TEST DE RAZONAMIENTO NUMÉRICO

Consejos generales

______________________________________ © Material propiedad del Instituto Europeo, con sede en Rodríguez Arias 23, 6º-18. 48011 Bilbao. Prohibida la utilización del presente material más allá de lo estrictamente necesario para una satisfactoria formación del alumno. Prohibida su alteración, reproducción total o parcial, cesión, comunicación, y/o distribución, gratuita o con fines comerciales o lucrativos.

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I. INTRODUCCIÓN En lo relativo a los cálculos de porcentajes, es fundamental tener en cuenta que los porcentajes, en realidad, son referencias abstractas, magnitudes relativas a una magnitud básica. Por ejemplo, si tenemos 10 globos y después de un pinchazo nos quedamos con 7, y tenemos que calcular el porcentaje de globos que nos quedan, es evidente que no hay ningún 100 en ninguna parte, sino que utilizamos el 100 como una referencia abstracta y el porcentaje que nos salga es un valor sobre ese 100, que viene a decir que, si tuviéramos 100 globos, nos quedarían, según este ejemplo, 70 (aunque en realidad son 7). Es fundamental, por lo tanto, que a la hora de hacer un cálculo de porcentajes sepamos escoger bien dónde está ese 100, esa magnitud a partir de la cual calculamos todas las demás. Siguiendo con el ejemplo de los globos, si al aplicar la fórmula que luego veremos nos damos cuenta de que el 100% son los 10 globos que teníamos, podremos obtener el resultado correcto, pero si nos equivocamos en eso y pensamos que el 100% son los 7 globos que nos quedan después de los pinchazos, aunque la fórmula la apliquemos correctamente nos dará un resultado incorrecto. Esto es lo más importante de todo, las fórmulas son bastante sencillas y una vez que las usemos un par de veces las aprenderemos casi por inercia, pero tenemos que aplicarlas sobre la cifra correcta, y en eso suele estribar la dificultad para la mayoría de la gente.

II. FÓRMULA BÁSICA Y VARIANTES En realidad, todos los cálculos son variantes de una misma fórmula. En esa fórmula existen siempre cuatro elementos, de los cuales tenemos que tener tres para poder calcular el cuarto (por eso en ocasiones a este cálculo se le llama también regla de tres). Dos de ellos son cifras reales y los otros dos son porcentajes. Para el ejemplo de los globos, tenemos la cifra de globos antes del pinchazo, la cifra de los globos después del pinchazo y los dos porcentajes que esas dos cifras suponen. Uno de ellos siempre será el 100% y el otro el porcentaje relativo a ese 100%. Así, la fórmula para este ejemplo sería 10/100=7/70. Por lo tanto, 10 es al 100% lo mismo que 7 al 70%. También se puede aplicar, y es igualmente válida, invirtiendo las fracciones: 100/10=70/7 (el 100% es a 10 como el 70% a 7). A partir de aquí, dependiendo de lo que nos pregunten, tendremos siempre tres datos de esa fórmula y tendremos que hallar uno, que sustituiremos por una X y tendremos que despejar. Vamos a verlo de forma más sencilla analizando por separado las diferentes opciones existentes en estos cálculos.

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Opción 1: Tenemos 10 globos, se nos pinchan algunos y nos quedamos con 7. ¿Qué porcentaje de globos nos queda? Aquí tenemos una cifra de globos inicial que es 10, una cifra de globos posterior que es 7, y un porcentaje correspondiente a la cifra de globos antes el pinchazo que es el 100%. Lo que no sabemos es el porcentaje de los restantes, así que vamos a la fórmula y lo sustituimos por una X: 100/10=X/7. Despejamos ahora la X: X=(100/10)*7=10*7=70. Nos quedará, por tanto, el 70%. Esta misma opción nos vale igualmente si nos preguntan por los que se nos han pinchado: Tenemos 10 globos y se nos pinchan 3. ¿Qué porcentaje de globos se nos ha pinchado? Simplemente sustituimos el 7 en la fórmula por un 3, pero se calcula de la misma forma: 100/10=X/3 Si despejamos la X: X=(100/10)*3=30 Por lo tanto, se nos habrá pinchado el 30%. Opción 2: Teníamos unos cuantos globos, se nos pincha el 30% y nos quedan 7. ¿Cuántos globos teníamos? En este caso, hay un pequeño problema añadido. Aquí tenemos una cifra X que es el número inicial de globos, tenemos el porcentaje del 100% que corresponde a esa cifra desconocida, tenemos la cifra resultante que es 7 y la cifra de los pinchados que es el 30%. Hay que tener en cuenta que aquí los globos que nos quedan y el porcentaje del enunciado no coinciden, 7 no es el 30% sino lo que nos queda después de pincharse el 30%, por lo que hay que calcular primero el porcentaje correspondiente a esa cifra. Eso se consigue restando el porcentaje de los globos pinchados a 100: (100-30=70). Por lo tanto, 7 corresponderá al 70%, que es el porcentaje que queda cuando de un 100% se sustrae el 30%. Una vez hecho esto, nos queda aplicar la fórmula sustituyendo en este caso la X por el dato que nos falta:

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X/100=7/70 Despejamos la X: X=(7/70)*100=0,1*100=10. Por lo tanto, antes de que se nos pincharan los globos teníamos 10. Esta misma opción es igualmente válida si nos preguntan: Teníamos unos cuantos globos, se nos pinchan varios y nos quedamos con 7, el 70% de los que teníamos. ¿Cuántos globos teníamos? Aquí el ejercicio se resuelve exactamente igual, aunque es más sencillo porque nos ahorramos tener que calcular el porcentaje que nos queda al venir dado en el propio texto. Opción 3: Teníamos 10 globos y se nos pincha el 30%. ¿Cuántos globos nos quedan? Aquí, al igual que en la anterior opción, tenemos que percatarnos primero de que nos preguntan por el porcentaje que nos queda y no por el que nos han quitado, por lo que en primer lugar tenemos que calcular nuevamente 100-30=70, y utilizar la fórmula aplicando el 70% que es el porcentaje que nos queda. 10/100=X/70 Despejamos la X: X=10/100*70=7 Es decir, nos quedan 7 globos. Se utiliza la misma fórmula si nos preguntan: Teníamos 10 globos y tras pincharse varios nos quedamos con el 70%. ¿Cuántos globos nos quedan? Esta variante es más sencilla porque nos dan directamente el porcentaje que queremos hallar, con lo cual nuevamente nos ahorramos el primer cálculo para hallar el 70%, pero la ecuación es exactamente la misma. Como hemos visto, en todos los casos tenemos tres datos y tenemos que calcular, a partir de ellos, un cuarto, pero siempre es la misma fórmula la que se emplea, cambiando el dato desconocido en cada caso. Existen tres opciones porque, invariablemente, uno de los cuatro datos que necesitamos para el cálculo será el 100%, y la incógnita, como hemos visto, puede estar en cualquiera de los otros tres.

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III. FORMAS DE CÁLCULO RÁPIDO Vista la lógica matemática de la regla de tres y el origen de la fórmula, el siguiente paso es, una vez entendido esto, ver las formas de hacer los cálculos básicos con mayor celeridad. De hecho, no es importante únicamente saber hacer los cálculos correctamente, sino que también lo es, y posiblemente en mayor medida, hacerlos con relativa rapidez, ya que el tiempo que tenemos en los psicotécnicos es ajustado y no nos permite detenernos en exceso en cada pregunta. Por tanto, aplicando las fórmulas que hemos visto, vamos a ver, con su explicación matemática, las formas más rápidas de calcular porcentajes sin tener que escribir, ni calcular, la fórmula completa. Esta es la parte realmente importante, y las fórmulas que deben saber manejarse con soltura, pero es interesante tener claras las ideas sobre lo anterior para entender la lógica de estos cálculos. Existen, en este sentido, varias posibles operaciones que podemos tener que realizar: 1. Cálculo del porcentaje de una cifra: La primera opción es tener una cifra y tener que hallar un porcentaje dado sobre ella. En este caso, basta con multiplicar la cifra por el porcentaje de que se trate dividido entre 100. Por ejemplo, tenemos 350 globos y nos piden que calculamos el 20%. Esto se hace multiplicando por 20 y dividiendo después entre 100, pero como 20 entre 100 es igual a 0,2 multiplicamos simplemente: 350*0,2=70. Si nos pidiesen el 32%, por ejemplo, sería 350*0,32=112. ¡ATENCIÓN! Si nos piden un porcentaje inferior a 10, después de la coma hay que darse cuenta de añadir un 0 más. Así, nos piden el 5% de 350, hay que multiplicar 350*0,05=17,5. Si multiplicamos por 0,5, en realidad estaríamos hallando el 50%. Si nos piden un porcentaje con decimales, por ejemplo el 12,5%, simplemente añadimos el decimal o decimales como una cifra más después de las otras: 350*0,125=43,75. Si se trata de cifras con decimales menores que 10, tenemos en cuenta ambas reglas. Por ejemplo, nos piden el 7,5%: 350*0,075=26,25 2. Cálculo de un incremento o reducción porcentual sobre una cifra: En ocasiones, tendremos que calcular un incremento porcentual sobre una cifra dada. Por ejemplo, tenemos 350 globos y compramos un 20% más. Podríamos hacerlo como hemos visto anteriormente, para calcular únicamente el incremento, y después sumarle el total que ya teníamos, pero hay una forma más rápida. Si multiplicamos una cifra por 1, resultará esa misma cifra. Por lo tanto, 350*1=350. Y, como hemos visto antes, si multiplicamos por 0,2 obtenemos el 20%: 350*0,2=70. Por lo tanto, si para obtener el 20% de incremento basta con sumar 350+70, matemáticamente vemos que: 350+70=(350*1)+(350*0,2)=350*1,2. ______________________________________ © Material propiedad del Instituto Europeo, con sede en Rodríguez Arias 23, 6º-18. 48011 Bilbao. Prohibida la utilización del presente material más allá de lo estrictamente necesario para una satisfactoria formación del alumno. Prohibida su alteración, reproducción total o parcial, cesión, comunicación, y/o distribución, gratuita o con fines comerciales o lucrativos.

