´ TEMA I: ESPACIOS TOPOLOGICOS ´ FRANCISCO J. LOPEZ

´ 1. I NTRODUCCI ON ´ La Topolog´ıa (etimologicamente, ”estudio del lugar”), es la parte de la matem´atica dedicada a ´ de aquellas propiedades de los cuerpos geom´etricos inalterables por deformala comprension ´ ciones no traum´aticas (sin ruptura o desgarro). Desde el punto de vista topologico, un objeto es equivalente a cualquiera otro generado tras doblarlo, estirarlo, encogerlo, retorcerlo, etc., siempre que estos procesos se realicen sin romper ni separar lo que estaba unido, ni pegar lo que ´ de futbol ´ ´ estaba separado. Por ejemplo, el balon es topologicamente equivalente al de rugby, ´ una taza a un neum´atico, o una circunferencia a un cuadrado, pero estos dos ultimos objetos no ´ punto. Objetos equivson equivalentes a un segmento porque habr´ıa que cortarlos en algun ´ alentes en topolog´ıa deben tener el mismo numero de trozos, huecos, intersecciones, etc. La ´ a la Geometr´ıa euTopolog´ıa es pues la Geometr´ıa de los objetos el´asticos, en clara contraposicion clidiana donde las transformaciones naturales o isometr´ıas preservan a´ ngulos, longitudes, a´ reas, ´ volumenes, etc. ´ topologica ´ ´ entre espacios topologicos, ´ La idea de transformacion o deformacion los objetos de ´ continua (o m´as esestudio en esta ciencia, se materializa a trav´es del concepto de aplicacion ´ pec´ıficamente de homeomorfismo) entre espacios topologicos. A un nivel elemental, la Topolog´ıa ´ se interesa por conceptos como proximidad, interior, exterior, frontera, numero de trozos o de ´ y clasificacion ´ de objetos es quiz´a su objetivo principal, y para agujeros, etc. La comparacion ´ ´ compacidad, ello se introducen los llamados invariantes topologicos o atributos (como conexion, ´ topologica ´ ´ metrizabilidad, etc) que resultan inalterados tras una transformacion o deformacion. ´ moderna es Aunque originariamente la Topolog´ıa nace con la Geometr´ıa, en su formulacion m´as un pilar de la misma que una consecuencia. Ciencias como la Geometr´ıa o el An´alisis nece´ ´ sitan de rudimentos topologicos para su correcto desarrollo logico, de forma que en la actualidad la Topolog´ıa debe ubicarse en los fundamentos del edificio matem´atico. De hecho, muchos con´ ceptos topologicos no son visualizables ni interpretables desde un punto de vista geom´etrico. La Topolog´ıa tiene su propio lenguaje, en ocasiones bastante abstracto e intimamente conectado con ´ ´ el estudiante necesitar´a la teor´ıa de conjuntos o logica matem´atica. Para su correcta asimilacion, ´ y comprension. ´ realizar un importante esfuerzo de adaptacion ´ Desde el punto de vista historico, el nacimiento de la Topolog´ıa es indistinguible del de la propia Geometr´ıa. Sus or´ıgenes hay que buscarlos en las ideas de l´ımite y continuidad que sub´ pitagorica ´ yac´ıan tanto a la cosmovision como a las aportaciones posteriores de Arqu´ımedes de Siracusa, varios siglos antes del nacimiento de Cristo. No obstante, se suele fechar el origen de la ´ por parte de Euler del problema de los puentes de Konigsberg, ¨ Topolog´ıa en la resolucion en 1735. ´ para ello hay que buscarla en que fue aqu´ı donde, por primera vez y de forma consciente, La razon ´ los argumentos puramente topologicos adquirieron carta de identidad. Otros matem´aticos como ¨ Mobius, Listing, Peano, Uryson, Menger, Fr´echet,... contribuyeron de forma relevante al desar´ formal de espacio topologico ´ rollo de esta ciencia. Se atribuye a Hausdorff la primera definicion a partir del concepto de entorno, aunque el desarrollo moderno de esta ciencia tuvo que esperar a las aportaciones de Poincar´e y la escuela bourbakista francesa ya en el siglo XX.

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´ ´ Y E JEMPLOS 2. E SPACIO TOPOL OGICO : D EFINICI ON ´ del objeto fundamental de nuestro estudio. Comenzamos con la definicion ´ Definicion ´ 2.1. [Espacio Topologico] Un espacio topol´ogico es un par ( X, τ ), donde

• X es un conjunto no vac´ıo y • τ ⊆ P ( X ) (esto es, τ es una familia de subconjuntos de X), satisfaciendo: (i)a ∅, X ∈ τ. (ii)a Si O1 , O2 ∈ τ =⇒ O1 ∩ O2 ∈ τ. (iii)a Si {Oλ , λ ∈ Λ} ⊆ τ =⇒ ∪λ∈Λ Oλ ∈ τ. En este caso, la familia τ se dice ser una topologia en X, y los subconjuntos O ∈ τ abiertos de la topolog´ıa τ en X. Observese que la propiedad (ii)a es equivalente a (ii)0a Si n ∈ N y O1 , . . . , On ∈ τ =⇒ ∩nj=1 O j ∈ τ. ´ Veamos algunos ejemplos b´asicos de espacios topologicos: 1.2.3.4.5.6.7.-

Topolog´ıa trivial: X 6= ∅, τt := {∅, X }. Topolog´ıa cofinita: X 6= ∅, τCF := {O ⊆ X : X − O finito} ∪ {∅}. Topolog´ıa conumerable: X 6= ∅, τCN := {O ⊆ X : X − O numerable} ∪ {∅}. Topolog´ıa fuerte: X 6= ∅, p0 ∈ X punto fijado, τ f := {O ⊆ X : p0 ∈ / O o´ X − O finito}. Topolog´ıa discreta: X 6= ∅, τd := P ( X ). Topolog´ıa de Sierpinski: X = { a, b}, τ := {∅, { a}, X }. ´ s´ı Topolog´ıa de Sorgenfrey: (R, τS ), donde O ∈ τS si y solo

∀ x ∈ O, ∃e > 0 : [ x, x + e[⊆ O. 2.1. La Topolog´ıa Euclidiana o usual. La topolog´ıa m´as relevante para el an´alisis y la geometr´ıa ´ necesitamos fijar las sigues la topolog´ıa Euclidiana o usual de Rn . Para su correcta descripcion ientes notaciones. A lo largo de este curso k · k2 denotar´a la norma usual en Rn , esto es: v u n u k( x1 , . . . , xn )k2 := t ∑ x2j . j =1

Dados p ∈

Rn

y e > 0, denotaremos por B2 ( p, e) = {q ∈ Rn : kq − pk2 < e},

y referiremos B2 ( p, e) como la bola abierta redonda de centro p y radio e en Rn . Definicion ´ 2.2 (Abierto Euclidiano). Un subconjunto O ⊆ Rn se dice ser un abierto euclidiano si

∀ p ∈ O, ∃e > 0 : B2 ( p, e) ⊆ O. ¨ La familia de todos los abiertos euclidianos de Rn se denotar´a por τun , y si no hay ambiguedad simplemente τu . Las bolas abiertas B2 ( p, e), p ∈ Rn , e > 0, son los ejemplos m´as b´asicos de abiertos euclidianos en Rn . En efecto, dado q ∈ B2 ( p, e) un punto arbitrario, claramente B2 (q, e − kq − pk2 ) ⊂ B2 ( p, e) y por tanto B2 ( p, e) ∈ τu . No obsante y en general, los abiertos euclidianos son de muy variada naturaleza y de incontrolable geometr´ıa.

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Proposicion ´ 2.3. (Rn , τu ) es un espacio topol´ogico, en lo que sigue referido como el espacio topol´ogico euclidiano n-dimensional. ´ 2.1. Dem: Claramente ∅, Rn ∈ τu , lo que prueba (i)a en la Definicion ´ de abierto, existe Para comprobar (ii)a , tomemos O1 , O2 ∈ τu y p ∈ O1 ∩ O2 . Por definicion e j > 0 tal que B2 ( p, e j ) ⊆ O j , j = 1, 2. Es suficiente con observar que B2 ( p, min{e1 , e2 }) ⊆ O1 ∩ O2 . Finalmente si {Oλ , λ ∈ Λ} ⊆ τu y p ∈ ∪λ∈Λ Oλ , debe existir λ0 ∈ Λ tal que p ∈ Oλ0 , y en consecuencia podemos encontrar e > 0 tal que B2 ( p, e) ⊆ Oλ0 ⊆ ∪λ∈Λ Oλ . Esto probar´ıa (iii)a en ´ 2.1 y por tanto nuestra proposicion. ´ la Definicion 

´ 3. S UBCONJUNTOS CERRADOS DE UN ESPACIO TOPOL OGICO Definicion ´ 3.1 (Subconjunto cerrado). Dado un espacio topol´ogico ( X, τ ), un subconjunto F ⊆ X se dice cerrado en ( X, τ ) si X − F ∈ τ. Llamaremos

F := { F ⊆ X : F cerrado en ( X, τ )} a la familia de los subconjuntos cerrados de ( X, τ ). La familia de cerrados F de ( X, τ ) satisface las siguientes propiedades: (i)c ∅, X ∈ F . (ii)c Si F1 , F2 ∈ F =⇒ F1 ∪ F2 ∈ F . (iii)c Si { Fλ , λ ∈ Λ} ⊆ F =⇒ ∩λ∈Λ Fλ ∈ F . De hecho, una familia F ⊆ P ( X ) satisfaciendo formalmente las propiedades (i)c , (ii)c y (iii)c de´ fine, tras paso al complementario, una unica topolog´ıa τ en X con familia de cerrados F . En otras palabras, es posible introducir una topolog´ıa describiendo sus cerrados en vez de sus abiertos. Veamos algunos ejemplos: 1.2.3.4.5.6.-

Topolog´ıa trivial: ( X, τt ), F = {∅, X }. Topolog´ıa cofinita: ( X, τCF ), F = { F ⊆ X : F finito} ∪ { X }. Topolog´ıa conumerable: ( X, τCN ), F = { F ⊆ X : F numerable} ∪ { X }. Topolog´ıa fuerte: ( X, τ f ), p0 ∈ X punto base, F := { F ⊆ X : p0 ∈ F o´ F finito}. Topolog´ıa discreta: ( X, τd ), F = P ( X ). Topolog´ıa de Sierpinski: X = { a, b}, τ = {∅, { a}, X }, F = {∅, {b}, X }.

´ expl´ıcita de los cerrados para las topolog´ıas de Sorgenfrey y No es posible hacer una descripcion ´ No obstante, y en especial para la topolog´ıa euclideuclidiana m´as all´a de la propia definicion. ´ de iana, ofreceremos algunas caracterizaciones m´as operativas (ver el ejercicio 18 de la relacion problemas de este tema). 4. B ASES DE UNA TOPOLOG´I A En general, la familia de abiertos de una topolog´ıa suele ser vasta y dif´ıcil de manejar, por lo que es interesante plantearse si e´ sta se puede describir de una forma m´as simple. Esto es posible, por ejemplo, si podemos encontrar subfamilias de abiertos m´as sencillos (que llamaremos bases de la topolog´ıa) con la capacidad de poder regenerar mediante operaciones conjunt´ısticas b´asicas ´ todos los abiertos del espacio. Este es el objeto de la siguiente definicion.

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´ Definicion ´ 4.1 (Base de topolog´ıa). Sea ( X, τ ) un espacio topologico. Una familia B ⊆ τ se dice ser una base de la topolog´ıa τ si

∀O ∈ τ, ∃{ Bi : i ∈ I } ⊆ B tal que O = ∪i∈ I Bi . Obviamente si B es base de τ y B 0 ⊆ τ entonces B ∪ B 0 es tambi´en base de τ. En este sentido, las bases m´as interesantes de una topolog´ıa son aquellas con la menor cantidad de abiertos. Proposicion ´ 4.2. Sea ( X, τ ) un espacio topol´ogico. Una familia B ⊆ τ es base de τ si y solo si

∀O ∈ τ, ∀ x ∈ O, ∃ B ∈ B tal que x ∈ B ⊆ O. Dem: Supongamos que B es base de τ, y sean O ∈ τ y x ∈ O. Por ser B una base de τ, existe { Bi : i ∈ I } ⊆ B tal que O = ∪i∈ I Bi . Como x ∈ O, debe existir i0 ∈ I tal que x ∈ Bi0 , y or tanto basta con elegir B := Bi0 . Rec´ıprocamente, si suponemos que para todo O ∈ τ y x ∈ O existe Bx ∈ B tal que x ∈ Bx ⊆ O, ´ 4.1. uno deduce que O = ∪ x∈O Bx , y por tanto B es base de τ de acuerdo con la Definicion 

Veamos algunos ejemplos sencillos de bases de topolog´ıa:

• • • •

B B B B

:= := := :=

{{( x } : x ∈ X } es base de ( X, τd ). {{( x } : x ∈ X − { p0 }} ∪ τCF es base de ( X, τ f ) con base p0 . { B2 ( p, e) : p ∈ Rn , e > 0} es base de (Rn , τu ). {[ x, x + e[ : x ∈ R, e > 0} es base de (R, τS ).

