Cap´ıtulo VI

Teor´ıa de las superficies 1.

F´ ormulas de Gauss y de Weingarten

Consideremos una parametrizaci´ on regular ϕ : U → R3 , ϕ = ϕ(u, v), de clase C 2 de una superficie S = Im ϕ de R3 . Del mismo modo a como sobre una curva parametrizada de modo regular de R3 (de clase C 2 y con curvatura no nula en todo punto) tenemos su triedro de Frenet, sobre la superficie S tenemos tambi´en un triedro m´ ovil que en cada punto de S es una base de R3 : ϕu , ϕv y N . En el caso de una curva σ = σ(t) parametrizada por su longitud de arco, las f´ormulas de Frenet expresan la derivada de los vectores T, N, B como combinaci´on lineal de la base {T, N, B}, obteni´endose que los coeficientes de dichas combinaciones dependen u ´nicamente de la curvatura y de la torsi´ on. Para la superficie S, las derivadas parciales de los vectores ϕu , ϕv y N tambi´en tienen sus coordenadas en la base que dichos vectores forman: existen funciones Γkij , αij , βij , γi sobre el abierto U tales que  ϕuu = Γ111 ϕu + Γ211 ϕv + α11 N      1 2 ϕuv = Γ12 ϕu + Γ12 ϕv + α12 N     1 2 ϕvv = Γ22 ϕu + Γ22 ϕv + α22 N ; (1.1)      Nu = β11 ϕu + β12 ϕv + γ1 N     1 2 Nv = β2 ϕu + β2 ϕv + γ2 N ϕuu , ϕuv , ϕvv , Nu , Nv son continuas porque ϕ es de clase C 2 (en general, si ϕ es de clase C r con r ≥ 2, entonces ϕuu , ϕuv , ϕvv , Nu , Nv son de clase C r−2 ). Las f´ormulas (1.1) son las an´alogas para las superficies a las de Frenet para las curvas, y veremos que los coeficientes que aparecen en ellas dependen u ´nicamente de la primera y segunda formas fundamentales de la superficie. Calculemos los coeficientes de las dos u ´ltimas, las cuales se conocen como f´ormulas de Weingarten, que expresan el valor del operador de Weingarten sobre la base {ϕu , ϕv } de vectores tangentes a S y por tanto determinan totalmente dicho operador: φ(ϕu ) = −ϕ∇ u N = −Nu ,

φ(ϕv ) = −ϕ∇ v N = −Nv ;

en particular Nu y Nv son tangentes a S (porque φ transforma campos tangentes a S en campos

97

98

Cap´ıtulo VI. Teor´ıa de las superficies

tangentes a S) y por tanto γ1 = 0 = γ2 (Nu y Nv no tienen componente normal a S). De lo dicho se sigue que las f´ ormulas de Weingarten se expresan como !  )  −β11 −β21 Nu = β11 ϕu + β12 ϕv matriz de φ en = . donde la base {ϕu , ϕv } −β12 −β22 Nv = β21 ϕu + β22 ϕv Sabemos que dicha matriz es 1 (gij )−1 · (Lij ) = |gij | 1 = |gij |

g22 −g12

−g12

! ·

g11

g22 L11 − g12 L12

g11 L12 − g12 L11

L11

L12

L12

L22

!

g22 L12 − g12 L22

!

g11 L22 − g12 L12

,

por lo que obtenemos β11 =

g12 L12 − g22 L11 , |gij |

β21 =

g12 L22 − g22 L12 , |gij |

β12 =

g12 L11 − g11 L12 , |gij |

β22 =

g12 L12 − g11 L22 . |gij |

Respecto a las tres primeras f´ ormulas de (1.1), comencemos observando que


L11 = ϕuu · N = Γ111 ϕu · N + Γ211 ϕv · N + α11 N · N = α11 ,


L12 = ϕuv · N = Γ112 ϕu · N + Γ212 ϕv · N + α12 N · N = α12 ,


L22 = ϕvv · N = Γ122 ϕu · N + Γ222 ϕv · N + α22 N · N = α22 , de modo que dichas f´ ormulas se expresan como  ϕuu = Γ111 ϕu + Γ211 ϕv + L11 N    1 2 ϕuv = Γ12 ϕu + Γ12 ϕv + L12 N .    ϕvv = Γ122 ϕu + Γ222 ϕv + L22 N

(1.2)

 Las ecuaciones (1.2) se conocen como f´ ormulas de Gauss, y la familia de funciones Γkij se denominan s´ımbolos de Christoffel de la superficie S (respecto de la parametrizaci´on ϕ = ϕ(u, v)). Calculemos los s´ımbolos Γk11 que aparecen en la primera ecuaci´on, para lo cual multipliquemos escalarmente dicha ecuaci´ on por ϕu y por ϕv :


) ϕuu · ϕu = Γ111 ϕu · ϕu + Γ211 ϕv · ϕu + L11 N · ϕu = g11 Γ111 + g12 Γ211 ;


ϕuu · ϕv = Γ111 ϕu · ϕv + Γ211 ϕv · ϕv + L11 N · ϕv = g12 Γ111 + g22 Γ211 el anterior sistema de ecuaciones con las inc´ognitas Γ111 y Γ211 podemos expresarlo matricialmente como ! ! Γ111 ϕuu · ϕu
gij · = , Γ211 ϕuu · ϕv

99

2. Teorema fundamental de las superficies

y resolviendo por Cramer obtenemos ! Γ111 Γ211

= gij


−1

ϕuu · ϕu

·

ϕuu · ϕv

! .

Procediendo de modo an´ alogo con las otras dos f´ormulas de Gauss obtenemos ! ! ! ! Γ112 Γ122 ϕuv · ϕu ϕvv · ϕu
−1
−1 = gij , · = gij . · Γ212 ϕuv · ϕv Γ222 ϕvv · ϕv Seg´ un todo lo anterior, para ver que los s´ımbolos de Christoffel de S s´olo dependen de su primera forma fundamental, debemos comprobar que las seis funciones ϕuu · ϕu , ϕuu · ϕv , ϕuv · ϕu , ϕuv · ϕv , ϕvv · ϕu , ϕvv · ϕv s´ olo dependen de la primera forma fundamental:
(g11 )u = ∂u ϕu · ϕu = ϕuu · ϕu + ϕu · ϕuu = 2 ϕuu · ϕu
(g11 )v = ∂v ϕu · ϕu = · · · = 2 ϕuv · ϕu (g22 )u = 2 ϕuv ·ϕv ⇒

ϕuv · ϕv =

1 2

⇒

⇒

ϕuu · ϕu =

ϕuv · ϕu =

(g22 )v = 2 ϕvv ·ϕv ⇒

(g22 )u ,

1 2

1 2

(g11 )u ,

(g11 )v , ϕvv · ϕv =

1 2

(g22 )v ,


(g12 )u = ∂u ϕu · ϕv = ϕuu · ϕv + ϕu · ϕuv = ϕuu · ϕv + (g12 )v = · · · = ϕvv · ϕu +

2.

1 (g11 )v 2

1 (g22 )u 2

⇒

⇒

ϕuu · ϕv = (g12 )u − 12 (g11 )v , ϕvv · ϕu = (g12 )v − 12 (g22 )u .

