Teoría Difusa una Alternativa en la Optimización para la Mejora Continua Jorge Domínguez Domínguez1 , 2004

Resumen Mejorar es un objetivo que se desea alcanzar en las distintas actividades y proyectos que se realizan todos los días. En la actualidad es una necesidad cuando se trata de procesos industriales. Los métodos de optimización desempeñan un papel importante para alcanzar ese objetivo; ya que permite evaluar la existencia y signi…cancia de una mejora. También son relevantes en la planeación de la estrategia que se debe seguir para mejorar las características de un proceso. En este trabajo se propone un método de optimización utilizando la teoría de conjuntos difusos, se justi…ca con una estrategia grá…ca de optimización para la mejora, y se contrasta sus óptimos con otros métodos de optimización estadísticos. Palabras clave: Mejora continua, Optimización, Modelos de regresión, Plan Experimental, Curvas de nivel.

Introducción Mejorar es una palabra que subyace en casi todas las actividades que se desarrollan cada día, a la vez, es un parámetro que sirve de referencia para evaluar los avances y logros que se van consiguiendo en el trabajo. En particular esta presentación se enfoca a la mejora que se lleva a cabo dentro de un proceso industrial, se hace esta acotación debido a la dinámica que ha adquirido la competencia del mercado en bienes y servicios, No sólo la mejora sino la mejora continua cumplen con un papel importante en los medios de producción. Los estudiosos de la evolución del conocimiento muestran en forma de espiral la adquisición del nuevo conocimiento y sin decirlo explicitamente lo que esta atrás de ello es la mejora continua. Los exponentes en temas de calidad total toman ese concepto y lo describen para ilustrar como se van alcanzando nuevos conocimientos en el proceso y por ende mejorando la calidad de los productos. Juran (1992) ilustra mediante una espiral los avances que se obtenienen al estudiar de manera secuencial los procesos. Deming propone un círculo que marca el punto de partida para evaluar los logros que se alcanzan en un proceso, en el círculo se resaltan cuatro puntos que son planear, hacer, veri…car y actuar, una aplicación de este círculo en la mejora de 1

Centro de Investigación en Matemáticas, A.C., Apdo. Postal 402. Guanajuato, Gto. CP 36867. México. e-mail [email protected].

un proceso se describe en Reid - Koljonen (1999). Sin embargo este círculo es dinámico, porque al actuar se genera nuevo conocimiento y existe una mejora en el proceso, se vuelve al inicio del círculo y con ello va la mejora continua. Box (1999) es otros exponente del ciclo de mejora y en el describe que el aprendizaje es un proceso iterativo. En resumen se puede decir que la mejora continua es el nuevo conocimiento que se genera con el proceso de aprendizaje iterativo. En cada paso se genera nueva información esto coincide en el proceso de construcción del modelo matemático. Se parte del hecho de reconocer que la variación está alrededor de cada actividad que se lleva a cabo y presente en todo proceso. Todo trabajo es una serie de procesos interconectados y la identi…cación, la caracterización, la cuanti…cación, el control y la reducción de la varianza, ofrece la oportunidad de mejorar. Exiten diferentes situaciones en las que se desea optimizar o mejorar en forma continua un proceso, por ejemplo: Aumentar la producción en un proceso industrial. Disminuir los costos de producción y/o de administración. Minimizar el número de impurezas en un proceso químico. Reducir los índices/niveles de contaminación en procesos industriales. Ampliar la vida de anaquel de un producto. Mejorar la con…abilidad de los equipos. Desarrollar nuevos productos para incrementar sus propiedades nutritivas y rendimiento. Obtener una mayor calidad en los productos. La mejora en un proceso industrial está altamente relacionada con la distancia entre el valor promedio de la respuesta y un valor de referencia, y con la variación del proceso. Dentro de este contexto los métodos de optimización matemática son relevantes, en ese sentido se han desarrollado varios métodos para optimizar conjuntamente la media y la varianza. En el tema de optimización, la planeación experimental desempeña un papel relevante con el propósito de establecer las condiciones óptimas de operación de un proceso. En este estudio, el experimento se restringue a un esquema con réplicas, de tal manera que se genere la media y la varianza en cada condición experimental. En ese sentido existen dos respuestas, las que se pueden modelar en función de los factores del proceso. El obtetivo en este trabajo es proponer una procedimiento de optimización conjunto para la media y la desviación estándar. En la literatura que trata sobre la optimización estadística se han propuesto varios métodos para modelar de manera conjunta la media y la varianza. Un ejemplo industrial ha servido como referencia para comparar la e…ciencia de cada nueva propuesta. Aquí se usará el mismo ejemplo para ilustar el método que se propone, y a continuación se comparan los resultados óptimos que generan cada método. Finalmente se hará una discusión entorno a la diferencia de resultados. El método propuesto se ha desarrollado en el marco de la teoría de conjuntos difusos (fuzzy) y este tiene la ventaja de que considera a ambas respuestas como función objetivo. Así que no se optimiza un respuesta con restricción de la otra, esto da mayor ‡exibilidad para tomar una decisión en la selección de soluciones alternativas. El resto del artículo es como sigue, primero se describen los parámetros que miden la mejora de un proceso, enseguida la modelación. En la siguiente sección se exponen el método propuesto y los otros métodos optimización.

