TEMA 1 ´ LOS NUMEROS REALES Y SUS PROPIEDADES

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1. Conjuntos Definamos por el momento un conjunto como una colecci´on de elementos. Cuando S sea un conjunto y x sea un elemento de S, lo expresaremos x ∈ S, y por el contrario, cuando x no sea un elemento del conjunto S lo expresamos x 6∈ S. En el caso en que podamos listar los elementos que compongan un determinado conjunto lo haremos entre llaves, de la siguiente forma, por ejemplo el conjunto de las vocales S = {a, e, i, o, u}. Existen conjuntos con un u ´nico elemento, el conjunto de las letras mudas, S = {h}, pero en este caso S = {h} 6= h (h es un elemento, y {h} es el conjunto formado por el elemento h). Sin embargo, para la mayor´ıa de conjuntos con los cuales se suele trabajar en matem´aticas no ser´a posible listar todos sus elementos. La forma que tendremos de definir tales conjuntos es hacerlo en t´erminos de alguna propiedad o propiedades que verifiquen los elementos de ese conjunto. Es decir, S = {x : P (x)}. Un ejemplo concreto. Sea A = {x ∈ R : −2 ≤ x < 2}, esto es, dentro del conjunto de n´ umeros reales, P1 (x) es ser mayor o igual que −2 y P2 (x) es ser menor estricto que 2. Decimos que B es un subconjunto de A si y solamente si para todo x ∈ B entonces x ∈ A y lo denotamos B ⊆ A. Si existen elementos en A adem´as de los que pertenecen a B escribimos B ⊂ A y diremos que B es un subconjunto propio de A. Si B ⊆ A y tambi´en A ⊆ B, entonces A = B. Si B ⊆ A es falso se denota B 6⊆ A y significa que ∃x ∈ B tal que x 6∈ A. Es importante distinguir los s´ımbolos ∈ y ⊆, el primero hace referencia a elementos y el segundo a conjuntos y presenta la propiedad transitiva : B ⊆ A y C ⊆ B entonces C ⊆ A. El primero no presenta la propiedad transitiva: Sean A = α, B = {α} y c = {{α}} (nada impide que el elemento de un conjunto sea otro conjunto). Tenemos que A ∈ B y B ∈ C. Pero sin embargo A 6∈ C, porque de ser as´ı tendr´ıamos que α = {α} y esto ya dijimos que no era cierto. Consideremos el conjunto de los n´ umeros reales, R, como la recta. Posteriormente construiremos en detalle este conjunto como l´ımite de sucesiones de Cauchy de n´ umeros racionales y mediante algunos axiomas o supuestos. Los subconjuntos de n´ umeros reales se llaman intervalos. Por ejemplo el conjunto definido anteriormente, A = {x ∈ R : −2 ≤ x < 2} = [−2, 2). Los intervalos pueden ser abiertos (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}, cerrados [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} (incluyendo ambos extremos), o incluir s´olamente uno de los extremos, [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}, (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}, en cuyo caso no son ni abiertos ni cerrados. Estos ejemplos

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de intervalos eran finitos. Tambi´en existen intervalos infinitos (−∞, b) = {x ∈ R : x < b}, (−∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b}, (a, +∞) = {x ∈ R : a < x},[a, +∞) = {x ∈ R : a ≤ x}, (−∞, ∞) = R. N´otese que el ±∞ va siempre abierto, porque el infinito no es un n´ umero real y por tanto nunca est´a inclu´ıdo. Un conjunto que no tenga elementos se denomina conjunto vac´ıo y se representa S = ∅. El vac´ıo est´a incluido en cualquier conjunto, ∅ ⊆ S para todo S. Si no fuera as´ı, existir´ıa x ∈ ∅ tal que x 6∈ S, lo cual es imposible pues ∅ no tiene ning´ un elemento. 1.1. Algunas de las operaciones b´ asicas con conjuntos. Definici´ on 1.1. Definimos la uni´on de los conjuntos A y B como A ∪ B = {x : x ∈ A, ´o x ∈ B}. Ejemplo: (−∞, a] = (−∞, a) ∪ {a}. Obviamente A ⊆ A ∪ B, B ⊆ A ∪ B, A ∪ ∅ = A. Si A, B 6= ∅ tenemos que A = A ∪ B si y s´olo si B ⊆ A y an´alogamente, B = A ∪ B si y s´olo si A ⊆ B. Si A, B ⊆ S entonces A ∪ B ⊆ S. Definici´ on 1.2. Definimos la intersecci´on entre conjuntos como A ∩ B = {x : x ∈ A y x ∈ B}. Obviamente A ∩ B ⊆ A y A ∩ B ⊆ B, A ∩ ∅ = ∅. Tenemos que A ∩ B = A si y s´olo si A ⊆ B. Si S ⊆ A y tambi´en S ⊆ B entonces S ⊆ A ∩ B. Definici´ on 1.3. Definimos el complemento de un conjunto A ⊆ U como U \ A = {x : x ∈ U pero x 6∈ A}. Cuando no haya ambig¨ uedad sobre el conjunto total U tambi´en se puede denotar Ac al complementario de A. Por ejemplo, (−∞, 3)c = [3, +∞) (se supone que el total es R). Se tiene que si A ∩ B = ∅ si y s´olo si A ⊆ B c (o viceversa B ⊆ A, ya que (Ac )c = A). ´ meros reales 2. El conjunto de los nu A continuaci´on construiremos el conjunto de los n´ umeros reales. Esta cuesti´on ha sido abordada desde muy antiguo por grandes matem´aticos, como Cantor, Cauchy, Dedekind, Weierstrass, etc. Existen multitud de formas de construir este conjunto. Algunas construcciones presentan un punto de vista algebraico, como por ejemplo la construcci´on axiom´atica, que consiste en asumir una serie de supuestos o axiomas. Uno de los m´as destacados es el Axioma de Completitud, el cual s´olo se verifica si estamos en el cuerpo de los n´ umeros reales, y no en cuerpos m´as peque˜ nos como los racionales. Esta manera de construirlos

