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TEMA 4 DERIVADAS. APLICACIONES A LAS DERIVADAS 3.1 DERIVADAS Definición: Llamamos derivada de la función f(x) en el punto x = a al límite, si existe:

f ( a  h)  f ( a ) h

f ' (a )  lim

h  0

Observación: Si el límite anterior no existe, entonces diremos que f(x) no es derivable en x = a. Definición: Función derivada: f ' ( x)  lim

h  0

f ( x  h)  f ( x ) h

Ejemplo: Demuestra que la derivada de f(x)= x2 es f ‘ (x) = 2x a partir de la definición:

x  h   x 2  lim x 2  2 xh  h 2  x 2  lim h2 x  h   lim 2 x  h  2 x f ( x  h)  f ( x ) f ' ( x)  lim  lim h  0 h  0 h  0 h  0 h  0 h h h h 2

Derivadas laterales: Las derivadas laterales de una función f(x) en un punto de x = a se definen como:

f ' (a  )  lim h  0

f ( a  h)  f ( a ) h

f ' (a  )  lim h  0

f ( a  h)  f ( a ) h

3.2 DERIVABILIDAD Derivabilidad: Una función f(x) se dice que es derivable en el punto x = a si cumple: 1. f(x) es continua en x = a 2. Existe f ' (a )  lim

h  0

f ( a  h)  f ( a ) o bien las derivadas laterales coinciden: f ' (a  )  f ' (a  ) h

IMPORTANTE: Si una función f(x) no es continua en x = a entonces f(x) no es derivable en x = a, es decir una función derivable siempre es una función continua. Ejemplo: 1. Estudia la continuidad y derivabilidad de f ( x)  x  1  2 en toda la recta real.

e x  2. Estudia la derivabilidad de f ( x)  1  x 2 x 

si x  0 si 0  x  1 si x  1

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  1 si x  0   2 x x  3 si x  0, x  3 3. Estudiar la derivabilidad de la función: f ( x)   2 3 x  9 x  2 si x  3  3 3 x 2  1 si x  - 1 4. Calcular los valores de a y b para que la función f ( x)   sea continua y derivable si x  - 1 2ax  b en toda la recta real.

3.3 DERIVADAS ENÉSIMAS 1. Calcula la derivada enésima de f(x) = cos (x)

f  f  f f   f

' (x)  sen(x) ' ' ( x)   cos( x) ' ' ' ( x)  sen( x) ' v ( x)  cos( x) v

Si n es impar tenemos que la derivada es sen(x) y va alternando el signo   Si n es para tenemos que la derivada es cos(x) y va alternando el signo 

( x)   sen( x)

 1k 1 sen( x) si n es impar n  2k  1 ( x)   k Z  1k cos( x) si n es par n 2k e x  ex 2. Calcula la derivada en de f ( x)  2 x x  e e  f ' (x)  2  x e  e x  f ' ' ( x )   2  ex  ex  Si n es impar tenemos que la derivada es e x  e  x   2 f ' ' ' ( x )    x x 2 Si n es para tenemos que la derivada es e  e   v e x  e  x  2 f ' ( x )   2  x  v e  e x f ( x )   2  Por tanto, quedaría: f

n

Por tanto, la derivada enésima: f

n

e x   1 ( x)  2

n 1

ex

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3.4 DERIVACIÓN LOGARÍTMICA. (Expo-pote) Deriva la siguiente función:

f ( x)  x x

 

Ln f ( x)   ln x x  x ln( x) f ' ( x) 1 2. Derivamos a ambos lados de la igualdad:  1·ln( x)  x· f ( x) x 1. Tomamos logarítmos a ambos lados de la igualdad:

3. Despejamos f’(x) y sustituimos la expresión f(x) por la dada.

1 1   f ' ( x)  1·ln( x)  x· · f ( x)  1·ln( x)  x· ·x x  x x ln( x)  x x x x  

3.5 RECTA TANGENTE Interpretación geométrica de la derivada: La derivada de la función f(x) en el punto de abscisa x = a es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto (a, f(a)). Es decir, f ' ( x )  m Siendo m la pendiente de la recta tangente de f(x) en x = a. Ecuación de la recta tangente de f(x) en x = a: f ( x)  f (a )  f ' (a ) x  a  Nota: El punto x = a es el punto de tangencia. Observación: -

Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente Una recta tiene pendiente horizontal en los puntos donde se anula la primera derivada, es decir,

-

Los puntos de inflexión son los que anulan la segunda derivada: f ' ' ( x )  0

f ' ( x)  0

Ejemplos: 1. Probar que al menos existe un punto de la curva f ( x) 

2 x en el que la tangente a esa curva es 2 x

paralela a la bisectriz del primer cuadrante. Calcular dichos puntos y sus rectas tangentes de la función en los puntos calculados. 2. Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva f ( x)  x 2  9 x  1 en los puntos donde las rectas tangentes sean paralelas a la recta 4x-2y+5=0. 3. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva f ( x)  x 3  3 x  2 en los puntos en el que la curva tiene tangente horizontal. 4. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva f ( x)  x 4  3 x 3 en sus puntos de inflexión. _________________________________________________________________________________________________________ Avda. de San Diego, 63 28053 – Madrid Tel: 914781997 – 98 Fax: 914789043 E-mail: [email protected] 3 de 9

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3.5. MONOTONÍA DE UNA FUNCIÓN.EXTREMOS RELATIVOS Monotonía de una función: Crecimiento y decrecimiento de la función  Si f ‘(x) > 0 entonces f(x) es creciente.  Si f ‘(x) < 0 entonces f(x) es decreciente.

Extremos relativos: Los extremos relativos son los máximos y mínimos relativos de la función. Y se obtienen igualando la primera derivada a cero. Primer criterio para saber si es máximo o mínimo relativo x = a: Criterio de la primera derivada.

 f ' (a  )  0  f ( x) tiene en (a, f(a)) máximo relativo   f ' (a  )  0  f ' (a  )  0  f ( x) tiene en (a, f(a)) mínimo relativo   f ' (a  )  0

f’(x) )))

Para saber el signo, se sustituye en la derivada (f’(x)) y para saber la imagen del máximo o mínimo en la función (f(x)).

Se ponen los puntos fuera del dominio y puntos que anulan la primera derivada

Segundo criterio para saber si es máximo o mínimo relativo x = a: Criterio de la segunda derivada

 f ' ' (a )  0  f ( x) tiene en (a, f(a)) míximo relativo   f ' ' (a )  0  f ( x) tiene en (a, f(a)) máximo relativo

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3.6. CURVATURA DE UNA FUNCIÓN.PUNTOS DE INFLEXIÓN Curvatura de una función: Concavidad y Convexidad de una función  Si f ‘‘(x) > 0 entonces f(x) es convexa (Contenta).  Si f ‘’(x) < 0 entonces f(x) es cóncava (Triste). Puntos de inflexión: Los candidatos a puntos de inflexión de una función, se obtienen igualando la segunda derivada a cero. Primer criterio para saber si es punto de inflexión x = a: Criterio de la segunda derivada.

 f ' ' (a  )  0  f ( x) tiene en (a, f(a)) punto de inflexión convexo - cóncavo   f ' ' (a  )  0  f ' ' (a  )  0  f ( x) tiene en (a, f(a)) punto de inflexión cóncavo - convexo   f ' ' (a  )  0 Para saber el signo, se sustituye en la segunda derivada (f’’(x)) y para saber la imagen del punto de inflexión en la función (f(x)).

f’’(x)

Se ponen los puntos fuera del dominio y puntos que anulan la segunda derivada

Segundo criterio para saber si es punto de inflexión x = a: Criterio de la tercera derivada

 f

' ' ' (a)  0  f ( x) tiene en (a, f(a)) punto de inflexión

Ejemplo: Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión de las siguiente función, indicando sus intervalos de crecimiento y decrecimiento:

4  2x 2  x3 a) y  x2 x2  x 1 b) y  ex

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3.7 TRADUCCIÓN DE LAS PROPIEDADES LOCALES AL LENGUAJE MATEMÁTICO:  f (a )  b (es punto de la función)  f ' (a )  0 (es máximo)

1. La función f(x) tiene un máximo relativo en (a, b)  

2. La función f(x) pasa por el punto (a, b)  f (a )  b 3. x =a es raíz de f(x)  f (a )  0 4. La función f(x) tiene un punto crítico o punto singular en x = a  f ' (a)  0

 f ' (a)  m  f (a)  b

5. La función f(x) tiene una recta tangente paralela a y = mx+n en el punto (a, b)   6. La recta tangente a f(x) en el punto x = a es y =mx+n  f ' (a)  m 7. La función f(x) tiene un punto de inflexión en x=a  f '' (a )  0

 f (a)  b

8. La función f(x) tiene un punto de inflexión en (a, b)   9. La función se anula para x = a  f ( a )  0

''  f (a)  0

10. El ángulo que forma la recta tangente en x = a con el eje OX es de α  f ' (a )  tg    m

 f (a)  b  11. La función f(x) tiene un punto singular en (a, b) que no es extremo relativo   f ' (a )  0  f '' (a )  0   f (a)  b 12. La función f(x) tiene un mínimo local en (a, b)   '  f (a)  0 13. La función f(x) tiene tangente horizontal en x = 0  f ' (a )  0 14. La función f(x) corta al eje de abscisas en x = a y además tiene un extremo relativo en dicho punto:

 f (a)  0  '  f (a)  0

15. La función f(x) corta al eje de abscisas en x = a y además tiene un punto de inflexión en dicho

 f (a)  0

punto:  

''  f (a)  0

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Ejemplo: 1. La función f(x) tiene un máximo relativo en (2, 3) 2. La función f(x) pasa por el punto (-1, 5) 3. x = 2 es una raíz de f(x). 4. La función f(x) tiene un punto crítico en x = 3. 5. La función f(x) tiene una recta tangente a 2x + y – 3 = 0 en el punto 3)

(2,

6. La recta tangente a f(x) en el punto x = 1 es y = 2x +1 7. La función f(x) tiene un punto de inflexión en x = 3. 8. La función f(x) tiene un punto de inflexión en (-2, 1) 9. La función f(x) se anula para x = 5. 10. El ángulo que forma la recta tangente en x = 2 con el eje OX es de 45º. 11. La función f(x) tiene un punto singular en (2, 3) que no es un extremo relativo. 12. La función f(x) tiene un mínimo local en (2, -1). 13. La función f(x) tiene tangente horizontal en x = -1 14. La función f(x) corta al eje de abscisas en x = -2 y tiene un extremo relativo en ese mismo punto. 15. La función f(x) corta al eje de abscisas en x = 3 y tiene un punto de inflexión en dicho punto. 1. Dada la función f ( x)  ax  b 

8 calcular a y b de modo que f(x) pase por el punto x

(-2, -6) y

tenga tangente horizontal en el (-2, -6). 2.

Determinar los coeficientes de una función polinómica de tercer grado que tiene un máximo relativo (0, 4) y un mínimo relativo (2, 0)

