Semana 7 - Clase 21

Tema 3: Transformadas de Laplace

Transformadas de Laplace 1.

Definiciones para Comenzar En general vamos a definir una transformaci´on integral, F (s) , de una funci´on, f (t) como Z

b

K (s, t) f (t)dt = T {f (t)}

F (s) =

(1)

a

donde K (s, t) es una funci´ on conocida de s y t, denominada el n´ ucleo de la transformaci´on. Si a y b son finitos la transformaci´ on se dir´ a finita, de lo contrario infinita. Dependiendo de la selecci´ on del n´ ucleo y los limites tendremos distintas transformaciones integrales. En F´ısica las m´as comunes son: Nombre F (s) = T {f (t)} f (t) = T−1 {F (s)} Laplace

R∞

F (s) =

0

∞

Z Fourier de senos y cosenos

sen(st) f (t)dt cos(st)

F (s) = 0

Z Fourier compleja

e−st f (t)dt

f (t) =

2 π

ei

st f (t)dt

f (t) =

Hankel

∞

F (s) =

tJn (st)f (t)dt

∞

e−i

st F (s)ds

−∞ ∞

Z f (t) =

0

sJn (ts)F (s)ds 0

Z Mellin

Z

2 π

est F (s)ds

sen(ts) F (s)ds cos(ts)

0

−∞

Z

γ−i∞

∞

Z

∞

F (s) =

R γ+i∞

1 2πi

f (t) =

F (s) =

∞

ts−1 f (t)dt

0

f (t) =

1 2πi

R γ+i∞ γ−i∞

s−t F (s)ds

La idea detr´ as de la utilidad de las transformaciones integrales puede resumirse en el siguiente esquema EDO para f (t)

transformaci´on directa −→ F (s) = T {f (t)}

↓ soluci´ on directa dif´ıcil ↓ se encuentra f (t)

←− transformaci´on inversa f (t) = T−1 {F (s)}

H´ector Hern´ andez / Luis N´ un ˜ez

1

relaci´on para F (s) eventualmente m´as f´acil ↓ soluci´on para F (s) m´as f´acil ↓ se encuentra F (s)

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2.

Tema 3: Transformadas de Laplace

Tranformada de Laplace En nuestro caso ilustraremos el uso de transformaciones integrales con la transformada de Laplace, que denotaremos de manera simb´olica como F (s) = L {f (t)} .La siguiente tabla resume las transformaciones de algunas funciones. f (t) = L−1 {F (s)} ←→

1 ea

t

cos (at)

←→

s2

s , + a2

s>0

p > −1

←→

Γ (p + 1) , sp+1

←→

   sen (bt)  cos (bt)

t

s>0

n! , sn+1

cosh at

tn ea

a , + a2

←→

←→

n∈ℵ

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←→



s>a

s2

n>0

sen hat



1 , s−a

←→ ←→

tp

ea

t

sen (at)

tn

F (s) = L {f (t)} 1 , s>0 s

s>0 s>0

s2

a , − a2

s > kak

s2

s , − a2

s > kak

 a   2   (s − a) + b2

    

s−a (s − a)2 + b2

   

   

n! , (s − a)n+1

←→

2

s > kak

s>a

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uc (t)

f (t) = L−1 {F (s)}  t0

e−c s

←→

t≥c

t

s>0

uc (t) f (t − c)

←→

e−c t F (s)

ec t f (t)

←→

F (s − c)

f (c t)

←→

f (t − τ ) g (τ ) dτ

1 cF

←→

s c




,

c>0

F (s) G (s) e−c

s

δ (t − c)

←→

f (n) (t)

←→

sn F (s) − sn−1 f (0) − · · · − f (n−1) (0)

(−t)n f (t)

←→

F (n) (s)

Ejemplos Sencillos

Como un ejemplo de lo anterior, encontraremos la soluci´on a las siguientes ecuaciones diferenciales 1. Ecuaci´ on diferencial inhomog´enea, continua, con valores iniciales   y(0) = 0 y 00 + y = sen 2t con  0 y (0) = 1  L y 00 + y = L {sen 2t} Y (s) =

s2 Y (s) − sy (0) − y 0 (0) + Y (s) =

⇒

5 2 s2 + 6 as + b cs + d 3 3 = + = − (s2 + 1) (s2 + 4) s2 + 1 s2 + 4 s2 + 1 s2 + 4

mediante la transformada inversa en cada t´ermino  n 5 o L−1 s23+1 = 53 sen t    L−1

n

2 3

s2 +4

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o

  = 13 sen 2t 

3

5 1 ⇒ y (t) = sen t − sen 2t 3 3

(2) 2 s2 + 4

(3) (4)

(5)

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Tema 3: Transformadas de Laplace

2. Ecuaci´ on diferencial, con valores iniciales, inhomog´enea a una funci´on escal´on:   π ≤ t ≤ 2π  y(0) = 1  1 00 con y + 4y = h (t) =  0  y (0) = 0 0 0≤t≤π t 1 2π y 00 + y = h (t) = uπ (t) − u2π (t)

 ⇒ L y 00 + 4y = L {uπ (t) − u2π (t)}


e−πs e−2πs ⇒ s2 + 4 Y (s) − sy (0) − y 0 (0) = − s s Y (s) =

(6)

(7) (8)

s e−πs e−2πs + − s2 + 4 s (s2 + 4) s (s2 + 4)

(9)

mediante la transformada inversa L

L

−1



e−πs s (s2 + 4)

−1



s s2 + 4

 = cos 2t

(10)



