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TEMA 17: CIRCUITOS DIGITALES COMBINACIONALES Este tema es una primera aproximación a los circuitos electrónicos digitales. Y se llama circuito digital a aquél que maneja la información en forma binaria, o sea con valores de "1" y "0". La información binaria que transmiten los circuitos digitales se representan de la siguiente forma:  "0" o "1"  " Off " y " On "  "Abierto" o "Cerrado"  “No pasa corriente” o “Pasa corriente” Se denomina circuito combinacional a todo sistema digital en el que sus salidas son función exclusiva del valor de sus entradas en un momento dado, sin que intervengan en ningún caso estados anteriores de las entradas o de las salidas. Por tanto, carecen de memoria y de realimentación. Éstos circuitos están compuestos por puertas lógicas interconectadas entre sí. Las puertas lógicas son circuitos electrónicos con una o más entradas y una salida que genera un valor eléctrico (0 ó 1) en función del valor en sus entradas. Son esencialmente circuitos de conmutación integrados en un chip (circuito integrado que contienen fundamentalmente diodos, transistores, resistencias y condensadores).

Existen muchos tipos de puertas lógicas, pero en este tema estudiaremos las más comunes: AND, OR, NAND, NOR, XOR y las inversoras. El Álgebra de Boole es la base matemática de la electrónica digital.

1. Sistemas de numeración Los sistemas de numeración son las distintas formas de representar la información numérica. Se nombran haciendo referencia a la base, que representa el número de dígitos diferentes para representar todos los números. sistema decimal sistema binario sistema hexadecimal

base 10 (sistema habitual) base 2 (utilizado en circuitos digitales) base 16 (utilizado en microprocesadores)

Sistema binario: Un BIT (BInary digiT) es la unidad más pequeña de información, que corresponde a un solo dígito, cuyo valor puede ser ’0’ ó ’1’ En la electrónica digital se usan 1.5, 3, 5, 9, 12 y 18 voltios para el digito ’1’ y 0 voltios para el digito ’0’ Al conjunto de 8 bits se le denomina Byte, y es la unidad básica de almacenamiento de información. Con un byte podemos almacenar 256 datos diferentes. 28 = 256

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Tamaño 1B 10 B 100 B 10 KB 100 KB 1 MB

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Capacidad de almacenamiento aproximada 1 letra 1 ó 2 palabras 1 ó 2 frases 1 página de enciclopedia 1 foto de resolución mediana 1 novela

Múltiplos del Byte: En el sistema decimal los múltiplos se basan en potencias de 103 = 1000. En el sistema binario los múltiplos se basan en potencias de 210 = 1024 1 Kilobyte (KB)

1024 bytes

210 bytes

1 Megabyte (MB)

1024 KB

220 bytes

1 Gigabyte (GB)

1024 MB

230 bytes

1 Terabyte (TB)

1024 GB

240 bytes

1 Petabyte (PB)

1024 TB

250 bytes

1 Exabyte (EB)

1024 PB

260 bytes

1 Zettabyte (ZB)

1024 EB

270 bytes

1 Yottabyte (YB)

1024 ZB

280 bytes

 Transformación de binario a decimal: Primero se pasa el número a base 2 y después se efectúan las operaciones. Ej: 101111 = 1.25+0.24+1.23+1.22+1.21+1.20 = 47 1001110= 1. 26 + 0. 25 + 0. 24 + 1. 23 + 1. 22 + 1. 21 + 0. 20 = 78  Transformación de decimal a binario: Se divide el número decimal por 2 sucesivas veces hasta llegar a un cociente menor que dos. El último cociente junto con los restos obtenidos representan el número en forma binaria, leída desde el último cociente al primer resto. Ej: 45 45:2 22:2 11:2 5:2 2:2

Cociente 22 11 5 2 1

Resto 1 0 1 1 0

101101

Ej: 25 25:2 12:2 6:2 3:2

Cociente 12 6 3 1

Resto 1 0 0 1

11001

Los números se suelen representar con ocho dígitos (byte) 45(10) = 00101101(2) 25(10) = 00011001(2)

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 Números binarios negativos: Para transformar un número binario positivo a un número binario negativo se utiliza el método de complemento a dos. El número binario negativo se obtiene calculando primero su valor en positivo y luego y empezando a leer el número por la derecha, se mantienen iguales todos los “ceros” y el primer “uno” que encontremos, y después se cambian los dígitos restantes (los ceros por unos y los unos por ceros) Ej: -45 45(10) = 00101101(2) -45(10) = 11010011(C2) Ej: -36 36(10) = 00100100(2) -36(10) = 11011100(C2) Para indicar que un número binario es negativo o positivo, se utiliza el bit de signo. Este bit es el número de la izquierda y se trata como una cifra más. Si el bit de signo es 1 se trata de un número negativo complementado a dos. En cambio, si el bit de signo es 0, representa a un número positivo sin complementar.

