RAZONAMIENTO GEOMÉTRICO

DEFINICIÓN Dados tres puntos A, B y C no colineales, la reunión de los segmentos AB , BC y AC se llama triángulo.

E

- Los puntos interiores al ∆ABC: P es un punto interior al ∆ABC. - Los puntos exteriores al ∆ABC:

a

c F

b

A

Un triángulo separa al plano en tres subconjuntos de puntos: - Los puntos que pertenecen al triángulo: A, B, C, M,etc

B

ÍNDICE

INTERIOR Y EXTERIOR DE UN TRIÀNGULO

D

C

Q punto exterior al ∆ABC relativo a AB L punto exterior al ∆ABC relativo a BC S punto exterior al ∆ABC relativo a AC

Se conviene en designar las medidas de los lados de un triángulo, con la letra minúscula correspondiente al vértice del ángulo opuesto a dicho lado. Así:

B P

AB = c ; BC = a ; AC = b

PRESENTACIÓN

Pag. 3

ÍNDICE

Pag. 5

TRIÁNGULOS

Pag. 7

PERÍMETROS

Pag. 35

- Vértices: A, B, C - Lados: AB , BC y AC - Ángulos: Internos: ABC , BCA , CAB Externos: FAE , CBE , BCD

ÁREAS

Pag. 49

*

INTERIOR

A M

H

S

EXTERIOR

C

ELEMENTOS

Notaciones:

La reunión del triángulo con todos sus puntos interiores se llama región triangular. CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS A. Según la medida de sus ángulos:

Triángulo ABC: ∆ABC Perímetro del ∆ABC: 2p(∆ABC) 2p(∆ABC) = a + b + c

1. Triángulo Acutángulo. Es aquel que tiene sus tres ángulos agudos. B

Semiperímetro del ∆ABC: p (∆ABC)

CAPÍTULO

TRIÁGULOS

L

Q

1

TRIÁNGULOS

p (∆ABC)=

a +b+c 2

α

θ C

A ABC = B , BCA = C , CAB = A ; son los ángulos

internos o simplemente ángulos del triángulo ABC.

α < 90º β < 90º θ < 90º

β

2. Triángulo Obtusángulo. Es aquel que tiene un ángulo obtuso y dos ángulos agudos. B β

α > 90º β < 90º θ < 90º

a

c α A

θ

b

C

Segmento que parte de un vértice y llega al punto medio del lado opuesto. En el ∆ABC isósceles: α: medida de los ángulos en la base. θ: medida del ángulo en el vértice.

*a>b ya>c A este triángulo se le llama: “triángulo ABC obtuso en A” A los triángulos acutángulos y obtusángulos se les denomina “OBLICUÁNGULOS”

riángulo Rectángulo. s aquel que tiene un ángulo recto y os ángulos agudos.

Se cumple que: α < 90º y α = 180º −θ ó α = 90º − θ 2 2 3. Triángulo Equilátero. Es aquel triángulo que tiene sus tres lados de igual longitud; en consecuencia, sus tres ángulos serán de 60º. B 60º

AB y AC:Catetos

β

AB = BC = AC m A = m B = m C = 60º

BC:Hipotenusa

a

60º

C

b

α + β = 90º

60º

C

A

TEOREMAS FUNDAMENTALES 1. Suma de Ángulos Internos: “En todo triángulo la suma de las medidas de sus tres ángulos interiores es igual a 180º ”

B

⇒ AB ≠ BC ≠ AC y además α ≠ β ≠ θ

β α

riángulo Isósceles. s aquel triángulo que tiene dos dos de igual longitud; en onsecuencia, los ángulos opuestos a chos lados serán de igual medida. B θ

α

2. Suma de Ángulos Externos: (considerando uno por vértice) “ La suma de las medidas de los ángulos exteriores de un triángulo es igual a 360º ” B y

AB = BC m A=m C

Se cumple: x + y + z = 360º

x α

α BASE

C

α

θ C

5. Teorema de EXISTENCIA (Desigualdad Triangular) “En todo triángulo, la longitud de uno de sus lados está comprendida entre la suma y la diferencia de los otros dos lados” B

A

Sea a ≥ b ≥ c ⇒ se cumple:

a

z

C

A

b

b-c 90º, y que AC es un número entero.