Teorema fundamental de las superficies

Dadas funciones diferenciables κ, τ : I → R, con I intervalo abierto de la recta real, podemos ver las f´ormulas de Frenet  T0 = κN   0 N = −κT + τ B   B0 = −τ N como un sistema de (nueve) ecuaciones diferenciales ordinarias con inc´ognitas T = (T1 , T2 , T3 ), N = (N1 , N2 , N3 ), B = (B1 , B2 , B3 ). El teorema fundamental de las curvas afirma que cuando κ(t) > 0 para todo t ∈ I, dicho sistema tiene soluciones que son el triedro de Frenet de alguna curva σ = σ(t) parametrizada por su longitud de arco; como consecuencia se obtiene adem´ as que κ y τ son la curvatura y la torsi´ on de σ. Podemos expresar lo anterior diciendo que “ las f´ormulas de Frenet son integrables cuando la funci´on κ es siempre positiva ”. Ahora, dadas funciones diferenciables g11 , g12 , g22 , L11 , L12 , L22 definidas sobre un abierto 2 > 0, g U de R2 tales que g11 g22 − g12 etrica (gij ) sea definida 11 > 0 (para que la matriz sim´   positiva), consideramos sobre U las funciones Γkij , βij obtenidas a partir de gij , Lij como

100

Cap´ıtulo VI. Teor´ıa de las superficies

hemos descrito en la anterior secci´ on, y obtenemos que las f´ormulas de Gauss-Weingarten definen un sistema de (dieciocho) ecuaciones en derivadas parciales,  Fu = Γ111 F + Γ211 G + L11 H      Gu = Fv = Γ112 F + Γ212 G + L12 H     1 2 Gv = Γ22 F + Γ22 G + L22 H ,      Hu = β11 F + β12 G     1 2 Hv = β2 F + β2 G

(2.1)

con inc´ognitas F = (F1 , F2 , F3 ), G = (G1 , G2 , G3 ), H = (H1 , H2 , H3 ). Diremos que el sistema de Gauss-Weingarten (2.1) es integrable cuando existen soluciones F, G, H de clase C 1 ; en ese caso se cumple Fv = Gu y por lo tanto es f´acil encontrar una aplicaci´on ϕ = ϕ(u, v) que cumple ϕu = F y ϕv = G. Si la soluci´on se ha determinado fijando unas condiciones iniciales convenientes (por ejemplo, que para cierto (u0 , v0 ) ∈ U , H(u0 , v0 ) sea un vector unitario ortogonal a F (u0 , v0 ) y G(u0 , v0 )), entonces para la superficie S que define la parametrizaci´ on ϕ = ϕ(u, v) tenemos que H es un vector unitario normal sobre todo S, y por tanto el sistema de ecuaciones (2.1)  se convierte en las f´ormulas de Gauss-Weingarten de S ; en particular, las funciones gij , Lij de partida cumplen que (gij ) es la primera forma fundamental de S y (Lij ) es la segunda forma fundamental de S. El problema cl´ asico de integrabilidad de las f´ormulas de Gauss-Weingarten se expresa abreviadamente del siguiente modo: dadas una m´etrica sim´etrica definida positiva g y una m´etrica sim´etrica φ2 , ¿existe alguna superficie de R3 cuya primera forma fundamental sea g y cuya segunda forma fundamental sea φ2 ? En general la respuesta es negativa, a no ser que se cumplan ciertas “ condiciones de compatibilidad ” que resultan de la siguiente observaci´on: si ϕ = ϕ(u, v) es la parametrizaci´on de una superficie para la que queremos asegurar que los coeficientes {Lij } de su segunda forma fundamental sean de clase C 1 , entonces ϕ debe ser de clase C 3 , en cuyo caso ϕu y ϕv ser´an de clase C 2 y por lo tanto sus derivadas cruzadas coincidir´an, (ϕu )uv = (ϕu )vu y (ϕv )uv = (ϕv )vu , es decir (ϕuu )v = (ϕuv )u , (ϕvv )u = (ϕuv )v . (2.2) Utilizando las f´ ormulas de Gauss podemos expresar las ecuaciones (2.2) como

Γ111 ϕu + Γ211 ϕv + L11 N v = Γ112 ϕu + Γ212 ϕv + L12 N u ,

Γ122 ϕu + Γ222 ϕv + L22 N u = Γ112 ϕu + Γ212 ϕv + L12 N v . Si primero derivamos respecto de u y v, luego sustituimos ϕuu , ϕuv , ϕvv , Nu , Nv en funci´on de ϕu , ϕv , N utilizando las f´ ormulas de Gauss-Weingarten, y por u ´ltimo igualamos coordenadas teniendo en cuenta que {ϕu , ϕv , N } forman base, entonces llegamos a seis igualdades que se reducen a las tres siguientes: 
(L11 )v − (L12 )u = L11 Γ112 + L12 Γ212 − Γ111 − L22 Γ211  , (2.3)
(L12 )v − (L22 )u = L11 Γ122 + L12 Γ222 − Γ112 − L22 Γ212 

2. Teorema fundamental de las superficies

 


1 1 Γ1 + Γ2 Γ1 − Γ1 2 − Γ2 Γ1 Lij = g11 Γ1 − Γ + Γ 22 u 12 v 22 11 22 12 12 12 22  

+ g12 Γ222 u − Γ212 v + Γ122 Γ211 − Γ112 Γ212 .

101

(2.4)

Las ecuaciones de compatibilidad (2.3) y (2.4) relacionan los coeficientes de la primera forma fundamental con los coeficientes de la segunda forma fundamental; las (2.3) se conocen como ecuaciones de Codazzi-Mainardi, y (2.4) se llama ecuaci´on de Gauss. Por tanto, si queremos que unas m´etricas dadas (gij ) y (L las formas fundamentales ij ) sean de alguna superficie, entonces es necesario que las funciones gij , Lij cumplan las ecuaciones de Codazzi-Mainardi y la ecuaci´ on de Gauss. El “ teorema fundamental de las superficies ” afirma que el cumplimiento de dichas ecuaciones es tambi´en una condici´on suficiente; por este motivo, las ecuaciones de compatibilidad (2.3) y (2.4) se conocen tambi´en como “ condiciones de integrabilidad ” de las f´ ormulas de Gauss-Weingarten. 2.1 (Teorema fundamental de las superficies) Sea U un abierto de R2 sobre el que hay definidas funciones g11 , g12 , g22 de clase C 2 y funciones L11 , L12 , L22 de clase C 1 tales que: 2 > 0; (i) g11 > 0, g11 g22 − g12

(ii) g11 , g12 , g22 , L11 , L12 , L22 cumplen las ecuaciones de Codazzi-Mainardi (2.3) y la ecuaci´ on de Gauss (2.4). Entonces, para cada (u0 , v0 ) ∈ U existe una parametrizaci´on regular ϕ = ϕ(u, v) de clase definida en un entorno abierto de (u0 , v0 ) dentro de U para la cual (gij ) es la primera forma fundamental y (Lij ) es la segunda forma fundamental. Adem´as, la superficie que define la parametrizaci´ on ϕ = ϕ(u, v) es u ´nica salvo su posici´on en el espacio (esto es, salvo un movimiento directo). C3

La demostraci´ on del “ teorema fundamental de las superficies ” se obtiene como consecuencia de los teoremas de existencia y unicidad de soluciones para ciertos sistemas de ecuaciones en derivadas parciales, y es por eso que no la haremos. (Recu´erdese que para probar el “ teorema fundamental de las curvass ” se aplicaba la teor´ıa de ecuaciones diferenciales ordinarias.) Una consecuencia de la ecuaci´ on de Gauss es el siguiente resultado muy importante: 2.2 (Teorema egregio de Gauss) La curvatura de Gauss de una superficie de clase C 3 de R3 depende solamente de su primera forma fundamental. Demostraci´ on. Sea ϕ = ϕ(u, v) una parametrizaci´on regular de clase C 3 de una superficie S, y sean g11 = ϕu · ϕu , . . . , L22 = ϕvv · N las funciones coeficientes de la primera y segunda formas
fundamentales de S donde N = (ϕu × ϕv )/|ϕu × ϕv | . Entonces la curvatura de Gauss KG de S cumple la igualdad Lij L11 L22 − L212 KG = = 2 . g11 g22 − g12 gij Para terminar la demostraci´ on basta tener en cuenta que seg´ un la ecuaci´on de Gauss (2.4) el numerador de la igualdad anterior puede expresarse como funci´on de las funciones {gij } (y sus derivadas).

