11

Triángulos

1 2 3 4

Construcción de triángulos Medianas y alturas de un triángulo Mediatrices y bisectrices de un triángulo Teorema de Pitágoras

¿Has hecho alguna vez una construcción con varillas de metal? ¿Has intentado hacer un cuadrado?; si tiras de sus vértices, verás que se deforma. Sin embargo, esto no ocurre en el triángulo. El triángulo es un polígono que tiene una estructura indeformable. Si te fijas en la estructura de muchos puentes, en una torre, en una grúa o en un andamio, te darás cuenta de que las formas poligonales de más de tres lados contienen segmentos que las dividen en triángulos para que no se puedan deformar.

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1

Construcción de triángulos piensa y calcula

CARNÉ CALCULISTA 925,67 : 6,04

Atendiendo a los datos, ¿se pueden dibujar los siguientes triángulos? Justifica la respuesta. a) Tres lados cuyas longitudes son 1 cm, 2 cm y 3 cm b) Un lado de 8 cm y dos ángulos que están junto a él, de 60° y 120°

1.1 Construcción de triángulos Para construir triángulos basta con conocer algunos datos. Se estudian tres casos: a) Construir un triángulo conocidos los tres lados Suma de los ángulos de un triángulo

Para poder construir un triángulo con tres lados conocidos, la longitud del lado mayor debe medir menos que la suma de los otros dos lados.

La suma de los tres ángulos de un triángulo es 180° B b N

C

C

doblar M

A

a

N b

c

doblar M

cm

a = 3 cm

B

C

b

B

a = 3 cm

C

cm

m

c

,5 =2

2c

b

2,5

N

A c=

a

C

cm

A

Dibuja el triángulo de lados: a = 3 cm, b = 2,5 cm y c = 2 cm

c=2

M

1

cm

c

2,5

A

a

EJERCICIO RESUELTO

b=

M

b=

doblar

Se dibuja el segmento que representa al lado a. Sobre los extremos, que son dos vértices, se dibujan arcos de circunferencia con radios iguales a la longitud del lado b y del lado c, respectivamente. El punto de intersección es el otro vértice.

B

a = 3 cm

b) Construir un triángulo conocidos dos lados y el ángulo que forman Se dibuja el segmento que representa el lado a. Desde un extremo, que es el vértice C del triángulo, se levanta el ángulo conocido. Se lleva el lado b sobre este lado del ángulo y se unen los extremos de los lados a y b EJERCICIO RESUELTO

N

2

Dibuja el triángulo de lados: a = 5 cm, b = 3 cm y ángulo C = 40° A 3 b=

C

cm

3 b=

40° a = 5 cm

B

C

cm

40° a = 5 cm

B

c) Construir un triángulo conocidos un lado y los dos ángulos contiguos Para construir un triángulo con un lado y los ángulos contiguos conocidos, se debe cumplir que la suma de los dos ángulos sea menor que 180° Se dibuja el segmento que representa al lado a. Desde sus extremos, que son dos vértices del triángulo, se levantan los ángulos conocidos. El punto de intersección de los lados de los ángulos es el tercer vértice. 202

BLOQUE II: Geometría

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EJERCICIO RESUELTO

3

Dibuja un triángulo de lado a = 4 cm y ángulos B = 70° y C = 50° A

Clasificación de los triángulos a) Según sus lados:

Equilátero 70°

50°

C

a = 4 cm

B

C

70°

50° a = 4 cm

B

1.2 Igualdad de triángulos

Isósceles

Dos triángulos son iguales si los lados y los ángulos de uno son iguales, respectivamente, a los del otro. EJEMPLO

Escaleno

B

b) Según sus ángulos:

c

a = a′ b = b′ c = c′ A = A′ B = B′ C = C′

B′ A

a a′

c′

b

C

A′

b′

Acutángulo

C′

En la práctica, para saber si dos triángulos son iguales no se necesita comparar los tres lados y los tres ángulos. De la construcción de triángulos se deducen los siguientes criterios de igualdad de triángulos:

Rectángulo

a) Dos triángulos son iguales si tienen los tres lados respectivamente iguales.

Obtusángulo

b) Dos triángulos son iguales si tienen dos lados y el ángulo comprendido

respectivamente iguales. c) Dos triángulos son iguales si tienen un lado y los dos ángulos contiguos respectivamente iguales.

aplica la teoría 1

Dibuja un triángulo cuyos lados midan a = 4,4 cm, b = 3,1 cm y c = 2,5 cm

2

¿Es posible dibujar un triángulo cuyos lados sean 12 cm, 4 cm y 6 cm? Justifica tu respuesta.

