Dinámica de Sistemas

TEMA 3: Métodos para el análisis de sistemas 3.1.- Introducción. 3.2.- Solución de ecuaciones diferenciales lineales. 3.3.- Transformada de Laplace. 3.4.- Diagramas de bloques 3.5.- Matriz de Transferencia 3.6.- Métodos numéricos, simulación 3.7.- Problemas

3.1 Introducción En este tema se aborda la descripción de diversos métodos que permiten obtener la evolución temporal de las magnitudes fundamentales que definen un Sistema Dinámico. Al enfrentarse a este tipo de problemas siempre se plantean dos estrategias alternativas: la resolución analítica o la simulación numérica. La descripción de los métodos analíticos se justifica por dos razones. En primer lugar representan una herramienta fundamental para el análisis; en segundo lugar, son una referencia fundamental a la hora de testar los resultados obtenidos por los métodos numéricos. Por otro lado, la aplicación de los métodos numéricos se ha generalizado gracias al uso del computador y la aparición de programas de simulación. Dichos métodos suponen una herramienta fundamental para simular sistemas dinámicos cuando las técnicas analíticas no permiten integrar las ecuaciones del modelo. En la primera parte del tema se introduce el método analítico tradicional. A lo largo de ella se aclaran algunos conceptos fundamentales como el Teorema de Unicidad y el Principio de Superposición. Asimismo, se definen los conceptos de respuesta libre y respuesta forzada.

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Dinámica de Sistemas En la segunda parte del tema se presenta el método operacional para la resolución de ecuaciones diferenciales. Basándose en la Transformada de Laplace se introducen elementos fundamentales como son la función de transferencia y los diagramas de bloques. Por último, se describe sucintamente la aplicación de algunos métodos numéricos de integración, que permiten realizar la simulación y obtener el comportamiento de sistemas tanto lineales como no lineales.

3.2 Solución de ecuaciones diferenciales lineales 3.2.1 Teorema se unicidad y principio de superposición Encontrar el comportamiento temporal de un sistema o la evolución temporal de la variable de salida equivale a, conocidas las condiciones iniciales, encontrar la solución a la ecuación diferencial que define el modelo de representación escogido. En primer lugar se enunciarán dos teoremas que establecen las condiciones en las que se puede resolver una ecuación diferencial y ciertas propiedades de las soluciones. Posteriormente se introducirán las principales técnicas utilizadas para encontrar dichas soluciones. 3.2.1.1 Unicidad de las soluciones Teorema de Existencia y Unicidad: Supóngase una ecuación diferencial lineal en la forma: n

∑ i =0

f i (t ) ⋅

d i y (t ) = u (t ) dt i

donde las funciones fi (t) son continuas en el intervalo abierto I que contiene al punto a. Entonces, dados n números yo, ..., yn-1, que cumplen las condiciones iniciales: y (a) = y0 ;;

dy d2y d n −1 y (a ) = y1;; (a ) = y2 ; ....; (a) = yn −1 dt dt dt

Existe una y solo una solución y(t) de la ecuación diferencial que cumpla las anteriores condiciones iniciales.

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Dinámica de Sistemas Si para una ecuación diferencial no están definidas las condiciones iniciales, pueden encontrarse infinitas soluciones a la ecuación. Una expresión que resuma este conjunto de infinitas soluciones se denomina Solución General de la ecuación . La solución de la ecuación para unas condiciones iniciales dadas, ha de pertenecer a esta familia y se denomina Solución Particular de la ecuación. Cuando se busca conocer el comportamiento temporal de un sistema dinámico, estamos interesados en conocer la solución particular de la ecuación diferencial en unas circunstancias concretas. Por tanto, para obtener el comportamiento temporal de un sistema dinámico, es necesario que esté bien definido el

problema de

condiciones iniciales, es decir, si el orden de la ecuación diferencial es n, se ha de disponer de n condiciones iniciales. Obsérvese que si el modelo viene dado por una ecuación de estado, será necesario que estén definidas todas las componentes iniciales de las n componentes del vector de estado y, por tanto, seguirán siendo necesarias n condiciones iniciales. 3.2.1.2 Principio de Superposición Una de las características fundamentales de los sistemas estudiados en este tema es la linealidad.. Se dice que un sistema dinámico es lineal si, suponiendo todas las condiciones iniciales nulas, dadas las entradas g 1(t ) e g 2 (t ) que producen respectivamente las salidas y1 (t ) y y2 (t ) (ver Figura 3.1) entonces, para una entrada c1 g1 (t ) + c 2 y 2 (t ) se produce la salida c1 g1 (t ) + c 2 y 2 (t ) . g1 (t )  → SISTEMA  → y1 (t ) g 2 (t )  → SISTEMA  → y 2 (t ) c1 g1 (t ) + c 2 g 2 (t )  → SISTEMA  → c1 y1 (t ) + c 2 y 2 (t )

Figura 3.1.

Sistema lineal, principio de superposición

De esta propiedad de Linealidad se puede deducir el Principio de Superposición:

Principio de Superposición “La respuesta y(t) de un Sistema Lineal, debido a varias entradas g1 (t ), g 2 (t ).... que actúan simultáneamente, es igual a la suma de las

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Dinámica de Sistemas respuestas a cada entrada actuando solas, cuando todas las condiciones iniciales del sistema son nulas.”

Esta propiedad permite resolver sistemas lineales con múltiples entradas con solo considerar la acción de cada una de ellas de forma independiente Cualquier sistema que satisfaga el Principio de Superproducción es un Sistema Lineal.

3.2.2 Homogeneidad, Polinomio característico y Soluciones. Antes de plantear ninguna estrategia de solución para una ecuación diferencial es necesario la definición de una serie de términos. Dada una ecuación diferencial lineal en la forma: n

∑ i =0

f i (t ) ⋅

d i y (t ) = u (t ) dt i

se dice que la ecuación es homogénea si u(t) =0, es decir, si adopta la forma: n

∑ i =0

f i (t ) ⋅

d i y (t ) = 0.. dt i

Si u (t ) ≠ 0 se dice que la ecuación es no homogénea. Cuando se trata de encontrar una solución general a una ecuación diferencial no homogénea habrá que tener en cuenta también su versión homogénea. Además, para el caso de las ecuaciones que se contemplan a lo largo de este capítulo, es decir ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes lineales invariantes en el tiempo, conviene definir el concepto de Polinomio Característico. Para ello se considera el Operador Diferencial: D=

d dn ; ...; D n = n dt dt

Así, por ejemplo , la ecuación diferencial: d 2 y 3dy + + 2 y = g (t ) dt dt 2 tiene asociado su Polinomio Característico D 2 + 3D + 2 ( λ2 + 3λ + 2 en algunos autores). y la llamada Ecuación Característica D 2 + 3D + 2 = 0 ; Soluciones: ( D =-1 ; D = -2) -3-4-

Dinámica de Sistemas 3.2.2.1 Solución de las ecuaciones homogéneas La solución de una ecuación diferencial homogénea dependerá de los valores de las raíces del Polinomio Característico. Es decir de las soluciones de: u

∑a D i =0

i

i

=0

Dependiendo de que valores adopten éstas se pueden dar varios casos:

* Si las raíces son todas diferentes, las soluciones vienen dadas por un conjunto de n funciones linealmente independientes cuya forma es: y1 = e D1t , y 2 = e D2t , y n = e Du t donde Di son las raíces del Polinomio Característico. La solución general de dicha ecuación será una combinación lineal de las anteriores funciones.

Ejemplo: d2y dy + 3 + 2y = 0 2 dt dt Ecuación característica: D 2 + 3D + 2 = 0 ; Raíces: D1 = −1; D2 = −2

Soluciones y1 (t ) = e − t ; y 2 (t ) = e − 2t

Comprobación: d 2 e −t de − t + + 2e −t = e −t − 3e −t + 2e −t = 0 3 2 dt dt

Por tanto, la Solución General de esta ecuación es: y g (t ) = C1 ⋅ e − t + C 2 ⋅ e −2t

donde C1 y C2 son dos constantes. Cuando se trate de encontrar una solución particular, estas constantes tomarán valores determinados por las condiciones iniciales.

