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Ingenier´ıas: Aeroespacial, Civil y Qu´ımica. Matem´ aticas I. 2010-2011. Departamento de Matem´ atica Aplicada II. Escuela Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla.
Tema 7.- Matrices sim´ etricas reales y formas cuadr´ aticas. 7.1.- Matrices sim´ etricas reales. Diagonalizaci´on. El teorema espectral. 7.2.- Formas cuadr´ aticas. Definici´on y matriz simtrica asociada. Rango y signo de una forma cuadr´atica. Reducciones a suma de cuadrados. Ley de inercia de Sylvester. Clasificaci´on. 7.3.- C´ onicas y cu´ adricas (II). Reducci´on de una c´onica girada. Reducci´on de una cu´adrica girada. 7.4.- Ejercicios. 7.5.- Ap´ endice: MATLAB.
7.1.- Matrices sim´ etricas reales. Las matrices sim´etricas reales constituyen uno de los tipos m´as importantes de matrices para las cuales puede garantizarse la diagonalizabilidad. Adem´as, dicha diagonalizaci´on se puede obtener matrices de paso ortogonales. 10.1.1.- Diagonalizaci´ on. Teorema. Sea A una matriz real sim´etrica. Entonces: (a) Todos los autovalores de A son reales. (b) Si v1 y v2 son autovectores (reales) de A asociados a autovalores distintos λ1 y λ2 , entonces v1 y v2 son ortogonales. Teorema (espectral para matrices sim´ etricas) Sea A una matriz cuadrada real n × n. Son equivalentes: (a) A es sim´etrica. (b) A es diagonalizable mediante una matriz de paso ortogonal, es decir, existe una matriz ortogonal Q tal que Q−1 AQ ≡ QT AQ = D es diagonal. 203
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Tema 7.- Matrices sim´etricas reales y formas cuadr´aticas.
En ese caso, las columnas de la matriz {q1 , . . . , qn } de Q son un conjunto de autovectores de A que forman una Base Ortonormal de Rn y, adem´as, tenemos que 2
A = QDQT =
2
3
6 4
6 76 6 n 56 4
q1 . . . q
λ1 0 . . . 0 0 λ2 . . . 0 .. .. . . . . .. . . 0 0 . . . λn
32 7 7 7 7 5
6 6 6 4
q1T q2T ... qnT
3 7 7 7 5
= λ1 q1 q1T + λ2 q2 q2T + · · · + λn qn qnT . Cada matriz qk qkT es la matriz de la proyecci´on ortogonal sobre el subespacio generado por el correspondiente vector {qk } (es una matriz de rango 1). As´ı, obtenemos la expresi´on A = λ1 q1 q1T + λ2 q2 q2T + · · · + λn qn qnT , que se llama descomposici´ on espectral de A. Esta expresi´on nos da la matriz sim´etrica real A como una combinaci´on lineal de matrices de proyecci´on de rango 1. A la hora de obtener una diagonalizaci´on ortogonal de una matriz sim´etrica real A pueden aparecer dos situaciones distintas: Todos los autovalores de A son simples. En este caso, los autovectores correspondientes tienen que ser ortogonales dos a dos y formar´an una base ortogonal de Rn . Normalizando dichos autovectores (dividiendo cada uno por su norma) seguiremos teniendo autovectores ortogonales que adem´as ser´an unitarios. Una matriz Q que tenga a dichos autovectores ortonormales como columnas ser´a una matriz de paso que diagonaliza A ortogonalmente. La matriz A tiene alg´ un autovalor m´ ultiple. En este caso, cuando calculemos los autovectores asociados a uno de los autovalores λ m´ ultiples, obtendremos una base del espacio propio asociado Nul (A − λI). En general esta base puede no ser una base ortogonal de dicho subespacio. Ortogonalizando primero y normalizando a continuaci´on, tendremos una base ortonormal de autovectores asociados a dicho autovalor m´ ultiple. Haciendo esto con cada uno de los autovalores m´ ultiples y normalizando los autovectores asociados a autovalores simples tendremos una base ortonormal de Rn formada por autovectores de A. Basta considerar una matriz Q cuyas columnas sean los vectores de dicha base para obtener una diagonalizaci´on ortogonal de A.
7.2.- Formas cuadr´ aticas. Una forma cuadr´atica no es otra cosa que la funci´on definida por un polinomio real homog´ eneo de segundo grado en varias variables. Es decir, una funci´on Rn −→ R definida por un polinomio real de varias variables en el que todos los sumandos no nulos son de segundo grado. Por ejemplo, Las funciones definidas por 3x2 −2xy +yz y por −xy +yz +2xz son formas cuadr´aticas. Las funciones definidas por 2x2 − 3x + y 2, −x2 + y 2 + 2 son funciones reales, de varias variables, definidas por polinomios de segundo grado. Pero dichos polinomios no son homog´eneos puesto que hay sumandos que no son de segundo grado. Por tanto, NO se trata de formas cuadr´aticas. Matem´aticas I.
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7.2.- Formas cuadr´aticas.
205 2
las funciones definidas por x2 y, x cos(y), y2x+1 , ... NO son formas cuadr´aticas puesto que ni siquiera est´an definidas por polinomios. Una forma cuadr´atica en dos variables (x, y) ser´a una funci´on de la forma f (x, y) = a11 x2 + 2a12 xy + a22 y 2 donde a11 , a12 y a22 son n´ umeros reales. 7.2.1.- Definici´ on y matriz sim´ etrica asociada. Definici´ on. • Se llama forma cuadr´atica en (x1 , x2 , . . . , xn ) a todo polinomio real homog´eneo de segundo grado en las variables (x1 , x2 , . . . , xn ), es decir a todo polinomio de la forma ϕ(x1 , x2 , . . . , xn ) = a11 x21 +2a12 x1 x2 +· · ·+a22 x22 +· · ·+ann x2n =
n X
akk x2k +
k=1
X
2aij xij
1≤i 0, entonces, para cualquier α ∈ R, α 6= 0 tenemos que ϕ(αx) = α2 ϕ(x) > 0. Adem´as, en este caso, puesto que ϕ(x) > 0, l´ım ϕ(αx) = +∞ α→±∞
y sobre los vectores αx (la recta en Rn que pasa por el origen y tiene a x como vector direcci´on) la forma cuadr´atica puede alcanzar cualquier valor entre 0 = ϕ(0) y +∞ (de hecho cada valor lo alcanza dos veces en dicha recta): "
0 < c < +∞ ⇒
tomando q c α = ± ϕ(x)
#
⇒ ϕ(αx) = c.
Ejemplo.- Consideremos la forma cuadr´atica ϕ(x1 , x2 , x3 ) = 2x21 − 3x22 + x23 . Tenemos ϕ(1, 0, 0) = 2 (=⇒ ϕ(α, 0, 0) = 2α2 ) y ϕ(0, 1, 0) = −3 (=⇒ ϕ(0, β, 0) = −3β 2 ). Por tanto, una vez que conocemos alg´ un punto en el que la forma cuadr´atica alcanza un valor de un determinado signo, podemos determinar puntos donde alcanza cualquier otro valor del mismo signo. Por ejemplo, si queremos determinar alg´ un punto donde se verifique que ϕ(x1 , x2 , x3 ) = 7 bastar´a buscar puntos de la forma (x1 , x2 , x3 ) = α(1, 0, 0) para los cuales Ê
2
ϕ(α, 0, 0) = 2α = 7 ⇐⇒ α = ±
7 . 2
Definici´ on (Signo de una forma cuadr´ atica). n Se dice que una forma cuadr´atica ϕ : x ∈ R −→ ϕ(x) = xT Ax ∈ R y que la matriz sim´etrica A asociada es: (1) Definida positiva si ϕ(x) = xT Ax > 0, ∀x 6= 0, x ∈ Rn . (2) Definida negativa si ϕ(x) = xT Ax < 0, ∀x 6= 0, x ∈ Rn . De forma equivalente, −ϕ(x) = xT (−A)x es definida positiva. (3) Indefinida si existen vectores en Rn para los que ϕ es positiva y otros para los que es negativa. Es decir, ∃v1 ∈ Rn y ∃v2 ∈ Rn tales que ϕ(v1 ) = v1T Av1 > 0 y ϕ(v2 ) = v2T Av2 < 0. (4) Semidefinida positiva si ϕ(x) = xT Ax ≥ 0, ∀x ∈ Rn . (5) Semidefinida negativa si ϕ(x) = xT Ax ≤ 0, ∀x ∈ Rn . De forma equivalente, −ϕ(x) = xT (−A)x es semidefinida positiva. Matem´aticas I.
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Tema 7.- Matrices sim´etricas reales y formas cuadr´aticas.
Nota. Con las definiciones dadas, los casos de formas cuadr´aticas semidefinidas (positiva o negativa) incluyen a los casos de formas cuadr´aticas definidas (positiva o negativa). Para considerar situaciones disjuntas, en la definici´on de forma cuadr´atica semidefinida suele a˜ nadirse que se cumpla ϕ(v) = 0 para alg´ un vector v 6= 0. En caso de no existir tal vector v, siendo semidefinida (positiva o negativa) ser´ a definida (positiva o negativa). En lo que sigue consideramos la definici´on dada m´ as arriba con objeto de simplificar los enunciados.
Observaci´ on.- Dada una forma cuadr´atica ϕ asociada a una matriz sim´etrica A, ϕ(x1 , · · · , xn ) = a11 x21 + · · · + 2aij xi xj + · · · + ann x2n = xT Ax, los coefiecientes aii de los cuadrados (los elementos diagonales de A) son valores que alcanza la forma cuadr´atica en los vectores/puntos can´onicos e1 = (1, 0, . . . , 0), · · · , ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0), · · · , en = (0, · · · , 0, 1) =⇒ .ϕ(ei ) = aii . Por tanto, dichos valores nos dan alguna informaci´on sobre el signo de la forma cuadr´atica. Por ejemplo, si todos los elementos diagonales son positivos a11 , · · · , ann > 0, la forma cuadr´atica no podr´a ser ni definida ni semidefinida negativa; si hay dos elementos digonales de distinto signo, la forma cuadr´atica es indefinida; si alguno de los elementos diagonales es nulo, la forma cuadr´atica no podr´a ser definida negativa ni definida positiva; ··· Definici´ on. El rango de una forma cuadr´atica en Rn se define como el rango de la matriz sim´etrica asociada. Al hacer, en la forma cuadr´atica xT Ax, un cambio de base x = P y (P matriz real no-singular), se obtiene xT Ax = y T (P T AP )y. Es decir al expresar la forma cuadr´atica respecto a la base formada por los vectores columna de P , obtenemos que en las coordenadas y, respecto de dicha base, la forma cuadr´atica tiene asociada la matriz sim´etrica B = P T AP . Puesto que P y P T son matrices que tienen inversa, el rango de B is igual que el rango de A. El estudio del signo y del rango de una forma cuadr´atica arbitraria lo reduciremos a los casos m´as simples posibles. Dichos casos se dan cuando la forma cuadr´atica consiste en una suma de cuadrados o, lo que es lo mismo, la matriz sim´etrica asociada es diagonal. En dichos casos la determinaci´on del rango y del signo es inmediata como se recoge en el siguiente resultado. Proposici´ on.- Sea ϕ : Rn −→ R la forma cuadr´atica
2 6 6 6 n 6 4
ϕ(x) := α1 x21 + α2 x22 + · · · + αn x2n = [x1 · · · x ]
Matem´aticas I.
α1 0 0 α2 .. .. . . 0 0
··· ··· .. .
0 0 .. .
· · · αn
3
2
7 76 76 74 5
x1 .. .
3 7 7 5
.
xn
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7.2.- Formas cuadr´aticas.