102

Cap´ıtulo VI. Teor´ıa de las superficies

2.3 (Geometr´ıa intr´ınseca) Consideremos una parametrizaci´on regular ϕ : U → R3 , ϕ = ϕ(u, v), de clase C 2 de una superficie S de R3 . Recordemos que por definici´on suponemos que el abierto U es conexo, de modo que la superficie S tambi´en es conexa. Por lo tanto todo par de puntos suyos se pueden unir por una curva que yace sobre S : dados P0 , P1 ∈ S, existe una curva σ : I → S tal que σ(t0 ) = P0 y σ(t1 ) = P1 para ciertos t0 , t1 ∈ I , (esta afirmaci´on se deja como ejercicio). Sabemos que la primera forma fundamental de S determina las longitudes de las curvas que est´an sobre S, por lo que la primera forma fundamental define la siguiente “ distancia ”: dados P, Q ∈ S, d(P, Q) := “´ınfimo de las longitudes de los arcos de curva sobre S que van de P a Q ”. Es inmediato comprobar que la aplicaci´ on d : S × S → R definida es una distancia en el sentido de la topolog´ıa. No es f´acil, pero puede probarse que si se conoce la distancia d sobre S, entonces puede construirse a partir de ella la primera forma fundamental g de la superficie. La geometr´ıa intr´ınseca de S es el estudio de las propiedades de la superficie que permanecen invariantes cuando se deforma S sin estirarla ni romperla, es decir, conservando las distancias entre sus puntos. Seg´ un lo dicho en el p´ arrafo anterior, las “ propiedades intr´ınsecas ” de S son aquellas que dependen u ´nicamente de su primera forma fundamental g. Un ser bidimensional que habitara la superficie S ajeno al espacio R3 del que S forma parte, podr´ıa determinar todas las propiedades intr´ınsecas de la superficie sin m´as que saber medir las distancias entre los puntos de S (esto es, las longitudes de los arcos de curvas sobre S): ´areas de regiones, el ´angulo formado por dos direcciones en un punto, la curvatura de Gauss (teorema egregio), el tipo de un punto (el´ıptico, hiperb´ olico o´ parab´olico/plano). La segunda forma fundamental φ2 no es una propiedad intr´ınseca de la superficie porque no est´a determinada por la primera forma fundamental g, si bien est´a lejos de ser independiente de g porque se deben cumplir las ecuaciones de Gauss y de Codazzi-Mainardi. Para entender el papel de la segunda forma fundamental hay que tener en cuenta que al deformar S sin alterar las distancias entre sus puntos, podemos obtener otra superficie de “ aspecto ” o “ forma ” muy diferente. Por ejemplo, una peque˜ na regi´on de un cilindro circular puede “ desplegarse ” para dar lugar a una regi´ on plana; ambas superficies tienen la misma primera forma fundamental a pesar de tener formas distintas; la diferencia entre ellas viene dada por la diferencia entre sus segundas formas fundamentales. As´ı pues, la segunda forma fundamental determina el modo en que la superficie se sumerge en R3 .

3.

Curvatura normal y curvatura geod´ esica

Fijemos una parametrizaci´ on regular ϕ : U → R3 , ϕ = ϕ(u, v), de clase C 2 de una superficie S = Im ϕ de R3 . Tenemos la base {ϕu , ϕv } de campos tangentes a S y el vector unitario N = (ϕu × ϕv )/|ϕu × ϕv | normal a S. Tambi´en tenemos, respecto de dicha base, la matriz (gij ) de la primera forma fundamental g y la matriz (Lij ) de la segunda forma fundamental φ2 . Definici´ on 3.1 Sea σ : I → R3 una curva regular que yace sobre S ; esto es, σ(t) =

(u,v) ϕ u(t), v(t) con I −−−→ U diferenciable tal que u0 (t), v 0 (t) 6= (0, 0) para todo t ∈ I. El

3. Curvatura normal y curvatura geod´esica

103

vector tangente unitario a la curva es T = σ 0 /|σ 0 |. Se define la curvatura normal de la curva σ sobre la superficie S como la funci´ on Kn := φ2 (T, T ) ; es decir, dado t ∈ I, en el punto σ(t) la curvatura normal es Kn (t) := φ2,σ(t) (Tt , Tt ) . N´otese que Kn puede tomar valores negativos. 3.2 Recordemos que Kn (t) es (salvo el signo) la curvatura en el punto σ(t) de la secci´on plana de la superficie S en σ(t) seg´ un la direcci´on tangente a la curva σ en dicho punto (v´ease la interpretaci´ on geom´etrica V.6.19). Por lo tanto es claro que la curvatura normal de σ en un punto depende solamente de la direcci´on tangente a la curva en el punto. Es decir, se cumple: (Teorema de Meusnier) Si dos curvas sobre S son tangentes en un punto P , entonces tienen en P la misma curvatura normal.
3.3 Veamos la expresi´ on de Kn en coordenadas. Como σ(t) = ϕ u(t), v(t) tenemos σ 0 = u0 ϕu + v 0 ϕv es decir, las coordenadas de σ 0 en la base {ϕu , ϕv } son (u0 , v 0 ). Por lo tanto ! 0



u 0 0 0 2 0 2 + 2L u v + L v , = L u φ2 (σ 0 , σ 0 ) = u0 v 0 · Lij · 12 22 11 v0 ! 0 0 2
2
2

u σ = g(σ 0 , σ 0 ) = u0 v 0 · gij · = g11 u0 + 2g12 u0 v 0 + g22 v 0 , 0 v  0  σ σ0 1 φ2 (σ 0 , σ 0 ) 0 0 Kn = φ2 (T, T ) = φ2 , = φ (σ , σ ) = ; 2 |σ 0 | |σ 0 | |σ 0 |2 g(σ 0 , σ 0 ) por lo tanto
2
2 L11 u0 + 2L12 u0 v 0 + L22 v 0 Kn = (3.1)
2
2 . g11 u0 + 2g12 u0 v 0 + g22 v 0 Definiciones 3.4 Sean un punto P ∈ S y un vector no nulo DP ∈ TP S. Se dice que DP es una direcci´on asint´ otica de la superficie S en el punto P si φ2,P (DP , DP ) = 0 (esto es, si el vector DP es “ is´otropo ” para la m´etrica φ2,P ). Equivalentemente, DP es una direcci´on asint´otica si la curvatura en P de la secci´ on plana de S en P seg´ un la direcci´on DP es nula. Se dice que la curva σ = σ(t) es una l´ınea asint´otica de la superficie S si el vector tangente en cada punto de la curva es una direcci´on asint´otica de la superficie en ese punto. Equivalentemente, σ = σ(t) es una l´ınea asint´ otica si su curvatura normal es constantemente nula. 3.5 De la expresi´ on (3.1) obtenida para la
curvatura normal se sigue que la condici´on necesaria y suficiente para que σ(t) = ϕ u(t), v(t) sea una l´ınea asint´otica es que su vector tangente σ 0 = (u0 , v 0 ) cumpla
2
2 L11 u0 + 2L12 u0 v 0 + L22 v 0 = 0 . (3.2) De otro modo, las l´ıneas asint´ oticas de S son las curvas sobre la superficie dadas por las soluciones (u, v) de la ecuaci´ on diferencial (3.2).