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es la que se abordar´a en Teor´ıa de N´ umeros, con lo cual en esta asignatura adoptaremos una construcci´on m´as anal´ıtica. Asumiremos la existencia de al menos dos n´ umeros reales, y estableceremos una relaci´on de orden total entre los mismos, que verifica las siguientes propiedades (que en ´algebra denominan axiomas, porque estamos suponiendo que son ciertas). A continuaci´on, dotamos al conjunto de los n´ umeros reales las operaciones suma y producto, verificando una serie de propiedades. En concreto: (A) Existen al menos dos n´ umeros reales. Relaci´on de orden: (RO.1) Si x e y son dos n´ umeros reales entonces debe suceder que x < y, x = y o´ y < x. ‘ xv + yu. Veamos algunas propiedades, elementales pero importantes, que se deducen directamente de los axiomas anteriores. Teorema 2.1. Cancelaci´on: (a) Si x + z ≤ y + z entonces x ≤ y. (b) El n´ umero real verificando el axioma (S.4) es u ´nico. Prueba. (a) Si x > y, (R0.3) implica x + z > y + z. (b) Por (a) intercambiando x por y tenemos que si x + z = y + z entonces x = y, lo que prueba la unicidad de la suma. 2 Teorema 2.2. Existe un n´ umero real z tal que x+z = x se verifica para cualquier n´ umero real x. Este n´ umero z es u ´nico. Prueba. Sea a ∈ R un real. Por el axioma (S.4), con x = y = a existe un n´ umero z tal que a + z = a. Probamos que entonces y + z = y para todo y ∈ R. Sabemos que (a + z) + y = a + y luego a + (z + y) = a + y. Cancelamos a y obtenemos que y = z + y para todo y ∈ R. Por u ´ltimo si z˜ es un n´ umero tal que y + z˜ = y para todo y ∈ R entonces y + z˜ = y = y + z, que cancelando y nos dice que z˜ = z y por lo tanto unicidad. 2 Definici´ on 2.1. Elemento cero: El elemento z ∈ R que verifica x + z = x para todo x ∈ R se le conoce como cero, y es el neutro para la suma. Definici´ on 2.2. Elemento inverso para la suma: Para cada x ∈ R el u ´nico elemento que verifica x + y = 0 se le conoce como el opuesto de x para la suma, −x. Es obvio ver que −(−x) = x. El inverso del elemento cero es ´el mismo, 0 = −0. Como el elemento cero existe, entonces el elemento opuesto −x existe por el axioma (S.4). La unicidad se obtiene de (b) del Teorema 2.1. Teorema 2.3. Si x ∈ R entonces x0 = 0. Prueba. Para cualquier y ∈ R xy + x0 = x(y + 0) = xy = xy + 0. Entonces, xy + x0 = xy + 0, y cancelando xy (o lo que es equivalente, sumando el opuesto −xy) obtenemos el resultado. 2 Definici´ on 2.3. Dados x, y ∈ R, definimos x − y como el u ´nico real c tal que x + c = y. O equivalentemente x − y = x + (−y).

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Definici´ on 2.4. Un n´ umero real p > 0 se llama positivo si p > 0 y un real n se dice negativo si n < 0. Algunas propiedades inmediatas: (a): Si x > 0 e y ≥ 0 entonces x + y > 0. N´otese que si x > 0 entonces x + y > y para todo y ∈ R por (RO.3). Como suponemos y ≥ 0, por (b) Si x > y y z > 0 entonces xz > yz (consecuencia inmediata del axioma (RO.4)). (c) Si x > y y z < 0 entonces xz < yz (consecuencia inmediata del axioma (RO.4)). (d) Cancelaci´on para el producto : Si z 6= 0 y zx = zy entonces x = y. (Si por ejemplo, x > y, si z < 0 entonces xz < yz, contradicci´on. El resto de los casos es similar.) (e) El axioma (P.4) podr´ıa enunciarse : (P.4)’ Si x, y son n´ umeros reales e y 6= 0, entonces existe un real u tal que yu = x. Teorema 2.4. Elemento neutro para el producto: Existe un n´ umero real e 6= 0 tal que ex = x para todo x ∈ R. Si x 6= 0 este n´ umero es u ´nico. Prueba. Por el axioma (1) existe un real distinto de cero, a 6= 0. Por el axioma (P.4)’ existe un real e tal que ea = a. Por el Teorema 2.3 e 6= 0. Entonces veamos que ex = x para todo x ∈ R. Tenemos que para todo x ∈ R (ae)x = ax y as´ı a(ex) = ax, que por la cancelaci´on para el producto prueba que ex = x para todo x ∈ R. Si e˜ es tal que e˜x = x para todo x ∈ R, entonces e˜x = x = ex, lo cual da que e = e˜ nuevamente por la cancelaci´on para el producto. 2 Definici´ on 2.5. El elemento neutro para el producto se le llama uno, 1. Teorema 2.5. Sean x, y ∈ R, xy = 0 si y s´olo si, x = 0 o y = 0. Prueba. Si x = 0 o y = 0 entonces xy = 0 por el Teorema 2.3. En particular, esto prueba que si xy 6= 0, entonces x 6= 0 e y 6= 0. Si xy = 0, supongamos que x, y 6= 0 ambos. Entonces por las propiedades (b) y (c) anteriores tendr´ıamos que el producto xy es estrictamente positivo o negativo, dependiendo de los signos de x e y, lo cual es una contradicci´on. 2 Definici´ on 2.6. Sean x, ∈ R, con y 6= 0. Entonces sabemos que existe q ∈ R tal que yq = x. El n´ umero q se le conoce como x sobre y. Para cualquier x ∈ R con x 6= 0 al n´ umero x−1 = 1/x se le conoce como el inverso de x. Es inmediato probar las siguientes propiedades: i) y(x/y) = x,

yy −1 = 1 = y(1/y) = y/y,

ii) xy −1 = x/y = x(1/y)

para todo y 6= 0,

(y −1 )−1 = y,

para todo y 6= 0,

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iii) x/1 = x, para todo x, 0/x = 0, para todo x 6= 0. iv) Si x, y ∈ R tales que x < y entonces x+y < y. x< 2 En particular, entre dos n´ umeros reales cualesquiera siempre existe un n´ umero real. as´ı como las conocidas reglas para la operaci´on con fracciones i) Si b, c 6= 0, entonces a ac = , bc b ii) Si b, d 6= 0, entonces

a c ac · = , b d bd

iii) Si c 6= 0, a+b a b = + , c c c iv) Si b, d 6= 0, entonces ad + bc a c + = , b d bd v) Si b, d 6= 0, entonces

c a = , b d

si y s´olo si ad = bc. vi) Si b 6= 0, entonces

−a a a =− = . b b −b

Nota 2.2. Obs´ervese que no podemos dividir por cero!!!! Hemos definido x/y con y 6= 0 como q tal que qy = x. Si y = 0 con x 6= 0 el n´ umero q no existe ya que qy = q0 = 0 6= x, luego x/0 no est´a definido, para x 6= 0. Si tuvi´eramos que x = 0 tambi´en, entonces no hay unicidad sobre el n´ umero q ya que 0q = 0 para todo q real, luego 0/0 tampoco est´ a bien definido. En cualquier caso, no se puede dividir por cero !!!!! Un conjunto K de n´ umeros, junto con las operaciones suma y producto y la relaci´on de orden total definida anteriormente, (K, +, ·, ≤), verificando los 14 axiomas anteriores se denomina cuerpo totalmente ordenado. Veremos que los n´ umeros reales son un cuerpo totalmente ordenado. Pero antes de esto, veamos que existe un cuerpo totalmente ordenado en R, el de los n´ umeros racionales.