Finalmente, mediante un ejemplo se hace una breve comparación de los métodos propuestos y se dan las conclusiones de los resultados obtenidos auxiliados por el método grá…co.

Parámetros que miden la mejora En los procesos industriales se observan los cambios y las mejoras mediante las cartas de control. Éstas constituyen una estrategia operacional para identi…car la variación en la calidad de los procesos. Las carta de control X y R son típicas para variables cuantitativas, distribuciones entorno al valor objetivo y la varianza. La elaboración e interpretación de las cartas se pueden consultar en Breyfole (1999). Sin embargo un parámetro que es relevante para evaluar la e…ciencia de un proceso y las mejoras que sobre éste se hagan, es el conocido como índice de capacidad Cp. Éste se de…ne como Cp = LIE¡LSE ; donde en el numerador aparecen los denominados límites de especi…6b ¾ cación inferior (LIE) y superior (LSE) del proceso, éstos se establecen con ciertos criterios a partir de las necesidades de calidad. ¾b toma en cuenta variación estimada. Un índice C p con un valor menor que 1 es inaceptable, valores entre 1 y 1.33 los hacen marginalmente aceptable, y valores mayores a 1.33 son desables. La estrategia para alcanzar un índice deseado es mínimzando ¾b2: Puesto que este índice no toma en cuenta la media, se propone uno más realista denotado por Cpk, éste explica las desviaciones entre la media estimada (b ¹) y un valor objetivo M que de…ne una característica de calidad óptima. El índice se expresa por: Cpk = minfC P I; CP Sg: donde

LSE ¡ b ¹ : 3b ¾ 2 jM ¡ b ¹j Cpk = C p(1 ¡ k); donde k = : LSE ¡ LIE Como se observa un proceso mejora cuando está centrado (k = 0) o si la variaza disminuye ¾2 . En función de este planteamiento un objetivo de la mejora continua es centrar el proceso b con la menor varianza. CP I =

¹ ¡ LIE b ; 3b ¾

y CP S =

En cada proceso existen una serie de factores que afectan la(s) respuesta(s) -característica(s) de calidad de un proceso-. Con el próposito de identi…car esos factores se propone un plan experimental. A partir de los resultados experimentales se modelan las respuestas, en este caso la media y la desviación estándar. El esquema experimental se muestra en la Tabla 1, éste tiene la estructura de un doble arreglo ver Wu y Hamada (2000). Donde X1 ; :::; Xk representan k factores de control los cuales estan relacionados al proceso y Z1; :::; Zq son q factores de ruido, éstos ajenos al proceso. Cada renglón (xi1; :::; xik , i = 1; :::; n ) corresponde a una combinación de los valores de los k factores X, de manera análoga cada columna (zj1 ; :::; zjr ; j = 1; :::; q) son las combinaciones

de los q factores Z: Sin embargo la combinacion referente a los factores de ruido, aquí se maneja como réplica.

Z1 : Zq X1 x11 : xn1

::: ::: ::: :::

Xk x1k : xnk

z11 : z1q y11 : yn1

::: zr1 ::: : ::: zrq ::: yr1 ::: : ::: ynr

b ¹ y1

¾b S1

yn Sn

Tabla 1. Estructura experimental en un doble diseño.

