Teoría de Juegos M. En C. Eduardo Bustos Farías 1

¿Qué es un juego?

• Un juego es un problema de toma de decisiones en el que participan dos o más individuos (≡ decisores, jugadores, agentes, controladores). • Es una herramienta matemática que analiza las interrelaciones entre dos o mas individuos, y busca un modelo de actuación óptimo. Con un individuo el problema es un problema de control. Investigació Investigación de Operaciones

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2

¿Qué tipos de juegos hay? • Juegos estáticos o de una tirada (one-shot games). • Juegos repetidos. • Juegos dinámicos. Juego diferencial Juego diferencial estocástico Juegos de saltos (tipo cadenas de Markov), juegos híbridos, …

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3

„

„

„

Juegos cooperativos: • los jugadores deciden cooperar entre ellos para alcanzar un resultado que sea “benéfico” para ellos. Problema: encontrar equilibrios cooperativos conocidos también como equilibrios de Pareto. Juegos de Stackelberg: • uno de los jugadores es el líder (tira primero) y • el resto de los jugadores son seguidores…

… etc, etc, etc,… Investigació Investigación de Operaciones

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4

Generalmente, en un juego hay un

conflicto de intereses −

los objetivos de los jugadores pueden oponerse unos contra otros. Por lo tanto, los jugadores tienen que

negociar, es decir, ponerse de acuerdo cómo “jugar el juego”. Investigació Investigación de Operaciones

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5

¿Como se juega un juego? „

Juegos no cooperativos: • los jugadores no cooperan entre ellos; • actúan independientemente, • cada uno tratando de satisfacer su propio objetivo.

Problema: encontrar equilibrios no-cooperativos también conocidos como Equilibrios de Nash. Investigació Investigación de Operaciones

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Elementos del juego „ „ „ „ „ „ „

Jugadores No jugadores (“naturaleza”) Acciones Información Estrategias Resultados Equilibrio

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7

Supuestos Los participantes en la relación: • • • • •

Son conscientes de ésta Buscan el máximo provecho Actúan racionalmente Existe un costo de la relación y se obtiene un beneficio de ella. Se supone que el jugador escogerá la elección óptima

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8

Juegos „

„

„

„

„

Un juego es una situación competitiva entre n personas o grupos, denominados jugadores Se realiza bajo un conjunto de reglas previamente establecidas con consecuencias conocidas Las reglas definen las actividades elementales o movimientos del juego. Pueden permitirse diferentes movimientos para los distintos jugadores , pero cada jugador conoce los movimientos de que dispone cada jugador Si un jugador gana lo que otro jugador pierde el juego se le denomina de suma cero

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9

Un juego de 2 personas es un juego que tiene solo dos jugadores „ Cada jugador tiene un número finito de elecciones o infinito llamadas estrategias. „ Los resultados o pagos de un juego se resumen como funciones de las diferentes estrategias para cada jugador „ Un juego con 2 jugadores, donde la ganancia de un jugador es igual a la perdida de otro se conoce como un juego de 2 persona y de suma cero „ En tal juego es suficiente expresar los resultados en términos del pago a un jugador. „ Se emplea una matriz para resumir los pagos al jugador cuyas estrategias est án dadas por los Investigació 10 Investigación de Operaciones M. En C. Eduardo Bustos Farí Farías renglones de la matriz „

„

„

Una estrategia pura es un plan previamente determinado, que establece la secuencia de movimientos y contra movimientos que un jugador realiza durante un juego completo. La matriz de consecuencias o pagos proporciona una caracterización completa del juego al que corresponde.

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11

Juegos en Forma Normal „

Un Juego en Forma Normal consiste en: • Jugadores • Estrategias de acciones factibles. • Matriz de Pagos (“Payoffs”)

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12

Juegos de suma cero „

„

Se dice que un juego es de “suma cero” cuando lo que gana un jugador lo pierde el otro, como en ajedrez, poquer, etc. Todos los ejemplos que hemos visto de juegos son de suma cero, por eso en las celdas de la matriz del juego un mismo número es la ganancia para el jugador de los renglones y la pérdida para el de las columnas.

