Les matemàtiques de l’Egipte Antic Museu Egipci de Barcelona

Josep Pla i Carrera Facultat de Matemàtiques (UB)

Bibliografia Marshall CLAGETT. Ancient Egyptian Science. A Source Book. Vo- lum tres. Ancient Egyptian Mathematics. American Philosophical Society. Filadèlfia, 1999. Sylvia COUCHOUD. Mathématiques Egyptiennes. Recherches sur les connaissances mathématiques de l’Egypte pharaonique. Édi- tions La Léoporad d’Or. París, 1993. Richard J. GILLINGS. Mathematics in the Time of Pharaohs. Do- ver Publicacions, Inc. Nova York, 1982. Reedició de l’edició del The Massachusetts of Technology. Massachusetts, 1972. Les matemàtiques a l'Egipte antic

Bibliografia Carlos MAZA GÓMEZ. Las Matemáticas en el Antiguo Egipto. Pula Universidad de Sevilla. 2003Papy. Gay blicaciones ROBINS & de Charles SHUTE. The Rhind Sevilla, Mathemtical rus. Dover Publicacions, Inc. Nova York, 1987 Ángel. SÁNCHEZ RODRÍGUEZ. Astronomía y Matemáticas en el Antiguo Egipto. Alderabán Ediciones S. L. Madrid, 2000.

Les matemàtiques a l'Egipte antic

Índex temàtic Els papirs matemàtics de l’Egipte antic Els numerals enters i els nombres fraccionaris Les mesures de l’Egipte antic L’aritmètica de les quatre operacions elementals Els problemes aritmètics dels papirs matemàtics Els problemes geomètrics dels papirs matemàtics

Segon dia de viatge

Els papirs matemàtics més notables de l’Egipte antic

Les matemàtiques a l'Egipte antic

1. Els papirs matemàtics jeroglífics mé s notables de l’Egipte antic

Les matemàtiques a l'Egipte antic

1.2. El papir matemàtic de Moscú

Les matemàtiques a l'Egipte antic

Papir de Moscú 1 Sembla que fou escrit a durant la dinastia tercera (~1783 aC- 1640 aC), però es creu que és una còpia, feta per un escriba força mediocre, d’un altre papir anterior, que data de l’època en què fou copiat, per Ahmés, el papir Rhind. Té 8cm x 5,50m (molt estret: la quarta part d’un papir normal). Fou comprat per V. S Golenischeff a Tebes en 1893 a un membre de la família Abd al Rassoul, que afirmava haver-lo trobat a la necròpoli de Dra Abou’l Nagga (Deir el Bahari), un lloc que mantenien en secret.

Les matemàtiques a l'Egipte antic

Papir de Moscú 2 Des del 1912 està enregistrat amb el número 4676 al Museu de Belles Arts de Moscú (museu Puschkin), on el cedí Golenischeff “amb tota la col·lecció, a canvi d’una renta que el Govern rus es comprometé a pagar-li mentre visqués”. Amb la Revolució russa de 1917, però, la renta es deixà de pagar. Conté 25 problemes de la vida pràctica molt semblants als del papir Rhind, però està molt més deteriorat i algunes de les seves parts són totalment il·legibles. L’edició més completa és la que féu W. W. Struve en 1930. Aquesta edició és la qua ha fet servir Clagett en l’obra que nosaltres fem servir com a obra base d’aquesta exposició succinta . ès més notable el proporcionen el problemes 14, molt L’inter clar, i el problema 10, que és fruit de controvèrsia pel seu mal estat. Les matemàtiques a l'Egipte antic

Papir de Moscú (Índex)      

  



Problemes 1 i 2: Problemes deteriorats. 3, 11, 12, 18 i 23: poc clars . Problemes 4, 7 i 17: àrea del triangle. Problemes 5, 8, 9, 13, 15, 16, 22 i 24: pesu de cervesa i pans . Problemes 6: àrea del rectangle . 10: àrea d’una superfície curvada (semiesfera Problemes o cilindre?). Problema 14: volum del tronc de piràmide. Problemes 19 i 25: problemes de tipus aha . Problemes 20: pesu de 1000 pans, amb les fraccions de l’ull d’Horus. Problema 21: un càlcul. Les matemàtiques a l'Egipte antic

Reproducció del problema 14

El problema 14 del papir de Moscú, en hieràtic original i traduït a jeroglífic Les matemàtiques a l'Egipte antic

Papir de Berlín 6619 (C2) Aquest fragment fou publicat l’any 1900 per Schackenhurg. És de procedència desconeguda, però és de la mateixa època dels dos precedents—segona meitat de la dinastia 12. Dels quatre problemes que conté solament dos són comprensibles. Ambdós menen a un sistema de dues equacions amb dues incògnites, l’una de primer grau, i l’altra, de segon. Li cal, doncs, recorre a l’extracció d’arrels quadrades. quadrades

