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Teoría – Tema 8 Ejemplos y más ejemplos de límites Índice de contenido Practicar y practicar...............................................................................................................2
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Practicar y practicar Como existen infinitas funciones distintas... existen infinitos límites distintos. Y cada uno “de su padre y de su madre”. Hemos estudiado algunos casos generales...no todos. Incluso en los casos generales que hemos estudiado, las cosas se pueden complicar si las funciones con las que trabajamos son difíciles. Así que la única alternativa que nos queda para dominar los límites es hacer y hacer ejercicios. ¡A ellos vamos! Ejemplo 1 lim
x + 2 x −3 x 27+18−9 36 3 = = = 3 2 27+36+3−6 60 5 x + 4 x + x−6
Ejemplo 4 lim
x 3 +2 x 2−3 x 1+2−3 0 = = → Indeterminación 3 2 x + 4 x + x−6 1+ 4+1−6 0
lim
x 3 +2 x 2−3 x (x−1)( x 2+3 x ) x 2+3 x 1+3 4 1 = lim = lim = = = 3 2 2 2 x +4 x +x−6 x → 1 ( x−1)( x +5 x+6) x → 1 x +5 x +6 1+5+ 6 12 3
x → 1
x → 1
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Ejemplo 5 x 3 +2 x 2−3 x −27+18+ 9 0 lim 3 = = → Indeterminación 2 −27+36−3−6 0 x → −3 x + 4 x + x−6 lim
x → −3
x 3 +2 x 2−3 x (x +3)( x 2−x ) x 2−x 9+3 12 = lim = lim = = 3 2 2 2 x + 4 x + x−6 x → −3 ( x+3)( x + x−2) x → −3 x + x−2 9−3−2 5
Ejemplo 6 3 x 2 +5 x−2 12−10−2 0 lim = = → Indeterminación 4−4 0 x → −2 x 2 −4 2
x
( x + 2)(3 x−1) 3 x +5 x−2 3 x−1 3(−2)−1 7 = lim = lim = = 2 −2−2 4 → −2 x → −2 (x +2)( x −2) x → −2 x−2 x −4
lim
Ejemplo 7 lim x → 3
√ x +6−3 = √9−3 = 0 → Indeterminación 3− x
3−3
0
x +6−9 √ x +6−3 = lim (√ x+ 6−3)(√ x +6+3) = lim → Operar numerador 3− x x → 3 x → 3 x → 3 (3− x)( √ x +6+3) (3−x )( √ x+ 6+3) lim
x−3 −1 −1 −1 = lim = = 3 (3− x)( √ x +6+3) x → 3 √ x +6+ 3 √ 9+3 6
( 2 x−8)( √ x 2+ 9+5) (2 x−8)( √ x 2 +9+5) lim = lim → Operar numerador (x + 4)( x−4) x → 4 x → 4 x 2 −16 (2 x−8)( √ x 2+ 9+5) 2 ( x−4)( √ x 2 +9+5) 2( √ x 2 +9+5) 2( √ 25+5) 20 5 = lim = lim = = = ( x+ 4)(x −4) ( x+ 4)(x−4) ( x +4) 4+ 4 8 2 4 x → 4 x → 4
lim
x →
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5 x 2 −3 x+ 2 ∞ = ∞ → Indeterminación → Cociente de polinomios del mismo grado 2 2 x + x−1
lim
5 x 2 −3 x+ 2 5 = 2 x 2 + x−1 2
x → +∞
x → +∞
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Ejemplo 13 lim
2x+6 = −∞ → Indeterminación → Grado denominador > Grado numerador 2 3 x −x +5 +∞
lim
2x+6 =0 2 3 x −x +5
x → −∞
