Teselaciones Irregulares Eficientes Estudio de caso: prototipo de cúpula de 2m de diámetro. 1

2

3

María Mallo , Miguel Vidal y Javier Santamaría . Consultor estructural: S.Prajish 4 Vinayak 1

2

Investigadora en el Departamento de Ideación Gráfica de la ETSAM, Consultor y docente 3 freelance de diseño paramétrico en la ETSAM, Mimétrica Diseña a tu Medida S.L. entidad 4 asociada a la UPM, Estudiante en Tecnologías Emergentes y Diseño en Architectural Association (Londres). 1

http://www.mariamallo.com, www.facebook.com/sistemasradiolarios, 3 http://www.michividal.com, http://www.mimetrica.com

2 1

[email protected], 4 [email protected]

2

[email protected],

3

[email protected]

Abstract. Este artículo tiene como objetivo mostrar la investigación realizada por los autores sobre teselaciones irregulares eficientes. Entendemos por teselaciones eficientes, aquellas que responden a los patrones de compactación que se pueden encontrar en la Naturaleza. En concreto nos centramos en el estudio de teselaciones planas de superficies de doble curvatura, comenzando con un prototipo semiesférico de 2m de diámetro. Para su realización se han utilizado herramientas de diseño paramétrico y fabricación digital. Esta teselación se muestra como una alternativa a la disposición icosaédrica de la división de la esfera. En el presente artículo se detalla el proceso de diseño y fabricación del prototipo y se realiza una comparación de la teselación obtenida con otros sistemas de remallado desde el punto de vista morfológico y estructural. Keywords. Teselaciones hexagonales; esqueletos radiolarios; geometrías complejas; diseño paramétrico; fabricación digital.

Introducción Si hablamos de eficiencia es difícil no referirse a la Naturaleza, porque está especializada en producir formas que responden a necesidades concretas con un gasto mínimo de material y de energía. En nuestro caso, como investigación previa (Mallo, 2013) hemos estudiado los patrones de compactación natural: colmenas, tejidos celulares, alas de libélula, burbujas, espumas, esqueletos radiolarios, moléculas de carbono, etc (Haeckel, 1862; Thompson, 1917; Mertins, 2004). Las características de los patrones naturales estudiados son: nudos de 3 barras y celdas en su mayoría hexagonales; ángulos entre barras predominantes de 120°, salvo en los bordes de la superficie donde tienden a los 90°; distribución homogénea de pentágonos y heptágonos evitando más de dos de estas figuras iguales adyacentes.

Figura 1 Análisis de teselaciones naturales. A la izquierda, Reticulum plasmatique según Carnoy y en el centro Aulonia hexagona según Haeckel. Se han dejado en blanco los hexágonos y se han coloreado en rosa los pentágonos, en amarillo los heptágonos, en rojo el octógono y se ha señalado con un círculo verde los puntos inestables con nudos de 4 barras. A la derecha moléculas de carbono de Fullerenos gigantes donde observamos configuraciones icosaédricas y disposiciones de pentágonos y heptágonos que se repiten. Se han numerado las filas de separación entre celdas singulares (en rojo pentágonos y en amarillo heptágonos).

La Naturaleza ha sido fuente de inspiración inagotable dentro de la disciplina arquitectónica. No por casualidad, en Jena, la ciudad donde Ernst Haeckel publicó sus monografías de radiolarios entre 1882 y 1888, se construyó la primera cúpula reticular en 1923 a cargo del ingeniero Walther Bauersfeld: el Planetario Zeiss.

Figura 2 A la izquierda láminas 8 y 10 de la publicación de Haeckel "Die Acantharien", de 1888. A la derecha fotografías de la construcción de la primera cúpula reticular para el Planetario Zeiss, terminada en 1923, con 11 años investigación geométrica previa.

En la actualidad, el uso de herramientas paramétricas y algoritmos dentro del diseño arquitectónico, ha hecho posible que nos acerquemos a la complejidad de los patrones naturales sin necesidad de recurrir a abstracciones geométricas. Ahora somos capaces de no sólo reproducir la complejidad natural, sino de simular los procesos de generación de las formas naturales. Por tanto, la panelización desarrollada en nuestra investigación se plantea como alternativa a las cúpulas geodésicas que tienen siempre un número fijo de 12 pentágonos (los vértices del icosaedro proyectado a la esfera). Por otro lado, el presente estudio también se aleja de las investigaciones sobre mallas hexagonales planas, "P-Hex Mesh"

que trabajan con retículas hexagonales sobre superficies de doble curvatura sin que aparezca ningún otro tipo de geometría (Pottmann, 2007; Wang, 2008; Bo, 2011; Vouga, 2012). El reto al que nos enfrentamos es el de encontrar otras distribuciones de pentágonos y heptágonos dentro de la malla predominantemente hexagonal, de manera que los puntos singulares se distribuyan equilibradamente, siguiendo las investigaciones de relajación dinámica de Nieser (2010), Piker (2012) y Erioli (2013) entre otros.

