Story Transcript
NACIONAL
FACULTAD
TEMA:
DE
INGENIERÍA
ANÁLISIS DEL
FILTRO
ELÉCTRICA
DE
TERCER
ORDEN
DE
í
BUTTERWORTH 'Y APLICACIÓN
EN UN
ELECTRÓNICO DE
DOS CANALES, CON
3 VÍAS EN
CROSSOVER
FRECUENCIA DE CORTE VARIABLE.
TESIS PREVIA A LA
OBTENCIÓN DEL TITULO
DE INGENIERO
EN LA ESPECIALIZACION DE ELECTRÓNICA Y CONTROL
FERNANDO V. MUHOZ QUESADA
MAYO -1991
"1-.w
CERTIFICO QUE EL PRESENTE TRABAJO HA SIDO ELABORADO EN SU
TOTALIDAD POR
SEÑOR FERNANDO V. MÜKOZ QUESADA
£^
ING. MIGUEL HIÑO JOSA
Ps*
DIRECTOR DE TESIS
EL
I
DEDICATORIA
A MI ESPOSA Y MI HIJO
AGRADECIMIENTO
:
i-
A
TODOS QUIENES
L j ''
CULMINACIÓN DE MI CARRERA. A MIS
PROFESORES
HICIERON
POSIBLE
LA
EN ESPECIAL
Pági CAPITULO PRIMERO: INTRODUCCIÓN 1.0
Introducción
1
1.1
Elección del tipo de filtro
1
1.2
Elección de la estructura del filtro
4
1.3
Determinación del orden del filtro
11
1.3.1
Primer orden
11
1.3.2
Segundo orden
12
1.3.3
Tercer orden
12
1.4
Intervalo óptimo de variación de las frecuencias de cruce
•
14
1.4.1
Para respuesta en frecuencias bajas
14
1.4.2
Para respuesta en frecuencias medias
14
1.4.3
Para respuesta en frecuencias altas
15
1.4.4
Elección del rango de frecuencias
15
CAPITULO II: ANÁLISIS DEL FILTRO DE TERCER ORDEN DE BUTTERWORTH SEGÚN EL DIAGRAMA DE FLUJO
2.0
Representación del diagrama de flujo
2.0.1
Conceptos adicionales de los amplificadores
17
operacionales
18
2.0.1.1
El amplificador operacional como integrador
19
2,0.1.2
El amplificador operacional como sumador
21
2.1
Realización de la estructura de tercer orden
22
2.2
Análisis del sobretiro
29
2.3
Análisis de la estabilidad
30
2.3.1
Estabilidad absoluta
30
2.3.2
Estabilidad relativa
31
2.4
Análisis de la sensibilidad
32
2.4.1
Frecuencia de corte
32
2.4.2
Factor de calidad Q
34
2.4.3
Sobretiro
35
CAPITULO TERCERO: REALIZACIÓN PRACTICA
3.0
Estructura y especificaciones a cumplir
37
3.0.1
Estructura
37
3.0.2
Especificaciones
3.0.3
Diseño del. primer filtro
38
3.0.4
Diseño del segundo filtro
41
3.1
Diseño del crossover de tres vias
43
3.2
Sistema de ecuaciones que rigen el sistema global
46
3.2.1
Ecuaciones del paso bajo
46
3.2.2
Ecuaciones del pasa banda
47
3.2.3
Ecuaciones del paso alto
48
-
37
CAPITULO IV: CONSTRUCCIÓN Y RESULTADOS DEL MODELO EXPERIMENTAL
4.0
Introducción
'
49
4.0.1
Acoplador de impedancia de entrada
49
4.0.2
Amplificador de tensión
50
4.0.3
Buffer de salida
51
4.0.4
Sistema de retardo de la respuesta
52
4.0.5
Fuente de poder
54
4.1
Construcción
55
4.1.1
Módulo de entrada
55
4.1.2
Módulo de salida
,
56
4.1.3
Fuente de poder
4.1.4
Montaje
4.2
Resultados experimentales
61
4.3
Comentarios y conclusiones
76
,
58
-
-
59
CAPITULO V: RECOMENDACIONES ACERCA DE SU UTILIZACIÓN
5.1
Instalación de un sistema de audio
PLANO DEL SISTEMA GLOBAL BIBLIOGRAFÍA
..
79
83 ,
ANEXO No.l. Gráficos y tablas para el análisis teórico...
85 86
ANEXO No.2. Diseño y construcción de un amplificador de 40 W RMS PLANO DEL AMPLIFICADOR
94 99
ANEXO No.3.Hojas de datos técnicos de los semiconductores utilizados ANEXO No. 4. Datos técnicos de altoparlantes. .
i
102 113
ANTECEDENTES i
INTRODUCCIÓN
La
revolución
protagonista
científica
en la
mundo actual, siendo nica la
y
tecnológica tiene
trasformación
social
un
y económica
la innovación tecnológica de la
papel en
el
electró-
que ha evolucionado a tal punto que puede modificar la
estructura de la sociedad.
Debido
a que
casi todos
el
decisivo en
los procesos físicos , el campo de las aplicaciones
prácticas resulta
muy amplio.
una ciencia, que es circulación vacío
electrón desempeña un papel
de
Es así que se
parte de la física, para el estudio
cargas eléctricas
así como el
ha desarrolllado
control de
en gases,
de la
sólidos y
en el
dichos movimientos, ésta
es la
Electrónica.
El progreso logrado citado al punto
en el campo de
hombre para ver
y oír a
la electrónica ha capa-
larga distancia,
insospechado, escrutar los misterios
grande y de
lo más
pequeño, un impacto
hasta un
de lo inmensamente
notable se
da en
la
mejoría de los procedimientos industriales.
En las últimas décadas ductores se
ha dado
tienden ha hombre _
la aparición de los
lugar a una
con grandes inversiones de la investigación
y con
electrónica,
capital, dedicada exclusivamente
y fabricación de
satisfacer las
gran industria
semicon-
aparatos electrónicos,
necesidades propias
y creadas
a que del
ii
IMPORTANCIA DEL TRABAJO
La humanidad en los últimos tiempos se ha visto por la gran por muchas
cantidad de inventos y descubrimientos personas, que de
grano de arena
para de
Este es el caso gación,
una u
otra forma
esta manera
se ha
realizados
han puesto
su
alcanzar éxitos mayores.
de la presente obra, que fruto de
paciencia y trabajo
beneficiada
la investi-
convertido en realidad con
todos sus beneficios y aplicaciones.
En
las últimas
acelerado de
;;
i.
r \
décadas
la electrónica, y
ción de los elementos ficación con
cias que así
un
desarrollo
en este campo, la minia.turiza-
ha permitido realizar sistemas de ampli-
de los
llevar el
de
en cuanto a las respuesta de los mismos nace filtros activos para dividir las frecuen-
corresponden al
necesario a
ha evidenciado
grandes potencias, dadas las características
los altoparlantes la necesidad
se
criterio
audio en de alta
cumplir cuando
varios segmentos
fidelidad como
se trata
de manejar
un
logrando concepto
el audio
en
altas potencias.