−1

= uπ (t) g (t − π)

con g (τ ) = L



1 2 s (s + 4)



por lo tanto        e−πs 1 s 1 −1 −1 1 L = uπ (t) L − = uπ (t) (1 − cos 2 (t − π)) s (s2 + 4) 4 s s2 + 4 4

(11)

(12)

del mismo modo L

−1



e−2πs s (s2 + 4)





 1 = u2π (t) (1 − cos 2 (t − 2π)) 4

recordemos que hemos definido la funci´on escal´on como  t0  1 t≥c

(13)

(14)

y finalmente la soluci´ on ser´ a    1 1 y (t) = cos 2t + uπ (t) (1 − cos 2 (t − π)) − u2π (t) (1 − cos 2 (t − 2π)) 4 4 

(15)

3. Ecuaci´ on diferencial, con valores iniciales, inhomog´enea a una funci´on impulso (delta de Dirac)   y(0) = 0 y 00 + 2y 0 + 2y = δ (t − π) con (16)  0 y (0) = 0 H´ector Hern´ andez / Luis N´ un ˜ez

4

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donde la funci´ on (distribuci´ on) delta de Dirac viene definida por Z ∞ dτ δ (τ − τ0 ) = 1 δ (t − t0 ) = 0 con t 6= t0 y

(17)

−∞

con la u ´til propiedad de

∞

Z

dτ δ (τ − τ0 ) f (τ ) = f (τ0 )

(18)

−∞

En una de las tablas anteriores hemos mostrado la transformada de Laplace de la funci´ on (distribuci´ on) Delta de Dirac: L {δ (t − c)} = e−c s por lo tanto  y 00 + 2y 0 + 2y = δ (t − π) ⇒ L y 00 + 2y 0 + 2y = L {δ (t − π)} (19)
s2 + 2s + 2 Y (s) = e−π

s

⇒ Y (s) =

e−π s 1 = e−π s 2 (s + 2s + 2) (s + 1)2 + 1

(20)

por lo tanto  y (t) = L−1 e−π o tambi´en y (t) =

s

1 (s + 1)2 + 1

h i = uπ (t) e−(t−π) sen (t − π)

  0 

4.



(21)

t a > 0 Entonces H(s) = F (s)G(s) = L {h(t)}

para s > a

donde −1

h(t) = L

Z

t

Z f (t − τ ) g(τ ) dτ =

(F (s)G(s)) = 0

t

f (τ ) g(t − τ ) dτ = (f ∗ g) (t) 0

y h(t) se indentifica como la convoluci´on de f y g. Las integrales arriba expuestas se conocen con integrales de convoluci´ on y hemos denotado h(t) = (f ∗ g) (t) para insistir que se trata de un H´ector Hern´ andez / Luis N´ un ˜ez

5

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Tema 3: Transformadas de Laplace

“producto generalizado” de funciones f y g. que comparte, con el producto ordinario de funciones, las siguientes propiedades f ∗g =g∗f

(conmutatividad)

f ∗ [g + k] = f ∗ g + f ∗ k

(distributividad)

f ∗ [g ∗ k] = [f ∗ g] ∗ k

(asociatividad)

f ∗0=0∗f =0 sin embargo f ∗ 1 6= f tal y como se puede apreciar de Z t Z t (f ∗ 1) (t) = f (t − τ ) 1 dτ = f (t − τ ) dτ 6= f (t) 0

0

en el caso particular de que f (t) = cos (t) tendremos Z t (cos ∗1) (t) = cos(t − τ ) 1 dτ = sen (t − τ )|ττ =t =0 = sen (0) − sen (t) = −sen (t) 0

y por la misma raz´ on, no hay garant´ıa que (f ∗ f ) (t) > 0 ∀ f 6= 0 El ejemplo m´ as emblem´ atico de la aplicaci´on del Teorema de Convoluci´on es el estudio del oscilador amortiguado y forzado, el cual viene descrito por la ecuaci´on diferencial   x0 = x(0) dx x ¨ + 2λ x˙ + ω02 x = f (t) con x˙ = (23)  dt dx x˙ 0 = dt t=0 la transformada de Laplace nos lleva a s2 X(s) − sx0 − x˙ 0 + 2λ sX(s) − 2λ x0 + ω02 X(s) = F (s) resolviendo

(24)

2λ x0 + x˙ 0 + sx0 F (s) + 2 2 2 s + 2λs + ω0 s + 2λs + ω02

(25)

2λ x0 + x˙ 0 + sx0 x0 (s + λ) x˙ 0 + x0 λ =
+
2 2 2 s2 + 2λs + ω02 (s + λ) + ω0 − λ (s + λ)2 + ω02 − λ2

(26)

X(s) = el primer sumando queda como X1 (s) =

y por lo tanto devolviendo el cambio x1 (t) = x0 e

−λt

x˙ 0 + λx0 cos ωt + sen ωt ω X2 (s) =

H´ector Hern´ andez / Luis N´ un ˜ez

F (s) s2 + 2λs + ω02 6

con

q ω = ω02 − λ2

(27) (28)

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Tema 3: Transformadas de Laplace

y por el teorema de convoluci´ on Z x2 (t) = 0

t

1 −λ(t−τ ) e sen ω (t − τ ) f (t) dτ ω

(29)

y por lo tanto la soluci´ on general ser´ a −λt

x (t) = x0 e

x˙ 0 + λx0 sen ωt + cos ωt + ω

H´ector Hern´ andez / Luis N´ un ˜ez

7

Z 0

t

1 −λ(t−τ ) e sen ω (t − τ ) f (t) dτ ω

(30)

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