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13

Ejemplo 1 „

„

„

Construya la matriz de pagos para el siguiente juego. Considere un juego de “igualar” monedas en el cual cada uno de 2 jugadores A y B elige sol (S) ó águila (A). Si son iguales los 2 resultados (S y S) ó (A y A) el jugador A gana 1 peso al jugador B, de otra manera A pierde un peso que paga a B

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14

Solución 1.- Son dos jugadores 2.- Lo que uno gana el otro lo pierde 3.- Cada jugador tiene 2 estrategias puras 4.- La matriz de juegos es de 2x2 expresado en términos del pago al jugador Jugador A Jugador B Investigació Investigación de Operaciones

A S

A 1 -1

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S -1 1

15

Ejemplo 2 „

„

„

Construya la matriz de juegos para el siguiente juego Considere un juego en el cual 2 jugadores muestran simultáneamente 1, 2 ó 3 dedos uno al otro. Si la suma de dedos mostrados, es par, el jugador II paga al jugador I esta suma en pesos. Si la suma es non, el jugador I paga esa cantidad al jugador II.

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16

Solución „ „

„

„

Son dos jugadores Lo que gana 1 el otro lo pierde por lo que es de suma cero Cada jugador tiene 3 estrategias puras, mostrar 1, 2, 3 dedos La matriz de juegos es de 3x3 expresada en términos del pago del jugador I Jugador II Jugador I

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1 2 3

1 2 -3 4

2 -3 4 -5

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3 4 -5 6 17

A

10 kms

20 kms

B

15 kms

C

Ejemplo 3

Construya una matriz de consecuencias para el siguiente juego. „ Dos cadenas de supermercados se proponen construir, cada una, una tienda en una región rural en donde se encuentran 3 pueblos. „ 45% de la población vive cerca del pueblo A „ 35% de la población vive cerca del pueblo B „ 20% de la población vive cerca del pueblo C „ Debido a que la cadena I es más grande que la cadena II, la cadena I controlará la mayoría de los negocios, siempre que sus ubicaciones sean comparativas. „ Ambas cadenas conocen los intereses de la otra en la región y ambas han terminado estudios de Investigació ón de Operaciones 18 mercado que danM.proyecciones idénticas. Investigaci En C. Eduardo Bustos Farí Farías „

Si ambas cadenas se sitúan en el mismo pueblo o los equidistantes de un pueblo, la cadena I controlará el 65% de los negocios en ese pueblo. „ Si la cadena I está más cercana a un pueblo que la cadena II, la cadena I controlará 90% de los negocios en este pueblo. „ Si la cadena I está más alejada de un pueblo que la cadena II, atraerá a 40% de los negocios de este pueblo. „ El resto de las operaciones, bajo cualquier circunstancia, irán a la cadena II. „ Además ambas cadenas saben que la política de la cadena I es no ubicarse en pueblos que sean demasiado pequeños, y el pueblo C cae dentro de esta categoría. M. En C. Eduardo Bustos Faríías Investigació 19 Investigación de Operaciones Far „

Solución „ „

Hay 2 jugadores. El jugador I tiene 2 estrategias puras y el II tiene 3 estrategias puras.

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20

I

A

B

C

I

„

„

II

Si I se ubica en A y II en B entonces I tendrá (0.9)(0.45) + (0.4)(0.35) + (0.4)(0.2) = 0.625 O sea el 62.5% de los negocios de la región.

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21

A

„

„

B

I

C

II

Si I se ubica en B y II en C, entonces I tendrá (0.9)(0.45) + (0.9)(0.35) + (0.4)(0.2) = 0.8 O sea el 80% de los negocios de la región.

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22

II

A

„

„

B

I

C

Si I se ubica en B y II en A entonces I tendrá (0.9)(0.35) + (0.4)(0.45) + (0.9)(0.2) = 0.575 O sea un 57%

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23

I

A

B II

II

„

I

C

Si ambas cadenas se ubican en el mismo pueblo I recibirá 65% de los negocios de toda la región.

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24

Tabla de pagos o consecuencias

Jugador I

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A B

A 65 67.5

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Jugador II B 62.5 65

C 80 80

25

DOMINANCIA

26

Estrategia dominante „

Se dice que una estrategia es “dominante” cuando es la mejor opción del jugador para todas las posibles opciones del contrincante (similarmente para varios contrincantes).