Para entender dor
(amplificador), actuador (parlantes)
dia las r v
el proceso del audio en las etapas de: exita-
características que se debe cumplir en cuanto a: tipo,
estructura y orden
orden de
y audición; se estu-
del filtro; se analiza
el filtro de tercer
Butterworth con una estructura del diagrama de flujo,
í como una alternativa para tros activos (crossover) .
la construcción
de una red de
fil-
Considerando el audio y que
costo que tienen
los distintos equipos
realmente existe una gran
de
variedad de los mismos,
resulta necesario un conocimiento general del
sistema, para de
esta manera
menor costo,
sacar el
crossover para veer
poder brindar la
la capacidad
corte, las
mejor provecho
de variar
con el
mayor versatilidad debe
las
pro-
respectivas frecuencias
mismas que normalmente se
realiza según los
el
de
tipos
de altoparlantes utilizados.
El crossover provee
es el elemento que en el tratamiento del audio
la capacidad de
tiamplificación y en
poder disponer
este caso se diseña
(Bajos, medios y agudos) con dos do
y derecho), sistema
rización a gran escala.
de un sistema
de muí—
para tener tres vías
canales (normalmente izquier—
que generalmente es utilizado en sonó—
1.0 INTRODUCCIÓN El objetivo del presente trabajo es la realización de un divisor de frecuencia electrónico con frecuencias de corte variable, que puede ser utilizado en sistemas de amplificación de audio en tres vías, las mismas que son: Bajos, medios y agudos; generalmente, utilizado cuando se ocupa grandes potencias logrando asi alta fidelidad. El sistema representado en bloques seria asi:
Amplificador 1 Agudos Crossover Electrónico
Amplificador 2 Medios
Amplificador 3 Bajos
Altavoz de agudos
Altavoz de medios Altavoz de bajos
Figura 1.1 Sistema de amplificación en tres vias Este tipo de configuración proporciona una mejor distribución de potencia y una mayor uniformidad en la respuesta; además, existe una gran dificultad en fabricar altoparlantes que sean capaces de reproducir la banda de audio completa C 1 ) ; por lo tanto, se hace trabajar a los parlantes en un determinado rango de frecuencias, especialmente en el rango óptimo para el cual han sido disefíados. 1.1.- ELECCIÓN DEL TIPO DE FILTRO
NATIONAL SEMICONDUCTOR, Audio Handbook, Pag. 5.1
El divisor de frecuencia electrónico es un sistema de filtros activos utilizados para dividir la banda de audio frecuencia en varias secciones para su amplificación individual. Las propiedades que se necesita que cumpla el tipo de filtro a utilizar en este sistema son:
-Respuesta de frecuencia en amplitud plana en la banda de paso -Buena respuesta de fase -Que no exista o sea mínimo el sobre impulso -Buena propagación de grupo -Mínima deformación en régimen transitorio -Debido a que se necesita frecuencia de corte variable, sus características deben ser estables al variar la frecuencia de corte.
Para cumplir con estas propiedades se tienen varias configuraciones de filtros siendo los siguientes Quatro los principales: Bessel, Butterworth, Chebicheff y Cauer. (2) Revisando las características de estos filtros se tienen: Bessel
—Excelente respuesta de fase -Pésima respuesta de amplitud -Buena respuesta transitoria, como una consecuencia de la respuesta de fase Butterworth -Aproximación monótona -Buena respuesta de fase -Respuesta frente a transitorios aceptable
2
BILDSTEIN P., Filtros Activos, Pag. 31
-Maximalmente plana en el origen -En W=WsdB presenta la atenuación de 3 dB independiente del orden n. Ctiebycheff -Rizado de atenuación de amplitud constante en la banda de paso controlado por e (factor de rizado). —Respuesta monótona en la banda atenuada -Mejor control de amplitud que en los filtros de Butterworth -Mal control de fase. Cauer —Rizado constante en ambas bandas -Óptima aproximación de amplitud —Pésima respuesta de fase.
Por lo tanto, se puede decir que el filtro que más se ajusta a nuestras necesidades es el de Butterwortli, tanto por sus características como por su facilidad de ajuste. La curva de respuesta que se desea obtener es la siguiente:
Fao
fa
Fai
Fbo
fb
Fbi
Figura 1.2 Respuesta de frecuencia del crossover En donde se cumple: Fao < Fa < Fai , Fbo < Fb < Fbi además Fai < Fbo
4 Se debe satisfacer que la frecuencia de corte del paso "bajo sea igual a la frecuencia de corte más baja del paso banda; además, que la frecuencia de corte más alta del paso banda sea igual a la frecuencia de corte del paso alto (Puntos de -3dB). 1.2.- ELECCIÓN DE LA ESTRUCTURA DEL FILTRO Para la realización de los distintos tipos de filtros existen varias estructuras, las cuales se estudiarán a continuación. Normalmente, basta estudiar un filtro pasa bajo para lograr comprender los filtros; en general, por las respectivas transformadas gue existen, las cuales permiten realizar configuraciones más complejas. En la pág. 141 de Filtros Activos de Bildstein se puede apreciar distintas configuraciones de filtros, como son: Filtro paso
bajo utilizando
un
A.O. con
realimentación
doble t con un esquema: C2 KR 1
VI
R
KR 'WV
V
'
A /
Mr •*• /
L C!
V2
Figura 1.3 Filtro utilizando un A.O. Cuya función de transferencia es:
La misma que tiene como parámetros:
en
—
C,
2
Utilizando un A . O . con realimentación con un esquema:
V
Figura 1.4 Filtro con un A.O. y realimentación El mismo que tiene una función de transferencia:
Función que tiene como parámetros
Utilizando una fuente de tensión constante con un esquema:
K
R VI
R V2
Figura 1.5 Filtro con fuente de tensión constante
La misma que tiene una función de transferencia; ~ * O-o^C-i /"f • /"i * * \A. /1 A/ V*\ J D-*-*l 'JrTjL.
Teniendo, por lo tanto, los siguientes parámetros; 1
Utilizando una fuente de tensión negativa con un esquema:
Figura 1.6 Filtro con fuente de tensión negativa Siendo la función de transferencia como se muestra:
K en donde se cumple que K > O y además, los siguientes parámetros: 1
JC+2
0-Utilizando un INIC como elemento activo en un esquema:
IS
K fj\f¿A_J
,
-VWVU.
INIC
V1
R
^Cl
- V2 C2
Figura 1.7 Filtro con un INIC Cuya función de transferencia es:
La misma que tiene como parámetros:
1
_ ~~
.
\o
un
INIC
como
esquema:
C1 V1
NIC
•-C2
Figura 1.8 Filtro con un INIC realimentado Cuya función de transferencia es:
elemen
8 La misma que tiene como parámetros:
VN Utilizando un girador, como elemento activo, en el esquema:
R
Rq
.