Modelos Con la estructura experimental propuesta, se calcula la media yi y la desviación estándar Si para cada uno de los tratamientos. A estos resultados se les ajusta un modelo mediante el procedimiento de mínimos cuadrados. El modelo que se propone es de segundo orden y se expresa por: p y = ¯ 0 + X¯ + xp ©x + "; donde ¯ 0 es una constante ¯ p = (¯ 1; :::; ¯ k ) es un vector de parámetros, X es una matriz nxk donde n son los tratamientos y k son los factores del proceso, entonces xi = (xi1; :::; xik ) es un vector que corresponde al i ¡ e¶simo tratamiento. © es una matriz simétrica de orden k; en la diagonal aparecen los parámetros que corresponde al efecto cuadrático, y fuera de la diagonal están los parámetros que muestran el efecto de interacción, es decir © = (¯ 11 ; :::; ¯1k ; :::; ¯ k1; :::; ¯ kk ). y es el vector (nx1) de observaciones y " un vector aleatorio, el cual tiene una distribución de probabilidad normal. Cuando en un experimento se realizan réplicas, se pueden ajustar dos modelos, uno para la media y otro para la desviación estadándar, los modelos estimados son : p

¹(x) = ¯b0 + x¯b + xp Bx; b

¾(x) = ® b b0 + xb ®p + xp Ax;

respectivamente para la media y la desviación estándar.

Optimización El planteamiento general de optimización para la desviación estándar como función objetivo es : optimizar : ¾b(x); (1) sujeto a : b ¹ (x) = M; M un valor objetivo, x 2 R(x); la región experimental. (1) (2) o ¹ (x) > M maximizar: b (3) ¹ (x) < M minimizar: b En la función objetivo se puede plantear la optimización de la media, es decir : optimizar : b(x); ¹ (1) sujeto a : b ¾(x) = L; L un valor objetivo, x 2 R(x):

(2)

El criterio que se considera para proponer la evaluación global de la optimización, consiste en minimizar el error cuadrático medio (ECM ). Éste considera tanto la distancia entre la media y el valor objetivo como la varianza. Este se escribe por: ECM = b ¾ 2(x) + (b ¹ (x) ¡ M )2:

(3)

Propuesta de optimización (TF) En el tema de toma de decisiones, la aplicación de la teoría difusa (fuzzy) desempeña un papel relevante en el proceso de optimización. Los conceptos y el desarrollo de ésta se puede consultar en Wolkenhauer (2001) y Klir-Yuan (1995). El procedimiento que se formula para la estrategia de optimización, surge de lo que se conoce como la técnica de orden de preferencia por similaridad a la solución ideal, con siglas en inglés (TOPSIS). En este marco la idea es proponer una técnica para optimizar conjuntamente la media y la desviación estándar. Ésta consiste en construir un índice, el índice toma en cuenta dos soluciones, la ideal que se desea y una negativa ideal. A continuación se modela el índice para obtener un óptimo, y con ayuda de las curvas de nivel de este modelo se estima el ECM; lo que permite evaluar la e…ciencia del resultado y comparlo con otros procedimientos. Considere la matriz básica D de la forma: 2 y11 y12 6 y21 y22 D=6 4 ¢ ¢ ym1 ym2

3 ::: y1n ::: y2n 7 7; ::: ¢ 5 ::: ymn

donde se tienen yj (j = 1; :::; n) atributos o características y m observaciones que equivalen a los resultados experimentales en cada tratamiento. En el caso que se examina en este trabajo hay dos (n = 2) atributos uno para la media y otro para la desviación estándar.

Procedimiento: A continuación se describe en forma algoritmica el procedimiento que se propone en este estudio. 1. Se identi…ca a las yij por: yi1 = yi ;

(4)

yi2 = Si;

(5)

después se construye variable dij mediante el proceso de normalización de la variables de respuesta yij : yij d ij = qP : y2ij

2. La variable dij se pondera mediante pesos w j y se construyen la variable: vij = wj dij;

(6)

en el marco de la teoría difusa existen diferentes criterios para asignar lo wj : Aquí se proponen los pesos de acuerdo a la Tabla A del apéndice. 3. En esta etapa se propone una solución óptima ideal y se calcula la distancia Di+. A+ = f(max vij = jj²J ) o (min vij = jj²J¶) para i = 1; :::; mg =

i + + fA1 ; A+ 2 ; :::; An g,

D+ i =

i

s

n P

2 (vij ¡ A+ j) :

(7)

j=1

Observe que alguna de las respuestas no se restringe a la otra. En este sentido ambas respuestas la primaria y la secundaria están en el mismo nivel y no como en el contexto del críterio multiobjetivo. Esto da una mayor ‡exibilidad para tomar una decisión y explorar soluciones alternativas; ver Köksoy y Doganaksoy (2003). Para el planteamiento de optimización establecido en (1), se requiere minimzar ¾b(x) y la optimización de ¹ b(x) presenta tres casos: se puede minimizar, maximizar o alcanzar un valor objetivo M . En esta última situación la respuesta yi1 sep puede P 2rescribir como zi1 = jyi ¡ mj entonces minimizar zi1. En ese sentido di1 = zi1Á zi1.