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27

Dominancia „

„

„

Algunas veces una fila o columna de la matriz de pagos carece de efectividad para influir sobre las estrategias óptimas y el valor del juego Una estrategia pura P es dominada por una estrategia pura Q si, para cada estrategia pura del oponente, el pago asociado con P no es mejor que el pago asociado con Q. Ya que una estrategia pura dominada no puede ser nunca parte de una estrategia óptima, el renglón o columna correspondiente en la matriz del juego debe ser eliminada

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28

Ejemplo 1. Dominancia II I

1 2 3

1 4 3 2

2 -8 -9 6

3 7 2 8

4 -2 -3 2

Observe que entre las filas 1 y 2, la 2 no desempeña ningún papel de importancia en la estrategia del jugador I. 4>3 -8 > -9 7>2 -2 > -3 Investigació Investigación de Operaciones

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29

„

„

Por lo tanto la probabilidad asociada a ella será cero. La solución del juego anterior sería la misma si la matriz de pago fuera:

II I

Investigació Investigación de Operaciones

1 3

1 4 2

2 -8 6

M. En C. Eduardo Bustos Farí Farías

3 7 8

4 -2 2

30

Estrategia débilmente dominante „

„

„

Decimos que una estrategia es “débilmente dominante” cuando no es peor que ninguna otra estrategia. Es lo mismo que decir que es la mejor o al menos igual a otra. Ojo: Una estrategia dominante es también débilmente dominante; lo contrario no es cierto.

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31

Estrategia dominante, ejemplo (cont) Análisis de casos para ver si B tiene estrategia dominante Si A elige 1 (renglón sup.), la mejor opción de B es 2 (u=-2). Si A elige 2 (renglón cen.), la mejor opción de B es 2 (u=0). Si A elige 3 (renglón inf.), las mejores opciones de B son 1 y 2 (u=-5).

a1 a2 a3

b1 0 2 -5

b2 -2 0 -5

b3 4 10 0

B tiene una estrategia débilmente dominante

Investigació Investigación de Operaciones

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32

Ejemplo 2. Dominancia „

Determine si alguna de las estrategias puras del problema de la ubicación de los supermercados en los pueblos A, B y C pueden descartarse por dominación. La matriz del juego era: II I

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A B

A 65 67.5 M. En C. Eduardo Bustos Farí Farías

B 62.5 65

C 80 80 33

Solución El jugador I puede descartar ubicarse en A, ya que las consecuencias de esta estrategia siempre son menores o iguales a las consecuencias de B „ 67.5 > 65 „ 65 > 62.5 „ 80 = 80

II I Investigació Investigación de Operaciones

A B

A 65 67.5 Farías M. En C. Eduardo Bustos Farí

B 62.5 65

C 80 80

34

El jugador II puede descartar A y C, ya que son inferiores a B. La matriz es: II I

A 65 67.5

A B

B 62.5 65

C 80 80

I II

A 35 37.5 20

A B C

B 32.5 35 20 I

II

A B C

A 35 37.5 20

B 32.5 35 20

La matriz de consecuencias se reduce al valor en que coinciden ambas tablas B. Lo que indica que el supermercado I debe ubicarse en el pueblo B y controlar Investigación de Operaciones M. En C. Eduardo Bustos Farí ías elInvestigació 65% de los negocios y la cadena II ubicarseFar en el mismo pueblo y manejar 35 el 35% de los negocios restantes

VALOR DEL JUEGO „

„

EL PAGO QUE SE OBTIENE PARA EL JUGADOR 1 CUANDO AMBOS JUEGAN DE MANERA OPTIMA. JUEGO JUSTO: EL VALOR DEL JUEGO ES 0.

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36

CRITERIO MINIMAX JUGADOR 2 ESTRATEGIA

JUGADOR 1

1

2

3

1

-3

-2

6

2

2

0

2

3

5

-2

-4

¿QUE OPCION ESCOGE CADA JUGADOR DE MANERA QUE LA MAYOR PERDIDA POSIBLE SEA MINIMIZADA? Investigació Investigación de Operaciones

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37

CRITERIO MINIMAX JUGADOR 2 ESTRATEGIA

1 2 3

MÍNIMO

1 -3 -2 6 2 2 0 2 3 5 -2 -4

JUGADOR 1

MÁXIMO

-3 0 -4

5 0 6

VALOR MAXIMIN

PUNTO SILLA

VALOR MINIMAX SE SELECCIONA LA OPCION 2 VALOR DEL JUEGO= 0 (JUEGO JUSTO). Investigació Investigación de Operaciones

