Unidad 10. Derivadas. Aplicaciones de las derivadas

UNIDAD 10. DERIVADAS. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 1. TASA DE VARIACIÓN MEDIA. Se llama TASA DE VARIACIÓN MEDIA (TVM) de una función f ( x ) en un intervalo

[ a , b]

al

cociente del incremento de la función ∆f ( x ) = f (b) − f (a ) y el incremento de la variable ∆x = b − a

TVM =

∆f ( x ) f (b) − f (a ) = b−a ∆x

Interpretación geométrica Geométricamente la Tasa de Variación Media de f ( x ) en

[ a, b ]

es la pendiente de la recta

secante a la curva y = f(x) en los puntos A (a , f (a )) y B(b , f ( b)) Si llamamos «h» a la longitud del intervalo

[ a , b] ,

la Tasa de Variación Media de f ( x ) en el

intervalo [ a , a + h ] será: TVM =

Ejemplo 1.

∆f ( x ) f (a + h ) − f (a ) = h h

Calcula la TVM de f ( x ) =

1 en el intervalo [1, 3] x

1 −1 f (3) − f (1) 3 1 −3 −3 1 =− TVM de f ( x ) en [1, 3] = = = = 3−1 2 6 6 2

Ejemplo 2.

2

Calcula la tasa de variación media de la función f ( x ) = x − x en el intervalo

[1, 4 ] TVM =

f (4) − f (1) 12 − 0 = =4 4 −1 3 [1]

Unidad 10. Derivadas. Aplicaciones de las derivadas

2. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Definiciones Llamaremos derivada de f ( x ) en el punto «a», y escribiremos f ' (a ) , al límite cuándo x → a de la TVM de f ( x ) en [ a , x ] . Es decir: f ( x ) − f (a ) x −a x→ a

f ' (a ) = lim

Si llamamos «h» a la diferencia x – a, entonces h = x − a → x = a + h Podemos expresar f ' (a ) de la siguiente forma: f (a + h ) − f (a ) h h→0

f ' (a ) = lim

Interpretación geométrica Geométricamente la derivada de la función f ( x ) en x = a es la pendiente de la recta tangente a la curva y = f ( x ) en el punto de abscisa a.

Ejemplo 3.

Calcula la derivada de la función f ( x ) =

2 en el punto de abscisa x = 1 x

2 2 2 − 2(1 + h ) − f (1 + h ) − f (1) 1+h f ' (1) = lim = lim 1 + h 1 = lim = h h h h→0 h→0 h→0

2 − 2 − 2h − 2h −2 = lim = lim = −2 h→0 h (1 + h) h→0 h (1 + h) h→0 1 + h

= lim

D f (1) = f ' (1) = −2 [2]

Unidad 10. Derivadas. Aplicaciones de las derivadas

Ejemplo 4.

2

Calcula la derivada de la función f ( x ) = 2x − 1 en x = 2 2

f (2 + h ) − f (2) 2 (2 + h ) − 1 − [2 ⋅ 4 − 1] = lim = h h h→0 h→0

f ' (2) = lim

2

2(4 + 4h + h ) − 1 − 7 8 + 8h + 2h 2 − 8 = lim = h h h→0 h→0 lim

8h + 2h 2 h ( 8 + 2h ) = lim = lim = lim (8 + 2h ) = 8 h h h→0 h→0 h→0

D f (2) = f ' (2) = 8

Función derivable en un punto •

Diremos que una función es derivable en un punto x = a si existe la derivada f’(a)

•

Diremos que f(x) es derivable en un intervalo ] a , b [ si existe la derivada de f(x) para todos los puntos del intervalo ] a , b [

Derivadas laterales

( )

f ( x ) − f (a ) = f ' a− x −a x→ a

•

Llamaremos derivada por la izquierda de f(x) en x = a, al límite lim

•

Llamaremos derivada por la derecha de f(x) en x = a, al límite lim

−

( )

f ( x ) − f (a ) = f ' a+ x −a x→ a +

Una función es derivable en un punto si, y sólo si, existe la derivada por la izquierda y por la derecha en dicho punto y ambas coinciden.