x

70°

c) 20 2 a) 50° d) 80°

b) 60° e) 40°

c) 70°

23. Si AB = DC y DA = DB, hallar “x”.

B

35. Si sabemos que “E” es el punto medio de AB . Además ABCD es un cuadrado. Hallar θ :

3 D

x

x

A

10° 45°

C

b) 20° e) 53°

n un triángulo rectángulo uno de sus ngulos agudos mide 22°30´; si ueremos calcular la longitud de la potenusa ¿entre qué número ebemos de dividir a la hipotenusa? 2

2

b) 2 2 e) 3

a) 4 d) 8

α

c) 30° a) 30° d) 16°

b) 37° e) 15°

c) 53°

29. Calcular “ α ” en:

32. En la figura calcular el valor del ángulo “ α ” si AD y BC son bisectrices de los ángulos A y C respectivamente.

30°

D

20°

a) 20° d) 45°

φ φ

12 15

D

10

b) 16 e) 18

C c) 20

a hipotenusa y un cateto suman 62m. Si el otro cateto mide 80m. allar la hipotenusa. 82m 90m

b) 68m e) 86m

4 7

b) 5 e) 8

c) 6

alcular “ α ”, si los 2 cuadrados son ongruentes.

b) 35° e) 60°

c) 37°

30. En la figura siguiente la medidas de ˆ son 60° y ˆ y ACB los ángulos BAC 90° respectivamente, además se trazan las bisectrices de los ángulos interiores las que se intersectan en el punto D. Sea DM la mediana del triángulo ADB hallar la medida de ˆ . los ángulo MDB

C

a) 95° d) 120°

b) 110° e) 125°

c) 115°

C

D

a) 12° d) 16°

33. Cuatro rectas se intersecan como se muestra en la figura. Calcular el valor de: (x + y + z + w)

b) 14° e) 20°

c) 15°

D

C

A

B

a) 3π( 3 + 1)cm

z°°

b) π( 3 + 3) cm

c) (2 3 + 3π) cm d) 2π( 2 + 2)cm

y°°

e) 2π( 3 + 3)cm

x°°

w°°

37. Si AB = 5m y BC = 12 , hallar la

C

c) 84m

n el interior de un cuadrado ABCD toma el punto P y luego se traza H ⊥ BC, tal que BH=2 y HC=8. Si ∠APD=90°, hallar PH.

A

C

θ

36. En la figura se muestra una lámina metálica de forma rectangular. Si y AB = 4 3 cm. AD = 4 cm. Calcular la longitud que recorre el vértice A cuando la lamina haya dado una vuelta completa en el sentido indicado.

60°

α

B

B

D

c) 4

α

E F

c) 6

B

n la figura, hallar BC

A 6

b) 5 e) 9

B

A

A

medida de MN a) 360° d) 630°

D A

M

a) 20° d) 55°

b) 30° e) 60°

31. Calcular el valor de “x”:

B

c) 45°

b) 450° e) 720°

c) 540°

B αα θ θ

34. Hallar el ángulo formado por la intersección de las bisectrices de los ángulos exteriores de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo. a) 60° d) 65°

b) 45° e) 75°

c) 30°

A

a) 1 d) 4

M

N

b) 2 e) 5

C

c) 2.5

allar el valor del ángulo “ α ” si bemos que ABCD es un cuadrado. A

B

PROBLEMAS PROPUESTOS SOBRE PERÍMETROS 1. Hallar el perímetro de la figura sombreada:

C

D

100° 116°

b) 105° e) 150°

c) 110°

b

m

15 a) 44 d) 64

a

3a b) 28a e) 34a

c) 30a

b) 36 e) 62

c) 54

5. En la figura adjunta. Determinar el perímetro de la región sombreada (UNSAAC CBU 2000 II)

a) 30πR d) 36πR

b) 25πR e) 32πR

c) 38πR

8. En la siguiente figura, hallar el perímetro de la región sombreada. (UNSAAC 2002 PRIMERA OPCIÓN)

2. Hallar el perímetro de la siguiente figura:

4 a 3

1

a

n

ab b) 2a + b 3a + b e) 2ab

a+b c) ab

B

1

c b

C

4

2a d

a) 22 a a

n la figura ABCD es un cuadrado de do “a”. Calcular el radio de la rcunferencia.