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Dinámica de Sistemas * Si las raíces se repiten, el conjunto de soluciones viene dado por e DI t , te Di t ,..., t ui −1e Di t donde u i en la multiplicidad de la raíz Di .

Ejemplo: d2y dt

2

+2

dy + y=0 dt

Ecuación característica: D 2 + 2 D + 1 = 0 ; Raíces: D =-1 doble. Soluciones: y1 (t ) = e − t ; y 2 (t ) = te −t

La Solución General de esta ecuación es: y g (t ) = C1 ⋅ e − t + C 2 ⋅ e −2t

Existen también otro tipo de posibles soluciones, dependiendo de si aparecen raíces complejas o raíces complejas repetidas. No se detallan estas posibilidades pues no es objeto de este tema desarrollar con detalle este método de solución de ecuaciones diferenciales.

3.2.2.2 Solución de la ecuación no homogénea

Si se desea obtener la solución particular de una ecuación diferencial no homogénea para unas condiciones iniciales determinadas es necesario: buscar primero la solución general de la ecuación

homogénea y determinar su solución particular para las

condiciones iniciales dadas (es lo que se llama respuesta libre de un sistema); posteriormente se busca

y una solución particular (normalmente para todas las

condiciones iniciales iguales a cero) para la ecuación no homogénea (es lo que se llama respuesta forzada del sistema).

La Respuesta Libre es una combinación lineal de todas las soluciones de la Ecuación Homogénea donde los coeficientes de la combinación están determinados por las condiciones iniciales del problema.

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Dinámica de Sistemas Ejemplo: Se trata de encontrar la repuesta libre yL del siguiente problema

d2y dy + 3 + 2y = g 2 dt dt

Condiciones iniciales:

Ecuación

D2+

característica:

3·D

+

y(0) = 0; 2

=0;

dy dt

=1 t =0

Raíces:

D1 = −1; D2 = −2 Solución General Homogénea: YH (t ) = Ae − t + Be 2t

Sustituyendo: y L (0) = Ae −0 + Be −20 = A + B = 0 → A = − B dy = − Ae −t − 2 Be − 2t dt dy 0 = − A − 2 B = 1 → − B = 1 → B = 1; A = 1 dt La respuesta libre es: y l (t ) = e −t − e − 2t La Respuesta Forzada es la solución cuando todas las condiciones iniciales son nulas y el sistema se encuentra sometido a la señal de entrada u(t). Normalmente es difícil determinar. Existen distintos métodos entre los que cabe citar el método de los coeficientes indeterminados, en el que la solución particular depende mucho del tipo de función u(t) y se encuentra tabulada. El objetivo de este texto no es detallar este tipo de métodos, por lo que parece pertinente remitir a bibliografía más especializada en soluciones de ecuaciones diferenciales (Edwards y Penney, 1993) a aquellas personas que se encuentren interesadas en este tipo de métodos.

Como se ha dicho anteriormente, la Solución Completa para un sistema descrito por una Ecuación Diferencial con coeficientes constantes se obtiene sumando la Respuesta Libre y la Respuesta Forzada.

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Dinámica de Sistemas Ejemplo : d2y dy + 3 + 2y = g 2 dt dt

Condiciones iniciales:

y(0) = 0;

dy dt

=1 t =0

considerando que g = cte. para t > 0. La solución a la ecuación homogénea ya fue obtenida en el ejemplo anterior.

Para obtener la Solución Forzada se supone una solución del tipo y f (t ) = A + Be D1t + Ce D2t ; considerando condiciones iniciales nulas: y f (0) = A + Be −0 + Ce −2⋅0 = 0 → A + B + C = 0 dy p dt

t =0

= − Be −0 − 2Ce − 2⋅0 = 0 → B = −2C

por tanto: B = -2C A = C. Calculando la segunda derivada de la función: d2yf dt

2

= Be −t + Ce −2 t

y sustituyendo el valor de la segunda derivada, de la deriva y de la función en

la ecuación diferencial: g d2y dy + 3 + 2y = g → A = 2 dt dt 2

así : y f (t ) =

1 1 g − e −t + e −2 t = (1 − 2e −t + e −2 t ) 2 2 2

La Solución Completa será : y ( t ) = y l + y f = ( e −t − e − 2 t ) +

1 (1 − 2e −t + e −2 t ) 2

1 1  y (t ) =  − e −2t  2 2 

3.2.3 Respuesta transitoria y estado estacionario. La Respuesta Completa puede siempre separarse en una respuesta cuyo valor cobra importancia cuando t → ∞ , denominada respuesta de Estado Estacionario o Permanente, y otra respuesta, cuyo valor cobra importancia durante los primeros

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Dinámica de Sistemas instantes en los que se realiza la transición desde el estado inicial a la configuración final, es la llamada Respuesta Transitoria. En el caso del ejemplo anterior pueden identificarse claramente ambas respuestas y (t ) =

1 1 −t − e 2 2 R. Transitoria

R. Estacionaria

3.2.4 Solución a la ecuación de estado La solución de una ecuación matricial de estado viene dada por : t r r r x (t ) = e At x (0) + ∫ e A(t −τ ) B ⋅ u (τ )dτ 0

donde e At es una Función Matricial definida como : e At = I + A ⋅ t +

A 2 ⋅ t 2 A3 ⋅ t 3 + + .... 2! 3!

con I matriz identidad de la misma dimensión que A.

Ejemplo: Encuentre la evolución de x1(t) y x2(t) para el siguiente modelo de estado con las condiciones iniciales x1(0)=-1; x2 (0)=2 0 1   0 A= ; B =   ; u(t) = g = cte. para t >0.  0 0  1  Solución: En este caso:

0 1 0 1 0 0 A2 =   =0. ⋅ = 0 0 0 0 0 0

Por tanto: A K → K ≥ 2 = 0 ; en consecuencia: 1 0 0 t  1 t  e At =  + =  0 1 0 0 0 1 1 t  1 − τ  1 t − τ  e A⋅(t −τ ) =  ⋅ = 1  0 1 0 1  0 y la solución se obtiene:

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Dinámica de Sistemas t 1  x1 (t )  1 t   x1 (0)   x (t ) = 0 1 ⋅  x (0) + ∫ 0 0   2    2  

(t − τ ) 0

⋅ g ⋅ dτ 1  1 

t

 τ2  g ⋅t2 x1(t ) = −1 + 2 ⋅ t + ∫ (t − τ ) ⋅ g ⋅ dτ = −1 + 2 ⋅ t + g ⋅  t ⋅ τ −  = −1 + 2·t + 0 2 0 2  t

t

x 2 (t ) = 2 + ∫ g ⋅ dτ = 2+ g ⋅ t 0

2  x1 (t )  − 1 + 2 ⋅ t + g ⋅ t    x (t ) =  2 ⋅  2   2+ g ⋅ t 

3.3 TRANSFORMADA DE LAPLACE. El método que se introduce en este apartado constituye la base del análisis de los Sistemas Dinámicos. De hecho una de las aplicaciones más importantes es la caracterización de Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo, o sea , aquellos descritos por Ecuaciones Diferenciales con coeficientes constantes. La transformación de Laplace es un método operacional que permite transformar una ecuación diferencial de variable real t en una ecuación algebraica de variable compleja s. A partir de aquí la solución de la ecuación puede encontrarse utilizando métodos algebraicos, como los empleados al resolver ecuaciones convencionales. La solución final se obtiene aplicando las tablas de transformadas en sentido inverso. La Figura 3.2 resume la aplicación del método.

Figura 3.2.

Método operacional para la resolución de ecuaciones diferenciales

3.3.1 Revisión de números complejos. Se da nombre de número complejo a un par de números reales x e y sumados en la forma: z = x − iy , donde i es la unidad imaginaria pura i definida en la forma: i = −1 A partir de un número complejo se definen las siguientes magnitudes:

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Dinámica de Sistemas  z = z2 + y2  Números complejos z = x − iy  →  y  θ = arctg x 

módulo argumento

Se denomina número complejo conjugado de z al número z = x − iy Existen distintas formas de escribir un número complejo. Por un lado se tiene la forma rectangular : z = x + iy z = z (cosθ + jsenθ ) . Por otro, la forma polar: z = z e iθ La relación entre estas dos formas de escribir un número complejo queda representada en la Figura 3.3:

Figura 3.3.