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2.1. El conjunto de los n´ umeros naturales. El conjunto de los n´ umeros naturales, N, est´a definido como {1, 2, 3, 4, · · · } donde 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 4 = 3 + 1, etc. Escribamos este conjunto como lo hac´ıamos anteriormente, como el conjunto de n´ umeros que verifican ciertas propiedades. Esto va a dar lugar a la definici´on de conjunto inductivo. Definici´ on 2.7. Un conjunto I ⊆ R se llama un conjunto inductivo de n´ umeros reales si y s´olo si, (i) 1 ∈ I y (ii) si x ∈ I implica que x + 1 ∈ I para cada x ∈ R. Obviamente el propio conjunto R es inductivo. Algunos ejemplos de conjuntos inductivos [1, +∞), {1} ∪ [2, +∞), {1, 2, 3} ∪ [π, +∞), etc. Sea I la clase de todos los conjuntos inductivos que se pueden definir con elementos de R. Consideremos los elementos de R que pertenecen a todos los conjuntos inductivos que hay en R, esto es \ Z+ = I. I∈I

Trivialmente Z+ ⊆ I para todo I ∈ I. M´as a´ un, Z+ se trata del menor conjunto inductivo definido en R. Notar que 1 ∈ I para todo I ∈ I, luego 1 ∈ Z+ . Y si x ∈ Z+ entonces x ∈ I para todo I ∈ I, y como son conjuntos inductivos tenemos que x + 1 ∈ I para todo I ∈ I, luego x + 1 ∈ Z+ , as´ı que Z+ es inductivo y es el menor en el sentido de que est´a incluido en todo conjunto que sea inductivo, como se˜ nalamos anteriormente. De este hecho se desprende inmediatamente: Proposici´ on 2.1. Si I es un conjunto inductivo tal que I ⊂ Z+ entonces I = Z+ . (Notar que la inclusi´on que falta nos la da la observaci´on anterior). Proposici´ on 2.2. Z+ es el conjunto de n´ umeros naturales N. (Notar que como 1 ∈ I para todo I ∈ I entonces 2, 3, 4.... ∈ I para todo I ∈ I, luego N ⊆ Z+ . La igualdad nos la da la Proposici´on anterior.) Ya estamos en condiciones de establecer el Principio de Inducci´on que ser´a de una utilidad enorme en infinidad de razonamientos matem´aticos. Teorema 2.6. Si P (n) es una propiedad que se verifica para ciertos n´ umeros naturales que satisface (i) P (1) se cumple y (ii) Si P (n) es cierta entonces P (n + 1) es cierta, tendremos que P (n) se cumple para todo n ∈ N. Prueba. Sea I = {n ∈ N tales que P (n) se cumple }. Trivialmente I ⊆ N. Por hip´otesis, como P (1) es cierta 1 ∈ I. Si n ∈ I es porque P (n) es cierta, y por hip´otesis P (n + 1) tambi´en se cumple, lo que implica que n + 1 ∈ I. Esto es, I es un conjunto inductivo, incluido en los naturales, luego I = N con lo que P (n) se satisface para todo n ∈ N. 2 Algunos ejemplos de c´omo aplicar el Principio de Inducci´on. Ejercicio 2.1. Pru´ebese que para todo m natural con m > 1, m − 1 es un natural. Prueba. Por reducci´on al absurdo, supongamos que existe m ∈ N con m > 1 tal que m − 1 6∈ N. Definimos I = {n ∈ N : n 6= m} ⊆ N. Por hip´otesis, como m > 1 tenemos

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que 1 ∈ I. Supongamos ahora que n ∈ I. Por I ⊆ N n ∈ N y n 6= m. Estamos asumiendo que m − 1 6∈ N con lo que entonces n 6= m − 1, o equivalentemente, n + 1 6= m. Esto implica que n + 1 ∈ I. Por el Principio de Inducci´on, tenemos que I = N. Pero m − 1 6∈ N y sin embargo m − 1 6= m con lo que m − 1 ∈ I. Hemos llegado a una contradicci´on, que prueba el resultado. 2 Ejercicio 2.2. Pru´ebese que para todo m natural con m > n, m − n es un natural. Indicaci´on: Usar el ejercicio anterior y el Principio de Inducci´on sobre n. Ejercicio 2.3. Si n ∈ N no existe ning´ un natural m tal que n < m < n + 1. Prueba. Si existiera tal m se tendr´ıa que 0 < n − m < 1. Por el Ejercicio 2.2 n − m ∈ N, lo cual es una contradicci´on. 2 Ejercicio 2.4. Si m y n son naturales tales que m > n. Entonces m ≥ n + 1. Prueba. Si m < n + 1 tendr´ıamos por hip´otesis que n < m < n + 1, lo cual es una contradicci´on, como se prob´o en el ejercicio anterior. 2 A continuaci´on vamos a probar el Principio de Buena Ordenaci´on para los n´ umeros naturales. Teorema 2.7. Todo conjunto no vac´ıo de naturales tiene un elemento m´ınimo. Prueba. Supongamos que existe un I ⊆ N para el cual no existe un elemento m´ınimo. Definimos T = {n ∈ N : n < k se verifica para todo k ∈ I}. Si tuvi´eramos que 1 ∈ I el conjunto I tendr´ıa elemento m´ınimo. Luego 1 6∈ I. Esto implica que k > 1 para todo k ∈ I y por tanto 1 ∈ T . Supongamos que n ∈ T . Si n + 1 6∈ T entonces n + 1 ser´ıa el elemento m´ınimo para I luego n + 1 ∈ T . Esto prueba que T = N, con lo que I = ∅. Si existiera un elemento k0 ∈ I ⊆ N = T , luego k0 < k0 , absurdo. Hemos probado que si un conjunto de n´ umeros naturales no est´a minorado, es el vac´ıo. 2 2.2. El conjunto de los n´ umeros enteros. Observemos que, por ejemplo, las definiciones 2.1 y 2.2 carecen de sentido para los n´ umeros naturales. Definimos el conjunto de los n´ umeros enteros, que se denota por Z (del alem´an Zahl, n´ umero), como − Z = N ∪ {0} ∪ {−n : n ∈ N} = Z+ ∪ {0} ∪ Z− = Z+ 0 ∪Z .

Los n´ umeros naturales tambi´en se conocen como enteros positivos, de ah´ı la notaci´on anterior Z+ . Tambi´en se trata de un conjunto inductivo y tambi´en presenta un Principio de Inducci´on. 2.3. El conjunto de n´ umeros racionales. Un n´ umero racional es aquel que puede ser representado como r = pq , donde p, q ∈ Z, q 6= 0. Se denota por Q = Q− ∪ Q+ es, quotient). 0 , (del ingl´

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N´otese que n = n/1 y −n = −n/1, luego Z ⊆ Q. Pero se trata de un subconjunto propio, Z ⊂ Q, ya que por ejemplo 1/2 6∈ Z. Dado que 1/2 > 0 se tiene que 1/2 6∈ Z− ∪{0}. Pero tampoco 1/2 ∈ N ya que 1/2 < 1. h i Se denomina funci´on parte entera de un n´ umero racional, pq = max{n ∈ N : n ≤ pq } h i si pq ≥ 0. Obs´ervese que pq + 1 > pq . Cuando pq < 0 la funci´on parte entera se puede h i definir pq = − max{n ∈ N : n ≤ − pq }. Diremos que r = pq es irreducible si mcd(p, q) = 1, donde mcd(p, q) denota el m´aximo com´ un divisor entre p y q. Los denominados n´ umeros combinatorios son un ejemplo de racionales. Se definen como  n! n , = m m!(n − m)! (n > m) y se lee n sobre m. El s´ımbolo ! indica n´ umero factorial y se define como n! = 1 · 2 · 3 · · · (n − 1) · n. Puede comprobarse f´acilmente que el conjunto de 14 axiomas que dimos se verifica para los n´ umeros racionales. En particular, entre dos n´ umeros racionales existe siempre un n´ umero racional. Se puede probar que cualquier cuerpo ordenado contiene al cuerpo de n´ umeros racionales. Como ejemplo de cuerpo no ordenado tenemos el cuerpo de los n´ umeros complejos C, en 2 el cual existe un elemento i tal que i = −1. No se puede dotar de estructura de cuerpo ordenado, porque en un cuerpo ordenado el cuadrado de cualquier n´ umero es siempre positivo (demostrarlo). En particular −1 y 1 ser´ıan ambos positivos, y entonces 1 ser´ıa simult´aneamente positivo y negativo, lo cual es absurdo. Propiedad Arquimediana de los n´ umeros racionales. Para cualquier p existe un n´ umero natural n tal que n > q .

