LA DERIVADA

Tema 6: LA DERIVADA

Índice:

1. Derivada de una función. 1.1. 1.2. 1.3. 1.4.

Derivada de una función en un punto. Interpretación geométrica Derivadas laterales. Función derivada. Derivadas sucesivas.

2. Derivabilidad y continuidad. 3. Diferencial de una función. 4. Cálculo de derivadas. 4.1. Operaciones con derivadas. 4.2. Derivada de las funciones elementales.

1

1. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN. 1.1.Derivada de una función en un punto. El cálculo de derivadas y diferenciales se desarrolla en el siglo XVII para resolver algunas cuestiones tales como: • Definición de velocidad instantánea. • Cálculo de la ecuación de la recta tangente a una función en un punto. • Máximos y mínimos de una función. Iniciamos el concepto de derivada a partir de la definición de incremento de una función en un punto. Sea f(x) una función real de variable real y . Si tomamos un punto x próximo a x0, el incremento de la variable independiente será:

y el incremento de la función:

Definición: Se llama tasa de variación media al cociente incremental:

Representa la variación media de f(x) en el intervalo [x0 , x] Si f(x) representa el espacio recorrido por un móvil en función del tiempo, la tasa de variación media representa la velocidad media. Si reducimos el intervalo [x0 , x] pasaremos de una variación media a una variación en el punto x0 y llegaremos al concepto de derivada: Definición La derivada de la función f(x) en el punto x0, que se representa como f´(x0), es:

2

Si hacemos el cambio de variable x=x0+h, entonces:

1.2.Interpretación geométrica. Consideremos la función y=f(x) la pendiente de la recta secante a su gráfica en los puntos x0 y x0+h es:

Si vamos aproximando h a cero, la recta secante se aproxima a la recta tangente en x0

La pendiente de la recta tangente será:

La pendiente de la recta tangente a y=f(x) en el punto x0, coincide con el valor de la derivada de f(x) en x0.

3

La ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función y=f(x) en el punto (x0 , y0) es: y − f ( x 0 ) = f ´(x 0 ) ⋅ ( x − x 0 )

La recta normal a la función en (x0,y0) es perpendicular a la recta tangente en el mismo punto, y por tanto, su ecuación será: y − f ( x0 ) = −

1 ⋅ ( x − x0 ) f ´(x 0 )

Ejercicio: Halla la ecuación de la tangente a la curva y = x 2 − x + 3 en el punto x=1 Ejercicio: Halla un punto de la gráfica de y = x 2 + x + 5 en el cual la recta tangente sea paralela a y = 3x + 8 . Ejercicio: Halla una recta que sea tangente a la curva y = x 2 − 2 x + 3 y que forme un ángulo de 45º con el eje de abscisas. 1.3.Derivadas laterales. Si tenemos en cuenta que el cálculo de la derivada de una función en un punto consiste en el cálculo de un límite, éste existirá si los límites por la derecha y por la izquierda coinciden, dándose lugar al concepto de derivadas laterales: Definición: Derivada por la izquierda de f(x) f ´( x0− ) = lim− x → x0

f ( x ) − f ( x0 ) x − x0

Derivada por la derecha de f(x). f ´( x0+ ) = lim+ x → x0

f ( x ) − f ( x0 ) x − x0

Para que una función sea derivable en un punto deben coincidir sus derivadas laterales

4

1.4.Función derivada. Derivadas sucesivas. Si una función f(x) es derivable en todos los puntos de un intervalo I, entonces la función f ´: I → R x → f ´( x )

se llama función derivada de f(x). Si f´(x) es derivable, su derivada se llama derivada segunda de f(x) y se escribe f´´(x). Así sucesivamente se define f´´´(x), f 4) ( x),......, f n) ( x) . También se utiliza la notación Df ( x), D 2 f ( x),......, D n f ( x) . Para obtener la función derivada podemos aplicar directamente la definición: f ´(x) = lim

h →0

f ( x + h) − f ( x ) h

o aplicar las reglas de derivación que veremos en los puntos siguientes. 2. DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD. Puede ocurrir que una función sea continua en un punto y no sea derivable en ese mismo punto (puntos angulosos y puntos de tangente vertical)

Sin embargo: Teorema: Si f(x) es derivable en x0 → f(x) es continua en x0

5

Demostración: Supongamos que f(x) es derivable en x0, tenemos o que que demostrar que lim f ( x 0 + h) = f ( x 0 ) lim [ f ( x 0 + h) − f ( x 0 )] = 0

h →0

h →0

f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) = h ⋅

f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) , tomamos límites cuando h

h→0 f ( x 0 + h) − f ( x 0 )  f ( x 0 + h) − f ( x 0 )  lim [ f ( x 0 + h) − f ( x 0 )] = lim h ⋅ = lim h ⋅ lim  h →0 h →0  h h  h →0 h →0 = 0 ⋅ f ´(x 0 ) = 0

y por tanto f(x) es continua en x0 3. DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN. Dada una función y=f(x), la tasa de variación o incremento de la función en x=a es: ∆y = f (a + h) − f (a )

y su derivada: f ´(a ) = lim

h →0

f ( a + h) − f ( a ) h

Para valores pequeños de h, podemos escribir: f ´(a ) ≈

f ( a + h) − f ( a ) ⇒ f (a + h) − f (a ) ≈ f ´(a ) ⋅ h h

Definición: Se llama diferencial de la función f(x) en el punto x=a al producto f ´(a) ⋅ h . Si se designa como dy, y por analogía tomamos dx=h: dy = f ´(a ) ⋅ dx

Ejercicio: Halla la diferencial de f ( x) = x 2 + 3x + 1 en x=1 Ejercicio: Calcula de forma aproximada, sin usar calculadora el valor de f ( x) = e x para x=0,1 A partir de la definición de diferencial 6

f (a + h) − f (a ) ≈ f ´(a ) ⋅ h → f (a + h) ≈ f (a ) + f ´(a ) ⋅ h

Si tomamos a=0 y h=0,1: f (0,1) = f (0) + f ´(0) ⋅ (0,1) = e 0 + e 0 ⋅ 0,1 = 1,1

El valor verdadero es 1,1051709 (Error del 0,5%) 4. CÁLCULO DE DERIVADAS. 4.1.Operaciones con derivadas. Si f(x) y g(x) son dos funciones derivables, entonces: a) ( f ± g )´(x) = f ´(x) ± g´(x) b) ( f ⋅ g )´(x) = f ´(x) ⋅ g ( x) + f ( x) ⋅ g´(x) f

c)  ´(x) = g 



f ´(x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g´(x) g ( x) 2

, cuando g ( x) ≠ 0

d) Sea a ∈ R ⇒ (a ⋅ f )´(x) = a ⋅ f ´(x) Derivada de una función compuesta. Regla de la cadena: Sean f(x) y g(x) dos funciones tales que f(x) es derivable en x0 y g(x) es derivable en f(x0), entonces:

(g  f )´(x 0 ) = g´( f ( x 0 )) ⋅ f ´(x 0 ) Derivada de la función recíproca: Supongamos que conocemos la derivada de la función f(x), entonces se puede demostrar que: la derivada de su función recíproca f-1(x) es:

( f )´( x) = f ´( f 1 ( x)) −1

−1

7

4.2.Derivadas de las funciones elementales.

.

8

9