Representación de un número complejo

Una de las propiedades más útiles de los números complejos es el llamado Teorema de Euler: z = eiθ = cosθ + jsenθ ;

z = e − iθ = cosθ − jsenθ

de donde puede escribirse: cosθ =

e iθ + e − iθ ; 2

senθ =

e iθ − e −iθ 2j

3.3.1.1 Variable compleja. Una Variable Compleja es un número complejo cuya parte real e imaginaria son variables: s = σ + jω : Por tanto: §

σ → es la parte real

§

ω → es la parte imaginaria

§

s = σ 2 + ω 2 → Modulo o magnitud

§

arg(s ) = ∠s = arctg

ω → Argumento o Fase. σ -3-11-

Dinámica de Sistemas 3.3.1.2 Función compleja Una función compleja es una función con una parte real y otra imaginaria: F (s ) = Fx + jFy donde F (s ) = Fx 2 + Fy 2 Modulo ∠F (s ) = arctg

Fy Fx

Argumento

A lo largo de este capítulo se verán con frecuencia funciones de variable compleja expresadas en forma de cociente de polinomios como el que sigue a continuación:

F ( s) =

k (s + z1 ) ⋅ (s + z 2 ) ⋅ (s + z 3 )....(s + z m ) (s + p1 ) ⋅ (s + p2 )....(s + pn )

3.3.2 Definición de Transformada de Laplace. Sea f (t ) una función real de la variable real t , definida para t > 0 . Se denomina Transformada de Laplace de f (t ) a la integral ∞

∫ f (t ) ⋅ e

− st

0

dt

donde s es una Variable Compleja s = σ + jw y se suele denota por : L[ f (t )] = F (s ) Puede definirse también la Transformada Inversa de Laplace. Sea F (s ) la Transformada de Laplace de f (t ) para t>0. Se denomina Transformada Inversa de F (s ) L-1 [F(s)] a la integral “de contorno”: f (t ) =

1 c + j∞ F (s ) ⋅ e st ds ∫ c − j ∞ 2πj

(t > o )

Calcular la transformada mediante la propia definición puede ser en diversas situaciones un procedimiento complicado. Lo que se suele hacer es usar las tablas de pares de

transformadas. Dichas tablas se utilizan para calcular transformadas y

transformadas inversas, teniendo en cuenta que: L[ f (t )] = F (s ) ; L−1[F (s )] = f (t )

-3-12-

Dinámica de Sistemas

3.3.3 Tablas

-3-13-

Dinámica de Sistemas

-3-14-

Dinámica de Sistemas

3.3.4 Algunas propiedades de las transformadas de Laplace. 1º- Linealidad L L Si f (t )← → F1 (s ) , f 2 (t )← → F2 (s ) y a1 y a 2 = constantes.

Entonces L a1 f1 (t ) + a 2 f 2 (t ) ←→ a1 F1 (s ) + a 2 F2 (s )

Ejemplo: Calcular la transformada de f (t ) = t 2 + e − t

t>0

[ ]

1º) En primer lugar se calcula la transformada del primer sumando: L t 2 buscando en la tabla 1 1 ↔ t n −1e − at n (n − 1)! (s + a ) identificamos n = 3 a = 0 así

1 2 1 t ↔ 3 2 s

aplicando aquí la Linealidad

[]

-> L t 2 = F1 (s ) =

1 1 2 ⋅ t2 ↔ 2 ⋅ 3 2 s

2 s3

[ ]

2º) En segundo lugar se calcula la transformada del segundo sumando: L e − t buscando en la tabla 1 ↔ e − at s+a es inmediato que

[ ]

L e −t =

1 = F2 (s ) s +1

así F (s ) = F1 (s ) + F2 (s ) =

2 1 s 3 + 2s + 2 + = s3 s + 1 s 3 (s + 1)

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Dinámica de Sistemas 2º- Derivación real

Si f (t ) ↔ F (s ) entonces

d f (t ) ↔ sF (s ) − f (0) dt

Ejemplo: Calcular la transformada de la deriva de la función seno f (t ) = senωt ↔ F (s ) =

ω s +ω2 2

df (t ) sω = ω cos ωt ↔ s ⋅ F (s ) − sen(0 ) = 2 −0 dt s +ω2 Puede confirmarse este resultado con solo mirar las tablas: L[ω cos ωt ] = ωL[cos ωt ] =

ωs s +ω2 2

3º- Transformada de la Integral Si f (t ) ↔ F (s ) entonces: L[ ∫ f (τ ) ⋅dτ t

0

] ↔ F (s ) + ∫

f (t ) ⋅ dt

s

s

0

4º-Teorema del Valor Inicial Si f (t ) ↔ F (s ) entonces f (0 ) = lim f (t ) = lim sF (s ) para t > 0 t ⇒0

s⇒∞

5º- Teorema del Valor Final Si f (t ) ↔ F (s ) entonces f (∞ ) =lim f (t ) = lim sF (s ) t ⇒∞

s⇒0

8º- Retraso en el Tiempo (Traslación en el tiempo). Si f (t ) ↔ F (s ) entonces u (t − t0 ) ⋅ f (t − t0 ) ↔ e − t0 s F (s )

-3-16-

Dinámica de Sistemas 9º- Traslación en la Frecuencia. Si f (t ) ↔ F (s ) entonces e − at f (t ) ↔ F (s + a ) Ejemplo: Calcular la transformada de f (t ) = 2e − t cos10t − t 4

t>0

Mirando las tablas y considerando la traslación en frecuencia:

(

)

L 2e − t cos10t =

2(s + 1) 2s + 2 = 2 2 2 ( s + 1) + 10 s + 2 s + 101

( )

L t4 =

4! s

4 +1

=

24 s5

Aplicando la propiedad de la linealidad la transformada total es la suma delas transformadas: F ( s) =

2(s + 1) 24 2s 6 + 2s 5 − 24s 2 − 48s − 2424 − = s 2 + 2 s + 101 s 5 s 7 + 2s 6 + 101s 5

3.3.5 Funciones Singulares. Los sistemas suelen excitarse con ciertas funciones singulares que facilitan el estudio de la respuesta temporal: •

Escalón Unitario

1 para t > 0 u(t)

Figura 3.4.

0 para t < 0

L[u(t)]=

1 s

Función escalón

La señal escalón suele utilizarse para considerar una entrada cuyo valor aparece a partir del instante t0 y que se mantiene constante a partir de ese momento. •

Rampa Unitaria.

Es la integral del Escalón Unitario. Suele utilizarse para simular situaciones en las que la señal de entrada evoluciona de forma creciente en el tiempo a partir del instante t0 . -3-17-

Dinámica de Sistemas

t para t > 0 r(t)=u(t)· t

Figura 3.5.

Función rampa unitaria

•

Función Impulso: δ (t )

0 para t < 0

L[r(t)]=

1 s2

Es una señal que vale siempre cero, excepto en t = 0, momento en la que la función alcanza un valor infinito.

δ(t)

Figura 3.6.

∞ para t = 0

L[δ(t)]= 1

0 para t ≠ 0

Función impulso

Una característica de esta función es que su integral definida a lo largo de R es +∞

igual a

∫ δ (t ) = 1

−∞

La función impulsión no existe como fenómeno real, sin embargo esta función puede considerarse como el límite de una señal pulso, de amplitud 1/d, que comienza en a y termina en a+d, cuando d tiende a cero. Este tipo de señal suele emplearse en sistemas mecánicos para representar una interacción, que tiene lugar en un breve intervalo de tiempo, en la que se produce la transferencia de impulso, energía etc.