3

Construye un triángulo cuyos lados sean a = 4,4 cm y b = 2,8 cm, y el ángulo comprendido entre ellos C = 72°

4

Dibuja un triángulo con dos ángulos conocidos B = 70°, C = 80°, y el lado a = 2,5 cm

5

¿Es posible dibujar un triángulo con los ángulos A = 120° y C = 70° y el lado b = 5 cm? Justifica tu respuesta.

6

Si tienes dos triángulos isósceles que son rectángulos, ¿puedes decir que son iguales? Justifica tu respuesta. 11. Triángulos

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203

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2

Medianas y alturas de un triángulo CARNÉ CALCULISTA

(

3 – 7 1 + 5 4 2 2 6

piensa y calcula

)

Mide los segmentos AG y GA′ en los triángulos de la figura. Expresa la relación que existe entre ellos. B

G

B A′

A′ G

A′

Baricentro: G A

C

B′ B A′ G

C′

C B′

A

C

2.1 Medianas de un triángulo

B

C′

A

C

A

Una mediana de un triángulo es el segmento que va desde un vértice al punto medio del lado opuesto. El baricentro es el punto de corte de las tres medianas. Se representa con la letra G El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos, de forma que uno es el doble que el otro, es decir, el segmento que tiene como extremos el vértice y el baricentro mide el doble que el segmento cuyos extremos son el baricentro y el punto medio del lado opuesto. AG = 2 · GA′ BG = 2 · GB′ CG = 2 · GC′ El baricentro está siempre situado en el interior del triángulo y es su centro de gravedad. Si se sujeta un triángulo rígido por el baricentro, el triángulo se mantiene en equilibrio. EJERCICIO RESUELTO

4

Calcula la distancia a la que está el baricentro G del vértice C y del punto medio C′ del lado c B

C′

CC′ = 6 cm G

A

C

La distancia CG = 2 · 6 = 4 cm 3 La distancia GC′ = 1 · 6 = 2 cm 3 204

BLOQUE II: Geometría

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2.2 Alturas de un triángulo La altura de un triángulo es el segmento perpendicular desde el vértice al lado opuesto o a su prolongación. El ortocentro es el punto donde se cortan las tres alturas. Observa que una altura es perpendicular al lado, pero que esta puede caer fuera del triángulo.

Triángulo

Acutángulo

Rectángulo

En el interior del triángulo:

En el vértice del ángulo recto: B

B

Posición del ortocentro

Obtusángulo En el exterior del triángulo: B

C

A

O: Ortocentro A

C

A

O: Ortocentro

C

O: Ortocentro

En un triángulo rectángulo dos alturas coinciden con los catetos.

aplica la teoría 7

Construye un triángulo cuyos lados sean a = 6 cm, b = 4 cm y c = 3 cm. Dibuja en él las tres medianas y señala el baricentro. Comprueba midiendo que el baricentro divide a las medianas en dos segmentos y que uno es el doble del otro.

8

Dibuja un triángulo rectángulo de catetos 3,2 cm y 4,5 cm y en él las medianas y el baricentro. Mide los segmentos de cada mediana. ¿Qué deduces?

9

Construye un triángulo de lados 4,5 cm, 3,8 cm y 3 cm. Dibuja las alturas y señala el ortocentro.

10

Construye un triángulo de lados 5 cm, 4 cm y 3 cm, y dibuja sus alturas. Señala el ortocentro y estudia su posición.

11

De un triángulo se sabe que el lado a mide 3 cm y que la mediana que va desde el vértice A al lado a mide 3,5 cm. Con estas condiciones dibuja un triángulo: a) Acutángulo. b) Isósceles. c) Obtusángulo. 11. Triángulos

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205

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3

Mediatrices y bisectrices de un triángulo piensa y calcula

CARNÉ CALCULISTA 720 000 : 190

El triángulo de la figura es equilátero. ¿Cómo se llama el segmento AM? ¿Cuánto miden los ángulos dibujados? A

C

B

M

3.1 Mediatriz de un segmento La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento por su punto medio. Para trazar la mediatriz de un segmento AB se sigue el procedimiento: P

P A P

A

B

A

B

B

Mediatriz Q

PA

PB B

A

Q

b) Con centro en A y en B, se dibujan unos arcos que se cortan en los puntos P y Q

c) La mediatriz es la recta que une los puntos P y Q

Los puntos de la mediatriz equidistan de los extremos del segmento: PA = PB y QA = QB

QB

QA

a) Se toma una abertura del compás mayor que la mitad del segmento.