3. FUNCIÓN DERIVADA Llamaremos derivada de la función f ( x ) a la función que a cada valor de la variable x le asocia la derivada de f ( x ) en dicho punto. Se escribe f '( x ) y también Df ( x ) f (x + h ) − f (x ) h h→0

Df ( x ) = f '( x ) = lim

Ejemplo 5.

Calculamos la derivada de la función f ( x ) = x

2

f( x + h) − f (x ) ( x + h )2 − x 2 0 = lim = h h 0 h→0 h→0

f ' ( x ) = lim

x 2 + 2xh + h 2 − x 2 2xh + h 2 = lim = lim (2x + h ) = 2x h h h→0 h→0 h →0 lim

[3]

Unidad 10. Derivadas. Aplicaciones de las derivadas D f ( x ) = f ' ( x ) = 2x . 2

También se suele escribir: D( x ) = 2x

Ejemplo 6.

Calculamos la función derivada de f ( x ) = x f ( x + h) − f (x ) x+h − x 0 = lim = h h 0 h→0 h→0

f ' ( x ) = lim

x+h − x = lim h h→0 h→0 lim

( lim h→0

(

x+h − x h

(

)(

x+h + x

x+h + x

)

)=

)2 − ( x )2 = lim x + h − x = lim h ( x + h + x ) h→0 h ( x + h + x ) h→0 x+h

1

Df( x ) = f ' (x ) =

2 x

1

=

x+h + x

. También se puede escribir: D( x ) =

1 2 x

1 2 x

Aplicando la definición a las distintas funciones se obtienen las “Reglas de derivación”

4. REGLAS DE DERIVACIÓN DE FUNCIONES Función

Derivada

K (constante)

0

n

x ; n ∈R

nx

n −1

−1

1 x

x2 1

x

2 x

a ; a >0; a ≠1

a ⋅ ln a

x

e

x

x

e

x

loga x

1 x ln a

ln x

1 x [4]

Unidad 10. Derivadas. Aplicaciones de las derivadas

Función

Derivada

sen x

cos x

cos x

− sen x

1 + tg 2 x =

tg x

1 cos2 x

1

arc sen x

1−x

2

−1

arc cos x

1−x

2

1

arc tg x

1 + x2

Cálculo de la derivada de una función en un punto a partir de la función derivada Para calcular f '(a ) se calcula la función derivada f '( x ) y se sustituye x por a.

Ejemplo 7.

Calcula la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indican a) f ( x ) = x

5

en x = −2

b) f ( x ) = cos x en x =

c) f ( x ) =

1

en x = 3

x2 5

d) f ( x ) = x

a) f ( x ) = x

5

f '( x ) = 5x

π 4

4

en x = 1

en x = −2 4

4

→ f '( x ) = 5 ⋅ (−2) = 5 ⋅ 16 = 80

b) f ( x ) = cos x en x =

π 4

2 π π f '( x ) = −sen x → f '   = −sen   = − 2 4 4 [5]

Unidad 10. Derivadas. Aplicaciones de las derivadas

c) f ( x ) =

f (x ) =

1

en x = 3

x2 1 x2

= x −2 → f ' ( x ) = −2x −3 =

5

4

5

4

d) f ( x ) = x

−2 x3

→ f '(3) =

−2 33

=

−2 27

en x = 1

f(x ) = x = x

45

→ f '(x ) =

4 −1 5 4 4 x = → f ' (1) = 5 5 5 5 x

5. DERIVADAS DE LAS OPERACIONES Derivada de la suma de funciones. La derivada de la suma (resta) de funciones es igual a la suma (resta) de la derivada de las funciones

[f (x ) + g( x )]' = f '(x ) + g'( x ) Derivada del producto de una constante por una función. La derivada del producto de una constante por una función es igual a la constante por la derivada de la función

[k f ( x )]' = k ⋅ f '( x ) Derivada del producto de funciones. La derivada del producto de dos funciones es igual a la derivada del primer factor por el segundo sin derivar más el primer factor por la derivada del segundo.