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3.8 OPTIMIZACIÓN Existen dos tipos de problemas: TIPO 1. En el enunciado nos aparece la función. Son bastante sencillos porque tenemos la fórmula que se debe derivar. En muchos ejercicios aparecen algunos apartados que se deben resolver mediante una ecuación, una inecuación, el cálculo de una imagen ó un límite. TIPO 2. Hay que sacar la función a partir del enunciado del problema. La mayor dificultad radica en la obtención de la función que se pretende optimizar y en la que se suelen utilizar el teorema de Pitágoras, fórmulas de volúmenes y superficies de cuerpos geométricos y figuras planas. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN DEL TIPO 1. Para resolverlos solamente es necesario leer atentamente el enunciado, escribir la fórmula si es necesario realizar alguna operación y utilizar la herramienta correspondiente a la pregunta realizada. Ejemplos: f(t) = t3 - 3t2+ 5. 0  t  6. t = tiempo en años y f(t) = número de socios de una peña deportiva.  ¿Cuántos socios habrá dentro de cinco años? f(5).  ¿Cuándo habrá menos de 20 socios? f(t) < 20;  ¿Cuándo habrá 20 socios? f(t) = 20;  ¿Cuándo hubo menos socios? Mínimo.  ¿Cuándo decreció más el número de socios? Es el mínimo de f’(t).  ¿A qué número de socios tenderá con el paso del tiempo? Será el límite cuando t tiende a infinito aunque en este caso carece de sentido porque no habrá infinitos socios. 1. Se introduce una población de bacterias en un cultivo, de forma que su número sigue la ecuación t P( t )  5000  , donde t mide en horas (t  0). Calcula la población que se introdujo en el 200  t 2 cultivo. ¿A qué hora la tasa de crecimiento es máxima? ¿A qué población tenderá el cultivo con el transcurso del tiempo? 2. La función f(t) = x3 - 9x2 + 24x + 70 indica el porcentaje de rendimiento de un automóvil nuevo durante los cinco primeros años. Determina en qué momento alcanza el máximo rendimiento. Indica en qué momentos decrece el rendimiento e indica el intervalo de tiempo en el que el rendimiento es inferior al 86%.

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PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN DEL TIPO 2. Es necesario hacer varios problemas de optimización para adquirir cierta técnica en su resolución. Es importante hacer un esfuerzo para comprender el planteamiento de los problemas. No existe ningún método para resolverlos porque se pueden utilizar fórmulas diferentes. Es aconsejable conocer el volumen y la superficie de los cuerpos geométricos más comunes y el teorema de Pitágoras y teorema de Tales. En la resolución de los problemas es importante seguir los siguientes pasos: 1. Escribir la función a optimizar dependiendo de una ó de dos variables. (En el enunciado se localiza fácilmente porque es la magnitud que debe ser máxima o mínima). 2. Si la función depende de dos variables, hay que buscar un dato del enunciado que nos permita relacionar las dos variables. (establecer una ecuación con esas dos variables) En ese caso se despeja una de ellas y se sustituye en la función, quedando una función de una sola variable (son aquellas que estamos estudiando en el curso). (Es parecido al método de sustitución en sistemas de ecuaciones). 3. Cálculo del dominio de definición de la función. Es imprescindible tener en cuenta que las longitudes y las distancias deben ser positivas. 4. Calcular el máximo/mínimo relativo de la función según el enunciado. 5. Comprobar cuál es el máximo/mínimo absoluto calculando las imágenes de los candidatos a máximo/mínimo absoluto. (Hay que tener en cuenta el dominio). 6. Valoración crítica del resultado. 1. Una multinacional, de esas que imponen el precio de la materia prima en países de África y América del Sur, quiere sacar al mercado un producto lácteo de cacao y para promocionarlo va a regalar un vaso de cristal de forma cilíndrica por la compra de un paquete de diez unidades. Para ello ha encargado a una empresa que los fabrique de tal forma que tengan una capacidad de 25 cl. y que utilice el menor cristal posible para que sea más barato. Determina las dimensiones del vaso para que tenga el menor cristal posible. 2. Un arquitecto quiere construir un ventanal de cristal azul de p metros de perímetro con forma de sector circular. Determina el radio y el ángulo del mismo para que entre la máxima luz posible. (Alguno de ellos dependerá de p y el ángulo será en radianes). 3. Halla dos números reales positivos que suman 12 de tal forma que el cuadrado de uno por el segundo sea máximo. 4. Determina las dimensiones del cilindro de máximo volumen que se puede inscribir en una esfera de 8 metros de diámetro.

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