4. También se plantea una solución ideal negativa -que se puede establecer como la peor de la soluciones- y de manera análoga se obtiene la distancia Di¡. A¡ = f(min vij = jj²J) o (max vij = jj²J¶) para i = 1; :::; mg i

i

¡ ¡ = fA¡ 1 ; A2 ; :::; An g,

D¡ i

=

s

n P

2 (vij ¡ A¡ j) :

j=1

(8)

5. Finalmente se obtiene el índice: D¡ Ci = + i ¡ ; Di + Di

(9)

tal que si se alcanza la solución óptima ideal Ci = 1, se logra la solución óptima para el proceso. Lo que signi…ca que la solución ideal positiva tiende a cero. También se pueden conseguir soluciones alternativas adecuadas, si el índice tiene valores entre 0.7 y 1. En el caso de que el proceso apoye a la solución ideal negativa el índice tiende a cero. Las expresiones (4), (5) y …nalmente el índice (9) se obtienen usando los datos generados por el experimento. Sin embargo, en lugar de esos datos se pueden emplear los valores predichos por el modelo de regresión cuadrático o el mejor modelo. En ese sentido la estimación del índice (9) esta en función de los modelos, y según el peso wi para cada una de las variables, esta relación se vería re‡ejada en estimación del modelo de regresión considerando ahora el índice Ci como respuesta. El método TF permite la posibilidad de seleccionar rangos cercanos al óptimo con el …n de generar soluciones factibles aproximada a la ideal.

Revisión de los procedimientos de optimización En este apartado se hace una descripción de los procedimientos cuyo objetivo es encontrar una mejor respuesta común para la media y y la desviación estándar S. Por general se plantea optimizar una de ellas sujeta a ciertas características con restricciones de la otra respuesta y de la región experimental. En la secuencia del tiempo cada uno de los autores indican que su método es más preciso en el proceso de optimización, es decir mejora al anterior. En ese sentido han tomado un ejemplo de referencia para evaluar la precisión del método propuesto. Vining-Myers (1990) usararon la técnica de la respuesta dual para optimar de manera conjunta la y y S. La clave de su propuesta esta en que los modelos deben ser de segundo orden, conviene señalar que en ocasiones estos modelos no son estadísticamente signi…cativos. Así el proceso de optimización resulta menos preciso si se trabaja con modelos que no son signi…cativos, sin embargo varios autores usaron estos modelos para ilustrar sus métodos y así evaluar la e…ciencia de su propuesta, esto lo hicieron así para tener un punto de referencia. El método propuesto en este trabajo no requiere de esos modelos, sin embargo se puede hacer una modi…cación a las expresiones 4 y 5 sustituyendo los valores predichos por los modelos en lugar de los observados y construir el índice Ci. A continuación se hace una lista de los procedimientos considerados. Vining - Myers (VM - 1990): Usan el operador de Lagrange para optimizar conjuntamente las respuestas y se conoce en la literatura como respuesta dual: L(x) = b ¾(x) + ¸(b ¹(x) ¡ M):

La base de este planteamiento esta en función de modelos cuadráticos y no del mejor modelo.

Del Castillo - Montgomery (DM - 1993): Usan técnicas estándar de programación no-líneal, su procedimiento es alternativo a la respuesta dual y consiste en el algoritmo Gradiente Generalizado Reducido. El planteamiento general consiste en: minimizar: (1) sujeto a:

cp x + 0:5xp Qx; Ax + y = b; x ¸ 0:

donde y es un vector de variables inactivas que describen las restricciones (desigualdades). Lin - Tu (LT - 1995): Ellos señalan que el esquema de optimización propuesta por VM puede ser engañoso debido a la restricción que se le imponga a una de las respuestas. El planteamiento que proponen consiste en optimizar ECM; el cual se escribio en la ecuación (3). Copeland - Nelson (CN - 1996): Reformulan el problema de optimización del ECM poniendo una cota a la distancia entre la media y el valor objetivo, la propuesta es como sigue: minimizar : ¾(x); b (1) sujeto a : (b ¹(x) ¡ M )2 · ¢2 : Resuelven el problema utilizando el método simplex de Nelder Mead, para ello se optimiza la función ¾b(x) + ²: donde

