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Matemática – 2° año

Trabajo Práctico N° 2: Geometría del triángulo Problema 1: a. ¿Qué puedes decir sobre los ángulos interiores de un triángulo rectángulo? ¿Cuánto miden? b. ¿Qué puedes decir sobre los ángulos interiores de un triángulo isósceles? ¿Puedes conocer sus amplitudes, sin saber a qué triángulo nos referimos? c. ¿Qué puedes decir de los ángulos interiores de un triángulo escaleno? d. En un triángulo obtusángulo, ¿cómo son los ángulos no obtusos? e. En un triángulo rectángulo, ¿cuánto mide la suma de los ángulos no rectos? Problema 2: Utilizando papel de colores realiza la siguiente actividad: 

Recorta un triángulo rectángulo, uno obtusángulo y uno acutángulo (los tres de distintos colores), y ponle nombres a los ángulos interiores de cada uno de ellos.



Recorta los ángulos interiores del triángulo acutángulo, y pégalos en tu cuaderno, de forma que cada ángulo quede adyacente al otro.



¿Qué ocurre con los tres ángulos?



Realiza el mismo procedimiento para los triángulos rectángulo y obtusángulo, y escribe una conclusión general sobre la suma de los ángulos interiores de un triángulo.

Problema 3: Construye triángulos con los siguientes datos, y escribe el programa de construcción de cada uno. En caso de no ser posible construir alguno, intenta explicar por qué. a. Un triángulo ABC, con AB = 6 cm, BC = 3 cm y AC = 4 cm. b. Un triángulo DEF, con DE = 6 cm, EF = 4 cm y DF = 2 cm. c. Un triángulo GHI, con GH = 6 cm, HI = 2 cm y GI = 3 cm. Problema 4: Paula lee la revista “Super Matemática”, en la que se publican acertijos y curiosidades matemáticas. En el último número publicaron un concurso de construcciones geométricas, y el lector que envíe la construcción propuesta recibirá un importante premio. Las consignas del juego son las siguientes:

a. Construye un triángulo que cumpla con las condiciones indicadas: Tiene un lado de 5 cm, un ángulo de 120º y, opuesto a ese ángulo, un lado de 4 cm.

Prof. Andrea Rajchman

Intenta realizar la construcción que permite

ganar el premio. b. Paula envió una nota a la revista asegurando que con las medidas que publicaron no se puede construir ningún triángulo. ¿Tiene razón? ¿Por qué?

Trabajo Práctico Nº 2

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Problema 5: Utilizando únicamente regla, compás y semicírculo, construye los triángulos pedidos a continuación, y escribe su programa de construcción. Luego, analiza cuántos triángulos distintos pudiste construir en cada caso: a. MNP, con MN = 4 cm, MP = 6 cm y PN = 5 cm. b. QRS, con QR = 4 cm, RS = 5 cm, y Rˆ = 100º. c. TUV, con TU = 5 cm, Uˆ = 80º y Tˆ = 40º. d. WXY, con WX = XY, Xˆ = 80º. e. FGH, con FG = 4 cm, GH = 2 cm, Fˆ = 60º. f.

IJK, con Iˆ = 50º, Jˆ = 70º, Kˆ = 60º.

Problema 6: Utilizando el Geogebra, construye un triángulo equiláteros sabiendo que uno de sus lados mide 5 cm. Registra en tu cuaderno las herramientas utilizadas. Problema 7: Si se sabe que el lado distinto de un triángulo isósceles no equilátero mide 5 cm, y los lados iguales miden 9 cm, ¿cuántos triángulos se pueden construir? ¿Por qué? Realiza la construcción en geogebra y comprueba tus suposiciones. Problema 8: Utilizando el Geogebra, construye un triángulo rectángulo donde un cateto mida 5 cm y el ángulo que forma ese cateto con la hipotenusa mida 50º. ¿Cuántos triángulos se pueden construir? ¿Por qué? Problema 9: Andrés y Blanca son vecinos y viven a 80 metros de distancia, aunque entre sus casas hay un pantano. Quieren instalar un pozo de agua que esté a igual distancia de la casa de los dos. a. Realiza un esquema a escala de la situación (10 metros = 1 cm), e indica posibles ubicaciones del pozo. ¿Hay una única posibilidad? b. Al pueblo se muda Carlos, un nuevo vecino, que vive a 70 metros de lo de Andrés y a 60 metros de lo de Blanca. Si el pozo también debe estar a igual distancia de su casa que de la de Andrés y Blanca, ¿dónde debe estar ubicado el pozo? ¿Es única la respuesta? Problema 10: Carla faltó a clases, y llamo a Ariel para pedirle lo que habían hecho en Matemática. Entre las actividades que habían realizado, Ariel le dijo que habían trazado la bisectriz de un ángulo, y que la profesora había explicado que todos los puntos sobre la bisectriz cumplen una propiedad especial, aunque él no la recordaba. Revisa el trazado de la bisectriz de un ángulo, e intenta explicar qué propiedad cumplen todos los puntos que se encuentran sobre ella. (Sugerencia: considera la distancia de los puntos hasta los lados del ángulo).