p q

∈ Q

p q

> 0 ya que si no el resultado es trivial. Supongamos que h i h i existe pq00 ≥ n para todo n ∈ N. Pero pq00 + 1 ∈ N y se tiene que pq00 + 1 > pq00 , lo cual es absurdo. 2 Prueba. Asumimos que

Nota 2.3. Como consecuencia inmediata de la propiedad Arquimediana se tiene que dados dos racionales positivos cualesquiera, r1 , r2 ∈ Q, r1 , r2 > 0, existe n ∈ N tal que nr1 > r2 .

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Nota 2.4. Como consecuencia inmediata de la propiedad Arquimediana tenemos: i) Dados dos racionales positivos cualesquiera, r1 , r2 ∈ Q, r1 , r2 > 0, existe n ∈ N tal que nr1 > r2 ii) Dado r ∈ Q, con r > 0 existe n ∈ N tal que r > n1 . En conclusi´on, (Q, +, ·) es un cuerpo totalmente ordenado que satisface la propiedad Arquimediana. 2.4. Insuficiencia de los n´ umeros racionales. Ya tenemos construido un cuerpo con una relaci´on de orden total, que adem´as verifica que entre dos racionales cualesquiera siempre existe otro racional. Sin embargo a´ un nos faltan multitud de n´ umeros para cubrir toda la recta. El siguiente ejemplo nos lo demuestra. √ Sea 2. Supongamos umero racional, sin p´erdida de generalidad irre√ que existe un n´ ducible, tal que pq = 2. Entonces p2 = 2q 2 , as´ı que p debe ser par, es decir p = 2q 0 . Este hecho se prueba demostrando que el cuadrado de n´ umeros impares es impar, ya que 2 2 (2k + 1) = 4K + 2k + 1, que es claramente impar. Pero entonces p2 = 4(q 0 )2 = 2q 2 , de donde se deduce que q 2 = 2(q 0 )2 y por lo mismo de antes, q es par. Pero pq era irreducible, contradicci´on. Este es un ejemplo de n´ umero que no pertenece a los racionales. Este conjunto de n´ umeros se llama irracionales y se denota por R \ Q. 2.5. Sucesiones de n´ umeros racionales. √ Aunque 2 ∈ R \ Q veamos que umeros racionales que se √ existe una sucesi´on de n´ umero aproxima tanto como queramos a 2, o en general a la ra´ız cuadrada de cualquier n´ racional. Se llama algoritmo babil´onico. Definici´ on 2.8. Una sucesi´on de n´ umeros racionales es una aplicaci´on f : N → Q, que a cada elemento n ∈ N le hace corresponder un elemento an ∈ Q. Se denotan {an }n∈N , y an se denomina t´ermino general de la sucesi´on. √ Queremos aproximar el valor de S. Llamemos x0 nuestro primer candidato, que tendr´a un error e de aproximaci´on, es decir S = (x0 + e)2 = x20 + 2x0 e + e2 . Entonces S−x2 S−x2 e = 2x0 +e0 ∼ 2x00 , porque al ser un error, estimamos que e  x0 . Mejoremos nuestra estimaci´on anterior   S − x20 S + x20 1 S x1 = x0 + e = x0 + = = + x0 . 2x0 2x0 2 x0 Repetimos el procedimiento hasta que alcancemos la precisi´on deseada, √ x0 ∼ S · ··  S · · · xn = 12 xn−1 + xn−1 .

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La sucesi´on {xn } es una sucesi´on dada de manera recurrente (el t´ermino n-´esimo viene en funci´on de los t´erminos anteriores...), pero depender´a del valor que tomemos como inicial. Se podr´a demostrar que, eligiendo el primer t´ermino de forma adecuada, es una √ sucesi´on cuyos t´erminos se aproximan al valor S. Limit´emonos por ahora a observar los primeros t´erminos √ de esta sucesi´on c´omo evolu6 cionan cuando tomamos x0 = 1.2 = 5 y tratamos de hallar 2. x0 = 1.2,  2 + x0 = 1.433333333333, x0   1 2 x2 = + x1 = 1.41434108527, 2 x1   1 2 x3 = + x2 = 1.41421356812, 2 x2 √ con las primeras ocho cifras decimales exactas, pues 2 ∼ 1.41421356237 · · · . Con los n´ umeros racionales no cubrimos toda la recta, pero veremos que con los racionales y el l´ımite de sucesiones de racionales s´ı la cubrimos. 1 x1 = 2



Definici´ on 2.9. Una sucesi´on de n´ umeros racionales {an }, se dice que tiene por l´ımite ` ∈ Q si para cada ε > 0 existe n0 tal que |an − `| < ε para todo n ≥ n0 . Este hecho se denota limn→∞ an = `. El ´ındice n0 depender´a del ε. Teorema 2.8. Si una sucesi´on tiene l´ımite, este es u ´nico. Prueba. Suponiendo que `1 y `2 son dos l´ımites para {an }, entonces existen n1 , n2 ∈ N tales que |an − `1 | < ε para todo n ≥ n1 y |an − `2 | < ε para todo n ≥ n2 . Sea n0 = max{n1 , n2 }. Para todo n ≥ n0 tenemos que |`1 − `2 | ≤ |an − `1 | + |an − `2 | ≤ 2ε. Como esto se verifica para todo ε > 0, llegamos a que `1 = `2 , probando as´ı la unicidad del l´ımite. 2 Teorema 2.9. Sea {an } → `, ` ∈ Q. Entonces existe K ∈ Q tal que |an | ≤ K para todo n ∈ N. Se dice que la sucesi´on est´a acotada. Prueba. Por la definici´on de l´ımite, tomando un ε concreto, por ejemplo, para ε = 1, existir´a n0 ∈ N tal que para todo n ≥ n0 se tiene que |an − `| < 1. As´ı que |an | ≤ |an − `| + |`| ≤ 1 + |`|. T´omese k = max{|a0 |, · · · |an0 −1 |, 1 + |`|}. 2 Teorema 2.10. Si {an } → a y {bn } → b, se cumple entonces que {an + bn } → a + b y {an · bn } → a · b.

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Prueba. Para ε > 0 existen n0 , n1 tales que |an − a| < ε/2 para todo n ≥ n0 ,

|bn − b| < ε/2 para todo n ≥ n1 .