104

Cap´ıtulo VI. Teor´ıa de las superficies

Definici´ on 3.6 Veamos la curva σ = σ(t) como curva en R3 (independiente de la superficie S). Un campo a soporte en la curva consiste en dar un vector de R3 en cada punto de la curva. Un tal campo se expresar´ a en la forma D = (f1 , f2 , f3 ) con fi = fi (t), i = 1, 2, 3, de modo que para cada t ∈ I, D(t) = (f1 (t), f2 (t), f3 (t)) es un vector de R3 en el punto σ(t). Supondremos en lo que sigue que los campos a soporte en σ son diferenciables, esto es, que las funciones f1 , f2 , f3 son diferenciables. Como ejemplo de campo a soporte en σ tenemos: el vector tangente unitario T , el vector normal principal N y el vector binormal B (los dos u ´ltimos definidos donde la curvatura de σ no se anula). Un campo a soporte a σ puede ser tangente a σ (como T ), o puede ser no tangente a σ (como N o B). 3.7 Igual que derivamos covariantemente campos a soporte en la superficie S respecto de campos tangentes a S, podemos tambi´en derivar covariantemente campos a soporte en σ respecto de campos tangentes a σ. Basta tener en cuenta que la derivada covariante se defin´ıa en cada punto P respecto de un vector e en ese punto: para calcular e∇P D se eleg´ıa cualquier curva α = α(t) que cumpliera α(t0 ) = P y α0 (t0 ) = e para alg´ un valor t0 del par´ametro, y entonces
e∇P D = (f1 ◦α)0 (t0 ), (f2 ◦α)0 (t0 ), (f3 ◦α)0 (t0 ) , D = (f1 , f2 , f3 ) . Cuando D es un campo en R3 la curva α no tiene m´as restricciones; cuando D es un campo sobre la superficie S la curva α debe yacer sobre S. Ahora, para un campo a soporte en σ la curva α deber´ a estar “ dentro ” de la curva σ. Sea entonces D = (f1 , f2 , f3 ) un campo a soporte en σ. Si en el punto P = σ(t0 ) consideramos el vector e = σ 0 (t0 ), entonces para calcular la derivada covariante e∇P D bastar´a tomar α = σ, en cuyo caso ser´ a (fi ◦α)(t) = (fi ◦σ)(t) = fi (t), i = 1, 2, 3, y obtenemos
σ 0 (t0 )∇P D = f10 (t), f20 (t), f30 (t) . Haciendo abstracci´ on del punto P = σ(t0 ) tenemos
σ 0 ∇ D = f10 , f20 , f30 = D0 , es decir, derivar covariantemente campos a soporte en σ respecto del vector tangente σ 0 es igual a derivar respecto del par´ ametro t. ¯ = hσ 0 para alguna funci´on Cualquier otro campo tangente a la curva σ ser´a de la forma D diferenciable h = h(t), y por lo tanto ser´a (basta comprobarlo punto a punto): ¯ ∇ D = hσ 0 D


∇



D = h σ 0 ∇ D = hD0 = hf10 , hf20 , hf30 .

Es f´acil ver que esta manera de derivar covariantemente campos a soporte en la curva respecto de campos tangentes a la curva cumple las mismas propiedades que la derivada covariante sobre una superficie (v´eanse V.5.23 y V.5.24). Con esta notaci´on, las f´ormulas de Frenet de la curva σ se escriben como:  T ∇T = κN   ∇ T N = −κT + τ B .   ∇ T B = −τ N

105

3. Curvatura normal y curvatura geod´esica

3.8 Volvamos de nuevo a ver la curva σ = σ(t) sobre la superficie S fijada al comienzo de
∇ 0
la secci´on. Ya sabemos que el vector σ 00 = σ 0 σ no es, en general tangente a la curva, e incluso puede no ser tangente a la superficie. Dados campos tangentes D1 , D2 a la superficie S, D1∇ D2 es un campo de vectores sobre S que tendr´a su componente tangente a S y su componente normal a S. La parte tangente a S la denotaremos D1∇ D2 . La parte normal debe ser de la forma hN para cierta funci´on h = h(u, v). As´ı, D1∇ D2 y hN son campos a soporte en S tales que D1∇ D2 = D1∇ D2 + hN ,


D1∇ D2 · N = 0 .

Por lo tanto


φ2 (D1 , D2 ) = D1∇ D2 · N = D1∇ D2 + hN · N = D1∇ D2 · N + h(N · N ) = h , y obtenemos la f´ ormula D1∇ D2 = D1∇ D2 + φ2 (D1 , D2 ) N .

(3.3)

En particular, para el vector σ 0 tangente a la curva tenemos σ 00 = σ 0


∇


σ 0 + φ2 (σ 0 , σ 0 ) N .

(3.4)

3.9 Interpretemos geom´etricamente la f´ormula (3.4). Si entendemos σ = σ(t) como la “ trayectoria de un m´ ovil en el tiempo t ”, entonces σ 0 y σ 00 son, respectivamente, los vectores velocidad y aceleraci´ on del m´ ovil, y se dice que σ = σ(t) es una “ trayectoria inercial ” si su aceleraci´ on 00 00 00 00 es constantemente nula: si σ = (σ1 , σ2 , σ3 ) es tal que σ = (σ1 , σ2 , σ3 ) = (0, 0, 0), entonces integrando se obtiene f´ acilmente que existen escalares a1 , a2 , a3 , b1 , b2 , b3 ∈ R tales que σ(t) = (a1 t + b1 , a2 t + b2 , a3 t + b3 ) = t(a1 , a2 , a3 ) + (b1 , b2 , b3 ) , es decir, σ = σ(t) es (un segmento de) la recta de R3 que pasa por el punto (b1 , b2 , b3 ) con la direcci´on del vector (a1 , a2 , a3 ). Como ya sab´ıamos, las trayectorias inerciales de R3 son las rectas. Pero n´ otese que son las rectas “ parametrizadas af´ınmente ”, no vale parametrizarlas de cualquier manera: σ(t) = (t3 + t, 0, 0) = (t3 + t)(1, 0, 0) es una parametrizaci´on regular de la recta y = 0 = z, pero no es una trayectoria inercial porque su aceleraci´on σ 00 = (6t, 0, 0) no es id´enticamente nula. Ahora, si la curva est´ a sobre S, para un ser bidimensional que habitara la superficie ser´ıa
∇ 0
σ = σ(t) una trayectoria cuya aceleraci´on es la parte tangencial σ 0 σ del vector σ 00 (la parte normal φ2 (σ 0 , σ 0 ) N es ajena a un tal habitante); es decir, la aceleraci´on de la trayectoria
∇ 0
σ = σ(t) sobre S que “ ver´ıa un habitante de la superficie ” es σ 0 σ . Calculemos esta u ´ltima aceleraci´ on y veamos que es una propiedad intr´ınseca de la superficie. Como viene siendo habitual, utilizaremos el triedro m´ ovil {ϕu , ϕv , N } sobre S y las f´ormulas de Gauss-Weingarten:
σ(t) = ϕ u(t), v(t) ,

