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Teoría – Tema 8 Ejemplos y más ejemplos de límites Índice de contenido Practicar y practicar...............................................................................................................2

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Practicar y practicar Como existen infinitas funciones distintas... existen infinitos límites distintos. Y cada uno “de su padre y de su madre”. Hemos estudiado algunos casos generales...no todos. Incluso en los casos generales que hemos estudiado, las cosas se pueden complicar si las funciones con las que trabajamos son difíciles. Así que la única alternativa que nos queda para dominar los límites es hacer y hacer ejercicios. ¡A ellos vamos! Ejemplo 1 lim

x → 1

x −1 0 = =0 x+1 2

Ejemplo 2 x−1 −2 = =∞ → Calculamos límites laterales x+1 0

lim

x → −1

lim x → −1

−

lim x → −1

+

x−1 −2 = =+∞ x +1 0− x−1 −2 = =−∞ x +1 0+

Ejemplo 3 3

lim

x → 3

2

x + 2 x −3 x 27+18−9 36 3 = = = 3 2 27+36+3−6 60 5 x + 4 x + x−6

Ejemplo 4 lim

x 3 +2 x 2−3 x 1+2−3 0 = = → Indeterminación 3 2 x + 4 x + x−6 1+ 4+1−6 0

lim

x 3 +2 x 2−3 x (x−1)( x 2+3 x ) x 2+3 x 1+3 4 1 = lim = lim = = = 3 2 2 2 x +4 x +x−6 x → 1 ( x−1)( x +5 x+6) x → 1 x +5 x +6 1+5+ 6 12 3

x → 1

x → 1

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Ejemplo 5 x 3 +2 x 2−3 x −27+18+ 9 0 lim 3 = = → Indeterminación 2 −27+36−3−6 0 x → −3 x + 4 x + x−6 lim

x → −3

x 3 +2 x 2−3 x (x +3)( x 2−x ) x 2−x 9+3 12 = lim = lim = = 3 2 2 2 x + 4 x + x−6 x → −3 ( x+3)( x + x−2) x → −3 x + x−2 9−3−2 5

Ejemplo 6 3 x 2 +5 x−2 12−10−2 0 lim = = → Indeterminación 4−4 0 x → −2 x 2 −4 2

x

( x + 2)(3 x−1) 3 x +5 x−2 3 x−1 3(−2)−1 7 = lim = lim = = 2 −2−2 4 → −2 x → −2 (x +2)( x −2) x → −2 x−2 x −4

lim

Ejemplo 7 lim x → 3

√ x +6−3 = √9−3 = 0 → Indeterminación 3− x

3−3

0

x +6−9 √ x +6−3 = lim (√ x+ 6−3)(√ x +6+3) = lim → Operar numerador 3− x x → 3 x → 3 x → 3 (3− x)( √ x +6+3) (3−x )( √ x+ 6+3) lim

x−3 −1 −1 −1 = lim = = 3 (3− x)( √ x +6+3) x → 3 √ x +6+ 3 √ 9+3 6

lim

x →

Ejemplo 8 lim

x → 4

lim

x → 4

lim

x → 4

2 x−8 2 · 4−8 0 = = → Indeterminación 2 √ x + 9−5 √ 25−5 0 2 x−8

√ x 2+ 9−5

= lim

x → 4

(2 x−8)( √ x 2 +9+5) ( √ x + 9−5)( √ x +9+5) 2

(2 x−8)( √ x 2+ 9+5) ( √ x 2 +9−5)( √ x 2+ 9+ 5)

2

→ Operar denominador

( 2 x−8)( √ x 2 +9+5) 2 4 x +9−25

= lim x →

( 2 x−8)( √ x 2+ 9+5) (2 x−8)( √ x 2 +9+5) lim = lim → Operar numerador (x + 4)( x−4) x → 4 x → 4 x 2 −16 (2 x−8)( √ x 2+ 9+5) 2 ( x−4)( √ x 2 +9+5) 2( √ x 2 +9+5) 2( √ 25+5) 20 5 = lim = lim = = = ( x+ 4)(x −4) ( x+ 4)(x−4) ( x +4) 4+ 4 8 2 4 x → 4 x → 4

lim

x →

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Ejemplo 9 3−√ 2 x 2 +1 3−√ 2 ·(−2) +1 3− √ 9 0 = = = =0 3 x −6 3(−2)−6 −6−6 −12 → −2 2

x

lim

Ejemplo 10 3−√ 2 x 2 +1 3−√ 2 ·( 2) + 1 3−√ 9 0 = = = → Indeterminación 3 x−6 3 · 2−6 6−6 0 2

lim

x → 2

(3−√ 2 x 2 +1)( 3+ √ 2 x 2 +1) 3−√ 2 x 2 +1 → Operar numerador lim = lim 3 x−6 x → 2 x → 2 (3 x−6)( 3+ √ 2 x 2 +1) 9−(2 x 2 +1)

lim

x → 2

(3 x−6)(3+ √2 x +1) 2

−2( x+ 2)( x−2)

lim

x → 2

(3x−6)(3+ √ 2 x +1) 2

−2( x+ 2)(x−2)

lim

x → 2

3(x−2)(3+ √ 2 x +1) 2

= lim

x → 2

−2 x 2+8 (3 x−6)(3+ √ 2 x +1) 2

= lim

x → 2

−2(x 2−4) (3 x −6)( 3+ √ 2 x +1) 2

→ Operar denominador = lim

x → 2

−2(x + 2) 3(3+ √2 x +1) 2

=

−2( 2+2)