Q

3.2 Bisectriz de un ángulo La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que divide al ángulo en dos ángulos iguales. Para trazar la bisectriz de un ángulo se sigue el procedimiento: B O

B

A

a) Se dibuja un arco con centro en el vértice O del ángulo. El arco corta a los lados del ángulo en los puntos A y B Q d

P d

O

206

R

O

B

P

A

b) Con centro en A y B, se trazan dos arcos del mismo radio que se cortan en el punto P

O

P

A

c) La bisectriz del ángulo es la semirrecta que tiene como origen O y pasa por P

La bisectriz de un ángulo se puede definir como la semirrecta cuyos puntos equidistan de las semirrectas que forman los lados del ángulo. Fíjate que la distancia de un punto P a un lado es la longitud del segmento perpendicular al lado que tiene como extremos P y un punto Q del lado: PQ = PR

BLOQUE II: Geometría

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3.3 Mediatrices de un triángulo Las mediatrices de un triángulo son las mediatrices de sus lados. El circuncentro de un triángulo es el punto de corte de las tres mediatrices. Está a la misma distancia de los tres vértices. La circunferencia circunscrita al triángulo es la que tiene como centro el circuncentro y como radio la distancia del centro a uno de los vértices. Triángulo

Acutángulo

Rectángulo

En el interior del triángulo:

Obtusángulo

En el centro de la hipotenusa:

En el exterior del triángulo:

B B

Posición del circuncentro

R

R O: Circuncentro

O: Circuncentro A

C

Circunferencia circunscrita

B

C

A

Circunferencia circunscrita

R

O: Circuncentro

A

C

Circunferencia circunscrita

3.4 Bisectrices de un triángulo B

Las bisectrices de un triángulo son las bisectrices de sus ángulos. El incentro de un triángulo es el punto donde se cortan las tres bisectrices. Está a la misma distancia de los tres lados del triángulo. La circunferencia inscrita en un triángulo es la que tiene como centro el incentro y como radio la distancia del centro al lado.

R

R O: Incentro

A

R Circunferencia inscrita

C

aplica la teoría 12

13

14

15

Dibuja un segmento de 5 cm de longitud y traza su mediatriz. Comprueba midiendo que un punto de la mediatriz equidista de los extremos del segmento. Dibuja un ángulo agudo y traza su bisectriz. Comprueba midiendo que un punto de la bisectriz equidista de los lados del ángulo. Dibuja un triángulo de lados 4,5 cm, 3,5 cm y 3 cm. Dibuja el circuncentro y la circunferencia circunscrita. ¿Cuál es el número mínimo de mediatrices que hay que trazar para hallar el circuncentro?

16

Dibuja un triángulo rectángulo y su circunferencia circunscrita. ¿Dónde está el circuncentro?

17

Construye un triángulo cuyos lados midan 3,5 cm, 2,5 cm y 2 cm. Dibuja el incentro y la circunferencia inscrita.

18

Dibuja un triángulo equilátero. ¿Cómo son las bisectrices y las mediatrices? Dibuja la circunferencia circunscrita y la inscrita.

19

Dibuja un triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos midan 4 cm. Dibuja las circunferencias inscrita y circunscrita. 11. Triángulos

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207

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4

Teorema de Pitágoras piensa y calcula

CARNÉ CALCULISTA 2· 9 – 1 : 3 5 2 2 2

Cuenta los cuadraditos y expresa la relación que existe entre los lados de cada triángulo rectángulo.

C

C 4 5

A

3

8 10

B

A

6

B

4.1 El teorema de Pitágoras Un triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto.

B

a: a

us

ten

po

c: cateto

hi

A

C

b: cateto

Los lados de un triángulo rectángulo se llaman: • Catetos: los lados que forman el ángulo recto. • Hipotenusa: el lado opuesto al ángulo recto. Fíjate que la hipotenusa siempre es mayor que los catetos. Un triángulo rectángulo es isósceles cuando tiene los dos catetos iguales. El teorema de Pitágoras dice que, en un triángulo rectángulo, la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. a2 = b2 + c 2 La interpretación geométrica del teorema de Pitágoras es que el área del cuadrado que se construye sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los catetos.