[f (x ) . g( x )]' = f '( x ) . g( x ) + f( x ) . g '(x ) Derivada del cociente de funciones. La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador sin derivar, menos el numerador por la derivada del denominador y dividido por el denominador al cuadrado. '

 f ( x )  f ' ( x ) ⋅ g( x ) − f ( x ). g'( x )   =  g( x )  [g(x )]2

Derivada de la composición de funciones. Regla de la cadena

[(f o g )(x )]' = g' (f (x )) . f ' (x ) 6. REGLAS DE DERIVACIÓN DE FUNCIONES COMPUESTAS Aplicando la Regla de la Cadena a las Reglas de derivación de funciones, obtenemos la regla de derivación de las siguientes funciones compuestas:

[6]

Unidad 10. Derivadas. Aplicaciones de las derivadas

Función

[f (x )]n ;

Derivada n [ f ( x )]n−1 ⋅ f '( x )

n∈R

−1

1 f(x )

[f(x)]2 1

f (x )

a

⋅ f '( x )

2 f(x)

f(x)

e

⋅ f '(x )

a

f(x )

f(x )

e

⋅ ln a ⋅ f '( x )

f(x)

⋅ f '( x )

log a f(x )

1 ⋅ f '( x ) f ( x ) ⋅ ln a

ln f ( x )

1 ⋅ f '(x ) f(x )

sen f ( x )

f '( x ) ⋅ cos f ( x )

cos f ( x )

− f '( x ) ⋅ sen f ( x )

1

tg f ( x )

⋅ f '( x )

2

cos f (x ) 1 arc sen f ( x )

2

⋅ f '(x )

1 − [f ( x )] −1

arc cos f ( x )

1 − [f ( x )]2

1

arc tg f ( x )

1 + [f( x )]2

[7]

⋅ f '(x )

⋅ f '( x )

Unidad 10. Derivadas. Aplicaciones de las derivadas

EJERCICIOS RESUELTOS Ejemplo 8.

Calcula la derivada de las siguientes funciones potenciales: e) f ( x ) = x f)

5

f ( x ) = 4x

3

3

g) f ( x ) =

x4 5

h) f ( x ) = x

a) f ( x ) = x

5

→ f '( x ) = 5x

b) f ( x ) = 4x c) f ( x ) =

3

3 x

4

4

2

→ f ' ( x ) = 4 ⋅ 3 x = 12 x

= 3 x −4 Antes de derivar expresamos f(x) en forma potencial

4

−5 −5 → f ' ( x ) = 3 ⋅ (− 4 )x = −12 x =

5

4

d) f ( x ) = x = x

→

Ejemplo 9.

2

f '(x ) =

45

− 12 x5

Antes de derivar expresamos f(x) en forma potencial

4 (4 5)−1 4 −1 5 4 4 x = x = = 1 5 5 5 5 5x 5 x

Calcula la derivada de las siguientes funciones polinómicas: 3

2

a) f ( x ) = 5x + 3x − 7x + 1 4

2

b) f ( x ) = −10x + 8x − 4x 5

3

c) f ( x ) = 5x − 13x − 1 3

2

2

a) f ( x ) = 5x + 3x − 7x + 1 → f ' ( x ) = 15x + 6x − 7 4

2

3

b) f ( x ) = −10x + 8x − 4x → f ' ( x ) = − 40x + 16x − 4 5

3

f ( x ) = 5x − 13x − 1 → f ' ( x ) = 25x 4 − 39x 2

Ejemplo 10.

Calcula la derivada de las siguientes funciones:

[8]

Unidad 10. Derivadas. Aplicaciones de las derivadas

1

a) f ( x ) =

x4 3

b) f ( x ) =

x7 5

c) f ( x ) =

2x 9

Primero expresamos f(x) como una función potencial, después aplicamos la Regla de derivación de la función potencial. a) f ( x ) =

1 x

b) f ( x ) =

3 x

c) f ( x ) =

Ejemplo 11.