x → −∞
Ejemplo 14 lim
√9 x 4−5 x 2 +6 = ∞
lim
√9 x 4−5 x 2 +6 = √9 =1
x → −∞
x → −∞
3 x 2+ 2 x−4
3 x 2+ 2 x−4
∞ → Indeterminación → Cociente de polinomios del mismo grado
3
Ejemplo 15 x
x
−3 x 3 +6 x−7 −∞ = +∞ → Indeterminación → Grado numerador > Grado denominador → +∞ x 2−5 x+ 3
lim
−3 x 3 +6 x−7 =−∞ → +∞ x 2−5 x+ 3
lim
Ejemplo 16 lim
5 x 2− x+ 2 → Indeterminación → Cociente de polinomios del mismo grado =∞ 3 6 3 √ x +3 x −2 x ∞
lim
5 x 2− x+ 2 5 = =5 3 6 3 √ x +3 x −2 x 1
x → +∞
x → +∞
Ejemplo 17 lim
13 x 2 −x → Indeterminación → Cociente de polinomios del mismo grado =∞ 4 2 √169 x −x +8 ∞
lim
13 x 2 −x 13 = =1 4 2 √169 x −x +8 √169
x → +∞
x → +∞
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Ejemplo 18 lim ( √ 25 x 2−7−5 x )=∞−∞ → Indeterminación
x → +∞
lim
(√ 25 x 2−7−5 x)( √ 25 x 2−7+5 x )
√ 25 x 2 −7+5 x
x → +∞
2
2
25 x −7−25 x −7 −7 = lim = lim = ∞ =0 2 2 x → +∞ √ 25 x −7+5 x x → +∞ √ 25 x −7+5 x
Ejemplo 19 lim (
x +1 x +4 − )=∞−∞ → Indeterminación 2 5
lim (
x +1 x +4 5 x+ 5−2 x −8 3 x−3 − )= lim = lim =+∞ 2 5 10 10 x → +∞ x → +∞
(8 x−√ 16 x 2 + x−3)(8 x + √ 16 x 2 + x−3) 8 x + √ 16 x 2 + x−3
64 x 2−16 x 2 −x +3 2 +∞ 8 x+ √ 16 x + x−3
= lim x →
48 x 2−x +3 =∞ ∞ → Grado numerador > Grado denominador 2 8 x + √ 16 x + x−3 2
48 x −x +3 lim =∞ 2 x → +∞ 8 x + √ 16 x + x−3 Ejemplo 21. Encuentra el valor de a que verifica lim ( √ 4 x 2 +a x−2 x)=
x → +∞
1 1 → Debemos calcular el límite e igualar a para obtener a 3 3
lim ( √ 4 x 2 +a x−2 x)=∞−∞ → Indeterminación
x → +∞
lim ( √ 4 x +a x−2 x)= lim 2
x → +∞
lim
x → +∞
lim
x → +∞
x → +∞
ax
√4 x
2
+a x +2 x
( √ 4 x 2 +a x−2 x)( √ 4 x 2+ a x+ 2 x)
√ 4 x2 + a x + 2 x
4 x 2+ a x−4 x 2 2 +∞ √ 4 x + a x + 2 x
= lim x →
=∞ ∞ → Indeterminación → Cociente de polinomios del mismo grado
ax a a 1 = = → Igualamos el valor del límite a 4 3 √ 4 x +a x +2 x √ 4+ 2 2
a 1 4 = → a= 4 3 3
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Ejemplo 22
√1− x−1 = 0 → Indeterminación
lim
x
x → 0
lim x → 0
lim x → 0
0
−x √1− x−1 = lim (√ 1−x −1)(√ 1− x+1) = lim 1− x−1 = lim x x → 0 x → 0 x → 0 x( √1−x +1) x ( √ 1−x +1) x ( √ 1− x+ 1) −1 −1 = √1− x+ 1 2
Ejemplo 23 (2+ x)3−8 0 = → Indeterminación x 0 0
lim
x →
(2+ x)3−8 ( 4+ x 2+ 4 x )(2+ x)−8 x 3 +6 x 2 +12 x +8−8 x 3 +6 x 2 +12 x lim = lim = lim = lim x x x x x → 0 x → 0 x → 0 x → 0 lim
x → 0
x 3+6 x 2+12 x 2 = lim x + 6 x+ 12=12 x x → 0
Ejemplo 24. Estudia la continuidad de la función en x=3
{
f ( x )= −2 x+ 8 si x≤3 3 x−7 si x> 3
}
∃ f (3)=−2· 3+8=2 lim −2 x +8=2 −