Figura 3 A la izquierda detalle de figura de dragón perteneciente a la investigación sobre remallado de Nieser. La localización de las singularidades (en amarillo) responden a los cambios de curvatura de la superficie original. A la derecha fotogramas del vídeo “Dinamic Remeshing” (remallado dinámico) min 0,50-0,58. Se han coloreado en azul oscuro las celdas cuadrangulares, en rosa las pentagonales, en naranja las hexagonales, en azul las heptagonales y en verde las octogonales, detectando los puntos inestables (longitud de arista = 0) en rojo. http://vimeo.com/49642642.

Concretamente, el hecho de encontrar alternativas más eficientes que la proyección del icosaedro para la panelización de la esfera (el principal objetivo de nuestra investigación), resulta ser una cuestión planteada ya en 1904 por el físico inglés J. J. Thomson. "El problema de Thomson" se centra en buscar la configuración optima de cualquier conjunto de puntos situados en la esfera, o dicho de otro modo: cómo determinar la configuración de energía mínima de N electrones sobre la superficie de la esfera de tal manera que se repelan unos a otros según la fuerza de la ley de Coulomb. A pesar de que el problema está planteado desde hace más de 100 años, es en esta última década y gracias a los algoritmos procesados computacionalmente, cuando se ha podido estudiar en profundidad el tema y se han analizado múltiples configuraciones posibles.

Figura 4 El problema de Thomson. A la izquierda estado inicial y final de la aplicación desarrollada por la Universidad de Siracusa en 2007 (en rojo-pentágono y amarillo-heptágonos) [1]. A la derecha fotogramas de dos de los gifs animados de la investigación desarrollada desde la Universidad de Cambridge en 2009, se observan hileras de pentágonos (en rojo) y heptágonos (en azul) además de configuraciones que se repiten en las moléculas de fullerenos gigantes [2].

Cúpula TIE de 2m de diámetro Nuestro objetivo es diseñar y producir una cúpula de 2m de diámetro. Este primer prototipo se puede entender por un lado, como un acercamiento a la problemática para construir en un futuro cúpulas de mayor tamaño; y por otro lado, como un producto habitable en sí mismo, de la familia de las tiendas de campaña o las protecciones frente al sol y el viento en las playas.

Diseño Paramétrico La herramienta digital principal que utilizamos en el proceso de diseño paramétrico es Grasshopper, plugin asociado a Rhinoceros. El primer problema con el que nos encontramos es el de que una esfera se despieza en Rhinoceros a través de sus meridianos y paralelos, por lo que no es posible utilizar un algoritmo de teselación directamente sobre la superficie, ya que acumula las particiones en los polos. Tenemos por tanto que generar una población de puntos alternativa a la que define la superficie. Probamos el componente "Random", pero mantiene una mayor densidad en el polo superior de la semiesfera. Como alternativa encontramos el componente "Populate Geometry" que genera una distribución de puntos homogénea sobre la superficie. Este algoritmo genera un número de puntos al azar, y a continuación va añadiendo a la colección nuevos puntos que estén lo más alejados posibles de los puntos existentes, repitiéndose el proceso hasta conseguir el número de puntos deseados. Una vez obtenidos los puntos, construimos las celdas Voronoi asociadas y relajamos esta primera teselación utilizando “Hoop Snake”, un componente de iteración que se basa en el Algoritmo de Lloyd. Este algoritmo calcula el centroide de cada celda y dibuja un nuevo Voronoi partiendo de cada nuevo centroide de manera iterativa. Otro problema con el que nos encontramos es que el componente "Voronoi 3d" no dibuja la línea de intersección entre la celdas Voronoi extruidas y la superficie de partida. Probamos varios modos de intersección, pero todos generan puntos intermedios y líneas quebradas.