= x −4 → f ' ( x ) = −4 x −5 =

4

−4 x5

= 3 x −7 → f '( x ) = 3 ⋅( −7) x −8 = −21 x −8 =

7

− 21 x8

5

5 5 − 45 −10 − 45 = x −9 → f ' ( x ) = ⋅ (−9)x −10 = x = 2 2 2 2x 2 x 10 9

Calcula la derivada de las siguientes funciones: a) f ( x ) = 3 x 3 5

b) f ( x ) = x c) f ( x ) =

8

d) f ( x ) =

x

3

3 5

x

2

Primero expresamos f(x) como una función potencial, después aplicamos la Regla de derivación de la función potencial. a) f ( x ) = 3 x = x

3 5

13

b) f ( x ) = x = x

8

3

→ f '(x ) =

53

c) f ( x ) = 5 x = 5x

1 3

3 x

2

5 5 53 2 f ' ( x ) = x (5 3)−1 = x 2 3 = x 3 3 3

→

38

1 (1 3)−1 1 −2 3 x = x = 3 3

→

3 (3 8 )−1 15 −5 8 f '(x ) = 5 ⋅ x x = = 8 8

[9]

15 8

8

x

−5

Unidad 10. Derivadas. Aplicaciones de las derivadas

d) f ( x ) =

Ejemplo 12.

3 5

x

2

= 3x

−2 5

−6  − 2  (−2 5)−1 − 6 −7 5 → f '(x ) = 3 ⋅  = x = x 5 5 7  5  5 x

Calcula la derivada de los siguientes productos: x

a) f ( x ) = e ⋅ x 3

b) f ( x ) = x ⋅ e

x

2

c) f ( x ) = x ⋅ ln x x

d) f ( x ) = e ⋅ sen x Recordemos la Regla de derivación del producto de dos funciones: x

a) f ( x ) = e ⋅ x x

1

x

f '(x ) = e ⋅ x + e ⋅

=

2ex ⋅

( x )2 + e x = 2 x e x + e x = e x (2x + 1)

2 x 3

b) f ( x ) = x ⋅ e

x

2 x 2

2 x

x

3

x

x

(

2 x 3

→ f ' ( x ) = 3 x ⋅ e + x ⋅ e = e x + 3x

2

c) f ( x ) = x ⋅ ln x →

f ' ( x ) = 2 x ⋅ ln x + x 2 ⋅

x

x

)

1 = 2 x ⋅ ln x + x = x (2 + ln x ) x

x

d) f ( x ) = e ⋅ sen x → f ' ( x ) = e ⋅ sen x + e ⋅ cos x = e

Ejemplo 13.

2

x

(sen x + cos x )

Calcula la derivada de los siguientes cocientes: x

a) f ( x ) =

e x

b) f ( x ) =

sen x cos x

c) f ( x ) =

2x + 1 2x − 1

d) f ( x ) =

x −1 x

2

Recordemos la Regla de derivación del cociente de funciones x

a) f ( x ) =

e x

x

→

f '(x ) =

e ⋅x −e x [10]

2

x

=

e

x

(x − 1) x

2

Unidad 10. Derivadas. Aplicaciones de las derivadas b) f ( x ) =

sen x cos x

f '(x ) =

c) f ( x ) =

2 2 1 cos x ⋅ cos x − sen x ⋅ (− sen x ) cos x + sen x = 1 + tg 2 x = == 2 2 cos x cos x cos x

2x + 1 2x − 1

f '(x ) =

2 ⋅ (2x − 1) − (2x + 1)⋅ 2 2

(2x − 1) 2

d) f ( x ) =

Ejemplo 14.

x −1 → x

f '(x ) =

=

4x − 2 − 4x − 2 2

(2x − 1)

(

2

2x ⋅ x − x − 1 x

2

=

) = 2x

2

−4

(2x − 1)2 − x2 + 1 x

2

2

=

x +1 x

2

Calcula la derivada de las siguientes funciones compuestas: a) y = (5x + 3)4 2

b) y = x + 2 c) y = e

sen x

( )

d) y = ln 2x

3

Para calcular la derivada de funciones compuestas tendremos que aplicar la “Regla de la Cadena” a) y = (5x + 3)4 → y' = 4(5x + 3)3 ⋅ 5 = 20(5x + 3)3 La función y = (5x + 3)4 es la composición de una función potencial y una polinómica. 1

2

b) y = x + 2 → y ' =

2

2 x +2

⋅ 2x =

x 2

x +2

2

La función y = x + 2 es la composición de la función raíz cuadrada y una función polinómica. c) y = e

sen x

La función y = e

→ y' = e

sen x

sen x

⋅ cos x

es la composición de la función exponencial y una

función trigonométrica.

