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Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
UNIVERSIDAD DE ALICANTE FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y .EMPRESARIALES
TRES ENSAYOS SOBRE LA TEORIA DEL ARREPENTIMIENTO: APLICACION A LAS DECISIONES DE SEGURO .
~ï~m~ú~~w1111111111x1111
Memoria presentada por RAMON J. SIRVENT BOIX para optar al grado de Doctor en Ciencias Económicas .
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
qqC H~J~ s!liAUU
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
D` CARMEN HERRERO BLANCO, CATEDRATICA DEL DEPARTAMENTO DE FUNDAMENTOS DEL ANALISIS ECONOMICO DE LA UNIVERSIDAD DE ALICANTE,
CERTIFICA :
Que la presente memoria "TRES ENSAYOS SOBRE LA TEORIA DEL ARREPENTIMIENTO : APLICACION A LAS DECISIONES DE SEGURO" ha sido
realizada
Fundamentos Alicante, Joaquín grado
por
bajo
del el
su
dirección,
Análisis
Económico
licenciado
en
Doctor
en
Ciencias
el de
Ciencias
Sirvent Boix, y constituye de
en
Departamento la
Universidad
Físicas
D.
de de
Ramón
su Tésis para optar al
Económicas
y
Empresariales
la legislación
(sección Económicas) . Y para vigente,
que
presento
conste,
en
cumplimiento de
ante
la
Universidad
de
Alicante
la
referida Tésis Doctoral, firmando el presente certificado en
Alicante, a 28 de Junio de 1994
Fdo . CARMEN HERRERO BLANCO
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
A MI MADRE
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
AGRADECIMIENTOS
A CARMEN HERRERO A PEPA TOMAS A GRAHAM LOOMES A CUANTOS HAN CONTRIBUIDO A HACER POSIBLE LA REALIZACION Y PRESENTACION DE ESTE TRABAJO . TODOS Y CADA UNO DE ELLOS YA SABEN PERFECTAMENTE LO QUE LES DEBO Y QUE MI AGRADECIMIENTO Y MI CARIÑO SON ABSOLUTAMENTE SINCEROS .
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
INDICE DE LA MEMORIA
0 .-
CAPITULO 0 :
INTRODUCCION . .
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0 .1
Introducción .
0 .2
La Teoría Clásica de la elección en condiciones de riesgo .
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.1 .
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. 2.
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. S.
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0 2.1
El espacio de loterías .
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.7.
0 .2 .2
La Utilidad Esperada .
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.11 .
0 .2 .3
Loterías monetarias :
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. 15 .
Críticas a la Utilidad Esperada .
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. 18 .
0 .2 .4 .1
Violaciones al supuesto de independencia .
.
. 21 .
0 .2 .4 .2
Violaciones de la Transitividad .
0 .2 .4 .3
Otros tipos de violaciones .
0 .2 .4
.
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. .
. .
.25 . . 26 .
Una versión de la Teoría del Arrepentimiento : La Utilidad Expandida .
0 .4
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.
La actitud frente al riesgo .
0.3
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0.3.1
Teoría del Arrepentimiento de Loomes y Sugden .
0 .3.2
Teoría del Arrepentimiento
.
.29 .
.
. 29 .
Versión Expandida dependiente de la diferencia .
. 32 .
Avance del contenido .
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Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
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. 43 .
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
CAPITULO I : UTILIDAD EXPANDIDAIY DECISION DE SEGURO PLENO .
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. 45 .
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. 46 .
1 .1
Introducción .
1 .2
Seguro pleno : Enfoque clásico .
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47 .
1 .3
Utilidad Expandida y seguro pleno .
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.52 .
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1 .3.1
Caso de prima sin gastos .
. ..
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.55 .
1 .3 .2
Caso de prima con gastos .
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.64 .
1 .3 .3
Gastos y prima máxima : Selección favorable .
.
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.67 .
.
.
1 .4
Ejemplos .
.
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. 71 .
1 .5
Conclusiones .
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. 76 .
SEGURO PROBABILISTICO, AUTOPROTECCCION Y AUTOSEGURO .
. 78 .
CAPITULO II : UTILIDAD EXPANDIDA Y OTRAS MODALIDADES DE SEGURO :
2 .1
Introducción .
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2 .2
Seguro probabilistico y Utilidad Esperada .
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. .
. 79 . .
.81 .
2 .2 .1
Seguro probabilístico .
.
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.
. 81 .
2 .2 .2
Utilidad Esperada y seguro probabilístico .
.
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.
.
. 83 .
2.3
La Utilidad Expandida y el seguro probabilistico .
.
.
.
.
. 86 .
2 .4
Test experimental sobre el seguro probabilistico .
.
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. 92 .
2 .5
Utilidad Expandida y protección .
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.97 .
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:2.5.1
Autoprotección: Analisis clásico .
2.5 .2
Autoprotección y Utilidad Expandida .
2.5.3
Autoseguro .
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Apéndice .
CAPITULO III :
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.98 . .103 .
.
. 106 .
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.108 .
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.l10 .
UTILIDAD EXPANDIDA ESTADO-DEPENDIENTE : ALGUNAS APLICACIONES . .
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.117.
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.
.118 .
3 .1'
Introducción .
3 .2
Utilidad Expandida estado-dependiente .
3 .3
Aplicación a seguros sobre bienes irremplazables . 3 .3 .1
.
.
.
~.6' Conclusiones finales . . . . . . . . . . . . . . . .
-7
.
.
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.
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. 120 .
.
.
.
.
.126 .
Equivalencia interestados : Compensación y redención relativas .
.
.
.
.
.
.
.135 .
3 .4
Aplicación a los seguros especiales de vuelo .
.
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.
.
.
.137 .
3 .5
Comentarios finales .
REFERENCIAS .
.
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Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
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142 .
.143 .
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
CAPITULO 0: INTRODUCCION UTILIDAD EXPANDIDA DEPENDIENTE DE LA DIFERENCIA: UNA VERSION DE TEORIA DEL ARREPENTIMIENTO
0.1 : INTRODUCCION 0.2: LA TEORIA CLASICA DE LA ELECCION EN CONDICIONES DE RIESGO 0.3: UNA VERSION DE LA TEORIA DEL ARREPENTIMIENTO : UTILIDAD EXPANDIDA 0.4: AVANCE DEL CONTENIDO
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&té- Introducción
La
Clásica
Teoria
de
la
~n y Morgenstern en el " »
hase
del
Utilidad
Esperada,
desarrollada
por
Von
año 1944, ha constituido tradicionalmente la
análisis de los problemas de decisión en condiciones de riesgo. No
Obstante,
desde principios de
utlllzación ha
sido en
experimentos
los años cincuenta,
ampliamente
los
que
discutida .
diferentes
la validez general de su
Junto a numerosos informes de
individuos
actúan
en
condiciones
de
riesgo violando la Teoría Clásica, han aparecido varias familias de teorías alternativas
que
comportamiento tradicional . Machina (1990), tanto
observado
Schoemaker
(1987), Hey
de
tratan
la
o
y
y
las
y
las
predicciones
Appleby
Camerer
Karni
evidencia
eliminar
(1982),
Weber
(1991)
de
y
(1987),
Schmeidler
experimental
como
incongruencias
entre
de
normativa
la
Starmer
(1987),
Fishburn (1991), de
(1988,
dan
los
teoría
Sugden
(1987),
1989),
Epstein
amplias
intentos
el
de
panorámicas desarrollar
teorías alternativas que la expliquen .
Una de tales familias es la integrada por un grupo de teorías que, de forma simultánea e independiente, aparecieron en 1982 y a las que genéricamente condiciones consiste opciones
denominaremos
de
en
riesgo.
destacar
(acciones,
El que
"Teorías
denominador la
valoración
loterías, . . .)
Binarias" común
de
la
básico
de
individual
alternativas
es,
ante
elección estas
una
teorías
pareja
forzosamente,
en de
relativa
al par concreto de opciones que se están comparando . Ello supone que, en general, no es posible obtener una representación de tipo uniparamétrico de las preferencias, sino que la representación de éstas en el conjunto S de alternativas es del tipo:
0:
a
x
A~B
a
a
>
iR de tal forma que
O(A, B)?0
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
A, BER
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
Agrupamos
en
la
familia
de
binarias
teorías
de
la
elección
en
condiciones de riesgo a las elaboradas por Fishburn (1982, 1984a), Loomes y Sugden (1982, 1987) y Bell (1982) .
La
Teoría
de
la
Utilidad
Hemisimétrica
de
Fishburn
ó
SSB
(Skew-Symmetric Bilinear) es una teoría normativa construída,
al modo de
la
conjunto
Teoría
Clásica
de la Utilidad
Esperada,
a
partir
de
un
de
axiomas que definen un tipo de racionalidad menos restrictiva que la de los agentes Von Neumann y Morgenstern . El teorema de representación [Fishburn, conduce
1982))
particular,
a
una
además
regla
de
de
Teoría
la
elección
Clásica,
que
otros
englobaría
intentos
como
caso
de generalización
como por ejemplo Chew y McCrimmon (1979) .
La Teoría del Arrepentimiento ó Regret Theory introducida simultánea e independientemente
por
Bell
(1982)
y
Loomes
naturaleza esencialmente descriptiva y pretende
y
Sugden
(1982),
es
de
explicar el comportamiento
de los decisores sobre la base de sus reacciones psicológicas frente a las opciones arriesgadas(l) . Esta filosofía conduce, no obstante, al mismo tipo de
regla
acciones
de
elección
ésto
es,
que
la
vectores
SSB, de
aunque
resultados
dicha
elección
se
contingentes
(los
haga
sobre
resultados
dependen del estado del mundo que se realice) en lugar de en términos de distribuciones conexiones
de
entre
probabilidad ambas
teorías
sobre son
las
analizadas
resultados con
(loterías).
detalle
en
Las
Loomes y
Sugden (1987), Fishburn (1987) y Sugden (1993) .
En Bernasconi (1991) se da una interesante panorámica de las teorías que junto con la Regret Theory podemos calificar como "psicológicas", entre las que se contarían la Dissapointment Theory [Bell (1985), Loomes y'Sugden (1985) y Gul (1991)), la Prospect Theory, [Kahnemann y Tversky (1979) y Tversky y Kahnemann (1990, 1992)), y la Teoría de la Utilidad Anticipada de Quiggin : Yaari (1987) y Quiggin (1982), Segal (1989) .
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La
idea
incorporar futura
central
en
la
respuesta
de
la
Teoría
evaluación
"a
psicológica
del
Arrepentimiento
de
las
priori"
del
individuo
opciones
ante
el
consiste
en
alternativas,
la
resultado
final:
"La
pena por lo que pudo haber sido y no fué . .." y, en su caso, el regocijo por haber
hecho
maximizasen
una
elección
la
esperanza
acertada . de
Así,
una
los
agentes
elegirán
básica
modificada
utilidad
arrepentimiento o regocijo (regret/rejoicing), referida posibles
para
cada
pareja
de
opciones
a
alternativas,
los en
"como
si"
por
el
resultados cada
estado
del
mundo .
Como ya se indicó,
las teorías binarias, entre otras alternativas a la
Utilidad Esperada, aparecen, fundamentalmente, entre
comportamiento
el
observado
de
como intentos de adecuación
los
individuos
y
su
explicación
normativa o psicológica de manera que elimine las paradojas clásicas . Cada una
las
de
teorías
alternativas
postula
una
determinada
pauta
de
comportamiento de los agentes que actúan en condiciones de riesgo.
Ya
que
no disponemos
de
momento
de
una teoría
lo suficientemente
general [en palabras de Sugden : "Quizás estemos esperando un Isaac Newton de
la
Economía"
problema
(en Hey
requiere
una
y
Lambert
explicación
1987, pp . particular
22)), y
que
pensamos existen
que
cada
problemas
específicos que parecen susceptibles de ser tratados de modo especialmente natural
con
decisiones
de
alguna
de
seguro,
estas
teorías
alternativas.
cuyas características
Tal
es
el
caso de
las
invitan a su análisis desde el
enfoque de la Teoría del Arrepentimiento de Loomes y Sugden . En efecto :
(a) Se trata de problemas de elección entre dos opciones alternativas: Asegurarse o no asegurarse.
(b) La valoración de las opciones ha de ser necesariamente relativa y el sentimiento de arrepentimiento/regocijo debe pesar especialmente en la misma.
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(c)
La
Teoría
satisfactoriamente
Clásica
de
determinados
la
Utilidad
aspectos
Esperada
observables
del
no
explica
problema
como
iremos analizando.
El
objeto
aplicación
de
de
esta
una
memoria
versión
de
es
presentar
Teoría
del
algunos
de
resultados
Arrepentimiento
al
tipo
la de
problemas citado. En esta introducción se presentará la propuesta concreta que
denominamos
"Utilidad
Expandida"
la
cual
se
aplica,
en
los
tres
capítulos siguientes, a diferentes problemas de decisión de seguro .
A continuación, haremos un somero recordatorio de la Teoría Clásica de la
Utilidad
algunas
de
Esperada las
y
en
los
dificultades
siguientes plantea
que
capítulos, su
iremos
aplicación
a
comentando determinados
problemas de decisión de seguro .
0.2.- Teoría Clásica de la elección. en condiciones de riesgo .
En un problema de elección en certidumbre el agente se enfrenta a un conjunto de elección dado, sobre el cual tiene definida una ordenación que refleja
sus
preferencias .
El
problema
de
elección
implica
seleccionar
un
elemento maximal del conjunto de alternativas posibles. El hecho básico en certidumbre es
que
para cualquier
acción que
el
decisor
tome,
ésta sólo
puede tener asociado un resultado, conocido antes de tomar la decisión .
Se
habla
de
riesgo
acciones entre las que el resultados
posibles
y
el
o
incertidumbre
cuando
al
menos
alguna
de
las
decisor puede elegir tiene asociados dos o más decisor
no
es
capaz de
discernir
particular se realizará en ningún caso (ver Harsanyi, 1977).
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qué
resultado
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Entenderemos aquellas
como
variables
que
"estado puedan
del
mundo"
afectar
el
al
valor particular
resultado
de
la
de
todas
elección
del
agente, que éste desconoce en el momento de tomar la decisión y sobre las que no tiene control.
En
este
caso
de
falta
de
certidumbre,
el
problema
de elección se podría esquematizar mediante una función F: 5 x 6 -~ R que a cada opción a e S y a cada estado del mundo 0 e e le asocia un resultado F(a, $) e R
Dentro
de
la
teoría
de
la
decisión
individual
y
en
un
económico podriamos considerar el siguiente esquema :
Certidumbre :
Los
resultados
de
las
acciones
que
se
contexto
ofrecen
posibles son completamente conocidos . Riesgo :
Cada
acción
es
una
variable
probabilidad es conocida. Incertidumbre :
Alguna
o
todas
aleatoria
las
cuya
como
distribución
probabilidades
desconocidas o ni siquiera están definidas.
son
o
de
bien
La distinción entre riesgo e incertidumbre se debe a Knight (1921). En situaciones de riesgo, como ya se ha comentado, la respuesta que la Teoría Económica, durante décadas, ha ofrecido al problema de la elección individual
ha
sido
Morgenstern (1944)] . elección en
la
Teoría
de
la
Utilidad
Esperada
[Von
Neumann
y
Esta teoría hizo que hasta hace unos quince años, la
cqjidiciones de
riesgo siguiera considerándose como uno
de los
campos con más éxito en el análisis económico : se sustentaba en una sólida axiomática y a ello añadía la simplicidad y la elegancia de su
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Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
caracterización
de
varios
tipos
de
comportamiento
términos
en
de
las
propiedades de la función de utilidad [véase Machina (1982)] . En la actualidad, la elección en incertidumbre y riesgo es un campo en continuo cambio, ya que el trabajo experimental ha venido proporcionando la evidencia de que el comportamiento humano frente al riesgo es inconsistente con la Teoría de la Utilidad Esperada.
En esta sección nos proponemos
presentar una breve descripción del
modelo clásico, y comentar algunas de las dificultades que plantea desde el punto de vista de la
evidencia
empírica .
0.2 .1.- El espacio de las loterias
Supondremos que de cada distintos
resultados,
en
posible acción del
número
finito
y
cada
agente pueden derivarse uno
de
con
ellos
una
probabilidad conocida. Así, de a
E
21 podrá obtenerse :
-El resultado xl si se da el estado del mundo sl cuya probabilidad es 7<
i
. -El resultado x2 si se da el estado del mundo s2 cuya probabilidad es
2
-El resultado x
n
71
si se da el estado del mundo s
n
cuya probabilidad es
n a
Bajo los supuestos de .independencia y
del
estados del mundo posibles, asociaremos a cada acción alternativa a
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sistema de E
El del
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
caracterización
de
varios
tipos
de
comportamiento
términos
en
las
de
propiedades de la función de utilidad [véase Machina (1982)] . En la actualidad, la elección en incertidumbre y riesgo es un campo en continuo cambio, ya que el trabajo experimental ha venido proporcionando la evidencia de que el comportamiento humano frente al riesgo es inconsistente con la Teoría de la Utilidad Esperada.
En esta sección nos proponemos presentar una breve descripción del modelo clásico, y comentar algunas de las dificultades que plantea desde el punto de vista de la
evidencia
empírica .
0.2.1 .- El espacio de las loterias
Supondremos que de distintos
resultados,
en
cada posible número
acción
finito
y
del
cada
agente pueden derivarse uno
de
ellos
con
una
probabilidad conocida . Así, de a
E
S podrá obtenerse :
-El resultado xl si se da el estado del mundo sl cuya probabilidad es .
7r
i
n2.
-El resultado x2 si se da el estado del mundo s2 cuya probabilidad es
-El resultado x 71
n
si se da el estado del mundo s
n
cuya probabilidad es
n
Bajo
s
los supuestos de
'
y
del sistema de
estados del mundo posibles, asociaremos a cada acción alternativa a e ff del
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agente, un par (x , n) donde : x x = (x1'x2 , . .
de
modo
que
el
problema
n)
de
y
u = (n 1 Ir2, . . .irn )
elección
entre
acciones
arriesgadas
quede
convertido en un problema de elección entre tales pares . Sea X el conjunto de resultados. Sea Ti =
(Ti
J:
X -) f0, ll con soporte finito)
Sean x = (x l ,x2, . .
xn )
E
Xn
y
ir = (n 1 ,7r2, . . .7rn )
Definición 0.1.-Diremos que el par (x, ir)
E
E
1Tn.
Xn x TTn es una loteria (simple)
cuando: 0
(al >
L
menos
tan
preferido
lotería
como)
y
"
L1
es
"
de
~
de la forma habitual .
Pensemos ahora que los sucesos ciertos son elementos particulares del espacio .2 de loterías . Así, tal relación
relación >
si el agente dispone de unas preferencias sobre
estará definida sobre los sucesos sobre
.2
puede
entenderse
como
ciertos, una
de modo que la extensión
de
las
preferencias sobre los resultados ciertos a un conjunto mayor .
Supongamos en primer lugar que la relación de preferencias > sobre es un preorden continuo. En tal caso, existirá una función U : represente a
--i R que
> , es decir:
L 1 > L2 La restricción de U a los
a
U(L l ) > U(L2)
sucesos ciertos será también un preorden
continuo. En tal caso, existirá una función u :X-> IR de forma que
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
u(x) = U(L ) x
donde L
es la lotería asociada al resultado cierto x.
x
Bajo
determinadas
condiciones,
la
función
U
puede
verificar
las
propiedades siguientes :
(a)
Para loterías compuestas :
L = a M + (1-a) N )U(L) = a U(M) + (1-a) U(N)
(b)
Para los resultados ciertos :
L = (xi ,nj ; . . . . ;x n ,nn )
-> U(L) = n 1 u(x 1)
+ .
. + T[
n
u(xn)
En el caso de que la función U( .) cumpla las propiedades anteriores, puede
interpretarse
que
U( .)
es
una extensión
lineal
a :C
de
la
utilidad
u : X -~ R sobre los resultados ciertos .
La regla de construcción de U(.) a partir de u( .) sería: n
U (L) _ E n u(x ) J 3=i l cuando L = ( x , n )
La fórmula anterior se conoce como 9Zeq£a. de la `Ut1¿tdad g4penaáa y fue propuesta por Von-Neumann y Morgenstern en 1944 como criterio de valoración de loterías a partir de la existencia de una función de utilidad sobre los sucesos ciertos
12
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Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
Es obvio que, en el caso gengral, las preferencias > sobre £ no van a poder ser expresables mediante una U(.) que cumpla la Regla de la Esperada .
Estudiaremos
las
condiciones
bajo
las
que
>
verifica
propiedad deseada .
Consideremos
el
conjunto
2
de
loterías
resultados y la relación de preferencias
>
sobre
el
Utilidad
conjunto
X
la
de
definida en 2 verificando las
siguientes condiciones :
H1.- PREORDEN TOTAL: > es completa, reflexiva y transitiva.
H2.- INDEPENDENCIA : (2) Dadas L,M,N,
E
L-M =~ aL+(1-a)N-aM+ (1-a)N
H3.-CONTINUIDAD :
2, entonces:
dN
2
E
y
VaE[0,11
d L,M,N E £, los conjuntos : N+ =(a/N>aL+(1- (x)M) N
=( a/aL+(1-a)M>N)
son ambos cerrados en [0,11 .
HI,
H2
representación verifica
las
y
H3
de
son >
propiedades
requisitos
mediante (a)
y
la (b) .
necesarios regla El
de
y la
teorema
suficientes
para
Utilidad
Esperada
siguiente
recoge
la que
dicha
equivalencia .
(2) : En ocasiones se sustituye este axioma por la condición de monotonía : L>M
=>
al +(1-a)N>aM+(1-a)N
13
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
VNE£.