Cualquier base B de ( X, τ ) satisface las siguientes dos propiedades fundamentales: (a) X = ∪ B∈B B. (b) Si B1 , B2 ∈ B y x ∈ B1 ∩ B2 entonces ∃ B3 ∈ B tal que x ∈ B3 ⊆ B1 ∩ B2 . ´ de nuevos espacios topologicos ´ De hecho, estas dos propiedades son la clave para la construccion como demuestra el siguiente Teorema 4.3. Sea X un conjunto no vac´ıo arbitrario, y sea B ⊆ P ( X ) una familia de subconjuntos de X. Supongamos que las siguientes propiedades son ciertas: (a) X = ∪ B∈B B. (b) Si B1 , B2 ∈ B y x ∈ B1 ∩ B2 =⇒ ∃ B3 ∈ B tal que x ∈ B3 ⊆ B1 ∩ B2 . ´ Entonces, existe una unica topolog´ıa τ (B) en X tal que B es una base de τ (B). Dem: Definamos τ (B) := {O ⊆ X : ∃ { Bi : i ∈ I } ⊆ B tal que O = ∪i∈ I Bi }. Probemos que τ (B) es una topolog´ıa. ´ de una familia vac´ıa de elementos de B ). La Obviamente ∅ ∈ τ (B) (el vac´ıo es la union ´ 2.1 es cierto. propiedad (a) nos dice que X ∈ τ (B), por lo que (i)a en Definicion Sean O1 = ∪i∈ I1 Bi y O2 = ∪i∈ I2 Bi ∈ τ (B), donde { Bi : i ∈ Ij } ⊆ B , j = 1, 2, y veamos que O1 ∩ O2 ∈ τ (B). En efecto, sea x ∈ O1 ∩ O2 , y tomemos indices i1 ∈ I1 e i2 ∈ I2 tales que x ∈ Bi1 ∩ Bi2 . Por (b), existe Bx ∈ B tal que x ∈ Bx ⊆ Bi1 ∩ Bi2 ⊆ O1 ∩ O2 . Esto prueba que ´ 2.1. O1 ∩ O2 = ∪ x∈O1 ∩O2 Bx ∈ τ (B), probando (ii)a en Definicion Finalmente, si Oλ = ∪i∈ Iλ Bi con { Bi : i ∈ Iλ } ⊆ B , λ ∈ Λ, se deduce que ∪λ∈Λ Oλ = ´ 2.1. Esto concluye la prueba de que τ (B) ∪i∈∪λ∈Λ Iλ Bi ∈ B , y en consecuencia (iii)a en Definicion es una topolog´ıa.

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´ 4.1, B es una base de τ (B). Obviamente B ⊆ τ (B), y de acuerdo a la Definicion Para comprobar la unicidad en el teorema, consideremos una topolog´ıa τ 0 sobre X admitiendo ´ 4.1, todo abierto de τ 0 es union ´ de elementos a B como base. Como consecuencia de la Definicion 0 ´ de τ (B). La inclusion ´ τ (B) ⊆ τ 0 es consecuencia de de B , y por tanto τ ⊆ τ (B) por la definicion ´ de abiertos de τ 0 es abierto de τ 0 que B ⊆ τ 0 por ser B una base de τ 0 , y del hecho de que la union ´ ´ 2.1). ( (iii)a de espacio topologico en la Definicion 

´ para la construccion ´ de El principal inter´es de este teorema es que es una herramienta muy util ´ espacios topologicos, bastar´a con presentar una familia b´asica satisfaciendo las propiedades (a) y (b) anteriores. ´ del (hiper)plano de Moore ilustrar´a este comentario. La construccion Llamemos Rn+ := {( x, y) ∈ Rn−1 × R ≡ Rn : y ≥ 0}, y denotemos por

B M := { B2 ( x, y), e ⊆ Rn+ : y > 0, e ∈]0, y[} ∪ { B2 ( x, y), y ∪ {( x, 0)} ⊆ Rn+ : y > 0}. ´ La familia B M satisface las propiedades (a) y (b) en el Teorema 4.3, e induce por tanto una unica topolog´ıa τM ≡ τ (B M ) en Rn+ conocida como la topolog´ıa de Moore. El par (Rn+ , τM ) es conocido como el (hiper)plano de Moore igualmente. ´ de topolog´ıas es elemental desde el 4.1. Comparacion ´ de topolog´ıas. La idea de comparacion punto de vista meramente conjust´ıstico. Definicion ´ 4.4. Sean τ1 y τ2 dos topolog´ıas en un conjunto X. Se dice que τ2 es m´as fina que τ1 si τ1 ⊆ τ2 . ´ ”ser m´as fina”’ es de orden (en general En la familia de todas las topolog´ıas sobre X, la relacion parcial). Veamos algunos ejemplos. La topolog´ıa discreta τd es m´as fina que cualquier topolog´ıa en X, mientras que cualquiera topolog´ıa en X es m´as fina que la topolog´ıa trivial τt . Obviamente, τt ⊆ τCF ⊆ τCN ⊆ τd . ´ τ1 ∩ τ2 de dos topolog´ıas τ1 y τ2 es una topolog´ıa, y τj es m´as fina que τ1 ∩ τ2 , j = La interseccion 1, 2. ´ de dos topolog´ıas no es en general una topolog´ıa. Considerese el siguSin embargo, la union iente caso: X = { a, b, c}, τ1 = {∅, X, { a}}, τ1 = {∅, X, {b}}. Es claro que τ1 ∪ τ2 no es una topolog´ıa pues { a}, {b} ∈ τ1 ∪ τ2 y { a, b} ∈ / τ1 ∪ τ2 . ´ de topolog´ıas es debido a Hausdorff: El principal criterio de comparacion Proposicion ´ 4.5. Sea X un conjunto no vac´ıo, sean τ1 y τ2 dos topolog´ıas en X, y consideremos bases B1 y B2 de τ1 y τ2 , respectivamente. Se tiene que τ1 ⊆ τ2 ⇐⇒ ∀ B1 ∈ B1 y x ∈ B1 , ∃ B2 ∈ B2 tal que x ∈ B2 ⊆ B1 . Dem: Consideremos O1 ∈ τ1 y x ∈ O1 . Como B1 es base de τ1 , existe B1x ∈ B1 tal que x ∈ B1x ⊂ O1 . ´ Por hipotesis, existe B2x ∈ B2 tal que x ∈ B2x ⊆ B1x ⊂ O1 . ´ Como esto es cierto para todo x ∈ O1 , uno deduce que O1 = ∪ x∈O1 B2x ∈ τ2 . Para la ultima ´ t´engase en cuenta que B2 es base de τ2 . afirmacion 

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´ sencilla de este criterio. Veamos una aplicacion Consideremos en R las topolog´ıas τu y τS con bases

B1 = {] a, b[ : a < b} y B2 = {[ a, b[ : a < b}, ´ respectivamente. Si x ∈] a, b[ es claro que x ∈ [ x, b[⊂] a, b[, de donde τu ⊆ τS por la Proposicion 4.5. Corolario 4.6. Sean X, τ1 , τ2 , B1 y B2 como en la Proposici´on 4.5. Entonces, τ1 = τ2 si y solo si son ciertas las siguientes dos condiciones

• ∀ B1 ∈ B1 y x ∈ B1 , ∃ B2 ∈ B2 tal que x ∈ B2 ⊆ B1 . • ∀ B2 ∈ B2 y x ∈ B2 , ∃ B1 ∈ B2 tal que x ∈ B1 ⊆ B2 . ´ a la 4.2. Sub-base de una topolog´ıa. El concepto de sub-base supone la mayor simplificacion hora de presentar una topolog´ıa. Proposicion ´ 4.7. Sea X un conjunto no vac´ıo, y sea S = {Si : i ∈ I } ⊆ P ( X ) un subconjunto no vac´ıo (esto es, una familia no vac´ıa de subconjuntos de X). Entonces la familia B(S) := {∩ j∈ J S j : J ⊆ I finito} es base de una (unica) ´ topolog´ıa en X, a saber τ (B(S)). En lo que sigue, y por simplicidad, escribiremos τ (S) en vez de τ (B(S)). ´ tendremos en cuenta el Teorema 4.3. Dem: Para la demostracion Primero, observese que X = ∩ j∈∅ S j ∈ B(S), de donde Teorema 4.3-(a) se satisface trivialmente. Para comprobar Teorema 4.3-(b), consideremos B1 = ∩ j∈ J1 S j , B2 = ∩ j∈ J2 S j ∈ B(S), y x ∈ B1 ∩ B2 . Como B3 := B1 ∩ B2 = ∩ j∈ J1 ∪ J2 S j ∈ B(S) y x ∈ B3 ⊆ B1 ∩ B2 , la prueba se completa. 

´ Definicion ´ 4.8 (Sub-base de topolog´ıa). Sea ( X, τ ) un espacio topologico, y sea S ⊆ P ( X ) un subconjunto no vac´ıo. Se dice que S es una sub-base de τ si τ = τ (S). Tambi´en se dice que τ es la topolog´ıa de sub-base S , obviamente un´ıvocamente definida. Veamos algunos ejemplos sencillos.

• X arbitrario y S = { X } ⊂ P ( X ). En este caso B(S) = S y τ (S) = τt . • X = R y S = {] − ∞, a[, a ∈ R} ∪ {]b, +∞[ : b ∈ R}. En este caso B(S) = {] a, b[ : a < b} ∪ S ∪ {∅} y τ (S) = τu . • X = Rn , S = {rectas afines de Rn }, B(S) = {∅} ∪ S ∪ {{ p} : p ∈ Rn } y τ (S) = τd topolog´ıa discreta. 5. S ISTEMA DE ENTORNOS Uno de los conceptos b´asicos de la topolog´ıa es el de entorno o vecindad de un punto. Intuiti´ vamente, un entorno de un punto es un subconjunto del espacio que encierra toda la informacion ´ ´ de este concepto la podemos topologica alrededor del punto en un sentido fuerte. La materializacion ´ encontrar en la siguiente definicion. ´ Definicion ´ 5.1 (Entorno). Sea ( X, τ ) un espacio topologico, y sea x ∈ X un punto arbitrario. Un subconjunto U ⊆ X se dice que es un entorno de x si existe O ∈ τ tal que x ∈ O ⊂ U. Denotaremos por U x , o U xτ si queremos ser m´as precisos enfatizando la topolog´ıa subyacente, ´ a la familia de entornos de x en el espacio topologico ( X, τ ). Referiremos al conjunto U x como el

´ ESPACIOS TOPOLOGICOS

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sistema de entornos del punto x en ( X, τ ), y a la familia U := {U x } x∈X el sistema global de entornos en ( X, τ ). Es fundamental comprender que los entornos determinan la topolog´ıa, esto es, caracterizan a los abiertos. Proposicion ´ 5.2. Sea ( X, τ ) un espacio topol´ogico, y sea O ⊂ X un subconjunto no vac´ıo. Entonces, O ∈ τ ⇐⇒ O ∈ U x ∀ x ∈ O. Dem: =⇒) Trivial.

⇐=) Supongamos que O ∈ U x para todo x ∈ O. Esto quiere decir que existe Ox ∈ τ tal que x ∈ Ox ⊂ O para todo x ∈ O, y en consecuencia O = ∪ x∈O Ox ∈ τ.  Veamos algunos ejemplos sencillos:

• • • • • •

( X, τt ), x ∈ X, U x = { X }. ( X, τCF ), x ∈ X, U x = {U ⊆ X : x ∈ U y X − U finito}. ( X, τCN ), x ∈ X, U x = {U ⊆ X : x ∈ U y X − U numerable}. ( X, τd ), x ∈ X, U x = {U ⊆ X : x ∈ U }. (Rn , τu ), x ∈ Rn , U x = {U ⊆ Rn : ∃ e > 0 tal que B2 ( x, e) ⊆ U }. (R, τS ), x ∈ R, U x = {U ⊆ R : ∃ e > 0 tal que [ x, x + e[⊆ U }.