²=

½

(b ¹(x) ¡ T )2 0

si (b ¹ (x) ¡ T )2 > ¢2; si (b ¹ (x) ¡ T )2 · ¢2:

Kim - Lin (KL - 1998): Una aproximación a la modelación difusa. El problema de optimización se plantea por: maximizar : (1) sujeto a :

¸: m(b ¹ (x)) > ¸; m(b ¾ (x)) > ¸; x 2 R(x):

Varias funciones m se pueden construir para la solución de este problema, ejemplo de casos lineales para la media y la desviación estándar son: 8 > 0 si b ¹(x) · ¹min o si ¹ b(x) ¸ ¹max; > > > < T ¡b ¹(x) 1¡ si ¹min · b ¹(x) · T ; min m(b ¹ (x)) = T ¡ ¹ > > ¹ b(x) ¡ T > > T ·¹ b(x) · ¹max: : 1 ¡ max ¹ ¡T

8 1 > < max ¾ ¡b ¾(x) m(b ¾ (x)) = > : ¾ max ¡ ¾min 0

si b ¾(x) · ¾ min

si ¾min < b ¾ (x) < ¾max si b ¾(x) ¸ ¾ max

estas funciones pueden escribirse en las restricciones, o como una función objetivo. En el caso no-lineal, una función adecuada entre otras, puede ser la exponencial con la siguiente forma: 8 d < e ¡ edjzj si d 6= 0 d m(z) = 1 : 1 e¡ ¡ jzj si d = 0 para la media z se de…ne como: z¹ =

¹ b(x) ¡ T T ¡b ¹(x) = para ¹min · b ¹(x) · ¹ max max ¹ ¡T T ¡ ¹min

la desviación estándar es:

z¾ =

b(x) ¡ ¾min ¾ para ¾ min < ¾b(x) < ¾max ¾ max ¡ ¾min

el parámetro caracteriza la forma de la función

Vining - Bohn (VB - 1998): Una aproximación no paramétrica y semiparamétrica para la estimación conjunta. La idea es optimizar la función propuesta por Lin - Tu ecuación (3); usan el kernel de regresión no paramétrico para estimar la varianza y un kernel de regresión no paramétrico separado del anterior para estimar la respuesta b ¹(x): Finalmente minimizan EC M (y) mediante el método simplex: Domínguez - Rocha (DR - 2004) Optimización usando curvas de nivel:

1. Se establecen en el plano el conjunto de restricciones. En el caso de la respuesta dual, la región queda determinada por un modelo ajustado de segundo orden y la región experimental. 2. Se sobrepone la función objetivo en la región de restricciones. Donde la función objetivo es el modelo de segundo orden el cual se quiere optimizar. Optimización mediante el modelo ponderado (MP) Una de las ideas planteadas desde algún tiempo atrás, es la regresión en dos etapas. El propósito de esta estrategia es disminuir el impacto de la variabilidad en la estimación de un modelo de regresión, ver Harvey (1974) y Atkin (1987). Se utiliza esta idea al caso de optimización conjunta:

Etapa 1.- Ajustar el modelo ¹(x); Etapa 2.- Ajustar el modelo y(x) = log(y ¡ b ¹(x))2 :

En este proceso se descompone el espacio de factores en x = (X1; X2)

donde X1 describirá los factores que son signi…cativos en la Etapa 2, es decir, afectan la variabilidad; X2 se re…ere a los factores que son importantes en la Etapa 1. Un procedimento similar lo propone Chan-Mak (1995). El procedimiento algorítmico es: 1. Partir de los supuestos clásicos 2. Identi…car los X1 que afectan y(x)

(y(x) modelo de segundo orden)