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
Teorema 0.1 (Von Neumann y Morgenstern, 1944).- 131 El preorden verifica Hl, H2, y H3, si y sólamente si existe una función que lo represente, de manera que: U(L) = a U(M) + (1-a) U(N)
!! L = a M + (I-ON
>
sobre
U
E
2.
Tal función U(.) es única salvo transformaciones afines positivas (4)
La unicidad salvo transformaciones afines positivas significa que hay dos grados de libertad en la elección de U, que se relacionan con el origen y las unidades de medida . Ello implica que la función de utilidad esperada tiene propiedades ccvu£ina¿ea cuando se trata de elección en condiciones de riesgo.
Es
natural
conocimiento de
la
que
así
sea
diferencia de
puesto
que
el
agente
utilidades entre un par
necesita
tener
de resultados y
poder valorar así si la posibilidad de ganar en un caso, es suficiente para compensar el riesgo de pérdida en el. otro.
(3) : Una prueba detallada del teorema puede verse, por Herstein y Milnor (1953), donde se sustituye la condición condición más débil : L ~ M => 1 L + 1 N ~ 1 M + 1 N 2 2
2
2
ejemplo, en H2 por la
d N
E
2.
(4): Ello significa que U( .) y V( .) = a U(.) + b con a > 0, modelizan las mismas preferencias.
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Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
0.2.3 .- Loterías monetarias. Actitud frente al riesgo .
Consideraremos esto
es,
loterías
exclusivamente,
en
esta
sección,
cuyos resultados corresponden
perfectamente divisible
con
precio
positivo
a
loterías
cantidades
(dinero).
En
estas
monetarias, de
un
bien
condiciones,
los resultados posibles se asocian a los elementos de R+.
Daniel condiciones
Bernoulli de
riesgo
Petersburgo" . Así, riqueza .
En primer los
ocupó
en
pretendiendo
1738
del
resolver
la
problema famosa
de
elección
"Paradoja
de
en San
estableció dos supuestos básicos sobre la utilidad de la
linealmente con ésta, lugar,
se
lugar,
la valoración individual de la riqueza no crece
sino que lo hace a un ritmo decreciente,
individuos maximizan
el
valor
la
en segundo
esperado
de
utilidad
dinero
monótona y
de
la
riqueza .
Suponiendo que
la
utilidad
sobre
¬:l
es
continua,
tiene sentido la siguiente definición :
Definición 0.4.- Se llama equivalente cierto de una lotería L al valor e(L) tal que U(L) = U[e(L)], esto es: aquella cantidad de dinero tal que su utilidad coincide con el valor de la utilidad esperada de la lotería .
Llamando E(L)
a la esperanza de
la
lotería L,
la
actitud frente
al
riesgo se define de manera que : Cuando e(L) < E(L) se habla de aversión al
riesgo, cuando e(L)= E(L) se habla de neutralidad frente al riesgo y cuando e(L) > E(L) se habla de propensión o amor al riesgo .
Definición 0.5.- Llamaremos Prima de riesgo Pr(L) a la diferencia [E(L) e(L)] entre el valor esperado y el equivalente cierto de la lotería .
15
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Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
La prima de riesgo Pr(L) sería pues, la máxima cantidad de dinero que un individuo estaría dispuesto a ver deducida de su riqueza para evitar el riesgo.
Con
ello,
las
actitudes
frente
al
riesgo
definidas
anteriormente,
quedan caracterizadas por el signo de Pr(L) .
Otra
forma
natural
de
distinguir
las
actitudes
globales
frente
al
mostrar
diferentes
riesgo, es considerar la concavidad de u( .) .
Es
claro o
actitudes
por
otra
parte
diferentes
que
grados
un
de
individuo
su
puede
actitud
frente
al
riesgo
para
diferentes tramos de su renta, resultando posible definir medidas del grado local
de aversión al riesgo,
la más
conocida de
las
cuales es el llamado
índice de Arrow-Pratt (Pratt, 1964):
Sea una
lotería L =
equivalente cierto (le(L)1
(y,
del
cuyo
valor
esperado
proporcional a la varianza
y - Pr(L) y,
se
el
es E(L)
p A es
El
e(L) = y - Pr(L) . Entonces
1 y desarrollando por Taylor en un
obtiene
que
la
prima
coeficiente
u
de
riesgo
es
( y ) a.2(L)
U' (Y)
absoluto
de
aversión
al
Arrow-Pratt como: PA
= y.
o,2 (L) de la lotería .
Pr(L) _ i
Definiendo
valor esperado
e(L) puede expresarse como
p(x),a(x) = u 1
entorno
p)
u ., (Y) u ' (Y)
se tendrá
Pr(L)
riesgo
P
A
de
=1 p a'2 (L) 2 A
una medida de la curvatura de u( .) alrededor de la esperanza y de
la lotería, asociada por tanto al grado de aversión al riesgo .
16
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
Así,
para
dos
individuos
con
utilidades
respectivas
u1(.)
y
u2(. )
enfrentándose a una misma lotería L, se tiene que e (L) < e (L) si y sólo si
>
pA.
1
2
En tal caso, el agente 1 manifiesta un mayor grado de aversión
pn es al riesgo que el agente 2 (u1 más cóncava que
u2),
0.1) .
o.
y,A p apd 1
n1
1
í al aM
e (L) e (L) 1
2
E(L)
figura 0.1
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
m
2
(véase
la figura
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
0.2.4.- Criticas a la Utilidad Esperada .
Desde principios de los años cincuenta, se ha venido acumulando en la literatura
una
vasta
colección
de
críticas
a
la
teoría
Esperada .
Parte de ellas se centra en el tipo de racionalidad que definen
los axiomas (aspectos normativos) mientras el resto,
de
la
Utilidad
pone en evidencia las
numerosas y sistemáticas violaciones del comportamiento por
ellos
descrito
en el comportamiento real de los decisores (aspecto descriptivo) .
Como
las
dificultades
específicas
que
plantea
la
Teoría
Clásica
en
relación con los problemas de decisión de seguro serán tratadas con detalle en los siguientes capítulos de esta memoria,
en esta sección nos vamos a
limitar a dar una panorámica de las violaciones más conocidas . Estudios mas detallados
pueden
encontrarse
por
ejemplo
en
Appleby
y
Starmer
(1987) .
Sugden X1.987) y desde luego en el clásico trabajo de Kahnemann y Tversky (1979)
así
como
alternativas
y
individuales .
Nos
decisión que
en
algunas
conocida
a
en
buena
experimentación restringiremos
condiciones bien
parte
de
conocidas
"Paradoja
de
riesgo
de en
la el
área
de
al
caso
también en
el
dificultades
Ellsberg",
literatura
sentido de
Ellsberg
la
referente
la de
toma los
de Knight Utilidad
(1961)
no
de
teorías
decisiones
problemas
de
(1921),
por
lo
como
la
Esperada van
a
a
ser
aquí
consideradas .
De una forma general, tal y como hacen Sugden (1987) o Machina (1987), se podría englobar la práctica totalidad de las violaciones a la Teoría de la Utilidad Esperada en las tres siguientes categorías:
(a) Las violaciones del axioma de independencia .
(b) los fallos de transitividad .
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Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
(c) Las dificultades derivadas de la forma de
A
de
fin
ilustrar
la
presentación
Esperada,
vamos a considerar el
x1 <
x3.
x2<
En
este
caso
todas
las
loterías
Eliminando a
las
puntos
el
problema
críticas
a
la
Utilidad
caso de sólo tres resultados monetarios, simplificado,
distribución de probabilidad (nl, de tales resultados . -
de
presentar
n 2'
n 3)'
n 2 (n2
(7r > I
n3 )
una
n1 +
u2
= 1 - n i
del
lotería + n3 n3
triángulo
será
= 1, ),
de
cualquier
0 -5
podemos
uís 1,
asociar
vértices
(0,1),
(0,0) y (1,0) conocido como triángulo de Marschak-Machina [Marschak (1950), Machina (1982)] que viene representado en la figura 0 .2:
Figura 0.2
Este nuestro
sencillo
fin
de
diagrama
evidenciar
resulta las
extraordinariamente
principales
objeciones
a
útil la
tanto
Teoría
para de
la
Utilidad Esperada como para diseñar y desarrollar experimentos que pongan a prueba la capacidad predictiva de las teorías alternativas.
19
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
Sí
las
preferencias
de
un
agente
axiomas Hl, H2 y H3, tendremos que donde u
l
= u(x1 )
indiferencia
;
resultan
que :
u2 = u(x2) ser > 0
;
sobre
u(nl,n3)
u3 = u(x3) .
segmentos
paralelos
las
loterías
verifican
los
nlu1 + (1-711-Ir3)u2 + n3u3, Con ello, de
los
pendiente
conjuntos de positiva,
ya
como se refleja en la figura 0.3:
NuIPA61m, figura 0 .3
Así,
conocidas
las preferencias
en
el
entorno
de
cualquier
lotería,
serán conocidas las preferencias en todo el triángulo.
Puede también verse cómo la pendiente de las rectas de indiferencia es una medida del grado de aversión al riesgo : a mayor pendiente, mayor grado de aversión .
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0 .2.4 .1.- Violaciones del supuesto de independencia (H2) Las primeras y mas conocidas
objeciones a
la Teoría de la Utilidad
Esperada, fueron presentadas por Allais (1953), recogidas también en Allais y Hagen (1979) y se centran en el axioma de independencia . Una versión de la "Paradoja de Allais", que
entre
(1979) .
otros
conocida como
resultados
efecto "consecuencia común", es la
experimentales
presentan
Estos autores encuestaron a un total de 72
Kahneman individuos
Tversky
y
(estudiantes
universitarios) a quienes plantearon los siguientes problemas de elección:
Probl ema 1 Elección entre las alternativas A y B siguientes : A = (0, 0.001 ; 2.400, 0.66 ; 2.500, 0.33) B = (2.400, 1)
Problema 2 Elección entre C y D: C = (0, 0.67 ; 2.500, 0.33) D = (0, 0.66; 2.400, 0.34) donde
las
cantidades
en
ambos
problemas,
corresponden
israelíes .
La Teoría Clásica predice para estos problemas que :
A ' B
(4.75, 8/24) > (4.50, 9/24) > > (4.25, 10/24) > (4.00, 11/24) > (5, 7/24)
(6) : También otros autores como Sonneschein (1971), Mas Colell (1974), Shafer (1974) han probado cómo muchos aspectos de la Teoría Económica, y en particular la existencia de funciones de demanda en Teoría del Equilibrio General, se mantienen dejando de lado el supuesto de transitividad como principio normativo . En Fishburn (1991) se da una amplia panorámica de los modelos de preferencias no transitivos .
25
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
Relacionado
con
las
preferencias
cíclicas
consideramos
también
el
fenómeno conocido como "reversión de preferencias" . Este fenómeno aparece cuando dadas dos loterías L y M cuyos equivalentes ciertos son e(L) y e(M)
respectivamente de manera que e(L) > e(M), el individuo prefiere M a L. La reversión de preferencias suele observarse cuando L da una pequeña ganancia con alta probabilidad Estudiado
y M una gran
inicialmente
por
ganancia con muy baja probabilidad .
Lichtenstein
y Slovic
(1971,
1973) ha sido
analizado en mayor profundidad por Grether y Plott (1979) . Loomes, Starmer y Sugden (1991) y Loomes y Taylor (1992) se han ocupado de llevar a cabo experimentos sobre el mismo para explicar mediante preferencias cíclicas el comportamiento real de
los agentes .
Ello mismo aparece en algunos otros
trabajos como por ejemplo en Fishburn (1984c, 1988).
0.2.4.3.- Otros tipos de violaciones
Siguiendo la línea de los psicólogos que han estudiado cómo la forma de presentar las cuestiones influye en las respuestas obtenidas, Kahneman y Tversky (1979) llevaron a cabo un experimento que puso de manifiesto este fenómeno en un problema de elección entre loterías .
Se planteó el siguiente
juego en dos etapas : En la primera se tiene una probabilidad 0 .25 de pasar a la segunda etapa y una probabilidad 0.75 de no seguir adelante (fin del
juego con pago nulo). elegir
entre
Si ha pasado a la segunda etapa,
(4000, 0,80)
y
(3000,1)
habiendo
de
el jugador podrá
hacerse
la
elección
al
iniciar el juego .
Obsérvese que si el problema se plantea en términos de los resultados finales (formas standard), el individuo se enfrenta a la elección entre las loterías, (4000, 0.20) y (3000, 0 .25) .
26
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
El árbol de decisión sería el que aparece en la figura 0 .7(a) donde el cuadrado simboliza nodo de elección y el círculo nodo aleatorio :
1/4
3000
-~-3000 1/4
3/4
\. 1/5 .
/
0
4/5
3/4
4000
,
4000
1/5
0
4/5 -
figura 0 .7(a)
figura 0.7(b)
Curiosamente, cuando el problema se planteó en la forma secuencial que se
refleja
lotería
en
la figura
(3000,
0.25)
0 .7(b),
en
la
oposición
mayoría
a
la
de
los
elección
encuestados
eligió
(4000,
mayoritaria
la
0 .20)
obtenida al plantear el problema en forma standard. Resultados de este tipo vienen
a
poner
exclusivamente
en en
cuestión términos
el
supuesto
de
loterías,
probabilidad sobre los resultados finales, de reducción .
El fondo de
de
una
discusión
la crítica es detallada
de
es
la
decir,
elección
se
haga
distribuciones
de
supuesto conocido como principio que,
regla de valoración de loterías compuestas. encontrarse
que
en
definitiva,
cuestiona la
En Machina (1987,
este
tipo
de
1989) puede
efectos .
Loomes
y
Sugden (1982, 1983, 1987) se ocupan también de ello en defensa de su Teoría del Arrepentimiento como alternativa a la Utilidad Esperada . como Fishburn enfoque
de
(1984a,
Savage
estado-contingentes)
1984c),
(1954) en
que
lugar
son
también en este sentido
parte de
de
acciones
loterías
elección de la Utilidad Esperada .
27
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
para
Otros autores defensores del
(vectores
de
resultados
construir
la
regla
de
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
No dedicamos ningún epígrafe especial a las violaciones del axioma de continuidad.
Ello
obedece
a
dos
tipos
de
razones
diferentes.
En
primer
lugar, es difícil reportar experimentos que violen este axioma, dado que en ellos siempre se considera un número finito de loterías . y,
desde
una
violaciones supuesto cadenas
de
perspectiva
de
la
continuidad
transitividad,
(conjuntos
teórica, al
totalmente
podemos
pueden menos
afirmar
englobarse
en
en
los
casos
ordenados
por
la
En segundo lugar
que, las en
relación
hecho,
las
violaciones
del
de
que de
consideremos preferencias
estricta) . (7)
Si en el conjunto X de resultados se ha definido una relación de preferencias " > " transitiva y completa, cuando se considera en X la topología de orden y en ffi la topología usual, tales condiciones son necesarias y suficientes para que las preferencias sean representables mediante una u: X -->R continua. [Ver por ejemplo el trabajo de Candeal e Induráin (1990)] .
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Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
0.3.- Una versión de la Teoría del Arrepentimiento: Utilidad Expandida.
0.3.1 .- La Teoría del arrepentimiento de Loomes y Sugden (1982) .
Como ya se indicó en la sección 0 .1 de esta Memoria,
la Teoría del
Arrepentimiento (Regret Theory) de Loomes y Sugden (1982) y Bell (1982),es una teoría descriptiva que, Esperada, surgió en el
entre otras teorías
intento
por
acomodar
alternativas
los
a
resultados
la Utilidad empíricos .
Dos son las características de esta teoría: su naturaleza binaria y el formular una regla de elección sobre acciones en lugar de sobre loterías . Como punto de partida pues, Loomes y Sugden consideran un sistema finito ) y exhaustivo de estados del mundo { sl, s2, correspondientes
probabilidades
{
n 1, 712, n
.
.
Ir
. .
J,
. .
S J,
.
,
sn
nn
}
se
cuyas entienden
conocidas y tales que E ir = 1. J=1 J Considerando preferencias de los mediante
una
resultados
exclusivamente
monetarios
y
que
las
agentes sobre los resultados ciertos son representables
función
de
utilidad
básica
[ver
Loomes
y
Sugden
(1982)]
continua y creciente u:&->R donde O es el conjunto de resultados, una acción
A
l
queda
definida
como
un
resultados estado-contingentes o,
n-vector
(x11,
equivalentemente,
por
x12,
el
.
.,
n-vector
xin)
de
de las
utilidades básicas u(x¡J) (j = 1, 2, . . n) correspondientes . El
problema
que
enfrenta
el
agente
decisor,
es
la
elección
entre
parejas de acciones alternativas que denotaremos A1 y A2 como aparece en la siguiente matriz:
29
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
Estados del mundo 7[ Probab111dade s 71 1 . 2
A
Acciones
La
A
Teoría
x
I
11
x
2
Clásica
21
x x
12 22
j
.
.
.
x
.
.
.
x
implica
que
la
nn
.
.
.
.
x
.
.
.
x
alternativa
A1
Ij 2j
In 2n
será
preferida
o
indiferente a la A 2 si: n
E n [u(x ij ) - u(x 2j )]
j=1
2: 0
La propuesta de Loomes y Sugden pasa por considerar que la elección entre A1 y A2 constituye una experiencia compuesta en la que la elección de una alternativa supone el rechazo de la otra y en la que por lo tanto, el hecho de obtener en definitiva un resultado, implica la pérdida de otro, lo puede
que
generar
una
psicológica
respuesta
de
satísfaccción
o
arrepentimiento que el decisor tratará de tener en cuenta en su valoración a priori .
Así pues, vendrá
su
idea
clave es que
modificada por
la
reacción
la utilidad básica de psicológica
de
su
los resultados,
comparación
con
el
resultado de la opción rechazada .
Representando por de la elección de A
1
Mlj=
M(x 1j ,
x2i)
el
nivel de satisfacción derivado
y el consiguiente rechazo de A
(Utilidad sj modificada),
y por
M2j
elección contraria, postulan que
los
= M(x2j,
2
xij)
en el estado del mundo el
individuos hacen
correspondiente su
que :
A
l
>
A2
n
0
E 7r j (
j=1
M1j
30
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
- M2j )
0
elección
a
la
de modo
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
LLamando ¡P(xlJ,
x2J)
= M
-
1j
A > A2 l donde
la
funcional
0( .,.)
la regía de elección se expresa :
M21,
a
resulta
n
E n
J
O(x1 , x2J) >_ 0 J
ser
hemisimétrica
J=1
por
construcción
e
independiente de las transformaciones de semejanza de razón positiva .
En su trabajo original de 1982, Loomes y Sugden postulan la siguiente estructura
aditiva particular para la utilidad modificada de los resultados
de cada acción en cada estado del mundo :
x2J) = u(x1J) + RIu(x 1J ), u(x21 ))
M11(x1J,
de
modo
que
(arrepentimiento) acción A
la
función
o positivo
enfrentada a la A
1
2
R
(regocijo)
generará de
la
un
utilidad
incremento del
negativo
resultado
de la
en cada estado s . J
El primer supuesto básico que hacen Loomes y Sugden en su trabajo de 1982 para hacer operativa su teoría, es el de imponer que la función R de Regret
dependa
resultados:
sólo
de
la
diferencia
entre
las
utilidades básicas
de
los
J = u(x ) - u(x ) . 11 J 2J
Así pues:
MIJ
-
M2J
= u(x 1J ) + Rfu(x 1J )- u(x2J )) - u(x 2)J - RIu(x2J ) - u(x 1J )l = _ E . + R(E) - R( - ~ .) = 0(~ .) J J J J
Con
ello,
la
regla
de
valoración
en
la
versión
diferencia que estamos aquí considerando, resulta ser:
31
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
dependiente
de
la
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
Al > A2
n
a
E n
l=1
Al > A2
f~í + R(~})-R(-~1)) 2: 0
l
n 7' lli ,i=1
a
0(11) l~ 0
Loomes y Sugden exigen a la función R condiciones que garantizan la diferenciabilidad y
el crecimiento
con 1
de
la
función
0(1)
y por último
imponen la convexidad estricta para valores positivos de 1 a la función de valoración . más
Con ello, consiguen
frecuentes
último,
a
explicar un buen número de las violaciones
la Teoría Clásica
[Loomes
y
Sugden
(1982,
1983)].
Por
en 1987 presentan una versión más general de su teoría en la que
prescinden del
supuesto de
dependencia de
la
diferencia,
de la estructura
aditiva de la función O( ., .) y la conectan con la Teoría SSB de Fishburn.
Arrepentimiento : Versión Expandida dependiente de la
0 .3 .2 .- Teoría del
diferencia .
Conservando
la idea básica de que, en la elección entre dos opciones
alternativas juega un papel relevante la valoración ex ante de la reacción psicológica ex post del posible acierto o error una vez conocido el estado del mundo,
proponemos a continuación
una
variante de
la formulación de
Loomes y Sugden, que resulta más general y de mayor operatividad, luego
veremos .
Tal
variante
consiste
en
introducir
la
relatividad
como de
la
valoración de los resultados en cada estado del mundo reforzada a través de una
estructura
multiplicativa.
Expandida", la denotaremos por s
Denominaremos Etl
a
esta
variante
"Utilidad
y la definiremos como:
Definición 0.6.- Llamamos uti£idad ~utidida e 11 de la elección de A1 y el rechazo de A2 cuando se da el estado sj (j = 1, 2, . . , n) a: 32
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
E 1J =
u = u(x ) y U IJ arrepentimiento/regocijo. donde
u2J
(ulJ -
u
u(x21)
2J
) h(u1J, u
y
donde
h( ., .)
Definición 0 .7 .- llamamos utilidad eccpartdicla r= rechazo de A cuando se da el estado s a : E 2J =
Nótese que básica u modo
2J
en
en
la
(u
2J
u1J )
-
definición de
EIJ
)
2J
2J
es
una
figura u1J.