2

6R

4

a) 20a d) 32a

x

+b ab b +b

3

4

a

alcular el valor de “x” en:

es: (UNSAAC CBU INT. 2003)

8

a a a 2a

α

4. Hallar el perímetro de la región sombreada, de la figura: (UNSAAC CBU 2000 I)

a) 2(a + 2b + c – d) c) 2a + 4b + c – 2d e) 5(a + 3b + 10c – d)

b) 2(a + 2b – c + d) d) a + 2b + 2c – 2d

3. Hallar el perímetro de la siguiente figura:

b) 7 a

3 11a d) 3

3 3a e) 22

c) 20 a 3

6. Hallar el perímetro de la siguiente figura. (UNSAAC CBU 2002 I) b

b

a) π + 4 d) 2π + 3

b) 2(4+3π) e) 2(4 + π )

c) 3(2+π)

9. Un arquitecto diseña la siguiente reja para ventana. Si los arcos son semicircunferencias iguales y 22 asumiendo ; hallar la π = 7 longitud total de acero que se requiere.

2

A

b

6

c

2

70

D

A

b)

a 2

3a e) 8

c)

a

3a 5

6 a) 30 d) 36

b) 46 e) 42

c) 40

a) 2 (a – b + 2c) c) 2 (a + b + c) e) 2 (2a + b + c)

b) 2 (a + 2b + c) d) 2 (a + 2b + 2c)

7. El peimetro de la region sombreada,

a) 490 d) 680

b) 560 e) 620

c) 720

allar el perímetro de la siguiente gura: c

d

b c

13. En un triángulo equilátero de lado 4; se unen los puntos medios de los lados, formando otro triángulo equilátero, y se repite la operación indefinidamente. Hallar el límite de la suma de los perímetros de todos los triángulos. a) 21 d) 18

a

b) 8 e) 12

17. Del gráfico calcule el perímetro del polígono ABCDE B

C 3m

D 4m A

) 2 (a + b – d) ) 4 (a + b – d) 2 (2a + b – c)

b) 2 (a + b + d ) d) 3 (a – b – d)

allar el perímetro de la figura mbreada si todas las curvas son micircunferencias.

14. Cuál es el perímetro de la figura, si ABCD es un cuadrado de 10 cm. de lado y los dos arcos son semicircunferencias. A

B

1. El perímetro de un cuadrado es el doble del perímetro de un triángulo equilátero, cuya área es igual a 2 9 3 cm . Hallar el área del cuadrado. (UNSAAC CBU 2003 II)

2m

c) 24 5m

a) 64cm2 d) 81cm2

E

a) 2 6 +15

b) 3 6 +14

d) 5 6 +15

e) 7 6 +15

PROBLEMAS PROPUESTOS SOBRE ÁREAS

c) 3 6

10. Hallar el perímetro del trapecio, si la altura es igual a la base menor: 4

b) 100cm2 e) 121cm2

2. Calcular el perimetro de la región sombreada en cm, sabiendo que P, Q, R y S son puntos medios en el cuadrados ABCD cuyo lado mide 10cm . (UNSAAC CBU INT. 2003) Q

D 10

6

D

a) 10(π+2) d) 20(π+2) 8 8π 6(π+3)

b) 16π e) 12(π+2)

c) 12π

C

b) 5(π+2) e) 10(π+4)

c) 5π

15. Hallar el perímetro de la región marcada si cada cuadradito tiene 1cm. de lado.

M

B

S

a) 10 2

b) 11 3

d) 12 2

e) 8 3

c) 8 5

3. En la figura: AB = AP y CD = DP, el area del cuadrilátero ABCD es: (UNSAAC CBU 2003 II) B

C b) 27 e) 24

c) 28

16. Se tiene un pentágono ABCDE tal que: AB = BC = CD = DE = b y ABC = ACD = ADE = 90º . Calcular el perímetro del pentágono ABCDE. c) 160cm

A

B

a) 26 d) 25

b) 184cm e) 240cm

R

c) 24

19. Calcular el perímetro de la región sombreada, si AB = 15.

a figura mostrada está formada por exágonos regulares iguales. Hallar perímetro de toda la figura si cada exágono tiene 48 cm. de perímetro.