3.3.6 Función de Transferencia Una de los principales objetivos de la teoría de sistemas consiste en establecer las relaciones entre las señales entradas y las señales de salida. Estas relaciones, como se verá, depende de la naturaleza y configuración del sistema, siendo independientes del

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Dinámica de Sistemas tipo de señales de entrada que se consideren. El concepto de función de transferencia permite determinar dichas características propias y establece un mecanismo que permite conocer a priori el tipo de comportamiento y respuesta del sistema estudiado. La Función de Transferencia de un sistema descrito por Ecuaciones Diferenciales Lineales Invariante en el Tiempo, se define como la relación entre la transformada de Laplace de la salida y la transformada de Laplace de la entrada, cuando todas las condiciones iniciales son nulas. Por tanto, dado un sistema definido por la ecuación diferencial: an ⋅

d n x(t ) d m f (t ) + K + a0 ⋅ x(t ) = b0 ⋅ f (t ) + L + bm ⋅ dt dt

Si se consideran condiciones iniciales nulas, aplicando la transformación de Laplace es posible escribir: an ⋅ s n X ( s ) + K + a0 ⋅ X ( s ) = b0 ⋅ F ( s ) + L + bm ⋅ s m F ( s ) Sacando factor común X(s) y F(s) es posible encontrar la relación entre ambas transformadas: b ⋅ s m + K + b0 ⋅ s X ( s) = G( s) = m n F (s) an ⋅ s + L + a0 ⋅ s

Dado que la función de transferencia se expresa como cociente de dos polinomios, es frecuente escribir estos como producto de monomios:

G (s) =

k (s − z1 ) ⋅ (s − z 2 ) ⋅ (s − z 3 ).... ⋅ (s − z m ) (s − p1 ) ⋅ (s − p 2 ).... ⋅ (s − p n )

Los punto puntos en los que G (s ) = 0 se llaman ceros, en este caso z1 , z 2 , z 3 .... Los puntos en los que el denominador se hace cero, es decir G (s ) → ∞ ,se llaman polos, en este caso p1 , p 2 ,..... pu . Si el Denominador contiene factores del tipo (s + p ) entonces s = − p es un polo k

múltiple de orden κ . Si κ = 1 el polo se llama polo simple. Ejemplo: Calcular la función de transferencia a partir de la ecuación diferencial dy df + 2y = + f (t ) ; -> (s + 2 )Y (s ) = (s + 1)F (s ) dt dt -3-19-

Dinámica de Sistemas G (s ) =

Y (s ) (s + 1) = F (s ) (s + 2)

Merece la pena realizar una serie de comentarios sobre la función de transferencia:

1- La aplicación del concepto definido de Función de Transferencia queda limitado a sistema descritos por Ecuaciones Diferenciales Lineales e Invariantes en el Tiempo.

2- La función de transferencia es la transformada de Laplace de la respuesta del sistema a la señal impulso con condiciones iniciales nulas. δ (t )  → SISTEMA  → yδ (t ) Figura 3.7.

Respuesta impulsional

En efecto, a partir de la definición puede escribirse Y (s ) = G (s ) ⋅ F (S ) Dado que F (s ) = L[δ (t )] = 1 con lo que Y (s ) = G (s ) ⇒ y (t ) = g (t ) = L−1 [G (s )]

La función g(t) se denomina repuesta impulsional del sistema, y es otra forma de descripción externa de un sistema dinámico, ya que es posible encontrar a partir de ella la repuesta del sistema a cualquier señal de entrada. En efecto, la repuesta temporal puede escribirse en la forma: y (t ) =

t

∫ g (t − τ ) ⋅ f (τ ) ⋅ dτ

−∞

3- La Ecuación Diferencial de un sistema, puede obtenerse a partir de G (s ) cambiando s por

d . dt

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Dinámica de Sistemas Ejemplo: G (s ) =

(2 s + 1)

Y (s ) ; -> s 2Y ( s ) + sY ( s ) + Y ( s ) = 2 sU ( s ) + U ( s ) 2 s + s + 1 U (s ) =

así

d 2 y dy 2du + +y= +u 2 dt dt dt

4- La Ecuación Característica corresponde al Denominador de la Función de Transferencia.

5- Las raíces del Numerador son los ceros del sistema y las raíces del Denominador son los polos del sistema.

Ejemplo: Determinar la función de transferencia del sistema eléctrico de la figura

Figura 3.8.

Circuito con fuente de corriente continua

En el tema anterior se vio que la ecuación que modelaba el comportamiento del sistema era:

R⋅

dI 1 dV + I= i dt C dt

La transformada de la expresión es:

R ⋅ s ⋅ I ( s) +

1 I ( s ) = s ⋅ Vi C

Sacando factor común y despejando la función de transferencia queda:

G( s) =

I ( s) C⋅s = Vi ( s) 1 + RC ⋅ s

Observe que el sistema tiene un cero en s = 0 y un polo en s = −

-3-21-

1 RC

Dinámica de Sistemas Ejemplo: Determinar la función de transferencia del sistema mecánico de la figura.

Figura 3.9.

Sistema de masa con resorte y amortiguador

En el tema anterior se vio que la ecuación que modelaba el comportamiento del sistema era: ••

•

m y+ µ ⋅ y+ k ⋅ y = F La transformada de la expresión es:

m ⋅ s 2 ⋅ Y ( s) + µ ⋅ s ⋅ Y ( s) + k ⋅ Y ( s) = F ( s) Sacando factor común y despejando la función de transferencia queda:

G( s) =

Y ( s) 1 = 2 Fi ( s) m ⋅ s + µ ⋅ s + k

3.3.7 Cálculo de la respuesta de un sistema a una señal de entrada La transformada de Laplace permite encontrar la respuesta de un sistema a una entrada específica cuando las condiciones iniciales son nulas (es decir obtener la respuesta forzada): A partir de la definición de Función de Transferencia se puede escribir: Y (s ) = G (s ) ⋅ F (s ) y (t ) se puede calcular simplemente calculando la transformada Inversa: y (t ) = L−1 [Y (s )] = L−1 [G (s ) ⋅ F (s )]

-3-22-

Dinámica de Sistemas Otra alternativa es utilizar la función impulsional: y (t ) = ∫ g (t − τ ) ⋅ u (τ )dτ t

−∞

El siguiente ejemplo ilustra el procedimiento para calcular la respuesta forzada de un sistema.

Ejemplo : Calcular la respuesta de un sistema mecánico descrito por: ••

m x + kx = f (t ) donde : m = masa y k = constante elástica, cuando la fuerza de entrada es igual a la señal impulso y sus condiciones iniciales son nulas.

La entrada la señal impulso , por tanto: ••

m x + kx = δ (t ) con condiciones iniciales nulas.

La función de transferencia : m ⋅ s 2 X (s ) + k ⋅ X (s ) = F ( s ) ; G (s ) =

1 ms 2 + k

Por tanto: y (t ) = L−1 [G ( s ) ⋅ F ( s )]. Como L[δ (t ) = 1 :

 1    y (t ) = L−1  m   s2 + k   m 

puede verse en la tabla que : ω ↔ senω ⋅ t s +ω2 2

si hace ω 2 =

k ;ω= m

k es posible escribir: m

-3-23-

=

1 m s2 +

k m

Dinámica de Sistemas 1 k m m

X (s ) =

2 k 2  k     s +   m  m    

entonces 1 k x(t ) = m ⋅ sen t m k m

si se simplifica es posible escribir x(t ) =

1 k sen t m km

3.3.8 Cálculo de transformadas inversas El método más aplicado en el cálculo de la Transformada Inversa de Laplace es el llamado método de expansión en fracciones parciales. Primero se considera que F (s ) puede expresarse de forma racional : F (s ) =

N (s ) D (s )

Para hacer la expansión, debe cumplirse que grado [N (s )] < grado[D(s )] . En caso contrario se realiza la división

N (s ) R(s ) = C (s ) + y luego se realiza la expansión de D(s ) D[s ]

R(s ) . D (s ) A continuación se introducen las técnicas de expansión en fracciones múltiples mediante ejemplos. Básicamente pueden encontrase dos casos: 1.- F (s ) contiene polos simples: s 2 + 2s + 2 F (s ) = 2 s + 3s + 2 como grado [N (s )] = grado[D(s )] se divide: -3-24-

