UNIVERSIDAD DEL CAUCA Guia de Estudio No.5 Profesor: Alba Lorena Silva Silva Septiembre de 2014

Tema: Técnicas de Conteo y Diagramas de Venn. En las guías anteriores se ha avanzado en la teoría de algunas nociones básicas de la lógica proposicional y la teoría de conjuntos. Sustentados en estos conceptos y resultados relevante se han mostrado ejemplos e ilustrado las dos formas de hacer demostraciones en matemáticas: la demostración directa e indirecta. Esta ganancia teórica es un buen punto de partida para examinar las ideas primarias sobre problemas de conteo. Para los conjuntos A, B de un universo …nito U , los siguientes diagramas de Venn permiten visualizar las fórmulas de conteo para jAc j y jA [ Bj en términos de jAj ; jBj y jA \ Bj : En la siguiente representación se observa que A[Ac = U y A\Ac = ?: Si se establece una relación entre la unión de conjuntos y la suma de números naturales, se puede escribir:

…gura 1

jAj + jAc j = jU j

(1)

lo anterior es válido porque A y Ac son conjuntos disyuntos; en general para conjuntos A, B; de un universo …nito U , disyuntos, es decir (A \ B = ?) tenemos que jA [ Bj = jAj + jBj : Sin embargo, existen situaciones donde para un universo …nito U dados los conjuntos A y B; no disyuntos (A \ B 6= ?) de éste universo, representando esta situación en un diagrama de Venn, se observa: Al contar los elementos de A, los elementos de B; los elementos ubicados en la intersección A \ B (zona roja en el grá…co) de los de los conjuntos A y B se estaría considerando dos veces, por esta razón debemos restar su cardinalidad:

…gura 2 (a)

…gura 2 (b) jA [ Bj = jAj + jBj

jA \ Bj

(2)

Este principio se puede extender a más conjuntos, por ejemplo para tres conjuntos A; B; C …nitos de un universo dado U tenemos: jA [ B [ Cj = jAj + jBj + jCj

jA \ Bj

jA \ Cj

jB \ Cj + jA \ B \ Cj

(3)

Llevemos estas ideas a situaciones prácticas; consideremos los siguiente escenarios:

Escenario 1 Una casa editorial hace una encuesta a 100 personas sobre la subscripción a las revistas: Semana, Dinero y Fucsia. Los resultados del proceso fueron los siguientes: 23, escogieron la revista Semana, 26 seleccionaron Dinero y 30 Fucsia, 7 personas se suscribieron simultaneamente a Semana y Dinero, 8 a Fucsia y Semana, 10 a Dinero y Fuccia y 3 a Semana, Dinero y Fucsia simultaneamente. 1. ¿Cuántos personas no tomaron ninguna suscripción? 2. ¿Cuántos se suscribieron sólo a la revista Dinero? 3. ¿Cuántos se suscribieron solo a dos revistas? 4. ¿Cuántos se suscribieron a la revista a la revista Semana, pero no a la revista Fucsia? 5. ¿Cuántos se suscribieron al menos a una revista? 6. ¿Cuántos se suscribieron a lo más a dos revistas? 7. ¿Cuántos se suscribieron exactamente a una revista?

Solución Al considar los siguientes conjuntos: U = fx : x es una de las personas encuestadasg A = fx : x es suscriptor de la revista Semanag B = fx : x es suscriptor de la revista Dinerog C = fx : x es suscriptor de la revista Fucsiag la información adicional proporciona los siguientes datos: jU j = 100 jA \ Bj = 7 jAj = 23 jA \ Cj = 8 jBj = 26 jB \ Cj = 10

jCj = 30

jA \ B \ Cj = 3

Para responder la primera pregunta, el número de personas que no tienen suscripción a ninguna de las tres revistas, corresponde, en términos de teoría de conjuntos, a la cardinalidad del complemento de las personas tienen suscripción, es decir j[A [ B [ C]c j : Conocemos de la ecuación (1) ; la siguiente igualdad: jU j = j[A [ B [ C]j + j[A [ B [ C]c j

(4)

Además la ecuación (3) ; ofrece jA [ B [ Cj = jAj + jBj + jCj

jA \ Bj

jA \ Cj

jB \ Cj + jA \ B \ Cj

(5)

Realizando las sustitucones pertinentes en la ecuación (5) ; tenemos: jA [ B [ Cj = 23 + 26 + 30

7

8

10 + 3

jA [ B [ Cj = 57

(6)

al reemplazar en la ecuación (4) el valor obtenido en (6) y al hacer los despejes pertinente, se obtine: j[A [ B [ C]c j = jU j c

j[A [ B [ C] j = 100

j[A [ B [ C]j 57

c

j[A [ B [ C] j = 43

Por tanto, se concluye que 43 personas no tienen suscripción a ninguna de estas revistas: Para resolver el segundo y tercer ejercicio es importante resaltar que la palabra clave en cada una de estas preguntas es "solo". Para la segunda pregunta se debe encontrar la cardinalidad del conjunto (A [ C)c \ B