Vt C1
^)
Lr
-
C2
-:
"•
Figura 1.9 Filtro con girador Cuya función de transferencia es:
1
Rg R
Teniendo como parámetros: WO=-
C>-
A las cuales, se puede añadir la configuración presentada e la Pag. 24 de Breve Curso Sobre Métodos Modernos de Síntesis d Filtros Analógicos en las X Jornadas en Ing. Eléctrica y Electró nica, la misma que en forma de diagrama de flujo se expone continuación:
¡t
9 VI
1/5
V2
1/S
V3
ao
-ho
Figura 1.10 Diagrama de flujo del filtro de orden 2 Estructura que presenta las siguientes ecuaciones: VI V2 V3 Vs
= =
Ve + bl*V2 - bO*V3 V1*(-1/S) V2*(~1/S) aO*V3
(1-1) (1-2) (1-3) (1.4)
Reemplazando la ecc. 1.2 en 1.3: V3 = V1*(1/S)~2 • (1-5) Reemplazando 1.2 y 1,5 en 1.1 se obtiene: VI = Ve - bl*Vl*(l/S) - bO*Vl*(l/S)~2 Ve = VI*(1 + bl*(l/S) 4- bO*(l/S)~2) La misma que nos queda de la forma: VI 1 = (1.6) Ve 14- bl*(l/S) 4- bO*(l/S)"2 Además, reemplazando 1.4 y 1.5 en 1.6 se tiene: Vs
1
aO(l/S)"2*Ve 1 + bl*(l/S) 4- bO*(l/S)"2 La misma que nos queda de la forma: Vs aO = Ve S"2 4- bl*S + bO
(1.7)
10
Al observar las ecuaciones 1-6 y 1.7 se aprecian situaciones interesantes, como son, que la ecuación 1.6 corresponde a un paso alto y la ecuación 1.7 a un paso bajo; ademes, aO = 1 en un filtro de este' tipo.
Esta característica tiene un gran peso en la elección del tipo de estructura, ya que se necesitan cumplir ciertas condiciones expuestas anteriormente, como son, Freq. de corte paso-bajo = Freq. de corte paso-alto del paso—banda, Freq. de corte paso bajo del paso-banda = Freq. de corte del paso-alto. Esta condición complica de una manera irrealizable a las configuraciones tradicionales expuestas anteriormente. La realización de este tipo de configuración sería entonces:
Figura 1.11 Filtro según el diagrama de flujo En donde se cumple ciertos condicionantes: R5*C1 = R6*C2
(a)
R2/R3 = bO
(b)
Kl = bO - bl + 1
(c)
R1/R4 =-bl/(bO-bl+l)=bl/kl
(d)
Siendo la primera condición (a) la que determina la frecuencia
11 de corte y
ya que si se
varían R5 y R6 a la ves y
valor se tiene una variación
de la frecuencia de corte; pero
mantiene la función de transferencia, diente de R5 y R6 (si
con el mismo
se
porgue la misma es indepen-
se cumple: a) dependiendo solo de
Rl, R2,
R3 ? y R4. 1.3.- DETERMINACIÓN DEL ORDEN DEL FILTRO Para determinar el orden
del filtro debemos considerar varios
aspectos, como son: que el espectro de audio sea repartido en las secciones correspondientes, de tal diente sea
igual a la señal
manera que la suma correspon-
original ( 3 ) , y que
la complejidad
del dispositivo permita la implementación del equipo. 1.3.1.- PRIMER ORDEN Tomando
las funciones
de transferencia
normalizadas y
para
Wo-1. Como también para una frecuencia de corte: TL(S)
= 1 /
(1+S)
(1-8)
TH(S)
= S /
(1+S)
(1-9)
En donde, TL(S) y TH(S)
es la función de transferencia paso-bajo
es la función de transferencia paso-alto.
Según lo expuesto: TL(S) Por
+ TH(S) = 1 lo tanto,
tiene que
(1-10) se cumple
con la condición
de suma;
pero ee
la pendiente de atenuación es de solo 6 dB por octava,
lo cual influye en la respuesta que deben tener los altavoces, ya que deben operar linealmente en dos octavas extras, pudiendo producirse distorsiones inherentes a los altavoces.
NATIONAL SEMICONDUCTOR, Audio Handbook, Pag. 5.2
12 1.3.2.- SEGUNDO ORDEN Según las funciones de transferencia tenemos: TL(S) = 1 / (S~2 + /2*S 4 1) TH(S) - S~2 / (S~2 4 /2*S + 1)
(1.11) (1.12)
Según lo expuesto: TL(S) + TH(S) = (S"2 4 1) / (S~2 4 /2*S 4 1)
(1.13)
En el punto de corte S — — jWo = -j sustituyendo en la ecuació 1.13 nos da por resultado O, esto significa que en la frecuenci de corte existe un hueco, o sea, que esta frecuencia no ser reproducida por los parlantes, provocando una sensación desagra dable al oido. Por otro lado, este filtro nos da una pendiente d 12 dB por octava. 1.3.3.- TERCER ORDEN
Las funciones de transferencia, para un filtro de Butterwort de tercer orden, se dan a continuación: TL(S) - 1 / (S~3 4 2*S~2 4- 2*S 4 1) TH(S) = S"3 / (S~3 + 2*S~2 + 2*S + 1)
(1-14) (1.15)
Aplicando la condición de suma se obtiene:
TL(S) + TH(S) - (Srt3 + 1) / (S~3 + 2*Srt2 + 2*S + 1) (1.16) Aplicando la condición de la frecuencia de corte S=-Jwo da TL(-Jwo) + TH(-Jwo) = -1
Por lo tanto, se satisface la condición de voltaje constante potencia constante (ÍTL(S)|"2 4- |TH(S)|"2 = 1); pero se "ha tenid un desf asamiento de 180 grados. Se ha demostrado que cuando
13
3H 2
filtro presenta un desfasamiento gradual y lineal no es detectado al escuchar una reproducción en este sistema (4). Además, se '_ \ tiene una pendiente de atenuación de 18 dB por octava, >
x \
"4
.
En cuanto a complejidad, de acuerdo determinado, se aprecia lo siguiente:
a la estructura que se ha
Primer orden se necesita 1 resistencia variable, 1 dor operacional y 1 condensador.
Amplifica-
Segundo orden se necesita 2 resistencias variables simultáneas , 3 Amplificadores operacionales, 2 condensadores y 4 resistencias fijas.
-"X,,
Tercer orden se necesita 3 resistencias variables simultáneas, 4 Amplificadores operacionales, 3 condensadores y 7 resistencias fijas. Una aspecto interesante, ya que se necesita frecuencia de corte variable, es que al ir incrementado el número de resistencias variables simultáneas se va incrementando el error, ya que estas, normalmente, son acopladas mecánicamente pudiendo inducir errores considerables en los parámetros de disefío. Se puede deducir, entonces, que al elegir el orden del filtro en tres se esta cumpliendo en cuanto a potencia, voltaje y complejidad tolerable y además, que su ajuste sea relativamente fácil de realizar. Además, considerando que se controla 2 filtros en 1 (paso-bajo y paso-alto) resulta que no se ha hecho un esfuerzo en vano, en cuanto a buscar la configuración óptima.