Les matemàtiques a l'Egipte antic

Un tros del papir de Berlín

Fragment matemàtic del papir de Berlín en hieràtic

Traducció del fragment anterior en jeroglífic

Les matemàtiques a l'Egipte antic

Els numerals egipcis

Les matemàtiques a l'Egipte antic

3. Les fraccions egípcies en jeroglífic i hieràtic

Les matemàtiques a l'Egipte antic

Les fraccions unitàries Una de les conquestes matemàtiques més rellevants de la matemàtica egípcia és l’invenció i l’ús de les fraccions. Sense exegerar podem dir que l’aritmètica dels papirs més famosos—papir Rhind, de Moscú, Akhmín, etc.—és, de fet, l’aprenentatge del maneig matemàtic de les fraccions. Aquest aprenentatge, naturalment, s’aplica als càlculs associats a les figures geomètriques planes i sòlides, com ara longituds, àrees, volums, capacitats, pendents, etc. El fet més notable és que solament acceptaven fraccions unitàries; és a dir, fraccions amb numerador 1, com ara 1/3, 1/27, amb l’única excepció dels 2/3. Les matemàtiques a l'Egipte antic

Les fraccions unitàries en jeroglífic Naturalment, per a cada una d’aquestes fraccions, disposa-ven d’un nom en jeroglífic. En el cas de l’escriptura en jeroglífic era ro , dessota del qual hom col·loca el nom del numeral del denominador. Com sempre, el 2/3 és una execepció. Per exemple,

Les matemàtiques a l'Egipte antic

Les fraccions unitàries en hieràtic Naturalment, per a cada una disposaven d’un nom en hieràtic.

d’aquestes

fraccions,

Així en el papir Rhind les fraccions, en hieràtic, es represen-ten amb el símbols:

2/3

1/6

1/2

1/7

1/3

1/8

1/4

1/9

Les matemàtiques a l'Egipte antic

1/5

1/10

L’ull d’Horus Aquest caràcter unitari de les fraccions el trobem expressat en l’ull d’Horus.

No solament explica, segons hem vist en el Llibre dels morts, el naixement del sistema decimal sinò que, a més conté, les fraccions 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 i 1/64. La importància d’aquestes fraccions la veurem quan parlem de la divisió. Les matemàtiques a l'Egipte antic

L’ull d’Horus De fet, l’ull d’Horus que,

es compon de sis elements

junts, constitueixen l’ull complet. Són el blanc de l’esquerra (1/2), l’iris (1/4), la cella (1/8), el blanc de la dreta (1/16), el signe del faraó (1/32), i la llàgrima (1/64). 1/2

1/4

1/8

1/16

1/32

1/64

L’ull d’Horus i les fraccions unitàries del tipus 1/2n, n = 1, 2, 3, 4, 5 i 6: Les matemàtiques a l'Egipte antic

El dos ulls d’Horus A vegades els dos ulls d’Horus s’identifiquen amb les dues successions 2, 4, 8, 16, 32, i 64 (l’esquerra) i 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 i 1/64 (el dret), com indica la figura següent:

El dos ulls successions:

d’Horus

amb

2n i 1/2n, amb n = 1, 2, 3, 4, 5 i 6.

Les matemàtiques a l'Egipte antic

les

dues

4. Fraccions unitàries

Les matemàtiques a l'Egipte antic

Les fraccions en general Ara es planteja un problema realment delicat i que constitueix una de les parts més interessants i originals de l’aritmètica egípcia:

Com s’expressen les fraccions generals, com a 2/7, 2/101, 100/7, 1001/1003, etc. si només disposem de les fraccions unitàries i excloem la suma iterada de fraccions del mateix denominador? Aquesta pregunta és la que pretén de respondre les famoses taules de fraccions del tipus 2/n, com la que trobem al recto del papir Rhind, que dóna totes les expressions de les fraccions 2/n, amb n senar, 3 ≤ n ≤ 101, com a suma de fraccions unitàries. Les matemàtiques a l'Egipte antic

La taula de les fraccions 2/n 2/n 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21

=

1/p

1/q

2 3 4 6 6 8 10 12 12 14

6 15 28 18 66 52 30 51 76 42

Les matemàtiques a l'Egipte antic

1/r

104 68 114

1/s

La taula de les fraccions 2/ n 2/n = 1/p 1/q 1/r 1/s 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41

12 15 18 24 20 22 30 24 26 24

276 75 54 58 124 66 42 111 78 246

Les matemàtiques a l'Egipte antic

174 155

296 328

232

La taula de les fraccions 2/ n 2/n = 1/p 1/q 1/r 1/s 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61