209
(1) ϕ es definida positiva ⇐⇒ α1 > 0, α2 > 0, · · · , αn > 0. (2) ϕ es definida negativa ⇐⇒ α1 < 0, α2 < 0, · · · , αn < 0. (3) ϕ es indefinida ⇐⇒ ∃ i, j tales que αi > 0 y αj < 0. (4) ϕ es semidefinida positiva ⇐⇒ α1 ≥ 0, α2 ≥ 0, · · · , αn ≥ 0. (5) ϕ es semidefinida negativa ⇐⇒ α1 ≤ 0, α2 ≤ 0, · · · , αn ≤ 0. El rango de ϕ es el n´ umero de coeficientes αk 6= 0. 7.2.3.- Reducciones a suma de cuadrados. En esta subsecci´on estudiamos c´omo reducir a suma de cuadrados una forma cuadr´atica arbitraria. Es decir, dada una forma cuadr´atica ϕ(x1 , · · · , xn ) = a11 x21 + 2a12 x1 x2 + · · · c´omo obtener un cambio de base x = P y (cambio de variables lineal, P matriz real que tiene inersa) de forma que en las nuevas variables la forma cuadrada se exprese como una suma de cuadrados ϕ(x1 , · · · , xn ) = α1 y12 + α2 y22 + · · · + αn yn2 . As´ı, para cada vector y ∈ Rn tenemos un u ´ nico vector x = P y ∈ Rn y viceversa, y = P −1x ∈ Rn . De esta forma, siendo D la matriz diagonal cuyos elementos diagonales son los coeficientes αk de los cuadrados tenemos que xT Ax = y T (P T AP )y = y T Dy y todos los datos/resultados/... que se obtienen sobre la forma cuadr´atica a partir de su expresi´on en las variables (y1 , · · · , yn ) pueden traducirse a las variables (x1 , · · · , xn ) y viceversa (x = P y, y = P −1 x). Cuando una forma cuadr´atica est´a expresada como suma de cuadrados se dice que est´a en forma reducida (o can´ onica). Definici´ on.- Se dice que dos matrices A y B (cuadradas reales del mismo orden) son congruentes si existe alguna matriz real P no singular tal que B = P T AP . La reducci´on de una forma cuadr´atica a suma de cuadrados se puede hacer de muchas formas distintas puesto que la u ´ nica restricci´on que hemos considerado para la matriz P es que sea no-singular. A continuaci´on describimos dos m´etodos para reducir a suma de cuadrados. Un m´etodo es matricial, consiste en obtener una diagonalizaci´on ortogonal de la matriz A. El otro es polin´omico, consiste en ir reducciendo el problema, paso a paso, a formas cuadr´aticas con una variable menos en cada paso. Teorema (de los ejes principales). Sea A una matriz real sim´etrica, entonces existe un cambio de variables ortogonal x = Qy (es decir, con Q matriz ortogonal) que reduce la forma cuadr´atica xT Ax a suma de cuadrados y T Dy = λ1 y12 + · · · + λn yn2 siendo λ1 , . . . , λn los autovalores (iguales o distintos) de la matriz A. Matem´aticas I.
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Tema 7.- Matrices sim´etricas reales y formas cuadr´aticas.
En dicho caso las matrices A y D son semejantes (Q−1 AQ = D) y congruentes (Q AQ = D) siendo la matriz de paso la misma matriz P cuyas columnas son autovectores de A que forman una base ortonormal de Rn . Los vectores columna de Q se denominan ejes principales de la forma cuadr´atica. T
Ejemplos. (1) Sea ϕ1 la forma cuadr´atica en R2 dada por T
ϕ1 (x) = x Ax =
x1 x2
1 3/2 3/2 −1
x1 x2
= x21 + 3x1 x2 − x22 .
Si obtenemos una base una base ortonormal de R2 formada por autovectores de la matriz A llegaremos a √ √ 13 2 13 2 w1 − w ϕ1 (x) 2 2 2 √ puesto que los autovalores de A son ± 13/2. Por tanto, esta forma cuadr´atica es indefinida (y tiene rango 2). Toda matriz que represente a ϕ1 en alguna base de R2 tendr´a rango 2 y, si la matriz es diagonal, tendr´a un elemento positivo y uno negativo (y obviamente ninguno nulo). ϕ1 (x) = = =
x1 x2 z1 z2
v1 v2
1 3/2 3/2 −1
13/4 0 0 −1
−1 0 0 1
v1 v2
x1 x2 z1 z2
=
=
=
y1 y2 u1 u2
w1 w2
"
√
1 0 0 −13/4
−1 0 0 13/4
y1 y2 u1 u2
13/2 √0 0 − 13/2
#
w1 w2
= ...
(2) Sea ϕ2 la forma cuadr´atica en R2 dada por T
ϕ2 (x) = x Ax =
x1 x2
4 −2 −2 1
x1 x2
= 4x21 − 4x1 x2 + x22 .
Completando cuadrados en la primera variable obtuvimos, en el Tema 3, la reducci´on de ´esta forma cuadr´atica a suma de cuadrados como ϕ2 (x) = y12 , mediante el cambio de variables y1 = 2x1 − x2 , y2 = x2 .
Puesto que los autovalores de A son λ1 = 0 y λ2 = 5, si obtenemos una base ortonormal de autovectores llegamos, por ejemplo, a la expresi´on ϕ2 (x) = 5u22 . Esta forma cuadr´atica es semidefinida positiva (y de rango 1). Toda matriz que represente a ϕ2 en alguna base de R2 tendr´a rango 1 y, si la matriz es diagonal, tendr´a un elemento positivo y otro nulo (y ninguno negativo).
(3) Sea ϕ3 la forma cuadr´atica en R2 dada por
1 −2 x1 = x21 − 4x1 x2 . ϕ3 (x) = x Ax = x1 x2 −2 0 x2 √ Puesto que los autovalores de A son (1 ± 17)/2, podemos obtener, mediante una base ortonormal de R2 formada por autovectores de A, √ √ 1 + 17 2 1 − 17 2 w1 + w2 . ϕ3 (x) = 2 2 T
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7.2.- Formas cuadr´aticas.
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(4) Sea ϕ4 la forma cuadr´atica en R2 dada por T
ϕ4 (x) = x Ax =
x1 x2
0 2 2 0
x1 x2
= 4x1 x2 .
Puesto que los autovalores de A son ±2, podemos obtener la reducci´on a suma de cuadrados ϕ4 (x) = 2w12 − 2w22 . (5) Consideremos la forma cuadr´atica en R3 2
ϕ5 (x) = xT Ax =
x1 x2 x3
6 4
3 2 0 2 2 2 0 2 1
32 76 54
x1 x2 x3
3 7 5
= 3x21 + 2x22 + x23 + 4x1 x2 + 4x2 x3 .
Puesto que los autovalores de A son 5, 2, −1, podemos obtener la reducci´on ϕ5 (x) = 5z12 + 2z22 − z32 . (6) Consideremos la forma cuadr´atica en R3 32
2
3
1 2 1 x1 76 7 6 T ϕ6 (x) = x Ax = x1 x2 x3 4 2 5 3 5 4 x2 5 1 3 2 x3 = x21 + 5x22 + 2x23 + 4x1 x2 + 2x1 x3 + 6x2 x3 . Puesto que los autovalores de A son 0, 4 ± obtener la reducci´on a suma de cuadrados ϕ6 (x) = (4 +
√
√
13(dos positivos y uno nulo), podemos
13)z22 + (4 −
√
13)z32 .
Esta forma cuadr´atica es pues semidefinida positiva (y de rango 2). (7) Consideremos la forma cuadr´atica en R4 2 6 6
ϕ7 (x) = xT Ax = [x1 x2 x3 x4 ] 6 4
0 3/2 0 0 3/2 0 0 0 0 0 0 5/2 0 0 5/2 0
32 7 7 7 5
6 6 6 4
x1 x2 x3 x4
3 7 7 7 5
= 3x1 x2 + 5x3 x4 .
Los autovalores de A son, ±3/2, ±5/2 y por tanto mediante una base ortonormal de R4 formada por autovectores de A podemos obtener 3 3 5 5 ϕ7 (x) = w12 − w22 + w32 − w42 . 2 2 2 2 Esta forma cuadr´atica es, por tanto, indefinida (y de rango 4). Matem´aticas I.
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Tema 7.- Matrices sim´etricas reales y formas cuadr´aticas.
• M´ etodo de Lagrange. (completar cuadrados)
El m´etodo polin´omico que hemos citado se debe, en parte, a J. L. Lagrange. La idea b´asica consiste en completar cuadrados a partir del cuadrado perfecto y los t´erminos cruzados en una de las variables. Cuando esto no sea posible, habr´a que conseguir un cuadrado perfecto utilizando que suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados. Esencialmente la idea es la misma que utiliz´abamos a la hora de completar cuadrados en la ecuaci´on de una c´onica o una cu´adrica para obtener su ecuaci´on reducida. Al completar cuadrados en una forma cuadr´atica habr´a varias posibilidades de elecci´on sobre c´omo hacerlo.
Joseph Louis Lagrange 1736-1813
Antes de describir el m´etodo en forma gen´erica consideremos algunos ejemplos. Ejemplos: (1) Consideremos la forma cuadr´atica en R2 dada por T
ϕ1 (x) = x Ax =
x1 x2
1 3/2 3/2 −1
x1 x2
= x21 + 3x1 x2 − x22 .
Podemos completar el cuadrado en x1 con los t´erminos en los que aparece,
3 x21 + 3x1 x2 = x1 + x2 2 Tenemos
3 ϕ1 (x) = x1 + x2 2
2
2
−
3 2
2
x22 .
3 9 − x22 − x22 = x1 + x2 4 2
2
−
13 2 x. 4 2
Es decir, mediante el cambio de variables y1 = x1 + 32 x2 , y2 = x2 la forma cuadr´atica se expresa como 13 ϕ1 (x) = y12 − y22. 4 Por tanto, la forma cuadr´atica es indefinida puesto que lo es en las coordenadas (y1 , y2 ) (pueden obtenerse f´acilmente puntos d´onde la forma cuadr´atica toma valores positivos y puntos d´onde toma valores negativos). Puesto que la relaci´on entre las variables (x1 , x2 ) e (y1 , y2 ) es uno-a-uno,
y1 y2
=
1 32 0 1
x1 x2
⇐⇒
x1 x2
=
1 32 0 1
−1
y1 y2
,
podremos obtener las correspondientes coordenadas (x1 , x2 ) para las cuales la forma cuadr´atica toma los valores citados. Por ejemplo tenemos ϕ1 (y1 = 1, y2 = 0) = ϕ1 (x1 = 1, x2 = 0) = 1 Matem´aticas I.
y ϕ1 (y1 = 0, y2 = 1) = −
13 . 4
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7.2.- Formas cuadr´aticas.
213
Puesto que en ϕ1 tambi´en aparecen los t´erminos x22 y x1 x2 , podr´ıamos haber optado por completar el cuadrado en x2 :
ϕ1 (x) = x21 + 3x1 x2 − x22 = − x22 − 3x1 x2 + x21
2 3 3 9 = − x2 − x1 + x21 + x21 = − x2 − x1 2 4 2 13 13 = −z22 + z12 = z12 − z22 , 4 4
2
+
13 2 x 4 1
donde al final hemos hecho el cambio z1 = x1 , z2 = x2 − 32 x1 . Si ahora hacemos el cambio √ 13 de Por otra parte, podr´ıamos considerar el cambio de variables u1 = 2 z1 , u2 = z2 obtenemos ϕ1 (x) = u21 − u22 .
Por tanto, hay muchas formas distintas de expresar la forma cuadr´atica como suma de cuadrados. Sin ambargo, siempre que reducimos ϕ1 a una suma de cuadrados, aunque se obtengan coeficientes distintos, aparecen un coeficiente positivo y uno negativo. Este hecho no es casualidad y su expresi´on para una forma cuadr´atica gen´erica se denomina ley de inercia de Sylvester. La expresi´on matricial de la forma cuadr´atica ϕ1 en las distintas variables que hemos considerado es ϕ1 (x) = =
x1 x2 z1 z2
1 3/2 3/2 −1
13/4 0 0 −1
x1 x2 z1 z2
=
=
y1 y2 u1 u2
1 0 0 −13/4 1 0 0 −1
u1 u2
y1 y2
.
(2) Consideremos la forma cuadr´atica en R2 dada por T
ϕ2 (x) = x Ax =
x1 x2
4 −2 −2 1
x1 x2
= 4x21 − 4x1 x2 + x22 .
Podemos completar el cuadrado en x2 , ϕ2 (x) = (x2 − 2x1 )2 . Haciendo el cambio de variables y1 = x1 , y2 = x2 − 2x1 obtenemos ϕ2 (x) = y22. N´otese que tomamos, por simplicidad, y1 = x1 , pero podr´ıamos elegir y1 = αx1 + βx2 con α, β ∈ R, α+2β 6= 0 (para que tengamos realmente un cambio de variables x = P y, es decir, P sea una matriz no singular), y seguir´ıamos obteniendo ϕ2 (x) = y22 . Por tanto, la forma cuadr´atica ϕ2 es semidefinida positiva por serlo en las variables (y1 , y2). Siempre que reduzcamos ϕ2 a una suma de cuadrados obtendremos un coeficiente negativo y un coeficiente nulo. (3) Consideremos la forma cuadr´atica en R2 dada por T
ϕ3 (x) = x Ax =
x1 x2
0 2 2 0
x1 x2
= 4x1 x2 .