Así,
del
de la elección de A2 y el
h(u2J, uIJ)
figura
explícitamente
del resultado de la acción rechazada en el estado s E 2J
medida
la valoración
la
utilidad
y del mismo
J
queda doblemente relativizada,
por un lado a través de la diferencia (uIJ - ukJ) (que llamaremos utilidad relativa) y, por otro, Esta
estructura
mediante la función h(u1J,
determina,
como
se
verá
ukJ) i,
más
1,
k =
adelante,
2,
i * k.
propiedades
de
simetría en las funciones de valoración.
Es natural otro caso
se
imponer
invertiría
que el
>_ 0 (¡,k = 1, 2; ¡:#k), ya que en kJ ) sentido de la valoración relativa básica . Según
h(uIJ ,u
se tenga h( . . ) mayor o menor que la unidad, el efecto será respectivamente una expansión interpretar
o una contracción de la utilidad relativa básica .
que
h(.
.)
recoge
diferentes
actitudes
Se podría
psicológicas
del
individuo, arrepentimiento, frustración, regocijo, responsabilidad . . .
También es uiJ y decrezca con s
Continuando
natural
imponer que
la utilidad expandida
esquema
Loomes
EIJ
crezca con
ukJ .
con
consiste en suponer que
el
de
y
Sugden,
nuestra propuesta
la elección se lleva a cabo de modo que : 33
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
n
A1>
La
función
A2 a _F 7tJ(ElJJ=1
Ezi)
> O
O(u1J,
= E2J representaría el balance de la u2J) E1Jutilidad expandida en el estado sJ para la elección de A1 y el rechazo de A . 2
O(u 1J,u2J ) = (u 1J - u2J )Ih(u 1J,u2J) + h(u2J,u1JJ Llamando
H(u 1J ,u2J ) = h(u1J,u2J ) + h(u2J ,u1J) se tendría :
;b(u1J,u2J) = (u1J-
u2J)
H(u1J,u21)
y la regla de elección se expresa :
n Al > A2 a Z71J O(u 1J,u21) _> O J=I
Esta regla de elección entre pares de acciones alternativas no dará en general las
una ordenación
mismas,
acciones . cíclicas
pudiendo
Son en
de
las
preferencias
presentarse
numerosos
determinados
los
cuando
ciclos
experimentos
problemas
de
sobre el se
que
elección
conjunto total de
valoran
evidencian en
tres
o
más
preferencias
condiciones
de
riesgo
(Véanse por ejemplo : Fishburn (1984a, 1988) Loomes, Starmer y Sugden (1989, 1991)), por lo que dar cabida a esta posibilidad dentro de nuestro modelo no puede ser considerado como una debilidad del mismo . s
Nótese
también
que
entre pares de acciones,
la
representación
resulta
obtenida
independiente
34
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
para
las preferencias
de las transformaciones
de
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
semejanza de razón positiva sobre hi y en consecuencia sobre H y 0, de modo que h y ah con a > 0, modelizan al mismo agente . Al objeto de hacer operativas las propuestas anteriores, impondremos :
HIPOTESIS A.I : h:iR --> 62 depende sólo de la diferencial cada estado s del mundo, con lo que J
J
=
u13-
u21
en
H(1~) = h(1j) + h(-1 ) >- 0 y por tanto , 0(1}) = ¿E JH(1J) J
La regla de elección se expresa ahora:
AI > A
2
a
a
n
J=i
n
H(lj) ? 0
71
Trj
O(l~)
2:
0
En el caso de que H( .) sea constante, la regla anterior correspondería a la de Von Neumann y Morgenstern .
Cuando H(I) = 1 +
R(J) - R(-1)
,
se correspondería con la regla de
elección de Loomes y Sugden (1982) :
AI~ A2 a
Por
simplificar
la
n
+ R(l3)-R(-lJ)) 2t 0 Z it3 IlJ J=i
notación
prescindimos
subíndice j.
35
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
a
partir
de
ahora
del
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
Formalmente, el conjunto de supuestos que exigiremos a la función h(I) y a su derivada h'(í;) será el siguiente,
HIPOTESIS A.2:
SA: h(1) > 0, VI * 0, h(0) >_ 0 S.2: h(1) es de clase CZ S.3: h(g) + í;h'(g) > 0 S.4: h'(J)
El
supuesto
k h'(-1)
S.l,
VI # 0
o bien h'(J)
además
de
VI > 0
:5 h'(-1)
imponer
que h(1)
0
2:
excluye
VI,
la
posibilidad
de que los agentes consideren indistinguibles estados del mundo
para
los
que
pueda
propiedad
esta
última
obtenerse que
distinto
también
resultado
verifican
los
según
agentes
la
Von
elección,
Neumann y
Morgenstern .
S.2 es un supuesto técnico del
que se podrá prescindir en versiones
más generales .
El
supuesto
expandida
EIi
significa que -[h(-ie)
-
con de d1
1
Ih'(-I)]
S.3, la
plasma
utilidad
el
crecimiento
Ii,
relativa
es
regular decir,
> 0 VI * 0 y a su vez que <
0.
Se
postula
en
de
h(1)
a
+
la
utilidad
Jh'(J)
>
0
= -h(-e)+Jh'(-I) =
d1
definitiva,
de
que
expansión
la
o
contracción determinada por h(1) no altera la monotonía de la valoración . s
Las
condiciones
alternativas
actitudes temperamentales
distintas
del a
la
36
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
supuesto hora
de
S.4 expandir
determinan o
contraer
dos la
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
valoración relativa básica, lo que permite clasificar a los individuos en: "Temperamentales frente al éxito/fracaso" cuando:
W(C) ?: h'( -C), I> 0 "Tibios frente al éxito/fracaso" cuando :
h'(I) - 5 h'(-I), I> 0 Estas
condiciones
pueden
interpretarse
de
la
siguiente
manera:
los
agentes temperamentales son aquellos que manifiestan una mayor sensibilidad frente a las ganancias que frente a las pérdidas
en términos de utilidad
relativa,
mientras
llamado
sensibles
frente
valoración
de
que a
los
estas
pérdidas
individuos últimas .
y
que
Las
ganancias
hemos
diferencias en
de
términos
tibios
son
sensibilidad
absolutos,
han
en
más la sido
apuntadas por otros autores [ver por ejemplo Kahnemann y Tversky (1979), Sugden (1987) o Tversky y Kahnemann (1991)1 .
Por otra parte, de
comportamiento
estas condiciones garantizan una mínima regularidad
que,
además
de
hacer
manejable
abarcar una gran variedad de respuestas psicológicas .
CONSECUENCIAS DE A .1 Y A .2 :
a) H(J) = h(1) + h(-1) > 0 VI # 0, H(0) >_ 0 .
b) H(I) = H (-1) c) H(1)
VI (simetría) .
es de clase CZ por serlo h(1) .
37
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
la
teoría,
permiten
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
VI de manera que,
d) H'(j) = h'(j) - h'(-1)
por S.4, se tendrán las dos
siguientes posibilidades :
(i) H'(j) k 0, cuando 1 > 0
y por simetría de H(J), H'(j) :5 0 cuando
< 0 con lo que H(I) será cuasiconvexa VI, o bien: (ü) H'(I) :5 0, cuando 1 > 0 y H(I) es cuasicóncava VI pero no puede ser cóncava, ya que H(I) >- 0 d 1. En cualquier caso H'(0) = 0.
e) La función ip(1) = 1 H(I) es de clase C2.
f) kb(C) = I H(I) = - 0(-I) (hemisimetría) y 0(0)=0 g) 0(1) es estrictamente creciente :
=
'(1) =
dE
i
~H(I)=
-
d1
dE
2
=
I [h(I)+h(-I)]
-
Ih(I)
[-Ih(-I)] = E l - E2 .
> 0, d 1 -1 0 y como 0(0) = 0, 0(1) será estrictamente
d1
creciente d 1.
De
todo
lo
anterior
se
concluye
que
0(1)
será
cuasimonotónica
estricta, es decir, cuasicóncava y cuasiconvexa estricta .
Se tendrán, de nuevo, las dos siguientes posibilidades :
(i') Si H'(j) k 0
=>
(1 > 0)
3 8 > 0
de tal forma que H(I) es
convexa en 0 < 1 < 8, lo que a su vez implica que 0(1) será también convexa en dicho intervalo . 38
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
(ü') Si H'(J)
0
< e
:5
(1
0
< 8.
> 0)
=>
3 ó > 0
0(1)
tal que
es cóncava en
Ya se comentó que Loomes y Sugden (1982, 1983) consiguen explicar las paradojas más frecuentes de la Utilidad Esperada haciendo la hipótesis de que
0(1)
es
convexa
estricta
para
argumentos
positivos,
siendo
razones
empíricas las que les inclinan a imponer esta condición .
Desde la perspectiva más amplia de la versión expandida en la que es cuasimonotónica, se puede dar cabida no sólo al supuesto anterior sino a otras respuestas,
incluso
opuestas,
que también se reflejan en los mismos
experimentos .
Se
podría
pensar
que
sobre
la
posible
actitud
frente
al
riesgo,
actuaría una componente de temperamental ¡dad o tibieza que asociaríamos a una
actitud
frente
al
éxito
o
fracaso,
que
expandiría
con
diferente
intensidad, de unos individuos a otros, la valoración relativa básica .
Cuando resaltan
H( .)
las
es
cuasiconvexa,
utilidades
relativas
reflejaría
actitudes
grandes :
contrario, cuando H(.) sea cuasicóncava,
"amor
al
en
las
éxito" .
que
se
Por
el
quedarían resaltadas las pequeñas
utilidades relativas : "tibieza frente al éxito/fracaso" .
Quede poseida positivas
con y
claro
que
aunque
certidumbre tal
propiedad
es
la
utilidad
independiente
es
heredada
básica de
por
las la
u(.)
sobre
la
transformaciones
Utilidad
Esperada
riqueza afines de
Von
Neumann y Morgenstern, ello no es así para la Utilidad Expandida salvo en los casos en que H(J) sea constante o, bajo la hipótesis A.1 sea homogénea . Se hará preciso por tanto adoptar una normalización . No hay dificultad en tomar u( .) de forma que u(x
max
) = 1 y u(x
adecuado cambio de unidades podemos tomar x relativas
1.
tomarán valores en el
intervalo
39
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
) >- 0.
min
= 1. Con ello, las utilidades
max
[-1,
Además, mediante un
1) .
Por
otra
parte,
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
teniendo
en
cuenta
transformaciones
de
el
supuesto
semejanza
de
S.1
y
razón
la
positiva,
independencia no
hay
de
las
dificultad
en
considerar que H(0) = 0 o bien H(0) = 1 .
En la figura 0 .8 se recogen a modo de ejemplo, posibles formas de las funciones expansora H(J) y de valoración tibios .
0(1)
F 'A
de agentes temperamentales y
WO
0MH(~
TEMPERAMENTAL
TEMPERAMENTAL
TIBIO
figura 0 .8
Según siguiente :
lo
visto,
los
agentes
podrían
ser
clasificados
de
la
forma
s
(I) Agentes temperamentales standard o de Tipo I: Con
40
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
HI (0)
=
0
y
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
HI0~)>0
Vg >0
(II) Agentes temperamentales de Tipo II : Con HII (0) = 1
y
Vg >0
(III) Agentes tibios (Tipo III) : con
(IV)
Agentes
Morgenstern) : Con
neutrales = 1 HIV( )
HIII(0)
frente
al
= 1 y 0 H1II(1) <
éxito/fracaso
(Von
HiI (1)
> 0
VI > 0
Neumann
y
VC.
Así, para cualquier agente de los tipos II, III y IV, existe un agente standard (Tipo I) asociado, de manera que : HII(~) = I + HI(~)
H (1) . En este caso, debe verificarse que HI(1) < 1 en HIII (1) = 1 I el conjunto significativo de utilidades relativas .
Para los agentes Von Neumann y Morgenstern se tendrá que HI(~) = 0 d~.
Veremos contracción
de
ahora las
cómo
el
utilidades
multiplicativo
mecanismo relativas
en
cada
globalmente en la valoración del par de acciones A
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
I
estado y A2.
de del
la
expansión mundo,
o
actúa
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
s 71
A A
2
u
11
u
2
2
7t
1
u
1
s
1
.
s
.
.
.
71
.
.
u
.
.
u
12~
u
21
. .
22~
j
1 Ij 2j
. .
.
s
.
.
.
7<
.
.
.
u
.
.
.
u
n n In 2n
Para un agente temperamental de tipo II, tendremos que :
Al ~ A2
AI _ A2
a
a
n
~11 (A I, A 2) =
~11 (AI, A2)
E7tj J=I
n E7tj J=I
=
j
j
H 11 (~j) '- 0
1 + H (
(
I
j
) ) 2: 0
Por lo que : AI ~ A2
0
0II(AI,
A2) = U(AI ) = U(A 2 ) +
01(AI,
A2) 2: 0
Donde U(A1) es la Utilidad Esperada de la acción AI , U(A2) la Utilidad Esperada de A2, y 01(A I , A2) es la valoración del par por parte del agente temperamental standard asociado :
01 (A I, A2) =
Ello
permitiría
interpretar
n
E 7t j 1
j =l
j
el
H1 (1 ) ? 0 j
mecanismo
de
valoración
acciones :
AI - A2
~11(AI,
A2) = U(AI ) '- U(A 2 ) + 01(A2,
42
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
AI)
del
par
de
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
agentes
Los
preferirán
a
la
de
generaría
la
elección
supere
genera regocijo
A2
A1
A2
a
incrementada
(o1(A2,
contraria .
cuando
por Así
el por
la
Utilidad
Esperada
arrepentimiento
o
ejemplo,
elección
si
la
regocijo
A1 ) > 0), el individuo podría preferir A
utilidad esperada de esta alternativa fuese menor que la de A 1 .
El agentes
agente
temperamental
temperamentales
esperada
en
sus
de
standard tipo
valoraciones :
asociado,
I,
no
01 (A 1 ,
A2)
y
tendrían n
=
E n
J
j=1
en
de
cuenta
1J
H1(1j),
que A2
aunque la
2
general
en
de
A1
todos la
los
utilidad
vinculándose
su actitud frente al riesgo a la concavidad de la utilidad básica .
Para un agente tibio se tendría :
Al
~
A2
111
(A,
n A2 )
71
= 3E1 J
1
f
1 -
H1(
.i)
l '- 0
de manera que : Al
~
A2
*
0 111 (A ,
A2)
= U(Al)
2:
U(A 2) + 01 (Al , A2)
0 .4.- Avance del contenido de la memoria .
En los tres capítulos que siguen,
la versión Expandida de Teoría del
Arrepentimiento que acabamos de presentar en la sección anterior, se aplica al análisis
de diferentes problemas de decisión de seguro .
En el capítulo primero, en el que se aborda el problema de la decisión de seguro pleno, se relacionan algunas de las dificultades que 43
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
plantea
el
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix Volver al índice/Tornar a l'índice
tratamiento clásico y se prueba cómo la consideración de la actitud frente al
éxito/fracaso permite
explicar los contratos entre
agentes neutrales
al
riesgo. Se plantea asimismo la posibilidad de que una selección ,favorable, consecuencia
de
dicha respuesta psicológica,
explique
el
hecho de
que
el
mercado de seguros no se comporte realmente como una "bola de nieve" movido exclusivamente por la selección adversa . Se analizan también los efectos de la superposición de la aversión al riesgo y la temperamentalidad/tibieza .
El
capítulo
segundo
se
centra
en
el
análisis
del
llamado
seguro
probabilístico [Kahnemann y Tversky (1979)], así como en otras modalidades de protección frente al riesgo como son la autoprotección y el autoseguro . Se vuelve a probar cómo la consideración de la temperamental ¡dad o tibieza de
los
agentes
dificultades estas la
permite
teóricas
situaciones
comunicación
e
explicar intuitivas
particulares de
los
la
evidencia
empírica
que
la
Utilidad
plantea .
Se
refuerzan
resultados
de
un
y
sortear
Esperada, las
experimento
las
aplicada
conclusiones realizado
a con
en
la
Universidad de Alicante .
El tercer capítulo de esta memoria recoge
los resultados teóricos de
la aplicación de la versión expandida de Teoría del Arrepentimiento al caso de
valoraciones
nuevamente,
dependientes
explicar
el
del
estado
comportamiento
del real
mundo . de
los
independencia de su actitud frente al riesgo, en problemas de
Ello
permite,
individuos decisión
de
seguros sobre bienes irremplazables y de seguros especiales de vuelo, los
cuales,
la
aplicación
de
la
Teoría
dificultades .
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
Clásica
plantea
con para
algunas
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
CAPITULO I
UTILIDAD EXPANDIDA Y DECISION DE SEGURO PLENO()
1 .1 .- INTRODUCCION 1 .2.- SEGURO PLENO: ENFOQUE CLASICO 1 .3 .- APLICACIONES A LA DECISION DE SEGURO PLENO. 1 .4.- EJEMPLOS 1 .5.- CONCLUSIONES
Los resultados de este capítulo se corresponden esencialmente con el trabajo "Una versión de la Teoría del Arrepentimiento : Aplicación a la demanda de seguro", Sirvent, R .J . y Tomás, J . (1992a)
45
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
1.1: Introducción El
objeto
de
este
capítulo
es
presentar
algunos
resultados
de
la
aplicación de la versión de la Teoría del Arrepentimiento que hemos llamado Utilidad Expandida al problema concreto de la decisión de seguro pleno .
Dos
son
los
motivos fundamentales
que
invitan a
enfocar
el análisis
desde la perspectiva de una teoría alternativa y más en concreto desde la Teoría del Arrepentimiento.
(a)
En
primer
lugar
porque
la
Teoría
de
la
Utilidad
Esperada
no
da
respuesta satisfactoria a determinados aspectos observables del problema: saber,
la
neutrales
existencia frente
al
de
los
riesgo,
reaseguros
como
así
las
como
contratos dificultades
entre
a
agentes
derivadas
del
fenómeno de selección adversa.
(b)
Por
tratarse
de
un
problema
de
elección
entre
dos
opciones
alternativas: asegurarse o no asegurarse en el que la valoración ha de ser necesariamente relativa
y
el
sentimiento
de
arrepentimiento/regocijo
debe
pesar especialmente .
El capítulo se inicia con un recordatorio de algunos de los resultados clásicos en relación con este problema . La versión Expandida de la Teoría del Arrepentimiento se aplica, en la sección 2, al problema de decisión de seguro pleno. Las actitudes que definimos como temperamental !dad y tibieza
frente
al
éxito/,fracaso
explican
frente al riesgo como resultado de posibilidad
de
selección
favorable .
los
contratos
entre
agentes
neutrales
transferencia de arrepentimiento y La superposición
del
arrepentimiento
la y
la aversión al riesgo determinan expansiones o contracciones del espacio de seguro . En la sección 3, mediante unos ejemplos, se ilustran los resultados y el capítulo sé cierra con algunas conclusiones y comentarios .
46
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
1 .2: Seguro pleno : Enfoque clásico seguro es
Un
un contrato
por
el
que una
de
las
partes
(compañía
aseguradora) se compromete a pagar una compensación a la otra parte (agente tomador) si ésta sufre una pérdida financiera que puede producirse con una cierta probabilidad . Por su parte, el agente tomador se compromete al pago de una prima a la compañía con independencia de que la pérdida se produzca o no .
Mediante
este
mecanismo,
los
individuos
pueden
transferir
a
las
compañías todo o parte del riesgo al que se enfrentan, a cambio del pago de la prima.
Supongamos que un riesgo
de
una
agente
individual,
pérdida financiera
x
:5
W
con riqueza W, con
se enfrenta al u
probabilidad conocida
de
producirse.
Supongamos también, que mediante el pago de una prima y, el agente puede
cubrirse
completamente
frente
al
riesgo,
transfiriéndolo
a
una
compañía especializada . Si el
individuo es un
maximizador de la utilidad
esperada,
adoptaría
la decisión de asegurarse o la de no hacerlo, comparando las loterías que llamaremos L1 y Lo respectivamente .
Lotería L0 : Si no se asegura puede ocurrir : (a)
Que se produzca la pérdida x, con lo que la riqueza del agente pasará
de ser W a ser W-x, con probabilidad n. s
(b)
Que no se produzca la pérdida, con probabilidad (1 - n), en cuyo
47
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
caso,
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
la riqueza del agente continuará siendo W.
Así pues, tendremos que :
L
0
=(W-x, n ; W, 1-n)
Lotería L1: Si el agente se asegura mediante el pago de una prima 9,, su riqueza,
con independencia del
estado de
la naturaleza que se realice,
será la misma : W - 7.
La utilidad esperada de estas loterías será:
U(L)=nu(W-x)+(1-n)u(W) 0
U(L l ) = u(W - 2') Donde u( .) representa la utilidad del agente sobre la riqueza poseida con certidumbre . El agente decidirá asegurarse cuando U(L) > U(L ) . 1
0
y estará dispuesto a ello pagando, como máximo, una prima y* de manera que :
u(W - 2,*) = n(W - x) + (1 - u) u(W)
Teniendo en cuenta que la utilidad sobre la riqueza u( .) es creciente, se concluye que : u(W - x) < u(W - ?,*) < u(W), por lo que
48
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
9,* < x
,
y
por
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
ello,
es natural,
como
la prima máxima
que
el
agente
está
dispuesto a
pagar, es siempre inferior a la cuantía de la pérdida .