Tomando n = max{n0 , n1 } tenemos |an + bn − (a + b)| ≤ |an − a| + |bn − b| < ε. Por el Teorema anterior sabemos que existe K ∈ Q tal que |an | ≤ K. Por otro lado, |an bn − ab| ≤ |an bn − an b| + |an b − ab| = |an ||bn − b| + |b||an − a|. De la definici´on de l´ımite tenemos que existir´a n0 suficientemente grande tal que para todo n ≥ n0 se verifica ε ε |bn − b| < , |an − a| < 2|b| 2K con lo que |an bn − ab| ≤ ε, como quer´ıamos demostrar.

2

Teorema 2.11. Si una sucesi´on {an } tiene l´ımite, entonces para cada ε > 0 existe un n0 tal que para todo n, m ≥ n0 se verifica que |an − am | < ε. Prueba. Si n, m ≥ n0 , por la definici´on de l´ımite |an − am | = |an − ` + ` − am | ≤ |an − `| + |am − `| < ε/2 + ε/2. 2  n+2 La sucesi´on (−1)n n+1 no tiene l´ımite, ya que la diferencia entre un t´ermino par y un impar siempre es mayor que uno. Definici´ on 2.10. Diremos que una sucesi´on {an } es de Cauchy si para cada ε > 0 existe un n0 tal que para todo n, m ≥ n0 se verifica que |an − am | < ε. El Teorema anterior dice pues que toda sucesi´on convergente es una sucesi´on de Cauchy. Adem´as es bastante m´as sencillo probar que una sucesi´on es de Cauchy, ya que no es necesario conocer su l´ımite. Por esta raz´on ser´ıa deseable que ser sucesi´on de Cauchy implicara ser convergente. Sin embargo este hecho no es verdad en los racionales: vamos a ver un ejemplo de sucesi´on de Cauchy de n´ umeros racionales, cuyo l´ımite no puede ser un n´ umero racional. Sea la sucesi´on cuyo t´ermino general viene dado por an = 1 + 1!1 + 2!1 + · · · + m > n tenemos 1 1 1 |an − am | = + + ··· + (n + 1)! (n + 2)! m!   1 1 1 = 1+ + ··· + (n + 1)! (n + 2) m(m − 1) · · · (n + 2)   1 2 1 1 1 ≤ 1 + + 2 · · · + m−n−1 < . (n + 1)! 2 2 2 (n + 1)!

1 . n!

Para

Esto prueba que |an − am | se hace peque˜ no cuando m, n grandes. Es una sucesi´on de Cauchy y sin embargo vamos a ver que el l´ımite no puede ser racional. Para ello demostramos el siguiente lema.

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Lema 2.1. Sea {an } → a. Si c ≤ an ≤ d para todo n ≥ n0 entonces c ≤ a ≤ d. Prueba. Si fuese a > d elegimos ε = a − d para el cual debe existir un ´ındice n1 tal |an − a| < a − d para todo n ≥ n1 . Tomado n ≥ max{n0 , n1 } se tiene que an = a − (a − an ) ≥ a − |a − an | > a − (a − d) = d, absurdo. La demostraci´on de c ≤ a se concluye de forma an´aloga. 2 1 1 1 Regresando al ejemplo de la sucesi´on an = 1 + 1! + 2! + · · · + n! , suponiendo que tuviera por l´ımite cierto pq ∈ Q obtendr´ıamos 0<

p 2 − an ≤ . q (n + 1)!

Elegimos n > q y multiplicamos la desigualdad anterior por n! obtenemos p 2 0 < n! − n!an ≤ . q n+1 Pero al haber tomado n > q ambos n! pq , n!an son naturales, lo que es una contradicci´on 2 porque n+1 < 1. 2.6. Axioma de Completitud de los n´ umeros reales. Definici´ on 2.11. Definimos el conjunto de los n´ umeros reales como un conjunto que respecto de las operaciones suma y producto es un cuerpo ordenado (mediante la relaci´ on ≤), que verifica la Propiedad Arquimediana y en el que toda sucesi´on de Cauchy es convergente. Esto es, un cuerpo completo por sucesiones. Nota 2.5. El supuesto por el que toda sucesi´on de Cauchy es convergente en los reales se denomina Axioma de Completitud. Veamos algunas consecuencias importantes de esta definici´on y en particular del Axioma de Completitud. Para ello debemos de introducir las siguientes nociones de acotaci´on de conjuntos. Definici´ on 2.12. Un conjunto S ⊆ R se dice acotado inferiormente si existe un n´ umero real ` tal que si x ∈ S se tiene que x ≥ `. A ` se le conoce como cota inferior de S. Definici´ on 2.13. Un conjunto S ⊆ R se dice acotado superiormente si existe un n´ umero real u tal que si x ∈ S se tiene que x ≤ u. A u se le conoce como cota superior de S. Definici´ on 2.14. Un conjunto S ⊆ R se dice acotado si existen n´ umeros reales `, u tales que si x ∈ S se tiene que ` ≤ x ≤ u. Por ejemplo, el intervalo (−∞, 3) es un intervalo acotado superiormente y no es acotado inferiormente. El intervalo [−2, 1) est´a acotado superior e inferiormente. −4 es una cota inferior de [−2, 1) porque para todo x ∈ [−2, 1) tenemos que x ≥ −4. Aunque tambi´en −π, −3, −2 etc son cotas inferiores para dicho intervalo. El n´ umero de cotas inferiores o superiores de un conjunto de n´ umeros reales puede ser infinito. Sin embargo, de todas las cotas inferiores para [−2, 1) −2 es la mayor de ellas, y adem´as pertenece al conjunto. Se

CAP´ITULO I

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denominar´a m´ınimo. Sin embargo, la menor de las cotas superiores para [−2, 1) es 1 (ya que para cualquier otro u < 1 existir´ıan reales entre u y 1 pertenecientes a [−2, 1) por encima de u, absurdo), que no pertenece al conjunto. Definici´ on 2.15. Denominamos ´ınfimo de un conjunto acotado inferiormente a la mayor de las cotas superiores del conjunto. Cuando adem´as el ´ınfimo pertenece al conjunto, lo denominamos m´ınimo. Definici´ on 2.16. Denominamos supremo de un conjunto acotado superiormente a la menor de las cotas inferiores del conjunto. Cuando adem´as el supremo pertenece al conjunto, lo denominamos m´aximo. Nota 2.6. Como consecuencia inmediata, de existir, el supremo/m´aximo y el ´ınfimo/m´ınimo de un conjunto de n´ umeros reales, es u ´nico. Nota 2.7. Si existe M =m´aximo de cierto conjunto S, entonces M = sup S. El rec´ıproco no es cierto. An´alogamente, si existe m=m´ınimo de cierto conjunto S, entonces m = inf S. El rec´ıproco no es cierto. Teorema 2.12. Sea λ = inf S, entonces para todo ε > 0 existe un elemento x ∈ S tal que x ≤ λ + ε. Prueba. Supongamos que existe un ε0 > 0, tal que para todo x ∈ S tenemos que x > λ + ε0 . Entonces λ + ε0 se trata de una cota inferior para S. Pero λ + ε0 > λ = inf S, que es la mayor de las cotas inferiores, absurdo. 2 Teorema 2.13. Todo conjunto no vac´ıo de n´ umeros reales que est´a acotado superiormente (resp. inferiormente) tiene supremo (resp. m´ınimo). Lo demostramos en dos pasos: Teorema 2.14. Todo conjunto no vac´ıo de n´ umeros reales que est´a acotado superiormente tiene supremo. Prueba. Sea S ∈ R un conjunto acotado superiormente, con k0 una cota superior de S y s0 ∈ S. Consideremos el intervalo [s0 , k0 ] = {x ∈ R : s0 ≤ x ≤ k0 } := I0 . Lo dividimos en dos subintervalos de igual longitud:     s0 + k0 s0 + k0 y , k0 . s0 , 2 2  s +k  0 0 Designamos por I , k este contiene elementos de S. Caso contrario, I1 = 1 = 0 si ´ 2  s +k  0 0 s0 , 2 . Repetimos este proceso de dividir los intervalos en el punto medio, siempre qued´andonos con el m´as hacia la derecha posible, siempre que tenga elementos de S. Conseguimos as´ı una sucesi´on de intervalos encajados [s0 , k0 ] ⊃ [c1 , k1 ] ⊃ [c2 , k2 ] ⊃ · · · ⊃ [cn , kn ] · · ·