C 3

A

5 4

B

25 = 16 + 9 52 = 42 + 32

4.2 Ternas pitagóricas EJEMPLO

3, 4 y 5 ⇒ 3 + 4 = 5 ⇒ 9 + 16 = 25 2

208

2

2

Una terna pitagórica son tres números naturales que verifican el teorema de Pitágoras. Así, dados tres números, forman un triángulo rectángulo si el cuadrado del mayor es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos.

BLOQUE II: Geometría

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4.3 Aplicaciones del teorema de Pitágoras ■ Calcular la hipotenusa, conocidos los catetos Se escribe: la hipotenusa al cuadrado igual a un cateto al cuadrado más otro cateto al cuadrado. a2 = b2 + c2

B

5

Calcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3,6 m y 4,8 m a2 = b2 + c2 ⇒ a2 = 3,62 + 4,82 = 12,96 + 23,04 = 36

c = 4,8 m

EJERCICIO RESUELTO

a

a = √36 = 6 m –

√

A

( 3.6 x 2 + 4.8 x 2 ) = 6

b = 3,6 m

C

■ Calcular un cateto, conocidos la hipotenusa y el otro cateto Se escribe: un cateto al cuadrado más el otro cateto al cuadrado igual a la hipotenusa al cuadrado. b2 + c2 = a2 EJERCICIO RESUELTO

c

m

b2 + c2 = a2 ⇒ 12 + c2 = 2,52 ⇒ 1 + c2 = 6,25 ⇒ c2 = 5,25 c = √5,25 = 2,29 m –

√

2,5

¿A qué altura se llega con una escalera de 2,5 m si se coloca la base a 1 m de la pared?

a=

6

b=1m

( 2.5 x 2 − 1 x 2 ) = 2,29

aplica la teoría Calcula la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 5 cm y 7 cm

21

Halla la longitud de un cateto de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 20 m y el otro cateto 9 m

22

Comprueba cuáles de las siguientes ternas de longitudes forman triángulo rectángulo: a) 3 cm, 4 cm y 5 cm b) 6 m, 8 m y 10 m c) 9 dam, 12 dam y 15 dam d) 5 mm, 6 mm y 7 mm

23

En un triángulo rectángulo isósceles, calcula la longitud de la hipotenusa si los catetos miden 4 dam

24

Halla la diagonal de un cuadrado de lado 6 m

25

Calcula la altura de un triángulo equilátero de 4 cm de lado.

26

Un poste de madera tiene 8 m de altura y se quiere sujetar con tres cables que van desde el extremo superior a un punto del suelo que dista de la base del poste 3 m. ¿Qué longitud de cable se necesita?

8m

20

3m

11. Triángulos

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209

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Ejercicios y problemas resueltos EJERCICIOS DEL TEOREMA DE PITÁGORAS 7

B

Dibuja un triángulo rectángulo de catetos b = 4,2 cm y c = 5,6 cm, y calcula su hipotenusa.

a2 = b2 + c 2 a2 = 4,22 + 5,62 = 17,64 + 31,36 = 49

a

c = 5,6 cm

a = √49 = 7 cm 90° A

8

Dibuja un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es a = 6 cm, el cateto b = 3,6 cm. Calcula la longitud del otro cateto.

C

b = 4,2 cm

B

b2 + c 2 = a2 a = 6 cm

c

3,62 + c 2 = 62 ⇒ 12,96 + c 2 = 36 ⇒ c 2 = 23,04 c = √23,04 = 4,8 cm

90° A

b = 3,6 cm

C

PROBLEMAS DE APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS 9

Calcula la longitud de una cinta transportadora en rampa que avanza 32 m en horizontal y asciende 24 m en vertical.

Entérate Una cinta transportadora que: • Avanza en horizontal 32 m • Sube verticalmente 24 m Pregunta: Halla la longitud de la cinta. Manos a la obra B a

A

b = 32 m

c = 24 m

C

a2 = b2 + c 2 a2 = 322 + 242 = 1 024 + 576 = 1 600 a = √1 600 = 40 Solución La cinta transportadora mide 40 m

210

BLOQUE II: Geometría

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10

Un carpintero hace marcos rectangulares de madera para ventanas. Para que el marco no se deforme les pone en la diagonal un listón de madera de 2 m de largo. Si el alto del marco mide 1,2 m, ¿cuánto mide de largo?