En este caso no podemos completar cuadrados ni en la primera ni en la segunda variable (pues no aparecen ni x21 ni x22 ). Sin embargo, s´ı que hay t´ermino mixto (x1 x2 ). Matem´aticas I.
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Tema 7.- Matrices sim´etricas reales y formas cuadr´aticas. En esta situaci´on recurrimos a la idea de transformar el t´ermino mixto en una suma por diferencia, que conseguimos, por ejemplo, mediante el cambio x1 = y1 +y2 , x2 = y1 −y2 : ϕ3 (x) = 4(y1 + y2 )(y1 − y2 ) = 4y12 − 4y22. De esta forma, ya tenemos una suma de cuadrados en la que aparecen un coeficiente positivo y uno negativo. Por tanto, la forma cuadr´atica es indefinida. La relaci´on entre las variables originales y las variables finales es
x1 x2
=
1 1 1 −1
y1 y2
⇐⇒
y1 y2
=
1 1 1 −1
−1
x1 x2
.
(4) Consideremos la forma cuadr´atica en R3 dada por 2
ϕ4 (x) = xT Ax =
x1 x2 x3
6 4
3 2 0 2 2 2 0 2 1
32 76 54
x1 x2 x3
3 7 5
= 3x21 + 2x22 + x23 + 4x1 x2 + 4x2 x3 .
Completamos cuadrados en la variable x1 puesto que aparecen t´erminos en x21 y en x1 x2 :
4 ϕ4 (x) = 3 x21 + x1 x2 + 2x22 + x23 + 4x2 x3 3 2 2 4 = 3 x1 + x2 − x22 + 2x22 + x23 + 4x2 x3 3 3 2 2 2 = 3 x1 + x2 + x22 + x23 + 4x2 x3 . 3 3 Completamos cuadrados en x2 tenemos
2 2 ϕ4 (x) = 3 x1 + x2 + 3 2 2 = 3 x1 + x2 + 3 2 2 = 3 x1 + x2 + 3
2 2 (x + 6x2 x3 ) + x23 3 2 2 (x2 + 3x3 )2 − 6x23 + x23 3 2 (x2 + 3x3 )2 − 5x23 . 3
Finalmente, el cambio y1 = x1 + 32 x2 , y2 = x2 + 3x3 , y3 = x3 nos lleva a 2 ϕ4 (x) = 3y12 + y22 − 5y32. 3 Puesto que hemos obtenido dos coeficientes positivos y uno negativo, esta forma cuadr´atica es indefinida. (5) Consideremos la forma cuadr´atica en R3 dada por 2 6
ϕ5 (x) = xT Ax = [x1 x2 x3 ] 4 Matem´aticas I.
1 2 1 2 5 3 1 3 2
32 76 54
x1 x2 x3
3 7 5
= x21 +5x22 +2x23 +4x1 x2 +2x1 x3 +6x2 x3 .
Ingenier´ıas: Aeroespacial, Civil y Qu´ımica
7.2.- Formas cuadr´aticas.
215
Completamos cuadrados en la variable x1 puesto que aparecen t´erminos en x21 , x1 x2 y x1 x3 : ϕ5 (x) = (x1 + 2x2 + x3 )2 − 4x22 − x23 − 4x2 x3 + 5x22 + 2x23 + 6x2 x3 = (x1 + 2x2 + x3 )2 + x22 + x23 + 2x2 x3 . A continuaci´on completamos cuadrados en la variable x2 (puesto que aparecen t´erminos en x22 y x2 x3 ): ϕ5 (x) = (x1 + 2x2 + x3 )2 + (x2 + x3 )2 = y12 + y22, donde hemos hecho el cambio y1 = x1 + 2x2 + x3 , y2 = x2 + x3 , y3 = x3 . Puesto que hemos obtenido dos coeficientes positivos y uno nulo, la forma cuadr´atica es semidefinida positiva. (6) Consideremos la forma cuadr´atica en R4 dada por 2
ϕ6 (x) = xT Ax =
x1 x2 x3 x4
6 6 6 4
0 3/2 0 0 3/2 0 0 0 0 0 0 5/2 0 0 5/2 0
32 7 7 7 5
6 6 6 4
x1 x2 x3 x4
3 7 7 7 5
= 3x1 x2 + 5x3 x4 .
Puesto que no hay ning´ un cuadrado, necesitamos recurrir a suma por diferencia. Lo hacemos, por ejemplo, mediante el cambio: x1 = y1 + y2 , x2 = y1 − y2 , x3 = y3 , x4 = y4 con lo que ϕ6 (x) = 3(y1 + y2 )(y1 − y2 ) + 5y3 y4 = 3y12 − 3y22 + 5y3y4 .
Ya tenemos suma de cuadrados en las dos primeras variables. Nuevamente, como no hay ning´ un t´ermino al cuadrado en las variables restantes y32 e y42 , necesitamos recurrir a suma por diferencia. Lo hacemos, por ejemplo, mediante el cambio: y1 = z1 , y2 = z2 , y3 = z3 + z4 , y4 = z3 − z4 , y obtenemos ϕ6 (x) = 3z12 − 3z22 + 5(z3 + z4 )(z3 − z4 ) = 3z12 − 3z22 + 5z32 − 5z42 .
N´otese que ambos cambios de variables, en este caso sencillo, se podr´ıan haber hecho simult´aneamente: x1 = z1 + z2 , x2 = z1 − z2 , x3 = z3 + z4 , x4 = z3 − z4 , con lo que habr´ıamos llegado, en un solo paso, al resultado final. Puesto que en la expresi´on como suma de cuadrados hemos obtenidos dos coeficientes positivos y dos negativos (y obviamente ninguno nulo), la forma cuadr´atica es indefinida.
A modo de resumen de lo que hemos hecho en los ejemplos anteriores. Si en una forma cuadr´atica ϕ(x1 , x2 , . . . , xn ) = a11 x21 + 2a12 x1 x2 + · · · + a22 x22 + · · · + ann x2n el coeficiente de uno de los cuadrados x21 , x22 , · · · , x2n es distinto de cero, dicho cuadrado lo podremos completar, si no est´a ya completo, es decir, si aparece en alg´ un otro sumando la Matem´aticas I.
2010-2011
216
Tema 7.- Matrices sim´etricas reales y formas cuadr´aticas.
variable correspondiente. Si por ejemplo a11 6= 0 y hay otros sumandos 2a12 x1 x2 + · · · donde aparece la variable x1 , podemos completar el cuadrado a11 x21 mediante
a11
x21
2a13 2a12 x1 x2 + x1 x3 + · · · = a11 + a11 a11
2
a12 x2 + · · · x1 + a11
2
a12 − x2 + · · · a11
de forma que si desarrollamos el cuadrado anterior obtenemos todos los sumandos de la forma cuadr´atica en los que interviene x1 (el cuadrado perfecto y los productos cruzados) m´as otros sumandos en las restantes variables x2 , x3 , . . . , xn . Es posible que a la hora de completar cuadrados no se disponga de ning´ un cuadrado (que no est´e ya completo) y que s´olo queden productos cruzados. Si por ejemplo tenemos x1 x2 , este producto cruzado lo transformaremos en una suma×diferencia, x1 x2 = (y1 − y2 )(y1 + y2 ) = y12 − y22 y podremos completar alguno de los cuadrados de la diferencia de cuadrados resultante. Este m´etodo, consistente en ir completando cuadradados haciendo cambios de variable en los que en cada paso cambia una (o a lo sumo dos) de las variables, puede esquematizarse como sigue: M´ etodo de Lagrange. (1) Si para alg´ un ´ındice i se tiene aii 6= 0, podemos completar cuadrados con todos los t´erminos que contengan a xi para obtener
Q(x) = aii
n X
aij xj j=1 aii
2
+ ϕ1 (x1 , · · · , xi−1 , xi+1 , · · · , xn )
donde ϕ1 es una nueva forma cuadr´atica con n − 1 variables a la que se le vuelve a aplicar el proceso. El cambio de variables que se utiliza es 8 > < > :
n X
aij xj j=1 aii yj = xj para j = 6 i. yi =
(2) Si a11 = a22 = · · · = ann = 0, elegimos un coeficiente aij 6= 0 (si todos fueran cero tendr´ıamos ϕ(x) ≡ 0 y no habr´ıa nada que reducir). Haciendo el cambio de variables 8 > < > :
xi = yi + yj xj = yi − yj xk = yk para k 6= i, j,
obetenemos dos cuadrados que podemos completar pasando de nuevo al caso (1), pues 2aij xi xj = 2aij yi2 − 2aij yj2. 7.2.4.- Ley de inercia de Sylvester. Clasificaci´ on. Cuando se completan cuadrados en una forma cuadr´atica, la elecci´on de los pasos a seguir no es u ´ nica. Puede elegirse entre completar cuadrados en una variable o en otra. En Matem´aticas I.
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7.2.- Formas cuadr´aticas.
217
algunos de los Ejemplos (1) a (6) que hemos visto antes, se han completado cuadrados de dos maneras distintas para una misma forma cuadr´atica, obteniendo como resultado final una suma de cuadrados con coeficientes posiblemente distintos. A pesar de que puedan obtenerse coeficientes distintos, las dos expresiones finales como suma de cuadrados tienen en com´ un los signos de los coeficientes de los cuadrados. Es decir, si tenemos una forma cuadr´atica, por ejemplo en tres variables, ϕ(x1 , x2 , x3 ) y al reducir (de alguna forma) a suma de cuadrados obtenemos, por ejemplo, 2y12 −5y22 +0y32, entonces, al reducir a suma de cuadrados de cualquier otra forma obtendremos una expresi´on del tipo αz12 + βz22 + γz32 en la que, necesariamente, uno de los coeficientes ser´a positivo, otro ser´a negativo y el otro ser´a nulo. Este hecho de conservaci´on de los signos en cualquiera de las reducciones a sumas de cuadrados es lo que expresa la llamada ley de inercia de Sylvester. Adem´as dichos signos tienen que coincidir con los signos de los autovalores de la matriz sim´etica asociada, contando cada uno seg´ un su multiplicidad. Teorema. (Ley de inercia de Sylvester) Sea A una matriz sim´etrica real y ϕ(x) = xT Ax la forma cuadr´atica asociada. a) Al reducir ϕ a suma de cuadrados se obtienen tantos coeficientes positivos, negativos y nulos como autovalores positivos, negativos y nulos, respectivamente, tenga A, contando las correspondientes multiplicidades. b) Si D1 es una matriz diagonal congruente con A (existe una matriz no-singular P1 tal que P1T AP1 = D1 ), en la diagonal de D1 hay tantos elementos positivos, negativos y nulos como autovalores positivos, negativos y nulos, respectivamente, tenga A, contando las correspondientes multipliciJames Joseph Sylvester dades. 1814-1897 Observaciones. (a) Se suele llamar inercia de una matriz sim´etrica (real) A y de la forma cuadr´atica asociada ϕ(x) = xT Ax a la terna (pos, neg, nul) de coeficientes positivos (pos), negativos (neg) y nulos (nul) respectivamente que aparecen en una (cualquier) reducci´on de ϕ a suma de cuadrados. (b) Se verifica que • pos + neg + nul = n = orden de A y • pos + neg = rango(A). La primera igualdad es obvia y la segunda se basa en que cuando una matriz se multiplica (por la derecha o por la izquierda) por una matriz que tiene inversa el rango no cambia. (c) En relaci´on con las formas cuadr´aticas (y las matrices sim´etricas reales) tambi´en suele usarse el concepto de signatura (que nosotros no utilizaremos) signatura = pos − neg.
De esta forma, dar la terna (rango, signatura, orden) es equivalente a dar la inercia (de una se puede deducir la otra). Matem´aticas I.
2010-2011
218
Tema 7.- Matrices sim´etricas reales y formas cuadr´aticas.
(d) Para la determinaci´on del signo puede no ser imprescindible hacer la reducci´on a suma de cuadrados. Ya hemos visto que los elementos diagonales de A son valores que alcanza la forma cuadr´atica y, por tanto, aportan cierta informaci´on sobre su signo. M´as informaci´on puede obtenerse cuando en la expresi´on de ϕ(x1 , . . . , xn ) anulamos ciertas variables. Por ejemplo, si tomamos x3 = · · · = xn = 0 tenemos la forma cuadr´atica en dos variables (x1 , x2 ) dada por ϕ1 (x1 , x2 ) = ϕ(x1 , x2 , 0, · · · , 0). La informaci´on que podamos obtener sobre dicha forma cuadr´atica ϕ1 , o sobre varias formas cuadr´aticas del mismo tipo, permite deducir alguna informaci´on sobre la forma cuadr´atica original. Teorema. Sea A = [aij ] una matriz real sim´etrica de orden n. Son equivalentes: (1) A es definida positiva.