Sistema hexadecimal: Se emplea en microprocesadores. Es un sistema de numeración con base 16. Su equivalencia con el sistema decimal es: Hexadecimal

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

A

B

C

D

E

F

Decimal

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

 Transformación de binario a hexadecimal: Primero hacemos grupos de cuatro empezando por la derecha y cada grupo se pasa a sistema decimal. Después cada número obtenido se convierte a hexadecimal teniendo en cuenta su equivalencia. Ej: 10111011101 0101 1101 1101 Binario 5

13

13

Decimal

5

D

D

Hexadecimal

10111011101(2) = 5DD(16)  Transformación de hexadecimal a binario: Se realiza el proceso contrario que de binario a hexadecimal, es decir, se pasa de hexadecimal a decimal mirando su equivalencia, y después cada número decimal se pasa a binario escribiendo cada número con cuatro dígitos. Ej: 34AF 3

4

A

F

3

4

10

15

Hexadecimal Decimal

0011 0100 1010 1111 Binario 34AF(16)= 0011010010101111(2)  Transformación de decimal a hexadecimal: Se hace con el mismo método que de decimal a binario, pero dividendo por 16 (en lugar de dividir por 2)

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Ej: 4735 Cociente

Resto

4735:16

295

15 = F

295:16

18

7

18:16

1

2

127F

4735(10) = 127F(16) 

Transformación de hexadecimal a decimal: Se hace con el mismo método que de binario a decimal, pero multiplicando por 16 (en lugar de dividir por 2) Ej: 127F = 1.163+2.162+7.161+15.160 = 4096 + 512 +112 + 15 = 4735(10)

2. Puertas lógicas Las puertas lógicas son circuitos electrónicos con una o más entradas y una salida que genera un valor (eléctrico 0 ó 1) en función del valor en sus entradas. Vamos a representarlas según las normas americanas ASA. Las puertas lógicas más comunes son las siguientes: Puerta OR Símbolo

Fórmula o función a

S=a+b

S

b Circuito eléctrico equivalente (paralelo)

Tabla de la verdad

a

b S

a

b

S

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

Puerta AND Símbolo

Fórmula o función a

Circuito eléctrico equivalente (serie) a

S=axb

S

b

Tabla de la verdad

b

S

a

b

S

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

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Puerta NO o inversora Símbolo

a

S

Circuito eléctrico equivalente

Fórmula o función S=a Tabla de la verdad

a

a

S

0

1

1

0

S

Puerta NOR Símbolo

Fórmula o función

a

S

b Circuito eléctrico equivalente a

S=a+b=a.b Tabla de la verdad

b

a

b

S

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

0

S

Puerta NAND

Símbolo

Fórmula o función a

S

b Circuito eléctrico equivalente a

b

S=a.b=a+b Tabla de la verdad a

b

S

0

0

1

0

1

1

1

0

1

1

1

0

S

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Puerta XOR o EXOR (exclusiva)

Símbolo

Fórmula o función a

S=a

S

b Circuito eléctrico equivalente

a

Tabla de la verdad

b RL1

RL1

RL2

b=ab+ab

RL2

a

b

S

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

0

Compara si los dígitos a y b coinciden, y si coinciden les asigna el valor 0, si no coinciden les asigna valor 1

S

3. Algebra de Boole Son las reglas algebraicas que operan con variables digitales (sus valores son ceros y unos). Estos valores representan estados diferentes de un dispositivo. En los circuitos electrónicos digitales los valores cero y uno, representan si hay o no voltaje. Cuando trabajamos con lógica positiva el 1 representa voltaje (5V) y el 0 representa no voltaje (0V). Cuando trabajamos con lógica negativa el 0 representa voltaje (5V) y el 1 representa no voltaje (0V). Generalmente trabajamos con lógica positiva. Las operaciones matemáticas del algebra de Boole son las siguientes. Suma:

Producto

a+1=1

a.1=a

a+0=a

a.0=0

a+a=a

a.a=a

a+a=1

a.a=0

a=a Propiedad conmutativa de la suma a+b=b+a

Propiedad conmutativa del producto a.b=b.a

Propiedad distributivade la suma a . (b + c) = a b + a c

Propiedad distributiva del producto a + (b . c) = (a + b) (a + c)

Teoremas de Morgan a+b=a.b

a.b=a+b

Ejercicios: a + ab = a (1 + b) = a . 1 = a a (a + b) = a . a + a . b = a + a . b = a (1 + b) = a . 1 = a 6

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a + a . b = a + (a . b) = (a + a) . (a + b) = 1 . (a + b) = a + b b . (a + b) = b . a + b . b = a . b + 0 = a . b

4. Resolución de problemas y diseño de circuitos Para resolver un problema mediante la realización de un circuito electrónico digital debemos seguir los siguientes pasos Situación de partida

Tabla de la verdad

Simplificación

Función lógica

Esquema con puertas lógicas

(por algebra de Boole o mapas de Karnaugh)

Implementación con puertas NAND y NOR

Para resolver un problema debemos primero intentar formar la tabla de la verdad. Esta tabla se construye teniendo en cuenta que debe tener un número de filas variables.

