TEMA 4: LAS FRACCIONES

Hasta ahora has trabajado con números naturales, enteros y decimales, pero sigue habiendo situaciones que no podemos expresar con estos números, por ejemplo, cuando decimos: “Medio litro de agua”, “Tres cuartos de kilo de carne”, “Un cuarto de hora”… Para poder expresar estas cantidades necesitamos las fracciones. 1. EL SIGNIFICADO DE LAS FRACCIONES Una fracción es una expresión de la forma dicha expresión llamaremos:

a  numerador b  denominado r

a , en la que a y b son números enteros, con b  0. En b

Para nombrar una fracción se lee primero el numerador y luego el denominador de la siguiente forma:  El numerador se lee con el nombre del número.  El denominador se lee así:  Si es 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 o 9, se lee: medio, tercio, cuarto, quinto, sexto, séptimo, octavo y

noveno, respectivamente.

 Si es 10, se lee décimos, y si es mayor de 10, se lee el numero añadiendo la terminación -avo.

Ejemplo: Fracción

Numerador

Denominador

Lectura

1 3

1

3

Un tercio

2 5

2

5

Dos quintos

7

15

Siete quinceavos

3

10

Tres décimos

5

2

Cinco medios

7 15 3 10 5 2

Ejemplo: Merche está pintando una puerta formada por 5 tablones iguales. Ya ha pintado 2 tablones. ¿Qué fracción representa la parte de la puerta pintada? 2 5

1º ESPA

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Una fracción se puede entender como una parte de la unidad, como un operador o como una división.

1.

La fracción como parte de la unidad Las fracciones expresan las partes iguales en las que se divide un todo que llamamos unidad y cuántas de esas partes se toman. a En la fracción sus términos representan b b número de partes iguales en que se divide la unidad o el todo a número de partes que se toman de la unidad

Ejemplo: En nuestro ejemplo el todo, el rectángulo, lo hemos dividido en doce partes iguales. De estas partes iguales hemos coloreado cinco. La fracción que representa las partes 5 coloreadas es . 12 Ejemplo: Pinta los

9 de este triángulo. 16

Para poder hacerlo es necesario dividir dicho triángulo (que en este ejemplo es la unidad o el todo) en dieciséis partes iguales, como muestra la siguiente figura.

Ahora coloreamos de verde nueve triángulos pequeños.

La parte coloreada representa los

2.

9 de 16

La fracción como cociente La fracción

a , b

expresa el cociente de dos números enteros a y b (a : b). Calculamos su valor

dividiendo el numerador entre el denominador. Ejemplo: Tenemos 28 gominolas iguales para repartir entre 4 niños. ¿Cuántas gominolas le corresponden a cada niño?

1º ESPA

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28 28 : 4 =7 A cada niño le corresponden 7 gominolas 4 Las fracciones que tienen el numerador igual que el denominador son iguales a la unidad, y recíprocamente, el 1 se puede expresar como una fracción en la que coinciden numerador y denominador. 8 8

Ejemplo:  1 ,

3.

3 15 7  1 , 1 ,1  3 15 7

La fracción como operador

Una fracción puede actuar como operador de un número: se multiplica el número por el numerador y se divide entre el denominador (o se divide el número por el denominador y el resultado se multiplica por el numerador). (c  a):b a de c = b

(c:b)·a

3 de 24, se lee, los tres cuartos de veinticuatro. 4 Para calcularlo tenemos que dividir 24 en 4 partes, 24:4, que salen 6 elementos en cada parte y tomamos 3 de esas partes, que harían un total de, 3  6, dieciocho. Ejemplo:

3 3 de 24 → ·24 = (24:4)  3 = 6  3 = 18 4 4

3 de 24 = 18 4

También:

3 3 de 24 → ·24 = (24  3):4 = 72 : 4 = 18 4 4 Ejemplo:

2 2 de 100 → · 100 = (100 : 5)  2 = 20  2 = 40 5 5

Ejemplo: Un albañil, para iniciar una obra, cobra por adelantado los asciende a 2 400 €. ¿Cuánto tenemos que pagarle por adelantado?

2 del presupuesto. Si la factura 3

2 · 2400 2 2 de 2400 : · 2400   1600 3 3 3 Tenemos que pagarle 1 600 € por adelantado

1º ESPA

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2. FRACCIONES EQUIVALENTES Decimos que dos fracciones son equivalentes cuando expresan la misma parte de la unidad, es decir, cuando tienen el mismo valor numérico. Observa:

Las fracciones

1 2  son equivalentes 4 8

Para saber si dos fracciones son equivalentes podemos hacerlo de varias formas:  Realizar los cocientes que representan cada una de las fracciones y comprobando que obtenemos el mismo resultado. Por ejemplo:

3 12 y (ambas valen 1,5) 2 8

 Multiplicando en cruz para ver si resulta el mismo número, es decir, si se cumple que el producto de los extremos es igual al producto de los medios. a c   ad  bc b d Por ejemplo:

? 12 ? 3 12 3  ; 12·2  3·8 ; 24  24   Son equivalentes 8 2 8 2 ? ? 4 12 4 12  ; 4 · 20  5·12 ; 80  60   No son equivalentes 5 20 5 20  Comprobando que hemos obtenido una de ellas multiplicando (o dividiendo) el numerador y denominador de la otra por la misma cantidad. Por ejemplo: :4

12 8

3  Son equivalentes; 2 :4

1º ESPA

·3

4 5

12  No son equivalentes 20 ·4

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2.1. Cómo obtener fracciones equivalentes:

Para obtener fracciones equivalentes a una dada podemos utilizar uno de los métodos siguientes: amplificación y simplificación.  Amplificación: Consiste en multiplicar el numerador y el denominador de la fracción dada por un mismo número Multiplicamos el numerador y 3 Ejemplo: Calcula tres fracciones equivalentes a el denominador por 7. ·3 2 3 3  5 15   2 2  5 10

33 9  23 6

3  2

·3

3 3  7 21   2 2  7 14

Multiplicamos el numerador y el denominador por 5.

3 9 15 21    2 6 10 14

Por lo tanto,

 Simplificación: Consiste en dividir el numerador y el denominador de la fracción dada entre un divisor común a ambos. 42 por simplificación. 28 Los divisores comunes a 42 y 28 son 2, 7 y 14, obtendremos fracciones equivalentes a la dada dividiendo numerador y denominador por dichos números. Dividimos el numerador y el

Ejemplo: Busca fracciones equivalentes a

:2

42  28

denominador por14.

42 42 : 7 6   28 28 : 7 4

42 : 2 21  28 : 2 14

42 42 : 14 3   28 28 : 14 2

:2

Por tanto,

42 21 6 3    28 14 4 2

Dividimos el numerador y el denominador por 7.

Una fracción es irreducible cuando no se puede simplificar. El máximo común divisor del numerador 3 y del denominador es uno, es decir, son primos entre sí. La fracción es irreducible. 2 Para calcular la fracción irreducible equivalente a una fracción dada, se dividen numerador y denominador por su máximo común denominador o se van realizando sucesivas divisiones al numerador y denominador por el mismo número hasta llegar a la fracción irreducible. Ejemplo: Halla la fracción irreducible equivalente a 42 = 2 · 3 · 7

28 = 22 · 7

42 28

m.c.d. (42, 28) = 2 · 7 = 14

42 3 = 28 2 Dividimos el numerador y el denominador por 14.

1º ESPA

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También podemos calcular esta fracción irreducible del siguiente modo: Dividimos el numerador y el denominador por 7.

42 21 3   28 14 2 Dividimos el numerador y el denominador por 2.

La fracción inversa de una fracción dada es otra fracción que tiene por numerador el denominador a b de la primera fracción, y por denominador, el numerador. Fracción inversa de  b a Ejemplo: Fracción

Fracción inversa

5 3 1 4

7= 

3 5 4 4 1 1 7

7 1

9 5



5 9

2.2. Reducción de fracciones a mínimo común denominador Para realizar algunas operaciones con fracciones (sumar, restar, comparar…) es necesario transformar las fracciones dadas en otras equivalentes con el mismo denominador. Reducir a común denominador dos o más fracciones consiste en obtener fracciones equivalentes a ellas que tengan el mismo denominador. La forma más sencilla de calcular el denominador común es hacer el mínimo común múltiplo de los denominadores. Para reducir fracciones a común denominador: 1º Se calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores. 2º Se amplifican todas las fracciones utilizando como denominador el mínimo común múltiplo. Dividimos el denominador común entre el denominador inicial y multiplicamos el cociente obtenido por el numerador. Ejemplo: Reduce a común denominador las siguientes fracciones: 8 = 23

12 = 22· 3

7 21  8 24

m.c.m. (8, 12, 3) = 23.3 = 8 · 3 = 24 2 16  3 24

5 10  12 24 24 : 8 = 3 3 · 7 = 21

1º ESPA

3=3

7 5 2 , y 8 12 3

24 : 12 = 2 5 · 2 = 10

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24 : 3 = 8 8 · 2 = 16

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3. ORDENACIÓN Y COMPARACIÓN DE FRACCIONES Puesto que las fracciones son números podemos ordenarlas o compararlas, decir cuál es mayor o cuál es menor. Nos encontramos tres casos distintos: que las fracciones tengan el mismo denominador, que tengan el mismo numerador o que tengan distinto numerador y denominador  Si dos fracciones tienen el mismo denominador, es mayor la que tiene mayor numerador. Ejemplo:

4 3 1 > > 8 8 8

 Si dos fracciones tienen el mismo numerador es mayor la que tiene menor denominador. 4 4 4 Ejemplo: > > 3 5 7

 Para comparar fracciones con distinto numerador y denominador, se reducen primero a común denominador. La fracción mayor es la que tiene mayor numerador

5 7 y 4 6 Como tienen distinto denominador, calculamos el m.c.m. de 4 y 6:

Ejemplo: Compara las fracciones

4 = 22

6=2·3

m.c.m. (4, 6) = 22 · 3 = 4 · 3 = 12

5 15  4 12

7 14  6 12

Como

15 14  entonces 12 12

5 7  4 6

4. OPERACIONES CON FRACCIONES  Suma y resta:

 Mismo denominador. Para sumar o restar fracciones con el mismo denominador, se suman o restan los numeradores, dejando el mismo denominador. Ejemplo:

5 7 1 5  7 1 11     6 6 6 6 6

 Distinto denominador. Para sumar o restar fracciones con distinto denominador, reduciremos las fracciones a común denominador (mediante el mínimo común múltiplo de los denominadores) y transformaremos los numeradores correspondientes para proceder después como en el apartado anterior. Ejemplo:

5 7 1 45 42 2 45  42  2 85        2 3 9 18 18 18 18 18 m.c.m.(2,3,9) =18 5 45 7 42   2 18 3 18

1º ESPA

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1 9



2 18

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Ejemplo:

5 15 15 15 15  15 0      0 2 4 4 4 4 4

Recuerda:

0 0 a

 Producto:

Para multiplicar fracciones se multiplican el numerador por el numerador y el denominador por el a c ac denominador:   b d bd Ejemplo:

5 2 5 · 2 10 5     6 3 6 · 3 18 9

El producto de una fracción y su inversa es uno: 5 3 5 · 3 15    1 3 5 3 · 5 15

4

1 4  1 4 4

1 7 7  1 7 7

9  5  45     1 5  9  45

 Cociente: Para dividir fracciones se multiplica el numerador de la primera por el denominador de la segunda y el a c ad denominador de la primera por el numerador de la segunda: :  b d bc Ejemplo:

5 2 5  3 15 5 :    6 3 6  2 12 4

Operaciones combinadas con fracciones: Cuando en un ejercicio de operaciones con fracciones se mezclan distintos tipos de operaciones hay que seguir las siguientes reglas de prioridad: 1.- Se calculan los paréntesis y corchetes de dentro hacia fuera. 2.- Se calculan las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha. 3.- Se calculan las sumas y restas de izquierda a derecha. 3 2  7 5  3 2  21 5  3 2  16  3 2 8 Ejemplo:                     4 5 2 6 4 5  6 6 4 5  6  4 5 3 1ºCalculamos la resta



Simplificamos,

16 6



8 3

3 2 8 3 16 3 16 45 64 109          4 5 3 4 15 4 15 60 60 60 3ºEfectuamos la suma

2ºEfectuamos el producto 1º ESPA

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PROPIEDADES DE LA SUMA Y DE LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES Conmutativa

Asociativa

Elemento neutro

Distributiva

Si se cambia el orden de los sumandos, la suma no varía:

Los sumandos se pueden agrupar de diferentes formas sin que varíe el resultado:

El 0 es el elemento neutro de la suma, pues, al sumarlo, el resultado no varía:

(a + b) + c = a + (b + c)

a+0=a

El producto de un número por una suma es la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos:

SUMA

a+b=b+a Ejemplo: 1  2 1  3

1 5  3 6  1  1  1  1 1 5 2 3 3 2   2 6

Ejemplo:

Ejemplo:

 5 7  3 29 3 38 19        3 2 3 2 6 2 6

0

a  (b + c) = a  b + a  c

5 5 5  0 4 4 4

2 5   3 2

5  7 3  5 23 38 19        2 3 2 2 6 6 3

MULTIPLICACIÓN

Si se cambia el orden de los factores, el producto no varía: ab=ba

Los factores se pueden agrupar de diferentes formas sin que varíe el resultado: (a  b)  c = a  (b  c)

El 1 es el elemento identidad de la multiplicación, pues, al multiplicar por él, el resultado no varía:

Ejemplo: 1 1 1   2 3 6  1  1  1  1 1 1 1 2 3 3 2    3 2 6

a1=a Ejemplo:

4  2 1  6 2 6 12         3 5  7 15 7 105 35

Ejemplo:

3 3 3  1  1  4 4 4

2 1 6 2 6 12 4        3  5 7  3 35 105 35 1º ESPA

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Ejemplo:

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7  2 29 29    3 3 6 9

2 5 2 7 5 14 29       3 2 3 3 3 9 4

5. PROBLEMAS CON FRACCIONES Ejemplo: Tenemos dos botellas de agua. La primera contiene 1/3 de litro de agua y la segunda 1/2 de litro de agua. ¿Qué cantidad de agua tenemos? 1 1 23 5    3 2 6 6

Tenemos

5 litros de agua 6

Ejemplo: Se quieren envasar 600 litros de vino Rioja en botellas de 3/4 de litro. ¿Cuántas se necesitarán? 600 :

3 2400   800 4 3

Se necesitarán 800 botellas

Ejemplo: En un centro escolar hay 657 estudiantes. Si el número de chicos es 4/9 del total, ¿cuántos chicos y cuántas chicas hay en el centro? 4 4  657 2628 657    292 9 9 9

657 – 292 = 365

1º ESPA

En el centro hay 292 chicos y 365 chicas

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