Según la definición de prima
que el
equivalente
agente está dispuesto
cierto
(sección 0 .2.3),
0
_
7r u(W - x)
+
máxima
a pagar por transferir el riesgo,
relaciona con el equivalente cierto e(L ) de la lotería L 0
u[e(L )] 0
la
(1-n) u(W),
es
decir,
se
de modo que :
e(L
0
)
=
W -
esto es: y* = W - e(L0) . El agente estará dispuesto a ver deducida de su riqueza W cualquier cantidad y < 9,* en concepto de prima con tal de eliminar el riesgo. Para la prima y = y*,
el agente sería
indiferente entre comprar
el
seguro
hacerlo, y lo rechazaría cuando y > 9^ Las siguientes figuras 1 .1 y 1 .2, reflejan lo dicho hasta ahora.
Rlqu e za en el e s t ado de pérdida
\
/1'
W -
L
0
W-
W -
W -
figura 1 .1 49
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
W
Riqueza en el estado de no-pérdida
o no
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
En la figura 1.1 se han representado las curvas de indiferencia de la utilidad
esperada
estado-contingentes .
de
un
agente
en
el
espacio
de
resultados
Tales curvas se han dibujado convexas entendiendo que
el individuo es averso al riesgo . El contrato de seguro pleno, que sitúa al agente
sobre la
intercambio
de
bisectriz riqueza
(recta entre
de
certidumbre),
estados
que
se
permite
interpreta como un mejorar
la
utilidad
esperada. En la figura 1.2 se ha representado la utilidad
del
agente sobre la
riqueza y la relación entre la prima máxima y*, el equivalente cierto e(L0 ) y la esperanza E(L0) de la lotería L o .
Uti 1 i dadT
I
I I1 I
I I I I
W -
IfI I I e(Lo)
x
le
I I I
I 1 I I 1
E(W)
I I I I I i
w
Riqueza
figura 1 .2
1 .2.1: Consecuencias (a) : La prima máxima y* crece con la probabilidad de pérdida:
dz* dn
u(W-x) -U >
- u(W)
(W- ,Y*)
50
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
> 0, ya que u' ( .) > 0
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
(b) : La prima máxima 7*, crece con la cuantía de la pérdida . da,* dx
(d) :
Suponiendo al agente
consecuencia:
W -
individuos aversos superior
al
u' (W-x)
=
u'(W-y *)
explícitamente
7* < n(W - x) + al
valor
riesgo están
esperado
existencia de espacio para
el
> 0
(1-n)
siempre la
de
averso al riesgo = W - nx, dispuestos a
pérdida .
Este
se tendrá como
así 7* > nx.
Los
pagar una prima
resultado
explica
la
seguro (todos los agentes aversos al riesgo
contratarían seguro pleno a prima equitativa) . Los agentes neutrales frente al riesgo por su parte, serán indiferentes entre comprar seguro pleno o no hacerlo a prima y = nx.
(d) : Variación de 7* con la riqueza W del agente :
d,y*
u'(W-y * ) -
Inu,
(W-x) + (1-n)u'(W)1
El signo dependerá de la concavidad/convexidad de u'( .), esto es, signo
de
u`(.) .
Si
suponemos
que
el
agente
es
averso
al
riesgo,
del su
utilidad es cóncava u"G) < 0. Si además se supone que u`(.) > 0, lo que < 0 .(1) se vincula a la aversión al riesgo decreciente, en tal caso:
dW
Este resultado (efecto riqueza) debido a J. Mossin (1968), aunque intuitivo, no debe considerarase tautológico como el propio autor señala : "La hipótesis hace referencia a la estructura particular de las preferencias mientras la conclusión se establece sobre el comportamiento prescrito . En todo caso, la apariencia tautológica se debería al acertado nombre de coeficiente de aversión al riesgo para - u"( .)/u'( .)" [En J . Mossin (1968), pp. 563, final] . p Al-
51
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Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
(e) :
Otra de las consecuencias
de la Teoría Clásica es
la que se conoce
como selección adversa . Las compañías de seguros desconocen, de hecho, el nivel de riesgo particular de cada uno de sus posibles clientes y ofertan coberturas
a
primas
calculadas
estimando
una
"probabilidad
media" .
Esta
asimetría en la información determina que sean los clientes de mayor riesgo (los
de
contratos
mayor [ver
probabilidad Rothschild
aumentando la prima
este
de
y
sufrir
Stiglitz
proceso
clientes contratarían el seguro .
la
pérdida)
(1976)] .
se
Si
las
retroalimenta
Un análisis
los
que
acepten
compañías y
sólo
de este tipo
los
los
responden peores
de fenómeno,
en
el caso del mercado de coches de segunda mano aparece en Akerlof (1970) .
1.3 : Utilidad Expandida y seguro pleno Considérese el problema de elección que se plantea un individuo ante la posibilidad de contratar un seguro pleno frente a una pérdida de cuantía fija x que puede producirse con probabilidad prima 9,
n,
mediante el
pago de una
que le cubrirá durante un determinado período de tiempo .
Siendo dos los estados de la naturaleza posibles : la pérdida con probabilidad is o
(b) que no
(a) Que se produzca
se produzca, con probabilidad
(1-n), dos son también las alternativas : Asegurarse o no asegurarse . Siendo W = 1
la riqueza
actual del agente,
la matriz de resultados
contingentes es la siguiente :
Estados Probabilidad Acción A 1 s Acción A2
pérdida
no pérdida (1-n)
n u(1-?')
(Tomar seguro)
u(l-x)
(Rechazar) .
52
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donde supondremos 0 < x :s 1 y 0 Para fijar ideas,
< 1.
0
0(1 -
y
=
el
agente
a
u2) .
y(n)
es
una
función
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
Entonces, podemos considerar la función :
2 O(u2(n) - u1 ) + 0(1 - u2(n))
ir(n) =
Esta función posee las siguientes propiedades :
(i)
está
ñ(n)
bien
definida
y
la
interpretamos
como
una
probabilidad .
En efecto : 0 s n(n) :5 1 en el intervalo [O , ] cuando 7 = n(1+k)x, con 1+k k k: 0
tiene (k
(prima con gastos en general). Como u (0) = 1 y u (1/(i+k)) = u 2
n(0)
= 0
=
0
y
n(1/(i+k))
y por tanto y
=
1.
En
= n x),
verificándose que n(0) = 0
y que
el
el
caso
2
de
prima justa
intervalo de definición es
n(1) = 1.
(ü) La función n(n) es estrictamente creciente para 0 < n < 1.
0'(1 -
dn dn
u2)(-u2)L 11,
- 0(1
-u2)L
0(u
2
- ul)
u2),2 (u2 - u l ) + 1G(1 -
vi '(u 2 - u l ) u2- 0'(1 - u2)u2 (u2 - u l ) + 0(1 - u2)J 11
54
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
2
1
sin el
se
gastos (0,
1)
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-0'(1 - u 2 )O(u 2 - u1 ) - 0(1 -
u2
11,
u2)0'(u2-
0
u2)]2
(u 2 - ul ) + kb(1 -
Por ser0_0
XI
por ser H(.) simétrica. En definitiva:
Al >
H( .)
Como
sólo
A 2a
puede
H
ser
positivos, en el primer caso
10 -
n) x j ?: H(rr x)
creciente
o
decreciente
A1 > A2 a ir A2a ir >_ 1/2 en el
segundo .
Como vemos, para
pequeñas
el
arrepentimiento
probabilidades
(que
actúa
en agentes neutrales
conducen
a
primas
bajas)
al en
riesgo sentido
opuesto a como lo hace para probabilidades altas (elevadas primas) . Cuando H(I) crece para podría
1
> 0,
interpretarse
valoración,
como
efecto
un
de
una componente de "aversión
"amor al cuando
se aceptan contratos sólo a primas bajas, lo que que
H( .)
introduce
decrece
para
J>0,
la
al fracaso" o equivalentemente de
éxito" que expande el regoci jo/arrepentimiento . Por H(J)
en
agente
el
actúa
el
contrario,
sentido
en
opuesto,
manifestando una actitud de "tibieza frente al éxito/fracaso" .
Así está
pues,
ligada
a
mientras la
en
aversión
Teoría
la
explícita
Clásica al
la
posibilidad (un
riesgo
agente
de
seguro
neutral
se
mostraría indiferente a cualquier n, ver por ejemplo McKenna 1985), dentro del
marco
conectado
de
la
Teoría
exclusivamente
del con
Arrepentimiento, el
sentimiento
existe de
espacio
de
seguro
arrepentimiento/regocijo :
agentes neutros pagarían primas por transferir arrepentimiento, haciéndose s por tanto predicciones que la Utilidad Esperada es sólo capaz de hacer bajo
56
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
condiciones más restrictivas . Quedaría así explicado el establezcan
contratos
de
reaseguros
entre
hecho
de
compañías
que
se
supuestamente
neutrales frente al riesgo.
(b) 5ubcaso : Agente averso al riesgo .
Tendremos ahora,
u = u(a) cóncava estricta y,
como ya sabemos,
la
decisión de seguro vendrá expresada por :
Al > AZ
a
ir(n)
>_
71
En el caso del agente neutral frente al riesgo hemos visto, hacer supuestos sobre ip, partir del
cual
se
encontramos un punto fijo u =
invertía la decisión .
1/2 para w(a) a
En el caso que nos ocupa, no es
posible obtener un resultado similar sin hacer hipótesis adicionales la forma de 0( .) . En concreto, convexa o bien cóncava para
(2) :
1
>
cómo sin
exigiremos que 0(2) .
la función 0( .)
sobre sea o bien
Con los supuestos hechos sobre h( .) siempre es posible garantizar la existencia de un intervalo donde la función 0( .) sea convexa o bien cóncava (ver consecuencias (i') y (ü') de la sección 0.3.2)
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
Definición
1 .1 .-
molad
Llamaremos
probabilidad tal que
tr
a
aquella
1 - u2(ir) = u2(u) - u1 . (Ver figura 1.3)
ir se relaciona con el grado de aversión al riesgo, ya que [1 - ir x] sería el equivalente cierto de la lotería :
U3
= 1
u2
u,
p
1-ñx
1-x
figura 1 .3 Este
hecho,
equivalente a
7c,
que
justifica
el
2
1-
que
1
hayamos
llamado
probabilidad
permite relacionarla con la prima de riesgo de la lotería
en cuestión: Pr(L) _ (ir - 1/2) x.
Nótese
que para
n
<
n,
1
u2
-
<
u2
-
ul
y que para
n
>
n
se
verifica la desigualdad contraria . Es inmediato observar que de
n
implica que si
n > n
,
n(n)
> 1/2,
n(n)
lo que situaría,la gráfica de
=
n(n)
1/2 . y
Por otra parte, el crecimiento si n < n
,
entonces
~r(n) < 1/2,
en la región rayada de la figura 1.4. en
la página siguiente .
58
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
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0.5
n
0.5
1
figura 1.4 Hasta el
momento,
lo
único
intervalo [1/2, a], se verifica que Analicemos en primer lugar
que
se
puede
asegurar
es
que
en
el
7r(ir) < Tr , y se aceptará el contrato. el
caso
de
0
convexa .
Proposición 1 .1 .- Si la función 0(.) es convexa y verifica la "condición de forma": [1)
entonces
t d w(a)
dat en este intervalo .
~(b) 1: 0 "( b) 0 "(a) Vj(a)
para
o < a < b cs)
" > 0 para 0 < a < n con lo que n(n) será convexa estricta
(3) : Esta condigión la verifica una amplia familia de funciones que cumplen a su vez el resto de los supuestos .
59
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dn án =
~'(1 - u 2 )0(u 2 - u i ) + 0(1 -
-u2
11, (u 2 - u i ) + 0(1 - u2)i
LLamando A
= 1
d 2-
2
2
-u2 'A +
2
-u i )+0(1-u 2 ) B2 + 2BB'u2 A
A'(-u2)] B4
dir2
-u2 'A +
B
+ 2B'u
Siendo A'= ,P"(1- u )O(u _ u i )(-u2) + IP'(1-
u2)O'(u2-
A'(-u2)J B
2
'A
3
2
u i )u2 +
(1- u 2 ) v5 , (u2 - u i )(-u2) + 0(1- u 2 )0' , (uti ui)u2 = > U2 10
ui)J
0'(1 - u2)IP(uz ui ) + lp(1 - u )0'(u2 u1 )]
B=0(u
+
u2)0'(uz
u2 W (u2 ui) - 0 (1-
u2)O(u2
B'= u2 [ O'(u 2 - ui ) - O'(1-
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
ui)]
u2)J
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B {
-u2'
dir
A _( u? )2 [0 (u2-ul)0(1-u2)-kh (1-u2)O(u2-ul)
(u2) [ 2
2
O'(u 2 - ul ) - O'(1B
Para n < n, 0'(1- u2 )
< vi, (u 2 -
u2)1
A
3
(o
u 2 < u 2 - ul y como 0'( .) es creciente
1-
convexa),
u1 ) .
La condición [11 implica : 0(1- u2 )0 (u2- u1 )- IK (1_ u2)0u2- u1 ) < 0 y teniendo en cuenta
que A
>
0
,
B
> 0 y
conclusión n" (n) > 0.
u2' (.)
<
0.
Llegamos a
la
Nótese que si 0(1) es lineal (agentes Von Neumann y Morgenstern) se tiene directamente la convexidad de n(n), d u.
Consecuencia .- La convexidad de 7r(7r) implica que 7r(n) < n, d 7r < n
Considerando en primer lugar convexidad de n( .) implica : ñ(n) < a entonces
n( 12 ) n(n) <
2
- n ~- n , 71 = 712A00,11 y la
+ + (1- A) ñ(n) < 21 1 2 n.
1 - A1= 2
2
i
i
puesto que w 2: 2 , y 2
Sea ahora 0 -5 n 5 2 , tomando A = 1 - 2n se tendrá n(ir) < n por la convexidad de la función . s El resultado obtenido determina, como era de esperar, del espacio de seguro por
una expansión
encima de n = 1/2 al superponerse
61
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
los efectos
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
arrepentimiento y aversión al riesgo. (Ver figura 1.5) .
0.5
0
0.5
ñ
1
figura 1 .5
La
existencia
pertenecer al decisión,
de
una
intervalo
(n,
probabilidad-frontera 1),
a partir de
puede garantizarse cuando
la
n*
=
cual
el
n(n*)
que
deberá
agente invierta su
la derivada de n a la izquierda de 1
sea menor que 1, esto es n' (1) < 1 La
prueba
se
tiene sin
más
que
desarrollar por
Taylor
la
función
n(n) - n a la izquierda del punto n = 1: u(n)-n = n(1)-1 + Or'(1) - 1) r Como
2
2 n"(j)
2
+ 2 n"(0,
= 1- *h, 0 < 0 < 1
es un infinitésimo de mayor orden que (n'(1)-1) r y
puesto que el incremento r es negativo, existirá un entorno a la izquierda de n = 1 en el que la función n(ir) > u, por ser n'(1) = n' (1) < 1 . Siendo x a
Como
0 '(0)
0 '(0) IP(1 -u(1-x)) u '(1-x)
= H(0), la condición
n' (1)
62
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
<
1
se
tendrá
de
forma
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
inmediata cuando H(0) = 0. Obsérvese que con la estructura aditiva de la función de elección de Loomes y Sugden (1982) [ip(1) = l+R(J)-R(-1)] se tiene que #p'(0) it 1.
La estructura multiplicativa de
la nueva función de elección,
lleva a
0'(0) = H(0) k 0 y, por tanto, permite ambas posibilidades : sp'(0) 2: 1 y 0 0'(0) < 1.
En el caso de 0 cóncava para 1 > 0 y, verificando la misma condición de forma [1) para 0 < b < a, queda asegurada la convexidad estricta de n(n) para 1/2 < n _< ir < 1 . Ello es así por ser 1 - u2 > u2 - ul y ser decreciente .
n(ir) < n en el intervalo 1/2 < ir 1/2, el crecimiento estricto y la continuidad de ir(n) aseguran que n(ir) < n en [1/2,1). (Ver figura 1.6)
0.5
0
0.5 figura 1.6 63
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R
1
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
Desarrollando
por
Taylor
w(w) ~ -
a
a
la
derecha
de
ir
=
0,
se
garantizaría que w(w) > n en las proximidades de 0 cuando la derivada de ir a la
derecha de
0,
sea mayor
que
1,
esto
es
n+(0)
>
1.
En ese caso,
existiría por lo menos un 7r* < 1/2 en el que se invertiría la elección . El comportamiento en este caso es la imagen refleja del caso convexo . Los
resultados
anteriores
muestran
cómo
con
independencia
de
la
convexidad o concavidad de la función de valoración, la superposición de la aversión
al
riesgo
y
el
arrepentimiento
determinan
una
expansión
del
espacio de seguro a probabilidades mayores o menores respectivamente que 1/2 . En decisión,
la
existencia
tanto
en
el
de caso
una
probabilidad
convexo
como
de
en
frontera
el
cóncavo,
que
invierta
juega un
decisivo el valor de H(0) = 0'(0) ya que :
= n,(0) +
x u'(1) 0' (0) ! [1-u(1-x)1
x u'(1-x)O'(0 .) 0[1-u(1-x)]
ñ'(1) = -
1.3.2: Caso de prima con gastos : 7 = n(1+k)x, k>0 .
(a) Subcaso : Agente neutro :
La expresión de
n(w) será ahora :
_
0[n(l+k)x] 0[ir(1+k)x ] +0[x-7r(1+k)x]
teniéndose por tanto, al ser u lineal, que n vendrá dado por :
1-ir(1+k)x=1-
y
64
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
n
__
1 1 2(l+k) < 2
la
papel
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
Además n( 1
+k
)
=
1,
es
decir,
el
intervalo
de
definición de ñ
es
ahora [0, 1/(1+k)] . Además, se comprueba fácilmente que n"(n) = 0. El
hecho
de
arrepentimiento,
los
que
ahora
gastos
en
n
<
1/2
la
prima
hace
pensar
inducen
una
que,
debido
contracción
al del
espacio de seguro . Analicemos el caso de [1],
0 convexa (1 > 0). Con la condición de forma
resultará n(7r) convexa estricta
para ir
<
u
y
cóncava
para n > n,
resultando el punto n un punto de inflexión de la función Tr(n) . (La prueba se tiene
,
igual
que en el caso anterior,
teniendo
en cuenta que,
ahora,
u"(n) = 0 y que para u < n, se verifica que 1 - u2 < u 2 - u l mientras para ir > rr, que l - u 2 > (u 2- ul).
Consecuencia .- La concavidad de n(ir) implica que ir(n) > ir, W n > u
En efecto: sea n
=
an + (1-a)
;k
¡+k
20+k)
+
(1-A) i+k
basta con aplicar la
concavidad estricta de n(n) y tomar ;k = 2 - 2(1+k)n, así n(n) > (1+k)n > n.
Para n < u pueden ocurrir, en general, ambas cosas : n(n) > n o bien n(n) < n, no obstante, cuando la derivada a la derecha de 0 es menor que 1 Tr'(0) < 1, ir(n)
<
lo que se tiene si 0'(0) = H(0) = 0, hay un entorno en el que
u,
garantizada,
(figura por
1 .7
en
convexidad
página
la y
siguiente) .
crecimiento
estricto,
En la
tal
caso
existencia
queda de
un
único n* = n(n*) < ir a partir del cual el agente invertirá su decisión . En ambos casos queda manifiesta una contracción del espacio de seguro respecto al caso de la prima sin gastos . s
65
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
0.5 i i t
I I
figura 1 .7
Para 0 cóncava (J>0),
bajo la misma condición de forma [11,
n(n)
es
0,
la
ahora convexa para n < n < 1/(I+k) y cóncava para n < n.
Consecuencia .- La concavidad de Ello es así ya que, concavidad de
la
función
n(u) implica w(7r) > n, d n < n .
tomando
ir
implica,
para
=
J10
+
(1-A)n,
a
=
1
-
siendo
2(1+k),
n(0)
la
=
consecuencia
deseada . Como intervalo
además [u,
1/21,
n(1/2)
>
se tendrá
1/2
por que
crecimiento n(n)
figura 1 .8) .
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
>u
en
estricto el
n(n)
intervalo
[0
>
n
en
,1/21 .
el (Ver
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
0.5
figura 1.8
1 .3.3: Gastos y prima máxima : Selección favorable .
En
el
caso
de
agentes
neutrales al
acabamos de considerar, se tiene que
dk
riesgo
y
prima con gastos que
< 0.
Puesto que existe una probabilidad-frontera n* e (0, n) (.caso convexo) que
invierte
la elección,
dicha n*
decrecerá
cuando
aumente la carga de
gastos incluidos en la prima, y se reducirá el espacio de seguro .
En estas condiciones, la máxima carga que el agente está dispuesto a aceptar para una probabilidad dada u = ira se obtendrá de: n(na, (Véase figura 1 .9)
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
kmax ) - na*
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
0.5
figura 1.9
Así,
la
prima máxima
ir 91max - a(1 + kmax ) x sea 7 < 7 o max' Si
se
considera
que
está
dispuesto
a pagar el
agente,
será
aceptando todo contrato en el que la prima ofertada
un
nuevo
individuo
de
idénticas
características
al
anterior, pero cuya probabilidad nb de sufrir la pérdida x es mayor, na < 7r
éste último, se mostrará indiferente para una carga máxima en la prima, b' inferior a la del individuo de menor riesgo: 7max - ua(l+ka )x = nb(l+kb)x, de manera que al ser ua < nb=> ka> kb Ello es natural si se piensa en el sentimiento de arrepentimiento, que para ambos agentes generaría el pago de la prima global en el supuesto de que no se produjese la pérdida .
Pensemos ahora, de
riesgo
probabilidad
que las
compañías de seguros,
particular
de
media
ofertando
nm,
sus
potenciales la
desconociendo el nivel
clientes,
cobertura
plena
operan a
una
con
una
prima 9, 0
=
nm(l+ko)x. Teniendo en cuenta el resultado anterior, se tendría un fenómeno de
selección
favorable :
Los
agentes
revelan
sus
características
de
riesgo
cuando rechazan ciertas cargas en la prima. Así, las compañías, controlando ko
tendrían
posibilidad
de
diseñar
contratos
determinados .