2n ,

donde n es el número de

Para resolver el problema y diseñar el circuito, vamos a seguir todos los pasos mediante un ejemplo.

Situación de partida Ejemplo: construir el circuito óptimo para el encendido de una lámpara con tres conmutadores combinados de tal modo, que sólo se encienda la lámpara cuando haya dos pulsados o los tres pulsados Pulsadores : a, b y c

Salida: bombilla

S

Tabla de la verdad Tendrá 23 = 8 filas. Las filas nos dan todas las combinaciones posibles Posición

a

b

c

S

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

2

0

1

0

0

3

0

1

1

1

4

1

0

0

0

5

1

0

1

1

6

1

1

0

1

7

1

1

1

1

Función lógica A partir de la tabla de la verdad se puede obtener la función lógica de dos maneras. Nosotros vamos a utilizar la 1ª forma canónica o suma de productos o suma de minnterms (Σm) Esta forma utiliza la lógica positiva (el 1 representa la variable “a” y el 0 representa la variable negada “a”) Se construye la función con las posiciones de la tabla de la verdad que dan salida S = 1, que en este caso serán las posiciones 3, 5, 6 y 7. Y después se efectúa la suma de productos de estas posiciones , asignando el estado “0” a la variable negada y el estado “1” a la variable directa. S = Σm (3, 5, 6, 7) = a. b. c + a. b. c + a. b. c + a. b. c

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Simplificación de funciones Para poder diseñar el circuito del modo más simplificado posible, tenemos dos formas de simplificar: el álgebra de Boole o el método de los mapas de Karnaugh. Vamos a estudiar el método gráfico de los mapas de Karnaugh. Se construye el mapa de Karnaugh según las variables que tengamos.

2 variables a

3 variables

0

0

ab cd 00

1

1

01

b

0

1

c

ab

4 variables

00

01

11

10

00

01

11

10

11 10

Se rellena la tabla con las salidas “1” de la tabla de la verdad. Después se agrupan los “1” en grupos de ocho, los que quedan en grupos de cuatro y los que quedan en grupos de dos. Hay que tener en cuenta que la tabla es cerrada, es decir, la última columna es adyacente a la primera, y también las filas. En los grupos formados la variable que cambia de valor (1 ó 0) se elimina y las variables que quedan se escriben con lógica positiva (asignando el estado “0” a la variable negada y el estado “1” a la variable directa) ab

c

00

01

0 1

11

10

1 1

1

1

La función simplificada quedará

S = a. b + b. c + a. c

Esquema con puertas lógicas Se dibuja la función utilizando las símbolos de las puertas lógicas. a

ab

b

bc

ab + bc + ac

ac c Implementación con puertas NAND y NOR Las puertas NAND y NOR se conocen también como puertas universales debido a que todas las funciones lógicas se pueden construir con ellas. Para poder realizar una función determinada o un circuito digital utilizando sólo puertas NAND o NOR, debemos aplicar los teoremas de Morgan tantas veces como sea necesario, hasta que toda la función se exprese en forma de productos o sumas negadas respectivamente. 8

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Teoremas de Morgan NOR

a+b=a.b

NAND

a.b=a+b

Para conseguir la función negada mediante puertas NANd y NOR, procederemos de la siguiente manera, aplicando la doble negada a la función y resolviendo la segunda negada.: a=a.a

a

a

a

a=a+a

a

En nuestro ejemplo: S = a. b + b. c + a. c = ab + bc + ac = ab . bc . ac

5. Multiplexores n

Un multiplexor es un circuito combinacional que tiene 2 entradas de datos, una sóla salida y n entradas de control. Lleva un mecanismo de selección que hace que el valor de la salida sea el valor de una de las entradas de datos La entrada de datos seleccionada viene determinada por la combinación de ceros (0) y unos (1) lógicos que hay en las entradas de control. El multiplexor se comporta como un conmutador de entrada múltiple y salida única, pero cuyo control es electrónico.