Entérate La diagonal del marco mide 2 m El alto del marco mide 1,2 m Pregunta: ¿Cuánto mide el largo? Manos a la obra B

C d=2m

A

c = 1,2 m D

b

b2 + c 2 = d 2 b2 + 1,22 = 22 ⇒ b2 + 1,44 = 4 ⇒ b2 = 2,56 b = √2,56 = 1,6

Solución El largo del marco mide 1,6 m 11

Calcula la altura en el trapecio siguiente:

Entérate b = 10 cm

b = 10 cm h B = 34 cm

c = 12 cm

c = 34 – 10 = 12 cm 2

l = 15 cm

h

l = 15 cm

c = 12 cm

Pregunta: ¿Cuánto mide la altura h? Manos a la obra h2 + c 2 = l 2 h 2 + 12 2 = 15 2 ⇒ h 2 + 144 = 225 ⇒ h 2 = 81 h = √81 = 9 Solución La altura mide 9 cm

12

Calcula la altura de un triángulo equilátero de 4 cm de lado. Redondea el resultado a un decimal.

Entérate Triángulo equilátero de 4 cm de lado. Pregunta: ¿Cuánto mide la altura del triángulo? Manos a la obra

()

B

h A

l = 4 cm 90°

D l = 2 cm 2

2 h2 + l = l 2 2 2 h + 22 = 42 ⇒ h2 + 4 = 16 ⇒ h2 = 12 h = √12 = 3,5

C

Solución La altura mide 3,5 cm 11. Triángulos

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211

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Ejercicios y problemas propuestos resueltos 1|Construcción de triángulos 27 28

Construye un triángulo cuyos lados midan a = 45 mm, b = 36 mm y c = 33 mm Nos han dado las siguientes tablillas para formar un triángulo. ¿Puedes hacerlo?

39

Dibuja un segmento de 3,5 cm y traza su mediatriz con regla y compás.

40

Dibuja un segmento de 3,2 cm y traza su mediatriz usando solo las reglas.

41

Dibuja un ángulo agudo de 40° y traza su bisectriz con regla y compás.

29

Construye un triángulo cuyos lados sean a = 4 cm y b = 3 cm y el ángulo comprendido entre ellos C = 65°

42

Construye el triángulo de lados 3 cm, 4 cm y 4,5 cm y dibuja las mediatrices y la circunferencia circunscrita.

30

Dibuja un triángulo con dos ángulos conocidos, B = 65°, C = 70°, y el lado a = 2,5 cm. ¿De qué tipo es el triángulo?

43

31

¿Son iguales dos triángulos que tienen iguales sus ángulos? Justifica tu respuesta.

32

Construye un triángulo como el de la figura utilizando el transportador y la regla.

Señala dónde está el circuncentro y dibuja la circunferencia circunscrita en los siguientes casos: a) Triángulo acutángulo. b) Triángulo rectángulo. c) Triángulo obtusángulo.

44

Construye un triángulo cuyos lados midan 55 mm, 41 mm y 38 mm. Dibuja el incentro y la circunferencia inscrita.

45

Dibuja un triángulo rectángulo con un ángulo agudo de 30°. Dibuja la circunferencia inscrita.

33

34

Construye un triángulo con los ángulos A = 35° y C = 100° y el lado b = 3 cm. ¿De qué tipo es el triángulo?

35

4|Teorema de Pitágoras 46

Calcula la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden: a) 6 cm y 8 cm b) 12 mm y 16 mm c) 5 m y 10 m d) 7 dm y 7 dm

47

Halla la longitud de los catetos:

Dibuja un triángulo rectángulo que tenga una hipotenusa de 3 cm y un ángulo de 60°

2|Medianas y alturas de un triángulo

36

Construye un triángulo rectángulo de forma que la altura sobre la hipotenusa coincida con la mediana.

37

Construye un triángulo de lados 44 mm, 36 mm y 30 mm, y dibuja las tres alturas.

38

Dibuja un triángulo obtusángulo y las tres alturas. Señala el ortocentro.

a)

7m

b) 8 dam

4 dam

Construye un triángulo cuyos lados midan: a = 4 cm, b = 3 cm y c = 2,5 cm. Dibuja en él las tres medianas y señala el baricentro. Comprueba midiendo que el baricentro divide a las medianas en dos segmentos y uno es el doble del otro.

