TEMA 10. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS 1. LOS NÚMEROS ENTEROS Hasta ahora sólo has conocido el conjunto de los números naturales (ℕ), que está formado por todos los números positivos desde el cero hasta el infinito. ℕ = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ... ∞ } En el conjunto ℕ hay en realidad dos conjuntos que están unidos: el cero y el conjunto de los enteros positivos. ℕ = { 0 } ⋃ { ℤ+ } ⋃ = Signo de la unión

ℤ = Conjunto de los números enteros

Hay cantidades que sólo tienen sentido cuando son positivas. Ej.: Las distancias entre ciudades: Lucena está a 8 km de Cabra. Hay situaciones que no quedan claras con un sólo número: − Tener ↔ deber. − Tiempo antes y después de Cristo. − Temperaturas bajo y sobre cero. − Altitud bajo y sobre el nivel del mar. Los números ℕ sirven para expresar algunas situaciones reales como por ejemplo: − 6 grados bajo cero → 6°C − Debo 1.000 € → 1.000 € − A 4 m bajo el nivel del mar →4m Para buscar una solución a esto se formó el conjunto de los número enteros negativos. { ℤ- } ℤ- = { -1, -2, -3, -4, -5, ... ∞ } Uniendo el conjunto ℤ+, el cero y ℤ- obtenemos el conjunto ℤ o el conjunto de los números enteros. ℤ = { ∞, ... -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5 ... ∞ }

ℤ = { ℤ- } ⋃ { 0 } ⋃ { ℤ+ }

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UN NÚMERO ENTERO es un número natural precedido del signo + o el signo -. − Los números ℤ con el signo + se llaman números enteros positivos. − Los números ℤ con el signo – se llaman números enteros negativos. Se leen: a) Positivos, anteponiendo la palabra “más”. Ej.: +3, más tres. * En la práctica no se suele decir más y se sobreentiende. b) Negativos, anteponiendo al número la palabra “menos”. Ej.: -2 ; menos dos. El cero es la situación origen. 2. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS ENTEROS El conjunto de los números enteros se representa en una recta numérica que no tiene principio ni final. En el centro se coloca el cero y por convenio los positivos se representan a la derecha y los negativos a la izquierda. La recta horizontal se llama eje de abcisas o eje X X'. ℤ = Conjunto de los números enteros = { ℤ- } ⋃ { 0 } ⋃ { ℤ+ } X'

X

∞ ... -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 ... ∞ ℤ-

ℤ+ Orden para leer los números ℤ

Los números ℤ+ comienzan en el 1 y terminan en el infinito ∞. Los números ℤ- comienzan en el ∞ y terminan en el -1. El número ℤ cero también se puede escribir con signo, pero se suele escribir sin él. Por eso +0, -0 y 0 son tres símbolos que representan al número 0. * ADVERTENCIAS: - Los números ℤ+ se pueden expresar con el signo + delante: +1, +2, … o sin él: 1, 2, 3, … - Los números ℤ- se pueden expresar con paréntesis: (-1), (-2), (-3), … y sin paréntesis: -1, -2, -3, … 2

3. VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO Se llama valor absoluto de un número entero al número natural que resulta si no tenemos en cuenta su signo. El valor absoluto de un número entero “a” se expresa colocando el número entre dos barras ∣ a ∣, y se lee valor absoluto de a. Ej.: ∣ -9 ∣ = 9 Se lee: “Valor absoluto de menos nueve es nueve”. ∣ +4 ∣ = 4 ∣ 0 ∣=0

Valor absoluto de más cuatro es cuatro. Valor absoluto de cero es cero.

Nº ENTERO = SIGNO ( + o - ) y UN NÚMERO NATURAL Valor absoluto de un número ℤ es el número natural que sigue al signo. * Los signos más y menos que llevan los números ℤ no son signos de operaciones (sumas, restas), sino que indican simplemente la calidad de ser positivos o negativos. 4. ORDENACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS Ya sabes que los números ℤ están representados y ordenados en una recta numérica de manera que cuanto más a la derecha están mayores son. Hay tres normas prácticas para ordenar números ℤ: a) Todos los números ℤ+ son mayores que todos los números ℤ-, sea cual sea su valor absoluto. Ej.: +3 > -8.569 b) De dos números ℤ+ es mayor el que tiene mayor valor absoluto. Ej.: +56 > +17 c) De dos números ℤ- es mayor el que tiene menor valor absoluto. Ej.: -7 > -235 Explicación: Ricardo debe 5 €. (-5) y Rosa debe 20 € (-20). ¿Cuál está en mejor situación? Tiene más dinero Ricardo que debe menos.