3. Optimizar b y(X1)

4. Considerar los pesos wi = exp(b y (X1)) 5. Reajustar el modelo ¹(x) = ¯ p x + "; b ¯ = (xp wx)¡1xp wy

6. Se Ajusta el modelo ¹ bw (X2) tal que b ¹w (X2) se aproxime a M . Se obtienen los valores óptimos de b ¹w (X2 ):

Ejemplo Box-Draper (1987) presentan un ejemplo sobre la capacidad de una imprenta para imprimir tinta de color en unas etiquetas. Se considera que tres factores en tres niveles tienen efecto en la impresión de la tinta, estos son: factores niveles 1(-1) 2(0) 3(1) x1 : velocidad 30 45 60 x2 : presión 90 110 130 x3 : distancia 12 20 28 Este diseño ha servido como referencia a diferentes autores para ilustrar los resultados que se obtienen al aplicar el método que proponen en la optimización de la media y la desviación estándar; y los compararan con los resutados obtenidos por otros autores. Aquí se usará el mismo ejemplo para hacer una comparación global de todos los resultados. El diseño es un factorial completo 33: Los datos se muestran en la Tabla 2, en las columnas 8 y 9 se han calculado para cada tratamiento la media yi1 = yi; y la desviación estándar yi2 = Si respectivamente.

Modelos para ¾b(x) y b ¹ (x)

Los modelos que se obtienen al ajustar la media (y) y la desviación estándar (S) son : ¹ (x) = 327:6 + 177x1+109:4x2 +131:5x3 +32x21 ¡22:4x22¡29:1x23+66x1x2+75:5x1x3 +43:6x2 x3 b (10) Este modelo de segundo orden es el que se ha empleado en la literatura para ilustrar los diferentes métodos de optimzación. El modelo es estadísticamente signi…cativo con F (9; 17; 0:05) = 23:94, los efectos cuadráticos no lo son. Tiene un coe…ciente de determinación R2 = 91:6 y el CMerror = 5634:77 ¾(x) = 34:9 + 11:5x1+15:3x2+29:2x3+4:2x21¡1:3x22 + 16:8x23+7:7x1x2 +5:1x1x3+14:1x2x3 b (11) 2 Este modelo no es estadísticamente signi…cativo y tiene un R muy bajo, es decir los datos no son explicados por el modelo. Con estos modelos han trabajado los diferentes autores en su método propuesto. Sin embargo, éstos no son los mejores modelos estadísticos con lo que la precisión de los procedimientos de optimización citados en el apartado anterior pierden precisión. En referencia al planteamiento indicado en (3), el objetivo es minimizar la desviación estándar, restringida a la media y a la región experimental.

Cálculo del índice C¶{ En este apartado se presentan los resultados que se obtienen con el procedimiento optimización propuesto, el cual se resume en la ecuación (9). El índice Ci se estima para cada tratamiento a partir de y y S; su valor se muestra en la penúltima columna de la Tabla 2. Los pesos wi empleados en la expresión (6) se seleccionaron de la Escala 1 en la Tabla A (apéndice). Así w1 = 0:750=(0:750 + 0:583) ' 0:56 y w2 = 0:582=(0:750 + 0:583) ' 0:44. Se pueden usar otras escalas según el peso o la importancia que se quiera dar a una respuesta. Las A+ i en (7) fueron valores mínimos. En la Tabla 2 se observa, por ejemplo, del tratamiento 23 un índice de 0.875 y ese valor favorece tanto a y como a S; otros valores favorecen a la media y no a S. Para evaluar el desempeño global del índice se construye el modelo de regresión con esos valores. El mejor modelo de regresión para el índice Ci es: C(x) = 7:8 + 1:6x1+2:6x2+1:5x3¡x21¡:8x22 ¡1:2x23¡:9x1x2¡:6x1x3¡ 8:9x2 x3¡2:2x21x2 ¡1:5x21x3¡x3x22¡1:3x2 x23 ¡x1x2 x3 Los coe…cientes del modelo están multiplicados por 10¡1 y el modelo tiene las siguientes características: es signi…cativo con F (14; 12; 0:05) = 7:78 (p = 0:005); R2 = 0:9; CMerror = 0:010. El óptimo que se tiene de la ecuación anterior es para x1 = ¡0:080, x2 = 1 y x3 = 0:18

y el valor del índice en este punto es C i = 0:965. Esta es una solución óptima global para el proceso, y no se sabe directamente cuales son los valores óptimos para la media y desviación estándar, así con éste valor del índice es difícil obtener una valor para ECM . Para tener una idea de este último valor y poder comparar los resultados con los otros método se empleará una estrategia grá…ca. T rat x1

x2

x3

r1

r2

r3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

-1 -1 -1 0 0 0 1 1 1 -1 -1 -1 0 0 0 1 1 1 -1 -1 -1 0 0 0 1 1 1

-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1

34 115 192 82 44 322 141 259 290 81 90 319 180 372 541 288 432 713 364 232 408 182 507 846 236 660 878