(1’) −A es definida negativa.
(2) Al reducir xT Ax a suma de cuadrados, aparecen n coeficientes positivos. (3) Los autovalores de A son todos positivos. (4) (Criterio de Sylvester o de los menores principales) Todos los menores principales de A son positivos, es decir, det (Ak ) > 0, k = 1, 2, . . . , n siendo Ak la matriz de orden k 2 6
Ak = 6 4
a11 · · · a1k .. . . .. . . . ak1 · · · akk
3 7 7 5
Puesto que una matriz real y sim´etrica A es definida negativa si, y s´olo si, −A es definida positiva, se obtiene el siguiente resultado. Corolario. Sea A = [aij ] una matriz real sim´etrica de orden n. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes: (1) A es definida negativa.
(1’) −A es definida positiva.
(2) Al reducir xT Ax a suma de cuadrados, aparecen n coeficientes negativos. (3) Los autovalores de A son todos negativos. (4) (Criterio de Sylvester o de los menores principales) Los menores principales de A tienen signos alternos −, +, −, +, . . . (−1)k det (Ak ) > 0, k = 1, 2, . . . , n.
Las formas cuadr´aticas semidefinidas (positivas o negativas) se pueden caracterizar de forma an´aloga en lo referente a la reducci´on a suma de cuadrados y a los signos de los autovalores. Por otra parte, pueden darse condiciones suficientes para garantizar que una forma cuadr´atica es indefinida: Matem´aticas I.
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7.2.- Formas cuadr´aticas.
219
teniendo en cuenta que los elementos diagonales de A son valores que alcanza la forma cuadr´atica, akk = ϕ(ek ) = eTk Aek . Si dos de estos valores son de distinto signo la forma cuadr´atica ser´a indefinida.
aii aij aji ajj
Si alguna submatriz diagonal de orden 2,
, tiene determinante negativo, la
forma cuadr´atica es indefinida. Si det (A) 6= 0, y no se cumplen las condiciones dadas para formas cuadr´aticas definidas positivas o definidas negativas, entonces es indefinida. ... Definici´ on. Clasificar una forma cuadr´atica consiste en determinar su inercia (el n´ umero de coeficientes positivos, negativos y nulos que aparecen en cualquier reducci´on a suma de cuadrados) as´ı como el signo correspondiente. Se denomina forma can´ onica/reducida de una forma cuadr´atica ϕ a cualquier expresi´on de ϕ como suma de cuadrados (en variables independientes). Para una forma cuadr´atica en dos variables, tenemos el siguiente teorema que permite determinar el signo (en este caso la inercia completa) en funci´on de los coeficientes de la matriz (sim´etrica) asociada. Teorema.- Sea ϕ la forma cuadr´atica siguiente y A la matriz sim´etrica asociada,
2
2
Q(x, y) = ax + 2bxy + cy = [x y]
a b b c
x y
,
A=
a b b c
.
(a) ϕ es definida positiva si y s´olo si a > 0 y det (A) = ac − b2 > 0. (b) ϕ es definida negativa si y s´olo si a < 0 y det (A) = ac − b2 > 0. (c) ϕ es indefinida si y s´olo si det (A) = ac − b2 < 0. D.− Separemos los casos en los que a 6= 0 y los casos en los que a = 0. • Si a 6= 0, entonces podemos completar el cuadrado en x,
2
ax + 2bxy + cy
2
2b b = a x + xy + cy 2 = a x2 + 2 xy + a a 2
b = a x + 2 xy + a
2
b y a
2
b y −a a
b2 = a x + − + c y ′2 , siendo a ′2
¨
2
(b) Definida negativa
⇐⇒
a < 0 y − ba + c < 0
(c) Indefinida
⇐⇒
a − ba + c < 0
Matem´aticas I.
2
b y a
2
−
b y a
2
b + cy = a x + y a 2
2
+ cy 2
b2 + c− a
x′ = x + ab y, y ′ = y.
Por tanto, en este caso, la forma cuadr´atica es: 2 (a) Definida positiva ⇐⇒ a > 0 y − ba + c > 0 2
⇐⇒
a > 0 y ac − b2 > 0.
⇐⇒
a < 0 y ac − b2 > 0.
⇐⇒
ac − b2 < 0
2010-2011
y2
220
Tema 7.- Matrices sim´etricas reales y formas cuadr´aticas.
• Si a = 0 y c 6= 0, tenemos que ϕ(x, y) = 2bxy + cy 2 y podemos completar el cuadrado en y. Estamos en un caso an´ alogo al anterior. Notemos que en los casos en los que ϕ sea definida (positiva o negativa), a y c tienen que tener el mismo signo. • Si a = c = 0 tenemos ϕ(x, y) = 2bxy. Sea cual sea el signo de b 6= 0, esta forma cuadr´atica es indefinida puesto que alcanza valores de distinto signo, por ejemplo ϕ(1, 1) = 2b y ϕ(1, −1) = −2b. En lo que se refiere a la reducci´on a suma de cuadrados, podemos transformar xy en una suma×diferencia
¨
ϕ(x, y) = 2b xy = siendo
x = x′ + y ′ y = x′ − y ′
= 2b x′2 − y ′2 .
Recopilando todos los casos obtenemos el enunciado. Ejercicio. Estudia cuando es semidefinida la forma cuadr´atica ϕ(x, y) = ax2 + 2bxy + cy 2 .
Para una forma cuadr´atica ϕ en n variables (y para la matriz sim´etrica real A asociada) puede darse un criterio matricial en los casos en los que sea definida (positiva o negativa). Dada una matriz sim´etrica A, se llaman submatrices principales de A a las matrices 2 6
Ak = 6 4
a11 · · · .. . . . .
3
a1k .. .
7 7 5
,
k = 1, 2, . . . , n.
a1k · · · akk Se llaman menores principales de A a los determinantes de dichas submatrices ∆k = det(Ak ),
k = 1, 2, . . . , n.
Teorema 4.- Criterio de los menores prinipales (o Criterio de Sylvester). (1) A es definida positiva ⇐⇒ ∆k = det(Ak ) > 0,
∀k = 1, 2, . . . , n.
(2) A es definida negativa ⇐⇒ (−1)k ∆k = det(−Ak ) > 0,
∀k = 1, 2, . . . , n.
7.3.- C´ onicas y cu´ adricas (II). En el Tema 1 se estudiaron las (secciones) c´onicas y las cu´adricas desde el punto de vista m´etrico as´ı como los elementos representativos de cada una de ellas. Por otra parte, vimos la determinaci´on de la posici´on, del tipo de c´onica/cu´adrica y c´omo obtener los elementos caracter´ısticos cuando ´esta viene dada por una ecuaci´on en la que no aparecen productos cruzados. Ahora estudiaremos: (a1) Que toda ecuaci´on polin´omica de segundo grado en dos variables a11 x2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a1 x + 2a2 y + a0 = 0 (alguno de los coeficientes a11 , a12 , a22 es distinto de cero) representa una c´onica. Entre ´estas estar´an los casos degenerados. Dicha ecuaci´on podr´a representar: • una elipse, una par´abola, una hip´erbola, • un par de rectas secantes/paralelas/coincidentes, • un punto, nada (elipse imaginaria) Matem´aticas I.
Ingenier´ıas: Aeroespacial, Civil y Qu´ımica
7.3.- C´onicas y cu´adricas (II).
221
(a2) Que toda ecuaci´on polin´omica de segundo grado en tres variables a11 x2 + a22 y 2 + a33 z 2 + 2a12 xy + 2a13 xz + 2a23 yz + 2a1 x + 2a2 y + 2a3 z + a0 = 0, (alguno de los coeficientes a11 , a22 , a33 , a12 , a13 , a23 es distinto de cero) representa una cu´adrica. Entre ´estas consideramos los casos degenerados. Dicha ecuaci´on podr´a representar: • • • • •
un elipsoide, un paraboloide (el´ıptico o hiperb´olico), un hiperboloide (de una o de dos hojas), un cono, un cilindro (el´ıptico, parab´olico o hiperb´olico) un par de planos secantes/paralelos/coincidentes, una recta, un punto, nada.
(b) C´omo determinar el tipo de c´onica/cu´adrica y sus elementos representativos cuando en la ecuaci´on aparecen t´erminos en productos cruzados. La presencia de ´estos t´erminos indica que la c´onica/cu´adrica est´a girada respecto a los ejes coordenados. La determinaci´on del correspondiente ´angulo de giro se har´a a partir del c´alculo de autovalores y autovectores de la matriz asociada a la parte cuadr´atica de la ecuaci´on de la c´onica/cu´adrica. Es decir, se tratar´a de obtener la posici´on, los elementos caracter´ısticos y la representaci´on gr´afica en el sistema de ejes dado. En cada una de las subsecciones siguientes consideraremos el problema de determinar el tipo de c´onica/cu´adrica y obtener la posici´on, los elementos caracter´ısticos y la representaci´on gr´afica en el sistema de ejes dado. El planteamiento para hacer la reducci´on de una cu´adrica ser´a el mismo para una c´onica. Tiene dos partes diferenciadas: En primer lugar, mediante un cambio de variables ortogonal, hay que conseguir que en la parte cuadr´atica de la ecuaci´on: c´onica : a11 x2 + 2a12 xy + a22 y 2 , cu´adrica : a11 x2 + 2a12 xy + 2a13 xz + a22 y 2 + 2a23 yz + a33 z 2 , no aparezcan t´erminos cruzados. Para ello, tendremos que diagonalizar ortogonalmente la matriz (real sim´etrica) de la parte cuadr´atica de la ecuaci´on. Es decir, siendo A = [aij ] la matriz sim´etrica de la parte cuadr´atica de la ecuaci´on, habr´a que calcular sus autovalores y una base ortonormal de Rn formada por autovectores de A. Dicha base formada por autovectores nos permitir´a hacer un cambio de variables ortogonal x = P x′ de forma que en las variables x′ la ecuaci´on de la c´onica/cu´adrica no tenga t´erminos cruzados. Esta es la situaci´on que se estudi´o en el Tema 2. Una vez que hemos conseguido una ecuaci´on de segundo grado, sin t´erminos cruzados, mediante un cambio de variables dado por una matriz ortogonal (que esencialmente representar´a un giro en el plano o en el espacio), bastar´a hacer una traslaci´on x′′ = x′ −c para obtener la ecuaci´on reducida de la c´onica/cu´adrica y la gr´afica en el sistema de ejes x′′ . Finalmente, para obtener los elementos caracter´ısticos y la representaci´on gr´afica en el sistema de ejes original, necesitaremos deshacer los cambios de variables: x′ = x′′ + c, Matem´aticas I.
x′ = P T x. 2010-2011
222
Tema 7.- Matrices sim´etricas reales y formas cuadr´aticas.
7.3.1.- Reducci´ on de una c´ onica girada. Definici´ on. Una c´onica es el lugar geom´etrico de los puntos (x, y) ∈ R2 del plano que satisfacen una ecuaci´on general de segundo grado: f (x, y) = a11 x2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a1 x + 2a2 y + a0 = 0,
(1)
donde alguno de los coeficientes a11 , a12 o a22 es distinto de cero. La ecuaci´on anterior, llamada ecuaci´on de la c´onica, se puede escribir en notaci´on vectorial de la forma:
f (x, y) = [x y] A
x y
+ 2 [a1 a2 ]
x y
+ a0 = 0 siendo A =
a11 a12 a12 a22
.
N´otese que tambi´en puede escribirse, 2 6
f (x, y) = [x y 1] 4
a11 a12 a1 a12 a22 a2 a1 a2 a0
32 76 54
x y 1
3 7 5
= 0.
El proceso general para llevar una c´onica a su ecuaci´on reducida (sabiendo cu´ales son los cambios de variables involucrados) puede separarse en dos etapas (si el coeficiente a12 6= 0, si el coeficiente a12 = 0 bastar´ıa con la segunda etapa): (a) Determinaci´on de las direcciones de los ejes de la c´onica. Esto consiste en diagonalizar ortogonalmente la matriz (sim´etrica A) asociada a la parte cuadr´atica de la ecuaci´on
A=
a11 a12 a12 a22
.