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En Moscú hace una temperatura de 15° bajo cero y en Madrid es de 1° bajo cero. Es más alta la temperatura de Madrid que la de Moscú. MOSCÚ

MADRID

-15°C

1

2 3

-1 0°C

El número negativo que está más cerca de cero es el mayor. d) Cualquier número ℤ+ es mayor que cero. 1 > 0 Ej.: 1 > 0 Tiene más dinero el que tiene 1 € que el que tiene 0 € (no tiene nada). e) Todo número ℤ- es menor que cero. Ej.: -2 < 0 Es preferible no tener nada (0 €) que deber 100 € (-100 €). Sugerencia: Cuando tengas que ordenar números enteros y no recuerdes las reglas anteriores dibuja una recta horizontal o eje de abcisas y sitúa en el lugar correspondiente los números, es mayor el que más a la derecha se encuentre. Ej.: Ordena de menor a mayor los números 5, -2, -7. X'

X -7

-2

0

5

-7 < -2 < 5 SIGNOS: ⋃

Unión

>

Mayor que

<

Menor que

∞

Infinito

{}

Llaves

()

Paréntesis

4

5. SUMA DE NÚMEROS ENTEROS Al sumar números ℤ nos podemos encontrar los siguientes casos: a) Suma de dos números ℤ del mismo signo. Para sumar dos números ℤ del mismo signo se pone el mismo signo de los sumandos y se suman los valores absolutos. Ej.: (+3) + (+5) = +8 Elena tiene 3 € en un bolsillo y 5 € en el monedero. En total Elena tiene 8 €. Representación gráfica: +5 0

1

2 3

+3 4

5

6 7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

+8 Ej.: (-4) + (-2) = -6 Enrique debe 4 € a un compañero y 2 € a su hermana. En total Enrique debe 6 €. Representación gráfica: -2

-4

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -6 b) Suma de números ℤ de distinto signo. Para sumar dos números ℤ de distinto signo se pone el signo del sumando de mayor valor absoluto y se restan sus valores absolutos. Ej.: (+17) + (-5) = +12 Laura tiene 17 € y debe a una amiga 5 €. Laura tiene 12 €. (-7) + (+3) = -4 Juan debe 7 € y tiene 3 €. Juan debe 4 €.

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* Si vamos a sumar varios números ℤ+ mezclados con varios números ℤ- se hace de la siguiente manera: 1º. Se suman todos los sumandos positivos y se pone el resultado. 2º. Se suman todos los sumandos negativos y se pone el resultado. 3º. Se coloca en el resultado el signo del número de mayor valor absoluto y se restan los valores absolutos. Ej.: (+4) + (-5) + (-3) + (+6) + (+2) = (+12) + (-8) = +1 6. PROPIEDADES DE LA SUMA DE NÚMEROS ENTEROS La suma de dos números ℤ cumple las siguientes propiedades: a) CONMUTATIVA: El orden en que efectuemos la suma de números ℤ no altera el resultado de ésta. Si a y b son dos números ℤ cualesquiera, se cumple que... a+b=b+a Ej.: (+3) + (-5) = (-5) + (+3) -2 -2 b) ASOCIATIVA: En la suma de números ℤ la forma de asociar (agrupar) los sumandos no cambia el resultado. Si a, b y c son números ℤ se cumple: (a+b)+c=a+(b+c) Ej.: [ (+7) + (-5) ] + (-4) = (+7) + [ (-5) + (-4) ] (+2)

+ (-4) = (+7) + -2

=

(-9) -2

c) ELEMENTO OPUESTO: El elemento opuesto de un número ℤ es otro número ℤ que tiene el mismo valor absoluto pero distinto signo (o signo contrario). Dos números ℤ se llaman números opuestos cuando su suma es cero (tienen el mismo valor absoluto). Ej.:

Op. de +7 es el -7 → (+7) + (-7) = 0 Op. de -15 es el +15 → (-15) + (+15) = 0

- Los opuestos de los números ℤ+ son los números ℤ- y a la inversa. - El opuesto de cero es cero, por eso al cero no se le pone signo. - Todos los números ℤ tienen un opuesto. 6

d) ELEMENTO NEUTRO: El elemento neutro de la suma de números ℤ es el cero ya que cualquier número entero más cero es igual a ese número ℤ. (a + 0) = 0 + a Ej.: (-7) + 0 = -7 7. RESTA DE NÚMEROS ENTEROS Para restar dos números ℤ se suma al minuendo el opuesto del sustraendo. a – b = a + Op. (b) Ej.: a) (+3) - (+2) = (+3) + Op (+2) = (+3) + (-2) = +1 b) (+7) - (-2) = (+7) + Op (-2) = (+7) + (+2) = +9 c) (-8) - (+3) = (-8) + Op (+3) = (-8) + (-3) = -11 d) (-8) - (-2) = (-8) + Op (-2) = (-8) + (+2) = -6 Para hacer la resta (-3) - (+4) se suma. (-3) + Op (+4) = (-3) + (-4) = -7 Observa que sumando la diferencia (-7) con el sustraendo (+4) se obtiene el minuendo (-3). (-7) + (+4) = (-3) - Como todos los números ℤ tienen opuesto, la diferencia entre dos números ℤ siempre es posible. - La sustracción de números ℕ no siempre es posible. Ej.: La diferencia 8 – 23 = NO puede hacerse en el conjunto de los números ℕ porque no hay ningún número ℕ que sumado con 23 sea igual a 8. - Recuerda que la diferencia de dos números ℕ es el número que sumado con el sustraendo es igual al minuendo. Ej.: 6 – 2 = 4 → 4 + 2 = 6 (-8) - (-7) = (-8) + Op (-7) = (-8) + (+7) = -1 Para entender este caso platéatelo así: Debo 8 € y me quitan una deuda de 7 € (como si alguien me dijera ya no debes 7 €). Debo todavía 1 €. 7

8. SUMAS Y RESTAS COMBINADAS DE NÚMEROS ENTEROS Normalmente puede ocurrir que nos encontremos sumas y restas combinadas de números ℤ y lo que hay que hacer se llama “quitar paréntesis”. Se quitan los paréntesis o corchetes más internos, hasta llegar a los más externos. Para quitar paréntesis hay que seguir dos reglas: a) Si delante del paréntesis hay un signo más se dejan los sumandos con sus mismos signos. -15 + [(-8) + (+3) + (-5)] = = -15 + [-8 +3 -5] = = -15 -8 +3 -5 = = 3 – 28 = = -25 1º. Quitamos los paréntesis del interior. 2º. Quitamos corchetes. 3º. Sumamos todos los números que tienen delante el signo más. 4º. Sumamos todos los números que tienen delante el signo menos. 5º. Se coloca en el resultado el signo del número de mayor valor absoluto y se restan los valores absolutos. b) Si delante del paréntesis hay un signo menos se le cambia el signo a todos los sumandos que hay dentro. -18 - [(+4) + (-7) + (+12)] = = -18 – [+4 – 7 + 12] = = -18 -4 + 7 -12 = = 7 – 34 = = -27 1º. Quitamos los paréntesis del interior. 2º. Quitamos corchetes. 3º. Sumamos todos los números que tienen delante el signo más. 4º. Sumamos todos los números que tienen delante el signo menos. 5º. Se coloca en el resultado el signo del número de mayor valor absoluto y se restan los valores absolutos.

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ACLARACIÓN 3 – 23 = 3 + (-28) Al quitar paréntesis -28 conserva su signo. -5 - [-2 - (-7)] = BIEN: 1º. Quitamos los paréntesis de dentro -5 - [-2 + 7] = = -5 +2 -7 = = 2 – 12 = = -10 MAL: 1º. Quitamos los paréntesis de fuera -5 +2 + (+7) = -5 +2 +7 = =9–5= =4

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