68
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
para
segmentos
de
riesgo
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
Para el caso de
0 cóncava, se tendría también selección favorable . En
una situación como la reflejada en la figura 1.10, para probabilidades u 1 < n:
<
712
el agente se asegurará
cuando la prima es 9, = n(1+k)x .
0.5
i I I I I I
I 1 I 1 I
t
0
Controlando el valor
n
n,
nz
figura 1.10
de k se puede fijar la banda de riesgo de los
agentes que aceptarán el contrato .
Recuérdese que dentro del esquema de la Teoría Clásica de la Utilidad Esperada, sólo cabe el fenómeno de selección adversa (al aumentar la prima, sólo
contratan
seguro
los
agentes
de
alto
riesgo,
[Ver
Rothschild
y
Stiglitz (1976)] . Dentro del esquema de la Teoría del Arrepentimiento, puede existir la selección favorable, y ello explicaría el hecho de que el mercado de reaseguros no tenga un comportamiento de "bola de nieve" de un modo semejante al que describe Akerlof (1970) .
(b) Subcaso : Agente averso al riesgo . La superposición
de los
efectos del
riesgo puede dar lugar tanto a expandir
arrepentimiento
como
69
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
a
contraer
y el
la aversión al espacio
de
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
seguro y, con ello que, para determinadas cargas k en la prima, los agentes se comporten como neutrales . Para este caso también resulta posible el tipo de selección favorable que hemos comentado más arriba . En la sección siguiente proponemos un conjunto de ejemplos que cubren los distintos casos que se han enumerado .
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
1.4: EJEMPLOS EJEMPLO 1 .
h(~) = 1 H(C) = 1 -
e-C2
H(~)
e-C2
a C1 (~) = - e-C )
figura 1 . 11 La
función
h(1)
=
1
-
e-'
2
correspondería
a
un
agente
temperamental, que resalta las grandes utilidades relativas .
La
función
n(n)=
vi(1-u 2 ) +
2
determina
el
comportamiento
O(u2_u1)
reflejado en las dos figuras siguientes : Prima justa sin gastos Agente neutral
b .5
Agente averso al riesgo
1
0
figura 1 .12
71
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
0 .5
^
n figura 1 .13
1<
*
1
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
El
agente
probabilidades
neutral menores
frente que
al
1/2
a
riesgo prima
al riesgo amplfa el espacio de seguro.
aseguraría
justa,
mientras
sólamente que
la
para
aversión
En este caso de aversión al riesgo,
n(u) correspondientes a x = 1 (el agente se
se han representado las curvas
enfrenta a la posibilidad de perder utilizado
se
toda su riqueza) y a x = 0.1 .
Se ha
u(a) = Ya como función de utilidad del agente sobre la riqueza
cierta . Una
carga
de
de
dicho
contracción
gastos
en
espacio
de
la
prima
seguro,
implica, hecho
siguientes, en las que se ha tomado y = (1 + 0.1)
que
en
ambos
casos,
muestran
las
una
figuras
n x.
Prima con gastos Agente neutral
Agente averso al riesgo u(x)=
0 .5
x
0.5
I
I
I I
I
I 0
*
n
"
n
0 .5
f i gura
1
1 . 14
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
0
0 .5
7C
figura 1 .15
*
1
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
EJEMPLO .2.
H( ~E ) 2
h(~)=2-e -
________
2
H(C)=2-e -
2
figura 1 .16
En
este
caso
el
agente
también
resalta
las
grandes
utilidades
relativas . No obstante, el valor de la función H(I) en el origen implica un comportamiento explícita
al
similar
riesgo .
La
al
agente
neutralidad
Von en
Neumann cambio,
en
el
refleja
caso
de
aversión
actitudes
distintas
tanto a prima justa como con gastos. Prima justa sin gastos Agente neutral
Agente averso al riesgo
0.5
0 .5
0 .5 figura
1
0
1 .17
0 .5 figura 1 .18
73
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
1
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
Prima con gastos Agente neutral
Agente averso al riesgo u(x)=4x
0 .5
F AA
0 .6
VAA
VA
x= 1 k=0 .1
0 .5
L~ l- 1 0 0 .5
1
figura 1 .19
1
T<
f ¡gura 1 . 20
EJEMPLO.3 .
H(~) h(~)
= Z C1 -
th(~-1)1 h(~)
1/2 H(~) = 1 [th(~-l) + th(-~-1) I Vi (~)
_ ~ H (E)
f ¡gura 1 . 21 Este "tibio"
ejemplo modeliza
frente
al
un
individuo
éxito/fracaso,
ya
que
pequeñas diferencias de utilidades .
74
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
que
se
acentúa
ha la
calificado valoración
como
de
de
las
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
Prima justa sin gastos Agente neutral
Agente averso al riesgo
0 .5
0 .5
0
0 .5
1
0
f i gura 1 .22
P-.AAP
0 .5
1
f figura 1 . 23
Prima con gastos Agente neutral
Agente averso al riesgo
0 .5
0 .5
0
0 .5
1
f ¡gura 1 .24
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
0
0 .5
f ¡gura 1 .25
*
1
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
1.5 : CONCLUSIONES
La
mayoria
Esperada
han
de
sido
las
diferentes
propuestas,
teorías
básicamente,
alternativas con
la
a
idea
la
de
Utilidad
suavizar
la
axiomática de Von Neumann y Morgenstern para la elección en condiciones de riesgo,
de
paradojas
manera de
que
pudieran
comportamiento
quedar
observadas .
explicadas Sin
y
embargo,
justificadas en
la
las
literatura,
apenas se encuentran aplicaciones de estas teorías al análisis de problemas concretos,
terreno
en
el
que
la
Teoría
Clásica
continúa
Loomes
y
siendo
el
paradigma .
La
Teoría
del
particularmente comportamiento
Arrepentimiento
adecuada, de
un
en
agente
su
que
de
formulación,
se
enfrente
a
Sugden
para
la
resulta
analizar
decisión
de
el
tomar o
rechazar un determinado contrato de seguro, y la versión que se presenta en este trabajo, permite obtener algunos resultados interesantes .
(a) En primer lugar, compañías de de
los
Clásica .
seguros,
reaseguros, En
admitiendo la neutralidad frente al riesgo de las
la Teoría del
fenómeno
este
sentido,
que es
no
al
riesgo
responsabilidad de
resulta
interesante
arrepentimiento explica la delegación, neutros
Arrepentimiento predice la posibilidad explicable notar
futuro
la
Teoría
el
efecto
de
en el sentido de que incluso agentes
están dispuestos a pagar una su
que
con
arrepentimiento
a
prima para la
transferir la
compañía tomadora
del
seguro .
(b) A diferencia de lo que ocurre en la Teoría Clásica, donde sólo los agentes aversos al
riesgo están dispuestos a pagar primas
pérdida
en
esperada,
la
Teoría
del
Arrepentimiento
superiores a la
también
los
neutros estaríaif dispuestos a aceptar contratos a prima con gastos.
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
agentes
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix Volver al índice/Tornar a l'índice
(c) El resultado de selección favorable, tiene interés
en
la
medida
que explica el hecho de que el mercado de seguros no se comporte, de
realidad,
modo
continuamente convive
la
que
como
selección
alto
y
riesgo
consecuencia
la
primas
de
la
características
de
se
el
información
disponible
por
las
del
espacio
obstante,
compañías
sobre
queda
ella
con
ambos
no
teoría,
Si
En
subyace,
la
adversa .
amplio margen de maniobra a la hora de ofertar contratos de seguros . selección
por
retroalimenten un
de
predicha
selección
se
abierto
casos
favorable
de
elevadas
en la
el las
problema
riesgo de los clientes .
(d)
La
expansión
arrepentimiento
y
la
aversión
al
de
seguro
riesgo
(subcaso b) merece algunos comentarios :
que
aversión
al
riesgo
sobre
el
cuando
aparece
en
superponen la
sección
1 .3 .1
En primer lugar, un dominio de la
arrepentimiento
podría
conducir
a
comportamientos análogos a los de los agentes Von Neumann y Morgenstern (véanse a este respecto los ejemplos 2 y 3); En segundo lugar, de
una
Expandida;
estructura ,
multiplicativa
permite
arrepentimiento/regocijo
especificar dominaría
en
función
la
condiciones a
la
de
bajo
aversión
manifiesta en la posible existencia de reversiones
al
la adopción
elección las
que
riesgo,
(Utilidad el
lo
en la decisión
efecto que
se
(véase el
ejemplo 1 ) . Además, se dispone de u como una medida del grado de aversión al riesgo en este tipo de problemas .
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
CAPITULO II UTILIDAD EXPANDIDA Y OTRAS MODALIDADES DE SEGURO : SEGURO PROBABILISTICO, AUTOPROTECCION Y AUTOSEGURO~ ~
2.1.-
INTRODUCCION
2.2.- SEGURO PROBABILISTICO Y UTILIDAD ESPERADA 2.3 .- LA UTILIDAD EXPANDIDA Y EL SEGURO PROBABILISTICO 2.4.- TEST EXPERIMENTAL SOBRE EL SEGURO PROBABILISTICO 2.5 .- UTILIDAD EXPANDIDA Y PROTECCION 2.6 .- CONCLUSIONES FINALES 2.7.- APÉNDICE
Los resultados de este capítulo se corresponden esencialmente con el trabajo "Utilidad Expandida y algunas modalidades de seguro", Sirvent, R.J. y Tomás, J. (1992b)
78
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
2.1 .- Introducción
El hecho de que los individuos compren pólizas de seguros a un precio que excede el valor esperado de la pérdida, se ha venido considerando como una
evidencia de
la concavidad de
la
función de utilidad sobre el dinero .
No obstante, la hipótesis de concavidad de la función de utilidad junto con los supuestos de la Teoría de la Utilidad Esperada, conducen a conclusiones que
resultan
inconsistentes
comportamiento
de
Kahneman
los
y
con
la
individuos
Tversky
evidencia
ante
(1979)
de
asegurar
alguna
plantearon
de
en
relación
determinados problemas
estudiantes de la Universidad de Stanford : posibilidad
empírica
sus
el
siguiente
al
de seguros .
problema
a
95
"Imagine que usted considera la
propiedades
frente
a
un
posible
siniestro. Suponga ahora que después de examinar los riesgos y la prima de seguro pleno que le ofrece la compañía, duda entre comprar la póliza o bien
dejar su siguiente
propiedad sin asegurar . programa :
Un
contrato
La
por
el
compañía, que
el
entonces,
le
ofrece
asegurado pagará
sólo
el la
mitad de la prima y en caso de siniestro, con probabilidad n/2 (siendo u la probabilidad
de
sufrir
la pérdida),
prima y la compañía le
n/2 la
compañía
¿Compraría
Vd .
le
cubre
devuelve
entonces
el
asegurado paga la otra mitad de la
íntegramente la
este
prima
seguro
la pérdida, y con probabilidad
cobrada
y
no
probabilístico?" .
cubre La
la
pérdida .
respuesta
fué
afirmativa para el 207 de los encuestados, mientras que el 807 rechazó el seguro probabilístico . Kahnemann y Tversky, utilizaron las
predicciones
de
la
Utilidad
este resultado para contrastarlo con
Esperada,
que
establecen
que
un
averso al riesgo debe preferir el seguro probabilístico frente al pleno .
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
agente
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
En la misma dirección, es también un resultado conocido el que recogen Erlich y Becker (1972) en su análisis de las interacciones entre el mercado de seguros y otras formas de protección frente al riesgo desde el punto de vista de la teoría clásica.
En dicho trabajo concluyen que el incentivo por
la protección queda desvinculado,
paradójicamente,
de
la concavidad de la
función de utilidad, es decir, de la aversión al riesgo .
Un resultado semejante es el que señalan Dionne y Eeckoudt (1985) en su que
estudio se
pérdida
de
la
autoprotección
produzca
evento
un
potencial) :
a
(posibilidad
no
deseado
diferencia
de
lo
de
sin
reducir la probabilidad de
influir
que ocurre
en
en
la
cuantía
análisis
el
de
la
de otros
problemas y en contra de la intuición, un incremento del grado de aversión al riesgo no determina la elección de un nivel mayor de protección .
En
la
memoria
experimentales" la
"Teoría
del
Arrepentimiento :
Resultados
teóricos
y
se reportan los resultados de un experimento realizado en
Universidad
de
Alicante
en
Enero
de
1994.
Se
plantearon
a
los
participantes determinadas preguntas análogas en su configuración a las del cuestionario de Kahneman y Tversky, enfrentando de hecho el seguro pleno al seguro probabilístico .
Los resultados obtenidos confirman
el
sesgo
a favor
del seguro pleno en contra de las predicciones de la Teoría de la Utilidad Esperada . En
este
capítulo se
analizan algunas modalidades de
formas de protección frente al riesgo,
desde el marco de
seguro
y otras
la Teoría de la
Utilidad Expandida, como una forma de dar respuestas teóricas mas acordes con
los
resultados
probabilístico Esperada . este
de
experimentales .
Kahneman
y
La
Tversky
sección y
su
1
describe
análisis
desde
el la
seguro Utilidad
La sección 2 presenta los resultados de la Utilidad Expandida a
mismo
problema .
La
sección
3
recoge
los
experimental en relación con los problemas de seguro . el problema de otras formas de protección :
resultados
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
test
La sección 4 aborda
autoprotección y autoseguro. Un
apéndice incorpora las tablas y datos correspondientes al experimento .
80
del
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
2.2.- Seguro probabilístico y Utilidad Esperada.
2.2.1 .- Seguro probabilístico
El
seguro
probabilístico
que
llamaremos
general,
se
diferencia
del
seguro pleno en que a cambio de reducir la cuantía de la prima, el agente se enfrenta, en caso de pérdida, a una lotería en la cual la compañía sólo cubre ésta en determinados casos, mientras que en otros no se hace cargo de la misma.
No
son
infrecuentes
las
situaciones
que
modelo general de un seguro probabilístico :
se
pueden
englobar
en
el
un seguro agrario en el que, al
asegurar la cosecha, la compañía sólo cubre la pérdida cuando la causa ha sido una helada y no
si
lo ha sido el
pedrisco, el robo,
las plagas. . .
Un
seguro automovilístico en el que el precio de la póliza está condicionado a que en caso de accidente el conductor sea el habitual o por el contrario lo sea
el
cónyuge,
un
amigo. . .
Asimismo,
la
instalación
de
una
alarma,
la
revisión de los neumáticos, un chequeo médico y otras formas de protección frente
a
los
riesgos
y,
en
general
los
seguros
parciales,
podrían
considerase dentro de este modelo .
Este
tipo de seguro vendría recogido en el siguiente modelo :
Sea un agente con riqueza W = 1 que se enfrenta a una pérdida de cuantía x, 0 < x < 1 con probabilidad estimada ir.
Consideremos los siguientes estados del mundo s1, s2 y s3: que sl , se
produzca
la
pérdida
por
estipulada, con probabilidad r7r, siendo 0 < r < 1 .
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
una
causa
específicamente
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
que
S2
se
produzca
la
pérdida
por
cualquier
otra
causa,
con
probabilidad (1-r)7c .
5
3
que no haya pérdida con probabilidad (1-n) .
Entonces,
el
seguro
probabilístico
general
correspondería
a
la
acción :
ESTADOS DE PERDIDA S S 1 2
r7[
PROBABILIDAD
ESTADO DE
( 1 -r )7I
S
NO
PÉRDIDA
3
1-7[
SEGURO PROBABILISTICO 1-ry 1-r?, 1-ry- X GENERAL
donde 9, representa la prima de seguro pleno, que garantiza al agente la riqueza 1-y con independencia del estado del mundo que se realice.
En caso
esta
sección
particular de
del
este
capítulo
seguro
vamos
exclusivamente
probabilístico
general,
a
que
considerar para
un
un valor
particular del parámetro r y para un valor también particular de la prima y de
seguro
Tversky
al
pleno, que
corresponde
al
nos
referido
probabilistico general
hemos será
seguro
probabilístico en
de
Kahnemann
introducción.
la
analizado más tarde en
El
y
seguro
la sección 2.5.
Las acciones que vamos ahora a considerar, vienen representadas en la siguiente matriz:
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
ESTADOS
PERDIDA s
NO PERDIDA s
1
rn
s
2
(1 -r )ir
3
1-n
ACCIONES (A 1 , 8')
1-9,
(A 2 ,
1-Y
1-x
1-x
1-x
V
(A
0
)
)
1-r9, 1
(A1 ,á) corresponde al seguro pleno a prima q,. (A2, y) es un seguro probabilístico en el que el agente paga la prima reducida r-X . Cuando se da s
recibe la compensación x, y completa el pago 1 de la prima hasta 9, mientras que en s2 la compañía le devuelve la prima pagada rw y no cubre la pérdida . La acción A
0
representa enfrentarse al riesgo sin
cobertura
alguna .
El seguro probabilístico de Kahneman y Tversky (1979) corresponde al caso de (A 2 ,2') para la prima y _
y* que hace indiferentes el seguro pleno
(A l , 9,*) y el no seguro, Ao, con r = 1/2 .
2.2.2.- Utilidad Esperada y Seguro Probabilístico
Veremos aplicada
al
predice
que
x
en
primer
problema los
de
lugar, elección
individuos
que
la
entre
aversos
Teoría
de
(A1 ,
7)
y
al
riesgo
la (A2,
Utilidad q,),
Esperada
para
prefieren
el
probabilístico al seguro pleno para cualquier valor del parámetro r.
83
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
9,
= seguro
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
Ya
que
9,* es
la prima para la cual el
agente es
indiferente entre
tomar el seguro pleno y no asegurarse, si éste es averso al riesgo y valora las
loterías por su utilidad esperada,
dicha prima es estrictamente
que
el
ux,
valor
esperado
de
la
pérdida
esto
es,
9,*
>
nx.
Las
mayor primas
ofertadas por las compañías de seguros tienen que verificar y >_ nx, por lo que
el
rango
de
valores
plausibles
para
ellas
se
sitúa
en
el
intervalo
[nx, 2,*] .
La utilidad esperada del seguro probabilístico es:
=
U(A 2 ,,y)
7rru(1 -,X) + (1-r)7ru(1-x) + (1-n)u(1-rX)
La utilidad esperada del seguro pleno es:
Si
el
agente
es averso al
riesgo,
U(A1 ,,y) = u(1-,y)
la desigualdad de
Jensen
implica que : U(A2
T) < u[rir(1 -,X) + (1-r)7rt(1-x) + (1-7r)(1-r2')]
Para el caso de que -y = nx, se tiene U(A2 , irx) < u(1-nx) = U(Al,nx)
por lo que, en estas condiciones, el agente prefiere el seguro pleno .
Tomemos tiene :
nu(1-x)
ahora T = +
(1-ir)u(1)
?^ =
En este caso,
u(1-,x*) .
Sin
por
pérdida
la definición de y*, de
generalidad,
tomar u(1-x) = 0, de donde se obtiene u(1-,x*) = (1-n)u(1) y entonces :
U(A 2
,z*)
= uru(1-,x*) +
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
(1-n)u(1-rz*) .
se
podemos
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
El
seguro
probabilístico será preferido al pleno si
uru(1-7 *) + (1-n)u(1-rz *) > u(1-z*) es decir, si (1-n)u(1-rz *) > (1-rn)u(1-7*) = (1-rn)(1-n)u(1) o, lo que es equivalente si u(1-ry*) > (1-rn)u(1) .
Ahora cóncava,
bien,
la
condición
pues
en
este
Para y* pues,
el
agente
caso
anterior
se
tiene
averso
al
se
que
satisface u(1-rg,*)
riesgo
>
prefiere el
al pleno con independencia del valor de r.
Sea 0(,y)
= U(A2 ,9,) - U(A 1 9,) .
si u lo es, y además, Por otra parte,
si
y
sólo
(1-r)u(1)
si
+
u
es
ru(1-y*) .
seguro probabilístico
Entonces 0 es continua y diferenciable
la derivada. 0'(y) > 0 para. todo 9, si u es cóncava .
O(nx) < 0, mientras que 0(,y*) > 0, por lo que, para los
agentes maximizadores de la utilidad esperada aversos al riesgo, existe un valor 9,,
nx < -d <
preferirán el
seguro
9,*,
con
pleno.
0(9,) En
9,
=
0
de
tal
=
y
se
dará
forma la
que
si
-y
indiferencia
e y
[nx,,X), si
'Y e
riesgo,
éste
(-d, -y*], optarán por el seguro probabilístico .
Si
consideramos el caso de un agente neutral frente al
será indiferente entre tomar el seguro pleno y no asegurarse para 2, = nx. (Efectivamente,
en
este
caso,
U(A2 ,ñ)
=
por lo que se tiene que U(A2 , agente
será
indiferente
entre
el
seguro
rn(1-9,)
+
(1-r)n(1-x)
+
nx) = 1
- ux = U(A1 , ux), y el
pleno
el
y
probabilístico) .
valores de y >" ux, el agente neutral preferirá el seguro probabilístico .
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
Para
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
2.3.- La Utilidad Expandida y el seguro probabilístico.
Vamos a ver cómo mediante la aplicación de la utilidad expandida se generan
resultados
consistentes
con
las
observaciones
empíricas
para
la
comparación entre el seguro probabilístico y el seguro pleno .
Para la matriz de resultados contingentes anteriormente presentada, un agente
que
valora
las
acciones
en
términos
de
la
Utilidad
Expandida
preferirá el seguro pleno (A 1 ,2') al probabilístico (A 2 ,T) si :
(A1 ,9, ) '- (A2 ,T) ~ nr O[u(1-y) - u(1-T)] +
+ n(1-r) O[u(1-z) - u(l-x)] +
Pretendemos aislar el los agentes,
(1-7)
O[u(1-z) - u(1 -rz)] ?: 0
efecto de la actitud frente al
de su aversión al riesgo .