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Problema 11: La profesora de expresión plástica de un colegio propuso construir un móvil como el de la figura. El triángulo mayor tiene los lados de 8 cm, 10 cm y 12 cm, y los más chicos, de 4 cm, 5 cm y 6 cm. El problema planteado por la profesora es dónde hacer la perforación para que los triángulos queden equilibrados. Los chicos propusieron las siguientes soluciones: 

Juan: “El punto debe estar a la misma distancia de los tres vértices”.



Nadia: “No, el punto debe estar a la misma distancia de los tres lados”.



Marcelo: “No, el punto es la intersección de las tres alturas del triángulo”.



Ana: “Están equivocados. Hay que unir los puntos medios de cada lado con el vértice opuesto. El punto para colgarlo es la intersección de los tres segmentos”.

a. Recorta triángulos en cartulina con las medidas de los triángulos chicos, y hallen los puntos que indican Juan, Nadia, Marcelo y Ana. b. Comprueben, recortando y colgando de un hilo los triángulos, cuál de los chicos tiene razón. Problema 12: Utilizando el Geogebra, construye un triángulo a partir de los siguientes datos: a. Triángulo ABC, con el lado AB = 6 cm y hc = 3 cm (la altura correspondiente al vértice C). ¿Es única la solución? b. Triángulo MNP, con el lado MN = 4 cm, hP = 5 cm, y MP = 7 cm. ¿Hay una única construcción posible? Problema 13: a. ¿Bajo qué condiciones en el problema anterior, en la parte b) es posible construir un único triángulo? Compruébalo con el Geogebra. b. ¿Qué dato habría que modificar para que no se pueda construir ningún triángulo? Compruébalo con el Geogebra.

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Ejercicios 1. En el siguiente triángulo ABC, calcula la amplitud de los ángulos interiores A, B y C.

2.

El DEF es rectángulo en E. Sabiendo que el ángulo exterior a F es 132º, calcula la amplitud de los ángulos interiores D y F.

3. En un triángulo isósceles, el ángulo distinto tiene una amplitud de 46º. Calcula la amplitud de los otros ángulos interiores. (Sugerencia: realiza una figura de análisis). 4. En un triángulo isósceles, uno de los ángulos iguales tiene una amplitud de 53º. Calcula la amplitud de los otros dos ángulos. 5. El triángulo GHI es isósceles. Calcula la amplitud de sus ángulos interiores, sabiendo que el exterior a I es 102º.

6. En un triángulo rectángulo, uno de los ángulos agudos es 2/5 de 90º. ¿Cuál es la amplitud del otro ángulo agudo? 7. Una persona coloca un aviso en el diario: “Vendo terreno de forma triangular de dimensiones 300, 180 y 120 metros”. Nadie llama para comprarlo, ¿puedes explicar por qué? 8. Construye los triángulos del problema 5 utilizando Geogebra, y verifica la unicidad o no de las construcciones.

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9. ¿Cuáles de los siguientes triángulos son congruentes entre sí? Justifica tu respuesta utilizando los criterios de congruencia.

10. ¿Es cierto que todos los triángulos equiláteros son congruentes entre sí? Justifica tu respuesta 11. ¿Es cierto que si dos triángulos rectángulos tienen los dos catetos congruentes entonces son congruentes? ¿Por qué? 12. ¿Es cierto que una de las diagonales de un paralelogramo lo divide en dos triángulos congruentes? Justifica tu respuesta. (Sugerencia: construye una figura de análisis, recuerda la definición de paralelogramo, y utiliza los criterios de congruencia). 13. ¿Es cierto que en un paralelogramo los ángulos opuestos son iguales? Justifica tu respuesta. 14. a. Construye un triángulo RST cualquiera, y encuentra su circuncentro O. b. Traza la circunferencia de centro O y radio OR. ¿Qué puedes decir sobre esta circunferencia? 15. Construye una circunferencia que pase por los puntos A, B y C.

x x

A

B x

C

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16. Encuentra el centro de la siguiente circunferencia, utilizando únicamente el compás. ¿Cómo puedes hacerlo?

17. Traza un triángulo ABC, y hállale su baricentro G. Luego, comprueba que la distancia entre el baricentro y cada vértice del triángulo es igual a 2/3 de la medida de la mediana que tiene ese vértice como extremo. Es decir, verifica que:

AG 2 BG 2 CG 2  ,  ,  m A 3 m B 3 mC 3

18. Construye un triángulo que sea a la vez escaleno y obtusángulo. Halla sus cuatro puntos notables. 19. Construye un triángulo equilátero e investiga la ubicación de sus puntos notables. 20. Construye un triángulo rectángulo y halla el circuncentro O. ¿Qué características tiene el punto O? 21. Utilizando el Geogebra, construye un triángulo isósceles no equilátero, sabiendo que el lado desigual mide 5 cm. y su altura mide 2 cm. ¿Cuántos triángulos diferentes se pueden construir? 22. Utilizando el Geogebra, construye un triángulo ABC que tenga AB = 6 cm, AC = 7 cm y mA = 5 cm (la mediana respecto al vértice A).

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