(7)

De otro lado, responder la tercera pregunta, signi…ca encontrar la cardinalidad de [(A \ B)

(A \ B \ C)] [ [(A \ C)

(A \ B \ C)] [ [(B \ C)

(A \ B \ C)]

(8)

Encontrar la cardinalidad de estos conjuntos, utilizando las ecuaciones (3) y (4) resulta bastante tedioso, pero no imposible; para dar una respuesta más agíl, se recurre a representar la información del escenario 1 en un diagrama de Venn, esto es:

…gura 3

La solución para la pregunta No. 2 está dada por la ecuación (7), en términos grá…cos, corresponde a la zona sombreada en la …gura 4 (a)

…gura 4 (a)

…gura 4 (b)

por tanto se concluye que sólo 12 son suscriptores sólo de la revista Dinero. De manera análoga, la ecuación (8) da respuesta al tercer interrogante, de manera grá…ca se ilustra en la …gura 4 (b), lo que signi…ca que 16 personas se suscribieron sólo a dos de esas revistas.

Escenario No. 2 En un grupo de 165 estudiantes de Administración de Empresas, 8 toman cálculo, economía e inglés; 33 toman cálculo e inglés; 20 toman cálculo y economía; 24 toman economía e inglés; 79 están en cálculo; 83 están en economía y 63 toman inglés. La decanatura requiere con urgencia la siguiente información, para su reporte semestral: a) ¿Cuántos estudiantes toman exclusivamente economía? b) ¿Cuántos estudiantes toman economía o inglés? c)¿Cuántos estudiantes toman alguna una de las tres materias? d) ¿Cuántos estudiantes no toman ninguna de estas asignaturas? La teoría de conjuntos contribuye con la administración para resolver sus problemas estadísticos: Se designan los siguientes conjuntos: U = fx : x es un estudiante de Administración de Empresasg C = fx : x es un estudiante de cálculog S = fx : x es un estudiante de economíag I = fx : x es un estudiante de inglésg De acuerdo a los datos suministrados se puede deducir: jU j = 165; jCj = 79; jSj = 83; jIj = 63; jC \ Sj = 20; jS \ Ij = 24; jC \ Sj = 20; jC \ Ij = 33; jC \ S \ Ij = 8; Considerando nuevamente la ecuación (3) se tiene: jC [ S [ Ij = jCj + jSj + jIj jC [ S [ Ij = 79 + 83 + 63

jC \ Sj

20

33

jI \ Cj

24 + 8

jI \ Sj + jS \ I \ Cj

jC [ S [ Ij = 156

(9)

adicionalmente j(C [ S [ I)c j = 165

jC [ S [ Ij = 165

156 = 9

(10)

la ecuación (9) responde la pregunta (c) ; es decir que 156 estudiantes toman alguno de los tres cursos, mientras que la ecuación (10) informa que 9 de los 165 estudiantes no asisten a ninguna de estas materias. El diagrama de Venn para esta situación esta dado por:

…gura 5 (a)

…gura 5 (b)

gra…co 5 (c)

para dar respuesta a las demás inquietudes, se acude a la representación de la información en el diagrama de Venn y se resalta el sector o los sectores que correspondan a la información solicitada; esto es: para determinar cuántos toman el curso de economía o inglés, la grá…ca 5 (b) ofrece respuesta, es decir que 122 estudiantes toman clases de inglés o economía. Finalmente, el grá…co 5 (c) indica que 156 estudiantes toman alguna una de las tres asignaturas.

Escenario No. 3 Se tienen 3 video juegos denominados "Encuentro el Tesoro"; "El salto de la rana", "Las mandrágoras de Potter". Un niño juega con los tres, mientras que 3 niños juegan "Encuentro el Tesoro" y "El salto de la rana"; también 3 niños juegan "Encuentro el Tesoro" y "Las mandrágoras de Potter", mientras que 4 saben jugar "El salto de la rana" y "Las mandrágoras de Potter". Se sabe que 8 niños dominan el "Encuentro el Tesoro", 12 "El salto de la rana" y 10 "Las mandrágoras de Potter" entonces: a) ¿Cuántos niños participan a lo más los tres juegos? b) ¿Cuántos niños usan los juegos "Encuentro el Tesoro" o "El salto de la rana"? c) ¿Cuántos juegan "El salto de la rana", pero no "Encuentro el Tesoro"? d) ¿Cuántos juegan solo "Las mandrágoras de Potter"? e) ¿Cuántos niños juegan uno y sólo uno de los video juegos?