Por ello,
éxito/fracaso en
a partir de este momento
en que consideraremos agentes neutrales frente al riesgo, tomaremos lineal u(a) = a su utilidad
sobre la riqueza .
Es claro que,
en estas condiciones,
un agente Von Neumann-Morgenstern es indiferente entre ambas opciones .
Siendo la función ip(1) = 114(1) con H(I) simétrica, 0(0) = 0 y 0 < r _ (A2 ,T) _ 0 n(x-T) H(x-T) ~: (1-n) T H[T(1-r) ].
Tomando T = nx (prima equitativa sin gastos), se tiene:
(A 1 ,T) ' (A 2 ,2') n(x-nx) H
[x- 71x] k
86
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
(l-n)ux H[nx(1-r)]
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
e=* H[x(1-n)] >_ H[xu(1-r) ].
Caso
a)
Supongamos
un
individuo
temperamental
para
el
cual
H( .)
es
individuo
es
creciente para argumentos positivos, entonces (A1 ,9, ) ?: (A 2 9, ) e=> 1-n >_ n(1-r)
1
r >_ 2 -
En
este
caso,
considerando
la
n
prima
para
la
indiferente entre tomar seguro pleno o no asegurarse, una
y
otra
condiciones,
opción puesto
se que
da
para
0 < r <
1,
u el
= 1
agente
(ver
cual
el
la indiferencia entre
capítulo
preferiría el
l) .
En
estas
seguro
pleno
para cualquier r .
Para probabilidades u < 1/2 siempre prefiere el seguro pleno (fig.2.1) ya que para cualquier r siempre se cumple r > 2 -
r
fig. 2.1
87
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
1 . n
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
Para probabilidades mayores que de r
y
si
éste
es
lo
2,
la
suficientemente grande,
elección un
dependerá del valor
individuo temperamental
también elegirá el seguro pleno .
Así llamamos
pues,
la
actitud
frente
temperamentales,
al
explicaría
éxito/fracaso en
este
en
los
problema
individuos
que
elección
del
la
seguro pleno frente al probabilístico . '
La superposición al
riesgo,
de
determinará
la actitud frente al éxito/fracaso a la aversión
una
expansión
del
espacio
de
seguro
pleno,
como
también la posible inclusión de gastos en la prima provoca una contracción del
mismo
(ver
capítulo
1)
todo
lo
cual,
reforzaría
el
acuerdo
con
la
evidencia experimental .
Caso b) : H(j) decreciente
1
> 0. Individuo tibio frente al éxito/fracaso .
En este caso la elección vendrá determinada por :
(A I ,z) > (A2 ,ñ) ur ¡p(-2'+x) +
(1-7r)
0(-ry) >- 0
e-~ ur(-y+x) H(-9,+x) - (1-n) r9, H(rg,) >- 0 Y por la simetría de H( .) : (A 2 ,~)
Ao
-t~
7r( -
ïr+x) H(-z+x) >: (1-7) xH(rX)
Tomando y = nx
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
el
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
e~ ux(-n+l) H[x(-n+l)] 2!: (1-ir)nx H(rux) e=:> H[x(1- 7r)] >: H[nrxj Caso a): Individuos temperamentales. H'(j) > 0 d (A2 ,á) ? Ao *=> H[x(1-n)]
k
1 > 0 H[nrxj
r
Para
n 0
Ao H[x(1-n)] Z- H[nrxj
r
Para n
:5
Para n >
n
>
1 1
2
1-n ñ
Ao> (A2 ,á) , se rechaza el seguro probabilístico . la elección depende del valor de r.
Obsérvese que cuando la elección depende de r, en ambos casos para 1-7r , la indiferencia se tendrá en r = 1n ,dependiendo elsentido de
Z
la elección de¿
tipo
de
individuo,
en un
sentido para el averso al fracaso
y en el opuesto para el tibio.
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
El siguiente esquema recoge los resultados obtenidos : A: Agentes temperamentales: prima sin gastos n = 1/2: S. Pleno > S. Probabilístico > No seguro ~ S. Pleno
n < 1/2: S. Pleno > S. Probabilístico > No seguro, S. Pleno > No seguro n > 1/2: S . Pleno < S . Probabilístico < No seguro > S . Pleno B: Agentes tibios : prima sin gastos u = 1/2: No seguro > S. Probabilístico > S. Pleno ~ No seguro
n < 1/2 : No seguro > S. Probabilístico > S. Pleno, No seguro > S. Pleno n > 1/2: No seguro < S. probabilístico < S . pleno > No seguro actitud
La
frente
al
éxito/fracaso
permitiría
comportamiento observado de los agentes aún en el
pues
explicar
el
caso de que éstos sean
neutrales al riesgo .
Para preferencias ciclos .
El
ambas
actitudes
resultan tipo
de
temperamentales
transitivas ciclo
posible
y
otros
en
los
para
hay
casos
los
que
agentes
en
los
que
pueden
las
aparecer
temperamentales
es
opuesto al tipo de ciclo para los agentes tibios frente al éxito/fracaso .
La los
existencia
agentes
riqueza,
de
adopten
compren
ciclos
acciones
seguros
en
las
mixtas :
preferencias aseguren
probabilísticos
y
se
alguna al riesgo de perder el resto de su riqueza.
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
podría
explicar
plenamente enfrenten
parte sin
el de
que su
cobertura
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
2.4.- Test experimental sobre el seguro probabilístico de Kahnemann y Tversky . Los resultados presentados en esta sección son parte de los obtenidos en un experimento realizado en dos fases en las que en total participaron 105
individuos
Facultad
de
seleccionados
Ciencias
entre
Económicas,
Empresariales
(Grupo
Sociología
la Universidad
detalles
de
sobre
el
estudiantes
Germán
de
la
Bernácer de
experimento
y
últimos cursos
Universitaria
JOVEMPA), El
recogen
"Teoría del Arrepentimiento :
Memoria :
los
Escuela
Alicante. se
de
y
informe
en
el
de
la
de
la
Ciencias
Facultad
completo y
capítulo
de
de
mayores
tercero
de
la
Resultados teóricos y experimentales"
que presenta Josefa Tomás, (1994) .
La primera fase (26/1/94), sujetos tres
y
en
ella tomaron
realizó con pagos reales
se
parte,
en
tres
colectivos mencionados anteriormente .
mediante
el
comunicó
que
experimento
mecanismo una y
de
RSLP
que
las los
(Random
cuestiones pagos
se
sesiones, Los
pagos se
Selection
sería
52
a todos
los
individuos de
los
llevaron
Lottery
sorteada
efectuarían
una
a
efecto
Procedure)
Se
vez
el
concluido
individualmente
sobre
el
problema que resultase seleccionado. En la segunda fase motivar a los sortearon
al
(16/2/94),
los pagos no fueron generales y para
individuos a que pensaran cuidadosamente sus respuestas, final
de
cada
una
de
las
tres
sesiones
del
desarrollo,
se dos
estudiantes a los que se pagó con el mismo mecanismo (RSLP) utilizado en la primera
etapa .
Aunque
difieren sustancialmente,
los
resultados
obtenidos
en
una
los presentamos por separado y
y
otra
etapa no
conjuntamente en
el apéndice de este capítulo .
El individuos las
objeto
del
experimenta
(supuestos aversos
predicciones
de
la
o
fué
básicamente
neutrales
Utilidad
frente al
Esperada
en
el
el
de
verificar
riesgo), sentido
seguro probabilístico particular de Kahnemann y Tversky
violaban de
(1979)
si
los o
no
preferir
el
al
seguro
pleno para la prima que hace indiferente esta acción a la de no asegurarse.
92
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
Además, intentaba en
sus
enfrentando
verificar elecciones
si
los
binarias
este
seguro
encuestados entre
las
probabilístico manifestaban tres
Como
no
seguro,
preferencias
alternativas
darse una asimetría en dichas preferencias cíclicas, los resultados de otros experimentos .
al
se
cíclicas
consideradas .
De
quedarían confirmados
último
objetivo,
se fijó
el
de
intentar comprobar si la Teoría del Arrepentimiento en su versión Expandida dependiente de
la diferencia,
resultaba
o no
adecuada para
el
análisis de
los problemas de decisión individual de seguro . Para
ello,
se
plantearon
a
cada
individuo
seis
formatos 1, 2 y 3 siguientes :
Formato-1 n N
0
F
x w
IvV
x x
2
i 2
InA _ n
Formato-2
n 100 i2 IT
P
0
x2
F
x2 /2
x2 ir i 2
xl
+ 2
x2
x2 inn
Formato-3 n 100 /2 IT
N P
0
0
x x
0
x
T'~2
ni2
2
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
1
+ 2
i
Inn-n
x
2
cuestiones
en
los
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
Las cantidades en pesetas puestas en juego fueron : xl = 10.000 y x2
=
9.000 en el primer bloque de tres formatos (Primera tripleta) y xl = 10.000 y x2 = 7.000 en el segundo (Segunda tripleta) .
Los problemas del entre
no
asegurarse
formato
frente
a
se
1
podrían interpretar
la .posible
pérdida
de
como elecciones
la
cantidad
xl
o
asegurarse plenamente pagando una prima 9, = xl - x2. Cada individuo debía fijar
la
probabilidad
u
=
n*
para
la
cual
sería
indiferente
entre
asegurarse o no. Para ello se utilizó un procedimiento diseñado por Graham Loomes
en
1989
que
él
ya
utilizó
en
un
test
de
su
Teoría
del
Arrepentimiento . A
través
elecciones
de
directas
un
programa N
entre
y
informático
F
para
(l)
,
mediante
distintas
reiteradas
probabilidades,
se
facilitaba la fijación de la indiferencia para los problemas en formato 1 .
En coincidir
los
problemas con
automáticamente
formatos 2 y
con
las
que
previamente en el problema 1 asociado . elección
directa
entre
el
seguro
3,
las
cada
probabilidades se hacían
individuo
había
determinado
Así, el problema 2 corresponde a la
pleno
F
y
el
seguro
probabilístico
P
mientras los problemas en formato 3, enfrentan este seguro P a la acción de no asegurarse N, no permitiéndose la indiferencia .
Somos
conscientes de las
en este tipo de experimentos
limitaciones de
la simulación de un seguro
(téngase en cuenta que las pérdidas aparecen
(1): El programa informático utilizado, escrito por Norman Spival en la Universidad de York para el experimento de Loomes (1989), fué adaptado en Alicante con la ayuda de Lorenzo Carbonell para incluir los problemas en los formatos 2 y 3 relativos al seguro probabilístico de Kahnemann y Tversky .
94
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
como no ganancias y las pequeñas difícil
si
se
Otras
iniciar el
ofrecidas son relativamente
compara con un seguro real),
encontrar
reales .
cantidades de dinero
candidatos para realizar
posibilidades
experimento
o
como
incluso
estos
entregar la
pero
es bien
sabido
experimentos
vales
a
los
con pérdidas
sujetos
de realizar pagos con
que es de
antes
antelación bajo
el compromiso de participar transcurrido un tiempo, fueron descartadas . No obstante, se piensa que las cantidades de dinero fueron adecuadas para que el
colectivo
relevantes :
particular de
hecho
de las
estudiantes cantidades
encuestador
de
dinero
las
considerase
ofertadas
en
este
experimento de Alicante, han sido relativamente mayores a las ofertadas en otros experimentos por
ejemplo,
Hey
semejantes y Di
Cagno
dirigidos (1990) ;
a
colectivos
Loomes
de
(1989)
estudiantes,
o Loomes,
(ver,
Starmer
y
Sugden (1991)] .
resultados
Los individuos
eligieron
se
que el
obtuvieron
seguro
pleno
son
frente
los al
siguientes :
EL
627
probabilístico
en
la
de fase
con pagos reales y un 56.5 7 en la etapa con pagos parciales . En términos globales el 59 .5 7 eligió el seguro pleno . En los problemas que enfrentaban el
seguro
asimetría
probabilístico
al
no
similar,
el
sentido
mayoritariamente
en
cubrirse
seguro probabilístico) . la
indiferencia,
acuerdo
sus
con
predicciones
los
de
seguro,
frente
al
de riesgo
Ello nos permite encuestador
verdaderas Kahneman
y
ellos obtuvieron .
formulada
por
estos
No
era
que
los
presentaban
sujetos
(globalmente
contestaron
Tversky
que
resultados
pensar que
preferencias .
porcentaje
autores
no
los
(1979)
hipotética
aunque no
al
aunque
azar no
recuérdese y
prefirieron
607 y
confirmarían
Se
obstante,
el
que
no
una
eligió
el
se permitió eligieron
de
entonces
las
en que hubo
el la
elevado pregunta
motivación
financiera .
Los dos tripletas de problemas 1, 2 y 3, la primera con x2 = 9 .000 y la segunda con x2= 7 .000 arrojan prácticamente resultados idénticos por lo que podríamos entender que la valoración no depende del valor relativo
95
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
del
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
resultado central
x2.
Ello
avalaría el
análisis
de
estos
seguros
utilizando
el modelo de Utilidad Expandida dependiente de la diferencia de resultados. Por último las dos
resaltaremos
etapas del
la existencia de
experimento
cíclicas entre las alternativas F,
fallos
de transitividad .
En
aparecen
individuos cuyas preferencias son
P y N:
Hay dos tipos de ciclos posibles,
N ~F > P > N y F ~N > P >F. El hecho de que el número de veces que aparece
el
primer
considerablemente posibilidad
de
intransitividades . en
ambos
ciclo
superior que Si
sentidos.
sean así
(41 .5% al los
fuera,
Este
sobre
segundo
(21 .5
errores el
resultado
los
número
de
los
datos
%)
descarta
últimos ciclos
asimétrico
globales) de
nuevo
la
de
las
causantes debería
confirma
el
sea
ser
idéntico
obtenido
por
Loomes, Starmer y Sugden (1991) . Señalaremos además, que el segundo tipo de ciclo
es
compatible
con
el
modelo
Expandido
y
correspondería
a
posibles
respuestas de un agente que manifiesta tibieza frente al éxito/fracaso . En el apéndice al final del capítulo se recogen con mayor detalle los resultados del experimento .
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
2.5 : Utilidad Expandida y protección. Erlich Utilidad formas
Becker
y
Esperada de
(1972)
las
analizan
interacciones
protección
frente
al
desde
entre
el
el
riesgo .
punto
mercado
Partiendo
de
de
del
vista
seguros
hecho
de
la
y otras
de
que
los
agentes son capaces de influir no sólo sobre la probabilidad con que puede producirse
un
evento
deseado,
no
sino
también
sobre
la
cuantía
de
la
posible pérdida derivada del mismo, 'estudian por separado las consecuencias de lo que denominan autoprotección y autoseguro respectivamente.
habla
de
autoprotección
probabilidad de
un
suceso
Se ejemplo,
cuando
no deseado
hay
posibilidad
mediante un
de
reducir
determinado
gasto .
la Por
podemos disminuir la probabilidad de robo en una finca instalando
un sistema de alarmas o disminuir la probabilidad de accidente sometiendo nuestro
vehículo
posibilidad sobre
la
de
a
revisiones
disminuir
probabilidad,
instalación
de
un
la
cuantía
se
habla
sistema
cuantía de los daños por
periódicas
de
etc .
de
la
Cuando
pérdida
autoseguro .
de
aspersores
en
un
incendio sin alterar
se
considera
posible,
Así,
sin
por
edificio
la
influir
ejemplo,
la
puede reducir
la
la probabilidad de que éste
se produzca.
Dos
de
especialmente resulta
ni
las
conclusiones
sorprendentes : necesaria
ni
del
Por
un
suficiente
estudio lado,
de la
para
Erlich
actitud
que
los
y
Becker
frente
al
individuos
parecen
riesgo
no
prefieran
autoprotegerse a no hacerlo . Por otra parte, la elección de un nivel óptimo de autoseguro es independiente de que los agentes sean aversos al riesgo o neutrales frente al mismo. tipo,
las
diferencias entre uno y otro
se establecen cuando los aversos al riesgo aseguran plenamente (si es
posible) serán
En este caso,
la
pérdida
indiferentes
remanente ante
esta
a
prima
posibilidad.
equitativa, Ello
es
mientras así
los
también
posibilidad de protección es compatible con el mercado de seguros .
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
neutrales cuando
la
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
Otro
resultado
Eeckhoudt
(1985)
en
en
la
su
dirección
misma
estudio
es
el
que
la autoprotección,
de
apuntan
en
el
Dionne
y
que concluyen
que a diferencia de lo que ocurre cuando se aplica la Utilidad Esperada al análisis de otros problemas,
un incremento del grado de aversión al riesgo
no induce un incremento del nivel de protección .
Todo ello,
como
considerar estos sea
capaz
se apuntaba al
de
problemas desde hacer
generalmente observado .
Si
bien
una
en
atractivo
enfrentar
a
la
predicciones (2)
teoría
permite,
general,
valoración
la
óptica más
binaria
determinar
como el
esta posibilidad
tipos
frente al riesgo que,
de
inicio
a
respuestas
de de
este una
acordes
capítulo,
invitaría a
teoría alternativa que
con
la
intuición
y
lo
no
la
teoría
del
arrepentimiento
nivel
óptimo
de
protección,
la
decisión
de seguro,
psicológicas
resulta
incorporando
diferentes
a
la
actitud
superpuestas o no a ella, puedan tanto prescribir un
comportamiento racional
de los individuos como explicar de forma adecuada
sus elecciones reales .
2.5 .1 .- Autoprotección : Análisis clásico
Consideremos un individuo con riqueza W pérdida
x
(0
producirse.
<
x
-
protección
Supondremos
W)
el
(autoprotección
agente en
el
con
probabilidad
también que, pueda sentido
0
que se enfrenta a una
invirtiendo g unidades monetarias
en
la y
u
(0
probabilidad
Becker
(1972),
n
<
de
Erlich
conocida
<
1)
reducir de
>
de de
pérdida
modo
que:
n(p) = r(g)n .
(2) :
Muy recientemente, Konrad y Skaperdas (1993),hacen un análisis del autoseguro y la autoprotección utilizando la Teoría de la Utilidad Anticipada de Quiggin (1982) .
98
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
Haremos
sobre
r(p)
los
siguientes
supuestos
que
se
reflejan
en
la
figura 2.2:
(i,) r(p) es de clase C2
UU)
r(p) > 0 .
En particular r(nx) ' > 0 teniendo sólo sentido que
0 :s p :5 -d (prima de seguro pleno) (lil4) r'(p) < 0
M r"(p)
> 0 ( dificultad creciente en reducir la probabilidad) .
r (p)
z
p
figura 2 .2
Bajo
los
anteriores
supuestos,
haremos
un
análisis
problema desde un enfoque diferente al de Erlich y Becker (1972) .
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
clásico
del
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
Suponiendo por el momento que no existe mercado de seguros, haremos un análisis clásico del problema de autoprotección bajo los supuestos anteriores:
un
agente
autoprotección
que
(W-x-¡£, Kp) ; W-p,
Von
Neumann-Morgenstern
maximice
u1
=
u(W
utilidad
esperada
1-Tr(pJ) . La condición de primer orden es: -n'(p)(u
donde
la
elegirá
-
x
-
p.)
2
y
el
nivel
de
la
de lotería
-u 1 ) = (1-n(E1))u'2 +n(I)u,1 u2
= u(W - F1), siendo u( .) la utilidad del
individuo sobre la riqueza . La condición de segundo orden es:
-7r "( p )( u -u ) + 2n'(p,)(u'-u') W(p)u "+ (1-w(g))u"< 0 2 1 2 1 + 1 2 es claro
que
la aversión
al
riesgo
(u"( .)
<
0)
no
es
condición
necesaria
ni suficiente para que pueda darse autoprotección .
Analizaremos el
caso concreto de
un agente neutro al
riesgo para el
cual u(a) = a.
Por
(*),
Tr"(p
)
= nr"(F1) > 0 con lo que la condición de segundo
orden se verifica trivialmente .
La condición de primer orden proporciona el
nivel óptimo de protección Fr* de modo que :
-xn'(g*) = 1, es decir, r'(i*) =
-1/Trx .
Vamos a ver que p.* > 0 existe yes único si
se
cumple
que
bL/nx,
construimos
r'(0) < -1/nx. Considerando
la
función
lineal
S(M)
=
1
-
función D(p) = S(p) - r(p)
(ver figura 2.3)
100
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
la
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
S(p .)
1
v i i
D(p) i
i i
i t
figura 2.3
Desarrollando
en un entorno a
D(p)
la derecha de p = 0, si r'(O) <
S'(0)= -1/7rx, se tiene D(h) > 0, h> 0. Por otro lado D(nx) = S(ux) - r(nx) = -r(nx) < 0 y en consecuencia existe un punto nx-e, e > 0, tal que r(nx-E) = S(nx-e) = e/nx . Existe entonces, g*
E (0, ux - E) donde r'(Nt*) = -1/7rx, que
además es único por la convexidad estricta de r(p) . óptimo de autoprotección maximiza D(p) :
La
<
condición r'(0)
-1/nx
resulta
Obsérvese que el nivel
S'(p.*) = r'(g*) y D"(p) < 0.
perfectamente
natural
ya
que
en
otro caso podrían derivarse problemas de riesgo moral en cuya consideración no pretendemos entrar en este trabajo .
Así
pues,
bajo
frente al riesgo decreciente
las
condiciones
se autoprotegen,
sobre
el
dinero
no
anteriores,
lo que unido garantiza
a que la
paradójico como ya apuntan Erlich y Becker (1972) . a analizar
el
fenómeno
haciendo
los
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
neutrales
la utilidad marginal
autoprotección,
resulta
Estos resultados invitan
intervenir actitudes
de la aversión afrente al riesgo .
agentes
psicológicas
distintas
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
Puesto
que
autoprotección
utilizaremos
una
teoría
binaria
, analizaremos previamente,
el problema de
decisión entre el
para
el
estudio
de
la
seguro
desde el punto de vista clásico, pleno a prima y y autoprotección
para un nivel dado p de la misma.