−8 −4 = 3(3+ √ 2(2) + 1) 18 9 2

=

Ejemplo 11 4 4 + −3 4 x + 4 x−3 4 2 0 lim = = → Indeterminación 2 4 0 1 4 x −1 x → −1 2 4 2

4 x 2 + 4 x−3 lim = lim 1 1 4 x 2 −1 x → x → 2

2

1 1 4 (x− )(4 x+ 6) ( x − )(4 x+ 6) +6 2 2 4 x+ 6 2 = lim = lim = =2 1 1 1 x→ 1 1 1 1 1 2 x → 4( x − ) 4( + ) 2 4 (x + )( x− ) 2 4(x+ ) 4 2 2 2 2 2

Ejemplo 12 lim

5 x 2 −3 x+ 2 ∞ = ∞ → Indeterminación → Cociente de polinomios del mismo grado 2 2 x + x−1

lim

5 x 2 −3 x+ 2 5 = 2 x 2 + x−1 2

x → +∞

x → +∞

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Ejemplo 13 lim

2x+6 = −∞ → Indeterminación → Grado denominador > Grado numerador 2 3 x −x +5 +∞

lim

2x+6 =0 2 3 x −x +5

x → −∞

x → −∞

Ejemplo 14 lim

√9 x 4−5 x 2 +6 = ∞

lim

√9 x 4−5 x 2 +6 = √9 =1

x → −∞

x → −∞

3 x 2+ 2 x−4

3 x 2+ 2 x−4

∞ → Indeterminación → Cociente de polinomios del mismo grado

3

Ejemplo 15 x

x

−3 x 3 +6 x−7 −∞ = +∞ → Indeterminación → Grado numerador > Grado denominador → +∞ x 2−5 x+ 3

lim

−3 x 3 +6 x−7 =−∞ → +∞ x 2−5 x+ 3

lim

Ejemplo 16 lim

5 x 2− x+ 2 → Indeterminación → Cociente de polinomios del mismo grado =∞ 3 6 3 √ x +3 x −2 x ∞

lim

5 x 2− x+ 2 5 = =5 3 6 3 √ x +3 x −2 x 1

x → +∞

x → +∞

Ejemplo 17 lim

13 x 2 −x → Indeterminación → Cociente de polinomios del mismo grado =∞ 4 2 √169 x −x +8 ∞

lim

13 x 2 −x 13 = =1 4 2 √169 x −x +8 √169

x → +∞

x → +∞

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Ejemplo 18 lim ( √ 25 x 2−7−5 x )=∞−∞ → Indeterminación

x → +∞

lim

(√ 25 x 2−7−5 x)( √ 25 x 2−7+5 x )

√ 25 x 2 −7+5 x

x → +∞

2

2

25 x −7−25 x −7 −7 = lim = lim = ∞ =0 2 2 x → +∞ √ 25 x −7+5 x x → +∞ √ 25 x −7+5 x

Ejemplo 19 lim (

x +1 x +4 − )=∞−∞ → Indeterminación 2 5

lim (

x +1 x +4 5 x+ 5−2 x −8 3 x−3 − )= lim = lim =+∞ 2 5 10 10 x → +∞ x → +∞

x → +∞

x → +∞

Ejemplo 20 lim (8 x− √16 x 2 + x−3)=∞−∞ → Indeterminación

x → +∞

lim (8 x− √16 x 2 + x−3)= lim

x → +∞

lim

x → +∞

x → +∞

(8 x−√ 16 x 2 + x−3)(8 x + √ 16 x 2 + x−3) 8 x + √ 16 x 2 + x−3

64 x 2−16 x 2 −x +3 2 +∞ 8 x+ √ 16 x + x−3

= lim x →

48 x 2−x +3 =∞ ∞ → Grado numerador > Grado denominador 2 8 x + √ 16 x + x−3 2

48 x −x +3 lim =∞ 2 x → +∞ 8 x + √ 16 x + x−3 Ejemplo 21. Encuentra el valor de a que verifica lim ( √ 4 x 2 +a x−2 x)=

x → +∞

1 1 → Debemos calcular el límite e igualar a para obtener a 3 3

lim ( √ 4 x 2 +a x−2 x)=∞−∞ → Indeterminación

x → +∞

lim ( √ 4 x +a x−2 x)= lim 2

x → +∞

lim

x → +∞

lim

x → +∞

x → +∞

ax

√4 x

2

+a x +2 x

( √ 4 x 2 +a x−2 x)( √ 4 x 2+ a x+ 2 x)