[11]

Unidad 10. Derivadas. Aplicaciones de las derivadas

( ) → y' = 2x1

d) y = ln 2x

Ejemplo 15.

3

3

⋅ 6x 2 =

3 x

Calcula la derivada de las siguientes funciones: 2

a) y = sen x b) y =

c) y =

ln 2x x 3

(5x + 1)2

2

a) y = sen x = (sen x )2 → y ' = 2 senx ⋅ cos x = sen 2x

ln 2x b) y = x c) y =

3

2 ⋅ x − ln 2x 1 − ln 2x → y ' = 2x = 2 2 x x

(5x + 1)2 = (5x + 1)2 3

2 10 y' = ⋅ (5x + 1)(2 3)−1 ⋅ 5 = (5x + 1)−1 3 = 3 10 3 3 3 5x + 1 Ejemplo 16.

Calcula la derivada de las funciones a) y = arctg

( x)

b) y = cos (3x + 2) 1 c) y = tg   x

a) y = arctg

( x)

1

→ y' = 1+

( x)

2

⋅

1 2 x

=

1 2 (1 + x ) x

b) y = cos (3x + 2) → y ' = [− sen (3x + 2)]⋅ 3 = −3 sen (3x + 2) 1 c) y = tg   → y = x

 1  1 −1 = ⋅  −  2 1 1 cos 2    x  x 2 ⋅ cos 2   x x

−1 1 D   = D x −1 = (− 1)x −2 = x x2

( )

[12]

Unidad 10. Derivadas. Aplicaciones de las derivadas

Ejemplo 17.

Calcula la derivada de la función f ( x ) =

3x + 1 , en los puntos que se indican: 3x − 1

a) x = 2 b) x = −1 c) x = 0 Calculamos la derivada de f(X) f '(x ) =

3(3x − 1) − (3x + 1)3 2

(3x − 1)

a) f ' (2) = −

Ejemplo 18.

9x − 3 − 9x − 3 2

(3x − 1)

=−

6

(3x − 1)2

6 25

b) f '( −1) = − c) f ' (0) = −

=

6 3 =− 16 8

6 2

(− 1)

=−

6 = −6 1

Calcula la derivada de f ( x ) = cos 2x , en los puntos: a) x =

π 6

b) x =

π 4

Calculamos la derivada de f(x): f ' ( x ) = (− sen 2x )⋅ 2 = −2 sen 2x

π π 3 π =− 3 a) f '   = −2 ⋅ sen 2 ⋅ = −2 ⋅ sen = −2 ⋅ 6 3 2 6 π π  π b) f '   = −2 ⋅ sen 2 ⋅ = −2 ⋅ sen = −2 ⋅ 1 = −2 4 2 4 Ejemplo 19.

Calcula la derivada de f ( x ) = ln

f ' (x ) =

x , en los puntos x = 1 y x = 5 2

1 1 1 ⋅ = x 2 x 2

f ' (1) = 1

f ' (5) =

1 5

[13]

Unidad 10. Derivadas. Aplicaciones de las derivadas

7. DERIVADAS SUCESIVAS Llamaremos segunda derivada de la función f(x) a la derivada de la derivada de f(x). Escribiremos f’’(x) = (f’(x))’ Llamaremos tercera derivada de f(x) a la derivada de la segunda derivada de f(x). Escribiremos f’’’(x) = (f’’(x))’ Así sucesivamente, definiríamos la derivada n-ésima de una función.

Ejemplo 20.