σ 0 = u0 ϕu + v 0 ϕv ,

106

Cap´ıtulo VI. Teor´ıa de las superficies

σ 00 = u0 ϕu + v 0 ϕv


0

    = u00 ϕu + u0 u0 ϕuu + v 0 ϕuv + v 00 ϕv + v 0 u0 ϕuv + v 0 ϕvv i h i
2 h = u00 ϕu + u0 Γ111 ϕu + Γ211 ϕv + L11 N + u0 v 0 Γ112 ϕu + Γ212 ϕv + L12 N h i i
2 h + v 00 ϕv + v 0 u0 Γ112 ϕu + Γ212 ϕv + L12 N + v 0 Γ122 ϕu + Γ222 ϕv + L22 N h h
2
2 i
2
2 i = u00 + u0 Γ111 + 2u0 v 0 Γ112 + v 0 Γ122 ϕu + v 00 + u0 Γ211 + 2u0 v 0 Γ212 + v 0 Γ222 ϕv h
2
2 i + L11 u0 + 2L12 u0 v 0 + L22 v 0 N;

por lo tanto la componente de σ 00 que es tangente a S es
∇ 0
h 00
2
2 i σ0 σ = u + u0 Γ111 + 2u0 v 0 Γ112 + v 0 Γ122 ϕu h
2
2 i + v 00 + u0 Γ211 + 2u0 v 0 Γ212 + v 0 Γ222 ϕv .

(3.5)


∇ 0
σ en la base {ϕu , ϕv } dependen solamente Como puede verse, las coordenadas del vector σ 0 de los s´ımbolos de Christoffel de S, es decir, de la primera forma fundamental de la superficie. Definici´ on 3.10 Con la notaci´ on de los puntos anteriores, diremos que la curva σ = σ(t) es
∇ 0
una geod´esica de la superficie S si se cumple σ 0 σ = 0, es decir, si el vector σ 00 es normal a S a lo largo de toda la curva. Las geod´esicas de S son las trayectorias inerciales propias de la superficie. 3.11 De la
f´ ormula (3.5) se sigue que la condici´on necesaria y suficiente para que σ(t) = ϕ u(t), v(t) sea una geod´esica es que se cumplan 
2
2 u00 + u0 Γ111 + 2u0 v 0 Γ112 + v 0 Γ122 = 0  .
2
2 v 00 + u0 Γ211 + 2u0 v 0 Γ212 + v 0 Γ222 = 0 

(3.6)

De otro modo, las geod´esicas de S son las curvas sobre la superficie dadas por las soluciones (u, v) del sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden (3.6). 3.12 Aunque ya lo hemos dicho, insistimos porque es importante: las geod´esicas de S son curvas parametrizadas, es decir, puede ocurrir que σ = σ(t) sea una geod´esica de S, pero que despu´es de hacer un cambio de par´ ametro t = t(s) obtengamos una nueva parametrizaci´on σ(s) = σ(t(s)) de la misma curva que ya no sea geod´esica de la superficie. Sin embargo, tambi´en es importante conocer “ cu´ales son las geod´esicas ” de la superficie S en el siguiente sentido: ¿cu´ ales curvas de S admiten una parametrizaci´on con la que resultan ser geod´esica? Por ejemplo, si S es un plano de R3 , entonces las u ´nicas geod´esicas de S son sus rectas. En efecto, el plano S tendr´ a un vector normal unitario constante N0 , y existir´a un escalar λ ∈ R tal que la ecuaci´ on de S es X · N0 = λ; si σ = σ(t) es una curva que est´a sobre el plano cumplir´ a σ · N0 = λ, y derivando dos veces tenemos σ 00 · N0 = 0; si σ es geod´esica de

107

3. Curvatura normal y curvatura geod´esica

S, entonces σ 00 es proporcional a N0 y por lo tanto debe ser σ 00 = 0, es decir, existen vectores e0 , v0 ∈ R3 tales que σ(t) = tv0 + e0 . Otro ejemplo: las geod´esicas de una esfera son sus c´ırculos m´aximos (lo veremos un poco m´as adelante). El siguiente resultado simplifica el problema de obtener las geod´esicas de la superficie S. Lema 3.13 Sea σ = σ(t) una geod´esica de S. Se cumplen: (i) El m´ odulo del vector tangente σ 0 es constante. dσ

(ii) Si σ = σ(s) es otra parametrizaci´on de la curva dada cuyo vector tangente tiene ds m´odulo constante, entonces σ = σ(s) tambi´en es geod´esica de S. Demostraci´ on. El apartado (i) es sencillo: si el vector σ 00 es proporcional al vector normal unitario N a la superficie, entonces σ 0 y σ 00 son ortogonales y por lo tanto
0 σ 0 · σ 0 = σ 00 · σ 0 + σ 0 · σ 00 = 0 , 2 es decir, la funci´ on σ 0 = σ 0 · σ 0 es constante. Probemos (ii). Sea t = t(s) un cambio de par´ametro y consideremos la nueva parametrizadσ tiene m´odulo constante, veamos ci´on σ(s) = σ(t(s)) para la curva. Supuesto que el vector que

d2 σ ds2

es proporcional a σ 00 (en ese caso

d2 σ ds2

ds

ser´ıa normal a la superficie, porque σ 00 lo es, y dσ

por tanto σ = σ(s) ser´ıa geod´esica de S). Sean λ, µ ∈ R constantes tales que |σ 0 | = λ y = µ; ds tenemos dσ dt dt dσ dσ dt dt 0 = = σ ⇒ µ = = σ 0 = λ , ds dt ds ds ds ds ds dt ds

dt

es constante: = α = ±µ/λ. Entonces obtenemos ds    0 
d dσ d dσ 0 dσ dt d2 σ 0 = = ασ = α =α = α2 σ 00 , ds2 ds ds ds ds dt ds

y por lo tanto la funci´ on

que es lo que quer´ıamos demostrar. Corolario 3.14 Una curva sobre S es una geod´esica (i.e., tiene una parametrizaci´on con la que es una geod´esica) si y s´ olo si al parametrizarla por su longitud de arco es geod´esica. Ejemplo 3.15 Veamos que las geod´esicas de una esfera S de R3 son sus c´ırculos m´aximos (= circunferencias sobre S que tienen su centro en el centro de S). Consideremos una geod´esica σ = σ(t) sobre S ; seg´ un el anterior corolario podemos suponer que est´a parametrizada por su longitud de arco. Sabemos que por ser una curva esf´erica tiene ¯ , B} a curvatura no nula en todo punto, y por tanto est´a definido su triedro de Frenet {T, N 0 00 00 ¯ . Como σ ∈ hN i por ser lo largo de toda la curva, siendo en este caso σ = T y σ = κN 00 ¯ geod´esica, la condici´ on σ = κN implica que la recta normal principal a σ en un punto σ(t) tiene la direcci´ on normal a la esfera en dicho punto; por las propiedades de la esfera, lo anterior significa que todas las rectas normales principales de la curva pasan por el centro de la esfera. Por lo tanto σ = σ(t) es un arco de circunferencia cuyo centro es el centro de S (v´ease el problema III.5.2).