´ Obviamente, el sistema de entornos U x de un punto x ∈ X es no vac´ıo, simplemente notese que X ∈ Ux . 5.1. Propiedades de los entornos. Las propiedades b´asicas de los entornos, o de forma m´as general del sistema global de entornos {U x } x∈X en ( X, τ ), son las siguientes: (i) (ii) (iii) (iv)

x ∈ U, ∀U ∈ U x . Si U1 , U2 ∈ U x =⇒ U1 ∩ U2 ∈ U x . Si U ∈ U x y U ⊆ V =⇒ V ∈ U x . ∀ U ∈ U x , W := {y ∈ U : U ∈ Uy } ∈ U x .

´ de estas propiedades es trivial excepto la de (iv). Para probar (iv), tomemos La demostracion ´ U ∈ U x y consideremos cualquier abierto O ∈ τ con x ∈ O ⊆ U; tal abierto existe por la definicion ´ observemos que U ∈ Uy para todo y ∈ O por esta misma definicion, ´ de entorno. A continuacion y por tanto O ⊆ W, de donde por (iii) inferimos que W ∈ U x . ´ Hausdorff introdujo el concepto de espacio topologico a partir de entornos, usando estas propiedades ´ como axiomas fundamentales. Para ser m´as precisos, introduzcamos la siguiente definicion. Definicion ´ 5.3 (Sistema global de entornos). Dado un conjunto X no vac´ıo, un sistema global de entornos en X es una familia U = {U x } x∈X , donde ∅ 6= U x ⊆ P ( X ) para todo x ∈ X, satisfaciendo las siguientes propiedades: (i)s (ii)s (iii)s (iv)s

x ∈ U, ∀U ∈ U x . Si U1 , U2 ∈ U x =⇒ U1 ∩ U2 ∈ U x . Si U ∈ U x y U ⊆ V =⇒ V ∈ U x . ∀ U ∈ U x , W := {y ∈ U : U ∈ Uy } ∈ U x .

Un espacio topol´ogico en el sentido de Hausdorff es un par ( X, U = {U x } x∈X ), donde U es un sistema global de entornos en X. ˜ que la nocion ´ de espacio topologico ´ El siguiente teorema nos ensena en sentido Hausdorff ´ 2.1) de forma natural. conecta con la nuestra original (ver Definicion

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Teorema 5.4. Sea ( X, U = {U x } x∈X ) un espacio topol´ogico en el sentido de Hausdorff. U

Entonces existe una unica ´ topolog´ıa τ U en X tal que U xτ = U x para todo x ∈ X. Dem: Definimos (5.1)

τ U := {O ⊆ X : O ∈ U x ∀ x ∈ O}.

´ 2.1. Comprobemos los axiomas (i)a , (ii)a , y (iii)a en la Definicion ´ 2.1-(i)a , tomemos cualquier x ∈ X y cualquier U ∈ U x 6= ∅. Como Para comprobar Definicion ´ U ⊆ X, (iii)s implica que X ∈ U x para todo x ∈ X, esto es, X ∈ τ U . Por argumentos logicos ∅∈ τU . ´ 2.1-(ii)a , tomemos O1 O2 ∈ τ U . Por definicion, ´ O j ∈ U x para todo Para comprobar Definicion x ∈ O j , j = 1, 2, de donde por (ii)s inferimos que O1 ∩ O2 ∈ U x para todo x ∈ O1 ∩ O2 y por tanto O1 ∩ O2 ∈ τ U . ´ Por ultimo, tomemos una familia {Oλ : λ ∈ Λ} ⊆ τ U . Como Oλ0 ∈ U x para todo x ∈ Oλ0 y Oλ0 ⊆ ∪λ∈Λ Oλ para todo λ0 ∈ Λ, item (iii)s garantiza que ∪λ∈Λ Oλ ∈ U x para todo x ∈ Oλ0 y para todo λ0 ∈ Λ. En otras palabras, ∪λ∈Λ Oλ ∈ U x para todo x ∈ ∪λ∈Λ Oλ y ∪λ∈Λ Oλ ∈ τ U , ´ 2.1-(iii)a . Esto concluye la prueba de que τ U es una topolog´ıa en X. probando Definicion U

Para concluir, comprobemos que U xτ = U x para todo x ∈ X. U

´ de entorno para τ U , existe O ⊆ τ U En efecto, fijemos x ∈ X y tomemos U ∈ U xτ . Por definicion ´ de los abiertos de τ U implica que O ∈ U x , de donde por (iii)s tal que x ∈ O ⊆ U. La definicion U deducimos que U ∈ U x . Esto demuestra que U xτ ⊆ U x . ´ tomemos ahora U ∈ U x . Por la propiedad (iv)s , W := {y ∈ U : U ∈ Para la otra inclusion, Uy } ∈ U x , y en consecuencia W ∈ Uy para todo y ∈ W ya que W no depende del punto y ∈ U ´ de τ U , W ∈ τ U , y como x ∈ W ⊆ U, considerado para el que U ∈ Uy . Por nuestra definicion U U ∈ U xτ como quer´ıamos demostrar. 

Recapitulando, a partir de una topolog´ıa τ sabemos generar el sistema global de entornos U τ := {U xτ } x∈X , y el teorema anterior nos muestra justo el camino inverso, esto es, como generar ´ una topolog´ıa τ U a partir de un sistema global de entornos U . Simbolicamente, τ

U τ,

U

τU .

´ Lo interesante es que estos procesos son canonicos en el sentido que expresa el siguiente: Corolario 5.5. Dado un conjunto X, los siguientes enunciados son ciertos: U

(a) Si U = {U x } x∈X es un sistema global de entornos en X entonces U τ = U . τ (b) Si τ es una topolog´ıa en X entonces τ U = τ. Dem: Item (a) se sigue del Teorema 5.4. ´ 5.1 y Probemos (b). Sea O ∈ τ. Obviamente O ∈ U xτ para todo x ∈ O (ver Definicion τ τ τ ´ 5.2), y por tanto O ∈ τ U por la definicion ´ de τ U , ver (5.1). Esto prueba que τ ⊆ τ U . Proposicion ´ tomemos ahora O ∈ τ U . Por la definicion ´ de τ U dada en (5.1), Para probar la otra inclusion, τ ´ de entorno (ver Definicion ´ 5.1) existe O ∈ U X para todo x ∈ O, de donde por nuestra definicion Ox ∈ τ tal que x ∈ Ox ⊆ O para todo x ∈ O. Como O = ∪ x∈O Ox y ∪ x∈O Ox ∈ τ por ser τ una τ topolog´ıa, deducimos que O ∈ τ. Por tanto τ U ⊆ τ, lo que concluye la prueba.  τ

τ

´ ESPACIOS TOPOLOGICOS

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´ de sistema de entornos que no sobrevivio´ Hausdorff incluyo´ un axioma m´as en su definicion ˜ ´ con el desarrollo de la teor´ıa, para anadirse como propiedad del espacio topologico. ´ Definicion ´ 5.6. Un espacio topologico ( Xτ ) se dice Hausdorff, o que satisface el axioma de sepa´ T2 , si para cualesquiera dos puntos x, y ∈ X, x 6= y, existen entornos U ∈ U x y V ∈ Uy tales racion que U ∩ V = ∅. Es f´acil comprobar que (Rn , τu ), (Rn+ , τM ) y (R, τS ) son espacios T2 , al igual que ( X, τd ) para cualquier conjunto X. El espacio ( X, τt ) no es T2 siempre que ] X ≥ 2, y lo mismo ocurre con ( X, τCF ) y ( X, τCN ) cuando X no es finito. La topolog´ıa de Sierpinsky no es T2 . ´ Una de las propiedades fundamentales de los espacios T2 se enuncia en la siguiente proposicion: Proposicion ´ 5.7. si ( X, τ ) es T2 entonces { x } es cerrado para todo x ∈ τ. Dem: Tomemos x ∈ X y comprobemos que X − { x } es abierto. En efecto, dado y ∈ X − { x } por ´ nuestras hipotesis podemos econtrar Uy ∈ Uy con Uy ⊆ X − { x }, y por tanto X − { x } ∈ Uy . Esto prueba que X − { x } es entorno de todos sus puntos y en consecuencia abierto. 

´ con el 5.2. Bases de entornos. Al igual que ocurr´ıa con los abiertos de una topolog´ıa en relacion concepto de base, es interesante poder describir los entornos utilizando una familia m´as reducida ´ recoge esta idea: de estos. La siguiente definicion ´ Definicion ´ 5.8 (Base de entornos). Sea ( X, τ ) un espacio topologico y x ∈ X un punto arbitrario. Denotemos por U x el sistema de entornos de x en ( X, τ ). Una familia β x ⊆ U x se dice que es una base de entornos de x en ( X, τ ) si

∀U ∈ U x , ∃ V ∈ β x tal que V ⊆ U. ´ β = { β x } x∈X donde β x es base de entornos Una base global de entornos en ( X, τ ) es una coleccion de x en ( X, τ ) para todo x ∈ X. ´ Algunos ejemplos sencillos se indican a continuacion:

• • • •

( X, τt ), x ∈ X, β x = { X }. ( X, τd ), x ∈ X, β x = {{ x }}. (Rn , τu ), x ∈ Rn , β x = { B2 ( x, e) : e > 0}. (R, τS ), x ∈ R, β x = {[ x, x + e[ : e > 0}.

Las propiedades de las bases globales de entornos en ( X, τ ), heredadas de las correspondientes del sistema global de entornos, son las siguientes: (i)b x ∈ V, ∀V ∈ β x . (ii)b Si V1 , V2 ∈ β x =⇒ ∃V3 ∈ β x : V3 ⊆ V1 ∩ V2 . (iii)b ∀ V ∈ β x , ∃V0 ∈ β x tal que ∀y ∈ V0 ∃Vy ∈ β y con Vy ⊆ V. Al igual a como se hizo en el caso de entornos, uno puede regenerar una topolog´ıa a partir de una base global de entornos. El procedimiento esquematizado es el siguiente: Dado un conjunto X no vac´ıo, se define una base global de entornos en X como una familia β = { β x } x∈X , donde ∅ 6= β x ⊆ P ( X ) para todo x ∈ X, satisfaciendo las propiedades (i)b , (ii)b y (iii)b

´ F.J. LOPEZ

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anteriores. Si β = { β x } x∈X es una base global de entornos, no es dif´ıcil probar que la familia U = {U x } x∈X , donde para cada x ∈ X

U x := {U ⊂ X : ∃V ∈ β x tal que V ⊆ U }, ´ 5.3. Siguiendo el Teorema 5.4, es un sistema global de entornos en X de acuerdo con la Definicion ´ U determina una unica topolg´ıa en X que denotaremos τ β ; para ser m´as preciso, τ β := τ U , ver el ´ Teorema 5.4. Se deja como ejercicio el completar los detalles de esta construccion. ´ es conocida como el criterio de Hausdorff de comparacion ´ de topolog´ıas. La siguiente proposicion j

Proposicion ´ 5.9. Sean ( X, τj ) y β j = { β x } x∈X un espacio topol´ogico y una base global de entornos suya, respectivamente, j = 1, 2. Se tiene que τ1 ⊆ τ2 ⇐⇒ ∀ x ∈ X, ∀V1 ∈ β1x , ∃V2 ∈ β2x tal queV2 ⊆ V1 . Dem: =⇒) Supongamos τ1 ⊆ τ2 y tomemos x ∈ X y V1 ∈ β1x . Como V1 ∈ U x 1 , existe O1 ∈ τ1 ⊆ τ2 tal que x ∈ O1 ⊆ V1 . En particular V1 ∈ U xτ2 , de donde como β2x es base de entornos de x en ( X, τ2 ) podemos encontrar V2 ∈ β2x tal que V2 ⊂ V1 . τ

τ ´ 5.2, O1 ∈ U x 1 para todo x ∈ O1 . ⇐=) Para el rec´ıproco, tomemos O1 ∈ τ1 . Por la Proposicion 2 ´ En consecuencia, por nuestras hipoteisis para cada x ∈ O1 existe Vx ∈ β x tal que Vx ⊂ O1 . Como 2 2 τ Vx ∈ U x , de la propiedad (iii) de los sistemas de entornos deducimos que O1 ∈ U xτ , esto es, O1 ´ ´ 5.2 de nuevo es entorno de todos sus puntos en el espacio topologico ( X, τ2 ). Por la Proposicion O1 ∈ τ2 , lo que concluye la prueba. 

j

Corolario 5.10. Dados ( X, τj ) y β j = { β x } x∈X , j = 1, 2, como en la Proposici´on 5.9. Se tiene que τ1 = τ2 si y s´olo si se satisfacen las siguientes dos condiciones:

• ∀ x ∈ X, ∀V1 ∈ β1x , ∃V2 ∈ β2x tal queV2 ⊆ V1 . • ∀ x ∈ X, ∀V2 ∈ β2x , ∃V1 ∈ β1x tal queV1 ⊆ V2 . ´ El siguiente resultado se muestra en ocasiones muy util: Proposicion ´ 5.11. Sea ( X, τ ) un espacio topol´ogico. (i) Si { β x } x∈X es un base global de entornos en ( X, τ ) y O ⊆ X, O ∈ τ ⇐⇒ ∀ x ∈ O, ∃V ∈ β x tal que V ⊆ O. (ii) Si B es base de τ y x ∈ X, entonces β x := { B ∈ B : x ∈ B} es base de entornos de x en ( X, τ ). Dem: Probemos (i). ´ 5.2. La condicion ´ a compro=⇒) Como O es abierto, O ∈ U x para todo x ∈ O, ver Proposicion ´ de base de entornos. bar se sigue de la definicion

⇐=) Como O contiene un entorno (b´asico) de x para cada x ∈ O, deducimos que O ∈ U x para ´ 5.2 se sigue que O ∈ τ. todo x ∈ O. Por la Proposicion Probemos ahora (ii). Tomemos x ∈ X arbitrario, y probemos que β x es base de entornos de x en ( X, τ ). En efecto, observese primero que β x ⊆ U x ya que los B ∈ B son abiertos, y por tanto entornos de todos sus puntos (en particular, de x). Para concluir, tomemos U ∈ U x y un abierto ´ 4.2 garantiza la existencia de O ∈ U x tal que x ∈ O ⊆ U. Como B es base de τ, la Proposicion ´ B ∈ β x , lo que probar´ıa que β x es base de entornos de B ∈ B con x ∈ B ⊆ O ⊆ U. Por definicion, ´ x en ( X, τ ) y la proposicion. 