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38

PUNTO SILLA „ „

„

MINIMAX= MAXIMIN PUNTO SILLA ->NINGUN JUGADOR PUEDE APROVECHAR LA ESTRATEGIA CONOCIDA DE SU OPONENTE -> SOLUCION ESTABLE

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39

SOLUCIONES SIN PUNTO SILLA JUGADOR 2 ESTRATEGIA

1 0 -2 2 2 5 4 -3 3 2 3 -4

JUGADOR 1

MÁXIMO

Investigació Investigación de Operaciones

1 2 3

MÍNIMO

-2 -3 -4

maximin

5 4 2

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minimax

40

Solución Óptima de juegos de 2 personas y suma cero - Juegos estables (Valor de juego, estrategias minimax y maximin). Puntos silla - Juegos Inestables (estrategias mixtas)

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41

Juegos inestables o estrategias mixtas „

„

„

El objetivo en la teoría de juegos es determinar una estrategia “mejor” para un jugador dado, bajo la consideración de que el oponente es racional y realizará movimientos inteligentes en contra. En consecuencia si un jugador siempre selecciona la misma estrategia pura o selecciona estrategias puras en un orden fijo, su oponente reconocerá a tiempo el patrón y tratará de vencerlo, si es posible. Por esto, la estrategia más efectiva es una estrategia mixta, definida por una distribución probabilística sobre un conjunto de estrategias puras.

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42

Ejemplo 1: Estrategias mixtas. „

„ „

En el juego de mostrar 1,2 ó 3 dados se puede construir una estrategia mixta X=[1/6, 1/3, ½], que significa que el jugador uno, planea mostrar el dedo 1 1/6 de veces, 2 dedos 1/3 de veces, 3 dedos ½ de las veces.

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43

Ejemplo 2: Estrategias Mixtas. „

„

Sea la siguiente matriz de pagos para un juego de 2 jugadores de suma cero Este juego no tiene punto de silla, ni se puede calcular el valor de juego. Se dice que es un juego inestable.

Jugador A

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1 2 3 4

1 5 6

Jugador B 2 3 -10 9 7 8

8 7 15 3 4 -1 M. En C. Eduardo Bustos Farí Farías

4 0 1 2 4

44

Solución del problema de estrategias mixtas „

„

Se basa en el criterio mínimax. La única diferencia es que A (ó jugador I) elije Xi, la cual maximiza el pago esperado más pequeño en una columna, en tanto que B (ó jugador II) selecciona Yj, la cual minimiza el pago esperado en un renglón. Igual que en estrategias puras se verifica la relación:

pago esperado minimo < pago esperado maximin Investigació Investigación de Operaciones

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45

„

„

„

Cuando Xi y Yj corresponden a la solución óptima, se cumple la igualdad y los valores resultantes llegan a ser iguales al valor esperado (óptimo) del juego. Si Xi* y Yj* son las soluciones óptimas para ambos jugadores, cada elemento de pago Aij estará asociado a la probabilidad (Xi*, Yj*). Por consiguiente, el valor esperado óptimo del juego es: En otras palabras cualquier juego matricial tiene un valor

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46

Métodos para resolver juegos Métodos para resolver juegos (2xn) ó (mx2)

„ „

Gráfico De programación lineal

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47

Solución gráfica de juegos de (2xN) y (Mx2) „

Las soluciones gráficas son únicamente aplicables a juegos en los cuales, por lo menos uno de los jugadores, tiene solamente 2 estrategias.

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48

Solución gráfica de juegos (mx2)

49

Ejemplo 1 „

Considere el siguiente juego: B

A

1

2

1

2

4

2

2

3

3

3

2

4

-M.2En C. Eduardo Bustos 6 Farí Farías

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50

SOLUCIÓN

51

El juego no tiene un punto silla. Sean y1 y y2 (=1- y1) dos estrategias mixtas de B. Estrategia pura de A 1

Pagos esperados para B -2y1 + 4

2

-y1 + 3

3

y1 + 2

4

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-8y1 + 6

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52

El juego no tiene punto silla. Sean Y1 y Y2 (Y2 = 1-Y1) dos estrategias mixtas de B Estrategias puras Pagos esperados de A de B 1 -2Y1 + 4 2 -Y1 + 3 3 Y1 + 2 4 -8Y1 + 6