Dinámica de Sistemas s 2 + 2 s + 2 s 2 + 3s + 2 1 − s 2 − 3s − 2 −S

así F (s ) = 1 −

s s + 3s + 2 2

Polos s = -1 y s = -2 s s A B = = + s + 3s + 2 ( s + 1)( s + 2) (s + 1) (s + 2 ) 2

Las constantes A y B se denominan residuo de la función en el polo correspondiente y se calculan como sigue : Se multiplican ambos lados de la expresión por (s+1) s ⋅ (s + 1) A ⋅ (s + 1) B ⋅ (s + 1) = + ( s + 1)( s + 2) (s + 1) (s + 2)

Si se evalúan ambos lados de la expresión para s=-1  s  −1 A= = =1  1  (s + 2 ) s = −1 Para calcular B se multiplican ambos lados de la expresión por (s+2) y se evalúan para s = -2:  s  −2 =2 B= =   ( s + 1)  s = −2 − 2 + 1 Así queda: F (s ) = 1 +

1 2 − s +1 s + 2

y usando las tablas f (t ) = δ (t ) + e − t − 2e −2t t >0 2.- F (s ) contiene polos múltiples: A3 A1 A2 s 2 + 2s + 3 F (s ) = ⇒= + + 3 2 (s + 1) (s + 1) (s + 1)3 (s + 1) -3-25-

Dinámica de Sistemas Se calcula A3 multiplicando izquierda y derecha por (s + 1)

3

(s + 1)3 s

+ 2s + 3 2 = A1 (s + 1) + A2 (s + 1) + A3 3 (s + 1)

2

evaluando para s = -1 1 − 2 + 3 = A3 ⇒ A3 = 2

Se calcula A2 derivando una vez la expresión anterior

[

[

]

d 2 d 2 s + 2s + 3 = A1 (s + 1) + A2 (s + 1) + A3 ds ds

]

2 s + 2 = 2 A1 (s + 1) + A2 y evaluando en s =-1: ⇒ 0 = A2 A1 se calcula derivando dos veces la expresión original y evaluando:

[

[

]

d2 2 d2 2 s + 2 s + 3 = A1 (s + 1) + A2 (s + 1) + A3 2 2 ds ds

]

2 = 2 A1 ⇒ A1 = 1 Así F (s ) =

1 2 + s + 1 (s + 1)3

y usando tablas f (t ) = e −t +

2 2 −t t>0 ⋅t e 2

Ejemplo: Calcular la transformada inversa de F (s ) =

5(s + 2 ) s (s + 1)(s + 3) 2

No hay que realizar la división ya que grado N(s) < grado D(s)

-3-26-

Dinámica de Sistemas s=0 Polos : s = −1 s = −3

F (s ) =

A1 A2 B C + 2 + + s s +1 s + 3 s

primero se calcula B y C  5(s + 2)  5 B = (s + 1) 2 =  s (s + 1)(s + 3)  s = −1 2 

 −5 5(s + 2)  5 C = (s + 3) 2 = =  s (s + 1)(s + 3)  s = −3 − 18 18  Se calcula ahora A2 multiplicando izquierda y derecha por s 2 5(s + 2 ) Bs 2 Cs 2 = A s + A2 + + (s + 1)(s + 3) 1 (s + 1) s + 3 evaluando en s = 0

10 = A2 3

Para calcular A1 se deriva la expresión anterior 5(s + 1)(s + 3) − 5(s + 2)(s + 3) − 5(s + 2 )(s + 1) 2 Bs ( s + 1) − Bs 2 2Cs ( s + 3) − Cs 2 = A + + 1 ( s + 1) ( s + 2) (s + 1)2 (s + 3)2 evaluando en s = 0 15 − 30 − 10 − 25 = A1 ⇒ A1 = 9 9 así F (s ) =

− 25 1 10 1 5 1 5 1 + + + 2 9 5 3 s 2 s + 1 18 s + 3

con lo que, usando las tablas, se obtiene:

f (t ) = −

25 10 5 5 u (t ) + t + e −t + e −3t t > 0 9 3 2 18

-3-27-

Dinámica de Sistemas

3.3.9 Aplicación de la Transformada de Laplace a la resolución de Ecuaciones Diferenciales. La idea fundamental del método consiste en someter a la ecuación diferencial a la transformada de Laplace. Una vez hecho esto, en la expresión obtenida aparece la transformada Y(s) de la función incógnita y(t) tal y como si se tratara de una incógnita en una ecuación tradicional . En ese punto, el método consiste en despejar Y(s) y expresarla en función de todos los términos conocidos. a la expresión obtenida se le aplica la transformada inversa y de esta manera se alcanza el valor de y(t). Para facilitar la comprensión del método se presenta un ejemplo: ••

Sea la ecuación homogénea:

•

x + 3 x + 6 x = 0 con las condiciones iniciales

•

x(0) = 0 ; x(0) = −3 Si se aplica la Transformada de Laplace a la ecuación : •

x ↔ sX (s ) − x(0)

••

•

x ↔ s 2 X (s ) − sx(0) − x(0)

así la ecuación diferencial se transforma en : •

s 2 X (s ) − sx(0) − x(0 ) + 3sX (s ) − 3 x(0) + 6 X (s ) = 0

es decir: •

sx(0) + x(0) + 3 x(0) X (s ) = s 2 + 3s + 6 sustituyendo valores X (s ) =

−3 s + 3s + 6 2

Para calcular la respuesta x(t ) se buscan los polos de X (s )

s 2 + 3s + 6 ⇒ s=

− 3 ± 9 − 24 − 3 15 = ± j 2 2 2

Son dos polos complejos conjugados, por tanto se puede escribir:

-3-28-

Dinámica de Sistemas X (s ) =

A  3 15  s + + j  2 2  

+

B  3 15 s + −  2 2 

 j  

calculando los residuos    3 15 A =  s + +  2 2  

   −3  j     s + 3 + 15  s + 3 − 15 j    2 2  2 2   s = − 3 −  2

A=

=

3 15 j

15 j 2

− 15 − 15 3j = j 15 5

y    3 15 B =  s + −  2 2  

   −3  j    s + 3 − 15 j  s + 3 + 15 j    2 2  2 2   s = − 3 +  2

B=

15 j 5

así 15 j 5 + X (s ) =  3 15   j  s + s + + 2    2 −

15 j 5 3 15  j − 2 2 

dado que:   15 3   − j 15 −  2 + −1   5 L =− e  3 5 15    s + + j  2     2 y que

-3-29-

15 2

 j  t 

=− 15 j 2

3 15 j = 5 15 j

Dinámica de Sistemas   −1  L   s +  

 15 3  j − −  = 15 e  2 5 5 3 15   − j  2 2  

15  j  t 

2

el resultado es: X (t ) =

3 15  − 2 t  j e e 5   

15 2

jt

−e

−

15 2

jt

  

como e jx − e − jx = 2 jsenx ; la solución es: x(t ) = −

3

2 15 − 2 t 15 e sen t 5 2

A esta misma solución se puede llegar aplicando las herramientas de cálculo simbólico de MATLAB. Para ello en primer lugar hay que definir los elementos simbólicos que se utilizarán: s=sym('s'); t=sym('t'); después se introduce la función a invertir f=-3/((s^2+3*s+6)); y se calcula la transformada inversa g=ilaplace(f); para ver el resultado de forma más estética se utiliza el comando pretty: pretty(g) 1/2

1/2

1/2

1/5 (-15) (exp((-3/2 + 1/2 (-15) ) t) - exp((-3/2 - 1/2 (-15) ) t)) solución que coincide con la obtenida anteriormente. Si se quisiera obtener una representación gráfica bastaría con hacer: x=0:0.01:10; y=subs(g,x,t); plot(x,y) la gráfica obtenida es:

-3-30-

Dinámica de Sistemas 0.1

0

-0.1

-0.2

-0.3

-0.4

-0.5

-0.6

-0.7

Figura 3.10.

0

1

2

3

4

5

Representación gráfica de la solución a la ecuación diferencial

Hay que señalar que se trataba de solucionar una ecuación homogénea, la solución que se ha obtenido se corresponde con una respuesta libre. En el caso de tratarse de una ecuación no homogénea habría que añadir la respuesta forzada que se calcularía a partir de la función de transferencia.