´ ESPACIOS TOPOLOGICOS

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´ Por ultimo, es interesente destacar que el axioma T2 tiene una f´acil reescritura en t´erminos de bases de entornos. En efecto, si { β x } x∈X es una base global de entornos de ( X, τ ), es f´acil ´ si comprobar que ( X, τ ) es T2 si y solo

∀ x1 , x2 ∈ X x 6= y, ∃V1 ∈ β x1 , V2 ∈ β x2 / V1 ∩ V2 = ∅. ´ 6. S UBESPACIOS TOPOL OGICOS : TOPOLOG´I A INDUCIDA El procedimiento por el que una topolog´ıa se induce sobre subconjuntos es muy natural, y rep´ ´ de nuevos espacios topologicos. ´ resenta una de las herramientas m´as utiles para la construccion Proposicion ´ 6.1. Si ( X, τ ) un espacio topol´ogico y A ⊆ X un subconjunto no vac´ıo, la familia τA . = {O ∩ A : O ∈ τ } es una topolog´ıa en A. ´ 2.1, simplemente observerse que ∅ = Dem: Para probar que ( A, τA ) satisface (i)a en la Definicion ∅ ∩ A, A = X ∩ A ∈ τA . ´ 2.1 se sigue de observar que (O1 ∩ A) ∩ (O2 ∩ A) = (O1 ∩ La propiedad (ii)a en la Definicion O2 ) ∩ A ∈ τA , para cualesquiera O1 ,O2 ∈ τ. ´
para la propiedad (iii)a en la Definicion ´ 2.1 t´engase en cuenta que ∪λ∈Λ (Oλ ∩ A) = Por ultimo,  ∪λ∈Λ Oλ ∩ A ∈ τA , para cualquiera familia {Oλ : λ ∈ Λ} ⊆ τ.

´ Definicion ´ 6.2. Dados un espacio topologico ( X, τ ) y un subconjunto A ⊆ X, diremos que τA ´ es la topolog´ıa inducida por τ en A. Igualmente, diremos que el espacio topologico ( A, τA ) es un subsespacio topol´ogico de ( X, τ ). Si B ⊆ A ⊆ X, entonces es f´acil observar que τB = (τA ) B . En efecto, los abiertos de τB obedecen ´ gen´ericamente a la formula O ∩ B, donde O ∈ τ. Igualmente, los abiertos de (τA ) B se escriben gen´ericamente de la forma (O ∩ A) ∩ B = O ∩ B, donde O ∈ τ, y por tanto son los mismos. Es conveniente tener en cuenta que: (a) Si O ∈ τ y O ⊂ A entonces O ⊂ τA . (b) A ∈ τ ⇐⇒ τA ⊆ τ, y en este caso τA = τ ∩ P ( A). Por otra parte: Proposicion ´ 6.3. La familia de cerrados F A de ( A, τA ) obedece a la f´ormula

F A = { F ∩ A : F ∈ F }, donde F es la familia de cerrados de ( X, τ ). Dem: Veamos que F A ⊆ { F ∩ A : F ∈ F }. En efecto, dado F 0 ∈ F A , tenemos que F 0 = A − ( A ∩ O) donde O ∈ τ, y por tanto F 0 = F ∩ A con F = X − O ∈ F . ´ tomemos F ∈ F y pongamos F = X − O donde O ∈ τ. Se tiene que Para la otra inclusion, F ∩ A = A − O = A − ( A ∩ O) ∈ F A , lo que concluye la prueba. 

´ para cerrados: Las propiedades (a) y (b) anteriores tienen su conveniente version

´ F.J. LOPEZ

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(a)’ Si F ∈ F y F ⊂ A entonces F ⊂ F A . (b)’ A ∈ F ⇐⇒ F A ⊆ F , y en este caso F A = F ∩ P ( A). ´ Todos los conceptos y construcciones estudiados anteriormente para un espacio topologico se ´ inducen de forma natural a subespacios topologicos. De forma sistem´atica los relacionamos a ´ continuacion: (I) Si B es una base de la topolog´ıa τ, entonces

B A := { B ∩ A : B ∈ B} es base de τA . Para comprobarlo, primero obs´ervese que trivialmente B A ⊂ τA . En segundo lugar, recordemos que un abierto gen´erico O de τ se puede escribir de la forma O = ∪i∈ I Bi , ´ donde { Bi : i ∈ I } ⊆ B , y por tanto el abierto gen´erico O ∩ A de τA obedece a la formula O ∩ A = ∪i∈ I ( Bi ∩ A), donde claramente { Bi ∩ A : i ∈ I } ⊆ B A . τ ¨ respecto de la topolog´ıa (II) Dado a ∈ A, el sistema de entornos U a A , que si no hay ambiguedad ´ τ y por sencillez se escribir´a simplemente U xA , obedece a la formula

U aA = {U ∩ A : U ∈ U a }. ´ En efecto, si U ∈ U a entonces existe O ∈ τ tal que a ∈ O ⊆ U y en consecuencia la expresion a ∈ O ∩ A ⊂ U ∩ A garantiza que U ∩ A ∈ U aA . Rec´ıprocamente, si V ∈ U aA entonces existe O ∩ A ∈ τA , donde O ∈ τ, tal que a ∈ O ∩ A ⊂ V. Para acabar basta con observar que U = O ∪ V ∈ U a y U ∩ A = V. (III) Dado a ∈ A, si β a es base de entornos de a en ( X, τ ) entonces β aA := {V ∩ A : V ∈ β a } es base de entornos de a en ( A, τa ). En efecto, primero observese que β aA ⊆ U aA . Si W ∈ U aA , sabemos que W = U ∩ A con U ∈ U a , y como β a es base de entornos de a en ( X, τ ) existe V ∈ β a tal que V ⊆ U. En consecuencia V ∩ A ∈ β aA y V ∩ A ⊆ U ∩ A = W, lo que prueba que β aA es base de entornos de a en ( A, τA ). Veamos algunos ejemplos sencillos de topolog´ıas inducidas:

• • • • •

X, τ = τd , A ⊆ X =⇒ τA = τd . X, τ = τt , A ⊆ X =⇒ τA = τt . X, τ = τCF , A ⊆ X =⇒ τA = τCF . X, τ = τCN , A ⊆ X =⇒ τA = τCN . (Rn+ , τM ) semiespacio de Moore, A = {( x, 0) : x ∈ R} eje de abcisas, τA = τd topolog´ıa discreta. • (R, τu ), A = [ a, b[, a < b. Si c ∈] a, b[=⇒ [ a, c[, ]c, b[⊆ (τu ) A . • (R2 , τu ), A = {( x, y) : y ≥ 0} =⇒ B2 (( x, 0), e) ∩ A ∈ (τu ) A . Igualmente B2 (( x, y), e) ∈ (τu ) A siempre que 0 < e ≤ y.

¨ Nota 6.4. En lo que sigue, y si de ello no se desprende ambiguedad, escribiremos τu en vez de (τu ) A para referir a la topolog´ıa euclidiana inducida en A para todo A ⊆ Rn .

• • • • • • •

Elipsiode: ( E, τu ), E := {( x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : x12 /a2 + x22 /b2 + x32 /c2 = 1}, a, b, c > 0. Cilindro: (C, τu ), C = {( x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : x12 + x22 = 1}. Cono: (C0 , τu ), C0 = {( x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : x12 + x22 = x32 }. Hiperboloide de una hoja: ( H1 , τu ), H1 = {( x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : x12 + x22 = x32 + 1}. Hiperboloide de dos hojas: ( H2 , τu ), H2 = {( x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : x12 + x22 = x32 − 1}. Paraboloide: ( P, τu ), P = {( x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : x12 + x22 = x3 }. Esfera n-dimensional: (Sn , τu ), Sn := { x ∈ Rn+1 : k x k2 = 1}, n ≥ 1.

´ ESPACIOS TOPOLOGICOS

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7. E SPACIOS M E´ TRICOS : TOPOLOG´I A DE LA DISTANCIA O M E´ TRICA ´ de En las secciones anteriores nos hemos preocupado de dar herramientas para la construccion ´ nuevos espacios topologicos: bases de topolog´ıa, bases y sistemas globales de entornos, topolog´ıas inducidas... Una de las fuentes m´as provechosa de nuevos ejemplos proviene del an´alisis, m´as precisamente, de la teor´ıa de espacios m´etricos. Explicamos con m´as detalle este procedimiento. ´ de espacio m´etrico, y repasaremos tambi´en algunas esComenzaremos recordando la nocion tructuras geom´etrico-anal´ıticas vinculadas a este concepto. Definicion ´ 7.1. Un espacio m´etrico es un par ( X, d), donde X es un conjunto y d : X × X → R es ´ satisfaciendo las siguientes propiedades: una distancia, esto es, una aplicacion (i) d( x, y) = 0 ⇐⇒ x = y. (ii) d( x, y) = d(y, x ) ∀ x, y ∈ X. (iii) d( x, y) ≤ d( x, z) + d(z, y) ∀ x, y, z ∈ X (desigualdad triangular). Del hecho 0 = d( x, x ) ≤ d( x, y) + d(y, x ) = 2d( x, y) se deduce que d ≥ 0. ´ Es bien conocido que todo espacio normado es un espacio m´etrico de forma canonica, de hecho algunos de los espacios m´etricos m´as relevantes para esta asignatura provendr´an de la categor´ıa de los espacios normados. Definicion ´ 7.2. Un espacio normado es un par (V, k · k), donde V es un espacio vectorial real (con operaciones suma y producto por escalares denotadas por + y ·, respectivamente) y k · k : V → R ´ satisfaciendo las siguientes propiedades: es una norma en V, esto es, una aplicacion (i) kvk ≥ 0 ∀v ∈ V, ” = ” ⇐⇒ v = ~0. (ii) kλvk = |λ|kvk ∀λ ∈ R, v ∈ V. (iii) ku + vk ≤ kuk + kvk ∀ u, v ∈ V (desigualdad de Minkowski). La distancia en V dada por d : V × V → R, d(u, v) = kv − uk es conocida como la distancia inducida por la norma k · k. ´ Por ultimo, ascendiendo en la riqueza de la estructura, recordaremos tambi´en que todo espacio ´ vectorial euclidiano es normado de forma canonica, y por tanto m´etrico: Definicion ´ 7.3. Sea (V, h·, ·i) un espacio vectorial m´etrico euclidiano, esto es, un espacio espacio vectorial real (con operaciones suma y producto por escalares + y ·) y una m´etrica euclidiana h·, ·i : V × V → R. ´ k · k : V → R dada por La aplicacion

k · k : V → R, ·kvk := +

q

hv, vi

es una norma, que referiremos como la norma inducida por la m´etrica euclidiana h·, ·i. Por tanto ´ la aplicacion q d : V × V → R, d(u, v) = +

hv − u, v − ui

es una distancia, que llamaremos la distancia inducida por la m´etrica euclidiana h·, ·i. La desigualdad de Cauchy-Schwarz

|hu, vi| ≤ kukkvk, que se satisface en cualquier espacio vectorial m´etrico euclidiano p (V, h·, ·i), es la clave para probar que la desigualdad de Minkowski es v´alida para k · k = + h·, ·i, y por tanto, que k · k es una norma en V.