Solución De nuevo se de…nen los siguientes conjuntos: J1 = fni~ nos que juegan el "Encuentro el T esoro"g ; J2 = fni~ nos que juegan el "salto de la rana"g ; J3 = fni~ nos que juegan el "las mandragoras de P otter"g Esta designación es necesaria para representar la información suministrada en términos grá…cos, como se exhibe

en la …gura 6 (a):

…gura 6 (a)

…gura 6 (b)

La …gura 6 (b) está representando el número de niños que a lo más juegan los tres juegos, es decir 21 infantes. Adicionalmente, en la …gura 7 (a), el sector sombreado corresponde al número de niños que juegan el "salto de la rana", pero no "encuentro el tesoro". De otro lado, el número de niños jugando sólo las "mándragoras de Potter" corresponde al sector no sombreado en la …gura 7 (b). Los grá…cos son su…cientes para responder las preguntas (b) y (e).

…gura 7 (a)

…gura 7 (b)

ACTIVIDAD DE RECOPILACIÓN. Interprete cada una de las siguientes situaciones en términos de la teoría de conjuntos y responder cada uno de los cuestionamientos que en ellas se plantean.

1. En una encuesta sobre preferencias de los canales de televisión en cierto sector de la ciudad, se obtuvo la siguiente información: 55 de los encuestados ven el canal Caracol, 15 sólo ven el canal Caracol y Señal Colombia, 33 ven el canal Caracol y RCN; 3 sólo ven RCN, 25 miran los tres canales, 46 ven Señal Colombia, 6 no ven televisión, 2 sólo pre…eren RCN y Señal Colombia. (a) ¿Cuántas personas fueron encuestadas? (b) ¿Cuántas sólo pre…eren a Señal Colombia? (c) ¿Cuántas personas sólo pre…eren a Caracol? (d) ¿Cuántas ven televisión? 2. En el jardín de mi casa, hay tres tipos diferentes de ‡ores, unas son de color rojo, otras son celestes y las otras son amarillas. Ayer me puse a contar las ‡ores de mi jardín y descubrí que en total 38 ‡ores no son de color celeste. En total 45 ‡ores no son de color amarillo. Y por último, 57 ‡ores no son de color rojo. ¿Cuál es el número total de ‡ores de mi jardín? 3. Una compañia fabricante de bebidas entrevista a 1000 personas que han probado su nuevo refresco. Las respuestas se presentan en la siguiente tabla Hombres menores de 30 años: H1 Hombres mayores de 30 años: H2 Mujeres menores de 30 años: M1 Mujeres mayores de 30 años: M2

Agradable: A 100 50 190 100

Desagradable: D 60 55 105 50

Indiferente:I 40 145 5 100

Total

1000 Utilizar la tabla para encontrar: a) j H1 [ D j b) j H2 [ Ij c) j M2 [ A j d) j (H1 [ M1 ) \ D j e) j (H2 [ M2 ) [ A j f ) j (H1 [ M2 ) \ I j 5 El número de lectores de ciertas clases de revistas se exponen en la siguiente tabla: Revista A B C Sólo A y B Sólo A y C Sólo B y C AyByC

Lectores (en miles) 700 500 600 125 100 80 25

(a) ¿Cuántos leen almenos dos revista? (b) ¿Cuántos leen sólo una de las revista? (c) ¿Cuántos leen exclusivamente la revista B? (d) ¿Cuántos leen A o B o ambas? 6 Los siguientes datos muestran la preferencia de algunos estudiantes de primer semestre por ciertas asignaturas: a 36 les gusta matemáticas, 32 les gusta deporte formativo, a 31 les gusta la biología; a 16 le gusta el deporte y la biología, a 15 matemáticas y deporte, a 14 les gusta la matemática y la biología y 6 tienen preferenia por las tres.

(a) ¿Cuántos alumnos fueron encuestados? (b) ¿Cuántos pre…eren solamente las matemáticas? (c) ¿Cuántos estudiantes no pre…eren la biología? (d) ¿Cuantos estudiantes pre…eren las matemáticas y la biología, pero no el deporte formativo? 7 En una encuesta realizada en algunos países acerca de los productos de mayor exportación se encontró que 8 países exportan café, 15 petróleo y 13, frutas; 6 exportan solo frutas y petróleo; 4 sólo frutas; 3 exportan los tres productos y sólo café y petróleo ninguno. (a) ¿Cuántos países fueron encuestados? (b) ¿Cuántos exportan sólo café? (c) ¿Cuántos países exportan sólo petróleo? 8 Cuando se recibe una transfusión de sangre, un recipiente debe tener todos los antígenos del donador. Una persona puede tener uno o más de tres antígenos A; B; y Rh; o ninguno de ellos. Son posibles ocho tipos de sangre, como se muestra en el diagrama de Venn, donde U es el conjunto de todas las personas bajo consideración. Una persona A tiene antígeno A pero no tiene B o Rh; una persona O+ tiene Rh pero no tiene ni A, ni B; una persona AB tiene antígeno A y B pero no tiene Rh y así sucesivamente. Usando la …gura indíque cuáles de los ocho tipos de sangre se incluye en cada conjunto. (a) A \ B

(b) A \ Rh (c) A [ B

(d) A [ Rh

(e) (A [ B [ Rh)C (f) AC \ B

(g) (A [ B)C

(h) RhC \ A