Por tanto, En términos generales

la solución de una ecuación diferencial

involucrará tanto términos debidos a la repuesta libre, cómo términos debidos a la respuesta forzada. En consecuencia puede escribirse de forma general que la solución de una ecuación diferencial LTI aplicando la transformada de Laplace adquiere la forma:  dx d nx  + K Dn ( s ) ⋅ x(t ) = L−1 [G ( s ) ⋅ F ( s )] + L−1  D0 ( s ) ⋅ x(0) + D1 ( s ) ⋅  dt t = 0 dt t =0  

3.4 DIAGRAMAS DE BLOQUES Loa sistemas reales suelen estar formados por distintos subsistemas, cada uno de los cuales presentan sus correspondientes entradas y salidas. Los Diagramas de Bloques constituyen una herramienta gráfica y abreviada de expresar la representación externa un sistema global mediante la ilustración de las relaciones que se establecen entre los subsistemas que lo componen. De esta forma las entrada de ciertos subsistemas se corresponden con la salida de otros y viceversa. El presente apartado está dedicado a obtener diagramas de bloques de los sistemas y a simplificarlos de manera que sea posible obtener la función de transferencia a partir de la función de transferencia de cada uno de los elementos que lo componen.

-3-31-

Dinámica de Sistemas En general un Diagrama de Bloques consiste en una configuración específica de cuatro tipos de elementos: §

Bloques

§

Puntos de Suma

§

Puntos de Toma

§

Flechas que representan la señal de Flujo Unidireccional Bloque

Punto de suma F(s)

X(s)

G(s)

Punto de Toma H(s)

Figura 3.11.

Diagrama de bloques

El bloque representa una operación que se efectúa sobre una señal de entrada para generar la señal de salida. Para el caso de representación de sistemas mediante funciones de transferencia, éstas se sitúan dentro del bloque, con lo que la operación matemática que se efectúa sobre la entrada es el producto. F (s )  → G (s )  → X (s ) Figura 3.12.

X (s ) = F (s ) ⋅ G (s )

Operación con funciones de transferencia

Las cantidades en el dominio del tiempo se escriben en minúsculas; y cuando se usan bloques para las transformadas se escriben en mayúsculas.

3.4.1 Bloques en Cascada Cualquier número finito de bloques en serie se puede combinar algebraicamente por medio de la multiplicación de Funciones de Transferencia es decir la cadena de bloques de la siguiente figura: U (s )  → G1 (s )  → G2 (s )  → G3 (s )  → X (s ) Figura 3.13.

Bloques en cascada

-3-32-

Dinámica de Sistemas es equivalente a U (s )  → G (s )  → X (s ) Figura 3.14.

Bloque global

con G (s ) = G1 (s ) ⋅ G2 (s ) ⋅ G3 (s )

3.4.2 Bloques en Paralelo Una configuración de bloques como los de la figura P1 X

Y = P1 X ± P2 X

P2

Figura 3.15.

Bloques en Paralelo

puede simplificarse cómo: x → P1 ± P2  → y Figura 3.16.

Bloques en paralelo simplificados

Observe la similitud con la operación algebraica conocida como obtener factor común.

3.4.3 Simplificación de un bucle Es frecuente encontrarse estructura en bucle como la siguiente F(s)

G(s)

H(s)

Figura 3.17.

Diagrama de bloques de un bucle negativo

-3-33-

X(s)

Dinámica de Sistemas El resultado de esta estructura puede escribirse: X ( s ) = G ( s ) ⋅ (F ( s ) − X ( s ) ⋅ H ( s ) ) . Si se despeja X(s) de esta expresión, el bucle puede ser reescrito en la forma

F (s )  → Figura 3.18.

G ( s )1  → X(s) 1 + G (s) ⋅ H (s)

Diagrama de un bucle negativo simplificado

Si el bucle tiene signo positivo:

G(s)

X(s)

H(s) Figura 3.19.

Diagrama de un bucle positivo

se simplifica en la forma:

F (s )  → Figura 3.20.

G ( s )1  → X(s) 1 − G ( s) ⋅ H (s)

Diagrama de un bucle positivo simplificado

Cualquiera de las dos estructuras anteriores puede convertirse en una estructura de realimentación unitaria como la siguiente:

F (s)

Figura 3.21.

1/H

G·H

X (s)

Reducción a un bucle de realimentación unitaria

Es importante

resaltar que cuando

aparece un diagrama con realimentación

unitaria como el mostrado en la siguiente figura:

-3-34-

Dinámica de Sistemas

F(s)

Figura 3.22.

X(s)

G(s)

Diagrama con realimentación unitaria

La simplificación se realiza suponiendo que el boque situado en la realimentación es igual a uno, con lo cual el diagrama queda simplificado en la forma:

F (s )  → Figura 3.23.

G ( s )1  → X(s) 1 − G( s)

Diagrama con realimentación positiva simplificado

3.4.4 Reordenamiento de Puntos de Suma La estructura de adición de las señales X (s ), Y (s ) y W (s ) que se muestra en la figura X(s) Z(s)

W(s) Y(s) Figura 3.24.

Confluencia de señales a un punto de suma

puede expresarse algebraicamente: Z = W ± X ± Y por tanto, puede ser escrita en la forma:

W(s)

Z(s)

X(s) Y(s) Figura 3.25.

Reordenación del punto de suma

-3-35-

Dinámica de Sistemas Ejemplo: Determinar la función de transferencia del sistema mecánico de la figura a partir de un diagrama de bloques

Figura 3.26.

Sistema de masa con resorte y amortiguador ••

A partir de la ecuación de newton m y = F es posible establecer un diagrama original: F(s)

Figura 3.27.

1 m ⋅ s

Y(s)

2

Diagrama de bloques para la masa

La fuerza total aplicada es la suma de la fuerza de entrada, de la fuerza debida al muelle y de la fuerza debida al amortiguador.

El diagrama de bloques que representa al muelle es: Y(s)

Figura 3.28.

-k

Fk(s)

Diagrama de bloques del muelle

El diagrama de bloques que representa al amortiguador es:

Y(s)

Figura 3.29.

− µ⋅s

Diagrama de bloques del amortiguador

-3-36-

Fa(s)

Dinámica de Sistemas El diagrama de bloques general queda:

µ⋅s 1 m ⋅ s2

F(s)

X(s)

k Figura 3.30.

Diagrama de bloques de una masa con resorte y amortiguador

Reordenando los puntos de suma el diagrama de bloques queda:

1 m ⋅ s2

F(s)

X(s)

k µ⋅s

Figura 3.31.

Diagrama de bloques tras reorientar los puntos de suma

Pueden identificarse claramente dos bucles de realimentación. Para simplificarlos se resuelve en primer lugar el bucle más interno, el diagrama queda tal y como se observa en la siguiente figura:

1 m ⋅ s2 + k

F(s)

X(s)

µ⋅s Figura 3.32.

Simplificación del primer bucle

Por último se simplifica el bucle correspondiente a la realimentación del amortiguador obteniendo un bloque final que contiene la función de transferencia:

-3-37-

Dinámica de Sistemas

F(s)

Figura 3.33.

1 m⋅s + k + µ⋅s 2

X(s)

Bloque que contiene la función de transferencia

Como puede comprobarse, el resultado obtenido coincide con la expresión presentada en los ejemplos de la sección anterior.

3.4.5 Superposición de entradas múltiples

Si en un Sistema Lineal están presentes múltiples entradas, de acuerdo al principio de superposición cada una se trata independientemente, de

tal forma que el

comportamiento final del sistema se obtendrá como suma de los comportamientos que tendría el sistema si cada una de las entradas actuará en solitario.

Para simplificar un diagrama con múltiples entradas se procede de la siguiente forma: •

Igualar todas las entradas a cero, excepto una.

•

Simplificar el diagrama de bloques y obtener la función de transferencia respecto de esa entrada.

•

Repetir los pasos anteriores para todas las entradas.

•

Sumar las salidas de los bloques encontrados, cada uno de los cuales está afectado por su correspondiente entrada.