´ F.J. LOPEZ

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A modo de resumen y de forma esquem´atica: ESPACIO VECTORIAL EUCLIDEO

´ ESPACIO METRICO.

ESPACIO NORMADO q kvk := + hv, vi

hu, vi

d(u, v) := kv − uk.

Veamos algunos ejemplos significativos: q
• Distancia euclidiana o usual: (Rn , d2 ), d2 ( x1 , . . . , xn ), (y1 , . . . , yn ) = ∑in=1 (yi − xi )2 . Esta distancia es la asociada a la m´etrica euclidiana en Rn n

h( x1 , . . . , xn ), (y1 , . . . , yn )i =

∑ xi yi ,

i =1

y por tanto, a la norma euclidiana s

n

∑ xi2 .

n

k · k2 : R → R, k( x1 , . . . , xn )k2 =

i =1

(Rn , d

• Distancia del m´aximo: ∞ ), d ∞ ( x1 , . . . , x n ), ( y1 , . . . , y n ) 1, . . . , n}. Esta distancia es la asociada a la norma del m´aximo




= max{|yi − xi |,

i =

k · k∞ : Rn → R, k( x1 , . . . , xn )k∞ = max{| xi | : i = 1, . . . , n}.
• Distancia modular o del taxi: (Rn , d1 ), d1 ( x1 , . . . , xn ), (y1 , . . . , yn ) = ∑in=1 |yi − xi |. Esta distancia es la asociada a la norma n

k · k1 : Rn → R, k( x1 , . . . , xn )k1 =

∑ | x i |.

i =1

• X = C 0 ([ a, b], R), d( f , g) := m´etrica euclidiana

qR

b a


2

f ( x ) − g( x ) dx. Esta distancia es la asociada a la

h·, ·i : C 0 ([ a, b], R) × C 0 ([ a, b], R) → R, h f , gi =

Z b a

f ( x ) g( x )dx,

y por tanto a la norma s 0

k · k : C ([ a, b], R) → R, k f k = + • Distancia trivial: X conjunto arbitrario, dt ( x, y) =

Z b a

f ( x )2 dx.

  1

si

x 6= y

0

si

x=y



´ natural entre los espacios m´etricos 7.1. La topolog´ıa asociada a una distancia. Existe una conexion ´ ´ vamos a explicar con detalle como asociar una topolog´ıa y los espacios topologicos. A continuacion a una distancia en un conjunto. Esta idea es fundamental porque la mayor´ıa de los espacios ´ ´ topologicos relevantes en An´alisis y Geometr´ıa obedecen a esta construccion. Para desarrollar este programa, necesitamos introducir el concepto de bola en un espacio m´etrico. ´ Definicion ´ 7.4. Sea ( X, d) un espacio m´etrico, y consideremos un punto x ∈ X y un numero real ´ llamamos e > 0. Por definicion,

• bola abierta de centro x y radio e en ( X, d) al conjunto B( x, e) := {y ∈ X : d( x, y) < e}, • bola cerrada de centro x y radio e en ( X, d) al conjunto B( x, e) := {y ∈ X : d( x, y) ≤ e} y • esfera de centro x y radio e en ( X, d) al conjunto S( x, e) := {y ∈ X : d( x, y) = e}.

´ ESPACIOS TOPOLOGICOS

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Proposicion ´ 7.5. Dado un espacio m´etrico ( X, d), la familia B[d] := { B( x, e) : x ∈ X, e > 0} es base de una unica ´ topolog´ıa en X, que por sencillez denotaremos τ [d]. Adem´as, la topolog´ıa τ [d] es T2 o Hausdorff. ´ tengamos en cuenta el Teorema 4.3. Dem: Para la primera parte de la proposicion, Para probar Teorema 4.3-(a), observese que x ∈ B( x, 1) para todo x ∈ X, y en consecuencia X ⊆ ∪ x∈X B( x, 1) ⊆ ∪ B∈B[d] B ⊆ X. Para comprobar Teorema 4.3-(b), tomemos B( x1 , e1 ), B( x2 , e2 ) ∈ B[d] y un punto x ∈ B( x1 , e1 ) ∩ B( x2 , e2 ). Si llamamos e := min{e1 − d( x, x1 ), e2 − d( x, x2 )} > 0, de la desigualdad triangular B( x, e) ⊂ B( x1 , e1 ) ∩ B( x2 , e2 ), lo que por el Teorema 4.3 prueba la existencia y unicidad de τ [d]. ´ Por ultimo, comprobemos que τ [d] es Hausdorff. En efecto, sean x, y ∈ X puntos distintos, y tomemos e := d( x, y)/2 > 0. Claramente B( x, e) y B(y, e) son entornos de x e y, respectivamente, ´ en el espacio topologico ( X, τ [d]) (de hecho son abiertos en ( X, τ [d]) que contienen a esos puntos). Para concluir basta con observar que B( x, e) ∩ B(y, e) = ∅. 

´ 7.5 Definicion ´ 7.6. Dado un espacio m´etrico ( X, d), la topolog´ıa τ [d] construida en la Proposicion es conocida como la topolog´ıa de la distancia en X asociada a ( X, d). Dos distancias d1 y d2 en X se dicen equivalentes si τ [d1 ] = τ [d2 ]. Una topolog´ıa τ en X se dice metrizable si existe una distancia d en X de forma que τ = τ [d]. Proposicion ´ 7.7. Sea ( X, d) un espacio m´etrico. Entonces O ∈ τ [d] ⇐⇒ ∀ p ∈ O, ∃e > 0 : B( p, e) ⊆ O. ´ de τ [d], existe una bola abierta B(q, δ), δ > 0, tal Dem: =⇒) Sea O ∈ τ [d] y p ∈ O. Por definicion que p ∈ B(q, δ) ⊆ O. Por tanto, para todo e ∈]0, δ − d( p, q)[ tenemos que B( p, e) ⊆ B(q, δ) ⊆ O. ´ ⇐=) Por nuestras hipoteisis para cada p ∈ O existe una bola B( p, e p ) ⊆ O, de donde O = ∪ p∈O B( p, e p ) ∈ τ [d].  Comentemos algunos ejemplos b´asicos. ´ se corresponde con • El ejemplo m´as relevante es la topolog´ıa usual τu , que por definicion τ [d2 ] y por tanto es metrizable. • La topolog´ıa discreta tambi´en es metrizable. En efecto, dado un conjunto X arbitrario, la topolog´ıa τ [dt ] asociada a la distancia trivial dt es la topolog´ıa discreta τd en X. Para comprobarlo, obs´ervese que B( x, e) = { x } para todo e ∈]0, 1[ y x ∈ X, y por tanto los puntos de X son abiertos en τ [dt ], esto es, τ [dt ] = τd . ´ El siguiente criterio de tipo Hausdorff es especialmente util: Proposicion ´ 7.8. Dadas dos distancias d1 y d2 en un conjunto X, τ [d1 ] ⊆ τ [d2 ] ⇐⇒ ∀ x ∈ X y e > 0, ∃δ > 0 tal que B2 ( x, δ) ⊆ B1 ( x, e), donde Bj (·, ·) significa bola en ( X, d j ), j = 1, 2. En particular, d1 y d2 son distancias equivalentes ⇐⇒

  ∀x ∈ X y e > 0 

∃δ > 0 /

B2 ( x, δ) ⊆ B1 ( x, e)

∀ x ∈ X y e > 0 ∃δ > 0 /

B1 ( x, δ) ⊆ B2 ( x, e)

´ F.J. LOPEZ

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j

´ de τ [d j ], la familia β x := { Bj ( x, e) : e > 0} es base de entornos de x en Dem: Por definicion ´ se sigue del criterio de Hausdorff dado en la ( X, τ [d j ]) para todo x ∈ X, j = 1, 2. La proposicion ´ 5.9. Proposicion 

En Rn todas las distancias provenientes de una norma son equivalentes. No obstante, para ´ nuestros propositos ser´a suficiente con la siguiente: Proposicion ´ 7.9. Sean d1 y d2 dos distancias en un conjunto X, y supongamos que existe k > 1 tal que 1 k d2 ≤ d1 ≤ kd2 . Entonces d1 y d2 son equivalentes y su topolog´ıa asociada es la topolog´ıa usual τu . Como consecuencia, las distancias d1 , d2 y d∞ en Rn son equivalentes. Dem: Basta con observar que B1 ( x, e) ⊆ B2 ( x, ke) y B2 ( x, e) ⊆ B1 ( x, ke) para cualesquiera x ∈ X y e > 0, donde como arriba Bj (·, ·) significa bola en ( X, d j ), j = 1, 2, y ´ 7.8. aplicar el criterio de Hausdorff de la Proposicion ´ basta con tener en cuenta las desigualdades Para la segunda partede la proposicion, √ 1 k · k ∞ ≤ k · k2 ≤ n k · k ∞ , √ k · k1 ≤ k · k2 ≤ k · k1 n y aplicar lo demostrado en la primera parte. √ ´ La unica no trivial es k x k1 ≤ nk x k2 para todo x ∈ Rn . Para obtenerla, aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz a la dupla x = ( x1 , . . . , xn ), x 0 = (| x1 |/x1 , . . . , | xn |/xn ) (en el caso de que x j = 0 pondremos | x j |/x j = 0). 

Es interesante observar que la topolog´ıa de la distancia es hereditaria. En efecto, tomemos un espacio m´etrico ( X, d), y consideremos un subconjunto A ⊆ X. Definamos entonces la siguiente distancia inducida en A: d A : A × A → R, d A ( x, y) := d( x, y). En otras palabras, d A = d| A× A . Proposicion ´ 7.10. La aplicaci´on d A es una distancia en A y τ [d A ] = τA . ´ de que d A es una distancia es rutinaria. Dem: La comprobacion Para lo segundo, obs´ervese que B A ( x, e) = B( x, e) ∩ A para todo x ∈ A, e > 0, donde B A (·, ·) y B(·, ·) significan bolas en ( A, d A ) y ( X, d) respectivamente. Como los abiertos en la topolog´ıa ´ de bolas abiertas, la identidad τ [d A ] = τA se sigue trivialmente. de la distancia son union 

´ 8. O PERACIONES TOPOL OGICAS CON SUBCONJUNTOS ´ vamos a hablar de algunos de los conceptos fundamentales de la topolog´ıa. En esta seccion ´ Por ejemplo, extudiaremos como la idea de proximidad topologica nos lleva de forma natural al ´ y de forma m´as general, al de cierre o clausura de un subconcepto de punto de acumulacion, ´ ˜ cerrado que lo conjunto de un espacio topologico. El cierre se corresponder´a con el m´as pequeno contiene. As´ı mismo, el concepto de abierto, o m´as generalmente de entorno, nos aproximar´a a ´ la idea de interior topologico de un subconjunto, que se corresponder´a con el m´as grande abierto contenido en el subconjunto. El exterior de un subconjunto no ser´a otra cosa que el interior de

´ ESPACIOS TOPOLOGICOS

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´ su complementario. La frontera topologica se asociar´a a los puntos que separan el interior del exterior del subconjunto. Haremos un recorrido muy detallado de todos estos conceptos, cruciales para el desarrollo posterior del curso. ´ En lo que sigue, ( X, τ ) ser´a un espacio topologico y A ⊆ un subconjunto de X. 8.1. Acumulacion, ´ puntos aislados y cierre. Comenzamos con algunas definiciones. Definicion ´ 8.1. Un punto x ∈ X se dice es un punto de acumulaci´on de A en ( X, τ ) si

∀U ∈ U x , (U − { x }) ∩ A 6= ∅. Denotaremos por

A0

´ de A en ( X, τ ). al conjunto formado por todos los puntos de acumulacion

´ de A en ( X, τ ) si alrededor suya podemos encontrar Intuitivamente, x ∈ X es de acumulacion ´ ´ puntos de A tan proximos en sentido topologico como queramos a x y distintos del propio x. Definicion ´ 8.2. Diremos que un punto x ∈ A es un punto aislado de A en ( X, τ ) si

∃U ∈ U x tal que U ∩ A = { x }, o equivalentemente, si x ∈ A − A0 . Denotaremos por Ais( A) := A − A0 al conjunto de los puntos aislados de A en ( X, τ ). ´ es bastante sugerente, ser punto aislado de A en ( X, τ ) expresa la imposibilidad La notacion ´ de encontrar puntos de A en un entorno topologico de ese punto distintos del propio punto. Nota 8.3. Observese que el conjunto A0 no ha de estar necesariamente contenido en A, esto es, sus puntos pueden pertenecer o no al conjunto A. ´ Ais( A) ⊂ A. Sin embargo, por definicion ´ de los conjuntos A0 y Ais( A) contiene todos los puntos del espacio ´ıntimamente La union ´ ´ proximos a A en sentido topologico. Este conjunto jugar´a un papel relevante en lo que sigue y merece un estudio pormenorizado. Definicion ´ 8.4. Llamaremos al conjunto A := A0 ∪ Ais( A) = A ∪ A0 la clausura, adherencia o cierre topol´ogico de A en ( X, τ ). A los puntos de A les llamaremos puntos adherentes a A en ( X, τ ), o tambi´en puntos de la clausura o del cierre de A en ( X, τ ). Veamos algunos ejemplos sencillos.

