http://matematicasconsole.wikispaces.com/

TEMA 1 Matrices

MATRICES DEFINICIÓN.

1.

Una matriz A de m filas y n columnas es una serie ordenada de m·n números aij , i= 1,2,.....m; j= 1,2,....n, dispuestos en filas y columnas, tal como se indica a continuación:  a 11 a 12 a 13 ... a 1n     a 21 a 22 a 23 ... a 2n  A ... ... ....... ....    a   m1 a m2 a m3 ... a mn  Una matriz como la anterior con m filas y n columnas, diremos que es de orden mxn o de dimensión mxn Por ejemplo:  1 2  1  A     2 3  3

es una matriz de dos filas y tres columnas. El elemento a2,3 = -3 2

ALGUNOS TIPOS DE MATRICES

2.1. MATRIZ FILA Es una matriz que tiene una sola fila y n columnas Ejemplo: A = ( 2, 5, 7, 8, -3) que tiene una fila y cinco columnas. 2.2. MATRIZ COLUMNA. Es una matriz que tiene m filas y una columna. Ejemplo:  5    B 4    3   tiene tres filas y una columna. 2.3. MATRIZ NULA. Es la matriz cuyos elementos son todos nulos. 2.4.

MATRIZ TRANSPUESTA

t Dada una matriz A se representa por A y se obtiene cambiando filas por columnas en la matriz A. Si A es de orden mxn, entonces At será de orden nxm: (aij)t = (aji) Ejemplo:

pág. 1

ISBN 84-8498-802-3DEPÓSITO LEGAL CS-4601997

http://matematicasconsole.wikispaces.com/

TEMA 1 Matrices

 2 4 6  2 0 0     A = 0 3 2 su transpuesta A t = 4 3 0      0 0 5  6 2 5 2.5 MATRIZ ESCALONADA Es aquella (no necesariamente cuadrada) donde aij = 0 si i>j …  a11 a12 a13 a14   0 a a 23 a 24  22   0 a 33 a 34   0  0 0 0 a 44   2.6. MATRIZ CUADRADA Es una matriz que tiene el mismo número de filas que de columnas. Ejemplos: 1 3 5   C  4  2 8 3 6 7   Diagonales de una matriz cuadrada. Se llama diagonal principal de una matriz cuadrada al conjunto de elementos del tipo aii. El conjunto de elementos del tipo aij con i + j = n + 1 forman la diagonal secundaria.

En la matriz

3 4 5    C  6 7 8   9 10 11   la diagonal principal es { 3, 7, 11 } y la secundaria { 5, 7, 9 }.

2.7. MATRIZ UNIDAD. Es una matriz cuadrada en la que todos sus elementos son cero, excepto los de la diagonal principal que está formada por unos. Es decir: aii = 1 y aij =0 ij Ejemplo:  1 0 0   I   0 1 0    0 0 1 2.8.

MATRIZ TRIANGULAR.

Es una matriz cuadrada en la que todos sus elementos por encima o por debajo de su diagonal principal son nulos. Ejemplo:

pág. 2

ISBN 84-8498-802-3DEPÓSITO LEGAL CS-4601997

http://matematicasconsole.wikispaces.com/ 4 0 0 0   2 4 6   3 2 0 0    S   0 3 2 T  5 7 3 0       0 0 5  8 4 6 5

TEMA 1 Matrices

2.9 MATRIZ SIMÉTRICA Se dice que una matriz A es simétrica si coincide con su transpuesta. Toda matriz simétrica es cuadrada. A=At Ejemplo:

1 2 1    A   2 0  1 1 1 3    Ejercicios: Ejercicios complementarios nº 1,2 2.10 MATRIZ ANTISIMÉTRICA Se dice que una matriz A es antisimétrica si coincide con su transpuesta cambiada de signo. Toda matriz antisimétrica es cuadrada. A= - At Ejemplo: 3  1  0   A   3 0 5  1 5 0   

3. IGUALDAD DE MATRICES. Dadas dos matrices A y B, se dice que son iguales cuando: Tienen misma dimensión y a ij = bij , i, j  I x J 1

4.

OPERACIONES CON MATRICES. 4.1. SUMA DE MATRICES.

Dadas dos matrices A y B del mismo orden, mxn, se define la suma de ambas como otra matriz, del mismo orden, que se obtiene sumando los elementos que ocupan el mismo lugar. Se trata de una operación interna del conjunto de las matrices de orden o dimensión mxn: A, B  Mmxn  A+B  Mmxn 1

Explicar producto cartesiano de conjuntos

pág. 3

ISBN 84-8498-802-3DEPÓSITO LEGAL CS-4601997

http://matematicasconsole.wikispaces.com/  a 11 a 12  a 21 a 22 A+B=  ..... .....   a m1 a m2

..... a 1n   b11 b12 ..... b1n     ..... a 2n   b 21 b 22 ..... b 2n  + = ..... .....  ..... ..... ..... .....    ..... a mn   b m1 b m2 ..... b mn 

 a11  b11 a 12  b12  a 21  b 21 a 22  b 22 =  ............ ............   a m1  b m1 a m2  b m2 4.1.1.