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donde i) para todo kn es una cota superior de S; ii) en todo intervalo In hay elementos de S; 0 iii) kn − cn = k02−s n . Tomando sn ∈ In ∩ S, la sucesi´on {sn } es de Cauchy: Si m < n, ambos suficientemente 0 grandes, tenemos |sm − sn | ≤ km − cm = k02−s < ε, esta u ´ltima desigualdad por la m Propiedad Arquimediana, v´ease (ii) de la Nota 2.4. Por el Axioma de Completitud, {sn } tiene l´ımite ` ∈ R. Adem´as como In ⊃ In+1 ⊃ · · · ⊃ In+m tendremos que cn ≤ sn+m ≤ kn . Tomando m → ∞ por el Lema 2.1 sabemos que cn ≤ ` ≤ kn . Veamos primero que ` es una cota superior de S. Supongamos que existe s ∈ S tal que 0 para n suficientemente grande encontramos un kn s > `. Como kn − ` ≤ kn − cn ≤ k02−s n tal que ` ≤ kn < s. Pero kn son cotas superiores para S, lo cual es absurdo. Terminamos la prueba demostrando que ` se trata del supremo para S, viendo que es la menor de las cotas superiores. Supongamos que existe `˜ < ` que es cota superior. Por el razonamiento anterior, existir´a n suficientemente grande tal que `˜ < cn ≤ `. Pero como por costrucci´on cada intervalo [cn , kn ] contiene elementos de S tenemos elementos de S ˜ con lo que no puede haber una cota superior menor que `. mayores que `, 2 Teorema 2.15. Todo conjunto no vac´ıo de n´ umeros reales que est´a acotado inferiormente tiene ´ınfimo. Prueba. Sea S tal conjunto y sea B el conjunto de cotas inferiores. Por hip´otesis S 6= ∅ y B 6= ∅. En particular existe x0 ∈ S y ser´a tal que x0 ≥ b para todo b ∈ B. Es decir, x0 es una cota superior para B, luego B es un conjunto de n´ umeros reales acotado superiormente. Por el teorema anterior existe un n´ umero real λ = sup B. Vamos a comprobar que este supremo ser´a el ´ınfimo para el conjunto S que estamos buscando. Supongamos que existe un x˜ ∈ S tal que x˜ < λ. Esto implica que x no es una cota superior para B, luego existir´a un ˜b ∈ B tal que ˜b > x˜. Esto es imposible pues ˜b ∈ B y x˜ ∈ S, luego x˜ ≥ ˜b. Hemos probado que x ≥ λ para todo x ∈ S, con lo que λ es una cota inferior de S. Para ver que de hecho es el ´ınfimo para S, debemos probar que se trata de la mayor de las cotas inferiores. Sea ` otra cota inferior para S. Entonces ` ∈ B. Pero entonces ` ≤ λ = sup B. Esto prueba que λ = inf S. 2 Nota 2.8. Dar una demostraci´on alternativa usando el ejercicio 9 de la hoja 1 de problemas y el Teorema 2.14. Proposici´ on 2.3. Sea {an } una sucesi´on mon´otona creciente (resp. decreciente) acotada superiormente (resp. inferiormente). Entonces lim an = ` ∈ R.

n→∞

Prueba.Realizamos la prueba en el caso creciente, ya que el caso decreciente se puede argumentar de manera an´aloga. Por un lado tenemos que an+1 ≥ an para todo n. Como

CAP´ITULO I

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est´a acotada superiormente, por el resultado anterior sabemos que existe S = sup({an }). Por ser supremo verifica que S ≥ an para todo n y adem´as ∀ε > 0 existe un an0 ∈ {an } tal que S − ε ≤ an0 ≤ an ≤ S, para n ≥ n0 usando el crecimiento de la sucesi´on. Hemos demostrado que lim an = S = sup({an }).

n→∞

2 Proposici´ on 2.4. Toda sucesi´on de Cauchy est´a acotada. Prueba. Si {an } es de Cauchy, para ε = 1 existe n0 ∈ N tal que para todo n ≥ n0 tenemos |an | ≤ |an − an0 +1 | + |an0 +1 | ≤ 1 + |an0 +1 |. 2 2.7. Tres definiciones de R. La recta real se puede definir como el conjunto de n´ umeros que es un cuerpo totalmente ordenado para las operaciones +, · y la relaci´on de orden ≤ que adem´as: (1) Que es completo para sucesiones de Cauchy. O bien, (2) en el que todo conjunto acotado superiormente (resp. inferiormente) tiene supremo (resp. ´ınfimo). O bien, (3) en el que toda sucesi´on mon´otona creciente (resp. decreciente) acotada superiormente (resp. inferiormente) tiene l´ımite en R. Estas tres definiciones ser´ıan equivalentes. 2.8. Densidad de Q y de R \ Q en R. Teorema 2.16. Entre dos n´ umeros reales existe siempre un n´ umero racional y uno irracional. Prueba. Sin p´erdida de generalidad, nos limitamos al caso de reales x, y > 0, ya que los otros casos se podr´ıan reducir f´acilmente a este. Si 0 < x < y por la propiedad arquimediana de los naturales existe n ∈ N tal que n1 < y − x. Tomamos ahora m ∈ N tal que m − 1 ≤ nx < m, (nx ∈ R y dado cualquier real se encuentra siempre entre dos naturales, por la propiedad arquimediana y la relaci´on de orden). Entonces, m 1 m − ≤x< , n n n

luego x <

m 1 ≤ x + < y. n n

Falta demostrar la existencia de un n´ umero irracional entre x e y. Para ello tomamos un irracional positivo s ∈ R \ Q y consideramos el siguiente par de n´ umeros reales xs y ys . Por el caso anterior sabemos que existe un racional r ∈ Q tal que xs < r < ys . Esto implica que x < rs < y luego rs es el n´ umero irracional entre x e y que est´abamos buscando. 2

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2.9. El n´ umero de Euler. Se conoce por n´ umero de Euler, e al l´ımite de la sucesi´on que estudiemos anteriormente an = 1 +

1 1 1 + + ··· + . 1! 2! n!