176cm 168cm

b) 22 e) 28

A

C

P

10 a) 20 d) 26

c) 49cm2

a) 2b d) 10b

b) 6b e) 12b

c) 8b

a) 20 d) 35

N b) 25 e) 40

c) 30

y

20. Se tiene un cuadrado ABCD, sobre el lado AD se traza una semicircunferencia interior, luego desde C se traza una tangente a la semicircunferencia la cual corta a AB en F. Hallar el perímetro del triángulo BCF si el lado del cuadrado mide 6. a) 12 d) 22

b) 14 e) 24

C

x

c) 18

A

D

P

a) (x + y)

2

2

b)

4 2 c) (x + y) 2

2

e) x + xy + y

x + xy + y 2 2

2 2 d) x + y

2 2

4

4. En la siguiente figura, el diámetro

el círculo de centro O, mide 8cm. allar el área de la región sombreada. B

P A 18cm2 16cm2

C

O

a) 600m2 d) 100m2

Q

D b) 20cm2 e) 17cm2

perímetro es igual a 74m., mientras que el cuadrado de su diagonal es igual a 769m2. ¿Cuál es el área del lote? (UNSAAC 2000 II)

c) 14cm2

n la figura, el área de la region mbreada y no sombreada en el rculo mayor de radio R = 4 metros, n de igual medida. El área en etros cuadrados de la región mbreada, es:

b) 150m2 e) 300m2

c) 500m2

9. Si el área de la figura sombreada es 8m2. entonces el lado del cuadrado ABCD mide: (UNSAAC 2001 II) B

A

D

C

a) 6 2 m d) 4 m 6π 10π

b) 4π e) 8π

c) 12π

e quiere revestir un piso rectangular on losas circulares de igual radio, olocadas tangentes unas con otras. se sabe que tanto a lo largo como a ancho entran losas completas. Cuál es el máximo porcentaje que se ubrirá del piso con las losas? AN MARCOS 2003) 27.5π% 30π%

b) 20π% e) 22.5π%

b) 576 e) 288

c) 72

n lote de terreno es de forma ctangular y se sabe que su

c) 2 m

10. En la siguiente figura se tiene dos circunferencias concéntricas donde OA = AB = 1. Si OB = BC = OC, calcular el área de la región sombreada. (UNSAAC 2002 II)

D

C

(UNSAAC 2002 PRIMERA OPCIÓN))

A) 250 D) 450

B) 500 E) 325

C) 300

12. Hallar el área del círculo inscrito en un hexágono regular, cuya área es de 36

3 m2.

A

A) 18π m2 C) 24

3 π m2

E) 26

3 π m2

B) 30

3 π m2

D) 18

3 π m2

13. Calcular el área del círculo que está inscrito en un sector circular de 60° de ángulo central y 15cm de radio. (UNSAAC 2002 I) A) 15πcm2 D) 20πcm2

B) 25πcm2 E) 30πcm2

C) 18πcm2

14. Calcular el área de la región de un triángulo rectángulo si su hipotenusa mide 8 y uno de sus ángulos internos mide 22°30” A) 4

B) 8

D) 12 2

E) 8 2

c) 2π − 3

d) π − 3

2

3 π e) − 4

3

6

3

11. La pintura de un cuadro tiene un largo de 60 cm. y un ancho de 35 cm. Calcular el área del marco rectangular

B) 4 E) 10

C) 6

17. El cubo mostrado tiene 2m. de arista. Hallar el área de la figura limitada por el triángulo sombreado.

B)

D) 2 3

E) 4 3

B) 2(5-π) E) 3(6-π)

C) 3 2

18. Hallar el área de la región sombreada en la siguiente figura: Y

-2

-1

0

1

2

X

A) (π- 3 ) u2

B) 2(π+ 3 ) u2

C) 2(π- 3 ) u2

D) (π+ 3 ) u2

2

19. Los lados de un triángulo son tres números consecutivos, el perímetro es 60m. El área de triángulo es:

8 A) 3(4-π) D) 4(6-π)

3 3 2

A) 4 3

E) 3 3 u 6

b) π − 3

A) 5 D) 8

C) 2 2

B

a) 3π − 3

región es igual a 4/9 del área de la región del primer hexágono.

(UNSAAC 2002 PRIMERA OPCIÓN)

15. Si el triángulo es rectángulo, hallar el área marcada en:

O

c) 25π%

os lados no paralelos y la base enor de un trapecio isósceles son uales entre sí y miden 15 metros. Si base mayor mide 33m. El área del apecio en metros cuadrados, es: UNSAAC 2000 I) 128 144

b) 6 m e) 4 2 m

en cm2, si se tiene un ancho igual a 2,5cm.

