Tema 7: Trigonometría. Ejercicio 1. Sabiendo que cos α = 0,63 , calcular s = sen α y t = tg α . Mediante la igualdad I, conocido sen α obtenemos cos α , y viceversa.

s 2 + 0,632 = 1 → s 2 = 1 − 0,632 = 0,6031 → s = 0,6031 = 0,777 (Solo tomamos la raíz positiva, porque sen α ha de ser positivo).

t=

0,777 = 1,23 0,63

Solución: sen α = 0,777

tg α = 1,23

- Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. En primer lugar, escribiremos el dato que nos da el ejercicio, que en este caso es el coseno de alfa. Lo llamaremos ‘c’ para simplificar. Por lo tanto, escribiremos “c=” y después el valor del coseno. De esta manera, siempre que escribamos c, dentro del mismo bloque, será lo mismo que referirnos al dato que vemos en el enunciado. Figura 1.

2. En segundo lugar, calcularemos cuánto vale el seno de alfa (al que llamaremos “s”) resolviendo una ecuación. Para ello, pinchamos en el icono ‘Resolver ecuación’, que encontramos en la pestaña ‘Operaciones’. Después rellenamos con nuestros datos (recordamos que no necesitaremos escribir el valor del coseno, sino que sólo escribiremos el nombre que le hemos dado) y pinchamos en el icono ‘=’ para conocer el resultado.

4º ESO B [EDUCANDO CON WIRIS] Figura 2

3. Como de la ecuación obtenemos dos soluciones, indicaremos cuál es la que tomaremos para futuros cálculos. Por lo tanto, de igual manera que con el coseno escribimos “s=” y después, el valor que hemos seleccionado. Figura 3.

4. Por último, calcularemos la tangente, a la que llamaremos ‘t’, con un cociente. Para hacerlo, pinchamos en el icono ‘Fracción’, que se encuentra en la pestaña ‘Operaciones’. Cuando hayamos escrito el nombre, el igual y pinchado en el icono ‘Fracción’, sólo nos quedará rellenar con los otros dos nombres y pinchar en ‘=’. Figura 4.

Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:

2

[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 7. Trigonometría.

Ejercicio 2. Sabiendo que tg α = 2 , calcular sen α = s y cos α = c . Mediante las igualdades I y II, conocida tg α se obtienen, resolviendo un sistema de ecuaciones, los valores de sen α y cos α :

s  = 2  s = 2c  c 2 2 2 2 2 s 2 + c 2 = 1 (2c) + c = 1 → 4c + c = 1 → 5c = 1 c2 =

2 5 1 solo tomamos la raiz positiva 1 5 racionalizando ; s=        → c =   → c = 5 5 5 5

Solución: sen α =

2 5 = 0,894 5

cos α =

5 = 0,447 5

- Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. Para resolver un sistema, pinchamos en el icono ‘Resolver sistema’, que se encuentra dentro de la pestaña ‘Operaciones’. En ese momento, aparecerá una ventana en la que indicaremos cuántas ecuaciones tendrá nuestro sistema y pincharemos en ‘Aceptar’. Figura 5.

2. Cuando hemos indicado el número de ecuaciones, nos aparecerá un esquema como el siguiente. Este tiene un hueco para cada miembro, y debemos rellenarlo con nuestros datos. Las incógnitas, en lugar de ser x e y como de costumbre, serán s y c, ya que queremos calcular el seno y el coseno.

3

4º ESO B [EDUCANDO CON WIRIS] Figura 6.

3. Cuando lo tengamos todo planteado, sólo tenemos que pinchar en el icono ‘=’ que vemos al lado del esquema y obtendremos las soluciones del sistema. En este caso nos da dos, pero sólo elegiremos la positiva. Figura 7.

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Ejercicio 3. sen 37º = 0,6 . Calcula cos 37 º y tg 37º . Como la suma del seno y del coseno (ambos elevados a su cuadrado) es igual a 1, por lo que para obtener el valor del coseno, plantearemos una ecuación.

sen (37 º ) + cos (37 º ) = 1 → 0,6 2 + c 2 = 1 → c 2 = 1 − 0,36 → c 2 = 0,64 → c = ±0,8 2

2

Elegimos siempre el valor positivo porque es el único que tiene sentido. Además, sabemos que la tangente es el resultado de dividir el valor del seno entre el coseno.