Calcula la segunda derivada de las siguientes funciones: 4

a) f ( x ) = x − 6x

2

2

b) f ( x ) = sen x c) f ( x ) = 2x + 1 d) f ( x ) = cos 2x 4

a) f ( x ) = x − 6x

2 3

•

Calculamos primero la derivada de f(x): f ' ( x ) = 4x − 12x

•

Calculamos la derivada de f’(x): f ' '( x ) = 12x − 12

2

2

b) f ( x ) = sen x

•

Calculamos primero la derivada de f(x): f ' ( x ) = 2 senx ⋅ cos x = sen2x

•

Calculamos la derivada de f’(x): f ' '( x ) = (cos 2x )⋅ 2 = 2 cos 2x

c) f ( x ) = 2x + 1

•

1

Calculamos primero la derivada de f(x): f ' ( x ) =

⋅2

2 2x + 1

=

1 2 2x + 1

=

1 (2x + 1)−1 2 2

(Expreso la derivada en forma potencial porque la voy a derivar)

•

Calculamos la derivada de f’(x): f ' '( x ) = 1 1 (−1 2)−1 ⋅ 2 = − 1 (2x + 1)−3 2 =  −  ⋅ (2x + 1) 2 2 2

−1

(2x + 1)3

d) f ( x ) = cos 2x

•

Calculamos primero la derivada de f(x): f ' ( x ) = [− sen 2x ]⋅ 2 = −2 sen2x

•

Calculamos la derivada de f’(x): f ' '( x ) = [− 2 cos 2x ]⋅ 2 = −4 cos 2x

[14]

Unidad 10. Derivadas. Aplicaciones de las derivadas

Ejemplo 21.

Calcula las derivadas sucesivas de las siguientes funciones polinómicas: 4

a) f ( x ) = x + 5 3

b) f ( x ) = 4x − x

2

2

c) f ( x ) = x − 6x + 3 5

d) f ( x ) = 2x + 3x 4

a) f ( x ) = x + 5 3

•

f '( x ) = 4x

•

f ' ' ( x ) = 12x

•

f ' ' '( x ) = 24x

•

f

•

f (x) = 0

IV

2

( x ) = 24

V

3

b) f ( x ) = x − x

2 2

•

f ' ( x ) = 3x − 2x

•

f ' ' ( x ) = 6x − 2

•

f ' ' '( x ) = 6

•

f

IV

(x) = 0

2

c) f ( x ) = x − 6x + 3

•

f '( x ) = 2x − 6

•

f ' '(x ) = 2

•

f ' ' '( x ) = 0 5

d) f ( x ) = 2x + 3x 4

•

f '( x ) = 10x

•

f ' ' ( x ) = 40x

•

f ' ' ' ( x ) = 120x

•

f ( x ) = 240x

•

f ( x ) = 240

•

f

3 2

iv V

VI

(x ) = 0

Observa que el orden de la última derivada no nula es igual al grado del polinomio. [15]

Unidad 10. Derivadas. Aplicaciones de las derivadas

8. DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD •

Si una función f(x) es derivable en x = a, entonces es continua en x = a

•

Si f(x) no es continua en x = a, entonces no es derivable en x = a

Estudio de la derivabilidad de funciones definidas a trozos Seguiremos los siguientes pasos: 1º) Calcularemos el dominio de definición (Una función no puede ser derivable en los puntos en los que no está definida) 2º) Estudiaremos la continuidad de la función en los puntos donde cambia la expresión de la función: a) Si no es continua en x = a → no es derivable en x = a b) Si es continua en x = a, hay que comprobar si es derivable o no Para calcular la derivada de una función definida a trozos se calcula la derivada de la función en los distintos trozos de la misma.

Ejemplo 22.

Estudia la continuidad y la derivabilidad de la función:  1 si x < 0 f(x ) =   x si x ≥ 0

La función f(x) es continua en ]− ∞ , 0 [ y

] 0, + ∞ [ porque lo son las funciones

que la definen en estos conjuntos. Veamos si es continua en x = 0 Calculamos los límites laterales: lim f ( x ) = lim 1 = 1

x →0−

x →0

lim f ( x ) = lim x = 0

x →0+

x →0

Los límites laterales son distintos → No existe el límite de f(x) cuando x tiende a 0 → f(x) no es continua en x = 0 → f(x) no es derivable en x = 0. Es derivable en ]− ∞ , 0 [ porque existe f’(x) = 0 para todo x ∈ ]− ∞ , 0 [ Es derivable en ] 0, + ∞ [ porque existe f’(x) = 1 para todo x ∈ ] 0, + ∞ [

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