Sean λ1 y λ2 los autovalores de A y v1 y v2 autovectores ortogonales correspondientes (si λ1 6= λ2 dichos autovectores ser´an ortogonales necesariamente, y si λ1 = λ2 necesariamente A es una matriz diagonal, y no necesitamos hacer nada de esto). Conviene tomar los autovectores v1 y v2 de manera que el ´angulo de v1 a v2 sea de 900 en sentido positivo (contrario a las agujas del reloj). Sin m´as que dividir los vectores v1 y v2 por su norma, obtenemos una base ortonormal {u1 , u2} de R2 formada por autovectores de A y, por tanto, P =
2
3
6 4
7 2 5
u1 u
⇒P
−1
T
=P ,
T
P AP = D =
λ1 0 0 λ2
.
Al sustituir en la ecuaci´on (en (x, y)) de la c´onica el cambio de variables tenemos
x y
=P
x′ y′
′
′
T
=⇒ [x y ] P AP
x′ y′
+ 2 [a1 a2 ] P
x′ y′
+ a0 = 0.
Es decir, la ecuaci´on de la c´onica en las coordenadas (x′ , y ′) es λ1 x′2 + λ2 y ′2 + 2b1 x′ + 2b2 y ′ + a0 = 0, Matem´aticas I.
Ingenier´ıas: Aeroespacial, Civil y Qu´ımica
7.3.- C´onicas y cu´adricas (II).
223
ecuaci´on en la que no aparece el producto cruzado x′ y ′. Notemos que
x y
=P
′
x y′
=
2
3
6 4
7 2 5
u1 u
x′ y′
=⇒
x′ y′
=P
T
x y
=
uT1 uT2
x y
.
Por tanto, los nuevos ejes son
′
′
uT2
′
′
uT1
X → ecuaci´on y = 0 →
Y → ecuaci´on x = 0 →
x y x y
= 0,
= 0.
Es decir, los ejes x′ e y ′ son las rectas que pasan por el origen de coordenadas y tienen como vectores direcci´on respectivos los autovectores u1 y u2 de A. De hecho el sistema de ejes OX ′ Y ′ se obtiene del sistema OXY girando (con centro el origen de coordenadas) el ´angulo que determina u1 con el semieje OX + . (b) Una vez que tenemos la ecuaci´on λ1 x′2 + λ2 y ′2 + 2b1 x′ + 2b2 y ′ + a0 = 0, en la que no aparece el producto cruzado x′ y ′, bastar´a completar los cuadrados que aparezcan (mediante cambios del tipo x′′ = x′ − α e y ′′ = y ′ − β) para obtener una ecuaci´on de uno de los siguientes tipos: Caso el´ıptico. λ1 λ2 > 0 (es decir λ1 y λ2 son no-nulos y del mismo signo), a2 x′′2 + b2 y ′′2 = c en cuyo caso tenemos una elipse (c > 0), un punto (c = 0) o nada (c < 0). Caso hiperb´ olico. λ1 λ2 < 0 (es decir λ1 y λ2 son no-nulos y de distinto signo), a2 x′′2 − b2 y ′′2 = c en cuyo caso tenemos una hip´erbola (c 6= 0) o un par de rectas que se cortan (c = 0). Caso parab´ olico. λ1 λ2 = 0 (es decir uno de los autovalores es nulo, y el otro no). Suponiendo que λ1 6= 0, λ2 = 0 puede obtenerse a2 x′′2 + by ′′ = 0 ´o a2 x′′2 + c = 0
Tendremos una par´abola (b 6= 0), o bien un par de rectas paralelas (c < 0) o coincidentes (c = 0) o nada (c > 0). Para obtener los elementos caracter´ısticos de la c´onica y su representaci´on gr´afica basta obtenerlos en las coordenadas (x′′ , y ′′) y deshacer los cambios de variables que se hayan hecho ¨
(Traslaci´on)
(Giro) Matem´aticas I.
x y
x′′ = x′ − α ⇒ y ′′ = y ′ − β
=P
x′ y′
⇒
x′ y′
¨
x′ = x′′ + α y ′ = y ′′ + β
=P
T
x y
. 2010-2011
224
Tema 7.- Matrices sim´etricas reales y formas cuadr´aticas.
Ejemplos. (1) Vamos a obtener la ecuaci´on can´onica (reducida) y la representaci´on gr´afica de la c´onica 3x2 + 3y 2 − 2xy + 2x − 4y + 1 = 0. mediante los cambios de coordenadas adecuados. Escribimos en forma matricial la parte cuadr´atica de la ecuaci´on de la c´onica:
[x y]
3 −1 −1 3
x y
+ 2x − 4y + 1 = 0.
Puesto que la ecuaci´on de la c´onica tiene t´ermino en xy necesitamos hacer un giro para colocar los ejes en las direcciones de los autovectores de la matriz A (la que recoge los t´erminos cuadr´aticos). Calculamos los autovalores de A,
3 − λ −1 2 = λ − 6λ + 8 = 0 −→ λ1 = 4, λ2 = 2. −1 3 − λ
Los autovectores correspondientes son:
λ1 = 4 :
λ2 = 2 :
−1 −1 −1 −1 1 −1 −1 1
x y
=
x y
0 0
=
−→ x + y = 0 −→
0 0
−→ x − y = 0 −→
x y x y
=α
=α
1 −1 1 1
,
.
Construimos la matriz de paso ortogonal P (que diagonaliza A) mediante una base ortonormal de autovectores: (√ √ ) 2 2 1 1 , . −1 1 2 2 El primer autovector da la direcci´on y sentido positivo del nuevo eje X ′ (que corresponde a girar un ´angulo θ = −45o el eje X, pues del autovector sacamos que tgθ = y/x = −1/1 = −1) y el segundo autovector (que hemos elegido en el sentido adecuado para que el eje Y ′ se obtenga girando el X ′ un ´angulo de 90o en sentido positivo) marca la direcci´on y sentido del nuevo eje Y ′ . El cambio:
′
x = P x −→
x y
"
=
√
−
2 2√
2 2
√
2 √2 2 2
#
x′ y′
eliminar´a el t´ermino mixto x′ y ′ dejando la parte cuadr´atica como λ1 x′2 + λ2 y ′2 , modificar´a los coeficientes de los t´erminos lineales, x′ e √ y ′, y no √ alterar´a el t´ermino indepen′ ′2 ′2 diente. Concretamente obtenemos: 4x + 2y + 3 2x − 2y ′ + 1 = 0. Matem´aticas I.
Ingenier´ıas: Aeroespacial, Civil y Qu´ımica
7.3.- C´onicas y cu´adricas (II).
225
Completando cuadrados hacemos una traslaci´on: √ ! √ ! 3 2 ′ 2 ′ ′2 4 x + x +2 y − y + 1 = 0, 4 2 √ !2 √ !2 9 1 3 2 2 ′ ′ 4 x + − +2 y − − + 1 = 0, 8 8 4 4 √ !2 √ !2 3 2 3 3 2 4 x′ + −→ 4x′′2 + 2y ′′2 = , + 2 y′ − = 8 4 8 8 ′2
donde hemos realizado la traslaci´on √ 3 2 x =x + , 8 ′′
′
′′
′
y =y −
√
2 . 4
Operando, llegamos a la ecuaci´on can´onica x′′2 3 32
+
y ′′2 3 16
= 1 −→
x′′2
È
1 4
3 2
2
+
y ′′2
√ 2
3 4
= 1.
Es decir, al haber tomado λ1 = 4 y λ2 =È2, el √ semieje mayor de la elipse est´a sobre el eje Y ′′ y el menor sobre el X ′′ , ya que 41 32 < 43 . El centro C de la√elipse es√ el origen en las coordenadas (x′′ , y ′′). Es decir, (x′′ , y ′′) = (0, 0) ⇔ (x′ = − 3 8 2 , y ′ = 42 ). En coordenadas (x, y) obtenemos √
√ √ ! 3 2 1 2 2 x= − =− , + 2 8 4 8
√
2 y= 2
√ √ ! 5 1 5 3 2 2 = . + −→ C = − , 8 4 8 8 8
Para hacer el dibujo esquem´atico con una cierta precisi´on, puede sernos u ´ til el encontrar los puntos de corte (si los hay) de la elipse con los ejes coordenados (OX y OY ). Al hacer x = 0 en la ecuaci´on de la c´onica se obtiene 3y 2 − 4y + 1 = 0 que se verifica para y = 1, 1/3. Mientras que si hacemos y = 0, la ecuaci´on 3x2 + 2x + 1 = 0 no tiene soluci´on (real). Por tanto, la elipse corta al eje OY en los puntos (0, 1) y (0, 1/3) y no corta al eje OX. Con toda la informaci´on que hemos obtenido a lo largo del problema, comenzamos dibujando los ejes X ′ e Y ′ sabiendo que pasan por (x = 0, y = 0) y tienen la direcci´on y sentido del autovector correspondiente a λ1 y λ2 , respectivamente. Es decir, en este caso, con la elecci´on que hicimos de autovalores y autovectores, los ejes X ′ e Y ′ se obtienen rotando un ´angulo de −45o a los ejes X e Y . A continuaci´on, dibujamos los ejes X ′′ e Y ′′ , paralelos respectivamente a los ejes X ′ e Y ′ , que resultan de trasladar el origen al punto C = − 18 , 58 . Matem´aticas I.
Y
Y’’
1● Y’ C● ●
1/3
X’
X X’’
2010-2011
226
Tema 7.- Matrices sim´etricas reales y formas cuadr´aticas. N´otese que si hubi´eramos elegido los autovalores en el otro orden posible, es decir, λ1 = 2 y λ2 = 4 y tomamos como autovectores respectivos (1, 1)T y (−1, 1)T (el primero indica la direcci´on y sentido del eje X ′ y el segundo el del Y ′ ), llegar´ıamos, tras realizar el giro (en este caso de 45o ) mediante el cambio de coordenadas dado por la nueva matriz P y la traslaci´on adecuada, a la ecuaci´on can´onica: x′′2
√ 2
3 4
+
y ′′2
X’’ 1● X’ C● ●
1/3 X
= 1,
È 2
1 4
Y
Y’’
Y’
3 2
que nos llevar´ıa a la figura adjunta. (2) Vamos a obtener la ecuaci´on can´onica (reducida) y la representaci´on gr´afica de la c´onica x2 − 2xy + y 2 − 2x + 1 = 0 mediante los cambios de coordenadas adecuados. Puesto que la ecuaci´on de la c´onica tiene t´ermino en xy necesitamos hacer un giro para colocar los ejes en las direcciones de los autovectores de la matriz A (la que recoge los t´erminos cuadr´aticos).
x y
1 −1 −1 1
x y
− 2x + 1 = 0,
A=
1 −1 −1 1
Calculamos pues sus autovalores y despu´es sus autovectores. En primer lugar:
1 − λ −1 2 = λ − 2λ = 0 −→ λ1 = 0, λ2 = 2. −1 1 − λ
Podemos pues calcular los autovectores:
λ1 = 0 :
λ2 = 2 :
1 −1 −1 1 −1 −1 −1 −1
x y x y
=
=
0 0 0 0
−→ x − y = 0 −→
−→ x + y = 0 −→
x y x y
=α
=α
1 1 −1 1
,
.
Construimos la matriz P mediante la siguiente base ortonormal de autovectores: (√ √ ) 2 1 2 −1 , , 1 1 2 2 donde el primer autovector da la direcci´on y sentido del nuevo eje X ′ (que corresponde a girar un ´angulo θ = 45o el eje X, pues del autovector sacamos que tgθ = y/x = 1) y el segundo autovector (que hemos elegido en el sentido adecuado para que el eje Y ′ se obtenga girando el eje X ′ 90o en sentido positivo o antihorario) marca la direcci´on y sentido del nuevo eje Y ′ . El cambio:
′
x = P x −→ Matem´aticas I.
x y
" √
=
2 √2 2 2
√
−√ 22 2 2
#
x′ y′
Ingenier´ıas: Aeroespacial, Civil y Qu´ımica
7.3.- C´onicas y cu´adricas (II).