108

Cap´ıtulo VI. Teor´ıa de las superficies

3.16 Terminaremos esta secci´ on dando otra definici´on equivalente de geod´esica. Sea σ = σ(t) una parametrizaci´ on natural de una curva que yace sobre la superficie S. Seg´ un la f´ormula (3.3) que hemos probado en la p´ agina 105, para el vector tangente unitario T = σ 0 se cumple T ∇ T = T ∇ T + φ2 (T, T )N = T ∇ T + Kn N , y como los vectores T ∇ T y N son ortogonales podemos aplicar el teorema de Pit´agoras para obtener ∇ 2 T T = T ∇ T 2 + Kn2 . La funci´on T ∇ T = σ 00 | = κ es la curvatura de σ como curva de R3 (es independiente de que se considere σ dentro de la superficie S). La funci´on T ∇ T se denota Kg y se llama curvatura geod´esica (´o curvatura tangencial) de la curva σ (como curva sobre la superficie S); Kg es la curvatura de σ que ver´ıa un habitante de la superficie. Tenemos la f´ormula κ2 = Kg2 + Kn2 . Por definici´on, σ es un geod´esica de S cuando el vector T ∇ T es id´enticamente nulo, es decir, “ una curva sobre una superficie es una geod´esica cuando su curvatura geod´esica es id´enticamente nula ”.

4.

Superficies de curvatura constante

4.1 Las superficies de curvatura constante nula son las llamadas “ superficies desarrollables ”. Como ejemplo hemos visto los cilindros, los conos y las desarrollables tangenciales. Puede probarse que cualquier superficie desarrollable es localmente como uno de los tres casos mencionados. Como ejemplo de superficie de curvatura constante positiva tenemos la esfera. Se cumple el siguiente resultado: 4.2 (Teorema de Liebmann) Las u ´nicas superficies compactas (conexas) de R3 de curvatura constante positiva son las esferas. M´as adelante veremos c´ omo construir superficies de R3 de curvatura constante positiva que no son parte de una esfera (v´ease el punto 4.8); no ser´an compactas. Hemos mencionado dos ejemplos de superficies de curvatura constante que tienen adem´as la propiedad de que todos sus puntos son umb´ılicos: el plano y la esfera. Tenemos: Teorema 4.3 Sea S una superficie (conexa) de R3 . Si todos los puntos de S son umb´ılicos, entonces S es un abierto de un plano ´ o es un abierto de una esfera. Todos los resultados enunciados hasta ahora en esta secci´on tienen demostraciones que podr´ıamos hacer con las herramientas con las que contamos. Sin embargo no los demostraremos por falta de tiempo.

109

4. Superficies de curvatura constante

4.4 (Teorema de Hilbert) No existe en R3 ninguna superficie cerrada de curvatura constante negativa. La demostraci´ on del anterior teorema es dif´ıcil y no est´a a nuestro alcance. Un resultado m´as d´ebil que s´ı podr´ıamos probar nosotros es el siguiente: Teorema 4.5 Toda superficie compacta de R3 tiene curvatura positiva en alguno de sus puntos. Como consecuencia, no existe en R3 ninguna superficie compacta de curvatura constante negativa. 4.6 Veamos c´ omo construir superficies de revoluci´on de curvatura constante (v´ease el problema IV.5.4). Dada en el semiplano {y = 0, x > 0} la curva regular σ(t) = (f (t), 0, h(t)) (con f, h : I → R funciones de clase C m definidas en un intervalo abierto I, siendo f (t) > 0 para todo t ∈ I), haci´endola girar alrededor del eje z obtenemos la superficie de revoluci´on S (de clase C m ) parametrizada como ϕ : I × R −→ R3 (t, θ) 7−→


f (t) cos θ , f (t) sen θ , h(t) .

En la resoluci´ on del problema V.7.10 se obtiene que la curvatura de Gauss de S es
h0 f 0 h00 − f 00 h0 KG =
2
2
2 . f f 0 + h0 Vamos a considerar curvas que son la gr´afica de una funci´on z = h(x), es decir, σ(t) = (t, 0, h(t)) con t > 0, en cuyo caso tenemos KG =

h0 h00 t 1 + h0


2
2 .

(4.1)

Supongamos que queremos obtener una funci´on z = h(x) tal que la superficie de revoluci´ on S definida por ella tenga curvatura de Gauss constantemente igual a un n´ umero real KG fijado; entonces hay que encontrar una soluci´on de la ecuaci´on diferencial ordinaria de segundo orden (4.1); si imponemos a dicha ecuaci´ on condiciones iniciales h(t0 ) = a0 y h0 (t0 ) = b0 , entonces la teor´ıa de ecuaciones diferenciales nos asegura que existe una u ´nica soluci´on. z 6

a0

r

Q Q Q

Qr Q recta de pendiente Q Q igual a b0 Q Q

t0

- x

Es decir, fijados un punto y una recta que pasa por ´el, existe una u ´nica gr´afica que pasa por ese punto, cuya recta tangente en el punto es la recta fijada, y tal que la superficie de revoluci´ on que genera tiene curvatura constante igual al valor KG prefijado.

4.7 Utilizando los c´ alculos del punto anterior, podemos preguntarnos c´omo son las superficies de revoluci´ on obtenidas a partir de la gr´afica de una funci´on z = h(x) que son desarrollables. Si KG = 0, entonces h0 h00 = 0 y por tanto h00 = 0, es decir, h(x) = ax+b, de modo que la gr´afica es una recta y la superficie de revoluci´on es un cono. (El cilindro tambi´en es una superficie de revoluci´on desarrollable, pero la recta x =cte no es la gr´afica de una funci´on.)

110

Cap´ıtulo VI. Teor´ıa de las superficies

4.8 Veamos, como consecuencia de lo dicho en el punto 4.6, que existen superficies de revoluci´on de curvatura constante positiva que no son parte de una esfera. Fijemos n´ umeros reales t0 y R tales que t0 > R > 0, y sea KG = 1/R2 > 0. z Q Q Si la superficie de revoluci´ on S obtenida con es6 Q ¯ ¯ Qr tos datos fuera parte de una esfera S, entonces S a0 Q Q tendr´ıa su centro en el eje z, y por tanto su radio Q Q ¯ R ser´ıa mayor o igual que la distancia del punto ¯ ≥ t0 > R. (t0 , a0 ) ∈ S ⊂ S¯ a dicho eje, esto es, R r - x t0 > R Pero entonces tendr´ıamos curvatura de Gauss de S = curvatura de Gauss de S¯ ¯ 2 < 1/R2 = KG = curvatura de Gauss de S , = 1/R lo cual es absurdo. Por lo tanto S es una superficie de revoluci´on de curvatura constante positiva igual a 1/R2 que no es parte de una esfera. Seg´ un el teorema de Liebmann 4.2, la superficie S no puede ser compacta. Terminaremos dando un ejemplo de superficie de curvatura constante negativa, la seudoesfera, que es la superficie de revoluci´ on generada por la curva plana llamada tractriz. 4.9 (Tractriz) En el plano de las coordenadas (x, z), consideremos un carrito que est´a sobre la parte positiva del eje x a una distancia R > 0 del origen, y supongamos que en el origen hay un ni˜ no que tiene agarrada una cuerda no el´astica de longitud R que est´a atada al carrito. La tractriz es la curva que describe el carrito cuando el ni˜ no comienza a andar en la direcci´on positiva del eje z sin soltar la cuerda. z Calculemos la funci´ on z = h(x) cuya gr´afica es la tractriz. Fijemos un valor x0 en el intervalo abierto I = (0, R). 6 Consideremos el punto P0 = (x0 , h(x0 )) de la tractriz, y Q0 • sea Q0 el punto corte de la tangente a la tractriz en P0 con el eje z. La ecuaci´ on de la recta tangente a la gr´afica de la funci´on z = h(x) en el punto P0 es 6
z − h(x0 ) = h0 (x0 ) x − x0 , h(x0 )

