TEMA 3: Contrastes de Hipótesis en el MRL Econometría I M. Angeles Carnero Departamento de Fundamentos del Análisis Económico

Curso 2011-12

Econometría I (UA)

Tema 3: Contrastes de Hipótesis

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Contrastes de Hipótesis en el MRL Contrastes sobre un único coeficiente: Supongamos primero que queremos contrastar a)

H0 : βj = β0j

b)

H1 : βj 6= β0j

H0 : βj = β0j H1 : βj > β0j

c)

H0 : βj = β0j H1 : βj < β0j

El estadístico de contraste es el mismo para los tres casos, lo que varía dependiendo de cuál sea la hipótesis alternativa es la región crítica. Sabemos que b βj

h i N βj , σ2 (X0 X)jj 1

donde (X0 X)jj 1 es el elemento (j, j) de la matriz (X0 X) Econometría I (UA)

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Bajo H0 b βj

h i N β0j , σ2 (X0 X)jj 1

Podemos estandarizar b βj restando la media y dividiendo por la desviación tipica z= q

b βj

β0j

σ2 (X0 X)jj 1

N (0, 1)

bajo H0

Nótese que z sólo nos serviría como estadístico de contraste si σ2 fuese conocida, lo que no suele ocurrir en la práctica. Si σ2 es desconocida, para construir el estadístico de contraste, tenemos que combinar z con otro estadístico que también dependa de σ2 de forma que al combinarlos obtengamos un estadístico que no dependa de σ2 .

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Puesto que b 2 (T k ) σ σ2

χ2(T

k)

b2 y b y como σ βj son independientes definimos el estadístico de contraste: q

b βj β0j

σ2 (X0 X)jj 1

t= r

b2 (T k ) σ σ 2 (T k )

=q

b βj

β0j

b2 (X0 X)jj 1 σ

=

b βj

β0j

SE(b βj )

tT

k

bajo H0

Para un nivel de significación α, las regiones críticas son: a) fjtj > tT k,α/2 g b) ft > tT k,α g c) ft < tT k,α g Econometría I (UA)

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Ejemplo 1: Consideremos un modelo simple que relaciona el número anual de delitos en los campus universitarios (crime) con el número de alumnos matriculados (enroll) log(crime) = β1 + β2 log(enroll) + u Notese que este es un modelo de elasticidad constante ya que es lineal en logarítmos. β2 mide la elasticidad de los delitos repecto al número de alumnos matriculados. En base a una muestra de 97 universidades americanas se han obtenido los siguientes resultados log\ (crime) =

6,63 + 1,27 log(enroll) (1,03)

(0,11)

donde los números entre paréntesis son los errores estándar. Econometría I (UA)

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Vamos a contrastar si existe suficiente evidencia para afirmar que un aumento de un 1 % en el número de alumnos matriculados supone un aumento de más del 1 % en el número de delitos. Primero tenemos que determinar la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. Puesto que el incremento porcentual en el número de delitos ante un aumento de un 1 % en la matricula viene dado por la elasticidad β2 , tenemos que contrastar si hay evidencia suficiente para afirmar que β2 > 1. Es decir tenemos que contrastar H0 : β2 = 1 H1 : β2 > 1 El estadístico de contraste es t=

b β2

1

SE(b β2 )

t95

bajo H0

El valor del estadístico de contraste para esta muestra es t = (1,27 1)/0,11 = 2,45. Como t = 2,45 > t95,0,05 = 1,66, podemos rechazar H0 al 5 %. Econometría I (UA)

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Hay suficiente evidencia para afirmar que un aumento de un 1 % en el número de alumnos matriculados supone un aumento de más del 1 % en el número de delitos. Caso Particular: Contraste de significatividad individual H0 : βj = 0 H1 : βj 6= 0 El estadístico de contraste es: t=

b βj

SE(b βj )

Este estadístico t se denomina t

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tT

k

bajo H0

ratio.

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Contrastes de una restricción lineal: Supongamos que ahora queremos contrastar una restricción lineal cualquiera a)

H0 : Rβ = r H1 : Rβ 6= r

b)

donde R es un vector 1

H0 : Rβ = r H1 : Rβ > r

c)

H0 : Rβ = r H1 : Rβ < r

k y r es un escalar.