Puesto
que
el
independiente del acciones :
resultado
estado del
W
-
mundo
y
de
que
la se
decisión realice,
de
seguro
pleno
podemos enfrentar
seguro pleno a prima 7, S(,x) y autoprotección P(g)
es las
a nivel p., a
partir de la matriz siguiente:
s
s
1
r (p.)n
2
1-r(p)Tr
P (p.)
obsérvese que para p.=0 se tendrá r(0)=1 y que P(0) representa la inacción (no seguro) .
S('X) > P(p) ( ---) u(W-Z) ': n(p)u(W-P-x) + fl-rc(p.))u(W-jI)
Si
normalizamos
los resultados de modo que W-p. = 1,
se tendrá que
W-p-x = 1-x, y llamando a = y-p.:
S('X) > P(A) (
--) u(1-a) ?: R(p)u(1-x) + f1-7t(P)]u(1)
que es un problema de elección entre seguro pleno a inacción para uña
pni,ma ~Asa&nte
de pérdida n(p) .
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
a e
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
a) Agente neutral frente al riesgo: S(9,) > P(p) ( --) 1-a a: 71(g)(1-x) + 1-n(p)
F-i
a
n(p)x
:S
b) Agente averso al riesgo:
Si a
= n(p)x,
concavidad de P(p) .
u(.)
1-a = n(p)(1-x) que u(1-a) >
Si a > 7r(M)x,
+[1-n(g)]
n(p.)u(1-x)
-
y se tendrá entonces por la [1-n(p)]u(1),
el agente puede preferir S(,x) ó P(p)
es
decir,
S(,K)
>
según su utilidad
particular .
Observemos S(p)-r(p) - 0 se que,
podría
que
la
a
n(p)x
0 es la autoprotección propiamente dicha,
y el caso D(g) < 0
no se considera pues obviamente S(9,) > P(p) y puede conducir a problemas de riesgo moral .
2.5 .2: Autoprotección y Utilidad Expandida
Consideraremos
el
problema
autoprotección tomando lineal la
que
utilidad
enfrenta básica
103
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
el del
seguro agente
pleno sobre
y los
la
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
resultados ciertos (neutralidad frente al riesgo) .
Para
la
probabilidad
efectiva
u(p)
=
y
r(p)ir
para
el
nivel
protección, tenemos :
s
s
1
n(g)
g
de
2
1-n(g)
S P
Consideraremos nuevamente los casos a = n(g)x y a > n(g)x
Caso a.- Supongamos que a = n(g)x .
En estas condiciones
(ver capítulo 1),
un agente expansor de la utilidad relativa elegirá de modo que : S > P F---j u (g)
S>P E--~n(g) >_
2
5
1
si es temperamental
si es tibio frente al éxito/fracaso
o lo que es lo mismo :
S > P (
S
>
P
-) r(g)7r <
~
2
para temperamentales
> 2
)r(g)n para agentes tibios y figuras 2.4a y 2.4b de la siguiente pagina . .
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
como
queda reflejado
en
las
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
r
.S .> P
S > P
P > S
0 .5
TI
0 .5
temperamentales
tibios
figura 2.4a
Dependiendo temperamental
de
Ti
figura 2.4b
la
probabilidad
efectiva
pérdida,
de
frente al éxito/fracaso da condiciones que
la
actitud
son necesarias y
suficientes para cada una de las opciones enfrentadas . Además la condición r(i) < 1/2 resulta suficiente para que los agentes temperamentales prefieran el valor
de
seguro pleno y Del
T< .
mismo
temperamentales o tibios
los tibios
modo,
T<
la protección con
<
1/2
se decidan por S
determina
independencia del
que
los
individuos
o bien P respectivamente para
cualquier r(p.) .
Según
los
especificadas, frente
al
resultados la
del
superposición
éxito/fracaso
capítulo de
determinarán
la
1
y
aversión
una
bajo al
las
condiciones
riesgo
expansión del
y
la
allí
actitud
espacio de
seguro
pleno en detrimento de la protección .
n(i)x En estas condiciones podemos hacer Caso b.- Suponemos ahora que a > . a = (1+k)T 0 y el problema se podrá estudiar como un problema de
decisión
de
seguro
pleno
a
prima
probabilidad n(p.) de pérdida .
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
efectiva
con
gastos
para
la
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
Nuevamente
bajo
las
capítulo de esta memoria,
condiciones
especificadas
en
:s
n
S >
E--)
primer
se tendrá una contracción del espacio de seguro .
Así, para los agentes temperamentales existe una única n que n(g)
el
P (ver figura 2.5a) .
< 1/2 de manera
Bajo condiciones adecuadas,
para los agentes tibios podría tenerse una situación como la que se refleja en la figura 2.5b.
n
P > S
S > P
S>P
P > S
n* 0 .5 n temperamentales
0 .5 tibios
figura 2.5a
n
figura 2.5b
2.5.3: Autoseguro .
Supongamos que un agente con riqueza W se enfrenta con probabilidad conocida
n
(0F
N>P
A
39
30
F>P
P>N
B
38
F>P
P>N
B
40
10
F>P
P>N
B
18
F>P
N>P
-
41
30
P>F
P>N
-
6
P>F
P>N
-
42
2
P>F
N>P
A
24
F>P
N>P
-
43
2
P>F
N>P
A
16
P>F
N>P
A
44
28
F>P
P>N
B
56
F>P
P>N
B
45
2
P>F
P>N
-
14
F>P
P>N
B
46
2
F>P
P>N
B
2
F>P
P>N
B
47
2
P>F
N>P
A
16
F>P
P>N
B
48
2
P>F
N>P
A
14
P>F
N>P
A
49
14
F>P
P>N
B
14
F>P
P>N
B
50
14
P>F
N>P
A
20
F>P
P>N
B
51
2
F>P
P>N
B
26
F>P
P>N
B
52
50
F>P
P>N
B
36
P>F
N>P
A
Primera tripleta : F > P . . . . . . . . . . .32
Segunda tripleta : F > P . . . . . . . . . . .31
P > F . . . . . . . . . . .19
P > F . . . . . . . . . . .20
P > N . . . . . . . . . . .29
P > N . . . . . . . . . . .34
N > P . . . . . . . . . . .23
N > p . . . . . . . . . . .18
N
F > P > N . . . . . . . . . . .22
N ~ F > P > N . . . . . . . . . . .23
F
N > P > F . . . . . . . . . . .13
F ~ N > P > F . . . . . . . . . . . .9
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
Porcentajes : F > P . . . . . . . . . .62Í
P > N . . . . . . . . . . .61Í
P > F . . . . . . . . . .38Í
N > P . . . . . . . . . . .39Í
Tabla II : Experimento con pagos parciales (16/2/94)
sujeto
u*
P5
P6
Ciclol
n*
P15
P16
Ciclo2
1
10
P>F
P>N
-
30
F>P
N>P
-
2
10
F>P
P>N
B
30
F>P
P>N
B
3
10
F>P
P>N
B
30
F>P
N>P
-
4
18
P>F
N>P
A
30
P>F
P>N
-
5
16
F>P
P>N
B
40
F>P
P>P
B
6
16
P>F
P>N
-
4
F>P
N>P
-
7
2
P>F
N>P
A
2
P>F
N>P
A
8
2
P>F
P>N
- .
26
F>P
P>N
B
9
4
P>F
P>N
-
4
P>F
N>P
A
10
2
F>P
N>P
-
4
F>P
N>P
-
11
28
P>F
P>N
-
26
P>F
P>N
-
12
10
P>F
N>P
A
46
F>P
P>N
B
13
6
F>P
N>P
-
16
F>P
N>P
-
14
2
F>P
N>P
-
16
F>P
N>P
-
15
8
F>P
P>N
B
14
F>P
P>N
B
16
16
F>P
P>N
B
16
F>P
P>N
B
17
2
P>F
P>N
-
2
P>F
N>P
A
18
6
F>P
P>N
B
38
F>P
P>N
B
19
4
F>P
P>N
B
2
P>F
N>P
A
20
2
F>P
P>N
B
4
F>P
N>P
-
21
14
F>P
P>N
B
38
F>P
P>N
B
22
14
F>P
P>N
B
14
F>P
P>N
B
23
2
F>P
N>P
-
14
F>P
P>N
B
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
24
4
P>F
N>P
A
2
P>F
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-
25
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F>P
P>N
B
50
F>P
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B
26
2
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A
10
F>P
P>N
27
B
2
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-
2
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-
28
48
P>F
P>N
-
38
P>F
29
P>N
-
2
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-
14
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P>N
-
30
2
F>P
P>N-
B
6
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31
14
B
F>P
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B
38
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-
32
4
P>F
N>P
A
16
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-
33
8
P>F
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-
2
P>F
N>P
A
34
50
P>F
P>N
-
14
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-
35
2
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-
2
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-
50
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B
44
P>F
P>N
-
37
2
P>F
N>P
A
6
P>F
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A
38
16
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B
14
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B
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2
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B
62
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40
A
2
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-
2
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A
41
6
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P>N
-
62
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2
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N>P
A
20
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P>N
-
43
8
F>P
P>N
B
6
F>P
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44
B
36
P>F
P>N
-
30
P>F
N>P
A
45
2
F>P
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B
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F>P
N>P
-
46
10
P>F
P>N
-
30
P>F
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-
47
4
P>F
N>P
A
20
F>P
P>N
B
48
4
P>F
P>N
-
10
P>F
P>N
-
49
6
P>F
P>N
-
10
P>F
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-
50
10
F>P
P>N
B
10
P>F
N>P
A
51
2
F>P
N>P
-
2
F>P
N>P
-
52
2
F>P
N>P
-
2
P>F
N>P
A
53
4
F>P
P>N
-
16
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54
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F>P
P>N
B
20
F>P
P>N
B
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix Volver al índice/Tornar a l'índice
Primera tripleta : F > P
30
Segunda tripleta : F > P
P>F
31
24
P>F
23
P>N
36
P>N
N>P
28
18
N>P
N ~ F > P > N
26
20
N ~ F > P > N
18
F ~ N > P > F
9
F ~ N > P > F
12
Porcentajes : F > P . . . . . . . . . .56 .5%
P > N . . . . . . . . .59%
P > F . . . . . . . . . .43 .5%
N > P . . . . . . . . .41%
SUMARIO GLOBAL . DATOS TOTALES
Primera tripleta : F > P
62
Segunda tripleta : F > P
63
P > F
43
P > F
42
P>N
65
P>N
N>P
62
41
N>P
N ~ F > P > N
44
42
N ~ F > P > N
F ~ N > P > F
41
22
F ~ N > P > F
21
Porcentajes :
F > P . . . . . . . . . . .59 .5% P > F . . . . . . . . . . .40 .5% P > N . . . . . . . . . . .60% N > P . . . . . . . . . . .40%
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
CAPITULO III UTILIDAD EXPANDIDA ESTADO DEPENDIENTE : ALGUNAS APLICACIONES()
3.1.-
INTRODUCCION
3 .2.- UTILIDAD EXPANDIDA ESTADO-DEPENDIENTE 3.3.- APLICACION A SEGUROS SOBRE BIENES IRREMPLAZABLES 3 .4.- APLICACION A LOS SEGUROS ESPECIALES DE VUELO 3 .5.- COMENTARIOS FINALES
Los resultados de este capítulo se corresponden esencialmente con el trabajo "Utilidad Expandida Estado-Dependiente : Algunas aplicaciones", Sirvent, R .J. y Tomás, J. (1993)
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
3 .1 : Introducción
Hasta el momento, hemos estado suponiendo que las preferencias de los individuos
son
independientes
del
estado
del
mundo .
Ello
es
un
supuesto
razonable para determinados problemas con falta de certidumbre . En algunas otras circunstancias, los
agentes
sin embargo,
poseen
ha venido siendo tradicional
utilidades
estado-dependientes,
preferencias varían dependiendo del
estado
del
esto
mundo
suponer que
es,
que
sus
que se realice .
Las
situaciones de enfermedad y salud, o de vida o muerte son ejemplos típicos en los que este análisis se ha llevado a cabo para explicar problemas como los seguros de vida y enfermedad.
Cuando conocidas,
las la
probabilidades
Teoría
modificada para
de
incluir
Arrow
(1974),
Cook
Viscusi
y Evans (1990)] .
estados
Utilidad
Graham
de
literatura.
cuando
probabilidades
de
mundo
puede
estado-dependientes
(1977),
Jones-Lee en
eventos
preferencias estado-dependientes han sido
el
se
se
ser (ver
(1974),
y Drèze (1987)
También los
del
Esperada
Linnerooth (1979)
panorámicas las
la
los
preferencias
y
esta
de
fácilmente por
Conley dan
entorno
de
entienden
suponen ejemplo (1976),
interesantes
incertidumbre,
desconocidas,
las
estudiadas entre otros por Karni
(1983, 1985, 1993) y Karni, Schmeidler y Vind (1983).
Desde específicos
uno
y
como
por
Cook y Graham (1985)]
y
los
(1961),
quienes
otro
enfoque
ejemplo
(1977),
los
los
han
seguros
analizado sobre
algunos
bienes
primera
vez
vuelo
(Karni
(1985)
pusieron
en
evidencia
problemas
irremplazables
seguros de vida (Mishan (1971),
seguros especiales de por
se
y
en
Karni y Zilcha Eisner y la
Strotz
necesidad
de
formular funciones de utilidad distintas para los estados de vida y muerte de los individuos] .
Para
estos
tipos
de
problemas,
conduce a conclusiones que plantean
el
empleo
paradojas
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
en
de
la
relación
teoría con
tradicional la
idea
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
intuitiva
de
aversión
al
riesgo y que
no
siempre
se
corresponden
con
la
conducta observada, como es el caso de los sobreseguros de vuelo .
En en este capítulo intentamos dar una respuesta a algunas de tales dificultades
enfocando
el
problema
versión expandida de Teoría del
desde
el
punto
Arrepentimiento.
o tibia frente al éxito/fracaso de
la
multiplicativa
de
la * función
de
vista
de
nuestra
Veremos cómo la actitud
temperamental estructura
de
los
agentes,
valoración,
a través de
puede
explicar
algunas de las paradojas que plantea el análisis clásico.
Dos son los problemas que abordaremos : Los seguros especiales de vuelo y el
análisis de la decisión de seguro para bienes irremplazables .
primero de
ellos,
el
clásico
trabajo
de Eisner y
Strotz
(1961)
Sobre el
revela que
en contra de la evidencia empírica (este tipo de contratos tiene una amplia aceptación)
y
en
contra
de
la
idea
intuitiva
de
aversión
al
riesgo,
los
agentes maximizadores de la utilidad esperada debieran rechazarlos .
Con
respecto
al
problema
más
general
de
los
seguros
sobre
bienes
irremplazables, el también clásico artículo de Cook y Graham (1977) llega a la
conclusión
normales,
un
de
que,
agente
aseguraría plenamente, mientras
que
si
considerando Von
los
a
irremplazable la
bienes
Neumann-Morgenstern
a prima equitativa,
el bien
sobreaseguraría frente
a
posible
averso
al
riesgo
como no
se
frente al riesgo de su pérdida,
se considera
pérdida
irremplazables
del
inferior,
mismo .
el
Estas
agente
se
conclusiones
son también contrarias a la intuición y a la evidencia empírica.
El
capítulo
se estructura de
se presenta una extensión natural
la
siguiente manera :
del modelo de
En la sección 3.2,
la Utilidad Expandida al
caso estado-dependiente para preferencias sobre resultados monetarios (como efecto de una manera diferente de expandir las utilidades relativas en cada X estado del mundo) . En la sección 3.3 se aplica dicho modelo a
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
los
seguros
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
sobre
bienes
irremplazables,
de vuelo.
En ambos casos,
explicar
la
evidencia
tienen en cuenta.
y en
la
sección
3 .4
a
los seguros especiales
las actitudes frente al éxito/fracaso permitirán
empírica
cuando
tales
respuestas
psicológicas
se
Algunos comentarios y conclusiones cierran el capítulo en
la sección 3 .5.
3 .2.- Utilidad Expandida estado-dependiente .
Consideremos el problema de elección entre el par de alternativas A1 A2 definido por la tabla siguiente
s1 .
1
A
donde
uIj
u
2
u(X Ij )
=
.
. s
.
j
.
s
j
n
11
11 .
1n
21
.
.
2;
cierto
x
conocida
Ti
probabilidad
.
1
1,
i =
resultado monetario con
.
ij
.
u
.
2j
.
1,
2, . . . n,
de
la
acción A
.
j = n
(E
j
.
T<
j=1
j
=
1) .
y
.
u
2n
es la utilidad básica sobre el
La
en
i
estado del mundo
el
utilidad
básica
se
sj
supondrá
creciente y la consideraremos cóncava en el caso de aversión al riesgo .
Si 0 .3),
suponemos
definiremos
rechazo de A
2
agentes la
expansores de
utilidad
en el estado s
j
expandida
la E
como:
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
ij
utilidad de
la
relativa elección
(ver de
sección A
1
y
el
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
E1j = 1j h(1j)
y Análogamente, la rechazo de A
1
utilidad
donde jj = uU u21
expandida
E2j
de
la
elección
de
A2
el
en el estado s es: J
CE
= -
2j
i h(-~ ) j
postulándose que los agentes eligen como si maximizasen la esperanza de la utilidad expandida :
n
Al > A2
Definiendo
la
función
a
E Tr (E j=1 j 1j
expansora
H(I)
E2j)
=
k:
0
h(1 )
+
h(-1 ),
la
regla
de
elección se expresa : Al > A2
n
o
E Tcj WEj) j j=1
0
o bien: A
1
> A ^' 2
n
a
E ir 0(1) j j=1 j
k
0
donde 0(1) = 1 j
j
H(1) j
Ahora supondremos que en cada uno de los estados del mundo la función de evaluación h( .) es distinta de modo que :
E 1j =
E2j
h j (1j)
1j
= _
~j
donde j = u1j u 2j j
hj(-~j)
en este caso :
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
Al > A2
a
n
E
j=i
7r j (Elj-
0
E2j)
llamando H (1 ) = hj (1j ) + hj Kj) y 4 (1 ) = 1 H (1 ) entonces j j j j j j
Al > A
El
supuesto
estado
básico
dependientes,
correspondientes
que
será
a
2
haremos de
el
cada
n E7c j 0j(~j) J=I
a+
para que
estado
esta las
del
multiplicativamente por una función k(I),
2t 0
extensión
a
funciones
mundo
valoraciones
de
valoración
están
relacionadas
de forma que para cada utilidad
relativa 1 verifica los siguientes supuestos :
(S.O)
h (1) = k r
del mundo.
rs
para todo 1 y para todo par s
(1) h (1) s
r
y s
s
de estados
Sin pérdida de generalidad consideraremos dos estados del mundo sl y s2 independientes,
con probabilidades
7r
y
1-7c
respectivamente de modo que
h 1 (1) = k(1)h2(1) .
Sobre
el
comportamiento
de
la
función
supuestos :
(S .1)
k(~) > 0
d~#o
y
(S.2)
k(j) es de clase C2.
(S .3)
k(~) = k(-~) d ~
k(o) = 1 .
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
k(j)
haremos
los
siguientes
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
(5 .4)
k'(J) > 0, k'(I) < 0 o bien k'(J) = 0
VI > 0.
La razón de exigir k(j) > 0 estriba en que en el modelo original de la utilidad
expandida
h(1)
>_
0
y
VI
ello
debe
mantenerse
valoración sea dependiente del estado del mundo : h1(1)
=
aún
k(j)h2(1)
La segunda parte del supuesto S..1: k(0)=1, exige algunos
cuando
la
0.
_>
comentarios :
Tengamos en cuenta que el modelo expandido, de acuerdo con lo expuesto en
la
sección
0 .3,
permitiría
clasificar
a
los
agentes
en
cuatro
categorías :
(1) Agentes temperamentales "standard", con H(0) = 0 y H'(j) > 0 VI>0.
(II)
Agentes temperamentales "temperados",
con H(0) = 1 y H'(j)
> 0
VI >0 .
(III) Agentes tibios, con H(0) = 1 y H'(j) < 0 VI > 0.
(IV)
Agentes
neutrales
frente
al
éxito/fracaso
Neumann
(Von
y
Morgenstern) con H(I) = 1 VI.
La condición k(0) = 1 permite que el paso de un estado del mundo a otro pueda modificar la intensidad de la respuesta temperamental o tibia de los
agentes,
pero
corresponde (en esta parte del
no
alterar
alguno de
sustancialmente
los estados)
supuesto S.1 como
una
su
con el tipo
actitud (I) .
si
ésta
se
Se interpreta pues
condición de regularidad que
impide
los cambios bruscos de actitud .
El
supuesto
S.2
es
un
supuesto
técnico
para
mantener
características de diferenciabilidad ya impuestas en el modelo original.
123
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
las
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
El
supuesto S.3
k(j)
=
k(-1),
garantiza la hemisimetría de
0(1),
ya
que entonces h1 (1) = k(1) h2(1) implica que : H1 (1) = k(j) H2(1) y por tanto que kb1 (1) = k(j)¡P 2(1) . Además, con este supuesto no se alteran las posibles asimetrías pérdidas
de
la función
h (1), vinculadas a 2 términos de utilidad
y ganancias en
(en términos absolutos)
es defendida,
afectaciones relativa,
diferentes para
asimetría ésta que
entre otros por Kahnemann y Tversky
(1979) y Tversky y Kahnemann (1991) .