Investigació Investigación de Operaciones

Y1 = 0

Y1 = 1

4 3 2 6

2 2 3 -2

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53

El punto minimax se determina como el punto mas bajo de la envolvente superior El valor de Y1* se obtiene como el punto de intersección de las líneas 1 y 3 -2Y1 + 4 = Y1 + 2 -3Y = -2 Y = 2/3 (Esta es la estrategia óptima para A)

Sustituyendo en 1 y en 3 V* = -2(2/3) + 4 = 8/3 2/3 + 2 = 8/3 El valor del juego es 8/3 Investigació Investigación de Operaciones

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54

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55

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56

POR WINQSB

ESTRATEGIA ÓPTIMA PARA EL JUGADOR A ESTRATEGIA ÓPTIMA PARA EL JUGADOR B

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57

Ejemplo2: Considere el siguiente juego (2x4) 1. 2. 3.

Encuentre el punto máximo Calcule la estrategia optima de A Calcule el valor del juego

A

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1 2

1 2 4

B 2 2 3

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3 3 2

4 -1 6

58

Solución „

„

El juego no es estable ya que las estrategias puras maximin = 2 es diferente a la mínimax = 3 Por lo que los pagos esperados de A corresponden a las estrategias puras de B son:

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59

Estrategias puras Pagos esperados de B de A 1 -2X1 + 4 -X1 + 3 2 3 X1 +2 4 -7X1 + 6

X1 = 0

X1 = 1

4 3 2 6

2 2 3 -1

Resolviendo 2 y 3 -X1 + 3 = X1 +2 -2X1 = -1 X1 = ½ (maximin)

A

La estrategia óptima es (½ , ½) V* = - ½ +3 = 5/2 Investigació Investigación de Operaciones

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1 2

1 2 4

B 2 2 3

3 3 2

4 -1 6

60

Investigació Investigación de Operaciones

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61

Investigació Investigación de Operaciones

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62

Ejemplo 3: Considere el juego (2x4) „ „ „

Encuentre el punto maximin Calcule la estrategia óptima Calcule el valor de juego

P1

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1 2

1 19 0

P2 2 15 20

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3 17 15

4 16 5 63

Solución „

El juego no es estable ya que las estrategias puras maximin = 15 es diferente a mínimax = 16

Estrategias puras Pagos esperados de P2 de P1 1 (19-0)X1 + 0 = 19X1 2 (15-20)X1 + 20 = -5X1 + 20 3 (17-15)X1 + 15 = 2X1 +15 4 (16-5)X1 + 5 = 11X1 + 5 Investigació Investigación de Operaciones

X1 = 0

X1 = 1

0

19

20

15

15

17

5

16

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64

Resuélvalo por winqsb

Investigació Investigación de Operaciones

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65

Método simplex

66

Solución de juegos (mxn) por programación lineal „

„

Se trata de Maximizar el valor del juego (representado por las estrategias de un jugador). Sujeto a la combinación lineal por renglón de la matriz de juego. Si el valor maximin es positivo se procede de este modo, si es negativo se agrega a la matriz de juego una constante k

Investigació Investigación de Operaciones

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67

Ejemplo 1. „

Sea la matriz de consecuencias para el juego (2x2):

Jugador 1

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A1 A2

Jugador 2 B1 B2 0 ½ 1 0

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68

Solución por programación lineal Como el valor maximin = 0, se procede a resolver: MAX Z = Y1 + Y2 S.A. Jugador 1 A1 A2 0Y1 + 0.5Y2 = 0 Investigació Investigación de Operaciones

M. En C. Eduardo Bustos Farí Farías

Jugador 2 B1 B2 0 ½ 1 0

69

Solución por Winqsb: planteamiento Jugador 1

Investigació Investigación de Operaciones

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A1 A2

Jugador 2 B1 B2 0 ½ 1 0

70

Datos importantes

Investigació Investigación de Operaciones

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71

Estrategias óptimas Estrategias óptimas del jugador 2 „ V* = 1/3 „ Y1* = 1/3 „ Y2* = 2/3 „ (.3, .6) Estrategias para uno de los jugadores Para obtener las estrategias óptimas del jugador 1 resolvemos por simplex dual y se tiene: „ X1* = 2/3 „ X2* = 1/3 „ (0.66, 0.33), véase que suman 1. Investigació Investigación de Operaciones

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72

EJERCICIOS DE REPASO DEL TEMA DE TEORÍA DE JUEGOS. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES M. EN C. EDUARDO BUSTOS FARÍAS

6

1