C) 6(4-π)

16. El lado de un hexágono regular mide 9. Determine el lado de otro hexágono regular, cuya área de su

A) 152.4 m2 C) 120.6 m2 E) 170 m2

B) 145.8 m2 D) 172.3 m2

20. En la figura E, F, G y H son puntos medios del cuadrado ABCD. Entonces la razón entre el área

10

mbreada y el área no sombreada : F B C

A

H

3 13 2 ) 15

7 A) 10 6 D) 17

B)

C)

5 13

A

) 60 m ) 50 m2

C

A) a 2

B)

a2 2

a2 3

E)

a2 5

D)

π  B)  1 −  R 2 4  π  D)  4 −  R 2 4 

B) 80 m E) 65 m2

A) 10 D) 36

D

C

R B) 20 E) 38

C) 32

27. Calcular el área de la sombreada en el cuadrado. A

región

B

C

M

A)

7a 2 10

B)

8a 2 15

D)

11a 2 20

E)

7a 2 10

C)

9a 2 20

30. Determinar el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado de lado “a”. Además M y N son puntos medios.

a

B

D

2

D

A

E C)

a2 4

5a 2 2

B)

4a 2 5

D)

5a 2 3

E)

5a 2 7

C)

6a 2 7

28. En el cubo de arista 4m., calcular el área sombreada:

B

C

2

C) 40 m

allar la relación entre el área mbreada y el área no sombreada.

D

C) 3R 2 ( π − 6)

D) 2R 2 (8π − 3)

E) 2R 2 (32 − 9π ) 26. El área del cuadrado ABCD es 40m2. Hallar el área sombreada sabiendo que M, N, O, y R son puntos medios de los lados.

F

E

A) 8 2 D) 16

B) 4 2 E) 8

C

M

A)

2a 2 46

B)

5a 2 41

D)

5a 2 35

E)

7a 2 35

C)

5a 2 48

31. Si las bases de un trapecio miden 4 y 6 metros y su altura es de 2m. Calcular el área del triángulo cuyos vértices son los puntos medios de las diagonales y el punto de corte de los lados no paralelos.

R

B) 2R 2 (15 − 2π )

N D

A

A) R 2 (16 − 2π)

B

C

A)

25. Hallar el área sombreada de la figura:

a altura de un triángulo es los 3/4 de base más 4m. Si la base es la lución positiva de: 2x2 -13x-24 = 0 , área del triángulo es: 2

7 C) 10

D

L

π  )  2 −  R2 4  3π 2 ) R 4

N

a

R

π 2 R 4

6 B) 13 7 E) 13

B

O

M

24. Hallar el área sombreada, si consideramos que la figura ABCD es un cuadrado, además DB = DE = a 2 .

el lado de un cuadrado inscrito en n círculo C1 es L, entonces el área e la figura sombreada, en función el radio R de la circunferencia C1, :

A

B

3

4

D

5 16 7 E) 13

)

)

4

G

E

N

A

C) 2 2

29. En el cuadrado ABCD, de lado “a” M y N son puntos medios. Hallar el área de la región sombreada.

A) 2.4 m2 D) 2.7 m2

B) 2.5 m2 E) 2.8 m2

C) 2.6 m2

32. En la figura mostrada ABCD es un cuadrado: Calcular el área sombreada si tenemos que “O” es el centroide del cuadrado.

A

L

Z

4

D

) 3( π − 2) ) 3( π − 1)

B A

C

4

B) 2( π + 2) E) 3( π − 3)

A

N 2

C) 2π π

allar el área sombreada, si AB = 8 , endo ABCD un cuadrado.

A

B 2

A) 4π m . D) 6π m2.

2

C) π/2 m

B) 8π m . E) 3π m2.

36. Si Rr = 5 R, hallar el área de la región sombreada.

A) D)

2

R 4

B)

3

2

R 4

E)

M

B

U 2

3R 16

C) R

3

3

R 3

R

C

D

B) 8π(7 − 3 5)

) 8π(6 − 5)

D) 8π(7 + 2 2)

) 9π(7 − 3 5)

área del cuadrado ABCD es igual a 0m2, siendo M y N puntos medios. allar el área del triángulo mbreado.