(2.1)

Ya vimos que era una sucesi´on de Cauchy, luego es convergente en los reales. Ya demostramos tambi´en que su l´ımite no pod´ıa ser racional, e 6∈ Q. En realidad, hemos aproximado el n´ umero e por una serie, esto es, una sucesi´on cuyo t´ermino general es una sumatoria, para la cual el n´ umero de sumandos crece con n. Estudiaremos este tipo especial de sucesiones m´as adelante. Veamos que la siguiente sucesi´on tambi´en aproxima al n´ umero e:  n  1 {bn } = 1+ . (2.2) n Para ello necesitaremos los siguientes resultados, que van a ser de utilidad en adelante para calcular otros l´ımites. Lema 2.2. Sean las sucesiones {an } → a y {bn } → b. Si an ≤ bn para todo n ≥ n0 entonces a ≤ b. Prueba.Supongamos que a > b, y denotemos 2δ = a − b. Como {an } → a para todo n ≥ n1 an − b > δ. Por otro lado, observamos que entonces bn ≥ b para n ≥ n1 , ya que de otro modo tendr´amos que bn < an , lo cual no es posible. Como tambi´en {bn } → b existir´a n2 ∈ N tal que bn − b < 2δ , para n ≥ n2 . Tomemos n3 = max{n0 , n1 , n2 }, para n ≥ n3 se verifica b n − an = b n − b + b − an < lo cual es una contradicci´on.

δ − δ < 0, 2 2

Nota 2.9. Aunque tuvi´eramos an < bn para todo n ≥ n0 s´olo podemos afirmar a ≤ b. Es decir, tomando l´ımites perdemos las desigualdades estrictas. Contraejemplo an = 0 y bn = n1 , o bien an = − n1 y bn = n1 . Lema 2.3. Sandwich: Sean {an }, {bn }, {cn } tres sucesiones verificando que an ≤ bn ≤ cn para n ≥ n0 . Entonces, si {an } → ` y {cn } → ` la sucesi´on {bn } tambi´en es convergente y tiene por l´ımite `. Prueba. Por la convergencia, tenemos que para todo ε > 0 existe n0 tal que an , cn ∈ (` − ε, ` + ε) para todo n ≥ n0 . Pero entonces tambi´en, para todo ε > 0 existe n0 tal que bn ∈ (` − ε, ` + ε) para todo n ≥ n0 , lo que prueba la convergencia. 2 Ya estamos en condiciones de probar que las sucesiones (2.1) y (2.2) tienen el mismo l´ımite.

CAP´ITULO I

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    n  X n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 + bn = =1+ + + ··· + k 2 3 2 n k n 1 n 3 n n nn k=0 =1+n

1 n! 1 1 n! n! 1 + + + · · · + n 2!(n − 2)! n2 3!(n − 3)! n3 n! nn

1 n(n − 1)(n − 2) 1 n(n − 1) · · · 1 1 n(n − 1) + + ··· + 2 3 2! n 3! n n! nn




= 1 + 1 + 2!1 1 1 − n1 + 3!1 1 1 − n1 1 − n2 + · · · + n!1 1 1 − n1 1 − n2 · · · 1 − =1+1+

n−1 n

n−1  k X 1 1 1 1 ≤ 1 + + + ··· + = an ≤ 1 + ≤ 3. 1! 2! n! 2 k=0

En particular tenemos que la sucesi´on {bn } est´a acotada superiormente. Demostremos que la sucesi´on {bn } es creciente. Para ello veamos que bn+1 > 1. En efecto, bn n  n+1  n n 1 1 = 1+ 1− . n+1 n+1 n+1
1 Multiplicando y dividiendo por 1 − n+1 y utilizando (a + b)(a − b) = a2 − b2 deducimos que  n+1 1 n+1 1 − 1 − (n+1) 2 (n+1)2 bn+1 > = 1. = 1 1 bn 1 − n+1 1 − n+1 bn+1 = bn

 1+

1 n+1

n+1 

En el pen´ ultimo paso hemos usado la desigualdad de Bernouilli (Ejercicio 6, Hoja 1 para 1 x = − (n+1)2 > −1 y en el caso n + 1 en vez de en el caso n). Creciente y acotada superiormente, tenemos que {bn } → `. Adem´as como bn ≤ an sabemos que ` ≤ e. Nos falta probar la desigualdad opuesta. Para ello u ´nicamente observamos que si n > m se tiene





1 bn ≥ 1 + 1 + 2!1 1 1 − n1 + 3!1 1 1 − n1 1 − n2 + · · · + m! 1 1 − n1 1 − n2 · · · 1 − m−1 . n Dejando m fijo y tomando n → ∞ en la expresi´on anterior, `≥1+

1 1 1 + + ··· + = am . 1! 2! m!

Si a continuac´on tomamos l´ımite cuando m → ∞ se obtiene ` ≥ e quedando probado que  n  1 = e. lim {bn } = lim 1+ n→∞ n→∞ n




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2.10. La funci´ on exponencial. Recapitulando, ya vimos que era posible aproximar la √ ra´ız cuadrada de un n´ umero a > 0, a, por sucesiones de racionales mediante el algoritmo babil´onico. En general, existen algoritmos con los que se puede construir sucesiones de n´ umeros 1 k racionales aproximando la ra´ız k-´esima de un n´ umero, a . Mediante la operaci´on producto (v´ease que el producto de sucesiones de Cauchy es una p sucesi´on de Cauchy, Teorema 3.1 m´as adelante), podemos aproximar a q , para cualquier p ∈ Q (si es negativo es mediante el inverso para el producto). q Definici´ on 2.17. Sea a > 0. Para x ∈ R definimos la funci´on   pn pn x q donde → x. a = lim a n , n→∞ qn Para ver que esta definici´on es correcta, necesitamos los siguientes resultados. Lema 2.4. Sea a > 0, 1

{a n } → 1, cuando n → ∞ Prueba. Consideramos primero el caso a > 1. Queremos ver si ∀ε > 0 existe n0 ∈ N 1 1 tal que |a n − 1| = (a n − 1) < ε para n ≥ n0 . Eso sucede si y s´olo si, a < (ε + 1)n para n ≥ n0 . Pero observemos que n  n  X X n k n k n (ε + 1) = ε = 1 + nε + ε > 1 + nε. k k k=0

k=2

Luego,  dado  ε > 0 es suficiente encontrar un natural tal que a < (1 + nε). Podemos tomar n0 = a−1 + 1 y esto completa la prueba en el caso a > 1. ve Para el caso 0 < a < 1, observamos que 1 1 1 1 1 an = a n = 1 =
1 = 1 → = 1, 1 n 1 1 bn an

donde se ha usado que b =

1 a

a

> 1 y el caso anterior.