El estadístico de contraste es el mismo para los tres contrastes, lo que varía dependiendo de cuál sea la hipótesis alternativa es la región crítica. Dado que

Rb β Econometría I (UA)

b β

N ( β, σ2 (X0 X) N (Rβ, σ2 R(X0 X)

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1

) 1 0

R)

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Bajo H0

Rb β

N (r, σ2 R(X0 X)

1 0

R)

y puesto que Rb β es un escalar podemos estandarizar su distribución restando la media y dividiendo por la desviación típica Rb β r N (0, 1) Bajo H0 z= p σ 2 R (X 0 X ) 1 R0

Nótese que z sólo nos serviría como estadístico de contraste si σ2 fuese conocida, lo que no suele ocurrir en la práctica. Si σ2 es desconocida, para construir el estadístico de contraste, tenemos que combinar z con otro estadístico que también dependa de σ2 de forma que al combinarlos obtengamos un estadístico que no dependa de σ2 .

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Puesto que

(T

b2 k) σ

χ2T

σ2

k

b2 y b y que σ β son independientes definimos el estadístico de contraste: t =

b

p 2Rβ Rβ σ R(X 0 X ) r

1R

b2 (T k ) σ σ 2 (T k )

=q

Rb β

r

b 2 R(X 0 X ) σ

1 R0

=q

Rb β

r

[ Rvar (b β )R0

tT

k

bajo H0

Para un nivel de significación α, las regiones críticas son: a) fjtj > tT k,α/2 g b) ft > tT k,α g c) ft < tT k,α g Econometría I (UA)

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Ejemplo 2: Consideremos el modelo para el gasto en vestido y calzado que ya vimos en el Tema 1. gvest = β1 + β2 renta + β3 nad + β4 nhijos + u El modelo estimado en base a una muestra de 7038 hogares españoles es g[ vestt = 1,2 + 0,064 rentat + 0,132 nadt + 0,159 nhijost (0,0033)

(0,0419)

(0,0391)

3 0,022784 6 0,000146 0,00001 7 \ 7 var (b β) = 6 5 4 0,004746 0,000034 0,001752 0,003505 4,471e 07 0,000495 0,001525 2

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donde gvest es el gasto anual del hogar en vestido y calzado (en miles Euros), renta es la renta anual del hogar (en miles de Euros), nad es el número de adultos en el hogar y nhijos es el número de hijos menores de 18 años, y los números entre paréntesis son los errores estándar. Vamos a contrastar si un aumento en el número de hijos tiene el mismo efecto sobre el gasto en vestido y calzado que un aumento en el número de adultos. Es decir, vamos a contrastar H0 : β3 = β4 H1 : β3 6= β4 El vector R es en este caso R = (0, 0, 1, Rb β

r=b β3

1) y r = 0, por tanto b β4

[ \ \ Rvar (b β)R0 = var (b β3 ) + var (b β4 ) Econometría I (UA)

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2 cov\ (b β3 , b β4 ) Curso 2009-10

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El estadístico de contraste es q

b β3

b β4

\ \ var (b β3 ) + var (b β4 )

\ Utilizando var (b β) :

2 cov\ (b β3 , b β4 )

\ \ var (b β3 ) + var (b β4 ) +0,00152536

t7034 ' N (0, 1)

Bajo H0

2 cov\ (b β3 , b β4 ) = 0,00175293 +

2 0,00049591 = 0,002286

y el valor del estadístico p de contraste en la muestra es t = (0,132 0,159)/ 0,002286 = 0,56. Puesto que jtj = 0,56 z0,025 = 1,96, no podemos rechazar H0 al 5 % y por tanto concluimos que un aumento en el número de hijos tiene el mismo efecto sobre el gasto en vestido y calzado que un aumento en el número de adultos. Econometría I (UA)

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Para realizar este contraste de forma más sencilla podemos reparametrizar el modelo de la siguiente forma. Sea θ 3 = β3 la hipótesis que tenemos que contrastar es ahora

β4 ,

H0 : θ 3 = 0 H1 : θ 3 6= 0

Dado que β3 = θ 3 + β4 podemos escribir el modelo como gvest = β1 + β2 renta + (θ 3 + β4 )nad + β4 nhijos + u gvest = β1 + β2 renta + θ 3 nad + β4 (nad + nhijos) + u gvest = β1 + β2 renta + θ 3 nad + β4 tfam + u donde tfam = nad + nhijos. En base a la misma muestra se obtiene g[ vestt = 1,2 + 0,064 rentat (0,0033)

0,027nadt + 0,159 tfamt (0,048)

(0,0391)

El valor del estadístico de contraste es t = 0,027/0,048 = 0,56 que (salvo errores de redondeo) coincide con el resultado que obtuvimos antes. Econometría I (UA)

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Contrastes de un conjunto de restricciones lineales:

Supongamos ahora que queremos contrastar q (q < k) restricciones lineales H0 : Rβ = r H1 : Rβ 6= r donde R es ahora una matriz q k de rango q (que la matriz R tenga rango q quiere decir que las restricciones lineales son independientes) y r es un vector q 1 Dado que b β

N ( β, σ2 (X0 X)

1

)

Multiplicando por la izquierda por R Rb β Econometría I (UA)

N (Rβ, σ2 R(X0 X)

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1 0

R)

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Bajo H0

Rb β

N (r, σ2 R(X0 X)

1 0

R)

dado que ahora Rb β es un vector q 1 y no un escalar, no podemos estandarizar su distribución como hicimos en el apartado anterior, sin embargo, utilizando el Teorema 6 del tema 3 χ = (R b β

r) 0 ( σ 2 R(X 0 X )

1 0

R)

1

(R b β

r)

χ2q

bajo H0

Nótese que χ sólo nos serviría como estadístico de contraste si σ2 fuese conocida, lo que no suele ocurrir en la práctica. Si σ2 es desconocida, para construir el estadístico de contraste, tenemos que combinar χ con otro estadístico que también dependa de σ2 de forma que al combinarlos obtengamos un estadístico que no dependa de σ2 .

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Puesto que

(T

b2 k) σ

χ2T

σ2

k

b2 y b y como σ β son independientes definimos el estadístico de contraste: F=

(R b β r) 0 ( σ 2 R(X 0 X )

= (R b β = (R b β

1 R0 ) 1 (R b β

r)/q

b2 (T k ) σ σ 2 (T k )

b 2 R (X 0 X ) 1 R0 ) 1 (R b r) 0 ( σ β r)/q \ r)0 (Rvar (b β )R0 ) 1 (R b β r)/q Fq,T

k

bajo H0

para un nivel de significación α, la región crítica es fF > Fq,T

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k,α g.

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Ejemplo 3: Consideremos el modelo para los salarios estimado en base a una muestra de 935 individuos que ya vimos en el Tema 1.

\t = salario

7,92 + 0,605educt + 0,357edadt 2

(0,056)

(1,000)

0,0022edad2t (0,015)

3 271,88 6 0,039628 7 0,003182 \ 7 var (b β) = 6 4 16,470229 5 0,005031 1,001572 0,246787 0,000076 0,015031 0,000225

donde salario es el salario mensual en cientos de dolares, educ es el nivel de educación en años, edad es la edad en años y edad2 es la edad al cuadrado.

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Vamos a contrastar si el efecto marginal de la edad sobre el salario es cero. Si β3 y β4 son los coeficientes poblacionales de edad y edad2, el efecto marginal es β3 + 2 β4 edad y el efecto marginal será cero si y solo si β3 + 2 β4 edad = 0 para todo valor de edad. Por tanto, tenemos que contrastar: H0 : β3 = 0, β4 = 0 H1 : β3 6= 0 y/o β4 6= 0 La matriz R y el vector r son R=

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0 0 1 0 0 0 0 1

,

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r=

0 0 Curso 2009-10

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El estadístico de contraste es 2 3 \ \ b b b var( β3 ) cov( β3 , β3 ) 5 F = (b β3 , b β4 ) 4 \ \ cov(b β3 , b β3 ) var (b β4 )

1

b β3 b β 4

!

/2

F2,931 bajo H0

El valor del estadístico de contraste en la muestra es: 1

1 1,001572 0,015031 0,357 (0,357, 0,0022) 0,015031 0,000225 0,0022 2 1 639,70242 42557,269 0,357 = (0,357, 0,0022) 42557,269 2835618,9 0,0022 2 1 = 28,40 = 14,2 2 Puesto que F = 14,2 > F2,931,0,05 = 3 podemos rechazar H0 al 5 % y por tanto concluimos que los salarios dependen de la edad. Nota: Los estadísticos de contraste t y F no varían ante un cambio de unidades de medida en las variables explicativas y/o en la variable dependiente. F =

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Estimación con restricciones lineales Si sabemos que los coeficientes del modelo satisfacen una o más restricciones lineales podemos imponer dichas restricciones para mejorar la eficiencia. El método de estimación por mínimos cuadrados imponiendo restricciones lineales en los parámetros del modelo se denomina Estimación de Mínimos Cuadrados Restringidos. Consideremos un conjunto de q restricciones lineales Rβ = r, donde R es una matriz q k y r es un vector q 1. El estimador de Mínimos Cuadrados Restringidos se obtiene como solución del problema de minimización con restricciones T

m«ın ∑ e2t = m«ın e0 e b t=1

b

sujeto a Rb = r donde e = Y Econometría I (UA)

Xb. Tema 3: Contrastes de Hipótesis

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La solución al problema de minimización es: b βr = b β

h (X 0 X ) 1 R0 R X 0 X

1

R0

i

1

Rb β

r

No es necesario utilizar la fórmula general para calcular el estimador de Mínimos Cuadrados Restringidos. Lo que se hace en la práctica es imponer las restricciones en el modelo y calcular el estimador MCO del modelo restringido.

