Triángulos

Dibujo I, Geometría Tema 2 ETSIN http://debin.etsin.upm.es/~geometria/ Copyright © 2008. All rights reserved.

Objetivos Con este objeto de aprendizaje conseguirás: „ Repasar conceptos sobre triángulos „ Entender estos conceptos y aplicarlos para resolver problemas de construcción de triángulos „ Aprender propiedades nuevas de los triángulos

Contenidos 1 „ Definición y propiedades „ Elementos fundamentales „ Área y centro de gravedad „ Th. de Pitágoras „ Exincentros „ Triángulo órtico y complementario „ Segmento y circunferencia de Euler „ Th. de Feuerbach „ Triángulos podales „ Rectas de Simson

Contenidos 2 Ampliación „ Puntos ortocéntricos „ Puntos de Brocard „ Th. de Ceva „ Th. de Menelao „ Punto de Fermat „ Triángulo de Morley „ Th. de Napoleón „ Th. del pivote

Definiciones y propiedades Con ayuda de la web, repasa los conceptos „ Lados, vértices, ángulos y notación „ Propiedades fundamentales „ Clasificación

La Lanotación notaciónes esmuy muy importante importantepara pararesolver resolverlos los problemas problemasde deconstrucción construcciónde de triángulos triángulosde deforma formacorrecta correcta

Elementos fundamentales Con ayuda de la web, repasa los conceptos „ Elementos: Alturas, medianas, mediatrices y bisectrices „ Puntos principales: Ortocentro, Baricentro, circuncentro e incentro „ Concepto de Ceviana

Recuerda Recuerdalas laspropiedades propiedades de dela lamediatriz mediatrizyyde dela la bisectriz. bisectriz. Observa Observalos lospuntos puntos principales principalesque quepueden pueden estar estarfuera fueradel deltriángulo triángulo

Área y centro de gravedad Usando la web, aprende los conceptos „ Área y centro de gravedad „ Distintas fórmulas para el área

Cualquier Cualquierfigura figuraplana planade delados lados rectos rectospuede puedeser serdividida divididaen en triángulos triángulospara paracalcular calcularsu suárea, área, yysi sisus suslados ladosson soncurvos, curvos, aproximar aproximarsu suárea. área. Así Asíes essencillo sencillocalcular calcularooaproximar aproximar áreas áreasyycentros centrosde degravedad gravedadpor por triangulación. triangulación.Esto Estotambién tambiénse seaplica aplica aasuperficies superficies3D. 3D.

Teorema de Pitágoras Con ayuda de la web, repasa „ Teorema de Pitágoras „ Es importante enunciarlo bien „ Demostración por áreas „ Recuerda el teorema de la altura

Distintas Distintascivilizaciones civilizaciones anteriores anterioresaalos losgriegos griegosya ya utilizaban utilizabanun unequivalente equivalenteal al teorema. teorema.

Exincentros Usando la web, aprende a: „ Definir y dibujar los exincentros „ Propiedades de los radios de las circunferencias tangentes a un triángulo „ Propiedades de sus puntos de tangencia

Observa Observala laimportancia importanciade dela la notación notación Recuerda Recuerdaque quedos dosrectas rectasque que se secortan cortantienen tienensiempre siempredos dos bisectrices bisectrices

Triángulo órtico y complementario Con ayuda de la web, aprende sobre „ Definición de estos dos triángulos „ Relación entre los elementos del triángulos principal y de estos triángulos asociados „ “Curvas de billar” y triángulo órtico „ Triángulos equivalentes y semejantes al complementario

Observa Observacomo comolas lascurvas curvasde de billar billarson soncerradas. cerradas.

Segmento y circunferencia de Euler Con ayuda de la web, aprende: „ Definición estos dos elementos „ Nuevas propiedades del baricentro „ Dibujar estos elementos „ Su relación con el triángulo órtico y complementario

La Lacircunferencia circunferenciade deEuler Euler también tambiénse seconoce conocecomo como circunferencia circunferenciade delos los99puntos puntos

Teorema de Feuerbach Con ayuda de la web, aprende „ Definición de este teorema „ Relación de la circunferencia de Euler y los exincentros

Observa Observatodos todoslos loselementos elementos que queaparecen aparecenen enel elteorema: teorema: exincentros, exincentros,incentro, incentro, baricentro, baricentro,ortocentro ortocentro… …

Triángulos podales Con ayuda de la web, aprende: „ Su definición y trazado „ Propiedades relacionadas con su área

El Eltriángulo triánguloórtico órticoes esun uncaso caso de detriángulo triángulopodal podal