3m

212

3|Mediatrices y bisectrices |de un triángulo

48

Comprueba cuáles de las siguientes ternas de longitudes forman un triángulo rectángulo: a) 12 cm, 16 cm y 20 cm b) 6 m, 7 m y 10 m c) 4 dam, 5 dam y 12 dam d) 15 mm, 20 mm y 25 mm

49

Comprueba que el triángulo de 6 cm, 4,5 cm y 3 cm de lados no es rectángulo, y di si es obtusángulo.

BLOQUE II: Geometría

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29/01/15 10:28

Calcula la longitud de la diagonal del rectángulo de la figura:

52

6,5 m 4,5 m

d

51

Deseamos un toldo como el del dibujo, que sobresalga de la pared 90 cm. Calcula la longitud, a, de la caída del toldo.

a

Calcula la longitud de la altura del triángulo de la figura: dm

| Para ampliar 4,5

110 cm

50

90 cm

a

2,6 dm

| Para ampliar 53

Construye un triángulo cuyos lados midan 30 mm, 35 mm y 45 mm. Mide sus ángulos con el transportador y di cómo es el triángulo según los ángulos.

54

Los lados de un triángulo miden 4,5 cm, 6 cm y 7,5 cm. Dibújalo y di qué tipo de triángulo es.

55

Construye un triángulo que tenga un ángulo de 50° y que los lados que lo forman midan 4,5 cm y 2,8 cm

Construye un triángulo rectángulo que tenga una hipotenusa de 4,2 cm y un ángulo agudo de 45°. Dibuja las medianas y señala el baricentro.

63

¿Cuánto mide el ángulo A en el dibujo? A

58

5c m C

m

Construye un triángulo de lado a = 4,5 cm y ángulos B = 30° y C = 70°. Traza las alturas y señala el ortocentro.

57º B 5,45 cm

Construye un triángulo isósceles de 3 cm de lado desigual y 4 cm de lados iguales.

Construye un triángulo como el de la figura, dibuja las bisectrices y la circunferencia inscrita.

65

Dibuja un triángulo isósceles de lado desigual a = 2,5 cm y altura sobre el lado a de 4 cm

B

66

Calcula en cada caso el lado que falta: a) b = 10 dm y c = 6 dm

cm

3, 8

8

3,

cm

64

A

60

62

Dibuja un triángulo que tenga un ángulo de 60°, y los lados que lo forman, 3,6 cm y 2,8 cm. Traza las medianas y señala el baricentro.

57

59

Construye un triángulo rectángulo que tenga un cateto que mida 4 cm, y un ángulo agudo de 40°. Dibuja las bisectrices.

5c

56

61

5,4 cm

b) b = 12 cm y c = 16 cm

C

Construye un triángulo equilátero de 2,8 cm de lado. Traza las mediatrices y dibuja la circunferencia circunscrita. Dibuja un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 2,8 cm y 2 cm. Dibuja la circunferencia circunscrita.

c) a = 30 dam y c = 20 dam d) a = 10 m y b = 8 m 67

Calcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles sabiendo que el valor del cateto es: a) 3 m

b) 5 dm

c) 4,5 cm

d) 12 mm 11. Triángulos

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Ejercicios y problemas propuestos | Problemas Construye un triángulo del que conocemos el lado c = 5 cm, el lado a = 3 cm y la mediana que va desde el vértice C al lado c, que mide 4 cm

69

El perímetro de un cuadrado mide 28  m. ¿Cuánto mide la diagonal?

70

En un rectángulo de lados 4 cm y 7 cm, calcula la longitud de la diagonal.

72

Calcula la diagonal del ortoedro de la figura: E

m

5 cm

76

C D

7 cm

m 3c

G

5m

Sobre la construcción de una pirámide se ha situado una grúa para arrastrar la carga. ¿Qué longitud de cuerda se necesita para subir la carga por la cara de la pirámide?

52 m

x 25 m

214

c

|Para profundizar 77

Dibuja un triángulo y traza una paralela a un lado por un vértice. Justifica sobre el dibujo que la suma de los tres ángulos de un triángulo suman 180°

78

¿Puede ser obtuso el ángulo contiguo del lado desigual de un triángulo isósceles?

79

¿Puede ser equilátero un triángulo rectángulo?

80

¿Cómo ha de ser un triángulo para que sus medianas coincidan con las tres alturas?