• • • • • • •

( X, τd ), A ⊂ X: A0 = ∅, Ais( A) = A, A = A. ( X, τCF ), A ⊂ X finito: A0 = ∅, Ais( A) = A, A = A. ( X, τCN ), A ⊂ X numerable: A0 = ∅, Ais( A) = A, A = A. ( X, τt ), A ⊂ X con ] A > 1: A0 = X, Ais( A) = ∅, A = A. (R, τu ), A =]0, 1], A0 = [0, 1], Ais( A) = ∅, A = [0, 1]. (R, τS ), A =]0, 1], A0 = [0, 1[, Ais( A) = {1}, A = [0, 1]. ´ convergente ( X, τ ) metrizable (τ = τ [d], d distancia en X), A = { xn : n ∈ N} sucesion con x0 = limn→∞ xn , A = A ∪ { x0 }.

´ topologica ´ Nuestro objetivo es dar una interpretacion m´as operativa del conjunto A. Con esta meta probaremos la siguiente Proposicion ´ 8.5. Si O ∈ τ y O ⊆ X − A entonces O ∩ A0 = ∅.

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´ 5.2, O es entorno de todos sus puntos, esto es, O ∈ U x para todo x ∈ O. Dem: Por la Proposicion La identidad O ∩ A = ∅ implica en particular que (O − { x }) ∩ A = ∅, y por tanto que x ∈ / A0 para todo x ∈ O.  ´ nos presenta una caracterizacion ´ util ´ de los puntos adherentes de A La siguiente proposicion en ( X, τ ). Proposicion ´ 8.6. x ∈ A ⇐⇒ U ∩ A 6= ∅ ∀U ∈ U x . Dem: =⇒) Supongamos que x ∈ A = A0 ∪ Ais( A). Si x ∈ Ais( A), obviamente x ∈ U ∩ A 6= ∅ para todo U ∈ U x y habr´ıamos acabado. En el caso de que x ∈ A0 , tenemos que (U − { x }) ∩ A 6= ∅ para todo U ∈ U x , de donde U ∩ A 6= ∅ para todo U ∈ U x y concluimos igualmente.

⇐=) Supongamos ahora que U ∩ A 6= ∅ ∀U ∈ U x . Si existe U ∈ U x tal que U ∩ A = { x }, ´ claramente x ∈ Ais( A) ⊂ A. En otro caso U ∩ A 6= { x } para todo U ∈ U x , y como por hipotesis U ∩ A 6= ∅ para todo U ∈ U x , deducimos que (U − { x }) ∩ A 6= ∅ para todo U ∈ U x , esto es, x ∈ A0 ⊆ A. 

˜ cerEl siguiente teorema identifica la adherencia o cierre de un conjunto con el m´as pequeno rado que lo contiene. Teorema 8.7. Los siguientes enunciados son ciertos: (a) A ∈ F , esto es, A es un subconjunto cerrado de ( X, τ ). (b) Si F ⊆ X es un subconjunto cerrado de ( X, τ ) tal que A ⊆ F, entonces A ⊆ F. En particular, (8.1)

A := ∩ A⊆F∈F F,

esto es, A es el menor cerrado en ( X, τ ) conteniendo al conjunto A. Dem: Probemos (a). Para ello, hemos de justificar que X − A ∈ τ. En efecto, sea x ∈ X − A un ´ 8.6, existe Ux ∈ U x tal que Ux ∩ A = ∅. Sea O ∈ τ un abierto punto arbitrario. Por la Proposicion ´ 8.5 inferimos que tal que x ∈ O ⊆ U, y observemos que igualmente O ∩ A = ∅. De la Proposicion O ∩ A0 = ∅, y en consecuencia, O ∩ ( A ∪ A0 ) = O ∩ A = ∅, esto es, O ⊆ X − A. Como O ∈ U x (de hecho O es entorno de todos sus puntos), la propiedad (iii) de los sistemas de entornos nos garantiza que X − A ∈ U x igualmente. Como x ∈ X − A es un punto arbitrario, concluimos que ´ 5.2 X − A ∈ τ, lo que prueba (a). X − A es entornos de todos sus puntos. Por la Proposicion Demostremos (b). Sea F ⊆ X es un subconjunto cerrado de ( X, τ ) conteniendo a A. Obvia´ 8.5 nos garantiza que ( X − F ) ∩ A0 = ∅, mente A ∩ ( X − F ) = ∅, y como X − F ∈ τ la Proposicion 0 ´ o lo que es lo mismo, A ⊆ F. Como por hipotesis A ⊆ F, A = A ∪ A0 ⊆ F, probando (b). ´ Por ultimo, para comprobar que A := ∩ A⊆ F∈F F t´engase en cuenta que ∩ A⊆F∈F F ⊆ A por (a) ya que A ⊆ A ∈ F , y que A ⊆ ∩ A⊆F∈F F por (b). 

Corolario 8.8. A es cerrado en ( X, τ ) ⇐⇒ A = A. Definicion ´ 8.9. El subconjunto A ⊆ X se dice denso en ( X, τ ) si A = X. ´ de la densidad de un conjunto se muestra en ocasiones muy util: ´ La siguiente caracterizacion Proposicion ´ 8.10. A ⊆ X es denso en ( X, τ ) ⇐⇒ A ∩ O 6= ∅ ∀O ∈ τ − {∅}.

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´ 5.2). Como por Dem: =⇒) Si O ∈ τ − {∅} entonces O ∈ U x for all x ∈ O (ver Proposicion ´ ´ hipotesis x ∈ A = X para todo x ∈ X, la Proposicion 8.6 implica que O ∩ A 6= ∅. ´ de entorno existe O ∈ τ tal que ⇐=) Tomemos x ∈ X y U ∈ U x arbitrarios. Por la definicion ´ x ∈ O ⊆ U, y por nuestras hipotesis O ∩ A 6= ∅. En consecuencia, U ∩ A 6= ∅, y como U ∈ U x ´ 8.6. As ser x un punto arbitrario de X cones arbitrario x ∈ A; t´engase en cuenta la Proposicion cluimos que A = X. 

Teorema 8.11. Los racionales Q y los irracionales R − Q son densos en (R, τ ). Dem: La prueba de que Q = R y R − Q = R se sigue del siguiente resultado de an´alisis real, que ´ enunciaremos sin demostracion: ”‘Si a < b entonces ] a, b[∩Q y ] a, b[∩(R − Q) son conjuntos no vacios.”’ Para comprobar que Q = R, tomemos x ∈ R y cualquier entorno U ∈ U x . Como existe e > 0 tal que ] x − e, x + e[⊆ U y sabemos que ] x − e, x + e[∩Q 6= ∅, deducimos que x ∈ Q y por tanto el resultado. La prueba de que R − Q = R es an´aloga. 

´ recoge las propiedades b´asicas de la operacion ´ clausura. La siguiente proposicion Proposicion ´ 8.12. Dado un espacio topol´ogico ( X, τ ), se tiene que (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi)

∅ = ∅, X = X. A ⊂ A para todo A ⊆ X. A ⊆ B =⇒ A ⊆ B para cualesquiera A, B ⊆ X. A ∪ B = A ∪ B para cualesquiera A, B ⊆ X. A ∩ B ⊆ A ∩ B para cualesquiera A, B ⊆ X. A = A para todo A ⊆ X. A

A

(vii) Si B ⊆ A ⊆ X, B = B ∩ A, donde B representa la clausura de B en ( A, τA ). Dem: (i) y (vi) se siguen del Corolario 8.8 y del hecho de que ∅ y X son cerrados. ´ 8.4). (ii) es trivial (ver la Definicion ´ (8.1). (iii) es consecuencia sencilla, por ejemplo, de la equacion ´ Como A y B son subconjuntos cerrados (ver Teorema 8.7Probemos (iv) por doble inclusion. (a)), lo mismo ocurre para el conjunto A ∪ B. De las inclusiones A ⊆ A y B ⊆ B se sigue que ´ tengamos en A ∪ B ⊆ A ∪ B, y por el Teorema 8.7-(b) que A ∪ B ⊆ A ∪ B. Para la otra inclusion, cuenta que A ∪ B es un cerrado que contiene tanto a A como a B, y por tanto a sus cierres (ver de nuevo el Teorema 8.7-(b)). De aqu´ı que A ∪ B ⊆ A ∪ B. Para probar (v), tengamos en cuenta que A ∩ B es un cerrado que contiene a A ∩ B (t´engase en cuenta que A ⊆ A y B ⊆ B). Por el Teorema 8.7-(b) deducimos que A ∩ B ⊆ A ∩ B. Para acabar probemos (vii). Recordemos que la familia de cerrados en ( A, τA ) responde a la ´ formula F A = { F ∩ A : F ∈ F }. Por tanto

{ F 0 ∈ F A : B ⊆ F 0 } = { F ∩ A : B ⊆ F }, ´ (8.1) deducimos que B A = B ∩ A. de donde por la ecuacion



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´ 8.1.1. Puntos adherentes en topolog´ıas metrizables. El cierre de un subconjunto en un espacio topologico ´ por sucesiones que en ocasiones se muestra muy util. ´ metrizable admite una caracterizacion Proposicion ´ 8.13. Dado un espacio m´etrico ( X, d) y la subsiguiente topolog´ıa τ [d], un subconjunto A ⊆ X y un punto x ∈ X, son equivalentes: (i) x ∈ A. (ii) dist(x, A) := inf{d(a, x) : a ∈ A} = 0. (iii) ∃{ xn }n∈N ⊆ A tal que { xn }n∈N → x. Dem: (i)=⇒(ii) Como x ∈ A, A ∩ B( x, 1/n) 6= ∅ for all n ∈ N. Elijamos xn ∈ A ∩ B( x, 1/n) para cada n ∈ N y observemos que {d( xn , a)}n∈N . Esto prueba que dist(x, A) = 0. (ii)=⇒(iii) Como dist(x, A) = 0 podemos encontrar { xn }n∈N ⊆ A tal que {d( xn , x )}n∈N → 0, ´ { xn }n∈N → x en ( X, τ [d]). de donde por definicion τ [d]

(iii)=⇒(i) Supongamos existe { xn }n∈N ⊆ A tal que { xn }n∈N → x. Si U ∈ U x es un entorno ´ de convergencia existe N ∈ N tal que xn ∈ U para todo n ≥ N. En arbitrario, por definicion  particular, x N ∈ U ∩ A 6= ∅ y x ∈ A. ´ 8.13, y como consecuencia inmediata de las ideas en En el mismo contexto de la Proposicion su prueba, x ∈ A0 ⇐⇒ ∃{ xn }n∈N ⊆ A − { x } tal que { xn }n∈N → x. Compl´etense los detalles como ejercicio. 8.2. Interior. Otro de los conceptos fundamentales que vamos a tratar es el de interior de un sub´ conjunto en un espacio topologico, que como aclararemos m´as adelante se corresponder´a con el m´as grande abierto del espacio contenido en el mismo. ´ Al igual que en el apartado anterior, ( X, τ ) ser´a un espacio topologico y A ⊆ X un subconjunto. ´ de punto interior. Comenzaremos definiendo la nocion Definicion ´ 8.14. Un punto x ∈ A se dice interior a A en ( X, τ ) si existe U ∈ U x tal que U ⊂ A, o equivalentememte, si A ∈ U x . Denotaremos por A◦ al conjunto de todos los puntos interiores a A en ( X, τ ) (obviamente contenido en A), y referiremos al conjunto A◦ como el interior topol´ogico de A en ( X, τ ). El siguiente teorema caracteriza el interior de un conjunto como el m´as grande abierto contenido en el conjunto. Teorema 8.15. El interior de un conjunto obedece a la siguiente f´ormula: A◦ = ∪τ3O⊆ A O. En particular:

• A◦ es abierto. • Si O ∈ τ y O ⊆ A =⇒ O ⊆ A◦ . ´ de entorno, existe Dem: Si x ∈ A◦ entonces existe U ∈ U x con U ⊆ A, y por tanto de la definicion Ox ∈ τ tal que x ∈ Ox ⊆ U ⊆ A. En particular, x ∈ ∪τ3O⊆ A O, y como x ∈ A◦ es un punto arbitrario, A◦ ⊆ ∪τ3O⊆ A O. ´ tomemos un abierto arbitrario O ∈ τ tal que O ⊆ A. Como O ∈ U x para Para la otra inclusion, ´ 5.2), de la Definicion ´ 8.14 deducimos que x ∈ A◦ para todo x ∈ O, todo x ∈ O (ver la Proposicion ◦ ◦ esto es O ⊆ A . Esto prueba que ∪τ3O⊆ A O ⊂ A y el teorema. 