42 30 30 28 34 30 30 38 36 40

86 60 141 196 102 318 330 114 236 244

Les matemàtiques a l'Egipte antic

129

301

470

795

531 488

610

La taula de les fraccions 2/ n 2/n = 1/p 1/q 1/r 1/s 63 65 67 69 71 73 75 77 79 81

42 39 40 46 40 60 50 44 60 54

126 195 355 138 568 219 150 308 219 162

Les matemàtiques a l'Egipte antic

536 710 292

365

292

365

La taula de les fraccions 2/ n 2/n = 1/p 1/q 1/r 1/s 83 85 87 89 91 93 95 97 99 101

60 51 58 60 70 62 60 56 66 101

332 255 174 356 130 186 380 679 198 202

Les matemàtiques a l'Egipte antic

415

498

534

890

570 776 303

606

Les mesures a l’Egipte antic

Les matemàtiques a l'Egipte antic

2. Les mesures de superfície

Les matemàtiques a l'Egipte antic

Un papir de l’Imperi Nou Els papirs de l’Imperi Nou mostren, en molts casos, relacions de terres d’un determinat domini funerari, tot especificant-ne la superfície, amb la finalitat d’efectuar un cens i determinar les tases que cal entregar al temple. El papir del Louvre AF6345 relaciona terres del temple Menkheperoure-Chepsy, pertanyents al domini d’Amon, durant la dinastia XXI (1075-945): Parcela de terra alta situada a l’oest de SegerAruras: 1/2 1/4 chang . de terra alta situada l’oest del temple d’Horus, senyor de Medjaiou. Parcela Aruras: 15. Parcela de terra de la riba, situada al nordest d’aquest indret.

Les matemàtiques a l'Egipte antic

Aruras: 5.

Mesures de superf í cies les superfícies en

L’expressió de arures és d’influència grega. Substituí la l’egípcia genuïna o tradicional, el setat o setjat . En el problema 50 del papir Rhind la superfície d’un camp circular es fa calculant la superfície d’un quadrat de 8 kehts de costat, i s’obtenen 64 setats. És a dir:

1 setat = 100 colzes x 100 colzes = 52,3 m x 52,3 m = 1 khet 2735 m2 = 0,275 Ha

1 khet

1 setat = 1 khet x 1 khet = 100 colzes x 100 colzes = (100 colzes)2. La unitat de mesura egípcia és el setat o setjat = (100 colzes)2. Les matemàtiques a l'Egipte antic

Mesures de superfície Amb aquesta unitat, massa gran per a sacerdots, soldats i pagesos, que usaven mesures que eren, de fet, submúltiples:

remen: 1/2 de setat hebes: 1/4 de setat sa: 1/8 del setat Les mesures del papir del Louvre AF6345, abans esmentat, són doncs:

1 setat = (1 colze)2 = (52,3 m )2 = 2735 m2 = 0,2735 Ha 1 khet

Arures: 1/2 i 1/4 setats ≈ 2050 m2 = (45,25 m)2. Arures: 15 setats ≈ 41.025 m2 = (202,45 m)2. Arures: 5 setats ≈ 13.675 m2 = (117 m)2. Un múltiple també usat és el que val 100 setats: Les matemàtiques a l'Egipte antic .

1 khet

Mesures de superfície Aquestes mesures són les que es fan servir en els papirs matemàtics més corrents quan es fan càlculs de les superfícies d’un camp, de la base d’un cilindre, etc. Per exemple en els problemes 38 al 55 del papir Rhind. En els problemes 53, 54 i 55 apareix una altra unitat de mesura d’àrees: el colze de terra, amb l’equivalència següent: 3/5 de setat = (1/2+1/10) de setat = 1/2 de setat + 10 colzes de terra. D’on: 1 colze de terra = 1/100 de setat = 100 (colzes reials)2 = 27,35 m2. Equival a la superfície d’un rectangle d’1khet per 1colze. Les matemàtiques a l'Egipte antic

L’aritmètica dels papirs matemàtics

Les matemàtiques a l'Egipte antic

1. L’aritmètica dels papirs matemàtics amb enters

Les matemàtiques a l'Egipte antic

1.3. La divisió entera

Les matemàtiques a l'Egipte antic

1.3.1. La divisió entera exacta

Les matemàtiques a l'Egipte antic

La divisió exacta d’enters Atès que dividir no és res més que fer la multiplicació l’inrevés, no sembla que hi hagi d’haver problemes a l’hora de dividir, si la divisió és exacta. Si volem dividir 1120 entre 80 com fa al problema 69 del papir Rhind. 1 102 4 ---14