-3-38-

Dinámica de Sistemas

Ejemplo: Encontrar la funciones de transferencia

F1(s)

X (s ) X (s ) ; F1 ( s ) F2 ( s )

X (s)

G1(s) G2(s) G3(s) G4(s)

F2(s)

Figura 3.34.

Sistema con múltiples entradas

En primer lugar se considera F2 = 0 G1(s)

F1(s)

X (s)

G2(s)· G3(s)· G4(s)

Figura 3.35.

Diagrama de bloques para la entrada F1

Obsérvese, que el bucle negativo se ha convertido en positivo debido a que había dos signos menos consecutivos. El bucle obtenido permite escribir una de las funciones de transferencia buscadas: X (s ) G1 (s ) = F (s ) 1 − G1 ( s ) ⋅ G2 ( s ) ⋅ G3 ( s ) ⋅ G4 ( s )

A continuación se considera que F1(s) =0 con lo que el diagrama queda: F2(s)

-G1(s)· G3(s)· G4(s)

X(s)

G2(s) Figura 3.36.

Diagrama de bloques para la entrada F2

Observe, cómo dentro del bloque superior ha aparecido un signo menos. diagrama anterior permite escribir la otra función de transferencia buscada:

-3-39-

El

Dinámica de Sistemas

X (s ) − G1 (s ) ⋅ G3 (s ) ⋅ G4 (s ) = F2 (s ) 1 − G1 (s ) ⋅ G2 (s ) ⋅ G3 (s ) ⋅ G4 (s )

Con lo cual la respuesta del sistema puede expresarse cómo: − G1 (s ) ⋅ G3 (s ) ⋅ G4 (s ) X (s ) G1 ( s ) = ⋅ F1 ( s ) + ⋅ F2 ( s ) 1 − G1 (s ) ⋅ G2 (s ) ⋅ G3 (s ) ⋅ G4 (s ) F2 (s ) 1 − G1 ( s ) ⋅ G2 ( s ) ⋅ G3 ( s ) ⋅ G4 ( s ) Que como diagrama de bloques queda: F1 ( s )

X (s ) F1 (s ) X (s )

F2 ( s ) Figura 3.37.

X (s ) F2 (s )

Diagrama de bloques con múltiples entradas simplificado.

3.5 MODELO DE ESTADO Y FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA: MATRIZ DE TRANSFERENCIA En el tema anterior se describió una técnica para escribir un modelo de estado a partir de una ecuación diferencial. No obstante, no se consideró la posibilidad de que ésta involucrase derivadas de la señal de entrada.

En esta sección se resuelve este

problema haciendo uso de algunas propiedades de los diagramas de bloques y de las funciones de transferencia. Generalmente, la obtención de un modelo de estado a partir de una función de transferencia toma el nombre de realización. existen distintas técnicas de realización: directa, en paralelo, encascada, etc. Aquí se desarrolla de forma gráfica la realización en cascada.

Se utiliza un ejemplo para demostrar el método. Considere el sistema representado por la ecuación diferencial: d2y dy df + 3 + 1 = 2 + f (t ) 2 dt dt dt

-3-40-

Dinámica de Sistemas

Es posible representar este sistema mediante el diagrama de bloques:

F1 ( s )

Figura 3.38.

2⋅ s +1 s + 3⋅ s +1

Y (s )

2

Diagrama de bloques

este diagrama puede rescribirse en la forma:

F1 ( s )

1 2 s + 3⋅ s +1

X (s )

2⋅ s +1

Y (s )

Lo cual puede ser expresado como dos ecuaciones en la forma: d 2x dx dx + 3 + 1 = f (t ) ; 2 + x = y 2 dt dt dt

Estas dos ecuaciones pueden ser transformadas en un modelo de estado donde x y dx son las variables de estado siendo y la variable de salida: dt

dx x1 = x ; x2 = ; dt

•   0 1   x1  0  x• 1  =   ⋅   +   ⋅ f (t ) ;  x 2  − 1 − 3  x2  1 

x  y = [1 2] ⋅  1  + [0] ⋅ f (t )  x2 

3.5.1 Paso de modelo de estado a función de transferencia: la matriz de transferencia

Una vez se ha detallado el método para transformar una función de transferencia en modelo de estado, se describe a continuación un método para encontrar una función de transferencia, o matriz de transferencia si se trata de un sistema con mas de una salida, a partir de un modelo de estado. -3-41-

Dinámica de Sistemas Supóngase un modelo de estado en la forma: r dx (t ) r r = A ⋅ x (t ) + B ⋅ u ( t ) dt vy (t ) =C ⋅ xr (t ) + D ⋅ ur (t ) Se desea obtener una representación externa que vincule el vector de salida con el vector de entrada. Para ello, se aplicará la transformada de la place a ambas expresiones: r r r s ⋅ X (s ) = A ⋅ X (s) + B ⋅U (s) r r r Y ( s ) =C ⋅ X (t ) + D ⋅ U ( s )

Despejando de la primera ecuación el valor de X(s) : r X (s) =

r B ⋅ U (s) ( s·I − A)

donde I representa la matriz identidad de la misma dimensión que A. Sustituyendo el valor de X(s) en la segunda ecuación: r r Y ( s ) = C ⋅ ( s·I − A) −1 ·B + D ·U (t )

[

]

Observe que esta expresión define una relación entre las entradas y las salidas en la r r forma: Y ( s ) =[G ( s )] ·U (t ) donde [G (s )] está definida según:

[G( s)] =[C ⋅ ( s·I − A)−1·B + D] [G(s)] se denomina matriz de transferencia. Está claro que si la salida es un vector de m componentes, y la entrada un vector de p componentes la matriz de transferencia es de orden m·p . La fila k de la matriz de transferencia contiene las funciones de transferencia de la salida k respecto de cada una de las p entradas. Si la salida es una sola función, es decir se trata de una sola salida, no de un vector, la matriz de transferencia será de dimensión 1·p y contendrá las funciones de transferencia de dicha salida respecto de cada una de las entradas ,si solo hay una entra la matriz de transferencia será de orden 1·1 y solo contendrá una función de transferencia.

-3-42-

Dinámica de Sistemas Ejemplo: Encontrar la matriz de transferencia para las salidas definidas en el siguiente modelo de estado:  x&1  0 1  x1  0  x  = 0 0 ⋅  x  + 1 ·u (t )   2    &2    y1  1 0  x1  0  y  = 0 1 ⋅  x  + 0·u (t )   2    2  Solución: Se calcula la matriza s·I-A  s 0 0 1  s − 1 s⋅I − A =  − =  0 s  0 0  0 s  Se obtiene la matriz inversa: *  s − 1  s 0 Adj T 0 s  1 s  Adj[s ⋅ I − A]   = = = 2  2 det[s ⋅ I − A] s s T

[sΙ − A]−1 *

a b   d − c → adj ( H ) =  Recuerde que si H =    c d  − b a 

[

]

Calculando: [G ( s )] = C ⋅ ( s·I − A) −1·B + D :  s 1 1 0 0 s  0 0 [G( s)] = ·  2  ·  +   0 1  s 1  0 1  2 [G( s)] =  s  1   s 

Por tanto es posible escribir: 1  2 [Y (s)] =  s ·U (s) 1   s 

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Dinámica de Sistemas Observe cómo al calcular [G(s)] es necesario invertir la matriz s·I-A y por lo tanto calcular su determinante. Dicho determinante resulta ser un polinomio en s, que finalmente dividirá a todos los términos de la matriz de transferencia. Es decir, dicho determinante coincide con el cociente de todas las funciones de transferencia y por tanto se trata de la ecuación característica del sistema. Finalmente, es muy importante destacar que las raíces de dicho polinomio coinciden con los autovalores de A y con los polos las funciones de transferencia, por tanto, dado un modelo de estado, es posible conocer sus polos, simplemente calculando los autovalores de la matriz A.

