Teoría de las Comunicaciones

Claudio Enrique Righetti

Teoría de la Información y Codificación Fundamentos de T I y C - Fuente de Ruidos y Capacidad de un canal

Claude Shannon

Información

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Definición : unidades

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1 Bit

5

Fuente de memoria nula

6

Memoria nula (cont)

7

Entropía

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Entropía (cont) La entropía de un mensaje X, que se representa por H(X), es el valor medio ponderado de la cantidad de información de los diversos estados del mensaje. H(X) = -  p(x) log2 [p(x)] Es una medida de la incertidumbre media acerca de una variable aleatoria y el número de bits de información. El concepto de incertidumbre en H se puede asociar. La función entropía representa una medida de la incertidumbre, no obstante se suele considerar la entropía como la información media suministrada por cada símbolo de la fuente

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Entropía: Fuente Binaria

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Propiedades de la entropía a) La entropía es no negativa y se anula si y sólo si

un estado de la variable es igual a 1 y el resto 0 . b) La entropía es máxima, mayor incertidumbre del mensaje, cuando todos los valores posibles de la variable X son equiprobables . Si hay n estados equiprobables, entonces pi = 1/n. Luego: H(X) = -  pi log2 pi = - n(1/n) log2 (1/n) = (log2 1 - log2 n) i H(X)máx = log2 n 11

Extensión de una Fuente de Memoria Nula

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Fuente de Markov

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Fuente de Markov (cont)

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Codificación

Establecer una correspondencia entre los símbolos de una fuente y los símbolos del alfabeto de un código. Proceso mediante el cual también podemos lograr una representación más eficiente de la información ( eliminar redundancia).

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Codificación : condiciones

Bloque Singular Separable (unívocamente decodificable)

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Condición de los prefijos

La condición necesaria y suficiente para que un código sea instantáneo es que sus palabras cumplan la condición de los prefijos:

No exista palabra que sea prefijo de otra palabra de longitud mayor.

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Códigos eficientes Asignar palabras más cortas a símbolos más probables l i longitud de la palabra codificada del mensaje m i r : # de símbolos del alfabeto del código

L=

Σ

pi l i : Longitud media de un código L log r  H(s)

log r : Cantidad promedio máxima de información de un símbolo del código. η =

Η (S) / (L log r) Eficiencia

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20

Codificador óptimo Nos falta encontrar el segundo término pendiente en la definición de cantidad de información: codificador óptimo. Introduciendo el signo negativo dentro del logaritmo en la expresión de la entropía, ésta nos quedará como:

H(X) =  p(x) log2 [1/p(x)] i representa el número La expresión log2 [1/p(x)] necesario de bits para codificar el mensaje X en un codificador óptimo. Codificador óptimo es aquel que para codificar un mensaje X usa el menor número posible de bits. 21

Codificación de Huffman Mensaje: MI MAMA ME MIMA Letra

Ocurrencias →

Frecuencia

E

1 vez

I

2 veces

A

3 veces

““

3 veces

M

6 veces

→

3

I

E

→

6

A

M=1

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““ I

Código óptimo:

→

9

E

Creación del árbol de frecuencias observadas

“ ” = 01 A = 000

M

A

““ I

E

A I

I = 0010

E

E = 0011

Mensaje: 1 0010 01 1 000 1 000 01 1 0011 01 1 0010 1 000 (33 bits) Pregunta: ¿Con cuántos bits se codificaría si se usara ASCII? Saque conclusiones. 22

Los medios de transmisión…. …. Y las “perturbaciones” …..

Modelo de un Sistema de Comunicaciones

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Perturbaciones en la transmisión La señal recibida puede diferir de la señal transmitida Analógico - degradación de la calidad de la señal Digital – Errores de bits Causado por Atenuación y distorsión de atenuación Distorsión de retardo Ruido

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Atenuación La intensidad de la señal disminuye con la distancia Depende del medio La intensidad de la señal recibida: Debe ser suficiente para que se detecte Debe ser suficientemente mayor que el ruido para que se reciba sin error Crece con la frecuencia Ecualización: amplificar más las frecuencias más altas Problema “menos grave” para las señales digitales

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Distorsión de retardo Sólo en medios guiados La velocidad de propagación en el medio varía con la frecuencia Para una señal limitada en banda, la velocidad es mayor cerca de la frecuencia central Las componentes de frecuencia llegan al receptor en distintos instantes de tiempo, originando desplazamientos de fase entre las distintas frecuencias 27

Ruido (1) Señales adicionales insertadas entre el transmisor y el receptor Térmico Debido a la agitación térmica de los electrones Aumenta linealmente con la temperatura absoluta (N0= kT) Uniformemente distribuido en la frecuencia Ruido blanco (NBW= kTB) Intermodulación Señales que son la suma y la diferencia de frecuencias originales y sus múltiplos (mf1± nf2) Se produce por falta de linealidad 28