227
eliminar´a el t´ermino mixto x′ y ′ dejando la parte cuadr´atica como λ1 x′2 + λ2 y ′2 , modificar´a los coeficientes de los t´erminos lineales, x′ e y ′, y no alterar´a el t´ermino independiente. Concretamente obtenemos: √ √ 2y ′2 − 2x′ + 2y ′ + 1 = 0. Completando cuadrados en y ′ y haciendo una traslaci´on tenemos √ ! √ !2 √ ′ 2 ′ 2 1 √ ′2 ′ y − 2x + 1 = 0, −→ 2 y + − − 2x′ + 1 = 0, 2 y + 2 4 4 √ !2 √ 2 3 2 y′ + = 0, − 2x′ + 4 4 √ !2 √ ! √ √ 3 2 2 = 0, −→ 2y ′′2 − 2x′′ = 0, 2 y′ + − 2 x′ − 4 8 donde hemos realizado la traslaci´on
√ 3 2 , x =x − 8 ′′
′
′′
′
y =y +
√
2 . 4
Por tanto, la ecuaci´on can´onica a la que hemos llegado, tras la rotaci´on y la traslaci´on √ llevadas a cabo, es x′′ = 2y ′′2 . El v´ertice V de la par´abola√ es el origen en las coordenadas (x′′ , y ′′). Es decir, (x′′ , y ′′) = √ (0, 0) ⇔ (x′ = 3 8 2 , y ′ = − 42 ). En coordenadas (x, y) obtenemos √ ! √ √ ! √ √ √ 2 3 2 2 2 3 2 2 5 1 5 1 + − , = , y= = , −→ V = . x= 2 8 4 8 2 8 4 8 8 8 Para hacer el dibujo esquem´atico con una cierta precisi´on, puede sernos u ´ til el encontrar los puntos de corte (si los hay) de la par´abola con los ejes coordenados (OX y OY ). Al hacer x = 0 en la ecuaci´on de la c´onica se obtiene y 2 + 1 = 0 que no tiene soluci´on (real). Mientras que si hacemos y = 0 obtenemos x2 − 2x + 1 = 0 que tiene como soluci´on (doble) x = 1. Por tanto, la par´abola no corta al eje OY y toca sin cortar (pues es tangente, como se deduce de la ra´ız doble) al eje OX en el punto (1, 0). Con toda la informaci´on que hemos obtenido a lo largo del problema, comenzamos dibujando los ejes X ′ e Y ′ sabiendo que pasan por el origen de las coordenadas X-Y y que tienen la direcci´on y sentido del autovector correspondiente a λ1 y λ2 , respectivamente. Es decir, en este caso, con la elecci´on que hicimos X’ Y de autovalores y autovectores, los ejes X ′ e Y ′ se X’’ obtienen rotando un ´angulo de 45o a los ejes X e Y . A continuaci´on, dibujamos los ejes X ′′ e Y ′′ , Y’’ paralelos respectivamente a los ejes X ′ e Y ′ , que resultan de trasladar el origen al v´ertice de la Y’ par´abola V = − 18 , 58 . Finalmente, dibujamos V ● la par´abola, que es muy f´acil de representar en ● 1 X las coordenadas (x′′ , y ′′). Teniendo en cuenta las intersecciones con los ejes X e Y obtenemos pues la figura adjunta. Matem´aticas I.
2010-2011
228
Tema 7.- Matrices sim´etricas reales y formas cuadr´aticas. N´otese que si elegimos los autovalores en el mismo orden, λ1 = 0 y λ2 = 2, pero tomamos los autovectores opuestos ((−1, −1)T√fija el eje X ′ y (1, −1)T marca el Y ′ ), llegamos, procediendo an´alogamente, a x′′ = − 2y ′′2. En este situaci´on, estar´ıamos en el caso (a) de la figura siguiente. Sin embargo, si tomamos λ1 = 2 y λ2 = 0, y como autovectores correspondientes a (1, −1)T (que determina√el eje X ′ ) y (1, 1)T (que marca el eje Y ′ ), llegamos, procediendo an´alogamente, a y ′′ = 2x′′2 . De esta forma, estar´ıamos en el caso (b) de la figura siguiente. Finalmente, la cuarta y u ´ ltima posibilidad ser´a tomar λ1 = 2 y λ2 = 0, pero trabajando ′ con los autovectores a (−1, 1)T (fija el eje X√ ) y (−1, −1)T (marca el Y ′ ). Entonces, se ′′ llega, procediendo an´alogamente, a y = − 2x′′2 . Estar´ıamos entonces en el caso (c) de la figura siguiente. Y
Y
Y
Y’ Y’’
X’’ X’
V
V
●
V
●
●
●
●
1
●
1
X
1
X
X’
X
Y’ X’’
Y’
X’
Y’’
X’’
Y’’
(a)
Moraleja: la curva en el plano (X, Y ) es obviamente la misma, aunque al comienzo del problema tenemos cuatro posibilidades distintas para elegir el eje X ′ (seg´ un qu´e autovalor elijamos como primero y qu´e autovector de norma unidad elijamos para dicho autovalor). Tras esta elecci´on los ejes Y ′ (que queremos obtenerlo girando 90o en sentido antihorario el eje X ′ ), X ′′ e Y ′′ ya quedan determinados. (3) Vamos a obtener la ecuaci´on can´onica (reducida) y la representaci´on gr´afica de la c´onica 2xy − 4x + 2y − 7 = 0 mediante los cambios de coordenadas adecuados. Puesto que la ecuaci´on de la c´onica tiene t´ermino en xy necesitamos hacer un giro para colocar los ejes en las direcciones de los autovectores de la matriz A (la que recoge los t´erminos cuadr´aticos),
x y
0 1 1 0
x y
− 4x + 2y − 7 = 0,
A=
0 1 1 0
.
Calculamos los autovalores,
−λ 1 2 = λ − 1 = 0 −→ λ1 = 1, λ2 = −1. 1 −λ
Los autovectores correspondientes son:
λ1 = 1 : Matem´aticas I.
−1 1 1 −1
x y
=
0 0
−→ x − y = 0 −→
x y
=α
1 1
,
Ingenier´ıas: Aeroespacial, Civil y Qu´ımica
7.3.- C´onicas y cu´adricas (II).
λ2 = −1 :
1 1 1 1
229
x y
=
0 0
−→ x + y = 0 −→
x y
=α
−1 1
.
Construimos la matriz P mediante la siguiente base ortonormal de autovectores: (√ √ ) 2 1 2 −1 , , 1 1 2 2 donde el primer autovector da la direcci´on y sentido del nuevo eje X ′ y el segundo autovector (que hemos elegido en el sentido adecuado para que el eje Y ′ se obtenga girando el eje X ′ 90o en sentido positivo o antihorario) marca la direcci´on y sentido del nuevo eje Y ′ . El cambio de variables:
′
x = P x −→
x y
" √
2 √2 2 2
=
√
−√ 22
#
2 2
x′ y′
eliminar´a el t´ermino mixto x′ y ′ dejando la parte cuadr´atica como λ1 x′2 + λ2 y ′2 , podr´a modificar los coeficientes de los t´erminos lineales, x′ e y ′, y no alterar´a el t´ermino independiente. Concretamente obtenemos: √ √ x′2 − y ′2 − 2x′ + 3 2y ′ − 7 = 0. Completando cuadrados en x′ e y ′ y haciendo una traslaci´on: √ !2 √ !2 1 9 3 2 2 ′ ′ − − y − + − 7 = 0, x − 2 2 2 2 √ !2 √ !2 2 3 2 − y′ − − 3 = 0, x′ − 2 2 x′′2 y ′′2 x′′2 − y ′′2 = 3 −→ √ 2 − √ 2 = 1, ( 3) ( 3) donde hemos realizado la traslaci´on √
2 , x =x − 2 ′′
′
√ 3 2 y =y − . 2 ′′
′
Deducimos que las as´ıntotas de la hip´erbola son las rectas y ′′ = ±x′′ (perpendiculares entre s´ı al ser la hip´erbola equilatera). Podemos deshacer los cambios (giro y traslaci´on) para obtener sus ecuaciones en las coordenadas x-y. As´ı, √ √ 3 2 2 ′′ ′′ ′ ′ y = x −→ y − =x − 2 2 y, teniendo en cuenta que x′ = P T x (pues x = P x′ y P es ortogonal), tenemos √ √ 2 2 ′ ′ (x + y), y = (−x + y) x = 2 2 llegamos a
Matem´aticas I.
√
√ √ √ 3 2 2 2 2 (−x + y) − = (x + y) − −→ x = −1. 2 2 2 2 2010-2011
230
Tema 7.- Matrices sim´etricas reales y formas cuadr´aticas. Procediendo an´alogamente, y ′′ = −x′′ se convierte en y = 2 (ambas as´ıntotas son pues paralelas a los ejes Y y X, respectivamente). El centro C de √la hip´erbola es el origen en las coordenadas (x′′ , y ′′). Es decir, (x′′ , y ′′) = √ (0, 0) ⇔ (x′ = 22 , y ′ = 3 2 2 ). En coordenadas (x, y) obtenemos √ √ √ √ √ ! √ ! 2 2 2 2 2 2 x= = −1, y = = 2 −→ C = (−1, 2) . −3 +3 2 2 2 2 2 2 Para hacer el dibujo con cierta precisi´on puede ser u ´ til calcular los puntos de corte (si los hay) de la hip´erbola con los ejes coordenados (OX y OY ). Al hacer x = 0 en la ecuaci´on de la c´onica se obtiene 2y − 7 = 0 que tiene como soluci´on y = 7/2. Adem´as, si hacemos y = 0 obtenemos −4x−7 = 0 que tiene como soluci´on x = −7/4. Por tanto, la par´abola corta al eje OY en el punto (0, 7/2) y al eje OX en el punto (−7/4, 0). Con toda la informaci´on que hemos obtenido a lo largo del problema, comenzamos dibujando los ejes X ′ e Y ′ sabiendo que pasan por el origen de las coordenadas X-Y y tienen la direcci´on y sentido de los autovectores correspondientes a λ1 y λ2 , respectivamente. Es decir, en este caso, con la elecci´on que hicimos de autovalores y autovectores, los ejes X ′ e Y ′ se obtienen rotando un ´angulo de 45o a los ejes X e Y . A continuaci´on, dibujamos los ejes X ′′ e Y ′′ , paralelos respectivamente a los ejes X ′ e Y ′ , que resultan de trasladar el origen al centro de la hip´erbola C = (−1, 2). Finalmente, dibujamos la hip´erbola, que es muy f´acil de representar en las coordenadas x′′ -y ′′ , teniendo en cuenta sus as´ıntotas y sus cortes con los ejes X e Y , para obtener un dibujo cualitativo lo m´as parecido posible al real.
Y
Y’’
X’’
Y’ 7/2 ● ●
C
●
X’ 2
−1 ●
●
−7/4
X
(4) Vamos a obtener la ecuaci´on can´onica (reducida) y la representaci´on gr´afica de la c´onica −7x2 + 12xy + 2y 2 + 2x − 16y + 12 = 0 mediante los cambios de coordenadas adecuados. Puesto que la ecuaci´on de la c´onica tiene t´ermino en xy necesitamos hacer un giro para colocar los ejes en las direcciones de los autovectores de la matriz A (la que recoge los t´erminos cuadr´aticos),
x y
−7 6 6 2
x y
+ 2x − 16y + 12 = 0,
A=
−7 6 6 2
Calculamos los autovalores,
Matem´aticas I.
−7 − λ 6 2 = λ + 5λ − 50 = 0 −→ λ1 = 5, λ2 = −10. 6 2−λ Ingenier´ıas: Aeroespacial, Civil y Qu´ımica
7.3.- C´onicas y cu´adricas (II).
231
Y los autovectores correspondientes,
λ1 = 5 :
−12 6 6 −3
λ2 = −10 :
3 6 6 12
x y
x y
=
=
0 0
0 0
−→ 2x − y = 0 −→
−→ x + 2y = 0 −→
x y
x y
=α
=α
1 2
−2 1
,
.