4 NATIONAL SEMICONDUCTOR, Audio Handbook, Pag. 5.2
14 ^
1.4.-INTERVALO ÓPTIMO DE VARIACIÓN BE LAS FRECUENCIAS DE CRUCE
Según se tiene en la figura 2 lo que corresponde encontrar es: Fao , Fai para el paso-bajo y Fbo, Fbn. para el paso alto. ;N
Las características de frecuencias de corte vienen determinadas, en sí, por las características de los altoparlantes que, normalmente, se encuentran en el mercado. Según se aprecia en los diferentes catálogos gue constan en el Anexo No. 4 se tiene: 1.4.1.- PARA RESPUESTA EN FRECUENCIAS BAJAS Diámetro
- -
12" 15"
Frec. de respuesta (Woofer) 30 Hz a 4 KHz 25 Hz a 3.5 KHz
18"
20 Hz
a
3 KHz
Frec. de respuesta (Musicales) 65 Hz a 7 KHz 55 Hz a 6 KHz 40 Hz
a
5 KHz
La diferencia entre los parlantes woofer y los musicales radica en la estructura del cono y de la araña del parlante, siendo en el woofer mucho más flexible, respondiendo así mejor a las bajas frecuencias, pero no así a las altas frecuencias. 1.4.2.- PARA RESPUESTA EN FRECUENCIAS MEDIAS
Realmente, aquí se tiene una gran variedad de posibilidades, ya que inclusive se puede hacer funcionar a parlantes comunes en frecuencias medias. Diámetro Frec. de respuesta Frec. de respuesta (Medios) (Musicales) 4" 300 Hz a 10 KHz 500 Hz a 11 KHz 5" 250 Hz a 15 KHz 700 Hz a 7 KHz 8" 100 Hz a 8 KHz • 10" . 80 Hz a 7 KHz 12"
.
65 Hz
a
7 KHz
15 ii,
Altoparlantes de tipo dome: 600 Hz
a
12 KHz
Altoparlantes tipo bocina (separado driver y bocina) Estos dependen de la potencia de funcionamiento del driver 40 Watts 100 Hz a 8 KH2 60 Watts 100 Ha a S KHz 100 Watts 250 Hs a 6.5 KHz 1.4.3.- PARA RESPUESTA A LAS FRECUENCIAS ALTAS Diam. 3"
4"
Frec, de resp. (Parlante) 2 KHz a 17 KHz 2 KHz a 19 KHz 3 KHz a 20 KHa 3 KHz a 20 KHz 3 KHz a 40 KHz
Frec. de resp. (Dome) 3 KHs a 17 KHz 3 KHa a 19 KHz 2 KHz a 20 KHz 3 KHz a 20 KHz 4 KHz a 20 KHz
Frec. de resp. (Piezoeléctrico) 4 KHz a 40 KHz 3 KHz a 40 KHz 2 KHz a 25 KHz 3 KHz a 40 KHz 2 KHz a 3Q KHz
1.4.4.- ELECCIÓN DEL RANGO DE FRECUENCIAS.
Por lo tanto, para poder escoger el rango de frecuencias óptimo se debe buscar aquellas que cumplan con la mayor cantidad de posibilidades, inclusive se podría pensar en la posibilidad de utilizar el equipo en dos vías. Se tiene entonces:
Para tres vías: Bajo 100 Hz a 800 Hz Medio Determinado por las respectivas frecuencias de corte del paso-bajo y del paso-alto Alto 2 KHz a 6 KHz
Para dos vías: Prácticamente, se utilizará un solo filtro que sería el pasobajo; pero ya que se elimina el medio se tiene que ampliar el
16 ^S ^ ^ £.
r.
rango de la banda de paso, asi por ejemplo:
Bajo Alto
600 Ha a 4.8 KHa Según se sitúe la frecuencia de corte del paso bajo.
Esto se lograría ampliando el rango del paso de banda del filtro paso-bajo en aproximadamente seis veces, esto quiere decir que cuando se utilice en dos vías, necesariamente, se debe multiplicar -la frecuencia de corte del paso-bajo por 6.
En cualquiera de los dos casos la persona que manipula el equipo debe conocer perfectamente el sistema de altavoces que se va a utilizar. Existe, además, la posibilidad de poder conectar el equipo en monofónico, o sea, un solo canal, para lo cual se tienen que sumar las entradas; por consiguiente, se amplía las posibilidades de interconexión con distintos equipos.
17
IX ANÁLISIS DEL
FILTRO DE TERCER ORDEN DE
BUTTERWORTH SEGÚN LA .ES-
TRUCTURA PROPUESTA. 2 _ 0 _ - REPRESENTACIÓN DEL DIAGRAMA DE FLUJO Como ya se mencionó, la función de transferencia del filtro de tercer orden paso-bajo es la siguiente: Vo 1 ._ = _ Vi 1 + 2*S + 2*S~2 + S~3
.
(2.1) .
El correspondiente diagrama de función de transferencia es:
- 1
-VI -1/S
V2 -1/S
V3 -1/S
flujo
V4
(Normalizada)
que
cumple con
esta
1
Figura 2.1 Diagrama de flujo de tercer orden
Demostración de que el diagrama de flujo cumple con la función de transferencia propuesta: VI V2 V3 V4 V4
= =
-Vin + 2*V2 - 2*V3 + V4 (-1/S)*V1 (-1/S)*V2 (-1/S)*V3 Vo
Realizando los reemplazos correspondientes se tiene:
18
V3 = (1/S)~2W1 V4 = (-1/S)"3WI
Por lo tanto: VI = -Vin - 2*(1/S)*V1 - 2*(l/Sr2*Vl - (1/S)"3#V1 VI*(1 + 2/S + 2/S"2 + 1/S~3) -.-Vin -S~3*Vo#(l + 2/S + 2/S~2 + 1/S"3) = -Vin Esto nos da por resultado: Vo 1 Vin
1 + 2*S -f 2*S"2 + S"3
En el respectivo diagrama de flujo para brindar mayor facilidad de implementación, esto es para no ocupar el integrador como sumador, se hace el siguiente cambio: -1
VI -
1
V1
-1/S
V2
-1/S
V3
-1/S
V¿,
1
Figura 2.2 Diagrama de flujo de tercer orden modificado 2.0.1.-CONCEPTOS ADICIONAOS DE LOS AMPLIFICADORES OPEEACIONALES Para poder interpretar de mejor manera la configuración expuesta, anteriormente, se necesita definir algunos conceptos como son: Integradores, Sumadores con Amplificadores Operacionales como elementos activos
19
2.0.1.1.-EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL (AO) COMO INTEGRADOR Para utilizar interconexión:
de esta manera al AO ' Q
se tiene
la
siguiente
Figura 2.3 El A.O. como integrador En donde tenemos: Z = l/(j*W*C)
Esta configuración pertenece a la de amplificador con inversión, por lo tanto: Vo'/Vi' - - Z/R Teniendo la función de transferencia como sigue: Vo'(S)/Vi'(S) =-l/(S*R*C) Si se normaliza (Wo=l/R#C) se tiene entonces: Vp'(S)/Vi'(S) - -1/S La misma que corresponde a la función de transferencia de un integrador.
Por otro lado, se ve que corresponde, además, a un filtro de Butterworth de primer orden y que al variar R o C varia la frecuencia de corte.
Variar R significa que se tiene una resistencia variable, y variar C sería que varía la capacitancia; pero comercialmente no
20
existe un condensador variable de la capacidad requerida aguí 1 KpF a 100 KpF, esto puede ser solucionado con un multiplicador variable de capacitancia como el que se muestra a continuación:
Figura 2.4 Multiplicador de capacitancia En donde se cumple que (B): C = (1 + Rb/Ra) * Cl
(2.2)
Como se ve, se logra variar la capacitancia en los niveles deseados, pero se llega a la misma conclusión de que en los dos casos.se tiene una resistencia variable y que al ser variable la capacitancia se ha incrementado notablemente la complejidad de realización pudiendo inducir de esta manera errores inherentes al sistema; además, la capacitancia variable asi lograda no es flotante, sino que depende de una referencia la misma que en este caso es tierra.
