La derivada como velocidad de crecimiento • El radio de una esfera crece uniformemente con una velocidad de 2 cm/s.Hallar la velocidad dee crecimiento del área y del volumen de la esfera en el instante en que su radio es de 1 m
4 Ayuda: El volumen de una esfera es V = πr3 y la superficie es S = 4πr2 3 donde r es el radiode èsta. 4 dV dV dr V = πr3 →Por la regla de la cadena = · Si 3 dt dr dt r = r(t) 4 dr dr dV = · 3πr2 · = 4πr2 · dt 3 dt dt
(a)
dV dr es la velocidad de crecimiento del volumen y es la velocidad de dt dt crecimiento del radio dr = 2 cm/s y radio r = 1 m = 100cm Los datos del problema son dt Sustituyendo en la relación (a) tendremos: dV = 4π1002 · 2cm3 /s = 80000 · π cm3 /s dt
S = 4πr2 Si r = r(t)
)
→Por la regla de la cadena
dS dr dS = · dt dr dt
dS dr dr = 4 · 2πr · = 8πr · dt dt dt
(b)
dS dr es la velocidad de crecimiento del área y es la velocidad de crecdt dt imiento del radio dr = 2cm/s y radio r = 1m = 100cm Los datos del problema son dt Sustituyendo en la relación (b) tendremos: dS = 8π100 · 2cm2 /s = 1600 · πcm2 /s dt • El lado de un cubo (tiene las dos tapas) crece uniformemente con una velocidad de 2 cm/s.Hallar la velocidad de crecimiento del área y del volumen del cubo en el instante en que su lado es de 5 cm 1
Ayuda: El volumen de un cubo de lado x es V = x3 y la superficie es S = 6x2 ) dV dx dV V = x3 = · Si →Por la regla de la cadena x = x(t) dt dx dt dx dV = 3x2 · dt dt
(c)
dV dx es la velocidad de crecimiento del volumen y es la velocidad de dt dt crecimiento del lado dx = 2 cm/s y lado x = 5 cm Los datos del problema son dt Sustituyendo en la relación (c) tendremos: dV = 3 · 52 · 2 cm3 /s = 150 cm3 /s dt S = 6x2 Si x = x(t)
)
→Por la regla de la cadena
dS dx dS = · dt dx dt
dS dx = 12x · dt dt
(d)
dx dS es la velocidad de crecimiento del área y es la velocidad de crecdt dt imiento del lado Sustituyendo en la relación (d) los datos tendremos: dS = 12 · 5 · 2cm2 /s = 120cm2 /s dt • La longitud del lado de un cuadrado crece uniformemente a razón de 3 cm/s.Hallar la velocidad de crecimiento del área en el instante en que su lado es de 15 cm Ayuda: la superficie de un cuadrado de lado x es S = x2 ) dS dx dS S = x2 = · Si →Por la regla de la cadena x = x(t) dt dx dt dx dS = 2x · dt dt 2
(d)
dS dx es la velocidad de crecimiento del área y es la velocidad de crecdt dt imiento del lado. dx = 3 cm/s y lado x = 15 cm. Los datos del problema son dt Sustituyendo en la relación (d) tendremos: dS = 2 · 15 · 3 = 90 cm2 /s dt • Sobre un montón cónico de arena, ésta cae a razón de 10 dm3 / min .El radio de la base siempre es constantemente igual a la mitad de la altura. ¿ A qué velocidad crece la altura de la pila cuando ésta tiene 5 dm de altura.? 1 Ayuda: El volumen de un cono es V = πr2 h donde r es el radio de la 3 base y h es la altura. 1 Ã !2 V = πr2 h 1 h 1 3 →V = π h = 12 πh3 Como h 3 2 r= 2 dV dh dV = · Por la regla de la cadena dt dh dt dV 3 1 dh dh = πh2 · = πh2 · dt 12 dt 4 dt Los datos del problema son en la relación (e)
(e)
dV = 10 dm3 / min y altura h = 5 dm.Sustituyendo dt
10 = 14 π · 52 ·
dh dt
Con lo que la velocidad de crecimiento de la altura es 40 8 dh = dm/ min = 2 dt π·5 5·π • La presión barométrica p sufre alteraciones al variar la altura h de acuerdo con la función
3
Ã
!
