I.E.S. Tierra de Ciudad Rodrigo Departamento de Matemáticas

TEMA 12. RECTAS Y PLANOS. INCIDENCIA.

Un sistema de referencia en el espacio está formado por un punto y tres vectores linealmente independientes. A partir de ahora consideraremos el sistema de referencia ortonormal formado por el origen de coordenadas O(0,0,0) y la base

,

y

.

ECUACIONES DE LA RECTA. Una recta en el espacio queda determinada por un punto por el que pasa y por un vector no nulo que tenga su misma dirección. A éste se le llama vector director de la recta. Hallemos la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto como vector director al vector .

y que tiene

Para ello consideramos un punto cualquiera de r, X, de modo que

. Como

además y tienen la misma dirección, sus coordenadas son proporcionales ( con lo que la ecuación de la recta es:

En coordenadas: si O(0,0,0), X(x,y,z),

y

, se tiene que:

Igualando componentes se obtienen las ecuaciones paramétricas de la recta:

Por último, si despejamos el parámetro en cada una de las ecuaciones anteriores e igualamos se obtiene la ecuación continua de r:

Tema 12. Rectas y planos. Incidencia. Santiago Ajenjo

),

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ECUACIONES DEL PLANO. Un plano queda determinado en el espacio por un punto A y dos vectores paralelos al plano, no nulos y no paralelos entre sí. Hallemos la ecuación vectorial del plano que pasa por el punto vectores directores y .

y que tiene como

Para ello consideramos X un punto cualquiera del plano , de modo que Como además

,

y

so coplanarios,

es combinación lineal de

y

. , se tiene que

, con lo que la ecuación vectorial del plano es:

En coordenadas:

Igualando componentes se obtienen las ecuaciones paramétricas del plano:

Los vectores , y son coplanarios, por tanto linealmente dependientes, es decir, el determinante formado por ellos es nulo:

Desarrollando el determinante se obtiene una expresión de la forma que es la ecuación general del plano. El vector

es perpendicular al plano, se llama vector normal o asociado al plano.

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PROBLEMAS DE INCIDENCIA. POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS. Consideremos las rectas

y y la matriz

· Si

· Si

y

son paralelos las rectas son paralelas o coincidentes. -

Si son coincidentes

-

Si son paralelas la dirección de

y

,

y

tienen la misma dirección con lo que rg(A)=1. es distinta de la de

y

, luego rg(A)=2.

no son paralelos las rectas se cortan o se cruzan. -

Si se cortan los vectores dependientes, pero y

-

Si se cruzan los vectores

, y son coplanarios , es decir, linealmente no son paralelos con lo que rg(A)=2 ,

y

son linealmente independientes y rg(A)=3.

POSICIÓN RELATIVA DE DOS PLANOS. Consideremos los planos · Si

y

y

.

son proporcionales los planos coinciden o son paralelos.

-

Si

los planos coinciden.

-

Si

los planos son paralelos. (Condición de paralelismo)

· Si

y

no son proporcionales los planos son secantes.

A las ecuaciones de dos planos que al cortarse definen una recta se les llama ecuaciones implícitas de la recta.

POSICIÓN RELATIVA DE UNA RECTA Y UN PLANO. Consideremos la recta

y el plano de ecuación .

· Si y está contenida en el plano. -

Si el punto Si el punto

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son perpendiculares

son paralelos o la recta

pertenece al plano, la recta está contenida en el plano. no pertenece al plano, la recta es paralela al plano.

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· Si además

y

y no son perpendiculares son secantes. Si son proporcionales el plano y la recta son perpendiculares.

POSICIÓN RELATIVA DE TRES PLANOS Consideremos los planos

, y , el sistema de ecuaciones que forman sus ecuaciones y sus

matrices asociada y ampliada:

Estudiando las posibles soluciones del sistema puede ocurrir: · Si rg(A)=rg(M)=3 el sistema es compatible determinado, la solución es única, luego los tres planos se cortan en un punto.

·Si rg(A)= 2 y rg(M)=3 el sistema es incompatible y hay dos casos: Tema 12. Rectas y planos. Incidencia. Santiago Ajenjo

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-

Los planos se cortan dos a dos siendo las caras laterales de un prisma triangular. Dos planos son paralelos y el otro los corta.

· Si rg(A)=rg(M)=2, el sistema es compatible indeterminados, hay infinitas soluciones que dependen de un parámetro, con lo que la intersección es una recta. En este caso: -

Los tres planos son distintos. Dos planos coinciden y el otro los corta.

· Si rg(A)=1 y rg(M)=2, el sistema es incompatible. Pude ocurrir: -

Los planos son distintos y paralelos dos a dos. Dos planos coinciden y el otro es paralelo a ellos.

· Si rg(A)=rg(M)=1, el sistema es compatible indeterminado, es decir, hay infinitas soluciones que dependen de dos parámetros, con lo que la intersección es un plano. O lo que es lo mismo los tres planos son coincidentes.

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