800 80 ✔ 160 320 ✔ ------1120

Papir Rhind, problema 69

Les matemàtiques a l'Egipte antic

1.3.2. La divisió entera inexacta amb romanent

Les matemàtiques a l'Egipte antic

La divisió d’enters Hi ha casos, però, en els quals la divisió no és exacta. Això no té cap mena de problema, si s’accepten residus o romanents. En el problema 70 del papir Rhind dividim 2520 entre 100. S’obté: 1 10 20 5 ---25

100 1000 200 ✔ 50 0 ✔ ------0 2500

Papir Rhind, problema 70

I el residu és de 20 unitats

Les matemàtiques a l'Egipte antic

1.3.3. La divisió entera inexacta sense romanent

Les matemàtiques a l'Egipte antic

La divisió d’enters sense residu A l’escriba, però, no li agrada que quedi un romanent. Per evitar-ho introduiex una de les troballes més notables de l’aritmètica egípcia: les fraccions, però unitàries. En el problema 70, per dividir 2520 entre 100, fa el següent: 1 10 20 5 1/5 -----------25 1/5

100 1000 200 ✔ 50 0 ✔ ✔ 20 0 ------2520

Papir Rhind, problema 70 Les matemàtiques a l'Egipte antic

1.3.3’. La divisió entera inexacta sense romanent quan es complica

Les matemàtiques a l'Egipte antic

Comença un fet notable Imaginem que compliquem la divisió del problema anterior, i volem dividir 2503 entre 100, 2507 entre 100, 2509 entre 100. Hem de multiplicar 100 per un nombre que doni 3, 7 o 9. Per nosaltres és ben fàcil, multiplicaríem per 3/100, per 7/100, per 9/100. Ara bé, els matemàtics–o els ecribes, si ho preferiu–només acceptaven fraccions de numerador unitat. És a dir, nombres fraccionaris de la forma 1/n, on n és un nombre enter positiu.

Les matemàtiques a l'Egipte antic

Comença un fet notable Per això els calia la taula que expressa els fraccionaris de la forma 2/n, com una suma de fraccions unitàries i, per això, com ja hem vist abans, el recto del papir Rhind, entre d’altres trossos d’altres papirs, ofereix la taula corresponent. No s’accepta el cas simple 2/n = 1/n + 1/n. Les fraccions unitàries han de tenir denominadors diferents.

Una curiosa. Per tant,

nota 2 = 1+ 1/2 + 1/3 + 1/6.

2/n = 1/n + 1/2n + 1/3n + 1/6n, d’on, per exemple, 2/101 = 1/101 + 1/202 + 1/303 + 1/606. Les matemàtiques a l'Egipte antic

Comença un fet notable Comencem pensant-no en termes que en siguin familiars. El nombre El nombre 3/100 = 2/100 + 1/100 = 1/50 i 1/100. Per tant, 1 100 10 1000 20 200 ✔ 50 0✔ 5 1/50 2 0✔ 1/100 1✔ -----------------------------25 1/50 1/100 2503

7/100 = 4/100 + 3/100 = 1/25 i 1/50 i 1/100. Per tant, 100 1 1000 10 200 ✔ 20 50 0 ✔ 5 40 ✔ 1/25 2 ✔ 1/50 1 ✔ 1/100 ----------------------------- ------25 1/25 1/50 1/100 2507

Les matemàtiques a l'Egipte antic

Comença un fet notable Ara volem dividir 2509 entre 100. El nombre 9/100 = 4/100 + 4/100 + 1/100 = 2/25 + 1/100. Hen de recórrer a la taula de les fraccions del tipus 2/n, quan n val 25. Tenim que 2/25 = 1/15 + 1/75. Per tant, el nombre 1 100 10 1000 20 200 ✔ 9/100 = 5 50 ✔ 0 = 2/25 + 1/100 = 1/15 06 2/3 ✔ = 2/25 + 1/75 + 1/100. 1 1/3 ✔ 1/75 ✔ 1/100 1 ----------------------------- ---------------25 1/15 1/75 1/100 2509 Les matemàtiques a l'Egipte antic

Comença un fet notable Ara volem dividir 2529 entre 100. El nombre 29/100 = 20/100 + 9/100 = 1/5 + 9/100. Hen de recórrer a la taula de les fraccions del tipus 2/n, quan n val 25. Tenim que 2/25 = 1/15 + 1/75. Per tant, el nombre el 9/100 s’expressa:

1 10 20 5

100 1000 200 ✔ 50 ✔ 0 9/100 = 1/5 20 ✔ 0 = 20/100 + 9/100 = 1/15 6 2/3 ✔ = 1/5 + 1/15 + 1/75 1 1/3 ✔ + 1/75 + 1/100. ✔ 1/100 1 --------------------------------- ---------------25 1/5 1/15 1/75 1/100

Les matemàtiques a l'Egipte antic

2529