Salida W 2n entradas

Los canales o entradas de información pueden ser de tipo digital o analógico. Pero solo vamos a estudiar los digitales. Símbolo

Tabla de la verdad

I1 I2 I3 "2n" entradas de datos (4)

multiplexor

I0

S0

S0

S1

W

0

0

I0

W

0

1

I1

salida

1

0

I2

1

1

I3

S1 "n" entradas de control (2)

Fórmula o función W = S0 S1 I0 + S0 S1 I1 + S0 S1 I2 + S0 S1 I3

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6. Decodificadores n

Un decodificador es un circuito combinacional con n entradas y 2 salidas. Cuando se presenta una determinada combinación binaria a la entrada, se activa una de las salidas (las salidas restantes quedan desactivadas)

a b

decodificador 2a4

Símbolo

"n" entradas de datos (2)

Tabla de la verdad a

b

S0

S1

S2

S3

S0

0

0

1

0

0

0

S1

0

1

0

1

0

0

1

0

0

0

1

0

1

1

0

0

0

1

S2 S3

n

"2 " salidas (4)

Fórmula o función S0 = a b S1 = a b S2 = a b S3 = a b

7. Ejercicios: -

PAU Septiembre 2010/2011 a) Simplifique por el método de Karnaugh la siguiente suma de minterms f(a,b,c,d) = Σm(0,2,3,7,8,10,11,14,15) b) Realice un circuito que usando el menor número de puertas de los tipos NOT, AND y OR efectúe la función lógica simplificada en el anterior apartado

-

PAU Septiembre 2010/2011 a) Represente en complemento a 2 y usando 8 bits el número –78 b) Represente en complemento a 2 y usando 8 bits el número +93 c) Obtenga el valor decimal de 10110100 sabiendo que está representado en complemento a 2 usando 8 bits d) Obtenga el valor decimal de 01110001 sabiendo que está representado en complemento a 2 usando 8 bits

-

PAU Junio 2010/2011 a) Represente en complemento a 2 y usando 8 bits el número –26 b) Represente en complemento a 2 y usando 8 bits el número +115 c) Obtenga el valor decimal de 10010010 sabiendo que está representado en complemento a 2 usando 8 bits. d) Obtenga el valor decimal de 00010010 sabiendo que está representado en complemento a 2 usando 8 bits.

-

PAU Septiembre 2009/2010 a) Represente sobre un mapa de Karnaugh la siguiente función lógica

b) Simplifique dicha función por el método de Karnaugh

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PAU Septiembre 2009/2010 a) Convierta el número (87CB)16 al sistema decimal b) Convierta el número (5F10)16 al sistema binario c) Convierta el número (46102)10 al sistema hexadecimal d) Convierta el número (1101110100100010)2 al sistema hexadecimal

-

PAU Junio 2009/2010 Exprese canónicamente como suma de minterms la siguiente función lógica

-

PAU Septiembre 2012/2013 a) Obtenga expresiones de conmutación en función de a, b, c y d de las señales lógicas x1, x2, x3 y z mostradas en la figura b) Obtenga la tabla de verdad de la función lógica, z(a,b,c,d), que realiza el circuito mostrado en la figura.

-

PAU Junio 2009/2010 a) Obtenga expresiones de conmutación en función de a, b, c y d de las señales lógicas x1, x2, x3 y z mostradas en la figura b) Simplifique la función Z por el método de Karnaugh

-

PAU Septiembre 2008/2009 Se dispone de un sistema de almacenamiento con una capacidad de 16 GB y se utiliza para almacenar sonido codificado a 48 KB/s (es decir, cada segundo de sonido ocupa 48KB a) ¿Cuántos bits ocupan 5s de sonido? b) ¿Cuantos KB de información puede almacenar el sistema? c) ¿Cuántos segundos de sonido podría almacenar como máximo el sistema?

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- PAU Septiembre 2008/2009 a) Simplifique por el método de Karnaugh la siguiente suma de minterms f(a,b,c,d) = Σm(4,5,6,7,11,15) b) Realice un circuito, usando únicamente puertas NAND de 2 entradas y utilizando el menor número de ellas, que efectúe la función lógica simplificada en el anterior apartado -

PAU Junio 2008/2009 a) Obtenga expresiones de conmutación en función de a, b, c y d de las señales lógicas x1, x2, x3 y z mostradas en la figura b) Simplifique la función Z por el método de Karnaugh

-

PAU Junio 2012/2013 a) Obtenga una expresión de conmutación en función de a, b, c y d de la señal lógica z mostrada en la figura b) Simplifique dicha función por el método de Karnaugh

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PAU Septiembre 2013/2014

a) Obtenga una expresión de conmutación en forma de suma de minterms de la señal lógica z, como función de a, b y c.

b) Simplifique dicha función por el método de Karnaugh.

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