Por lo tanto, se concluye que es preferible variar la resistencia R para variar la frecuencia de corte.
NATIONAL SEMICONDUCTOR, Linear Data Book , Pag. 3.133. PHILIPS ECG, Linear Modules and Integrated Circuits Technical Manual, Pag. 132 Vol 2.
21
2,0.1.2.-EL AMPLIFICADOR OPERACIÓN AL COMO SUMADOR La
estructura del
consta a
continuación.
permanece en
sumador,
en genei^al,
En donde,
funcionamiento lineal
se
sería
supone que,
con las
señales
como la el
que
cii»cuito
normales de
funcionamiento: RJ
Figura 2.5 El A.O. como sumador
"En el análisis del circuito del Amplificador Operacional no inversor se debe valer del hecho de que: 1.- no entra corriente por ninguna de las dos entradas y 2.- los potenciales de las dos entradas son iguales" (s). Por lo tanto Va = Vb (2.3) Además: Inl + ... + 131 + 121 4- 111 = la Reemplazando los respectivos valores:
je.•ni
(2.4)
V -Va V - Va ^11-^ ... + Vji va + Vai R j?,.
Va
31
Dejando Va en un solo miembro: e
MILLMAN Y HALKIAS, Electrónica Integrada, Pag. 507
T HAYT Y KEMMERLY, Análisis de Circuitos en Ingeniería, Pag. 23
+ .. .+J.^+J^+—ii«(_L+JL.*... . 1 . 1 . 1 -^31
De igual forma, In + ...
-^21
se tiene para el nodo Vb:
+ 13 + 12 + II = Ib + lo
(2.5)
Reemplazando los respectivos valores: Vb
Vb-Vo
Dejando Vb en un solo miembro: Vn. .
. vi . V-2 . vi _Trt_ / 1 . 1 .
.1.1.1,
Vo
.R3 Relacionando estas dos ecuaciones resultantes tenemos:
,_ , ,
;_
t(
,_ ,
,
(2.6) Por lo tanto, para cumplir la condición de suma se debe tener: 1 ,
--
1 -f_
Rb
1 -J-.
1 ~T" . . . "T~
Ro
—
„,_ „
Rn
~~
1
Rnl
R3
1
' *T"
1
'
_1_
_ __-
R31
R2
' •—
-L.
___
R21
Rl
1
——
-L
Ra
+
—-
1 -\- _ _ _ -J-
1 ---
+
1
—• — —
-f-
—'
R31 R21 Rll (2.7) De cumplirse esta condición se tiene entonces que: Vo Vnl V31 V21 Vil Vn V3 V2 VI __
Ro
1
—.—. _
„
Rll
f
Rnl
^-__
Rn
, I,
I, _ _
R3 (2.8)
-1, ,_ ._
R2
i
__ _
^
Rl
2_1_~ REALIZACIÓN DE LA ESTRUCTURA DE TERCER ORDEN Después
de haber
revisado
las
definiciones anteriores,
se
23 puede entonces presentar necesidades planteadas.
un esquema
que va
a cximplir
con las
Ra I R2\a 2.6 Estructura de tercer orden
En esta estructura se deben tener algunas consideraciones, para poder cumplir con la forma del filtro paso bajo de butterworth de tercer orden, como son: Rl - R2 = R3
Cl = C2 = C3
(2.9)
Y como consecuencia de la condición 2.7 y para mantener la forma de la función de transferencia: 2R2' - 2R11 = 2Ra - Rl' - R21 - Rb - Ro (2.10) De la definición de sumatoria , para nuestro caso , se tendrá entonces : Ro Ro Ro - Ro Vo - V21* - + Vil* -- (V2* — + VI*—) R21 Rll R2' Rl' En donde V21 = V4 y Vil = V2 Según lo definido anteriormente se tendría que cumplir 1 1 1 1 1 1 1 Rb
Ro
R21
Rl'
Ra
R21
Rll
24 Según las igualdades 2 . 10 se tiene entonces : 1 1 2 1 2 1 2 Ro Ro Ro Ro Ro Resolviendo resulta: 5 5 Ro
Ro
Ro
Ro
Con lo cual, sumador. Con las la resolución de Ro VI - - Vin* -Rl' Considerando las VI = 2*V2 4- V4 V2 = (-Z1/R1)*V1 V3 = (-Z2/R2)*V2 V4 = (-Z3/R3)*V3 V4 = Vo
se observa que se cumple con la condición de definiciones anteriores, entonces, se procede a los respectivos sistemas de ecuaciones: Ro Ro Ro V3*— + V2* — + V4* — (2.11) R2' Rll R21 igualdades 2 - 10 : Vin - 2*V3 (2.12) (2.13) (2.14) (2.15) (2.16)
El objetivo es, por consiguiente, poner Vo en función de Vin Reemplazando 2.13 en 2.14 tenemos: V3 = (-Z2/R2)(-Z1/R1)*V1 = (Z1*Z2)/(R1*R2) * VI (2.17) Reemplazando 2.17 en 2.15: V4 = (-Z3/R3)*V3 = (-Z1*Z2*Z3)/(R1*R2*R3) * VI (2.18) Reemplazando 2.13 , 2.17 , 2.18 en 2.11: Zl Z1#Z2*Z3 Z1*Z2 VI = -2* - *V1 - ---*V1 - Vin - 2* - *V1 Rl R1*R2*R3 R1*R2 (2.19) Dejando VI en un solo miembro se obtiene: J* ¿In
¿l-\ ¿l-i
•• R-\d que escrita de otra forma nos da:
25 Vi _ *L (2.20) Reemplazando 2.Í8 en 2 . 2 0 tenemos;
1 2 3
,
1+2 —i +2
,
2
12
«-* 12 3
La misma g.ue utilizando la ecuación 2.16:
1
Vb
+2 — - +2 ^j* ¿>-j ¿*-\
"\
(2.21) En este punto si se utilizan las igualdades 2.9 nos-da:
1
Vb
. R-, % . A-, (_Jl)3+2 (_A x r ' "
(2.22)
(2.23) Por lo tanto,
si
se pone
en función de W
tenemos: Vb V±n
1 ~j
La miema que agrupando reales e imaginarios: Vo
1
y de R, C
en 2.21
26 (2.24)
En la gue, si se utilizan las igualdades 2 . 9 , da como resultado: Vo
1
Vin
(l-2(íW? 1 C L ) : 3 )-í-7WR i q(2-(^C 1 ) 2 ) (2.25)
De estas ecuaciones se pueden encontrar las ecuaciones de amplitud y desfasamiento, para lo cual se utilizan las definiciones dadas en teoría de complejos: A-a+jb
A*=a-jb
A
A(B')
a+j¿> _ (ac+bd) +j (.bc-ad) c+jd c^d2
B' ~\ v
2+
, Jbc-ad x 2 ri
bc-ad ac+bd
Que de acuerdo al formato de la ecuación 2.25 nos queda:
U-, (2.26)
d_ c
(2.27) Por lo tanto, se tiene para la amplitud considerando las ecc 2.9:
27
Vo |V±n \a misma que resolviéndola resulta en lo
Vo i V±n ^
(2.28)
y para la fase tenemos:
(2.29) Que es la forma de la ecuación de la amplitud y de la fase para el filtro pasa bajo de orden tres del tipo de Butterworth en función de la frecuencia.