Figura 5 Análisis comparativo de diferentes estados de iteración del algoritmo de relajación "Hope Snake" tomando una muestra de 39 celdas: en rojo (aristas pequeñas o nulas); cuadriláteros en morado; pentágonos en rosa; hexágonos en amarillo; heptágonos en azul; y octógonos en verde. A la izquierda, primera teselación que parte de los puntos aleatorios. A la derecha, teselación obtenida tras el trabajo del algoritmo durante una hora. Se observa cómo los puntos se han ido desplazando desde la base hacia arriba. También detectamos que tienden a desaparecer los cuadriláteros y los octógonos mientras que los pentágonos y heptágonos disminuyen en cantidad y se ordenan homogéneamente.

Finalmente, el componente "Face Dome" nos resuelve varias cuestiones a la vez, por un lado, genera celdas limpias, con puntos únicamente en el encuentro de las aristas rectas; por otro lado, las celdas resultantes son planas, por lo que es viable su producción directa sin tener que pasar por una definición de planeidad. El único inconveniente es que este componente no funciona para otro tipo de superficies de doble curvatura no esférica, por lo que en futuras investigaciones deberemos encontrar otro modo de generación de las celdas Voronoi.

Análisis Geométrico de la Teselación Una vez cerrada la teselación final procedemos a analizar la geometría de las celdas resultantes. Intentamos generar una definición paramétrica que realice el proceso automáticamente a través del componente "Cloud Display", que genera una nube coloreada en cada vértice de la malla Delaunay dual, según un gradiente de color que depende del número de aristas que convergen en cada punto. Sin embargo nos encontramos con que la malla Delaunay genera triangulaciones más allá de las celdas adyacentes, sobre todo en los puntos cercanos a la base, donde la superficie tiende a la verticalidad, por lo que la visualización geométrica presenta errores. Por este motivo y debido a los tiempos ajustados, recurrimos a un análisis manual. De las 180 celdas, la mayoría son hexágonos, seguidos de pentágonos y heptágonos. Además aparecen 3 celdas que indican que la malla no está del todo optimizada: un cuadrilátero (excluyendo los formados en la base) y 2 octógonos. Aunque estas tres celdas indican cierta inestabilidad, y este tipo de polígonos no aparecen en las configuraciones del "Problema de Thomson", si que las encontramos en los patrones naturales de los esqueletos radiolarios. Por tanto, decidimos seguir adelante en el proceso de producción y tomar esta teselación como un primer acercamiento mejorable a las Teselaciones Irregulares Eficientes.

Figura 6 A la izquierda, perspectiva de la teselación finalmente utilizada, formada por 180 celdas planas. En el centro vista en planta del análisis geométrico realizado en Grasshopper: pentágonos en verde, hexágonos en naranja, heptágonos en rojo y octógonos en morado. Se observan múltiples errores en la malla ya que se producen triangulaciones con celdas más allá de las adyacentes. A la derecha análisis geométrico manual: se han coloreado 11 cuadriláteros en azul, 56 pentágonos en verde, 78 hexágonos en amarillo, 33 heptágonos en rosa y 2 octógonos en morado.

Fabricación Digital Para la asignación de materiales utilizamos el programa Ecotect, software de análisis de diseño sostenible con el que se realizan simulaciones de funcionamiento energético.

Establecemos 4 tipos de celdas, los 2 grupos que más irradiancia reciben se convierten en celdas opacas y los otros dos pasan a ser celdas transparentes. Por otro lado, todas las celdas de la base y 3 de la cúspide, se perforan para facilitar la corriente ascendente de aire caliente. Una vez abatidas las celdas y clasificadas en opacas y transparentes, procedemos a numerarlas. Para que las piezas sean más fáciles de localizar una vez producidas y el montaje sea más eficaz, las numeramos según el orden ascendente de su posición en el eje Z de la cúpula (este sistema se puede mejorar incorporando un orden por cuadrantes para que la numeración no salte de lado a lado de la cúpula). Añadimos paramétricamente a cada arista una pestaña de 10mm acabada en ángulo de 60º. Dentro de cada pestaña colocamos tres orificios de 3mm de diámetro para la tornillería, uno central y dos en los extremos con un desfase de 10mm respecto del borde. Asignamos manualmente las celdas seleccionadas para incorporar las perforaciones. Estas perforaciones definidas también paramétricamente, tienen un diámetro de 12mm y una separación de 6mm entre ellas. Para aportar heterogeneidad, se eliminan un 40% de estas perforaciones con diferentes semillas de aleatoriedad. El material elegido es el plástico transparente Pet (tereftalato de polietileno) de 1mm de espesor. Este material se presenta con una película protectora plástica azul y otra blanca. Aprovechamos una de ellas y utilizamos como celdas opacas el mismo material sin quitar la cobertura protectora blanca. Asignando una “O” delante de la numeración para identificar este tipo de celdas. Para asumir el espesor de la pestaña doblada y evitar acumulación de errores geométricos, hacemos una equidistancia hacia el interior de cada celda de 1mm. También utilizamos la aplicación Rhino Nest para optimizar la colocación de las celdas dentro de las planchas de Pet de 1200 x 900 mm (capacidad máxima de la máquina de corte laser).