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Ejemplo 2 (Continuación): Consideremos de nuevo el modelo gvest = β1 + β2 renta + β3 nad + β4 nhijos + u

(1)

Si imponemos la restricción que contrastamos anteriormente de que un aumento en el número de hijos tiene el mismo efecto sobre el gasto en vestido y calzado que un aumento en el número de adultos (β3 = β4 ) obtenemos el modelo gvest = β1 + β2 renta + β3 (nad + nhijos) + u

(2)

y el estimador de Mínimos Cuadrados Restringidos del modelo (1) imponiendo la restricción β3 = β4 es el estimador MCO del modelo (2).

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Propiedades del estimador bβr : 1

E[ b βr ] = β + (X 0 X )

1 R0

h

R (X 0 X )

1

R0

i

1

(r

Rβ)

Entonces E b βr = β cuando las restricciones Rβ = r son ciertas

Demostración

β E[ b βr ] = E b

h (X 0 X ) 1 R0 R X 0 X

=

Ya que E[ b β]= β

=

Si Rβ=r

2

β

h i Var b βr = σ 2 (X 0 X ) h i Nótese que Var b βr Econometría I (UA)

1

β

1

R0

i

h (X 0 X ) 1 R0 R X 0 X

1

Rb β

1

R0

r i

1

= (Rβ

r)

h i 1 1 1 σ 2 (X 0 X ) 1 R0 R (X 0 X ) R0 R (X 0 X ) h i Var b β con independencia de Rβ = r o no.

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El contraste F: Se puede demostrar que h er0 er = e0 e + r

Rb β

i0 h

R(X 0 X )

1 0

R

i

1

h

r

Rb β

i

Por tanto, el estadístico de contraste F para contrastar Rβ = q se puede escribir como:

F =

=

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(R b β

h r) 0 R (X 0 X )

(er0 er e0 e) q (e0 e ) (T k )

1

b2 σ

Fq,T

R0

i

k

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1

(R b β

r)

q

=

bajo H0

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Si no cambia la variable dependiente como consecuencia de la restricción, entonces, de la definición de coeficiente de determinación se deduce que: F=

R2 R2r q (er0 er e0 e) q = (e0 e ) (T k ) (1 R2 ) (T k)

Fq,T

k

bajo H0

Gracias a estas fórmulas es posible calcular los estadísticos de contraste utilizando sumas cuadráticas residuales de modelos estimados por MCO.

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Ejemplo 2 (Continuación): Consideremos de nuevo el modelo gvest = β1 + β2 renta + β3 nad + β4 nhijos + u y la restricción de que un aumento en el número de hijos tiene el mismo efecto sobre el gasto en vestido y calzado que un aumento en el número de adultos (β3 = β4 ) Los resultados para la estimación del modelo no restringido y del modelo restringido son g[ vestt = 1,2 + 0,064 rentat + 0,132 nadt + 0,159 nhijost , (0,0033)

(0,0419)

(0,0391)

0

SCR = e e = 85138,162 [ gvestt = 1,2 + 0,064 rentat + 0,147 tfamt , (0,0033)

SCR =

er0 er

(0,0326)

= 85141,9863

donde tfam = nad + nhijos. El valor del estadístico en esta muestra es F = (85141,9863 85138,162)/(85138,162/7034) = 0,3154 y como F = 0,3154 < F1,7034 no podemos rechazar H0 al 5 %. Econometría I (UA)

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Nótese que este contraste es equivalente al contraste t que vimos anteriormente para este ejemplo ya que, cuando estamos contrastando una única restricción, t2 = F. En este ejemplo obtuvimos t = 0,56 y por tanto t2 = 0,3136 que no coincide exactamente con el valor que hemos obtenido para F por los errores de redondeo. Supongamos que en el modelo del Ejemplo 2 queremos contrastar la hipótesis de que un aumento en el número de hijos tiene un efecto mayor sobre el gasto en vestido y calzado que un aumento en el número de adultos. La hipótesis que tenemos que contrastar es ahora H0 : β3 = β4 H1 : β3 < β4

