Tema 2.5: Análisis basado en el método del Lugar de las Raíces 1. 2. 3. 4.
Lugar de las Raíces Trazado de la gráfica Lugar de las raíces generalizado Diseño de controladores
1. El lugar de las raíces
Objetivo: análisis del efecto de un parámetro en los polos del sistema en B.C para:
Analizar como varía el comportamiento del sistema (ej: estabilidad) Diseñar controladores en base a un parámetro conforme a unas especificaciones
Método del lugar de las raíces: (W. R. Evans, 1948) Ceros de GBC -> Ceros de GBA Polos de GBC -> Ceros de (1+GBA) R +
E -
K C(s) Controlador
U
G(s)
Y
Sistema
Depto. Ing. de Sistemas y Automática. Teoría del Control Automático. 3º Ing. Telec. ESI.US.
1. Lugar de las raíces Caracterización • Analíticamente: imposible para orden alto • Gráficamente: Curva parametrizada en K
Criterio del argumento
Criterio de módulo
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1. Lugar de las raíces Caracterización R +
E -
K C(s) Controlador
U
G(s)
Y
Sistema
Los polos del sistema realimentado son:
x
K=1
x x -2
x
-1
K>1
x x
x
Lugar de las Raíces K=0 Depto. Ing. de Sistemas y Automática. Teoría del Control Automático. 3º Ing. Telec. ESI.US.
K ∞, las raíces son los ceros de GBA(s) (N(s)=0)
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2. Trazado de la gráfica Paso 1: Ubicar polos y ceros de GBA(s)
El LR parte de los polos de GBA(s) -> existen tantas ramas como polos en BA (n) El LR (ramas) tienden: m ramas tienden a los ceros GBA(s) (m ) n-m ramas tienden al infinito de forma asintótica
Root Locus
6
Imaginary Axis
4 2 0 -2
x → polo o → cero
-4 -6 -7
-6
-5
-4
-3
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-2 -1 Real Axis
0
1
2
3
2. Trazado de la gráfica Paso 2: Determinar el LR sobre el eje real Root Locus
6
so ∈ LR si el Nº de ceros y polos reales a su derecha es impar (K>0)
Imaginary Axis
4
2
0
-2
-4
-6 -7
-6
-5
-4
-3
-2 -1 Real Axis
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0
1
2
3
2. Trazado de la gráfica Paso 3: Cálculo de asíntotas n ramas
Cálculo del ángulo de las asíntotas:
m ramas tienden a los ceros n-m ramas tienden asintóticamente al infinito
Se elige un punto de prueba s muy alejado del origen y se calcula el límite de G(s) cuando s→∞.
Intersección con eje real (centroide):
Todas las asíntotas interceptan en el mismo punto al eje real.
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2. Trazado de la gráfica Paso 3: Cálculo de asíntotas
Depto. Ing. de Sistemas y Automática. Teoría del Control Automático. 3º Ing. Telec. ESI.US.
2. Trazado de la gráfica Paso 3: Cálculo de asíntotas
Ejemplo Root Locus
6
Imaginary Axis
4 2 0 -2 -4 -6 -7
-6
-5
-4
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-3
-2 -1 Real Axis
0
1
2
3
2. Trazado de la gráfica Paso 4: Puntos de ruptura de entrada y salida al eje real hacia el plano complejo
Los puntos de ruptura son polos DOBLES que:
Anulan el denominador
Anulan la derivada del denominador
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2. Trazado de la gráfica Paso 4: Puntos de ruptura de entrada y salida al eje real hacia el plano complejo
Reglas:
Si pertenece al LR un trozo de eje real, limitado por dos polos adyacentes, punto de ruptura de salida Si pertenece al LR un trozo de eje real, limitado por dos ceros adyacentes, punto de ruptura de entrada (incluido el -∞) Salida y entrada con 90º Root Locus 6
Punto de entrada Imaginary Axis
4 2 0 -2
Punto de salida
-4 -6 -7
-6
-5
-4
-3
-2 -1 Real Axis
0
1
2
3
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2. Trazado de la gráfica Paso 4: Puntos de ruptura de entrada y salida al eje real hacia el plano complejo
Ejemplo
Raíces
Root Locus
6 Imaginary Axis
4 2 0
-2 -4 -6 -7
-6
-5
-4
-3
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-2 -1 0 Real Axis
1
2
3
2. Trazado de la gráfica Paso 5: Ángulo de salida (entrada) de polos (ceros) complejos • Se toma un punto de prueba en la cercanía del polo o cero conjugado y aplicar la condición del ángulo: ±180(2r+1)=suma de ceros –resta de polos
Ángulo salida de un polo
x x
o Ángulo entrada en un cero
x
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2. Trazado de la gráfica Paso 5: Ángulo de salida (entrada) de polos (ceros) complejos
Ejemplo Root Locus
6
Imaginary Axis
4
2
0
-2
-4
-6 -7
-6
-5
-4
-3
Depto. Ing. de Sistemas y Automática. Teoría del Control Automático. 3º Ing. Telec. ESI.US.
-2 -1 Real Axis
0
1
2
3
2. Trazado de la gráfica Paso 6: Calcular los puntos de corte con el eje imaginario
Método de Routh-Hurwitz
Factor par de orden 2
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2. Trazado de la gráfica Paso 6: Calcular los puntos de corte con el eje imaginario
Ejemplo Root Locus
6
Imaginary Axis
4
Factor par de orden 2
2 0 -2 -4
Ecuación subsidiaria -6 -7
-6
-5
-4
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-3
-2 -1 Real Axis
0
1
2
3
2. Trazado de la gráfica Resultado Root Locus 6
4
Imaginary Axis
2
0
-2
-4
-6 -7
-6
-5
-4
-3
-2 Real Axis
-1
0
1
2
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3
2. Trazado de la gráfica Ejemplo 2: LR y K/ δ=0.5 de un par de polos complejos conjugados en BC