3.6 Métodos numéricos, simulación La integración no analítica de ecuaciones diferenciales puede realizarse de distintas formas. En tiempos en los que aún no estaban desarrollados los microprocesadores, se utilizaban técnicas de integración analógica. Estas técnicas consistía en desarrollar circuitos electrónicos cuya ecuación diferencial era equivalente a la del sistema que se deseaba estudiar. El desarrollo de los computadores propició la aplicación de los métodos numéricos que hasta entonces habían sido aplicados mediante lápiz, papel

y mucho

meticulosidad. La aplicación de técnicas numéricas es hoy en día el método más comúnmente utilizado para la simulación de procesos en los que se ven involucraos modelos de sistemas lineales y no lineales. Estos métodos permiten integrar el modelo matemático, obteniendo la evolución temporal de la función incógnita sin necesidad de disponer de una expresión analítica que la defina. La integración mediante métodos numéricos se basa en la aplicación de un algoritmo específico que convierte el modelo basado en ecuaciones diferencial en un modelo basado en ecuaciones en diferencias. La solución

se obtiene utilizando

operaciones iterativas. El tiempo se discretiza y las iteraciones terminan cuando se complete el intervalo de tiempo que se desea simular. En consecuencia, el resultado será una serie temporal de valores x(t) que aproxima los valores que toma la señal incógnita a lo largo de una secuencia de instantes determinados: [t0, t1.... tf] -> tiempo discretizado [x(t0), x(t1)... x(tf)] -> señal incógnita -3-44-

Dinámica de Sistemas Como se detallará más adelante, para la simulación numérica de un sistema dinámico es especialmente útil la representación mediante modelo de estado, ya que el problema se reduce a resolver ecuaciones diferenciales de primer orden.

Al igual que con los métodos analíticos, una correcta simulación numérica requiere de la especificación completa de las condiciones iniciales y de las señales de entrada. Este echo será de gran importancia a la hora de elaborar el diagrama de flujo del algoritmo de simulación.

3.6.1 Algoritmo para la simulación de sistemas dinámicos Los algoritmos clásicos de integración permiten encontrar la serie x(t) que cumple: x(t ) =

∫ f (t )

Estos métodos se basan en la estimación de la pendiente de la función incógnita dx en el intervalo definido por el paso de integración [t0, t0 + h ] . dt [t 0 , t 0 + h ] De esta forma el valor de la función en el siguiente instante de tiempo se estima en la forma: x(t0 + h) = x(t0 ) + h

dx dt [t0 ,t0 + h ]

donde h se denomina paso de integración. Los diferentes métodos de integración se caracterizan por la forma en que se estima el valor de

dx dt [t 0 , t 0 + h ]

El primer problema que se plantea para la integración del modelo de un sistema dinámico se encuentra en el tipo de modelo utilizado. Habitualmente los modelos se expresan mediante ecuaciones diferenciales de orden mayor que uno, mientras que, como ya se ha indicado, los algoritmos realizan la integración de ecuaciones de primer orden. Este contratiempo se supera gracias a la transformación de la ecuación diferencial de orden n en un modelo de estado de n variables. Como se ha aclarado en capítulos anteriores, un modelo de estado representa una ecuación diferencial matricial de primer orden, lo que significa que los métodos de integración numérica pueden aplicarse sin problema. En efecto, si el modelo de estado viene dado en la forma:

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Dinámica de Sistemas

 x1   f1 ( x1 ,L, x1 , g1 ,L g m )  M=  M      xn   f 2 ( x1,L, x1 , g1 ,L g m ) donde g1...gm representan m posibles entradas, la integración de dicho modelo se realiza aplicando a cada una de las variables el método de integración elegido. La pendiente de cada una de las variables de estado se calcula de acuerdo con: dxi = f i ( x1 ,L, x1 , g1 ,L g m ) dt Una primera tentativa de integración ( que coincide con el método de Euler) es hacer: xi (t + h) = xi (t ) + h ⋅ f i El algoritmo que se muestra en la figura 3.39 representa una estrategia para la integración del modelo de estado referido anteriormente. En primer lugar hay que fijar las condiciones iniciales y tener definido el valor de las entradas en cada uno de los instantes de integración. En cada iteración las condiciones iniciales serán los valores obtenidos en la iteración anterior, con lo cual, en cada paso de integración hay que actualizar tanto dichos valores como la variable tiempo. El método de integración evalúa las distinta funciones fi y calcula el valor de cada una de las variables de estado para el siguiente instante de tiempo. El Algoritmo finaliza cuando t alcanza el valor tf. En el próximo apartado se comentan algunas de las características más destacables de los principales métodos de integración.

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Dinámica de Sistemas

Figura 3.39.

Algoritmo de integración numérica de un modelo de estado

3.6.2 Algoritmos de integración Los distintos algoritmos de integración se diferencian en la forma en que estiman dx . El algoritmo más sencillo conocido es el de Euler. Como se indicó en el dt [t 0 , t 0 + h ] apartado anterior mediante esta técnica la pendiente se estima a partir del modelo de estado en la forma: dxi = f i ( x1 ,L, x1 , g1 ,L g m ) dt En el caso de tratarse de un modelo lineal, el algoritmo de integración de Euler permite encontrar una expresión matricial en diferencias con solo considerar que:

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Dinámica de Sistemas .

x(t ) = A ⋅ x(t ) + B ⋅ g (t ) por lo que se puede escribir una expresión discreta en la forma: x (t + h ) = [I + h ⋅ A] ⋅ x (t ) + B ⋅ g (t ) Si se desea realizar una integración que aplique el método de Euler con un error admisible, hay que utilizar pasos de integración muy pequeños, lo que en determinadas ocasiones supone un aumento de la carga computacional. Cabe citar como mejora de esta técnica el llamado método de Euler hacia atrás y una combinación de ambos, denominado algoritmo trapezoidal. Otra técnica muy utilizada para integrar sistemas lineales es el método de la exponencial de una matriz. Como se ha detallado en secciones anteriores, la solución de la integración de una modelo de estado lineal para un tiempo inicial distinto de cero, puede obtenerse según la expresión: t r r r x (t ) = e A(t −t0 ) x (t0 ) + ∫ e A( t −τ ) B ⋅ u (τ )dτ t0

Si se desea obtener una solución basada en esta expresión es conveniente transformar el modelo lineal según se describe a continuación. Para cierto tipo de entradas (entradas constantes a tramos o continuas y lineales a tramos) el modelo lineal puede ser expresado en la forma: ·

z (t ) = A ⋅ z ( t ) En efecto, el modelo: . 1 0 0  x= ⋅x +  ⋅ f  − 1 − 1 1

sometido a una entrada constante (como es el caso de la función escalón), puede ser escrito en la forma: 1 0 0  z ( t ) = − 1 − 1 1 ⋅ z ( t )   0 0  0 .

con z3(0)=1, donde z contiene al vector de estado y una variable auxiliar para generar la entrada. En este caso como B = 0, la solución puede expresarse como: z (t ) = e A( t −t0 ) z (t0 ) expresión que discretizada queda: z (t + h ) = e A⋅h z (t )

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Dinámica de Sistemas Una evaluación bastante aproximada se obtiene utilizando los tres primeros términos del desarrollo de la exponencial matricial: e At = I + A ⋅ t +

A 2 ⋅ t 2 A3 ⋅ t 3 + 2! 3!

Este método es bastante útil para la integración de sistema lineales cuya entrada puede descomponerse en tramos rectos, aproximándola mediante señales rampa.

Por último, uno de las técnicas de integración más conocida es el método de RugeKuta. En él, el valor de la pendiente de cada variable

dxi dt

se estiman en la [t0 ,t0 + h ]

forma: dxi dt

[t0 ,t0 + h ]

=(k1i+2*k2 i +2*k3 i +k4 i)/6

donde k1i =fi[x1(t) ... xn(t), g1(t) .... gm(t)]; k2i =fi[x1(t)+(k11 /2) ... xn(t)+(k1n/2); g1(t+h/2) .... gm(t+h/2)]; k3i =fi[x1(t)+(k21 /2) ... xn(t)+(k2n/2); g1(t+h/2) .... gm(t+h/2)]; k4i =fi[x1(t)+(k31) ... xn(t)+(k3n); g1(t+h/2) .... gm(t+h/2)]; Este método es de especial interés para la integración de sistemas no lineales. MATLAB aplica versiones mejoradas de este tipo de técnicas en las que se adapta el paso de integración, de forma que el coste computacional se reduce sensiblemente.

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