A

M

C) 12π π

37. En la figura mostrada calcular el área sombreada si AB = AC = 2 , además F y M son centros de las semicircunferencias. B

A 60°

B

A) 2 D) 3

M C

D

π 3 3 A) 2  −  3 8  

C B) 4 E) 6

C) 5

alcular el área de la región mbreada, si MN mide 4m. y AB, N y AM son diámetros.

3 4 3 D) 5

A)

C

π 2 3 B) 2  −  2 3  

π 3 3 π 2 2 C) 3  −  D) 4  −  4 3 7    3 E) 2π π

38. Hallar el área de la región sombreada si: m∠LUZ = 120°. y “U” es centro de las dos semicircunferencias. (AU = R)

B) 20m2 E) 50m2

48 25 3 E) 7

B)

B) 4 E) 1

B) 75 m2 E) 12 m2

C) 30m2

43. Hallar el área del cuadrado ABCD siendo “R” el radio del semicírculo y “r” el radio del círculo.

r B

R C)

13 4

D

C B) R 2 − r 2

A) Rr D) 4Rr

2

C) 2Rr 2

E) 2(R + r )

44. Calcula el sombreada:

área

A

de

la

región

B

C) 6

24

41. En una pirámide regular de base cuadrada de 10m de lado )cuál es el área de la sombra que proyecta una de sus caras laterales en su base a las 12 meridiano. A) 100m2 D) 25m2

A) 10m2 D) 40m2

R

40. En un cuadrado ABCD de lado 3 2 , se toma Q, en la diagonal BD, de modo que las áreas ABCQ y CQD sean iguales. Hallar DQ.

F

N

A

C

x

A

B

r B) 10π π E) 20π π

A

8

2

r

A) 8π π D) 15π π

y

2

39. En la figura mostrada, calcular el área sombreada de la región ABC. Si r=4 y R=6.

B

) 4π(2 − 3 2)

)3 ) 5.5

sombreada es 10m2. (“x” e “y” son semicircunferencias)

M

B

C) 50 m2

42. En la figura mostrada calcular la suma de las áreas “x” e “y”. Si el área del triángulo mixtilíneo AMBC es 40m2. y el área de la lúnula

D

24

C

A) 222 2

B) 250 2

C) 267 2

D) 278 2

E) 288 2 45. En la figura mostrada se pide calcular el área sombreada, si los radios miden 6 m. y 2 m.

P y Q trisecan a BC y MN trisecan a AC) B

O1 2 O

) 22π − 8

3 30π ) −8 3 ) 40π − 8 3

Q

6

P

B) 28π − 9

A

3 35π D) −8 4

a) 1 m . d) 16 m2.

perímetro de un trapecio es 42m. la base menor mide 3m. Hallar el ea del trapecio (en m2) si sus agonales son bisectrices de los ngulos obtusos.

) 96 ) 102

B) 84 E) 114

B) 5/4 E) 1/2

C) 1

alcular el área de la región mbreada, si el área de la región angular ABC es 14m2. B 2b

A

) 1 m2. ) 4 m2.

a M a N a B) 2 m2. E) 5 m2.

N 2

b) 4 m . e) 25 m2.

C c) 9 m2.

50. En la figura ABCD es un cuadrado, si AB = 10 . Calcular el área de la región sombreada aproximada. A

B

D

C

C) 90

alcular el área del cuadrado scrito en un semicírculo de dio " 1m" sabiendo que uno de us lados está sobre su diámetro

) 4/5 ) 3/2

M 2

P b C C) 3m2

n la figura mostrada calcular el área e la región sombreada si el área de región triangular ABC es 70m2. (Si

A) 50.25 D) 55.02

B) 52.38 E) 56.38

C) 53.42

Parábola de la

Educación Iba un hombre caminando por el desierto cuando oyó una voz que le dijo:: “Levanta algunos guijarros, mételos en tu bolsillo y mañana te sentirás a la vez triste y contento”. Aquel hombre obedeció. Se inclinó, recogió un puñado de guijarros y se los metió en el bolsillo. A la mañana siguiente, vio que los guijarros se habían convertido en diamantes, rubíes y esmeraldas. Y se sintió feliz y triste. Feliz, por haber cogido guijarros; triste por no haber cogido más. Lo mismo ocurre con la educación W. Cunningham