Construimos la matriz P mediante la siguiente base ortonormal de autovectores: (√ √ ) 5 1 5 −2 , . 2 1 5 5 El primer autovector da la direcci´on y sentido del nuevo eje X ′ (que corresponde a girar un ´angulo θ ≈ 63,4o el eje X, pues del autovector sacamos que tgθ = y/x = 2/1 = 2) y el segundo autovector (que hemos elegido en el sentido adecuado para que el eje Y ′ se obtenga girando 90o el eje X ′ en sentido positivo) marca la direcci´on y sentido del nuevo eje Y ′ . El cambio
′
x = P x −→
x y
"
=
√
5 5 √ 2 5 5
√
#
−√2 5 5 5 5
x′ y′
eliminar´a el t´ermino mixto x′ y ′ dejando la parte cuadr´atica como λ1 x′2 + λ2 y ′2 , podr´a modificar los coeficientes de los t´erminos lineales, x′ e y ′, y no alterar´a el t´ermino independiente. Concretamente obtenemos: √ √ 5x′2 − 10y ′2 − 6 5x′ − 4 5y ′ + 12 = 0. Completando cuadrados en x′ e y ′ y haciendo una traslaci´on: √ ! √ ! 6 5 ′ 2 5 ′ ′2 ′2 x − 10 y + y + 12 5 x − 5 5 √ !2 √ !2 3 5 5 ′ ′ − 9 − 10 y + + 2 + 12 5 x − 5 5 √ !2 √ !2 5 5 3 5 x′ − − 10 y ′ + +5 5 5 y ′′2 x′′2 5x′′2 − 10y ′′2 + 5 = 0 −→ x′′2 − 2y ′′2 = −1 −→ 2 − √ 2 2 1 2
donde hemos realizado la traslaci´on
√ 3 5 x =x − , 5 ′′
′
′′
′
y =y +
= 0, = 0, = 0, = −1,
√
5 . 5 √
Deducimos que las as´ıntotas de la hip´erbola son las rectas y ′′ = ± 22 x′′ ≈ ±0,707x′′ . Podemos deshacer los cambios (giro y traslaci´on) para obtener sus ecuaciones en las coordenadas x-y. As´ı, √ √ √ √ ! 2 ′′ 5 2 ′ 3 5 ′′ ′ y = x −→ y + = x − 2 5 2 5 Matem´aticas I.
2010-2011
232
Tema 7.- Matrices sim´etricas reales y formas cuadr´aticas. y, teniendo en cuenta que x′ = P T x (pues x = P x′ y P es ortogonal), tenemos que √ √ 5 5 ′ ′ x = (x + 2y), y = (−2x + y) 5 5 llegamos a √ √ √ ! √ √ √ ! √ √ 5 5 2 5 2 3 5 3 2 (−2x+y)+ = (x + 2y) − . −→ 2 + x+( 2+1)y = 1+ 5 5 2 5 5 2 2 √
Procediendo an´alogamente, y ′′ = − 22 x′′ se convierte en √ ! √ √ 3 2 2 . 2− x + (− 2 + 1)y = 1 − 2 2 El centro C de la hip´erbola√ es el origen en las coordenadas (x′′ , y ′′). Es decir, (x′′ , y ′′) = √ (0, 0) ⇔ (x′ = 3 5 5 , y ′ = − 55 ). En coordenadas (x, y) obtenemos √ √ √ ! √ ! √ √ 5 3 5 2 5 5 6 5 5 + − = 1, y = = 1 −→ C = (1, 1) . x= 5 5 5 5 5 5 Para hacer el dibujo esquem´atico con una cierta precisi´on, puede sernos u ´ til el encontrar los puntos de corte (si los hay) de la hip´erbola con los ejes coordenados (OX y OY ). 2 Al hacer x = 0 en la √ ecuaci´on de la c´onica se obtiene y − 8y + 6 = 0 que tiene como soluciones y = 4 ± 10, es decir, y ≈ 7,16 e y ≈ 0,84. Mientras√que si hacemos y = 0 se obtiene 7x2 − 2x − 12 = 0 que tiene como soluciones y = 1±7 85 , es decir, x ≈ 1,46 y x ≈ −1,17. Por tanto, la hip´erbola corta al eje OY en los puntos (0, 7,16) y (0, 0,84) y al eje OX en los puntos (1,46, 0) y (−1,17, 0). Con toda la informaci´on que hemos obtenido a lo largo del problema, comenzamos dibujando los ejes X ′ e Y ′ sabiendo que pasan por el origen de las coordenadas x-y y tienen la direcci´on y sentido del autovector correspondiente a λ1 y λ2 , respectivamente. Es decir, en este caso, con la elecci´on que hicimos de autovalores y autovectores, los ejes X ′ e Y ′ se obtienen rotando un ´angulo de 63,4o (aproximadamente) a los ejes X e Y . A continuaci´on, dibujamos los ejes X ′′ e Y ′′ , paralelos respectivamente a los ejes X ′ e Y ′ , que resultan de trasladar el origen al centro de la hip´erbola C = (1, 1). Finalmente, dibujamos la hip´erbola, que es f´acil de representar en las coordenadas x′′ y ′′, teniendo en cuenta sus as´ıntotas y sus cortes con los ejes X e Y , para obtener un dibujo cualitativo lo m´as parecido posible al real. Y X’ X’’ Y’’ Y’ 1
●
C
1
Matem´aticas I.
X
Ingenier´ıas: Aeroespacial, Civil y Qu´ımica
7.3.- C´onicas y cu´adricas (II).
233
7.3.1.- Reducci´ on de una cu´ adrica girada. Definici´ on. Una cu´adrica es el lugar geom´etrico de los puntos (x, y, z) que satisfacen una ecuaci´on general de segundo grado de la forma f (x, y, z) = a11 x2 + a22 y 2 + a33 z 2 + 2a12 xy + 2a13 xz + 2a23 yz + 2a1 x + 2a2 y + 2a3 z + a0 = 0, llamada ecuaci´on de la cu´adrica (alguno de los coeficientes aij tiene que ser distinto de cero). Esta ecuaci´on se puede escribir matricialmente en la forma 2
f (x, y, z) =
x y z
6 4
a11 a12 a13 a12 a22 a23 a13 a23 a33
32 76 54
x y z
2
3 7 5
+ 2 a1 a2 a3
6 4
x y z
3 7 5
+ a0 = 0,
y vectorialmente como f (x) = xt Ax+2at x+a0 = 0. Al igual que en el caso de las c´onicas, el proceso para llevar una cu´adrica a su forma reducida puede separarse en dos etapas (si el coeficiente de alguno de los productos cruzados es no-nulo): una primera consistente en determinar las direcciones de los ejes de la cu´adrica y una segunda consistente en determinar una traslaci´on. El t´ermino principal de la ecuaci´on de la cu´adrica es la forma cuadr´atica, que supondremos distinta de cero, en 3 variables 2
xt Ax = x y z
6 4
a11 a12 a13 a12 a22 a23 a13 a23 a33
32 76 54
x y z
3 7 5
.
Puesto que la matriz A es real y sim´etrica puede diagonalizarse mediante una matriz de paso ortogonal P cuyas columnas {u1 , u2 , u3 } ser´an, por tanto, autovectores de A y base ortonormal de R3 . Conviene tomar {u1 , u2 , u3 } de forma que u1 × u2 = u3 . Al hacer el cambio de variables 2 3 2 3 x x′ 6 7 6 ′ 7 4 y 5 = P 4 y 5, z′ z la ecuaci´on de la cu´adrica queda de la forma 2
x′ y ′ z ′
6 4
λ1 0 0 0 λ2 0 0 0 λ3
32 76 54
x′ y′ z′
2
3 7 5
+ 2 b1 b2 b3
6 4
x′ y′ z′
3 7 5
+ b0 = 0,
siendo λ1 , λ2 y λ3 los autovalores de A (iguales o distintos). A partir de aqu´ı, basta completar los cuadrados cuyo coeficiente sea distinto de cero y tendremos los siguientes casos: (1) A tiene todos sus autovalores distintos de cero y del mismo signo: Elipsoide. Un punto. Nada. (2) A tiene todos sus autovalores distintos de cero pero no del mismo signo: Matem´aticas I.
2010-2011
234
Tema 7.- Matrices sim´etricas reales y formas cuadr´aticas. Hiperboloide de una hoja. Cono. Hiperboloide de dos hojas.
(3) A tiene dos autovalores distintos de cero del mismo signo y el tercer autovalor es cero: Paraboloide el´ıptico. Cilindro el´ıptico. Una recta. Nada. (4) A tiene dos autovalores distintos de cero de distinto signo y el tercer autovalor es cero: Paraboloide hiperb´olico. Cilindro hiperb´olico. Un par de planos que se cortan. (5) A tiene dos autovalores iguales a cero: Cilindro parab´olico. Un par de planos paralelos, confundidos (un solo plano) o nada.
Matem´aticas I.
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7.4.- Ejercicios.
235
7.4.- Ejercicios. Ejercicio 1. Diagonaliza las siguientes matrices mediante matrices de paso ortogonales 2 6 4
1 −2 0 −2 2 −2 0 −2 3
3 7 5
2 6 4
,
5 2 2 2 2 −4 2 −4 2
3 7 5
2 6 4
,
1 −1 0 −1 2 −1 0 −1 1
3 7 5
2 6 4
,
1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 7 5
.
Ejercicio 2. Reduce a suma de cuadrados las formas cuadr´aticas definidas por las matrices: 2 6 4
1 2 2 2 1 −2 2 −2 1
3 7 5
2
1 2 3 6 , 4 2 0 −1 3 −1 1
3 7 5
2 6 6
,6 4
0 1 −1 2 1 1 0 −1 −1 0 −1 1 2 −1 1 0
3
2
7 7 7 5
,6
6 6 4
0 1 2 3
1 0 1 2
2 1 0 1
3 2 1 0
3 7 7 7 5
.
Ejercicio 3. (1) Toda matriz sim´etrica real de orden m × m Tiene m autovalores distintos. Diagonaliza en una base ortonormal de Rm . Ninguna de las anteriores. (2) Sea A una matriz cuadrada de orden impar y antisim´etrica (AT = −A). Demuestra que det(A) = 0.
Ejercicio 4. Consideremos la siguiente matriz, dependiente de un par´ametro δ ∈ R: 2 6 6
A=6 4
2 1 1 0
1 2 1 0
1 1 2 0
0 0 0 δ
3 7 7 7 5
.
2 6 6
(a) Clasificar, seg´ un los valores de δ, la forma cuadr´atica ϕ(x, y, z, t) = [x y z t]A 6 4
x y z t
3 7 7 7 5
.
(b) Diagonalizar ortogonalmente la matriz A para δ = 1. Dar, expl´ıcitamente, la multiplicidad geom´etrica de cada autovalor as´ı como la matriz de paso P y la matriz diagonal D. (c) Siendo δ = 1, calcular P An P T para todo n ∈ N, donde P es la matriz de paso obtenida en el apartado anterior.
Ejercicio 5. Demuestra que toda matriz real sim´etrica A = [aij ], n × n, definida positiva verifica: Matem´aticas I.
2010-2011
236
Tema 7.- Matrices sim´etricas reales y formas cuadr´aticas.
(a) det (A) > 0. (b) A tiene inversa y su inversa, A−1 tambi´en es definida positiva. (c) aii > 0, i = 1, 2, . . . , n. (d) aii + ajj > 2aij , i 6= j = 1, . . . , n. (e) aii ajj > (aij )2 , i 6= j = 1, . . . , n. (f) El elemento de mayor magnitud de A est´a en la diagonal principal, max {|aij | : i, j = 1, . . . , n} = max {a11 , a22 , . . . , ann } . (g) A se puede factorizar de la forma A = MM T siendo M una matriz cuadrada (real) no-singular.
Ejercicio 6. Determina los valores del par´ametro real α para los que las siguientes formas cuadr´aticas/matrices son definidas positivas: 2 6
A=4
α 1 1 1 α 1 1 1 α−2
3 7 5
,
ϕ(x, y, z) = 2x2 − 4xy + 2xz + 3y 2 + 2yz + αz 2 .
Ejercicio 7. Determina los valores del par´ametro real α para los que la ecuaci´on 2x2 − 2xy + αy 2 = −5 tiene soluciones reales.
Ejercicio 8. Estudiando el signo de una forma cuadr´atica apropiada, determina si cada una de las siguientes desigualdades es cierta (para cualquier valor de las variables): √ (a) xy ≤ x+y , x ≥ 0, y ≥ 0. 2 (b) x21 + 2x22 + 3x23 ≥ 4x1 x2 + 4x2 x3 , ∀x1 , x2 , x3 ∈ R. (c) x2 + 2y 2 + z 2 ≥ 2xy + 2yz, ∀x, y, z ∈ R. (d) x2 + y 2 + z 2 ≥
16 3
si x + y + z = 4, x, y, z ∈ R.
Ejercicio 9. Reduce a suma de cuadrados las formas cuadr´aticas siguientes y clasificarlas: (1) ϕ(x1 , x2 , x3 ) = x21 + 5x22 + 2x23 + 4x1 x2 + 2x1 x3 + 6x2 x3 . (2) ϕ(x1 , x2 ) = 8x1 x2 + 4x22 . (3) ϕ(x1 , x2 , x3 ) = x21 + 2x1 x2 + 4x1 x3 + 3x22 + x2 x3 + 7x23 . (4) ϕ(x1 , x2 ) = x21 + 4x1 x2 − 2x22 . Matem´aticas I.