10 116 186 88 178 350 110 251 280 81 122 376 180 372 568 192 336 725 99 221 415 233 515 535 126 440 991

28 130 263 88 188 350 86 259 245 81 93 376 154 372 396 312 513 754 199 266 443 182 434 640 168 403 1161

-1 0 1 -1 0 1 -1 0 1 -1 0 1 -1 0 1 -1 0 1 -1 0 1 -1 0 1 -1 0 1

yi1 = yi

24.0 120.3 213.7 86.0 136.7 340.7 112.3 256.3 271.7 81.0 101.7 357.0 171.3 372.0 501.7 264.0 427.0 730.7 220.7 239.7 422.0 199.0 485.3 673.7 176.7 501.0 1010.0

yi2 = Si 12.5 8.4 42.8 3.7 80.4 16.2 27.6 4.6 23.6 0.0 17.7 32.9 15.0 0.0 92.5 63.5 88.6 21.1 133.8 23.5 18.5 29.4 44.6 158.2 55.5 138.9 142.5

CM 0.315 0.414 0.536 0.379 0.371 0.741 0.386 0.609 0.637 0.378 0.383 0.783 0.479 0.761 0.899 0.626 0.97 0.633 0.505 0.584 0.831 0.515 0.875 0.695 0.464 0.851 0.043

CML 0.29 0.302 0.351 0.313 0.376 0.582 0.313 0.437 0.797 0.33 0.421 0.662 0.389 0.633 0.883 0.41 0.797 0.556 0.265 0.476 0.864 0.365 0.767 0.471 0.463 0.718 0.029

Tabla 2. Diseño experimental, donde rl es el número de réplicas l = 1; 2; 3: Para cada uno de los modelos (10) y (11) se trazan las curvas de nivel (CNi) y luego estas se sobreponen. Con el …n de poder representar éstas se …ja un valor de alguno de los tres factores ver Figura 1. En este caso se …jo el factor x3 (x3 = ¡0:16), a través de este planteamiento se crean diferentes escenarios para tener una idea aproximada de y y S: Mediante esta estrategia se logra un mecanismo de comparación con los otros métodos. Es posible conseguir otras soluciones mediante el procedimiento grá…co en tal caso es necesario variar el factor x3 entre -1 y 1, esta idea se presenta en Domínguez - Rocha (DR 2004). Dicho se de paso, la región

óptima determinada por las curvas de nivel en el plano (x1 ; x2) y (¡1 · x3 · 1) contiene las soluciones de los métodos discutidos en este trabajo y éstas se muestran en la Tabla 3. Con el …n de tener una comparación más aproximada con los métodos de optimización propuestos por los diferentes autores, se calculó el índice C (9), mediante los valores predichos de los modelos cuadráticos (10) y (11). Los valores para Ci se anotan en la última columna de la Tabla 2, y se denota por CML. En un análisis comparativo se observó que existe una estrecha relación entre ambos índices Ci, en ese sentido se obtuvieron los mismo resultados que con el índice CM. Así al aplicar el método propuesto no es necesario ajustar ningún modelo de regresión previo.

Comparación de los métodos Se aplica cada uno de los métodos a los datos experimentales descritos en la Tabla 2. Los valores óptimos exhibidos se muestran en la Tabla 3. Se puede ver que de alguna manera la mayoría de resultados de optimización coinciden. Destaca la solución propuesta por VB, esta produce un resultado realmente sorprendente mediante métodos de regresión no paramétrica. Los resultados del método propuesto en este trabajo coinciden con los resultados propuestos por el método CN. El método TF resulta competitivo en referencia a los otros, y como se ha descrito se observa que resulta fácil de obtener. Vale la pena apuntar que los datos experimentales reportados en el ejemplo expuesto son complicados, puesto que en cada tratamiento el valor objetivo está lejos de 500 y los que se observan medianamente próximos la desviación estándar es grande. Esta situación provoca un varianza grande para el proceso, en la práctica hay que profundizar en el estudio de esa varianza para tratar de identi…car algún otro factor que pueda estar afectandola. Procedimientos VM (1990) DM (1993) LT (1995) CN (1996) KL (1998) VB (1998)¤ MP (1999)# TF (2001)$ DR (2004)