La monotonía estricta exigida a k(J) condición de
regularidad
en S.4 para los 1 > 0
cuyas consecuencias
analizaremos
es una
con detalle más
adelante y que permitirá determinar el temperamento de los agentes en cada estado .
Si
k(j)
fuese
constante,
la
valoración
sería
independiente
del
estado del mundo.
Puesto
que
temperamentales,
los
agentes
tibios
o
en
cada
neutrales
estado
frente
al
del
mundo
éxito/fracaso,
deben la
ser
función
k(~) debe garantizar que ello ocurra .
Si función
definimos -c H(j),
f
=
puede
temperamental ¡dad analiza con
f
1
(1)
utilizarse
o tibieza de
detalle en
,
f(~)
la
cuando esta como los
memoria
una
elasticidad se aplica sobre la medida
agentes
[Este
"Teoría
del
local
índice
del
grado
temperamental
Arrepentimiento:
de se
Resultados
teóricos y experimentales" presentada por Tomás,J. (1994)] .
Impondremos por tanto el siguiente supuesto:
(S.5)
-c k +TH
Los hipótesis
2
k0V1>0o bien 02:-ck+ .cH>-
2
supuestos de
la
S.1
a
utilidad
S .5
garantizan
expandida
y
que que
124
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
1
d1>0.
la función h1 (1) se
verifiquen
cumpla
las
todas
las
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
propiedades relativas a las funciones H1(1)
y
IP1(1) .
Consecuencias : Cambios temperamentales entre estados.
La monotonía de k(J) junto con el supuesto S .S, permiten analizar los cambios de temperamental ¡dad de los *agentes en cada estado.
Así tendremos :
(i)z
+-c H
k
2
>_0
d1>0siy sólo si
k( ) +H
(v>_Od
>0
y como k(J)>0yH 2(1)>0d1>0siy sólo si : k'(~) H2(E) + k(~) H2(E) = Hi(E)
2~
0 d ~ > 0
por lo que el agente se comportará como temperamental en el estado s1 .
(11)
0
k
-c
+
z
> -
l
si
y
sólo
- 1 <
si
0 para 1 > 0 y el agente es temperamental en el estado s2,
la afectación de
su
(H'(J)
actitud
=
k'(J)
intensidad de la misma: el
agente
es
tibio
en
incluso cambiar su actitud
+
H2(1)
-C H el
la valoración al >
1
k(J)
pasar al
H2(1)
>
0
d
estado 1
>
0)
s
1
no altera pero
sí
la
-cH (el agente es más temperamental en s ) . Si 1 2
estado
s , 2
en
s
1
será
menos
tibio,
pudiendo
a temperamental de tipo (II), según el signo de
k'(~) H2(E) + k(~) HZ(~) .
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
Si
k' (J)
<
0
d
1
>
0,
el
puede o
agente
no
cambiar
su
actitud
disminuyendo en cualquier caso su grado de temperamental ¡dad. Si el agente es tibio
en
el
estado s2,
será más
tibio en
sl y
si es temperamental de
tipo (11) en s2, en sl será menos temperamental o llegará a ser tibio.
Por
tanto,
si
>
k'(I)
0
=>
zl (1)
>
i2 (1)
y
el
grado
local
de
temperamental ¡dad aumenta, mientras disminuye cuando k'(J) < 0.
3.3: Aplicación a seguros sobre bienes irremplazables
En
su
análisis
del
problema
de
la
decisión
de
seguro
sobre
bienes
irremplazables, Cook y Graham (1977) parten del supuesto de que los agentes deben valorar de forma distinta su
riqueza
pérdida del bien en cuestión de manera que, el
dinero
w cuando
se
dispone
del
bien
en los
estados de posesión y
si ub(w) es la utilidad sobre
irremplazable
y u (w) a
la utilidad
en ausencia del mismo, se verifica que u .(w) > u (w) Vw. Ello les permite introducir los conceptos de
b
"compensación"
R(w) de manera que ub(w) = ua(w+C(w))
C(w)
y
a
y "rescate"
ub(w-R(w)) = ua(w) como queda
reflejado en la figura 3 .1 :
u u
w-R(w)
w
- -
f i gura 3 .1
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
(o "redención")
w+C(w)
b a
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
Puesto que C(w-R(w))=R(w) sobre R(w), obteniendo que C(w)
y
R(w+C(w))=C(w), desarrollan su análisis
1 R(w) a R'(w) 1
0. Correspondiendo R'(w)=0
al caso de bienes reemplazables, asocian R'(w) > 0 y R'(w) < 0 a los casos de bienes irremplazables normales e inferiores respectivamente .
Las sentido
conclusiones de
aversos al
que
para
finales
del
contratos
de
artículo seguro
resultan
a prima
equitativa,
los
en
el
agentes
riesgo se sobreasegurarían frente a la posible pérdida del bien
irremplazable
si
consideran
lo
un
bien
inferior
pérdida), y se cubrirían sólo parcialmente si No sólo
paradójicas
resulta difícil
como inferior
(y así
lo reconocen
un bien irremplazable,
(prefieren
el
estado
de
lo consideran un bien normal . los propios autores)
considerar
sino que también es claro que ambos
resultados chocan abiertamente con la idea intuitiva de aversión al riego
Desde
nuestro
punto
de
vista
de
la
utilidad
dependiente,
será posible explicar la decisión de seguro
cambios
la
en
actitud
frente
al
independencia de su actitud frente agente pérdida
cuya riqueza de
un
actual
bien
es
w,
irremplazable
éxito al
o
fracaso
riesgo .
Para
que se enfrenta (una
doméstico querido, parte de la integridad
valiosa física,
expandida como
de
resultado de
los
verlo,
agentes
con
consideremos un
al riesgo de
obra
estado
de
arte,
sufrir un
la
animal
digamos las manos de un
pianista o las piernas de una bailarina . . . )
Supóngase
que
las
compañías
de
seguro
ofertan
una
compensación
económica de z unidades monetarias en caso de pérdida del bien mediante el pago de una prima equitativa X=nz, pérdida se produzca. las alternativas A
El
agente
siendo ir
se enfrenta al problema de elección entre
(rechazar el seguro)
i
la probabilidad de que dicha
y A2 (comprarlo),
en la siguiente tabla :
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
como se refleja
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
ESTADOS
s
PROBAB .
71
A
2
(1
2
-11)
w
w
w+z-7
w-7
1
A
s
1
Entenderemos. que en el estado s1 de pérdida del bien irremplazable, el agente valora la utilidad
0 1 (1) = k(1) 0 2 (1) siendo X2(1)
relativa mediante
la función de valoración en el estado s2 de no pérdida .
Para
aislar
los
posible
influencia
utilidad
básica
efectos
de
la
sobre
el
de
la
actitud dinero
actitud frente
es
frente
al
lineal
e
al
riesgo,
éxito/fracaso supondremos
independiente
del
de
la
que
la
estado
del
mundo .
Tendremos entonces:
A
l
~ A2
t-~
n(2'-z)
ni1 (á -z) + (1-n) 02(y)
H1 (9,-z) +
(1-TC)
8' H2 (á)
>
0
10
y con H1 (z-z) = k(T-z) H2(,X-z) :
A
l
~ A2
n(,y-z)
k(-d-z)
H2(7-z) + (1-n)9, H2(y)
Puesto que la compensación monetaria z, sin gastos 9, = nz, tendremos :
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
>
0
se oferta a prima equitativa
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
Al ~ A2
4==>
fn2z-Trz] k(nz-z) H2 (nz-z) + (1 -70 nz H2(nz) ~ 0
n z (n-1) k(z(n-1)) H2((n-1)) + (1-n)
7r
z
H2 (nz) ~ 0
Simplificando y teniendo en cuenta la simetría de k(J) y H(j) :
A Al
2 o==> H2(nz)-
k(z-nz) H2(z-rcz)
o sea : A l ~ A2
t-==>
H2 (,y) > H1(z-ó)
que puede expresarse :
A
Consideraremos
' A i < 2
H (nz) t==~
ahora
2
H2((1-n)z)
separadamente
'-
k((1-n)z)
el
caso
<
de
los
agentes
temperamentales y el de los agentes tibios frente al éxito/fracaso .
(a) Caso de un agente temperamental en el estado s2 de posesión del bien irremplazable .
Según que la función k(j) sea creciente o decreciente para argumentos positivos, distinguiremos :
(al) Subcaso : H2(~) > 0 y k'(~) > 0 b'~ > 0.
Como k'(I)>0 con k(0)=1 implica que k((1-n)z)>l, se verificará que
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
si
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
H (nz) 2 H2 ((1_n)z)
n :5 1/2 , entonces
:S 1'y el contrato será rechazado .
Obsérvese que al ser k(J) ?
1 VI,
H1 (1)
1:
H2(1)
H2 (1) + k(J) H2(J) > 0 !/I > 0, con lo que il (1) > z2 (e) torna más temperamental en el estado de pérdida .
VI y Hi(I)
>
= k'(I)
0 y el agente se
En cambio, cuando la probabilidad de perder el bien irremplazable - y en consecuencia la prima - sea grande (u > 1/2), el agente podrá adoptar la decisión de asegurarse .
(a2) Subcaso : H2(J) > 0 VI > 0 y k'(I) < 0 .
Cuando en
el
estado
de
pérdida
del
bien
irremplazable,
el
agente
es
menos temperamental que en el estado de no pérdida, si n > 1/2 el agente no se asegurará, pudiendo hacerlo cuando la probabilidad sea menor o igual que 1/2.
Considerando
la función
G(n)
=
H2(7rz)
-
k
((1-n)z)
H2((1-n)z)
donde
suponemos u variable y z fija, vemos que :
G(1/2) = H(1/2) - k(1/2) H(1/2) = (I-k(1/2)) > 0 (ya que k(1/2) < 1) Por
otro
lado,
si
el
agente
es un temperamental
"standard"
(de tipo
(I)) de modo que H(0) = 0, se tendrá que G(0) < 0, por lo que 3n''< G (n ) = 0 .
En tal caso, en un entorno de n
tendremos :
u > n
=> rechazo del contrato
n < u
=> aceptación del contrato
130
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
2/
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
(b) Caso de agentes tibios frente al éxito/fracaso en el estado s2 de posesión del bien irremplazable .
(bl) Subcaso HZ(I) < 0 y k'(j) > 0 VI > 0.
H (nz) 2
Entonces
H2 ((1-n)z)
1 Cuando n :5 2 ,
H2 (nz)
G(1/2)
2
:1 1 y el agente podrá asegurarse o no .
H 2 ((1-n)z)
Para estos agentes,
1 , y se tendrá A2 > A1 .
< 1 cuando n >
< 0, y como H(0)=1,
< 2
G(0) > O, por lo que existirá n* rechazo
/
cuando k(z)
H(z) n* => contrato y n < n*
(b2) Subcaso : H'(j) < 0 y k'(j) < 0 VI > 0. H (nz) 2 H2 ((1-n)z)
El cociente
será mayor que uno cuando n < 1/2 En estas
condiciones, el seguro será aceptado al igual que cuando u = 1/2, ya que en este
caso
que nos
ocupa,
el
agente
se torna más
pérdida del bien irremplazable al ser k(j) < 1 de
pérdida es
mayor
que
1/2,
estos
tibio
el
en
estado de
b 1 * 0. Si la probabilidad
agentes podrían aceptar
el
seguro o
rechazarlo .
Comparando decisión
de
estos
seguro
comportamientos
sobre
bienes
con
los
reemplazables
correspondientes
analizados
en
el
a
la
primer
capítulo, concluimos que es el cambio de actitud frente al éxito/fracaso el que determina una contracción del espacio de
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
seguro
en
el
caso
de
los
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
agentes temperamentales y una expansión del mismo en el caso de tibieza cuando el paso al estado de pérdida de un bien irremplazable, pérdida
de
Si
temperamental ¡dad.
suponemos
lo
contrario,
implica una
los
efectos
son
naturalmente opuestos.
Cuando el estado de pérdida de un bien irremplazable conlleva fuertes diferencias de renta disponible
o en el
incremento de
nivel de vida, parece razonable el
la temperamentalidad .
Este
es
el
caso,
por
supuesto
de un
ejemplo,
de determinadas enfermedades que necesitan tratamientos costosos,
o la pérdida de algún miembro esencial para el trabajo del individuo . Otras en
situaciones, pueden
estar
que
las
vinculadas
necesidades a
descensos
de
los
individuos
del
grado de
pueden
disminuir,
temperamental ¡dad.
Un
ejemplo de este tipo sería la situación de muerte, si el individuo no posee familiares que dependan de él .
Como en el caso de la decisión de seguro sobre bienes reemplazables, en términos del nivel de riesgo
la regla de elección puede expresarse agente
a
través
monetaria gastos 0.3,
z,
en
lo
la
al
permitirá
prima
riego
función
una
que
considerar
aversión
de
y
incorporada
una
considerar
también,
superpuesta
u(n) bajo
vez
los
fijada
efectos
las
a
la
actitud
a
las
valoraciones
frente
al
A
I
<
+ 02 (2')
0
tp 2 (f)
' A
2
ir
IP 2(d)
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
la
+ vi 1(z-2')
compensación inclusión
de
especificadas
en
éxito/fracaso,
la
a través
(1-ir) V2(x) -' 0 2 e~ no (2' - z) +
ikp2 (d)
+
= 7T (7[) fp2(z-X)
donde uR (Tr) es la función n(n) para la decisión de seguro sobre un bien reemplazable .
Así pues, la gráfica de nI (rr) va por encima de la gráfica de nR (rr).
En particular,
ul (1/2)
Ip2`
>Ip 2`
2)
2) + IP 2`
1
2)
2 '
lo
que
quiere
decir que el agente rechaza el contrato para u = 1/2 para cualquier tipo de prima. Para el caso de prima sin gastos,
ello viene recogido en la figura 3.2
de la siguiente página.
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
La línea discontínua
i i
0,5
representa 1 a contínua
0
0
0,5
1
figura 3 .2 Análogamente, para agentes tibios al éxito/fracaso: IP 2 (ó) vi2(7) + vi2 (z-2')
y ni (1/2)
:5
1/2.(Ver figura 3.3)
FAA
0,5
figura 3 .3
134
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
ir 1 (n) irR (ir) .
y
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
Como
sabemos,
la
inclusión
de
gastos
administrativos
en
la
prima:
=n(l+m)z con m > 0, determinará una contracción del espacio de seguro en todos los casos .
superposición
La
de
la
posible
aversión
al
riesgo
implica,
como
también sabemos, en todos los casos una expansión del espacio de seguro .
La °forma" de nI (n) puede no coincidir con la forma de cualquier caso nI (n) a: u R (n)
R (7r), pero en
71
en los temperamentales y al revés para
b(n),
los tibios .
3 .3.1 : Equivalencia interestados : Compensacion y redención relativas
Si suponernos que de un estado del mundo a otro tipo
de
los
(I),
(II)
determinadas
situaciones)
es
y
relativas
redención
utilidad
abeá *.es
relativa
como
podrían
o
(III) no
cambia
posible definir equivalentes
ser
(lo
los
que tendrá
conceptos
interestados
interpretados
de
la actitud básica o
que,
forma
sentido
en
de
compensación
en
términos
parecida
a
como
de lo
hacen Cook y Graham en su contexto:
Para
los estados del
mundo
s1
y
s2 de
manera que
s1 representa la
pérdida del bien irremplazable y s2 la conservación del mismo, definimos la Compensación relativa Cr(1) >_ 0 de modo que H 2(1) = H1(~+Cr(l)) .
Análogamente,
la
Redención
relativa
R
la condición : HI (1) = H (j+R(j)) . 2 Así,
la valoración de
equilibrada en el estado s
r
r
(1)
i:
0
vendría
dada
la utilidad relativa 1 en el estado s2, por 1
+
C (1) . r
Equivalentemente,
13 5
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
el
por
se vería
agente
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
valoraría en s
una utilidad relativa J'como valora 1 + Rr (1) en s2.
1
Que el agente no cambie su tipo temperamental de un estado del mundo a otro
aunque
posible
cambie
la
éxito/fracaso,
intensidad
su
reacción
psicológica
frente
al
C (1) y R (1) estén ambas definidas VI. r r Además, habiéndolas definido como no negativas, se tendrá que H2(C)_H1(1) y que 02(1)
hace
de
> 01(1) VI.
que
Ello conlleva que
los agentes
valoran las utilidades
relativas cuando están en posesión del bien irremplazable, por encima de la valoración mismo . lo
que realizan
si
suponen
que
se
dará
el
estado
de pérdida del
Este supuesto ha sido defendido por Viscusi y Evans (1990), quienes
han constatado
empíricamente para
el caso de valoraciones dependientes
del estado del mundo en relación con los accidentes laborales . Es razonable suponer un comportamiento análogo cuando el bien irremplazable de que se trate sea es
la vida del
posible
cumplan
la
que
arriba de
las
que
No
valoraciones
condición
anterior
los afectados
adecuadamente si lógico
individuo .
obstante,
en
los
(puede
para
estados servir
de
el
<
ejemplo
por ciertas enfermedades
H1(l)),
En
estos
casos,
tipos de
posesión
y
en
bienes,
pérdida no
mencionado
que pueden
se dispone de dinero suficiente,
H2(1)
otros
cuyo
más
ser tratadas
caso puede ser
compensación
y
redención
relativas podrían no estar definidas .
Precisamente,
algunas
de
las
críticas
hechas
al
análisis
de
Cook
y
Graham apuntan en esta dirección, ya que en su modelo, la compensación no está en general
definida .
Además,
el
supuesto de
valoración de la riqueza
no se sostendría en situaciones como la ejemplificada .
En sentido,
nuestro el
modelo
problema
de
expandido, decisión
para de
aquellos
seguro
sobre
casos
en
un
bien
podrá también interpretarse en términos de C (1) y R (1) .
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
los
que
tenga
irremplazable,
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
3.4: Aplicación a los seguros especiales de vuelo
los
Recientemente, estado
recibiendo
titulares
propaganda
de
sobre
una la
conocida oferta
de
t B a nf fzf-Tf 1 HM (zf- Y f ) + u [ - yf 1 HM(-2 ) 0 f donde HM( .)
y
+
(l-nf -no)[-wf1 Hv (y )
HvC) son las funciones expansoras de la utilidad relativa
en los estados de muerte y vida respectivamente .
Sustituyendo
yf
= ir f z f
A>Ba(1-n)H (z(1-n))?n f
Con
71M=M -rcf -: ~
M
f
f
H (uz)+(1-n -n)H(uz) M f f f o V f f
p, la regla de elección se expresa :
A> BauH (uz)+(1-n)H f
o
M
f f
f
M
(z(1-Tr))_>n H (ir z)+(1-n )H(nz) f f M M f f M V f f
Supondremos ahora que Hv(1) = k(l) HM(1) con k(0) = 1 y k'(J) ?: 0 es decir,
que
utilidades
los agentes son más temperamentales a relativas
en vida
que
cuando
lo
hacen pensando
heredarán . Es decir que k(J) i: 1, VI por lo que Hv(1)
Aunque carácter n f+
en
principio
temperamental
o
no
parece
tibio de
preciso los
la hora, de valorar k
en
quienes
no= n
es
les
HM(1) di .
establecer supuestos
agentes,
las
claro
que
sobre el
típicamente
ha de ser pequeña ( B
a
HM (zf (1-ruM )) > Hv(zfritM)
Con H (~) = k (E) H M(~) v
k(0) = 1
Por tanto:
H (z (1-r7r M )) > k(z f (1-ruM )) Hv(zfrirM ) v f
Con ello, siendo 7t
f
Así,
= r
A > B
a
y k'(~) -a: 1
para un agente temperamental
si r < (1/2 wM)
=>
A > B,
y
nM , 7t f < 1/2 => A > B.
estos
agentes
comprarían el
seguro
de
prima se incluyesen gastos administrativos .
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
vuelo
aún
cuando
en
la
Tres ensayos sobre la teoría del arrepentimiento: aplicación a las decisiones de seguro. Ramón J. Sirvent Boix
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3 .5 .- Comentarios finales
Hemos
propuesto
una
extensión
del
modelo
expandido
de
Teoría
del
arrepentimiento al caso de valoraciones dependientes del estado del mundo y ello ha permitido abordar el estudio de dos problemas específicos para los que los resultados de la Teoría de la Utilidad Esperada son cuestionables .
En primer lugar se ha construido un modelo general
bastante flexible
en el que resultan posibles cambios en la actitud temperamental o tibia de los agentes al valorar las utilidades relativas en distintos estados del mundo .
Al
analizar
hemos
visto
actitud
frente
obtenidos
el
cómo al
en
problema resulta
riesgo
el
de
posible
consideración
las
seguros
agentes,
Isobre del
con
seguros
de
los
bienes es
al
de
la
resultados
ya
binaria,
cobertura .
éxito
de
reemplazables .
las preferencias,
óptimos
frente
irremplazables,
independencia
generalizando
arrepentimiento
niveles
actitudes
sobre bienes
explicarlos
uniparamétricamente
determinar de
los
capítulo
representar en general
los
posible
Naturalmente, como la teoría
resulta
de
o
no
puede
por lo que no
No
obstante,
fracaso,
conduce
la a
resultados acordes con la intuición y con la evidencia empírica.
En
el
análisis
cuestión es
la
cambios
actitud
de
literatura
de
problemas
vida del propio
sobre
similares
estos
temas
en
los
agente, a
las y
con
que
el
bien
irremplazable
en
se han impuesto restricciones a los
que
son
ello,
generalmente se
ha
aceptados
conseguido
en la
explicar
la
posibilidad de que individuos que ya poseen un seguro de vida que compensa a
los
herederos
en
caso
de
fallecimiento
por
cualquier
causa,
seguros especiales de vuelo tal y como constata la experiencia .
Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994
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