En la ecuación 2.28 se aprecia que la frecuencia de corte ten dría un valor de:
v—^--i. c n " RC (2.30) De igual manera, se puede realizar la forma de para cuando no se cumple las ecc. 2.9:
v±n \ (2.31) Y para la fase:
(2.32 )
las ecuaciones
28
En las
ecuaciones 2 . 2 2 y 2.23, considerando que S-jW y que se
tiene también Wc=l/(R*C), en donde Wc es la frecuencia se llega a
las funciones normalizadas del
de corte,
filtro de Butterworth
las mismas que son: Vo(S) Vin(S)
_ 1 1+2S+2S 2 +S 3 (2.33)
Vin(S)
(2.34) * Como se puede apreciar en la fig. 2.6, se tienen los d filtros en esta estructura: pasa bajos y pasa altos, en los que la frecuencia de corte de los mismos es controlada por las resistencias Rl, R2 y R3; además, considerando las equivalencias 2.9 se tiene que la frecuencia de corte queda determinada por la siguiente expresión : 1 Fe =-• (2.34) 2*TC*R1*C1 Debido a que interesa el análisis del filtro paso bajo ya que al estudiar este, prácticamente, se estudian los dos filtros, o sea, el paso-bajo y el paso-alto.
En el gráfico 1 del anexo No. 1 se tienen las curvas correspondientes a la amplitud y a la fase en función de la frecuencia normalizada, en donde se aprecia, por ejemplo, que cuando Wc— 1 A es igual a -3dB como, también, que la pendiente es de -18 db por octava; además, que el desfasamiento producido por el filtro en la banda de paso es aproximadamente lineal, lo cual constituye uno de los requerimientos de diseño .
El grupo de las ecuaciones 2.28 a 2.31 serán entonces las que se utilizarán para el análisis de sensibilidad, sobretiro; además, para el análisis de estabilidad se utilizará la ecuació 2.32, pero considerando que Rl, R2 , R3 no son iguales y que Cl
29 C2, C3 tampoco son iguales. 2.2_- ANÁLISIS DEL SOBRSTIRO
Para el análisis del sobretiro se tiene en consideración la máxima ganancia que va a presentar el circuito a una frecuencia determinada llamada Ws (frecuencia de sobretiro), la misma que ae encuentra con los procedimientos de rutina con el estudio de máximos y mínimos, o sea, con la respectiva derivada de la función con respecto a W igualada a cero.
Para el caso de la ecuación 2.28' que es la que determina la función de la ganancia para el filtro de Butterworth se tiene: Vb |_ Vin *\a misma que al derivar nos queda:
3 i Vb i dw Vin
1 2^
En esta expresión, la única condición para que la derivada sea igual a cero es cuando la frecuencia es cero, lo que nos demuestra que no existe sobretiro, esta situación se puede ver claramente en el gráfico 1 del anexo No. 1, con lo cual se cumple con el enunciado dado al inicio, según lo cual, el filtro de Butter— worth es maximalmente plano en el origen.
Una cuestión de mucho interés se presenta cuando no se cumpla la condición 2.9 ,es decir, que no son necesariamente iguales Rl, R2, R3 ó a su vez Cl, C2, C3. Esta consideración se hace presente en el caso de la ecuación 2.31 la misma que determina la amplitud de la ganancia; pero que a su vez; se entra en el caso de que la expresión ya no corresponde a un filtro de Butterworth de tercer orden, por lo tanto, este caso se considerará cuando se hable de la sensibilidad de los distintos parámetros cuando hay una varia-
30
ción de los elementos 2.3.- ANÁLISIS DE ESTABILIDAD Para el análisis de la estabilidad existen dos criterios a con siderar, los
mismos que son: estabilidad
absoluta y estabilidad
relativa, 2.3.1-- ESTABILIDAD ABSOLUTA Para este análisis se utiliza la función de transferencia, que viene dada por la ecuación 2 . 2 1 al reemplazar Z por 1 sobre SC: Vb V.in
1
En donde considerando el criterio de estabilidad de Routh (B) 1.— Si todos los coeficientes del denominador son mayores que cero el sistema es absolutamente estable. 2.— En la primera columna de las siguientes expresiones S" 3
R1C1R2C2R3C3
R3C3
S~2
R2C2R3C3
1
S~l S~0
R2C2(R3C3)"2 - R1C1R2C2R3C3)/(R2C2R3C3) 1
Para que exista estabilidad absoluta debe cumplirse R2C2R3C3(R3C3 - R1C1)/R2C2R3C3
>
O
R3C3 - R1C1 > O Al revisar los
datos obtenidos en el computador para distin-
tas variaciones de R y de C se aprecia que el sobretiro es mínimo e
OGATA K., Ingeniería de Control Moderna, Pag. 274
31 y en
los casos cuando se
cumple esta condición el
sobretiro es
aún menor.
2.3.2.- ESTABILIDAD RELATIVA
En un sistema en cuanto a estabilidad se refiei*e este criterio es el de mayor peso, en éste caso se han considerado dos condiciones, cuando es óptimo, o sea, R1~R2=R3, C1=C2=C3 y cuando presenta el mayor sobretiro según las condiciones propuestas, es decir, con una variación del 10% Rl = R2 = 1.1RO R3 = . 9RO l mismo para las capacitancias Cl - C2 = 1. ICO C3 = .9CO en el análisis realisado en el computador para la función de transferencia. La estabilidad relativa se cumple cuando los y de ganancia sor; positivos (B).
márgenes de fase
De los gráficos 1, 2, 3 y 4 que consta en el anexo No. 1, se observa que el sistema es relativamente estable, aún, en las condiciones más criticas ya que el margen de fase y el de ganancia son positivos como se demuestra:
Para el gráfico 1 margen de ganancia — +9.4 dB, margen de fase = +180 grados, por lo tanto, los dos positivos.
Para el gráfico 2 margen de ganancia = +7.2 dB, margen de fase = +60 grados, por tanto, los dos positivos.
Para el gráfico 3 margen de ganancia = +4.2 dB, margen de fase - +30 grados, por lo tanto, los dos positivos.