p c · h = ln donde p0 es la presión normal y c es una constante. A la po altura de 5540 m la presión alcanza la mitad de la normal. Hallar la velocidad de variación de la presión barométrica en función de la altura cuando ésta es de 5540 m. Ã ! Ã ! p p Como c · h = ln → c · h = loge po po p Por la definición de logaritmo; tendremos = ec·h . po Aislando la presión p obtendremos: p = p0 · ec·h
(1)
Derivando con respecto a la altura h; tendremos: dp = p0 · ec·h · c dh dp cuando la altura es de 5540 m. Concluimos que: Nos piden dh Ã
dp dh
!
h=5540 m
= p0 · ec·5540 · c
Como nos indican que si h = 5540 m la presión p = (1) calcularemos el valor de la constante c
(2) p0 sustituyendo en 2
1 = ec·5540 c = − 1 ln 2 p0 c·5540 = p0 · e →2 → 5540 2 Que sustituido en (2) nos dará la velocidad de crecimiento de la presión con respecto a la altura, cuando ésta es de 5540 m. Ã
dp dh
!
h=5540 m
= p0 ·
´ 1 ³ 1 · − 5540 ln 2 ≈ −6. 2558 × 10−5 p0 2
• La ordenada del punto que describe la circunferencia x2 + y 2 = 25 decrece con una velocidad de 1, 5 cm/s. ¿ A qué velocidad varía la abcisa del punto cuando la ordenada llega a ser igual a 4 cm y su abcisa es positiva? 4
)
(
x2 + y 2 = 25 3 → P (3, 4) → x2 + 16 = 25 → x2 = 9 → x = y=4 −3 Si derivamos implicitamente la expresión x2 + y 2 = 25 con respecto a la variable x; tendremos: 2x + 2y ·
dy dy x =0→ = − con y 6= 0 dx dx y
En virtud de la regla de la cadena; sabemos que tuyendo la relación (3) en esta última tendremos:
(3)
dy dx dy = · y sustidt dx dt
dy x dx =− · dt y dt dy Como nos dicen que = −1, 5 cm/s y que el punto es P (3, 4) ; entonces dt podemos concluir dx 3 dx → = 2 cm/s −1, 5 = − · 4 dt dt La velocidad de crecimiento de la abcisa es de 2 cm/s. • La abcisa del punto que describe la circunferencia y 2 = 12x crece con una velocidad de 2 cm/s. ¿ A qué velocidad varía la ordenada del punto cuando la abcisa sea de 3 cm y su ordenada es positiva? )
(
y 2 = 12x 6 → y 2 = 36 → y 2 = 36 → y = → P (3, 6) x=3 −6 Si derivamos implicitamente la expresión y 2 = 12x con respecto a la variable x; tendremos: 2y ·
dy dy 6 = 12 → = con y 6= 0 dx dx y
En virtud de la regla de la cadena; sabemos que tuyendo la relación (4) en esta última tendremos: 6 dx dy = · dt y dt 5
(4)
dy dy dx = · y sustidt dx dt
dx Como nos dicen que = 2 cm/s y que el punto es P (3, 6) ; entonces dt podemos concluir à ! dy 6 dy = ·2→ = 2 cm/s dt P 6 dt La velocidad de crecimiento de la ordenada es de 2 cm/s. • ¿ En qué punto de la elipse 16x2 + 9y 2 = 400 la ordenada decrece con la misma velocidad con que crece la abcisa? Ã
!
Ã
!
dx dy =− Nos piden los puntos de la elipse P (x0 , y0 ) tales que dt P dt P 2 2 Si derivamos implicitamente la expresión 16x + 9y = 400 con respecto a la variable x; tendremos: 32x + 18y ·
dy dy 16x =0→ =− con y 6= 0 dx dx 9y
En virtud de la regla de la cadena; sabemos que tuyendo la relación (4) en esta última tendremos:
(4)
dy dy dx = · y sustidt dx dt
16x dx dy =− · dt 9y dt dx dy Como nos indican en el enunciado que = − ; entonces la relación dt dt que han de verificar los puntos de la elipse es: 16x dy 16x dy = · →1= con y 6= 0 dt 9y dt 9y Se trata de determinar los puntos de la elipse cuya recta tangente tenga una inclinación de 135o .Para calcularlos, resolveremos el siguiente sistema