TEMA 1 Matrices

a 1n  b1n   ..... a 2n  b 2n  ..... ............   ..... a mn  b mn  .....

PROPIEDADES DE LA SUMA

- Asociativa - Elemento neutro ( matriz cuyos elementos son todos nulos) - Elemento simétrico, el simétrico de la matriz a ij , es a ij (llamada matriz opuesta). - Conmutativa Cualquier conjunto con una operación interna que tiene estas propiedades, se dice que tiene estructura de Grupo Abeliano 4.2. PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ. Dada una matriz A, de orden m x n , y un elemento α (escalar) del cuerpo, se define el producto de α por A como otra matriz del mismo orden cuyos elementos se obtienen multiplicando α por cada uno de los elementos de la matriz. Se trata de una operación externa :  x Mmxn Mmxn  a 11 a 12 ..... a 1n   a 11  a 12 ..... a 1n       a 21 a 22 ..... a 2n   a 21  a 22 .....  a 2n    A =   ..... ..... ..... .....   ....... ....... ..... .......      a   a  a ..... a  a .....  a m2 mn   m1 m2 mn   m1 Ejercicios: Complementarios nº 3 Selectividad nº1,2 4.3 PRODUCTO DE MATRICES Para multiplicar dos matrices es imprescindible que el número de columnas de la primera sea igual al número de las filas de la segunda. Por eso los órdenes tienen que ser mxn y nxp, respectivamente, y su producto es de orden mxp. Si dos matrices A=(aij) y B=(bi,j) son multiplicables (nº de columnas de A = nº filas de B) los elementos de la matriz producto, P= (pi,j) , se obtienen mediante la ley C simbólica: pi,j = [FILA i]·

pág. 4

O L U M N A j

n

=

a k 1

i ,k

·bk , j

ISBN 84-8498-802-3DEPÓSITO LEGAL CS-4601997

http://matematicasconsole.wikispaces.com/ EJEMPLO:  3  1    2  1 0  1  A 4 2  ; B   7 4 1 1    2 5     3  1    2  1 0  1   A·B   4 2 . 7 4 1 1    2 5   

TEMA 1 Matrices

 3.2  (1).7 3(1)  (1).4 3.0  (1)1 3(1)  (1)1     4.2  2.7 4(1)  2.4 4.0  2.1 4(1)  2.1    2.2  5.7  2(1)  5.4  2.0  5.1  2(1)  5.1  

Realiza los siguientes productos: 1   2 1 2 3 4    3    4   Ejercicios: Complementarios nº: 4, 5, 6 Selectividad nº: 3, 4 1    2   1 2 3 4 ;  3  

4.3.1.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO

I ) A .B  B . A. No se cumple la propiedad conmutativa. EJEMPLO:  1  7 1  4   2  2 Sean las matrices A y B del ejemplo anterior: A·B=  22 4  31 22 5 7   Pero B·A no se puede efectuar pues, dim(B)= 2x4 y dim(A)=3x2 Ejercicios: Selectividad nº 8 II ) A ( B . C ) = ( A . B ) C III ) A ( B + C ) = AB + AC IV ) ( B+C ) A = BA+CA V )  AB = A B =  A B VI ) Existe elemento unidad (es la matriz unidad).A·I=I·A=A(solo para matrices cuadradas). Por tanto, In = I VII ) A· 0 = 0 (siendo 0 la matriz nula) VIII ) El producto de dos matrices puede ser cero sin ser nulas las matrices (divisores de cero).

pág. 5

ISBN 84-8498-802-3DEPÓSITO LEGAL CS-4601997

http://matematicasconsole.wikispaces.com/ EJEMPLO:

TEMA 1 Matrices

1 1  1 2  0 0  .   3 3 1 2  0 0 Ejercicios: Selectividad nº: 5, 6, 7, 13 Complementarios nº, 7 4.3.2 PROPIEDADES DE LA TRANSPOSICIÓN DE MATRICES I) (At)t = A II) (A+B)t = At+Bt III) (k·A)t = k·At IV) (A·B)t = Bt·At Ejercicio. Comprueba las propiedades anteriores con las matrices:  1 0  3  2  B    A=   2 1 0 1  4.4 MATRIZ INVERSA Se llama matriz inversa de A a aquella que multiplicada por A da como resultado la matriz unidad I. A la matriz inversa de A se la denota por A-1. De modo que A.A-1=A-1 .A=I. EJEMPLO. Calcular la matriz inversa (Por sistema de ecuaciones) de la matriz A