Es más, según estos valores al sistema se le puede dar una ganancia de al menos 3 dB, ya que el mismo seguirá manteniendo la
©OGATA K., Ingeniería de Control Moderna, Pag. 470
32 estabilidad. Al
revisar
las curvas
correspondientes
se
aprecia que
el
sistema es confiable, aún, cuando existen variaciones notables de los elementos; esto que,
es, con un
margen del ±10%,
en nuestro medio, se pueden
y considerando
obtener elementos de ±5% se ve
que el sistema se mantendrá estable. 2.4.- ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Para el estudio
de la sensibilidad los parámetros
tantes son: la frecuencia de corte, el factor
más impor-
de calidad Q, como
también el sobretiro. La sensibilidad en términos generales viene expresada por: aP
U dF
Expresión que se utilizará en el cálculo de la sensibilidad de los parámetros ya mencionados. 2.4,1.- FRECUENCIA DE CORTE Para la expresión de la frecuencia de corte sirve 2.29 ya que
se desea analizar
la amplitud en
para cuando
se consideran diferentes
la ecuación
el punto de -3dB
resistencias y condensado-
res :
l-m Vin \a se debe cumplir:
por lo tanto, se tiene
localizar la frecuencia para la cual
la
33 2=
Resolver esfeaecuación nos lleva a expresiones de orden superior gue prácticamente son insolubles, pero para ciertos valores de W como es Wc se va a cumplir aproximadamente lo siguiente:
Entonces, la ecuación de aproximar sin mayor error a:
La misma que manera:
la
expresada en otra
frecuencia de
corte
forma nos queda de
se puede
la siguiente
f/c4J?aC2-R32C32(4^2C2-J?1C1) -^W/RjC, (2R2Ci-R3C^} -1 = 0
Resolviendo esta expresión en. términos de Wc"2 nos da: 2_
3
2
3
3
-
^
Por la respectiva estructura que se debe tener, se ve que solo nos interesa la rais positiva.
Para determinar la sensibilidad de la frecuencia de corte ante una variación de alguno de sus parámetros, se aprecia que al aplicar la fórmula de la sensibilidad da como resultado una expresión no manejable, razón por la cual, se optó por tomar los resultados obtenidos con la simulación por programa tomando en cuenta las máximas variaciones que se permiten para los distintos elementos pasivos ya que para los activos no se considera por el bajo factor de calidad que tiene el filtro de tercer orden de Butterworth, de tal manera que nos da la variación que puede llegar a tener la frecuencia de corte para esa tolerancia de loe
34 elementos. Para las máximas variaciones guientes restricciones :
de R y
Reemplazando estos valores en la
de C se
tienen las si
ecuación de la frecuencia de
corte tenemos: 2_
(2x1. 21 -.81)
c
Resolviendo esta expresión: ^ 2 , 1 . 6 1 + 2 . 64 ^ 19 c
J R 2 C 2 3.55
'
1
R2C2
Si se saca la raíz cuadrada tendremos:
tf =1.09 — RC
Como se puede apreciar, se ha producido una variación de la frecuencia de corte menor del 10% con la máxima variación de los elementos. 2-4_2_- FACTOR DE CALIDAD Q
Se puede observar que el factor de calidad Q puede ser expresado en función del ángulo de retraso de fase en las cercanías de la frecuencia de corte C10) en una forma aproximada: OT aprox.= -1/Q 2.41 Desfasamiento total de la función de transferencia. La ecuación 2.32 es la que determina el ángulo de fase, por lo tanto : i°THOMAS LEE, THE BIQUAD Considerations, Pag, 355.
:PART I
- Some Practical
design
35 =
^
Reemplazando la respectiva equivalencia 2.41:
La misma que poniendo en otra forma:
En esta expresión se aprecia, como ya se analizó en el estudio de la estabilidad, que se debe cumplir la condición R3C3 > R1C además, en los resultados obtenidos al realizar la simulación en el computador, como se puede apreciar en el anexo No.l, se com prueba que existe un menor sobretiro cuando también se cumple R3C3 > R2C2. * 2.4.3.- SOBRKTIRO
Para analizar qué sucede con el sobretiro al variar algún parámetro, se debe determinar el valor máximo, o sea, derivan la función de transferencia con respecto a W e igualando a O; pero se observa que al realizar esto y debido a la complejidad de las ecuaciones resulta en expresiones de orden superior que matemáticamente no tienen una solución práctica; por tal motivo, a lo aue se recurre normalmente es a soluciones aproximadas, la mismas que en la mayoría de los casos son suficientes para los respectivos diseños.
Para este caso, se ha tomado en consideración los resultados de la simulación realizada y además, dado que el término gue produce el sobretiro es el de segundo orden siendo atenuado por el de primer orden se puede asumir que la expresión del sobretiro para el filtro de tercer orden es análoga a la expresión de la de
36 segundo orden, por tanto:
i La ecuación del
máximo sobreimpulso en función
del factor de
calidad es:
\n donde, Q corresp filtro de tercer orden
Por lo tanto, si se evalúa la sensibilidad de Q con respecto a algún parámetro, esta intervendrá en la sensibilidad del sobretiro con respecto a Q.
Se puede analizar qué pasa cuando se ha tenido la máxima variación de los elementos, o sea, la expuesta en la variación de la frecuencia de corte. Si se reemplaza en la ecuación del sobretiro se tiene lo siguiente:
^
4*1.362
N
7.4
Resolviendo esta expresión da como resultado: Vm-1.46 lo que equivale a decir que se tendrá un sobretiro de aproximadamente 3.3 dB. , se observa entonces que a pesar de haber considerado las máximas variaciones que se puede tolerar, el sobretiro está dentro de los parámetros aceptables, esto indica que en los demás parámetros, como son: frecuencia de corte y factor de calidad, los efectos estarán en proporción directa a la máxima variación permisible. Indicando así que el filtro de Butterworth con esta estructura tiene una sensibilidad muy baria a la variación de cualquiera de sus elementos.
37 XXI = REALIZACIÓN PRACTICA 3.O.- ESTRUCTURA Y ESPECIFICACIONES A CUMPLIR /
Según lo observado, en el capitulo anterior, la estructura del circuito es la siguiente: 3,0.1.- ESTRUCTURA:
C3
Vin
Figura 3.1 Estructura según el diagrama de flujo
3.O.2.- ESPECIFICACIONES En cuanto se refiere a las especificaciones se desprende son necesarios dos filtros conectados en cascada, para pode controlar a la vez las dos frecuencias de corte, tanto del pas bajo como del paso alto de tal manera que la respuesta de fre cuencia del equipo sea como se muestra en la figura siguiente.
A OdB -3dB
fa fb Figura 3.2 Especificaciones
38 En donde se tiene que cumplir condiciones como: Para la frecuencia de corte: Rl = R2 ~ R3
Cl = C2 = C3 Para cumplir la forma de la función de transferencia: 2*R2' = 2*R11 - Rl' - R21 = Ro - 2*Ra = Rb Dado a que se necesita un potenciómetro de tres secciones iguales para controlar las variables Rl, R2 , R3 de tal forma que se cumpla Rl - R2 = R3, se buscó en el mercado y lo que se encontró fue un potenciómetro de 100 KQ x 4 en donde se utilizó las tres secciones. 3. O. 3.- DISEÑO DEL PRIMER FILTRO (fa)
En base a este potenciómetro se determinó el resto de elemen— tos, el primer juego de frecuencias son 100 Ha hasta 800 Ha y utilizando la ecuación 2.34 para la frecuencia de corte se tiene: 271*100J?CC=1
275*800^^=1
Esto nos indica que como el condensador C es constante cuando R es más pequeño la frecuencia de corte se desplaza hacia la derecha. Además, como el control varia de O a 100KQ la resistencia en estudio debe estar compuesta de una resistencia fija mas una variable: 27C100 (100-KQ+J2 r ) =1
2W800J2J.C-1
Estas dos expresiones se pueden comparar asi:
1
1
2*100
Como se
100 KQ + Rf = 8 Rf Rf=100/7 KQ= 14285.7 Q aprecia el condensador es .014 uF y la
Rf = 14285Q
39 C-
2*800*14285
•=1/393*10-81?
los mismos que no son valores comerciales, por lo tanto se escoge entonces C~ .015uF
y Ef -
12 KQ, con
los cuales se
determinan
nuevamente las frecuencias: Para la frecuencia más alta: F = c
-
27112000*0.15*10~6
=884.8"
*
Para la frecuencia más baja:
p = c
i =94 .7J/ 2n (100000+12000) *.015*10"6 *
Se ve entonces que son valores que se ajustan a los parámetros
de diseño ya que, normalmente, el potenciómetro de ajuste de frecuencia no se utiliza en los extremos.