x → 3
lim 3 x −7=2 +
x → 3
lim f ( x )= lim f (x)=2=L −
x → 3
x → 3
+
f (3)=L=2 La función es continua en x=3
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Ejemplo 25. Estudia la continuidad de la función en x=−1
{
2 f ( x )= x −4 si x≤−1 −x+ 2 si x >−1
}
∃ f (−1)=(−1)2−4=−3 2
lim x −4=−3 x → −1
−
lim −x +2=3 x → −1
+
lim x → −1
f ( x )=−3≠3= lim −
x → −1
f (x) +
Discontinuidad no evitable de primera especie de salto finito en x=−1 Ejemplo 26. Estudia la continuidad de la función en x=2
{
2
x −4 f ( x )= x −2 si x≠2 3 si x =2
}
∃ f (2)=3 x 2−4 0 = → x−2 0
lim
−
x → 2
lim x → 2−
( x+ 2)(x−2) = lim ( x+ 2)=4 → x −2 x → 2 −
lim x → 2
+
x 2−4 =4 x−2
lim f ( x)= lim f (x )=4= L −
x → 2
x → 2
+
f (2)=3≠4=L Discontinuidad evitable en x=2 Ejemplo 27. Estudia la continuidad de la función en x=−2 y en x=3
{
}
2 si x 3
∃ f (−2)=−(−2)2 +6=−4+6=2 lim 2=2 −
x → −2
lim (−x 2 +6)=2 +
x → −2
lim
f ( x)= lim −
x → −2
x → −2
f (x )=2=L +
f (−2)=2=L Función continua en x=−2
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∃ f (3)=−(3)2+6=−9+6=−3 2
lim (−x +6)=−3 −
x → 3
lim 1=1 +
x → 3
lim f ( x )=−3≠1= lim f ( x) −
x → 3
x → 3
+
Discontinuidad no evitable de primera especie de salto finito en x=3 Ejemplo 28 3 3 = =∞ → Estudiamos los límites laterales x −2 0
lim x →
2
√2
lim x →
−
√2
lim x →
+
√2
3 3 = − =−∞ x −2 0 2
3 3 = + =+∞ x −2 0 2
Ejemplo 29. Indica el valor de k para que la función sea continua en x=
{
3x 1 si x≠ 2 x−2 2 f ( x )= 1 k si x = 2
}
1 ∃ f ( )=k 2 lim −
1 x → ( ) 2
lim
3x −3 = → 2 x−2 2 f ( x)= lim
−
1 x → ( ) 2
+
1 x → ( ) 2
f ( x )= +
1 x → ( ) 2
Por continuidad →
lim
3x −3 = 2 x−2 2
−3 =L 2
1 −3 f ( )=k =L → k = 2 2
1 2
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Ejemplo 30. El número de habitantes de cierta población, en los próximos años, 14500 x+ 7200 vendrá dado por la función f ( x )= , donde la variable x mide los 2 x +1 años transcurridos desde un tiempo inicial x=0 . a) ¿Cuántos habitantes tiene la población actualmente?
f (0)=7200 habitantes b)¿Y dentro de dos años? f (2)=
c)¿La población crecería de manera indefinida o tendería a estabilizarse en torno a un determinado número de habitantes? Nos preguntan por el comportamiento de la función en un tiempo infinito. Es decir: lim
14500 x+ 7200 ∞ = ∞ → Cociente de polinomios del mismo grado 2 x +1
lim
14500 x+ 7200 14500 = =7250 habitantes 2 x +1 2
x → +∞
x → +∞
La población muestra una asíntota horizontal en el valor f (x )=7250 habitantes .