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Corolario 8.16. A ∈ τ ⇐⇒ A = A◦ . ´ ”interior” se recogen en la siguiente proposicion. ´ Las propiedades b´asicas de la operacion Proposicion ´ 8.17. Dado un espacio topol´ogico ( X, τ ) y subconjuntos A, B ⊆ X, se tiene que (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi)

∅◦ = ∅, X ◦ = X. A◦ ⊆ A. A ⊆ B =⇒ A◦ ⊆ B◦ . ( A ∩ B)◦ = A◦ ∩ B◦ . A◦ ∪ B◦ ⊆ ( A ∪ B)◦ . Si B ⊆ A, B◦ ∩ A ⊆ B◦ A , donde B◦ A representa el interior de B en ( A, τA ).

Dem: Item (i) es trivial bien porque ∅ y X son abiertos (ver Corolario 8.16) o simplemente de la ´ 8.14. Item (ii) es trivial por definicion. ´ An´alogamente, (iii) se sigue del Teorema 8.15. Definicion ´ De las inclusiones A ∩ B ⊆ A y A ∩ B ⊆ B se deduce que Probemos (iv) por doble inclusion. ( A ∩ B)◦ ⊆ A◦ y ( A ∩ B)◦ ⊆ B◦ sin m´as que usar (iii), y por tanto ( A ∩ B)◦ ⊆ A◦ ∩ B◦ . Para la otra ´ t´engase en cuenta que A◦ ∩ B◦ es un abierto al ser interseccion ´ de abiertos (ver Teorema inclusion, 8.15) y que A◦ ∩ B◦ ⊆ A ∩ B (usar que A◦ ⊆ A y B◦ ⊆ B), para concluir que A◦ ∩ B◦ ⊆ ( A ∩ B)◦ por (iii). Finalmente, para demostrar (vi) tengamos en cuenta que B◦ ∩ A es un abierto de τA contenido en B, y por tanto B◦ ∩ A ⊆ B◦ A por el Teorema 8.15.

 ´ Veamos algunos ejemplos sencillos de interior topologico.

• • • • •

( X, τd ), A ⊆ X, A◦ = A = A. ( X, τCF ), A ⊆ X; si X − A infinito =⇒ A◦ = ∅; si X − A finito =⇒ A◦ = A. (Rn , τu ), B2 ( x, e)◦ = B2 ( x, e). (R2 , τu ), A = {( x, y) : y ≥ 0}, A◦ = {( x, y) : y > 0}. (R, τu ), Q◦ = (R − Q)◦ = ∅.

´ nos muestra la dualidad existente entre las operaciones cierre e interior. La siguiente proposicion Proposicion ´ 8.18. Las siguientes f´ormulas son ciertas: (a) X − A◦ = X − A. (b) ( X − A)◦ = X − A. ´ Dem: Probemos (a) por doble inclusion. Como A◦ ⊆ A entonces X − A ⊆ X − A◦ , de donde al ser X − A◦ es cerrado (recordar que ´ es abierto) deducimos que X − A ⊆ X − A◦ ; para lo ultimo tener en cuenta Teorema 8.7-(b). ´ tomemos x ∈ X − A◦ un punto arbitrario. Como x ∈ ´ Para la otra inclusion / A◦ , de la definicion ´ entorno de x, o en otras palabras, que de punto interior se deduce que A no contiene ningun ´ 8.6 concluimos que x ∈ X − A, lo que U ∩ ( X − A) 6= ∅ para todo U ∈ U x . De la Proposicion ◦ prueba que X − A ⊆ X − A. A◦

Para probar (b), apliquemos lo probado en (a) all conjunto X − A para deducir que X − ( X − A)◦ = X − ( X − A) = A, de donde pasando al complementario ( X − A)◦ = X − A. 

Definicion ´ 8.19. El cojunto ( X − A)◦ = X − A es conocido como el exterior topol´ogico de A en ( X, τ ). Usualmente ser´a escrito como Ae .

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´ definiremos el concepto de frontera topologica, ´ 8.3. Frontera topologica. ´ Para concluir esta seccion que intuitivamente representa los puntos que no pertenecen ni al interior ni al exterior del con´ junto. Como arriba, ( X, τ ) ser´a un espacio topologico y A ⊆ X un subconjunto suyo. Definicion ´ 8.20. Un punto x ∈ X se dice punto frontera del conjunto A en ( X, τ ) si U ∩ A, U − A 6= ∅ ∀U ∈ U x . La frontera topol´ogica de A, normalmente denotada por Fr( A), es el conjunto formado por todos los puntos frontera de A. ´ La frontera topologica obedece a cualquiera de las siguientes expresiones, todas equivalentes ´ 8.18: como consecuencia de la Proposicion Fr( A) := A − A◦ = A ∩ ( X − A) = ( X − Ae ) ∩ ( X − A◦ ). ´ Las propiedades b´asicas de la frontera se recogen en la siguiente proposicion. Proposicion ´ 8.21. Dados un espacio topol´ogico ( X, τ ) y subconjuntos A, B ⊆ X, los siguientes enunciados son ciertos: (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi)

Fr(∅) = Fr( X ) = ∅. Fr( A) es cerrado en ( X, τ ). ´ disjunta. A = A◦ ∪˙ Fr( A), donde el s´ımbolo ”∪˙ ” significa union A◦ = A − Fr( A). X = A◦ ∪˙ Fr( A)∪˙ Ae . Fr( A ∪ B) ⊆ Fr( A) ∪ Fr( B).

´ Item (ii) se sigue de que Fr( A) = A ∩ X − A es interseccion ´ Dem: Item (i) es trivial por definicion. ´ de dos cerrados. Items (iii) y (iv) son triviales por definicion. ˙ X − A) = A∪( ˙ X − A)◦ = A∪˙ Ae , Para probar item (v), tengamos en cuenta que X = A∪( ´ 8.18. Usando item (iii), concluimos que X = A◦ ∪˙ Fr( A)∪˙ Ae . donde hemos usado la Proposicion ´ Por ultimo probemos (vi). Sea x ∈ Fr( A ∪ B) = A ∪ B − ( A ∪ B)◦ = ( A ∪ B) − ( A ∪ B)◦ . Si x ∈ A, como x ∈ / A◦ ⊆ ( A ∪ B)◦ concluimos que x ∈ A − A◦ = Fr( A). En el caso de que x ∈ B razonamos de igual manera para probar que x ∈ Fr( B). En consecuencia x ∈ Fr( A) ∪ Fr( B), lo que acaba la prueba.  Veamos algunos ejemplos sencillos de frontera de un conjunto:

• (R, τu ), Fr(Q) = Fr(R − Q) = R. • (R, τu ), Fr([0, 1[∪[1, 2]) = {0, 2} ( {0, 1, 2} = Fr([0, 1[) ∪ Fr([1, 2]). • (R2 , τu ), Fr( B2 ( x, e)) = Fr( B2 ( x, e)) = S2 ( x, e) para todo x ∈ R2 y e > 0, donde S2 ( x, e) = {y ∈ R2 : ky − x k2 = e}. Este enunciado se extiende de forma natural a (Rn , τu ), n ≥ 2. ´ ais8.4. Operaciones topologicas ´ y bases de entornos. Los conceptos de punto de acumulacion, lado, adherente, interior y frontera admiten una re-escritura simple en t´erminos de bases de en´ importante a la hora del c´alculo. tornos, lo que en general supone una simplificacion ´ Sea ( X, τ ) ser´a un espacio topologico, A ⊆ X un subconjunto, x ∈ X un punto y β x ⊆ U x una base de entornos de x en ( X, τ ). ´ de los siguientes enunciados: Dejaremos como ejercicio la comprobacion

• • • •

x x x x

∈ A0 ⇐⇒ (V − { x }) ∩ A 6= ∅ ∀V ∈ β x . ∈ Ais( A) ⇐⇒ ∃V ∈ β x tal que V ∩ A = { x }. ∈ A ⇐⇒ V ∩ A 6= ∅ ∀V ∈ β x . ∈ A◦ ⇐⇒ ∃V ∈ β x tal que V ⊆ A.

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• x ∈ Fr( A) ⇐⇒ V ∩ A, V − A 6= ∅ ∀V ∈ β x . 9. A XIOMAS DE N UMERABILIDAD ´ en t´erminos Los espacios m´as simples son aquellos que la topolog´ıa admite una descripcion ´ de una cantidad numerable de objetos. En este ambiente muchos conceptos topologicos admiten ´ m´as sencilla. Comenzemos por fijar algunas notaciones. una reformulacion ´ Definicion ´ 9.1. Sea ( X, τ ) un espacio topologico.

• Se dice que ( X, τ ) satisface el I Axioma de Numerabilidad (de forma simplificada, I-AN) si y solo si todo punto x ∈ X admite una base de entornos β x numerable en ( X, τ ). • Se dice que ( X, τ ) satisface el II Axioma de Numerabilidad (de forma simplificada, II-AN) si y solo si existe una base B de τ numerable. Obviamente todo espacio ( X, τ ) II-AN es I-AN: en efecto, si B es una base numerable de τ y x ∈ X es un punto arbitrario, la familia β x := { B ∈ B : x ∈ B} ⊆ B es una base de entornos numerable de x en ( X, τ ). Veamos algunos ejemplos:

• El ejemplo m´as relevante de espacio II-AN (y por tanto I-AN) es (Rn , τu ). En efecto, no es dif´ıcil ver que la familia B = { B2 (q, r ) : q ∈ Qn , r ∈ Q, r > 0} es una base numerable de τu . • Si ( X, τ ) es I-AN (respectivamente, II-AN) y A ⊆ X entonces ( A, τA ) es I-AN (respectivamente, II-AN). Demostremos el enunciado para el caso de II-AN: si B es una base numerable de τ entonces B A := { B ∩ A : B ∈ B} es una base numerable de τA , y de aqu´ı que ( A, τA ) es II-AN. La prueba es similar para el caso de I-AN. ´ • Cualquier subespacio topologico de Rn es II-AN. Consecuencia inmediata de los dos items anteriores. • Si X es no numerable entonces ( X, τd ) no satisface el II-AN. En efecto, si B es una base ´ de abiertos b´asicos. de τd necesariamente { x } ∈ B para todo x ∈ X, ya que { x } es union Como {{ x } : x ∈ X } es no numerable lo mismo ocurre con B . Proposicion ´ 9.2. Todo espacio topol´ogico metrizable es I-AN. Dem: En efecto, tomemos un conjunto X, una distancia d en X y un punto arbitrario x ∈ X. Consideremos la familia numerable de entornos β x := { B( x, r ) : r ∈ Q, r > 0} de x en ( X, τ [d]). Basta con comprobar que β x es una base de entornos de x en ( X, τ [d]). τ [d]

Para ello, tomemos U ∈ U x un entorno arbitrario. Como U es entorno de x, existe un abierto ´ de τ [d] podemos encontrar una bola O ∈ τ [d] con x ∈ O ⊆ U. Por otra parte, por la definicion ´ B( x, e) ⊆ O, e > 0. Para acabar, tomemos cualquier numero racional r ∈]0, e] (para garantizar la existencia de r util´ıcese la densidad de Q en (R, τu )), tengamos en cuenta que B( x, R) ⊆ U, y observemos que B( x, r ) ∈ β x . 

´ 9.1. Sucesiones en espacios topologicos. ´ El concepto de convergencia es de naturaleza topologica, ´ ´ nataunque pedagogicamente sea a veces aconsejable presentarlo como como una generalizacion ural del propio de espacios m´etricos. Expliquemos los detalles. ´ en X. Diremos Definicion ´ 9.3. Sea ( X, d) un espacio m´etrico, y sea { xn }n∈N ⊆ X una sucesion que { xn }n∈N converge a un punto x0 ∈ X en ( X, d) si limn→∞ d( xn , x0 ) = 0. En ese caso escribiremos { xn }n∈N → x0 en ( X, d).