Ruido (2) Diafonía Una señal de una línea se mete en otra Impulsivo Impulsos irregulares o picos Ej: Interferencia electromagnética externa (tormenta) Corta duración Gran amplitud

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Efecto del ruido en señal digital

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Conceptos relacionados con la capacidad del canal Velocidad de datos En bits por segundo Velocidad a la cual se pueden transmitir los datos Ancho de Banda En ciclos por segundo (hertz) Limitado por el transmisor y el medio Ruido, nivel medio a través del camino de transmisión Tasa de errores, cambiar 0 por 1 y viceversa (BER, Bit Erro Rate) 31

Ancho de Banda de Nyquist (Capacidad teórica máxima) Para 2 niveles SIN RUIDO Velocidad binaria

C (bps ) = 2 B ( Hz)

Para M niveles SIN RUIDO Velocidad binaria

C (bps ) = 2 B ( Hz) log 2 M (niveles )

1 Baudio = 1 estado señalización/seg ( también se expresa símbolos/seg ) 1 Baudio = 1 bps si M=2 La relación entre la velocidad de transmisión C y la velocidad de modulación V es:

C (bps ) = V (baudios )·log 2 M

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Nyquist, H., “Certain Factors Affecting Telegraph Speed,” Bell System Technical Journal, April 1924, p. 324; “Certain Topics in

Capacidad de Shannon (1) Para un cierto nivel de ruido, a mayor velocidad, menor período de un bit, mayor tasa de error (se pueden corromper 2 bits en el tiempo en que antes se corrompía 1 bit) Relación Señal / Ruido (Signal Noise Ratio, SNR) en dB

Potencia _ Señal SNRdB = 10 log( SNR) = 10 log Potencia _ Ruido Restricción: no se puede aumentar M cuanto se quiera porque debe cumplirse:

M ≤ 1 + SNR 33

Capacidad de Shannon (2) En principio, si se aumenta el ancho de banda B y la potencia de señal S, aumenta la velocidad binaria C. Pero: Un aumento del ancho de banda B aumenta el ruido Un aumento de potencia de señal S aumenta las no linealidades y el ruido de intermodulación

Por tanto, la velocidad binaria teórica máxima será:

C (bps ) = V ·log 2 M = 2·B·log 2 M = B·log 2 M =>

Cmáx (bps ) = B ( Hz)·log 2 (1 + SNR) 34

2

Ejemplo Canal entre 3 MHz y 4 MHz Relación señal ruido = 24 dB, SNR=102,4=251 Calcular ancho de banda Respuesta: B = 1 MHz Calcular la velocidad binaria teórica máxima y el número de niveles Respuesta: SNR = 251 Respuesta: C = 8 Mbps Respuesta: M = 16 niveles

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Nivel Físico Fundamentos http://www.sciencephoto.com/media/225137/view

Agenda Medios de Transmisión : guiados y no guiados En el dominio de la frecuencia -Fourier La red telefónica Conversión analógica – digital Modulación (Modulación Digital / Portadora Analógica) Codificación ( “Modulación Digital/ Portadora Digital” )

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PCM (Pulse Code Modulation) Las señales analógicas son digitalizadas por un dispositivo llamado codec (coder-decoder), produciendo un número de 8 bits por muestra ( en realidad uno es para señalización) . El codec toma 8000 muestras por segundo (125 µseg/muestra) debido a que el teorema de Nyquist establece que esto es suficiente para capturar toda la información de un canal telefónico de 4 KHz de ancho de banda

“”Ancho de banda”” de cada canal de voz = 64 Kbps. Como consecuencia, virtualmente todos los intervalos de tiempo en el sistema telefónico son múltiplos de 125 µseg.

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Transporte T1 (1.544 Mbps)

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Enlaces : “Transporte “ T1: Utilizado en Norteamérica y Japón. Consiste de 24 canales de voz multiplexados juntos. Un frame T1 consiste de 24 x 8 = 192 bits, más un bit extra para framing, conduciendo a 193 bits cada 125 µseg. 1 / 0.000125 seg. x 193 bits = 1544000 bps T1=1,544 Mbps ITU tiene también una recomendación para un carrier PCM a 2048 Mbps llamado E1

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Modulación ,

Modems

Recordando los Principios básicos : Señal analógica vs señal digital La señal analógica utiliza una magnitud con una variación continua. La señal digital emplea valores discretos, predefinidos Módem vs Códec Módem (MODulador-DEModulador): convierte de digital a analógico y viceversa Códec (Codificador-DECodificador): convierte de analógico a digital y viceversa

Son lo mismo ????? 42

Modulación Proceso de variación de cierta característica de una señal, llamada portadora, de acuerdo con una señal mensaje, llamada moduladora Tipos Moduladora Analógica/Portadora Analógica Moduladora Analógica/Portadora Digital Moduladora Digital/Portadora Analógica Moduladora Digital/Portadora Digital