4

[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 7. Trigonometría.

tg 37 º =

sen 37 º 0,6 = = 0,75 cos 37 º 0,8

- Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. Haremos un cálculo trigonométrico, escribimos la abreviatura que corresponda a la función y después entre paréntesis, los grados. Para insertar el símbolo de grado (º), pinchamos en su icono, que encontramos dentro de la pestaña ‘Unidades’. Figura 8.

2. Para calcular un coseno seguimos las indicaciones del primer paso, sólo que la abreviatura es “cos”. Cuando lo tengamos planteado, pinchamos en ‘=’ y conoceremos la solución. Figura 9.

3. Igual que el apartado anterior, escribimos la abreviatura para tangente, que es “tan” a continuación, entre paréntesis, el número de grados. Cuando esté todo planteado, pinchamos en el icono ‘=’. Figura 10.

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4º ESO B [EDUCANDO CON WIRIS]

Ejercicio 4. tg 28º = 0,53 . Calcula sen 28º y cos 28º . Mediante las igualdades I y II, conocida tg α se obtienen, resolviendo un sistema de ecuaciones, los valores de sen α y cos α :

s  = 0,53  s = 0,53c  c 2 2 2 2 2 s 2 + c 2 = 1 (0,53c) + c = 1 → 0,28c + c = 1 → 1,28c = 1 c2 = s=

1,28 1 1 tomamos la raiz positiva ando solo   → c = racionaliz  → c = ; 1,28 1,28 1,28

0,53 1,28 1,28

Solución: sen α =

0,53 1,28 = 0,4683 1,28

cos α =

1,28 = 0,8836 1,28

- Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. Resolveremos este ejercicio con un sistema de ecuaciones. Para plantearlo pinchamos en la pestaña ‘Operaciones’ y después en el icono ‘Resolver sistema’. Después nos aparecerá una ventana en la que escribiremos “2”, ya que es el número de ecuaciones que queremos que tenga el sistema. Figura 11.

2. Rellenamos los huecos de las ecuaciones y pinchamos en el icono ‘=’ para conocer el resultado. Recordaremos que al seno lo llamaremos “s” y al coseno “c”.

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[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 7. Trigonometría. Figura 12.

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Ejercicio 5. Los dos catetos de un triángulo rectángulo miden 17 cm y 40 cm. Hallar los ángulos del triángulo. Figura 13.

El ángulo α se relaciona con los dos catetos mediante su tangente: tgα =

17 = 0,425 40

Hallamos con la calculadora el ángulo cuya tangente es 0,425. Es decir, α = 23º1´32" . El otro ángulo es su complementario: 90º - 23º1´32" = 66º58´28"

- Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. El primer paso, es calcular la tangente, a la que llamaremos “t” con un cociente. Para insertarlo, pinchamos en el icono ‘Fracción’ y rellenamos el numerador y el denominador. Para todos los pasos que demos, cuando tengamos todo planteado, al pinchar en el icono ‘=’ obtenemos nuestra solución.

7

4º ESO B [EDUCANDO CON WIRIS] Figura 14.

2. Lo siguiente que haremos será calcular el ángulo de la tangente que hemos calculado. Como al obtener la tangente le hemos dado nombre, ahora sólo debemos escribir “t” entre los paréntesis. Para calcular el ángulo, utilizamos la función arcotangente, cuya abreviatura es “atan”. Figura 15.

3. Nuestro tercer paso es convertir el resultado que nos da la función arcotangente a grados angulares. Para ello, usaremos la función “convertir”. Escribimos ‘convertir’ y después el valor a convertir t el símbolo de grados separados por una coma y entre paréntesis.

Figura 16.

8

[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 7. Trigonometría. 4. Para calcular el complementario del ángulo que hemos obtenido, escribimos “90º” (sabemos que insertaremos el símbolo de grado pinchando en su icono, dentro de la pestaña ‘Unidades’) y le restamos el resultado obtenido en el paso anterior. Para insertar el signo de restar utilizaremos el guión del teclado (-). Figura 17.