x1 0.62 0.98 1.00 0.98 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

x2 0.23 0.03 0.07 0.03 0.06 1.00 -0.07 0.03 0.03

x3 0.10 -0.18 -0.25 -0.18 -0.25 -0.07 -0.12 -0.16 -0.16

media 500.0 498.3 494.0 498.2 492.3 500 499.1 494.0 500

DS 51.8 45.4 44.4 45.3 44.7 7.0 45.2 44.4 45.4

var 2679.7 2037.6 1974.0 2035.7 1951.8 49.10 2045.6 1972.0 2025.9

EC M 2679.7 2040.4 2005.1 2039.1 2011.1 49.1 2046 2008.0 2026.4

Tabla 3. Resultados óptimos de cada uno de los procedimientos de optimización * No se puede comparar con los modelos establecidos de segundo orden porque en el proceso que ellos realizan, generan nuevos modelos ponderados. Esta es una solución particular para

un acho de banda en el procedimiento de estimación. Esta solución en el sentido práctico es ventajosa porque los valores de los factores están en niveles tratados por el proceso. # Este procedimiento permite reajustar el modelo inicial, el nuevo modelo es similar al obtenido por el procedimiento de Vining - Bohn, las curvas de nivel desempeñaran el papel que las bandas tienen en el procedimiento no paramétrico. $. Solución auxiliada por las curvas de nivel de los modelos (10) y (11) y el índice Ci = 0:85.

Conclusiones El método de optimización TF es práctico, el índice Ci se calcula de manera directa de los datos, no requiere de los modelos de regresión y proporciona una solución global. Si se decide usar los predichos de los mejores modelos de regresión no mejora su precisión. Puede crear soluciones alternas dando diferentes pesos, tiene la desventaja de no recuperar la información de la media y desviación estándar de manera directa para estimar el ECM . Sin embargo el modelo de regresión del índice Ci con ayuda de las curvas de nivel ofrece buenas posibilidades para plantear diferentes alternativas de soluciones óptimas y de esa forma estimar el ECM . Emplear el mejor modelo regresión o los modelos cuadráticos no mejoran el cálculo de los Ci . De esa manera los Ci calculados directamente de los datos experimentales ofrecen un ventaja de procedimiento. Una alternativa al índice Ci es trabajar con el índice D+ i ; en este caso el procedimiento + conciste en minimizar el valor Di : De ser así, se ahorran cálculos y ese índice también optimiza el proceso. Es conveninte mencionar que con la técnica grá…ca es posible obtener puntos óptimos para mejorar un proceso los cuales no se alcanzan con los otros métodos, además, ésta permite crear diferentes escenarios para obtener mejores soluciones en un proceso. A partir de estos resultados es conveniente seguir trabajando para establecer un criterio que uni…que la solución proporcionada por los diferentes métodos. Una idea en esa dirección puede ser bosquejar una región de factible de resultados óptimos y luego mediante un mecanismo de simulación encontrar una solución factible. Es importante resaltar que no siempre los modelos cuadráticos explican mejor el comportamiento de los datos. Entonces con esa percepción la sugerencia es proponer modelos que mejor se ajuste a los datos. Esta es otra línea de búsqueda para e…cientar los procesos de optimización en la mejora continua.

Figura 1. Curvas de nivel para los modelos de regresión Y1: media, Y2: DE, Y3: índice C. Una solución óptimza se muestra en el recuadro.

Agradecimientos Al Consejo de Ciencia y Tecnología de Guanajuato por su apoyo al proyecto GTO-2002C01-6137.

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Apéndice Escala ¡! Términos usados# 1.- extre. alto 2.- muy alto 3.- alto-muy alto 4.- alto 5.- casi alto 6.- poco alto 7.- medio 8.- poco bajo 9.- casi bajo 10.- bajo 11.- bajo-muy bajo 12.- muy bajo 13.- nada

1

2

3

4

0.909 0.750

0.833

0.717

0.885 0.700

0.583

0.500

0.500

0.500

0.166

0.283

0.300 0.115

0.091

5

6

7

0.917

0.909

0.750 0.584

0.773

0.917 0.875 0.750 0.630

0.637 0.500 0.363 0.416 0.250

0.227

0.083

0.091

0.500 0.370 0.250 0.125 0.083

8 0.954 0.864 0.701 0.667 0.590 0.500 0.410 0.333 0.299 0.136 0.046

Tabla A. Escalas y términos para calcular los pesos de las variables en la expresión (6).