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Por tanto, si multiplicamos directamente por 1,2 obtenemos con un solo cálculo la cifra incrementada en ese porcentaje. En realidad, es lo mismo que calcular el 120% de la forma que hemos comentado anteriormente, ya que tenemos el 100% anterior más el 20% de incremento. En el caso contrario, que nos pidan calcular una reducción porcentual sobre una cifra dada (por ejemplo si tenemos 350 globos y se nos pierde el 20%), podríamos también calcular el 20% perdido y restarlo del total, pero del mismo modo, existe un método más rápido. Se trata de calcular cuál es el porcentaje restante, restando la parte perdida de 100 (cálculo que normalmente podemos hacer en apenas décimas mentalmente) y calcular ese porcentaje directamente. En este ejemplo, sería 100-20=80; y calculamos directamente el 80% de la cifra inicial: 350*0,8=280. Ese es el porcentaje que queda después de la reducción. 3. Cálculo de una cifra anterior a un incremento porcentual: En algunas ocasiones, nos dan una cifra resultante que se obtiene después de un incremento porcentual determinado. Esto suele ser fuente de errores que se deben a elegir mal cuál es el 100% desde el que se hacen los cálculos. Si hay un incremento de un tanto por ciento sobre una cifra, el 100% es esa cifra inicial, la cifra que se incrementa, y no la cifra resultante. Por ejemplo, tenemos 300 globos después de haber comprado un 20% más de los que teníamos. Para calcular esto, tenemos que tener en cuenta que, siguiendo el cálculo número 2 (que acabamos de ver), hemos multiplicado los que teníamos por 1,2 (120%). Por lo tanto, para hallar los que teníamos antes del incremento tenemos que dividir entre 1,2: 300/1,2=250. ¡ATENCIÓN! Es muy común cometer el error de pensar que lo que teníamos antes del incremento era el 80% (100-20=80). De este modo, como hemos comentado en el encabezado, haremos el cálculo correctamente pero el resultado, seguramente sin que lo notemos, no será el correcto. Así, 300*0,8=240. Para comprobar, vamos a hacer el cálculo al revés. Si teníamos 240 globos y añadimos el 20%, serían 240*0,2=48, es decir, 240+48=298; cuando tendrían que ser 300. El error es precisamente que no hemos situado la referencia correctamente, y eso vicia todos los resultados. El 20% de 100 es, evidentemente, 20, con lo que si reducimos 100 en un 20% obtendremos 80; pero el 20% de 80 no es 20 sino 16, por lo que si incrementamos 80 en un 20% obtenemos 96 y no 100. Entender y aplicar correctamente esto es fundamental.

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4. Cálculo de una cifra anterior a una reducción porcentual: Puede suceder igualmente el caso contrario, tener una cifra resultante que se obtiene después de una reducción de un tanto por ciento. Siguiendo con el ejemplo anterior, nos dicen que tenemos 350 globos después de que se nos haya perdido un 30% del total. Al igual que hemos hecho antes, simplemente se trata de aplicar el cálculo de las reducciones invirtiendo la lógica. Si desde la cifra inicial, para calcular una reducción del 30% multiplicamos por 0,7 (100-30=70; y calculamos directamente el 70%), entonces desde la cifra resultante hacemos lo contrario: dividimos entre 0,7 porque la cifra que tenemos es el 70% de la que teníamos antes de perder los globos: 350/0,7=500. ¡ATENCIÓN! Aquí es muy común que suceda algo parecido a lo que hemos visto en el punto 3, es decir, que pensemos que el 100% es la cifra que queda después de la reducción, y por lo tanto calculemos como si se tratara de un incremento normal. En este ejemplo, obtendríamos, en tal caso, 350*1,3=455. Si hacemos la comprobación que hemos visto en el punto 3, vemos que 455*0,7=318,5; nada que ver con el resultado correcto. Nuevamente, se debe a que no hemos elegido la referencia correctamente, sino que hemos situado el 100% donde no corresponde. En resumen, los cálculos no son complicados, los podremos hacer muy rápidamente con la calculadora, pero lo más importante es, aparte de tener claras las reglas básicas y más rápidas de cálculo, leer y comprender bien la pregunta para aplicar correctamente el cálculo que corresponde y como corresponde.

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