. Con los mismos datos, halla las rectas de regresión correspondientes y estima para un alumno que sacó un 2 en el examen: a) Las horas que estudió. b) Las horas que vio la TV. [sol] a) Est = −0,246753 + 1,46753 · Nota; 2,7 h. b) TV = 14,1299 − 1,2987 · Nota; 11,5 h. Tipo III. Estimación a partir de la recta de regresión 9. La altura, en cm, de 8 padres y del mayor de sus hijos varones, son: Padre 170 173 178 167 171 169 184 175 Hijo 172 177 175 170 178 169 180 187 a) Calcula la recta de regresión que permita estimar la altura de los hijos dependiendo de la del padre; y la del padre conociendo la del hijo. b) ¿Qué altura cabría esperar para un hijo si su padre mide 174? ¿Y para un padre, si su hijo mide 190 cm? [sol] a) H = 68,1853 + 0,621859 · P; P = 77,4406 + 0,545082 · H. b) 176,4 cm; 181 cm. 10. [S] Durante su primer año de vida han pesado a Marta cada mes. En la tabla siguiente se dan sus pesos: x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 y 3,2 3,7 4,2 5,3 5,7 6,5 6,8 7,2 7,9 7,7 8 8,5 En esta tabla, x representa la edad en meses e y el peso en kilogramos. a) Calcula la media y la desviación típica de los pesos. b) Determina la ecuación de la recta de regresión de y sobre x, explicando detalladamente los cálculos que haces y las fórmulas que utilizas. [sol] a) 6,225; 1,7181 b) y = 0,48706x + 3,05909 11. [S] Utilizando la recta de regresión de x sobre y correspondiente a la distribución siguiente: x = altura sobre el nivel del mar 0 184 231 481 911 y = temperatura media en ºC 20 18 17 12 10 Calcula la altitud de una ciudad en la que la temperatura media es de 15º. [sol] 392,7 m.

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