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´ el enunciado { xn }n∈N → x0 en ( X, d) es equivalente cualquiera Si analizamos esta definicion, de estos otros: (I) ∀e > 0 ∃ N ∈ N : d( xn , x0 ) < e ∀n ≥ N. (II) ∀e > 0 ∃ N ∈ N : xn ∈ B( x0 , e) ∀n ≥ N. τ [d] (III) ∀U ∈ U x ∃ N ∈ N : xn ∈ U ∀n ≥ N. Para comprobar la equivalencia con el enunciado (III), t´engase en cuenta que β x := { B( x, e) : e > 0} es una base de entornos de x en ( X, τ [d]). ´ La ventaja del enunciado (III) es que es de naturaleza topologica y nos libera por tanto de la ´ distancia a la hora de enunciar la convergencia, motivando la siguiente definicion: ´ ´ en X. Diremos Definicion ´ 9.4. Sea ( X, τ ) un espacio topologico, y sea { xn }n∈N ⊆ X una sucesion que { xn }n∈N converge a un punto x0 ∈ X en ( X, τ ), y escribiremos { xn }n∈N → x en ( X, τ ), si

∀U ∈ U x ∃ N ∈ N : xn ∈ U ∀n ≥ N. ´ { xn }n∈N se dir´a convergente en ( X, τ ). Tambi´en diremos que x0 es un En este caso, la sucesion l´ımite de { xn }n∈N en ( X, τ ). ´ en un espacio m´etrico es su unicidad. Ese Una de las propiedades del l´ımite de una sucesion ´ resultado no es cierto con generalidad en la categor´ıa de espacio topologicos, pero s´ı en ambiente T2 . Teorema 9.5. Sea ( X, τ ) un espacio topol´ogico T2 , y consideremos una sucesi´on { xn }n∈N convergente en ( X, τ ). Entonces { xn }n∈N tiene un unico ´ l´ımite en ( X, τ ). ´ al absurdo y supongamos que { xn }n∈N tiene dos l´ımites y1 e y2 Dem: Razonemos por reduccion en ( X, τ ), y1 6= y2 . Como ( X, τ ) es T2 , existen dos entornos U1 ∈ Uy1 y U2 ∈ Uy2 tales que U1 ∩ U2 = ∅. Como { xn }n∈N → y j en ( X, τ ), podemos encontrar Nj ∈ N tal que xn ∈ Uj para todo n ≥ Nj , j = 1, 2. Por tanto, para cualquier n ≥ max{ N1 , N2 } se tendr´a que xn ∈ U1 ∩ U2 , lo que es una ´ contradiccion. 

´ Como hemos indicado arriba, el l´ımite no es necesariamente unico en ambiente no T2 . Pondremos dos ejemplos sencillos de esta circunstancia: ´ arbitraria en un conjunto X, entonces { xn }n∈N → x en ( X, τt ) • Si { xn }n∈N es una sucesion para todo punto x ∈ X. • En (R, τCF ), {1/n}n∈N → r para todo r ∈ R. La clausura se puede caracterizar por sucesiones en ambiente I-AN. Proposicion ´ 9.6. Sean ( X, τ ) un espacio topol´ogico I-AN y A ⊆ X un subconjunto suyo. Entonces, x ∈ A ⇐⇒ ∃{ xn }n∈N ⊆ A tal que { xn }n∈N → x. ´ previamente necesitaremos probar la existencia de una Dem: =⇒) Para probar esta implicacion, base de entornos numerable de x en ( X, τ ), llam´emosla β0x = {Un : n ∈ N}, con la propiedad de que Un+1 ⊆ Un para todo n ∈ N. En efecto, como ( X, τ ) es I-AN existe una base de entornos nuτ merable β x de x en ( X, τ ). Si escribimos β x = {Vn , n ∈ N}, basta con definir Un := ∩nj=1 Vn ∈ U x 1 para cada n ∈ N. Como Vn ⊆ Un para todo n, no es dif´ıcil comprobar que β0x = {Un : n ∈ N} ´ Un+1 ⊆ Un para todo n ∈ N se satisface es una base de entornos de x en ( X, τ ). La condicion trivialmente.

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Procedemos como sigue. Como x ∈ A entonces Un ∩ A 6= ∅ y podemos elegir xn ∈ Un ∩ A. ´ { xn }n∈N converge claramente a x. En efecto, si U ∈ U x basta elegir N ∈ N tal que La sucesion UN ⊆ U, y observar que xn ∈ UN ⊆ U para todo n ≥ N por la monoton´ıa Un+1 ⊆ Un , n ∈ N.

⇐=) Este enunciado tiene validez general incluso en ambiente no I-AN. En efecto, tomemos U ∈ U x un entorno arbitrario. Como { xn }n∈N → x podemos encontrar N ∈ N tal que xn ∈ U para todo n ∈ N. Al ser { xn }n∈N ⊆ A, inferimos que { xn : n ≥ N } ⊆ A ∩ U 6= ∅, y por tanto  que x ∈ A.

´ DE P ROBLEMAS 10. T EMA I: R ELACI ON ´ (1) Razonar si ( X, τ ) es un espacio topologico en los siguientes casos: (a) τ = { B ⊆ X : B ⊆ A} ∪ { X }, donde A es un subconjunto de X arbitrario pero fijo. (b) X = N y τ = {N, ∅} ∪ { An : n ∈ N}, donde An = {1, . . . , n} para cada n ∈ N. (c) X = { f : [0, 1] → R funcion}, τ = {∅} ∪ { A ⊂ X : ∃ f ∈ A continua}. (2) Encontrar todas las topolog´ıas en un conjunto de tres elementos. ´ de topolog´ıas no es una topolog´ıa. Demostrar que la (3) Probar con un ejemplo que la union ´ de topolog´ıas es una topolog´ıa. interseccion ´ de una familia infinita de abiertos de un espacio topologico ´ (4) Probar que en general la interseccion no es necesariamente un subconjunto abierto. (5) Dado X conjunto infinito y p ∈ X, probar que τ = { E ⊆ X : p ∈ / E o´ X − E finito} es una topolog´ıa (topolog´ıa fuerte). (6) En R consideramos τ = {O ⊆ R : O = U − B donde U ∈ τu y B ⊆]0, 1]}. Demostrar que τ es una topolog´ıa en R, y calcular el interior y la clausura de los conjuntos ]1/2, 3/4], [−1, 1/2[ y ]0, 1]. (7) En R se considera la familia τ = {O ⊂ R : 0 ∈ / O} ∪ {O ⊂ R : ] − 1, 1[⊂ O}. Probar que τ es una topolog´ıa, y encontrar una base de la misma con la menor cantidad de abiertos posible. Hacer lo mismo para la base de entornos de un punto arbitrario de R. (8) Probar que τ = {] a, +∞) : a ∈ R} ∪ {∅, R} es una topolog´ıa en R, pero no la familia {[ a, +∞) : a ∈ R} ∪ {∅, R}. (9) Sea X un conjunto, y fijemos A ⊂ X, A 6= ∅. Probar que B = {{ x } ∪ A : x ∈ X } es base de ◦

(10)

(11)

(12) (13)

una topolog´ıa τ en X. Calcular A y A en ( X, τ ). En R consideramos la siguiente familia de subconjuntos τ = {U ∪ V : U ∈ τu y V ⊂ R − Q}. Probar que τ es una topolog´ıa sobre √ R (recta diseminada). Calcular el interior, la clausura (o cierre) y la frontera de [0, 1] y [0, 2) en (R, τ ). En R se considera la familia de subconjuntos B := {[ x, y[; : y > x }. Probar que B es base de ´ una unica topolog´ıa τS en R (topolog´ıa de Sorgenfrey). Comparar esta topolog´ıa con la usual, y calcular la clausura en (R, τS ) de N, Z, Q, {1/n : n ∈ N} y {−1/n : n ∈ N}. Se consideran en N las topolog´ıas τ1 = {∅, N} ∪ {[n, +∞) ∩ N : n ∈ N} y τ2 = {∅, N} ∪ {[1, n] ∩ N : n ∈ N}. Calcula el interior, el cierre y la frontera de {1, 5} en ambas topolog´ıas. En N definimos la siguiente familia de subconjuntos τ = {∅} ∪ {U ⊂ N tales que si n ∈ U y p divide a n ⇒ p ∈ U }.

Probar que τ es una topolog´ıa. Si Un es el conjunto de los divisores de n para cada n ∈ N, probar que B = {Un : n ∈ N} es una base de τ. (14) En R2 se considera la familia τ = {∅, R2 } ∪ { Gk : k ∈ N} con Gk = {( x, y) ∈ R2 : x − y > k}. Probar que τ es una topolog´ıa y compararla con la usual. 0 = {( x , . . . , x ) ∈ Rn : x > 0}, y (15) Escribamos H+ = {( x1 , . . . , xn ) ∈ Rn : xn ≥ 0} y H+ n n 1 consideremos la familia

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´ F.J. LOPEZ

0 , r ∈]0, p [}∪ B := { B p (r ) : p = ( p1 , . . . , pn ) ∈ H+ n 0 ∪{ B p ( pn ) ∪ {( p1 , . . . , pn−1 , 0))} : p = ( p1 , . . . , pn ) ∈ H+ }.

´ Probar que existe una unica topolog´ıa τM en H+ con base B (topolog´ıa de Moore). (16) Determinar los abiertos de la topolog´ıa en X con sub-base S en cada uno de los siguientes casos: • X = R, S = {( a, +∞) : a ∈ R}, • X = R, S = {( a, +∞) : a ∈ R} ∪ {(−∞, b) : b ∈ R}, • X = R2 , S = {rectas de R2 }. (17) Estudiar si los siguientes subconjuntos de R2 son abiertos, cerrados o ninguna de las dos cosas: (i) {( x, y) : xy = 0}. (ii) Q × R. (iii) (0, 1) × (0, 1) ∪ {(0, 0)}. (iv) {( x, y) : | x | = 1}. (18) Se considera el subconjunto de la recta real A = [0, 1[∪]1, 3[∪{5} con la topolog´ıa inducida por la topolog´ıa usual de R. (i) Razonar si los conjuntos {5} y ]1, 3[ son abiertos o cerrados en ( A, (τu )| A ). (ii) Calcular la adherencia de [0, 1[ en dicha topolog´ıa. (iii) Comprobar si [0, 1/2] es entorno de 0 en la topolog´ıa anterior. (19) Sea ( X, d) un espacio m´etrico, y consideremos en X la topolog´ıa τ [d] de la m´etrica. Probar que: ´ s´ı ∃ { xn }n∈N ⊂ A tal que { xn }n∈N → x. (i) Si A ⊂ X, x ∈ A s´ı y solo ´ s´ı x ∈ A. (ii) ∀ x ∈ X y A ⊂ X, dist( x, A) = 0 s´ı y solo (iii) Si x ∈ X y e > 0, B( x, e) ⊂ B( x, e), y la igualdad en general no es cierta. (20) Sea (V, k k) un espacio normado, y consideremos en V la topolog´ıa asociada a la distancia d( x, y) = ky − x k. Consideremos x ∈ X y e > 0. Demostrar que: (i) B( x, e) = B( x, e). (ii) B( x, e)◦ = B( x, e). (iii) Fr( B( x, e)) = {y ∈ V : d( x, y) = e}. ´ ´ (21) Probar que en un espacio topologico Hausdorff los conjuntos formados por un unico punto son cerrados, y lo mismo para los conjuntos con una cantidad finita de puntos. Probar que todo espacio m´etrico es Hausdorff. ´ (22) Sea ( X, τ ) un espacio topologico, sea B una base de τ y sea x ∈ X. Probar que para cada x ∈ X, el conjunto β x = { B ∈ B : x ∈ B} es una base de entornos de x. (23) Probar que las bolas cerradas de radio positivo centradas en un punto son una base de entornos de cada punto en la topolog´ıa de un espacio m´etrico. ´ (24) Sea ( X, τ ) un espacio topologico. Se dice que A ⊂ X es denso en ( X, τ ) si A = X. ¿Para qu´e ´ ´ espacios topologicos el unico subconjunto denso es el total? (25) Se define B = {] x − 1/n, x + 1/n[∪]n, +∞[ : x ∈ R, n ∈ N}. Probar que B es base de una topolog´ıa en R. Calcular el interior y la adherencia de los conjuntos [2, +∞[ y ] − ∞, 2]. (26) En R2 se considera la familia B = {{ p} ∪ A p (r ) : p ∈ R2 , r > 0}, donde A p (r ) es un disco ´ abierto de centro p y radio r del que se han quitado un numero finito de radios (segmentos con punto inicial p y final en la circunferencia borde). Demostrar que B es base de una topolog´ıa τ en R2 (plano agrietado). Comparar el plano agrietado con el plano usual. Depto. de Geometr´ıa y Topolog´ıa, Universidad de Granada, E-18071 Granada, (Spain), email: [email protected]