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M. Analógica/P. Analógica

Portadora Señal sinusoidal modulante

Onda de amplitud modulada (DSBTC) Onda modulada en fase Onda de frecuencia modulada

Las radios AM , FM44

M. Digital/P. Analógica La situación más conocida es la transmisión de datos digitales a través de la red telefonía, diseñada para transmitir señales analógicas en el rango de frecuencias de voz (300-3400Hz)

Técnicas

Desplazamiento de Amplitud (ASK) Desplazamiento de Frecuencia (FSK) Desplazamiento de Fase (PSK) Mixtas

45 Los MODEMS TELEFONICOS !!!!!

M. Digital/P. Analógica ASK, los valores binarios se representan mediante dos amplitudes diferentes de la portadora Acos(2fct )

S(t) =

0

0

46

0

1

1

0

1

0

0

0

1

0

M. Digital/P. Analógica FSK, los valores binarios se representan mediante dos frecuencias diferentes de la portadora

Acos(2f1t) S(t) =

0

47

0

1

1

Acos(2f2t)

0

1

0

0

0

1

0

M. Digital/P. Analógica PSK, los valores binarios se representan mediante dos fases diferentes de la portadora Acos(2fct+ ) S(t) =

0

48

0

1

1

Acos(2fct)

0

1

0

0

0

1

0

Velocidad de Modulación La Velocidad de Modulación se define como el número de cambios de señal por unidad de tiempo, y se expresa en baudios ( o símbolos/segundo) La Velocidad de Transmisión, expresada en bits/sg, equivale a la velocidad de modulación multiplicado por el número de bits representados por cada muestra

–

Vt = Vm * N

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M. Digital/P. Analógica ( cont.) Multinivel Se consigue una utilización más eficaz del ancho de banda si cada elemento de la señal transmitida representa más de un bit.

S(t) =

Acos(2 fct+ 45) Acos(2fct+ 135) Acos(2fct+ 225) Acos(2fct+ 315)

11 10 00 01

Este esquema se puede ampliar, ya que se pueden transmitir tres, cuatro, etc. bits por señal transmitida, aumentando el número de fases distintas o incluso para cada ángulo el número de 50 amplitudes (ASK-PSK)

M. Digital/P. Analógica

n=4

n=3

51

M. Digital/P. Analógica Modulación Trellis (QAM)

n=6

52

M. Analógica/P. Digital Vimos que el proceso de conversión de señales analógicas en digitales se le denomina digitalización y a los dispositivos que lo levan a cabo codec

Métodos

Modulación por impulsos codificados (MIC/PCM) : que ya vimos Modulación Delta 53

M. Digital/P. Digital Los datos binarios se transmiten codificando cada bit de datos en cada elemento de señal Motivo Filtrado de las bajas frecuencias

Perdida de sincronismo

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NRZ No retorno a cero (NRZ) Consiste en utilizar una tensión negativa para representar representar un 0

NRZ

55

un

1

y

una

positiva

para

NRZI No retorno a cero con inversión de unos (NRZI) Los datos se codifican mediante la presencia o ausencia de una transición al principio del intervalo de un 1

NRZI

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Manchester Bifase (Manchester) Se codifica mediante una transición en la mitad del intervalo de duración del bit: de bajo a alto representa un 1 y de alto a bajo un 0

Manchester

57

Manchester Diferencial Bifase Diferencial (Manchester Diferencial) La codificación de un 0 se representa por la presencia de una transición al principio del intervalo del bit y un 1 mediante la ausencia de transición

Manchester diferencial

58

M. Digital/P. Digital

Bipolar-AMI Un 0 se representa por ausencia de señal y un 1 se representa mediante un pulso positivo o negativo alternadamente

Bipolar AMI

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M. Digital/P. Digital Pseudoternario Un 1 se representa por ausencia de señal y un 0 se representa mediante un pulso positivo o negativo alternadamente

Pseudoternario

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M. Digital/P. Digital Códigos de alta densidad Reemplaza secuencia de bits que dan lugar a niveles de tensión constante por otra que proporcione transiciones para que el receptor este sincronizado

El receptor debe identificar la secuencia reemplazada y sustituirla por la original.

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M. Digital/P. Digital B8ZS (Bipolar con sustitución de 8 ceros) Si aparece 8 bits a cero ●

Ultimo valor positivo 0 0 0 + - 0 - +

●

Ultimo valor negativo 0 0 0 - + 0 + -

Bipolar AMI V

B8ZS

62

B

V

B

M. Digital/P. Digital HDB3 (Bipolar 3 ceros alta densidad) Se reemplaza cadenas de 4 ceros por cadenas con 1 o 2 pulsos. ●

Polaridad ultimo pulso (cambios

Nº pulsos bipolares de flancos) de

●

ultima sustitución Bipolar AMI

Impar

●

Positivo

000+

Negativo

HDB3 63

-00-

000V

B

Par

+00+ V

B

V