*> Según otra
de las condiciones, la frecuencia
ser multiplicada
por 6 esto se puede
de corte
puede
lograr dividiendo el valor
del condensador para 6:
Este valor no es estándar
por lo que se
toma Ca = .0033
uF,
esto nos presenta las siguientes frecuencias: Para la frecuencia más alta:
-~ 27*12000*. 003*10-* Para la frecuencia más baja:
=4 3 c
2*112000*. 0033*10^
Según los datos, obtenidos cuando se multiplica la frecuencia, se debe cumplir que la frecuencia de corte esté entre 600 Hz
40
hasta 4.8 Khz ; pero que por facilidad de montaje se estos parámetros a 430 Hz y a 4020 Hz .
ha variado ^
En lo que respecta a las resistencias Eli, E21, El", R2 ' , Ea, Eb, Eo , se determinan según las condiciones de los A. O. las resistencias en este caso deben cumplir Zo « E « Zi, en donde Zo es la impedancia de salida de los A, O. y Zi es la impedancia de entrada. Por lo tanto, se necesita ocupar un A. O. que cumpla con ciertas características: Para este diseño se ha tomado el circuito integrado TL082CP de la TEXAS INSTEUMENT que entre sus características se tienen:
Bajo ruido Vn=18uV/Hz Baja distorsión armónica < .01% Protección para cortocircuito Alta impedancia de entrada 10 "12 Q Entrada FET Voltaje de alimentación +18V -18V máx. De lo expuesto anteriormente se observa que si se utilizan resistencias > 2KQ y < 500 KQ se cumple con lo expuesto. Las condiciones que deben cumplirse son:
Se aprecia, entonces, que se necesita resistencias con una relación de 2, según los valores estándar se puede escoger 12 KQ y 24 KQ, por lo tanto:
Quedando el diseño, de la siguiente forma:
1:LPHILIPS
ECG, Semiconductors Master Eeplacement Guide, Vol 3 Pag. 31
41
Figura 3.3 Circuito del filtro con frecuencia de corte Fa
En el análisis realizado en el capitulo 2 se había demostrado que esta configuración brinda las dos posibilidades de filtro tanto paso bajo como paso alto, según donde se tome la señal: Paso bajo en Vo y Paso alto en VI 3.0.4.- DISEÑO DEL SEGUNDO FILTRO (fb) Siguiendo la estructura descrita, anteriormente, en del primer filtro se tiene el siguiente esquema:
el diseño
C6
Vin2
Figura 3.4 Estructura del filtro para Fb
42
Se debe cumplir con riormente :
los mismos condicionantes descritos ante-
Según se analizó previamente:
Además, para objeto de diseño las frecuencias de corte deberán estar entre 2 KHz y 6 Khz según las ecuaciones 2.34: 2*2000 (100000+J?) ¿>1
2716000.RO1
200000
Por lo tanto: C= -^- =531p.F 2716000*50000 Escogiendo valores comerciales se toma R - 47 KQ
C ~ 560 pF,
se calcula entonces las frecuencias de corte. Para la frecuencia más alta: =6 O 47 ¿fe
2n47000*560*10- 12 Para la frecuencias más baja: =19 3 3 Hz 2iíl47000*560*10~12
Siendo necesita.
valores
que están
dentro
de los
parámetros
que se
El circuito con los elementos dimensionados queda de la forma:
43
560pF IIVina?
12KÍ24K
Figura 3.5 Circuito del filtro con frecuencia de corte Fb
En esta configuración, dependiendo del lugar donde se tome l señal, se tendrá un paso bajo o un paso alto, asi que en est figura se tiene V2 para el paso bajo de la banda de paso y V será el paso alto en el sistema de tres vías. 3.1.- DISEÍ50 DEL CROSSOVER DE TRES VÍAS
El objetivo es obtener una red de distribución de frecuencia en tres vías, como son paso bajo, paso medio y paso alto. Enton ces, se puede definir la siguiente configuración en bloque sirviéndonos de las características de la estructura del filtr previamente estudiado, como también de la característica de pode convertirse en un filtro de dos vías cuando la frecuencia de paso bajo se multiplique aproximadamente por seis.
44
Filtro A
Filtro B A
XG 1
VI /
v3
* Salida Paso alto
Vin
Salida V0
Pasa banda
\b
V 2 fa
Salida
Figura 3.. 6 Esquema en bloques del crossover de 3 vias En esta configuración," y debido a que se presenta la condició de fb > 2.5fa, se puede utilizar la salida paso alto del prime filtro para el segundo filtro, ya que en la frecuencia de cort fa en el segundo filtro (paso alto) la señal será atenuada, e por lo menos, 18 dB influyendo en una forma despreciable en e comportamiento del sistema.
45
Figura 3,7 Esquema general del filtro de tres vias
46
En el capitulo I se revisó la respuesta de frecuencia de los distintos tipos de altoparlantes de lo cual se concluye que para sacar el mejor provecho a un altoparlante, éste debe funcionar en por lo menos 3 octavas con lo cual se reafirma el criterio anterior . El esquema general del filtro nos quedaría como se la figura 3.7
muestra en
3.2.- SISTEMA DE ECUACIONES QUE RIGEN EL CIRCUITO GLOBAL
Lo analizado anteriormente nos sirve para la presentación de las distintas ecuaciones que rigen al sistema, en donde se debe considerar algunas equivalencias y además, que se cumple la ecuación 2.9: El = 12 KQ + Potl R2 - 47 KQ 4- Pot2 Cl = .0153 uF ó .0033 uF C2 =• 560 pF VI = Vin2 Potl; Resistencia variable de 100KQ Pot2: Resistencia variable de 100KQ Por lo tanto, el máximo de R2 sería de 147 KQ.
valor de Rl es 112 KQ y
el máximo valor
3.2.1 ECUACIONES DEL PASO BAJO Según las ecuaciones demostradas en 1.13 y 1.15 se tiene: VO
En función de S:
1
47 Vo(S)
_
1
además, para la otra salida considerada.
La misma gue en función de S se obtiene:
Vin(S)
2( 1
)+
s qj^
2( 1
}\ (
s2 q-^
1 >
53 q^
3.2.2 ECUACIONES DEL PASA BANDA Utilizando la igualdad ces :
encontrada en 3.2.1 se puede tener enton
Pero Vin2 es igual a VI, por lo tanto: V
T
Esta expresión en función de S seria como sigue a continuación:
48
Vín
1j