• P0

de modo que con un c´ alculo sencillo obtenemos la igual
0 6 dad Q0 = 0 , h(x0 ) − x0 h (x0 ) . Obs´ervese que en cada x momento la cuerda que une al ni˜ no con el carrito es tan• • x0 R gente a la trayectoria (cuando el carrito est´a en el punto P0 el ni˜ no se encuentra en el punto Q0 ), y que la distancia entre el carrito y el ni˜ no es constantemente igual a R (la distancia de P0 a Q0 es R). Por lo tanto tenemos  2  2 R2 = d(P0 , Q0 ) = x20 + x20 h0 (x0 ) .
2 Haciendo abstracci´ on del valor x0 ∈ I obtenemos la igualdad R2 = x2 + x2 h0 , y como es claro que la pendiente de la funci´ on z = h(x) es negativa, concluimos que h cumple la ecuaci´on

111

5. Problemas

diferencial

r h0 = −

p − R 2 − x2 R2 −1 = . x2 x

Integrando obtenemos Z h(x) = x

R

p R2 − t2 dt + cte , t

x ∈ (0, R) ;

(4.2)

como la funci´ on h es continua en el intervalo (0, R] si definimos h(R) = 0, concluimos que la constante que aparece en la igualdad (4.2) debe ser nula. 4.10 (Seudoesfera) Sea h = h(t), 0 < t < R, la funci´on que se ha obtenido en el punto anterior, y cuya gr´ afica es la tractriz. La seudoesfera es la superficie de revoluci´on que se genera al girar alrededor del eje z la curva σ(t) = (t, 0, h(t)) (v´ease el punto 4.6).

Para calcular la curvatura KG de la seudoesfera utilizaremos la f´ormula (4.1): p h0 h00 − R2 − t2 R2 1 0 ⇒ KG = h = , h00 = p
2
2 = − 2 < 0 . t R t 1 + h0 t2 R2 − t2 Por analog´ıa (recordemos que una esfera de radio R tiene curvatura constante positiva igual a 1/R2 ), se dice que R es el seudoradio de la seudoesfera.

5.

Problemas

Sea C una curva sobre una superficie S de R3 . (a) Si C es una recta, entonces C es l´ınea asint´otica de S y tambi´en es geod´esica de S. (b) Si C es l´ınea asint´ otica y es geod´esica de S, entonces C es una recta. (c) La condici´ on necesaria y suficiente para que C sea l´ınea asint´otica de S es que en cada punto de C de curvatura no nula coincidan el plano osculador a C y el plano tangente a S. (d) La condici´ on necesaria y suficiente para que C sea geod´esica de S es que en cada punto de C de curvatura no nula el plano osculador a C sea perpendicular al plano tangente a S.

5.1

5.2

Sean S1 y S2 superficies de R3 que son tangentes a lo largo de una curva C. (a) Si C es l´ınea asint´ otica de una de las superficies, entonces tambi´en lo es de la otra. (b) Si C es geod´esica de una de las superficies, entonces tambi´en lo es de la otra.

112

Cap´ıtulo VI. Teor´ıa de las superficies

5.3 Pru´ebese que la condici´ on necesaria y suficiente para que la curvatura media km := 1 (k + k ) de una superficie S de R3 se anule en un punto P ∈ S, es que exista una base 1 2 2 ortogonal de TP S formada por vectores is´otropos 1 . Adem´as, si km (P ) = 0 y KG (P ) 6= 0, entonces hay exactamente dos direcciones asint´oticas en TP S, que son otogonales. 5.4 Sean C1 y C2 curvas que yacen sobre una superficie S de R3 y que se cortan ortogonalmente en un punto P ∈ S. Pru´ebese que la suma de las curvaturas normales de C1 y C2 en P es constante (no depende de las curvas C1 y C2 ). Claramente, dicha constante debe ser la suma de las curvaturas principales de S en P (i.e., el doble de la curvatura media). 5.5 Sea S una superficie de R3 con curvatura de Gauss no nula en todo punto y con curvatura media nula en todo punto (en particular todo punto de S es hiperb´olico). Pru´ebese que por cada punto de S pasan dos, y s´ olo dos, curvas asint´oticas, que adem´as son ortogonales. Sea ϕ = ϕ(u, v) una parametrizaci´on de una superficie S de R3 . (a) Pru´ebese: las curvas param´etricas son l´ıneas de curvatura ⇔ g12 = 0 = L12 en los puntos no umb´ılicos. (b) Pru´ebese: las curvas param´etricas son l´ıneas asint´oticas ⇔ L11 = 0 = L22 . (c) ¿Qu´e debe ocurrir para que las curvas param´etricas sean geod´esicas?

5.6

5.7

5.8

Sea S el cilindro circular de radio r > 0 centrado en el eje z, cuya ecuaci´on es x2 +y 2 = r2 . (a) Est´ udiesen las l´ıneas asint´ oticas de S. (b) Est´ udiesen las geod´esicas de S. Consid´erese en R3 la superficie S parametrizada del siguiente modo: ϕ : U −→ R3 (u, v) 7−→ (u cos v, u sen v, v 2 ) ,

siendo U = R2 − {(0, 0)}. (a) Est´ udiesen las l´ıneas asint´ oticas de S. (b) ¿Son geod´esicas las curvas param´etricas?
2 5.9 Sea S la superficie de R3 dada por la ecuaci´on z = y 2 − x . Pru´ebese que el lugar geom´etrico de los puntos parab´ olicos de S es una curva que es l´ınea asint´otica de S. 5.10 Teorema de Beltrami-Enneper: Sea C una l´ınea asint´otica de una superficie S de R3 . En los puntos de C donde est´ a definida su torsi´on (donde la curvatura de C no se anula) se cumple p τ = ± −KG . 5.11 Teorema de Meusnier: Sean P un punto de una superficie S de R3 y sea DP ∈ TP S una direcci´on no asint´ otica. Si se considera el haz de planos determinado por la recta P + hDP i (que es una recta tangente a S), entonces los c´ırculos osculadores de la intersecci´on de S con dichos planos est´ an sobre una esfera. 1 As´ı como el ser ortogonales se refiere siempre a la m´etrica eucl´ıdea g (la primera forma fundamental de S), el ser is´ otropo se referir´ a a la m´etrica sim´etrica φ2 (la segunda forma fundamental de S).