Rectas de Simson y Wallace Con ayuda de la web, aprende: „ Definición y dibujo de estas rectas „ Sus propiedades fundamentales „ Propiedades de las rectas de Simson asociadas a 3 puntos

La Laaparición apariciónde de33puntos puntos alineados alineadoses essiempre siempreuna una propiedad propiedadinteresante. interesante.Tiene Tiene aplicaciones aplicacionesproyectivas proyectivasen enel el espacio. espacio. Las Lasrectas rectasde deSimson Simsonson sonun un caso casoparticular particularde detriángulo triángulo podal podal

Resumen Triángulos Triángulos podales, podales, rectas rectas de de Simson Simson

Elementos Elementos yy propiedades propiedades básicas. básicas. Puntos Puntos principales principales

Th. Th. Pitágoras Pitágoras yy de de la la altura altura

Tr. Tr. Órtico Órtico yy complementar complementar io, io, segmento segmento yy circ. circ. Euler. Euler. Th. Th. Feuerbach Feuerbach

Exincentros Exincentros yy circunferencias circunferencias tangentes tangentes al al triángulo triángulo

Puntos ortocéntricos Con ayuda de la web, aprende: „ Su definición y propiedades

Esta Estapropiedad propiedadde delos losvértices vértices de deun untriángulo triánguloyyde desu su ortocentro ortocentrovolverá volveráaparecer apareceren en el eltema temasobre sobrecónicas cónicas

Puntos de Brocard Con ayuda de la web, aprende: „ Su definición y trazado „ Curvas de persecución

Las Lascurvas curvasde depersecución persecución son sonlas lascurvas curvasque quesigue sigueun un misil misilteleridigido teleridigidohacia haciaun un objetivo objetivomóvil móvil

Teorema de Ceva Con ayuda de la web, aprende: „ La definición del teorema „ Escribirlo correctamente a partir del orden cíclico de las cevianas

Recuerda Recuerdaque quese seaplica aplicaaatres tres cevianas cevianasconcurrentes concurrentes

Este Esteteorema teoremapermite permite demostrar demostrarotros otrosteoremas teoremasyy propiedades propiedades

Teorema de Menelao Con ayuda de la web, aprende: „ La definición del teorema „ Escribirlo correctamente a partir del orden cíclico de los vértices y puntos de corte

Recuerda Recuerdaque quese seaplica aplicaaauna una recta rectaque quecorte corteaaun untriángulo triángulo

Este Esteteorema teoremase serelaciona relacionacon con la lageometría geometríaproyectiva proyectiva

Punto de Fermat Con ayuda de la web, aprende: „ Su definición y trazado „ Su propiedad relacionada con las distancias

Minimizan Minimizanoomaximizar maximizarun un determinado determinadovalor valorse sellama llama Optimizar Optimizaryytiene tieneuna unagran gran aplicación aplicaciónen enla lapráctica práctica

Triángulo de Morley Con ayuda de la web, aprende: „ Su definición

La Lademostración demostraciónde deeste esteteorema teorema tan tansimple simplees esdifícil, difícil,pues puesla la trisección trisecciónde deun unángulo ángulosólo sólopuede puede ser seraproximada aproximadageométricamente geométricamente con conregla reglayycompás compás

Triángulo de Morley Con ayuda de la web, aprende: „ Su definición y trazado „ Su relación con el punto de Fermat

Napoleón Napoleónera eraun ungran granaficionado aficionadoaa la lageometría. geometría.Uno Unode desus sus generales, generales,Monge, Monge,inventó inventóel el sistema sistemadiédrico diédricode derepresentación representación

Triángulo de Morley Con ayuda de la web, aprende: „ Su definición y trazado

Existen Existencientos cientosde deteoremas teoremas relacionados relacionadoscon conlos lostriángulos triángulos

Resumen ampliación

Puntos Puntos ortocéntricos ortocéntricos

Puntos Puntos Brocard Brocard yy de de Fermat Fermat

Triángulo Triángulo Morley, Morley, Th. Th. Napoleón Napoleón yy del del Pivote Pivote

Teoremas Teoremas de de Ceva Ceva yy Menelao Menelao

Auto evaluación y problemas Puedes realizar en la web unas preguntas de auto evaluación sobre este tema y unos problemas a dibujar en tu papel. Las preguntas puedes revisarlas después para ver tus fallos. ¿Obligatorio?

No

¿Nota?

No

Preguntas

5

Problemas

5

Aprobado

50%

Siguiente tema … „ Los siguientes polígonos en número de lados serán los cuadriláteros que estudiaremos en el siguiente tema „ Utilizaremos conceptos sobre triángulos en el siguiente tema pues cualquier cuadrilátero se puede dividir en dos triángulos „ Veremos también los polígonos regulares