Figura 7 A la izquierda, análisis realizado con Ecotect vinculado a Grasshopper, cálculo de la irradiancia de la cúpula anual total (directa y reflejada) en el periodo de 8 a 20h en Madrid. Clasificación de las celdas en 4 grupos según los niveles de irradiancia detectados. A la derecha, muestra de una de las planchas de Pet de 1200 x 900 mm con las celdas colocadas según la optimización de la aplicación Rhino Nest. Observamos los distintos colores de los elementos (numeración, perforaciones, corte perimetral y línea de doblado) que luego se trasladan a distintas velocidades y potencias del laser.

Producción CNC y Montaje Manual Producimos las celdas con una máquina de corte laser de control numérico. Calibramos los parámetros “speed” (velocidad), “power” (potencia) y “corner power” (potencia en esquina), asignando un color a cada tipo de objeto: plegado de pestañas y numeración (60, 24, 24); corte de perforaciones (60, 40, 40); corte de contorno de celda (50, 45, 45). Para doblar las pestañas evitando que partan, calentamos la línea de doblado con una pistola decapadora.

Figura 8 Proceso de corte, plegado y unión de las celdas.

El montaje con tornillos y tuercas se realiza dividiendo la cúpula en 12 sectores, 8 en la base y 4 en la cúspide. Una vez montados los grupos independientes se acaba el montaje desde dentro.

Figura 9 Proceso de montaje de las 12 piezas, ver vídeo en http://mariamallo.com/T-I-E.

La cúpula fue presentada en el Rhino User Meeting organizado por el IE (Instituto de Empresa) el 30 de Octubre de 2013 en Madrid.

Figura 10 Fotografías de la cúpula acabada sacadas en el campus universitario de Montegancedo. Cartel de presentación del proyecto. El video final producido por JFuria se puede ver en http://vimeo.com/78514778

Comparación con otras teselaciones Como cierre de esta investigación, proponemos una comparativa geométrica y estructural de nuestra teselación con otras 3. La primera de ellas es la cúpula tradicional geodésica de frecuencia 3 y las otras se obtienen de teselar la semiesfera con dos aplicaciones accesibles bajo licencia creative commons. Por un lado utilizamos el algoritmo de la empresa estadounidense Nervous System, que permite desde la red [3] remallar cualquier objeto con extensión ".obj". Por otro lado, empleamos el plugin para Rhinoceros eVe|voronax de descarga libre [4], que proviene la tesis doctoral de Milos Dimcic sobre algoritmos genéticos.

Figura 11 A la izquierda interfaces de generación de las geometrías a comparar: arriba remallado de Nervous System (en adelante Nervous); abajo plugin de Rhinoceros eVe|voronax (en adelante Voronax). A la derecha comparación del número y disposición de las celdas según su número de lados: arriba a la izquierda Nervous de 183 celdas con 12 cuadriláteros, 48 pentágonos, 93 hexágonos, 26 heptágonos y 4 octógonos; arriba a la derecha TIE de 180 celdas con 10 cuadriláteros, 56 pentágonos, 79 hexágonos, 33 heptágonos y 2 octógonos; abajo a la izquierda Geodesia de 91 celdas con 26 pentágonos y 65 hexágonos; abajo a la derecha Voronax de 170 celdas con 5 triángulos, 17 cuadriláteros, 45 pentágonos, 64 hexágonos, 24 heptágonos, 10 octógonos y 5 eneágonos.

Figura 12 A la izquierda comparación de los ángulos por cuadrantes mediante gráfica de círculos concéntricos: 0° en el centro hasta 180° en el extremo. A la derecha comparación de longitudes de barras mediante gráfica de círculos concéntricos, suponiendo cúpulas de 20m de diámetro: 0m en el centro y 4m en los extremos.