5. Por último, los decimales que obtenemos en el resultado del ángulo complementario, los convertiremos en minutos, y los decimales del resultado en minutos los convertiremos en segundo. Usaremos la función “convertir” y los minutos y los segundos los insertaremos pinchando en sus iconos correspondientes, dentro de la pestaña ‘Unidades’.

Figura 18.

Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:

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4º ESO B [EDUCANDO CON WIRIS]

Ejercicio 6. En un triángulo rectángulo, un ángulo agudo mide 27º y la hipotenusa 46 m. Hallar los dos catetos. Figura 19.

b es el cateto opuesto al ángulo de 27º. Por tanto: b sen 27º = → b = 46 ⋅ sen 27º = 20,88 m 46 c Análogamente: cos 27 º = → c = 46 ⋅ cos 27º = 40,99 m 46

- Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. Obtendremos los catetos planteando una ecuación. Para ello, pinchamos en el icono ‘Resolver ecuación’, que encontraremos en la pestaña ‘Operaciones’. Después, rellenaremos los huecos con la ecuación que queramos resolver y pinchamos en el icono ‘=’. Debemos saber que para utilizar en la función un valor de seno o coseno, sólo tenemos que escribirlo como hemos aprendido y Wiris lo calculará a la vez que la ecuación. Figura 20.

2. Como hemos indicado en el paso anterior, planteamos la ecuación, en la que insertaremos

un seno, cuya abreviatura es ‘sen’ y un símbolo de grado angular que introduciremos pinchando en su icono correspondiente, dentro de la pestaña ‘Símbolos’.

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[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 7. Trigonometría. Figura 21.

3. Repitiendo los pasos del apartado anterior, planteamos la ecuación en la que utilizaremos un coseno con su abreviatura “cos” y pinchamos en el icono ‘=’ para conocer la solución.

Figura 22.

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Ejercicio 7. Iris está haciendo volar su cometa. Ha soltado 36 m de hilo y mide el ángulo que forma la cuerda con la horizontal, 62º. ¿A qué altura se encuentra la cometa sabiendo que la mano de Iris que sostiene la cuerda está a 83 cm del suelo? Figura 23.

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4º ESO B [EDUCANDO CON WIRIS]

a es la altura de la cometa por encima de la mano de Iris. a es el cateto opuesto al ángulo de 62º. El seno es la razón trigonométrica que la relaciona con la hipotenusa:

sen 62º =

a → a = 36 ⋅ sen 62º = 31,79 m 36

La cometa está a una altura de 31,79 + 0,83 = 32,62 m.

- Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. La primera operación es una ecuación. Para plantearla, pinchamos en el icono ‘Resolver ecuación’, dentro de la pestaña ‘Operaciones’. Necesitaremos también insertar una fracción, lo que haremos pinchando en el icono ‘Fracción’, dentro de la misma pestaña.

Cuando lo

tengamos planteado, pinchamos en ‘=’.

Figura 24.

2. El último paso, es sumar dos valores, para lo que solamente tenemos que escribir los números y entre ellos, escribir un signo de suma con el teclado (+). Cuando la operación esté resuelta, pincharemos en el icono ‘=’ y aparecerá la solución. Figura 25.

Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:

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[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 7. Trigonometría.

Ejercicio 8. ¿Cuánto mide la apotema de un pentágono regular de lado l = 10 cm ? Figura 26.

α = 360º : 10 = 36º tg 36º =

5 5 →a= = 6,88 a tg 36º

La apotema mide 6,9 cm.

- Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. En primer lugar, calcularemos el valor de α mediante una división. Escribiremos el nombre del ángulo (nos ayudaremos de la primera imagen), y a continuación, después de un signo =, la operación. Utilizamos como signo de división la barra que encontraremos en el teclado (/). Figura 27.

Figura 28.

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4º ESO B [EDUCANDO CON WIRIS] 2. Ahora, calcularemos cuánto vale la apotema, para lo que plantearemos una ecuación. Esto lo haremos pinchando en el icono ‘Resolver ecuación’, dentro de la pestaña ‘Operaciones’; rellenando los huecos y pinchando en el icono ‘=’ para conocer el resultado.

Figura 29.

Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:

Ejercicio 9. Desde un satélite artificial se ve la Tierra bajo un ángulo de 140º. Calcular: Radio de la Tierra: R = 6366 km Figura 30.

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Figura 31.

[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 7. Trigonometría. a) La distancia a la que se encuentra la Tierra: En el triángulo OTS: cos 20º =

R+d =

OT R = OS R + d

R R − R = 408,56 km →d = cos 20º cos 20º

b) El área de la porción de la Tierra visible desde el satélite. Para calcular el área del casquete esférico visible desde S hemos de conocer la altura, h, del casquete, pues A = 2πR ⋅ h En el triángulo OHT, cos 20º =

OH R − h = → R − h = R cos 20º → OT R

→ h = R − R cos 20º = R(1 − cos 20º ) = 383,92 km Área del casquete = 2πRh = 15356323 km 2

- Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. En primer lugar, aprenderemos a dar nombre a un valor o cálculo de un resultado. En este caso es un sólo dato. Para conseguirlo, escribimos el nombre que queramos darle y después un ‘=’ y el dato. Figura 32.

2. Ahora operaremos y en vez de escribir el dato, escribiremos R que es su nombre. La operación, será una ecuación. Para plantearla, pinchamos en el icono ‘resolver ecuación’, dentro de la pestaña ‘Operaciones’ y entonces rellenamos los huecos. Debemos recordar que para calcular un coseno, escribimos “cos” y entre paréntesis los grados. Cuando lo tengamos planteado, pinchamos en el icono ‘=’.

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4º ESO B [EDUCANDO CON WIRIS] Figura 33.

3. Ahora, calcularemos la altura y le daremos un nombre (h). Escribiremos el nombre y después del ‘=’, la operación (en ella nos remitiremos también al valor R). Cuando pinchemos en el icono ‘=’ Wiris entenderá que el valor que resulte es igual que escribir ‘h’. Figura 34.

4. Por último, calculamos el área multiplicando varios valores, entre los que hay dos a los que les dimos nombre en pasos anteriores (R y h). También necesitaremos utilizar π , para lo que pinchamos en su icono, que se encuentra en la pestaña ‘Símbolos’. Figura 35.

Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:

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[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 7. Trigonometría.

Ejercicio 10. ¿A qué altura sobre la superficie terrestre hemos de subir para ver un lugar situado a 1000 km de distancia? Figura 36.

Un cuadrante de meridiano terrestre tiene 10.000 km y corresponde a un ángulo de 90º. A un arco de 1.000 km le corresponde un ángulo de 9º. En el triángulo OTS:

cos 9º =

OT R R R = →R+d = →d = −R OS R + d cos 9º cos 9º

 1  − 1 = 79,353 km d = 6366  cos 9º  Deberíamos elevarnos a 79353 m.

- Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. Deberemos realizar una operación, para lo que introducimos todos los valores y pinchamos en el icono ‘=’. Calcularemos un coseno, para lo que escribiremos “cos” y entre paréntesis los grados. Para insertar el símbolo º, pinchamos en su icono, dentro de la pestaña ‘Unidades’. Figura 37.

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4º ESO B [EDUCANDO CON WIRIS] Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:

Ejercicio 11. Expresar con valores comprendidos entre -180º y 180º los ángulos siguientes: a) 775º 775

360

55 2

775º = 360º⋅2 + 55º = 55º b) 1400º 1400 320

360 3

1400º = 360º⋅3 + 320º = 320º = 320º −360º = −40º

- Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. Para realizar una división euclidiana, pincharemos en el icono ‘División euclidiana’, que encontramos en la pestaña ‘Operaciones’.

Figura 38.

2. Sustituimos los datos del primer apartado en los dos huecos del esquema de la división. Cuando lo tengamos planteado, pinchamos en el icono ‘=’ y conoceremos el resultado.

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[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 7. Trigonometría. Figura 39.

3. Repetiremos el paso que realizamos con el apartado anterior y después, realizaremos una resta, y para insertar un signo de restar, utilizaremos el guión que encontramos en el teclado (). Cuando lo tengamos todo planteado, pinchamos en ‘=’ y obtendremos nuestra solución. Figura 40.

Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:

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