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Supongamos que sólo disponemos de información sobre las sumas cuadráticas residuales del modelo restringido y sin restringir. A partir del estadístico F, sólo podemos realizar contrastes bilaterales. Sin embargo, a partir del estadístico F podemos obtener el estadístico t, puesto que p F = 0,5616 t= Para saber si debemos coger la raíz positiva o negativa, debemos saber el signo del estadístico de contraste t. El estadístico t para este contraste es: βˆ 3 βˆ 4 t= SE βˆ βˆ 3

4

y por lo tanto, puesto que el error estándard siempre es positivo, t es positivo si βˆ 3 βˆ 4 > 0 y es negativo si βˆ 3 βˆ 4 < 0. Dadas las estimaciones del modelo: βˆ 3 βˆ 4 = 0,132 0,159 = 0,0270 y por lo tanto concluimos que el estadístico t de contraste que debemos utilizar es t = 0,5616. Econometría I (UA)

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La región crítica para este contraste unilateral es:

ft <

t7034,0,05 g ' ft <

z0,05 g = ft <

1,645g

Puesto que el estadístico de contraste no pertenece a la región crítica, no hay suficiente evidencia para afirmar que un aumento en el número de hijos tiene un efecto mayor sobre el gasto en vestido y calzado que un aumento en el número de adultos.

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Ejemplo 3 (Continuación): Consideremos de nuevo el modelo para los salarios estimado en base a una muestra de 935 individuos

\t = salario

7,92 + 0,605educt + 0,357edadt (0,056)

(1,000)

0,0022edad2t , R2 = 0,8690 (0,015)

Vamos a contrastar utilizando ahora el modelo restringido si el efecto marginal de la edad sobre el salario es cero, es decir H0 : β3 = 0, β4 = 0 H1 : β3 6= 0 y/o β4 6= 0 donde β3 y β4 son los coeficientes poblacionales de edad y edad2. Los resultados de la estimación imponiendo las restricciones son:

\ t = 1,47 + 0,602educt , salario

R2 = 0,8651

(0,057)

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El valor del estadístico de contraste para esta muestra es F = [(0,8690

0,8651)/2] / [(1

0,8690)/931] = 13,86 > F2,931,0,05

Puesto que F = 13,86 > F2,931,0,05 podemos rechazar H0 al 5 % y por tanto concluimos que los salarios dependen de la edad. Nótese que el valor de F no coincide exactamente con el que calculamos anteriormente para este mismo ejemplo debido a los errores de redondeo.

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Caso Particular: Contraste de significatividad global de la regresión. Este contraste analiza la hipótesis nula de que todos los coeficientes del modelo, excepto el término constante, son iguales a cero H0 : β2 = β3 = ... = βk = 0 Utilizando la expresión que acabamos de ver para el estadístico F en función del R2 tenemos F=

R2 R2r q R2 /(k 1) = (1 R2 )/(T k) (1 R2 ) (T k)

Fk

1,T k

bajo H0

ya que el coeficiente de determinación del modelo restringido es 0 en este caso.

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Intervalos de confianza

La estimación por intervalos consiste en proponer un intervalo cuyos límites sean estadísticos, y que contendrán al verdadero valor del parámetro con una probabilidad determinada. Para una muestra concreta el intervalo contendrá o no el verdadero valor del parámetro y no tiene sentido hablar de la probabilidad de que contenga al verdadero parámetro. Si obtuviésemos sucesivas muestras aleatorias de un determinado tamaño muestral y calculásemos los intervalos cada vez, el porcentaje de intervalos que contendrían el verdadero valor del parámetro sería en torno al 100(1 α).

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Intervalos de confianza para βj Puesto que h b β N β , σ 2 (X 0 X ) j

j

1 jj

i

Podemos estandarizar b βj restando la media y dividiendo por la desviación tipica

Sabemos que

z= q

b βj

βj

σ2 (X0 X)jj 1

N (0, 1)

b 2 (T k ) σ χ2(T σ2 b2 y b y puesto que σ βj son independientes q

σ2 (X0 X)jj 1

t= r Econometría I (UA)

b βj βj

b2 (T k ) σ 2 σ (T k )

=q

b βj

βj

b2 (X0 X)jj 1 σ

Tema 3: Contrastes de Hipótesis

bajo H0

k)

=

b βj

βj

SE(b βj )

tT

k

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Por tanto Prob

tT

k,α/2

<

b βj

βj

SE(b βj )

< tT

k,α/2

!

=1

α

Manipulando esta expresión tenemos Prob Prob b βj

b