113

5. Problemas

5.12 Sea σ = σ(t) una curva sobre una superficie S de R3 y sea N el vector normal unitario a la superficie. La curva es una geod´esica de S si y s´olo si se cumple [σ 0 , σ 00 , N ] = 0 en todos los puntos de la curva. 5.13 Consid´erese una funci´ on diferenciable F sobre R3 de clase suficientemente alta y de3 notemos J = F (R ), que ser´ a un intervalo de R. Sup´ongase que el campo de vectores grad F sobre R3 no tiene puntos singulares, en cuyo caso tenemos en R3 la familia de superficies {Sα ≡ F (x1 , x2 , x3 ) = α}α∈J . Pru´ebese que las geod´esicas de dicha familia de superficies est´an dadas por las ecuaciones diferenciales 0 x x00 Fx1 3 1 1 X 0 00 F x x x0i Fxi = 0 , 2 x2 = 0 . 2 i=1 x0 x00 Fx 3 3 3 Es decir, una curva σ : I → R3 , σ(t) = (σ1 (t), σ2 (t), σ3 (t)), es geod´esica de Sα para alg´ un α ∈ J, si y s´ olo si para todo t ∈ I se cumplen 0 σ (t) σ 00 (t) Fx1 (σ(t)) 3 1 1 X
0 σi0 (t)Fxi σ1 (t), σ2 (t), σ3 (t) = 0 , σ2 (t) σ200 (t) Fx2 (σ(t)) = 0. i=1 σ 0 (t) σ 00 (t) Fx (σ(t)) 3

3

3

5.14 Obt´enganse, aplicando el problema 5.13, las geod´esicas de una esfera de R3 centrada en el origen. 5.15 Sea σ = σ(t) una curva sobre una superficie S de R3 y sea N el vector normal unitario a la superficie. La curva σ es l´ınea asint´otica de S si y s´olo si se cumple σ 0 · N 0 = 0 sobre toda la curva. 5.16 Con la notaci´ on fijada en el problema 5.13, pru´ebense: (a) Las l´ıneas asint´ oticas de la familia de superficies {Sα }α∈J est´an dadas por las ecuaciones 3 X

x0i Fxi = 0 ,

i=1

3 X

x0i x0j Fxi xj = 0 .

i,j=1

(b) Las l´ıneas asint´ oticas de la familia de superficies {Sα }α∈J est´an dadas por las ecuaciones 3 X i=1

x0i Fxi = 0 ,

3 X

x00i Fxi = 0 .

i=1

x4 y4 − . Pru´ebese que las l´ıneas a4 b4 asint´oticas de S son las curvas en que la superficie es cortada por las familias de cilindros  2   2  x y2 x y2 + 2 =λ , − 2 =µ . a2 b a2 b λ µ

5.17

Consid´erese en R3 la superficie S de ecuaci´on z =

114

Cap´ıtulo VI. Teor´ıa de las superficies

TIRANDO DEL TREN SURGE UNA GEOMETRÍA

La pasada semana conocimos a la cicloide. Vimos que era una curva muy especial que se dibuja mecánicamente al moverse una rueda. Hoy te traemos otra importantísima curva que también se genera de un modo mecánico. Nació de la imaginación de Huygens en 1692, quien le puso de nombre tractriz o tractrix. Después, Leibniz y los Bernoulli siguieron estudiando sus propiedades en profundidad. A finales del siglo XIX, Beltrami encontró una aplicación insospechada de ella en la seudoesfera.

por Lolita Brain

ASÍ SE GENERA LA TRACTRIZ

U

n modo mecánico y sencillo de generar la tractriz es como sigue: si alguien tira de un tren de juguete al que lleva sujeto por una cadena tensa y comienza a caminar por el borde de una acera rectilínea, el trenecito de juguete se desplazará tal y como ves en el diagrama. El juguete dibujará una tractriz.

AULA

DE EL

MUNDO

2

1

8

E

sta es la imagen de la tractriz. Como ves tiene dos ramas, según el movimiento se realice hacia la izquierda o hacia la derecha. La recta en rojo se denomina asíntota de la tractriz, ya que la curva se aproxima a ella pero nunca llega a contactarla. En el caso del tren de juguete, la asíntota sería la acera por la que se desplaza la persona que tira de él. Esta curva se hizo famosa por el problema propuesto por Leibniz: ¿Cuál será la curva que dibuje un reloj de bolsillo sobre una mesa, cuando, manteniendo tensa su cadena, se desplaza el otro de sus extremos por una recta?

4

3

TÚ TAMBIÉN PUEDES HACERLO

S

i quieres dibujar mecánicamente una tractriz, sólo necesitas cinta adhesiva, una chincheta con cabeza grande, un bolígrafo, una tira de cartón con dos agujeros, uno en cada uno de sus extremos, y una hoja de papel (imagen 1). Coloca la hoja de papel en la que se dibujará la tractriz sobre una mesa, cuidando de ajustar sus bordes con la hoja. Sujétala a la mesa con cinta adhesiva. Coloca la tira de cartón perpendicularmente sobre el papel.

Pincha la chincheta en uno de sus agujeros e introduce el bolígrafo en el otro (imagen 2). Desliza suavemente la chincheta hacia la derecha sin permitir que se separe del borde de la mesa. Al hacerlo, no presiones con el bolígrafo, déjalo deslizar suavemente según mueves la chincheta (imagen 3). Conforme deslizas la chincheta, ésta arrastrará la tira de papel y el bolígrafo dibujará en la hoja una tractriz (imagen 4).

LA TRACTRIZ Y LA CATENARIA

L

a catenaria y la tractriz están íntimamente ligadas. Se dice que la tractriz es la evoluta de la catenaria: si en cada punto de la tractriz trazas su tangente y una recta perpendicular a ella, la llamada normal, la curva que envuelve esas normales es una catenaria. Al revés, si por cada punto P de la catenaria trazas su tangente y sobre ella llevas la distancia que separa a P del vértice de la catenaria -el extremo inferior-, se traza una tractriz, que es la involuta de la catenaria.

LA SEUDOESFERA DE BELTRAMI

D

esde que Lobachevski demostrara que la Geometría Euclídea, en la que la suma de los ángulos de un triángulo es de 180 , no era la única posible, sino que perfectamente podía existir la Geometría Hiperbólica en la que los tres ángulos de un triángulo suman menos de 180 , los matemáticos se pusieron a buscar modelos reales en los que la nueva geometría ‘funcionara’. No fue un camino fácil. El italiano Beltrami encontró, en 1868, que la seudoesfera era un espacio para la geometría hiperbólica. Más tarde, Klein encontró otro EUGENIO BELTRAMI modelo. (1835-1900) o

o

S

i hacemos girar una tractriz alrededor de su asíntota, obtenemos una superficie de revolución que tiene curvatura negativa (se curva hacia adentro) en todos sus puntos. Es la seudoesfera.

AL CORTAR UNA CADENA

S

i colgamos una cadena por sus extremos, la forma que adopta es de una catenaria. Cortando la cadena por el punto inferior, su punto medio, el extremo de cada brazo de la misma dibujará precisamente una tractriz. Ello se produce porque la tractriz es la evoluta de la catenaria. La asíntota de la tractriz es por tanto la máxima altura que la cadena no alcanza cuando se corta.

[email protected]