Celdas Celdas regulares TIE 79 Nervous 93 Geodesia 65 Voronax 64

Ángulos Celdas irregulares 101 90 26 106

Ángulo mínimo 68.36° 37,66° 86.62° 7.88°

Long.Barras Ángulo máximo 142.14° 150.27° 125.09° 177.12°

Longitud mínima 0.19m 0.01m 0.9m 0.01m

Longitud máxima 2.56m 2.83m 3.25m 7.36m

Figura 13 Tabla resumen de datos. Debido a que el número de celdas no es constante en las cuatro cúpulas no se pueden hacer comparaciones cuantitativas, pero sí cualitativas, observando los rangos de variación dentro de cada cuplula.

Tras el análisis geométrico realizado en Grasshopper a través de las listas de datos, analizamos estructuralmente las cúpulas mediante Karamba, plugin Grasshoper.

Figura 14 Gráfica de deformaciones suponiendo una carga global de 100KN en el eje Z, con los nudos de la base empotrados y dimensionando la estructura con perfiles tubulares de 160.2mm. De izquierda a derecha: Tie, Nervous, Geodesia y Voronax. Se observa que la cúpula Nervous es la que menos deformación presenta en la cúspide.

Futuras Investigaciones Las próximas investigaciones se centrarán en los siguientes objetivos: 1. Trabajar con geometrías capaces de adaptarse a perímetros irregulares.

2. Incorporar la gravedad como elemento definitorio de la forma, usando la técnica del form-finding en modelos paramétricos. 3. Someter los modelos a análisis acústicos y térmicos. Hasta ahora hemos desarrollado la investigación sin un apoyo institucional, aunque estamos contemplando la posibilidad realizar el próximo prototipo a mayor escala que el primero, dentro del marco de un workshop universitario.

References Bo, P., Pottmann, H., Kilian, Wang, W., and Wallner, J., ‘Circular Arc Structures’, ACM Trans. Graphics, vol. 30, no. 4, art. 101, Proc. Siggraph, New York, 2011. Erioli, A., Giacobazzi, C., and Castellazzi, G., ‘Homeostatic Patterns’ in Structures and Architecture: Concepts, Applications and Challenges, Taylor & Francis Group, London, 2013. Haeckel, Ernst, Die Radiolarien (Rhizopoda Radiaria), Druck und Verlag von Georg Reimer, Berlín, 1862. Haeckel, Ernst, Die Acantharien, Druck und Verlag von Georg Reimer, Berlín, 1888. McHale, John, R. Buckminster Füller, George Braziller Inc, Nueva York, 1962 (tr. española de Antonio Rivera, R. Buckminster Fuller, Editorial Hermes, México, 1966). Mallo, María, ‘Natural Patterns and Complex Architectures’, New Proposals for Transformable Architecture, Engineering and Design, pp. 257–262, Starbooks, Sevilla, 2013. Mertins, Detlef, ‘Bioconstuctivisms’ in Spuybroek, Lars, Nox, pp. 360–369, Thames & Hudson, 2004. Nieser, M., Palacios, J., Polthier, K., and Zhang, E., ‘Hexagonal Global Parameterization or Arbitrary Surfaces’, Siggraph, Seoul, 2010. Piker, Daniel, ‘Mesh Mash!’ in www.spacesymmetrystructure.wordpress.com, Sept., 20, 2012. Pottmann, H., Liu, Y., Wallner, J., Bobenko, A., and Wang, W., ‘Geometry of multi-layer freeform structures for architecture’, ACM Trans. Graphics, vol. 26, no. 3, art. 65, pp. 1– 11, Proc. Siggraph, New York, 2007. Thompson, D´Arcy, On Growth and Form, Cambridge University Press, 1917 (tr. española de Juan Manuel Ibeas, Thompson, D´Arcy, Sobre el Crecimiento y la Forma, Blume Ediciones, Madrid, 1980). Vouga, E., Höbinger, M., Wallner, and J., Pottmann, H., ‘Design of Self-supporting Surfaces’, ACM Trans. Graphics, vol. 31, no. 4, art. 87, pp. 1–11, Proc. Siggraph, New York, 2012. Wang, W., Liu, Y., Yan, D., Chan, B., Ling, R., and Sun, F., ‘Hexahonal Meshes with Planar Faces’, HKU CS Technical Report, TR, 13, 2008. [1] www.thomson.phy.syr.edu/thomsonapplet.php [2] www-wales.ch.cam.ac.uk/~wales/CCD/ Thomson2/table.html [2] www.n-e-r-v-o-u-s.com/projects/remesh/ [3] www.food4rhino.com/project/evevoronax