2

Lema 2.5. Sea {rn } una sucesi´on convergente de n´ umeros racionales. Entonces, para rn a > 0 la sucesi´on {a } tambi´en es convergente. Prueba. Sin p´erdida de generalidad podemos suponer que a  > 1, yaque de otro modo 1 podemos reducirlo como anteriormente tomando la sucesi´on . Veo que es una r ( a1 ) n sucesi´on de Cauchy: Sea rn > rm , entonces |arn − arm | = arm |arn −rm − 1|. Como {rn } es convergente est´a acotada |rn | ≤ C luego |arn | ≤ aC = C˜ tambi´en est´a acotada. Adem´as {rn } es de Cauchy, luego para todo k ∈ N existe n0 ∈ N tal que |rn − rm | 1 (resp. si a < 1) y tenemos que x < y entonces ax < ay (resp. ax > ay ). La exponencial de base mayor que uno es creciente y con base menos que uno decreciente. (5) Si a < b y x > 0 (resp. x < 0) entonces ax < bx (resp. ax > bx ). (6) Si a > 1 para cada positivo K ∈ R existe x ∈ R suficientemente grande tal que ax > K. Si a < 1 para cada ε > 0 existe x ∈ R suficientemente grande tal que ax < ε. ´ndice al cap´ıtulo primero 3. Ape A partir de aqu´ı no es necesario para este curso. En realidad definir los n´ umeros reales como l´ımites de sucesiones de n´ umeros racionales no es una definici´on correcta del todo. Tengamos en cuenta que pueden existir muchas sucesiones de Cauchy distintas de n´ umero racionales que convergen al mismo n´ umero real, con lo que se trabajar´a con clases de equivalencia y la recta real ser´a un conjunto cociente. Teorema 3.1. La suma y el producto de dos sucesiones de Cauchy es tambi´en una sucesi´on de Cauchy. Prueba. Para ε > 0 existen n0 , n1 tales que |an − am | < ε/2 para todo n, m ≥ n0 ,

|bn − bm | < ε/2 para todo n, m ≥ n1 .

Tomando n2 = max{n0 , n1 } tenemos |an + bn − (am + bm )| ≤ |an − am | + |bn − bm | < ε. Para el producto razonamos as´ı: |an bn − am bm | = |an bn − an bm + an bm − am bm | ≤ |an ||bn − bm | + |an − am ||bm | ≤ |k|ε/2 + |k|ε/2 ≤ ε˜.

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Hemos utilizado la Proposici´on 2.4, por la cual sabemos que |an |, |bm | est´an acotados. 2 Las propiedades de las operaciones suma y producto como la conmutativa, asociativa, distributiva se verifican como consecuencia de que las mismas propiedades son ciertas en Q. El elemento neutro para la suma es la sucesi´on constantemente cero y para el producto la sucesi´on constantemente igual a uno. Y el elemento opuesto para la suma de {an } ser´a {−an}. De esta forma el conjunto de sucesiones de Cauchy, A, tiene estructura de anillo con elemento unidad. Sin embargo, el conjunto de sucesiones de Cauchy no es un cuerpo. La sucesi´on { n1 } es de Cauchy y no tiene inverso para el producto, pues {n} no es una sucesi´on de Cauchy. En este punto surge la necesidad de considerar la siguiente partici´on de A. Definici´ on 3.1. Decimos que una sucesi´on de Cauchy es positiva si a partir de cierto n en adelante an > δ > 0, para cierto δ > 0 fijo. Decimos que una sucesi´on de Cauchy es nula si {an } → 0. Decimos que una sucesi´on de Cauchy es negativa si a partir de cierto n en adelante an < −δ < 0, para cierto δ > 0 fijo. Se puede demostrar que A = N ∪ P ∪ Y, donde N , P, Y son el conjunto de sucesiones negativas, positivas y nulas respectivamente, se trata de una partici´on del anillo A (los conjuntos anteriores tienen intersecci´on nula, dicho de otro modo). Proposici´ on 3.1. El conjunto Y de sucesiones de Cauchy nulas es un ideal del anillo A. Prueba. El producto de un elemento de A por uno de Y queda en Y. En efecto, si {an } ∈ Y y {bn } ∈ A, por ser de Cauchy |bn | < K, para todo n. Entonces, |an bn | ≤ K|an | ≤ Kε, que tiende a cero. La suma de dos sucesiones nulas, {an }, {bn } ∈ Y es trivialmente otra sucesi´on nula. 2 Observemos que para identificar un elemento α ∈ R con un l´ımite de sucesiones de Cauchy, necesitamos identificar α con el conjunto de sucesiones de Cauchy que tengan por l´ımite α. Este conjunto se llamar´a clase de equivalencia y la relaci´on de equivalencia ser´a la que definimos a continuaci´on. Definici´ on 3.2. Definimos la siguiente relaci´on de equivalencia en A: {an } ∼ {bn }

si y s´olo si

{an − bn } ∈ Y.

Las propiedades reflexiva, transitiva y sim´etrica se demuestran f´acilmente. Designamos por {˜ an } al elemento del conjunto cociente formado por todas las sucesiones equivalentes a {an }.

CAP´ITULO I

Definici´ on 3.3. La relaci´on de orden ser´a: {˜ an } ≥ {˜bn } si y s´olo si la sucesi´on

23

{an − bn } es positiva o nula .

Para admitir la definici´on anterior como v´alida debemos demostrar que no depende del representante de la clase de equivalencia. Est es que {an − bn } es nula si y s´olo si {a0n − b0n } es positiva para {an } ∼ {a0n } y {bn } ∼ {b0n }. Como {an − a0n } y {bn − b0n } son nulas por definici´on de pertenecer a la misma clase de equivalencia, es suficiente probar que si {αn } es positiva y {βn } es nula, la sucesi´on {αn + βn } es positiva. (porque {an − bn } = {(an − a0n ) + (a0n − b0n ) + (b0n − bn )}). Pero este echo es obvio, pues para n0 grande αn > δ para n ≥ n0 (por ser positiva) y |βn | < δ/2 (por tender a cero). Entonces αn − βn >≥ δ/2. El conjunto de n´ umeros reales ser´a el conjunto cociente, R = A/Y con las operaciones de suma y producto inducidas de A, que le dan estructura de anillo conmutativo con elemento unidad, con la relaci´on de orden anterior. Veamos que es un cuerpo. Teorema 3.2. El anillo R = A/Y tiene estructura de cuerpo ordenado, completo por sucesiones de Cauchy y verifica la Propiedad Arquimediana. ˜ tiene un inverso para el Prueba. Probemos que una clase de equivalencia {˜ an } 6= {0}, ˜ producto. ({0} representa la clase de equivalencia de sucesiones de Cauchy que tienden a cero). Como {an } es positiva o negativa, existe un n0 tal que an 6= 0 para todo n ≥ n0 . Definimos la sucesi´on {bn } como bn = 1 para todo n ≤ n0 − 1, y bn = an para n ≥ n0 . La sucesi´on {b−1 n } es de Cauchy ya que 1 − 1 = |bm − bn | ≤ |bm − bn | . bn b m b n bm δ2 La clase {˜ cn } con cn = b1n es el inverso para el producto de {˜ an }. Trivialmente se verifica la propiedad Arquimediana, pues toda sucesi´on de Cauchy es acotada, luego |an | ≤ K para todo n. 2 ´ ticas, Universidad Autonoma de Madrid, Campus de CantoDepartamento de Matema blanco, 28049, Madrid, Spain. E-mail address: [email protected]