√ 4 x2 + a x + 2 x

4 x 2+ a x−4 x 2 2 +∞ √ 4 x + a x + 2 x

= lim x →

=∞ ∞ → Indeterminación → Cociente de polinomios del mismo grado

ax a a 1 = = → Igualamos el valor del límite a 4 3 √ 4 x +a x +2 x √ 4+ 2 2

a 1 4 = → a= 4 3 3

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Ejemplo 22

√1− x−1 = 0 → Indeterminación

lim

x

x → 0

lim x → 0

lim x → 0

0

−x √1− x−1 = lim (√ 1−x −1)(√ 1− x+1) = lim 1− x−1 = lim x x → 0 x → 0 x → 0 x( √1−x +1) x ( √ 1−x +1) x ( √ 1− x+ 1) −1 −1 = √1− x+ 1 2

Ejemplo 23 (2+ x)3−8 0 = → Indeterminación x 0 0

lim

x →

(2+ x)3−8 ( 4+ x 2+ 4 x )(2+ x)−8 x 3 +6 x 2 +12 x +8−8 x 3 +6 x 2 +12 x lim = lim = lim = lim x x x x x → 0 x → 0 x → 0 x → 0 lim

x → 0

x 3+6 x 2+12 x 2 = lim x + 6 x+ 12=12 x x → 0

Ejemplo 24. Estudia la continuidad de la función en x=3

{

f ( x )= −2 x+ 8 si x≤3 3 x−7 si x> 3

}

∃ f (3)=−2· 3+8=2 lim −2 x +8=2 −

x → 3

lim 3 x −7=2 +

x → 3

lim f ( x )= lim f (x)=2=L −

x → 3

x → 3

+

f (3)=L=2 La función es continua en x=3

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Ejemplo 25. Estudia la continuidad de la función en x=−1

{

2 f ( x )= x −4 si x≤−1 −x+ 2 si x >−1

}

∃ f (−1)=(−1)2−4=−3 2

lim x −4=−3 x → −1

−

lim −x +2=3 x → −1

+

lim x → −1

f ( x )=−3≠3= lim −

x → −1

f (x) +

Discontinuidad no evitable de primera especie de salto finito en x=−1 Ejemplo 26. Estudia la continuidad de la función en x=2

{

2

x −4 f ( x )= x −2 si x≠2 3 si x =2

}

∃ f (2)=3 x 2−4 0 = → x−2 0

lim

−

x → 2

lim x → 2−

( x+ 2)(x−2) = lim ( x+ 2)=4 → x −2 x → 2 −

lim x → 2

+

x 2−4 =4 x−2

lim f ( x)= lim f (x )=4= L −

x → 2

x → 2

+

f (2)=3≠4=L Discontinuidad evitable en x=2 Ejemplo 27. Estudia la continuidad de la función en x=−2 y en x=3

{

}

2 si x 3

∃ f (−2)=−(−2)2 +6=−4+6=2 lim 2=2 −

x → −2

lim (−x 2 +6)=2 +

x → −2

lim

f ( x)= lim −

x → −2

x → −2

f (x )=2=L +

f (−2)=2=L Función continua en x=−2

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∃ f (3)=−(3)2+6=−9+6=−3 2

lim (−x +6)=−3 −

x → 3

lim 1=1 +

x → 3

lim f ( x )=−3≠1= lim f ( x) −

x → 3

x → 3

+

Discontinuidad no evitable de primera especie de salto finito en x=3 Ejemplo 28 3 3 = =∞ → Estudiamos los límites laterales x −2 0

lim x →

2

√2

lim x →

−

√2

lim x →

+

√2

3 3 = − =−∞ x −2 0 2

3 3 = + =+∞ x −2 0 2

Ejemplo 29. Indica el valor de k para que la función sea continua en x=

{

3x 1 si x≠ 2 x−2 2 f ( x )= 1 k si x = 2

}

1 ∃ f ( )=k 2 lim −

1 x → ( ) 2

lim

3x −3 = → 2 x−2 2 f ( x)= lim

−

1 x → ( ) 2

+

1 x → ( ) 2

f ( x )= +

1 x → ( ) 2

Por continuidad →

lim

3x −3 = 2 x−2 2

−3 =L 2

1 −3 f ( )=k =L → k = 2 2

1 2

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Ejemplo 30. El número de habitantes de cierta población, en los próximos años, 14500 x+ 7200 vendrá dado por la función f ( x )= , donde la variable x mide los 2 x +1 años transcurridos desde un tiempo inicial x=0 . a) ¿Cuántos habitantes tiene la población actualmente?

f (0)=7200 habitantes b)¿Y dentro de dos años? f (2)=

14500 · 2+7200 36200 = =7240 habitantes 2 · 2+ 1 5

c)¿La población crecería de manera indefinida o tendería a estabilizarse en torno a un determinado número de habitantes? Nos preguntan por el comportamiento de la función en un tiempo infinito. Es decir: lim

14500 x+ 7200 ∞ = ∞ → Cociente de polinomios del mismo grado 2 x +1

lim

14500 x+ 7200 14500 = =7250 habitantes 2 x +1 2

x → +∞

x → +∞

La población muestra una asíntota horizontal en el valor f (x )=7250 habitantes .