81

¿Cómo ha de ser un triángulo para que solo una mediana coincida con una altura?

82

Dibuja un triángulo cualquiera y encuentra un punto que esté a la misma distancia de los tres vértices. ¿Qué punto es?

83

Si las tres alturas de un triángulo se cortan en un vértice, ¿qué se puede afirmar del triángulo?

84

Una mediatriz de un triángulo es paralela a uno de los lados. ¿Cómo es el triángulo? Dibújalo. Dibuja la circunferencia circunscrita.

85

Construye un triángulo del que conocemos el lado a = 4 cm, el lado b = 3,4 cm y la altura sobre el lado a, que representamos por ha = 2,3 cm

2m

74

5c

b = 60 cm

12 m

Una escalera de bomberos que mide 12 m de largo está situada en la plataforma de un camión a 2 m de altura y a 5 m de la pared. Calcula la altura a la que llega la escalera.

C

Un globo está sujeto a una cuerda de 2,5 m y observamos que se ha desplazado 60 cm por el viento. ¿A qué altura está el globo?

2 cm

D d

73

A

F

B A

B

5m

Halla mentalmente los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que son números enteros consecutivos menores que 7

Calcula la longitud de los lados del triángulo que se forma uniendo los tres vértices de un cubo.

a = 2,

71

75

5 cm

68

BLOQUE II: Geometría

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Matematización en contextos reales Estructuras El triángulo es una figura indeformable. Si se construye un cuadrado con cuatro varillas se deformará. B

C

B

4 cm A

C

4 cm

C

B

4 cm D

A

4 cm

4 cm

D

A

4 cm

D

Pero si se le pone una diagonal ya no puede deformarse. Este hecho se aplica en muchas ocasiones a la vida real. B

C

4 cm A

86

4 cm

D

El dibujo representa un entramado metálico que soporta el tejado de una nave industrial. El entramado es simétrico y la figura FCE es un triángulo equilátero. Se sabe que la viga BF debe tener un 69,65% de la longitud de la altura del triángulo equilátero. Calcula la longitud que deben tener las vigas BF y BG C B

A

G 1,37 m F

4m

D

E

bes

Comprueba lo que sa 1 2 3 4 5 6 7 8

Define circuncentro y explica su posición según el tipo de triángulo. Construye un triángulo cuyos lados sean a = 55 mm, b = 45 mm y c = 30 mm. Dibuja en él las tres medianas. Construye un triángulo de lados a = 6 cm y b = 4 cm, y el ángulo comprendido entre ellos C = 65°. Dibuja la altura sobre el lado a y mídela. Dibuja un triángulo rectángulo de catetos 3 cm y 4 cm, y su circunferencia inscrita. Calcula la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6 cm y 8 cm Halla la longitud de un cateto de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 13 m, y el otro cateto, 12 m Calcula la altura de un triángulo equilátero de 6 dm de lado. Javier está volando una cometa sujeta por una cuerda de 26 m, y esta se encuentra sobre un río que está a 10 m de Javier. ¿A qué altura está la cometa del suelo?

11. Triángulos

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11. Triángulos Crea en tu carpeta personal la carpeta GG11 para guardar todos los ejercicios de esta unidad. 87

Dibuja un triángulo de lados a = 12 cm, b = 10 cm y c = 8 cm, y calcula la amplitud de sus ángulos.

88

Halla el baricentro de un triángulo de lados a = 15 cm, b = 12 cm y c = 9.4 cm

SOLUCIÓN: SOLUCIÓN:

a) Elige Opciones/Etiquetado/Solo puntos

nuevos. b) Define tres deslizadores numéricos a, b y c de 0 a 20 y de ancho 200 y pon los valores del enunciado. c) Elige Segmento de longitud dada, dibuja el segmento CB de longitud a. Para cambiar el nombre del primer punto A y ponerle C, en el menú Contextual del punto elige Renombra. d) Elige Circunferencia (centro, radio), dibuja una circunferencia de centro C y radio b e) Dibuja otra circunferencia de centro B y radio c f) Elige Intersección y halla la intersección de las dos circunferencias. g) Oculta las dos circunferencias y el segmento BC, renombra el punto de arriba como A h) Elige Polígono, haz clic en A, C, B y otra vez en A para cerrarlo. i) Muestra el valor de los lados. j) Muestra la amplitud de los ángulos. Geometría dinámica: interactividad a) Introduce en la Barra de entrada los siguientes valores, cada vez uno, a = 7.25, b = 6.4 y c = 8.45 216