 1 1  A  2 3 

Ejercicios: Complementarios nº 8, 12, 9, 10, 11, voluntarios 13, 14 Selectividad nº 9, 10, 11, 12,14

pág. 6

ISBN 84-8498-802-3DEPÓSITO LEGAL CS-4601997

http://matematicasconsole.wikispaces.com/

TEMA 1 Matrices

EJERCICIOS SELECTIVIDAD 1.- Encuentra una matriz C que verifique: 2A+3B – C=0, donde:  3 5  3  1 15 7     A  1 4 y B   2 5  (1994) Sol: C=  8 23   6 2 6 3   30 13     2.-

Calcular 2A-3B=

 2 1 0    A   0 3 2    1 1 2 

   

Siendo

 3 1 0   B   0 2 1    4 5 2

 -5 -5 0  Sol:C =  0 12 -7 -10 -17 -2

4   5 4 2  3  6     8  11    2 2 3  , y utiliza el 3.- Calcula el producto de matrices:  9 2 2  1 1  7 6 6 1     5x  4 y  2z  2  producto anterior para obtener la solución del sistema:  2x  2 y  3z  3 (Sep 7 x  6 y  6 z  5  1998) Sol: I  0 1 2   4.- Dada la matriz A   0 0 3  calcula las matrices A2, A3, A4 y A5. Obtén 0 0 0   razonadamente la matriz An para n>5. (Junio 2000) Sol: An= 0 3 4  0   5.- Consideremos la matriz A   1  4  5  . Demostrar que A3+I = 0, siendo I la 1 3 4   matriz identidad y 0 la matriz nula. Calcula razonadamente A10. Sol: 10 A = -A 2x  y  1 Halla la inversa de la matriz de los coeficientes del sistema:  x  y2 Resuelve el anterior sistema de ecuaciones con la matriz inversa hallada (1995) 6.- Demostrad que si A es la matriz entera siguiente: 1 1 A   1 1

pág. 7

ISBN 84-8498-802-3DEPÓSITO LEGAL CS-4601997

http://matematicasconsole.wikispaces.com/ entonces An - 2n - 1.A=0, n1.  0  1  . 7.- Sea la Matriz M   1 0   M 4n  I  4 n 1 M M  4n 2  I M M 4 n  3   M

TEMA 1 Matrices

Hallar M30.

 x 0  . Halla los valores de x, y para que M conmute con   y 1 0 1  0 1  y B    se pide: 8.- Consideremos las matrices reales A   1 0  1 1 a)Obtener las matrices M = (A+B)2 y N=A2+2AB+B2 b) Si en el apartado anterior has obtenido M = N, repasa de nuevo tus operaciones c) Si ya has obtenido que M y N son matrices distintas, Justifica que esto es consecuencia de que las matrices A.B y B.A son distintas.

9.- a) Calcular las matrices reales cuadradas de orden 3, X e Y , que satisfacen las ecuaciones siguientes:  1 0 1  1 1 0     2 X  Y  B donde B =  0 1 1 y C =   1 1 1    X  2Y  C  1 1 1  0 0 1     b) Si X e Y son las matrices anteriores, calcular la matriz (2X+Y)X – (2X+Y) (2Y). (Junio 2003).

2 0 1   b)  0 2 2  1 1 1   10.- Obtener todos los valores x, y, z, t para los que se verifica AX=XA, siendo  x y 1 2  y A    (3,3 p) Sep 04 X   z t  3 4  3  1 2  1 Sol a) X    1 3 3  ; 5 1 3   1

1  1 2  1 Y=  2  1  1 5    2  2  1

11.- En el mercado podemos encontrar tres alimentos preparados para gatos que se fabrican poniendo, por kilo, las siguientes cantidades de carne, pescado y verdura:  Alimento Migato: 600 g de carne, 300 g de pescado y 100 g de verdura.  Alimento Catomeal: 300 g de carne, 400 g de pescado y 300 g de verdura.  Alimento Comecat: 200 g de carne, 600 g de pescado y 200 g de verdura. Si queremos ofrecer a nuestro gato 470 g de carne, 370 g de pescado y 160 g de verdura por kilo de alimento, ¿qué porcentaje de cada uno de los compuestos