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7.4.- Ejercicios.
237
(5) ϕ(x1 , x2 , x3 ) = −x22 − 2x1 x3 . (6) ϕ(x1 , x2 , x3 ) = 2x21 + 3x22 .
Ejercicio 10. Calcula, mediante el m´etodo de Lagrange, una forma can´onica para cada una de las formas cuadr´aticas siguientes y clasificarlas. A continuaci´on, aplicando la ley de Inercia de Sylvester, escribe tres formas can´onicas m´as para cada una de ellas. (1) ϕ(x1 , x2 ) = x21 + 3x1 x2 + 5x22 . (2) ϕ(x1 , x2 ) = 5x21 + 2x1 x2 + x22 . (3) ϕ(x1 , x2 ) = −x21 + 2x1 x2 − 7x22 . (4) ϕ(x1 , x2 ) = 8x1 x2 − x22 . (5) ϕ(x1 , x2 , x3 ) = 3x21 + 5x22 + x23 + 2x1 x2 + 2x1 x3 + 4x2 x3 . (6) ϕ(x1 , x2 , x3 ) = 8x21 − 4x22 − x23 − 4x1 x2 − 2x1 x3 − 4x2 x3 . Ejercicio 11. Indica la respuesta correcta: (1) Una forma can´onica de la forma cuadr´atica ϕ(x1 , x2 ) = 2x1 x2 es: √ − 2y12 − y22 3 2 y 5 1
− y22
2y12 + 2y22 (2) La forma cuadr´atica −5x2 − y 2 + az 2 + 4xy − 2xz − 2yz es definida negativa si a > −10.
a = −10. a < −10.
Ejercicio 12. (1) Siendo (a1 , a2 , · · · , an ), (b1 , b2 , · · · , bn ) ∈ Rn dos vectores no nulos, reduce a suma de cuadrados la forma cuadr´atica ϕ definida por ϕ(x1 , · · · , xn ) = (a1 x1 + · · · + an xn )(b1 x1 + · · · + bn xn ). (2) Determina en funci´on de a ∈ R el car´acter de la forma cuadr´atica asociada a la matriz 2 6
A=4
Matem´aticas I.
1 2 2 2 a 2 2 2 2−a
3 7 5
.
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238
Tema 7.- Matrices sim´etricas reales y formas cuadr´aticas.
(3) Determina el signo de la forma cuadr´atica ϕ(x1 , · · · , xn ) = x1 x2 + x2 x3 + · · · + xn−1 xn + xn x1 y tres vectores v1 , v2 y v3 tales que ϕ(v1 ) = 1, ϕ(v2 ) = −5, ϕ(v3 ) = 0. Ejercicio 13. (1a) Sea A una matriz real m × n. Demuestra que la matriz sim´etrica AT A es semidefinida positiva o definida positiva. Determina cada caso en funci´on del espacio nulo de A. (1b) Demuestra que si A es una matriz real 10×15, entonces la forma cuadr´atica ϕ : R15 −→ R definida por ϕ(x) = xT AT Ax es semidefinida positiva pero no puede ser definida positiva. (1c) Demuestra que si A es una matriz real 10×15 de rango 10, entonces la forma cuadr´atica ψ : R10 −→ R definida por ψ(x) = xT AAT x es definida positiva. (2) Demuestra que la suma de dos matrices sim´etricas, una semidefinida positiva y otra definida positiva, es una matriz definida positiva. (3) Pon un ejemplo de dos matrices sim´etricas indefinidas cuya suma sea una matriz definida positiva. Ejercicio 14. Reduce, clasifica y representa las siguientes c´onicas: (a) 13x2 + 10y 2 + 4xy − 26x − 22y + 23 = 0. (a’) 13x2 + 10y 2 + 4xy − 26x − 22y + 2 = 0. (b) 4x2 + y 2 − 4xy − 2y + 1 = 0. (b’) 4x2 + y 2 − 4xy + 4x − 2y + 1 = 0. (c) 5x2 + 2y 2 − 4xy + 12x − 4y = 0. (c’) 5x2 + 2y 2 − 4xy + 12x − 4y + 9 = 0. (d) x2 + 4y 2 − 4xy + 6x − 12y + 9 = 0. (e) 2xy − 5 = 0. Ejercicio 15. (a) Determina el valor de α para el que la c´onica x2 −2αxy+2αy 2 −2x+4αy = 0 es una par´abola. Reduce y representa dicha par´abola. (b) Determina el valor de α para el que la c´onica x2 + 2αxy + y 2 = 1 es una elipse. Calcula los semiejes de dicha elipse.
Matem´aticas I.
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7.4.- Ejercicios.
239
Ejercicio 16. Determina la ecuaci´on de la c´onica que pasa por los puntos (0, 0), (0, 2), (2, −1), (5, 0), (3, −1) y representa dicha c´onica.
Ejercicio 17. Reducir, clasificar y representar las siguientes cu´adricas: (a) 3x2 + 2xy − 10y 2 = 0. (b) x2 + y 2 − z 2 − 2z − 1 = 0. (c) 2x + 2y − 2z − 2xy + 4xz + 4yz − 3z 2 = 0. (d) 5x2 + 6y 2 + 7z 2 − 4xy + 4yz − 10x + 8y + 14z − 6 = 0. (e) 4x2 + y 2 + 4z 2 − 4xy + 8xz − 4yz − 12x − 12y + 6z = 0.
Matem´aticas I.
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240
Tema 7.- Matrices sim´etricas reales y formas cuadr´aticas.
10.4.- Ap´ endice: MATLAB. A la hora de estudiar una forma cuadr´atica puede recurrirse a la expresi´on polin´omica o a la expresi´on matricial. Si lo que queremos es obtener el valor que alcanza una forma cuadr´atica en un determinado punto, podemos utilizar cualquiera de las dos expresiones. MATLAB no dispone de ning´ un comando para manipular directamente polinomios de varias variables, aunque se pueden obtener los valores que toma uno de dichos polinomios definiendo la funci´on correspondiente mediante inline. Por ejemplo, podemos definir el polinomio p(x, y, z) = 3x2 − 4xz + y 2 + 5yz − 2z 2 mediante >> p=inline(’3*x^2-4*x*z+y^2+5*y*z-2*z^2’) y a continuaci´on podemos obtener el valor p(−0.3, 1.7, −2) mediante >> p(-0.3,1.7,-2) Trat´andose de formas cuadr´aticas (polinomios homog´eneos de segundo grado) tambin podemos recurrir a la expresi´on matricial 2 6
p(x) = xT Ax siendo A = 4
3 0 −2 0 1 5/2 −2 5/2 −2
3 7 5
2
,
6
x=4
x1 x2 x3
3 7 5
.
Utilizando las operaciones matriciales tenemos >> x=[-0.3 1.7 -2]’; >> t = x’*A*x Diagonalizaci´ on ortogonal de una matriz sim´ etrica real. EIG. Sea A una matriz real cuadrada. Mediante el comando eig, que ya vimos en el tema anterior, podemos obtener una diagonalizaci´on ortogonal de A. Es decir, al ejecutar > [V,D] = eig(A) se obtiene (siendo A cuadrada, sim´etrica y real) una matriz V ortogonal y una matriz D diagonal tales que AV = V D con lo cual A = V DV −1 = V DV T (las columnas de V son autovetores de A que forman una base ortonormal de Rn y los elementos diagonales de D son los autovalores de A). La descomposici´ on en valores singulares. SVD. Dada una matriz A, m × n, podemos obtener las matrices que intervienen en su descomposici´on en valores singualres mediante la orden > [U,S,V] = SVD(A) que nos proporciona una matriz diagonal S, de las mismas dimensiones que A, con elementos diagonales no-negativos en orden decreciente, y dos matrices unitarias U, m× m y V, n × n, ortogonales si A es real, tales que A = U ∗ S ∗ V ′ . Mediante la orden >s=svd(A) se obtiene el vector s de los valores singulares de A (los elementos diagonales de la matriz S). Matem´aticas I.
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10.4.- Ap´endice: MATLAB.
241
La pseudo-inversa de una matriz. PINV. Dada una matriz arbitraria A, no necesariamente cuadrada, la pseudo-inversa (o inversa de Moore-Penrose) de A es una matriz A+ que tiene ciertas propiedades similares a las de la inversa de una matriz cuadrada. Si A es una matriz real m × n, la pseudo-inversa A+ de A verifica: A+ es una matriz n × m.
A+ verifica las igualdades AA+ A = A, A+ AA+ = A+ . AA+ y A+ A son matrices sim´etricas. Para cualquier vector real b ∈ Rm , el vector A+ b es la soluci´ on ´optima, en el sentido de los m´ınimos cuadrados, del sistema de ecuaciones Ax = b. Es decir, si el sistema Ax = b tiene una u ´nica soluci´ on en el sentido de los m´ınimos cuadrados, entons A+ b es dicha soluci´ on y si dicha sistema tiene infinitas soluciones, en el sentido de los m´ınimos cuadrados, entonces A+ b es la que tiene norma m´ınima. Si A = U SV T es la/una descomposici´ on en valores singulares de una matriz real A, la pseudo-inversa de A es la matriz 2
A+ = V S + U T = V
6 6 6 6 6 6 4
1 σ1
0 .. .
0 1 σ2
0
.. . 0
... ... .. .
0 0 .. .
... 0
1 σr
3
0
7 7 7 7 7 7 5
UT .
0
Para obtener la pseudo-inversa de una matriz A basta ejecutar > pinv(A) y dicha matriz la podemos usar por ejemplo para obtener la soluci´on ´optima en m´ınimos cuadrados de un sistema Ax = b. Cuando el sistema tiene infinitas soluciones en m´ınimos cuadrados (el rango de A no coincide con el n´ umero de columnas) la soluci´on + A b en m´ınimos cuadrados puede ser utilizada para construir, junto con el comando null, el conjunto de todas las soluciones en m´ınimos cuadrados. Notemos que en el caso considerado, el comando mldivide no nos da ning´ un resultado. Ejemplo. Si consideramos una matriz aleatoria B y formamos la matriz
A=
B B B B
al considerar un sistema de ecuaciones Ax = b, siendo b un vector aleatorio en la dimensi´on adecuada, lo m´as probable es que obtengamos un sistema incompatible. Puesto que las columnas de A no son linealmente independientes, el sistema tendr´a infinitas soluciones en m´ınimos cuadrados. Veamos qu´e sucede al aplicar los comandos citados. Generamos una matriz aleatoria 2 × 2, Matem´aticas I.
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242
Tema 7.- Matrices sim´etricas reales y formas cuadr´aticas. >> B=rand(2) B = 0.9501 0.2311
0.6068 0.4860
Formamos la matriz A, 4 × 4, asociada >> A=[B B ; B B] A = 0.9501 0.6068 0.2311 0.4860 0.9501 0.6068 0.2311 0.4860
0.9501 0.2311 0.9501 0.2311
0.6068 0.4860 0.6068 0.4860
Generamos un t´ermino independiente b ∈ R4 aleatorio, >> b=rand(4,1) b = 0.8913 0.7621 0.4565 0.0185 Comprobamos que mediante el comando mldivide no obtenemos nada, >> A\b Warning: Matrix is singular to working precision. (Type "warning off MATLAB:singularMatrix" to suppress this warning.) ans = Inf Inf Inf Inf Calculamos la pseudo-inversa de A, >> SA=pinv(A) SA = 0.3779 -0.4719 -0.1797 0.7389 0.3779 -0.4719 -0.1797 0.7389
0.3779 -0.1797 0.3779 -0.1797
-0.4719 0.7389 -0.4719 0.7389
Obtenemos la soluci´on ´optima de Ax = b, >> x1=SA*b x1 = 0.1410 0.3345 0.1410 0.3345 Matem´aticas I.
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10.4.- Ap´endice: MATLAB.
243
Obtenemos una base del espacio nulo de A (la soluci´on general del sistema homog´eneo), >> N = null(A) N = -0.1225 -0.6964 0.6964 -0.1225 0.1225 0.6964 -0.6964 0.1225 con lo cual el conjunto de todas las soluciones en m´ınimos cuadrados
©
{x1 + c1 ∗ N(:, 1) + c2 ∗ N(:, 2)} = x1 + N ∗ c : c ∈ R2 .
Matem´aticas I.
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