a) Toma el dibujo del ejercicio anterior y guár-

dalo con el nombre Medianas b) Oculta la medida de los lados. c) Selecciona

Elige y mueve, haz clic dentro de un ángulo y pulsa la tecla [Supr] d) Introduce en la Barra de entrada los siguientes valores: a = 15, b = 12 y c = 9.4 e) Elige Punto medio o centro y dibuja el punto medio de cada lado haciendo clic en cualquier punto de cada lado. f) Elige Segmento y traza las medianas. g) Elige Intersección y halla el baricentro G como intersección de dos medianas. h) Elige Distancia o longitud y mide todos los segmentos de las medianas. i) Selecciona Elige y mueve, haz clic en la medida de uno de los segmentos, y en la Barra de estilo elige sin color de fondo, color azul y negrita. j) Elige Copiar estilo visual, haz clic en la medida que has modificado el estilo y luego en cada una de los demás. k) Comprueba que uno de los dos segmentos de cada mediana es el doble que el otro. Geometría dinámica: interactividad a) Introduce en la Barra de entrada los si-

guientes valores, cada vez uno: a = 14.5, b = 12.35 y c = 8.68

BLOQUE II: Geometría

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Windows/Linux GeoGebra ASÍ FUNCIONA Cuando escribimos un texto, por ejemplo una longitud, un perímetro o el área de una figura podemos modificar sus características en la barra de estilo; para ello seleccionamos el texto y en la barra de estilo podemos elegir Color de fondo, Color del texto; Negrita Cursiva y Tamaño.

PRACTICA 89

Dibuja un segmento y su mediatriz.

a) Elige b) Elige

Segmento, haz clic en A y en B Mediatriz, haz clic en cualquier punto del segmento e inmediatamente escribe en el teclado Mediatriz

d) Introduce en la Barra de entrada los valo-

res, cada vez uno, a = 8, b = 7 y c = 5 e) Elige Mediatriz y haz clic en cada lado. f) Halla la intersección de dos mediatrices. Renombra el punto como Circuncentro g) Elige Circunferencia (centro, punto), haz clic en el circuncentro y luego en un vértice del triángulo. h) Dibuja un radio y mídelo.

Geometría dinámica: interactividad a) Introduce en la Barra de entrada los valores, a = 8, b = 6 y c = 10 91

Dibuja la bisectriz de un ángulo.

Geometría dinámica: interactividad a) Arrastra uno de los extremos del segmento y verás cómo va cambiando la mediatriz. 90

Dibuja las mediatrices de un triángulo de lados a = 8 cm, b = 7 cm y c = 5 cm

a) Dibuja un ángulo usando dos semirrectas. b) Elige Bisectriz, haz clic sucesivamente

SOLUCIÓN:

a) Toma el dibujo del ejercicio 87 y guárdalo

con el nombre Mediatrices b) Oculta la medida de los lados. c) Borra los ángulos.

en B, A y en C c) Elige Punto y dibuja el punto D sobre la bisectriz. d) En el menú Contextual de la recta bisectriz, desactiva Mostrar el objeto. e) Dibuja la semirrecta AD f) Con Elige y mueve coloca bien las letras A, B, C y D Geometría dinámica: interactividad a) Arrastra uno de los puntos, A, B o C 11. Triángulos

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Comprueba lo que sabes con GeoGebra 1

Ejercicio (calificación: 10 puntos) Dibuja un triángulo de lados a = 13 cm, b = 11 cm y c = 8 cm y calcula la amplitud de sus ángulos. Redondea el resultado a dos decimales. Solución 1: Amplitud del ángulo menor: 37,79 ° ▼

Geometría dinámica: interactividad Introduce en la Barra de entrada los siguientes valores: a = 9 cm, b = 8 cm y c = 7 cm Solución 2: Amplitud del ángulo menor: 48,19 ° ▼

ORGANIZA TUS IDEAS TRIÁNGULO

es un

se

tiene

si es

polígono

clasifica

rectas notables

rectángulo

• medianas • alturas • mediatrices • bisectrices

se verifica el

de 3 lados

en y • equilátero • isósceles • escaleno

y

3 ángulos

218

• acutángulo • rectángulo • obtusángulo

puntos notables

teorema de Pitágoras

• baricentro • ortocentro • circuncentro • incentro

BLOQUE II: Geometría

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