pág. 8

ISBN 84-8498-802-3DEPÓSITO LEGAL CS-4601997

http://matematicasconsole.wikispaces.com/ TEMA 1 Matrices anteriores hemos de mezclar para obtener la proporción deseada? (3,3 puntos). Septiembre 2005  6 4 x  y X    , se pide: 12.- Dadas las matrices A    1 1  y 0 a) Obtener razonadamente los valores de  para los que   es la única solución de 0 la ecuación matricial AX =  X. (1,5 puntos) b) resolver la ecuación matricial AX =2X. (1,8 puntos) Sep 2007 29  1 0  17  , A=   . Se 13.- Sean I y A las matrices cuadradas siguientes: I=  0 1   10  17  pide calcular, escribiendo explícitamente las operaciones necesarias: a) Las matrices A2 y A3. (1,5 puntos) b) los números reales  y  para los que se verifica (I+A)3 = I+ A. (1,8 p) Junio08  1  1 x  y el vector X=   , se pide obtener razonadamente: 14.- Dada la matriz A=  2 4   y a) El vector X tal que AX = 0X. (1,1 puntos) b) Todos los vectores X tales que AX = 3X. (1,1 puntos) c) Todos los vectores X tales que AX = 2X. (1,1 puntos) Septiembre 08.

pág. 9

ISBN 84-8498-802-3DEPÓSITO LEGAL CS-4601997

http://matematicasconsole.wikispaces.com/ TEMA 1 Matrices EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS MATRICES 1.- Escribe las matrices transpuestas de: 3 1    2 A  2 5 B   4  7 6   7 4 1   1   2 1 0 D E  7 0 1 7 4     6 3 2   2.-Escribe una matriz X tal que Xt = X 3.- Sean las matrices:  1 0  2   1 0 1  B    A    4 1  3   4 1 3 Calcula E = 2A - 3B+C – 2D

5 7  1 0 

 1 3 5  1   C  0 2 4 1  6 1 0 3   

4  1 0 0 3 

F  5 4 6 1

7

 1 7 1  C    8  10 0 

  3 1 5  D    6 2 4

4.- Efectúa todos los productos posibles entre las siguientes matrices:  7 0   7 1 5  2 1 1 1       1 2 3  1 1  B   A   C  6 3 0 0 D  0 5 2     0 1   2 5 1         2  5 1 0  2 3  3  3 4   5.- Calcula x,y,z,t para que se cumpla:  2  1  x y   5 1           0 1   z t   0 2 3 0  0 6   y B    Encuentra X que cumpla: 3·X – 2·A = 5·B 6.- Sean A    5  1  1  3 7.- Averigua como ha de ser una matriz X que cumpla la siguiente condición:  1 1  1 1    ·X X ·  0 1  0 1

5  1  4   8.- Dada la matriz A    3  4 1 , calcula A2, A3,…, A128  3  4 0    9.- Una compañía de muebles fabrica butacas, mecedoras y sillas, y cada una de ellas de tres modelos: E(económico), M (medio) y L (lujo). Cada mes produce 20 modelos E, 15 M y 10 L de butacas; 12 modelos E, 8 M y 5 L de mecedoras, y 18 modelos E, 20 M y 12 L de sillas. Representa esta información en una matriz y calcula la producción de un año.

pág. 10

ISBN 84-8498-802-3DEPÓSITO LEGAL CS-4601997

http://matematicasconsole.wikispaces.com/ TEMA 1 Matrices 10.- En un edificio hay tres tipos de viviendas: L3, L4 y L5. Las viviendas L3 tienen 4 ventanas pequeñas y 3 grandes; las L4 tienen 5 ventanas pequeñas y 4 grandes, y las L5, 6 pequeñas y 5 grandes. Cada ventana pequeña tiene 2 cristales y 4 bisagras, y las grandes, 4 cristales y 6 bisagras. a) Escribe una matriz que describa el número y tamaño de ventanas de cada vivienda y otra que exprese el número de cristales y bisagras de cada tipo de ventana. b) Calcula la matriz que expresa el número de cristales y de bisagras de cada tipo de vivienda. 11.- Un industrial fabrica dos tipos de bombillas: transparentes (T) y opacas (O). de cada tipo se hacen 4 modelos: M1, M2, M3, M4. T O Esta tabla muestra la producción semanal de bombillas de cada M 1  300 200  tipo y modelo. El porcentaje de bombillas defectuosas es del   M 2  400 250  2% en el modelo M1, el 5% en el M2, el 8% en el M3 y el 10%   en el M4. M 3 250 180   Calcula la matriz que expresa el número de bombillas   M 4  500 300  transparentes y opacas, buenas y defectuosas, que se producen.  1 4  2 X  Y   2 0    12.- Calcula X eY que verifican el sistema:   X  Y  1  1 1 0     1 0 1  1 0  1     13- Calcula X tal que X – B2 = A·B siendo: A   1 1 0  B   1 1 1   0 0 2 0 0 1     

 1  1 x   1 x  3        14.- Resuelve:   3 2  y   y  1 2 

pág. 11

ISBN 84-8498-802-3DEPÓSITO LEGAL CS-4601997