Story Transcript
http://www.pec9.com
MATH Online III
บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ
คณิ ต ศาสตร บทที่ 8 ตรี โ กณเบื้ อ งต น ตอนที่ 1 ฟงกชน่ั sine และ cosine วงกลมหนึ่งหนวย คือ วงกลมที่มีจุดศูนยกลางอยูที่จุด (0 , 0) บนแกนกราฟและมีรัศมี ยาว 1 หนวย สิง่ ทีค่ วรรูเ กีย่ วกับวงกลมหนึง่ หนวย 1) เนื่องจากวงกลมนี้มีรัศมีวงกลมหนึ่งหนวย แกน x และ y ตามจุดตางๆ ดังแสดงในรูป 2) จาก เสนรอบวง = 2πR ดังนัน้ เสนรอบวง = 2π (1) ! เสนรอบวง = 2π ถาลากเสนโคงจากจุด (1 , 0) ทวนเข็มนาฬิกาไปจะไดความยาว ณ จุดตาง ๆ บนเสน รอบวงเปนดังรูป 1. ตามแบบที่ผานมา จงเติม
ใหสมบูรณ
!
ฟงกชันตรีโกณมิติของมุม โดยทั่วไปแลว ความยาวสวนโคงทีว่ ดั เปนเรเดียน เราสามารถเปลี่ยนเปนองศาได ดังตัวอยางตอไปนี้ ตัวอยางที่ 1 จงหาวา π6 มีคาเทากับกี่องศา วิธที าํ เนือ่ งจาก π เรเดียน เทากับ 180o ดังนัน้ π6 = 1806 = 30o
!
! "#!!
!
http://www.pec9.com
MATH Online III
บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ
2. จงหามุมทีว่ ดั เปนเรเดียนตอไปนี้ แตละมุมมีขนาดกี่องศา 2. −5π 3. 11π 1. 2π 3 6 3 วิธที าํ
ตอบ 1. 120o
2. –150o
3. 660o
4. 4π
4. 720o
ตัวอยางที่ 2 จงหาวา 150o มีคาเทากับกี่เรเดียน π = 5π เรเดียน 150o = 150o x 180 วิธที าํ ! 6 3. จงหาวามุมตอไปนีเ้ ปนมุมกีเ่ รเดียน 1. 300o 2. –315o วิธที าํ
ตอบ 1. 53π
2. – 74π
3. 120o
3. 23π
4. –510o
4. 176π
พิจารณาวงกลมหนึ่งหนวยตามองศา จะไดวา sin θ , cos θ เปนดังนี้
! !
"$!!
!
http://www.pec9.com
MATH Online III
4. ตามแบบที่ผานมา จงเติม
บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ
ใหสมบูรณ
!
5. จงหาคาตรีโกณมิตติ อ ไปนี้ sin (0o) sin (90o) sin (180o) sin (270o) sin (30o)
= = = =
…………. …………. …………. ………….
(0) (1) (0) (–1 )
= ………….
( 12 )
sin (45o) = …………. sin (60o) = ………….
cos (0o) = ……………. cos (90o) = ……………. cos (180o) = ……………. cos (270o) = ……………. cos (30o) = …………….
( 22 )
cos (45o) = …………….
( 23 )
cos (60o) = …………….
(1) (0) ( –1 ) (0) ( 23 )
( 22 )
( 12 )
พิจารณาวงกลมหนึ่งหนวยตอไปนี้
!
!
%&!!
!
http://www.pec9.com
MATH Online III
บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ
6. ตามแบบที่ผานมา จงเติม ใหสมบูรณ ! ! ! ! ! ! พิจารณาวงกลมหนึ่งหนวยตอไปนี!้
!
! !
!
7. ตามแบบที่ผานมา จงเติม
ใหสมบูรณ
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!
วิธีการหาคา sin θ และ cos θ มุมที่ใชบอยแบบคิดในใจ ขัน้ ที่ 1 หาวา θ อยูใ นควอดรันตทเ่ี ทาใด ขัน้ ที่ 2 หาวา θ อยูใ นกลุม เดียวกับมุมพืน้ ฐานใด แลวใชคา ของมุมพืน้ ฐานนัน้ มาตอบเบือ้ งตน ขัน้ ที่ 3 หาคาบวก ลบ ของคําตอบทีแ่ ทจริง
!
%'!!
!
MATH Online III
http://www.pec9.com
ตัวอยางที่ 3. จงหาคาของ cos 150o
บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ
ตัวอยางที่ 4. จงหาคาของ sin 300o
!
ขัน้ 1 150o อยูใ นควอดรันตท2่ี ขัน้ 2 150o เปนกลุมเดียวกับ 30o ขัน้ 3 ดังนัน้ cos 150o = –cos30o cos 150o = – 23
ขัน้ 1 300o อยูใ นควอดรันตท4่ี ขัน้ 2 300o เปนกลุมเดียวกับ 60o ขัน้ 3 ดังนัน้ sin 300o = – sin60o sin 300o = – 23
ตัวอยางที่ 5. จงหาคาของ cos 315o ขัน้ 1 315o อยูใ นควอดรันตท่ี 4 ขัน้ 2 315o เปนกลุมเดียวกับ 45o ขัน้ 3 ดังนัน้ cos 315o = + cos45o cos 315o = + 22 8. จงหาคาตอไปนี้ 1. sin 120o = ……
2. sin 210o = ……
3. sin315o = …..
( 23 , – 12 , – 22 )
2. cos 210o = ……
3. cos 315o = ……
(– 12 , – 23 , 22 )
วิธที าํ
9. จงหาคาตอไปนี้ 1. cos 120o =…… วิธที าํ
!
%(!!
!
MATH Online III
http://www.pec9.com
บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ
กรณี θ > 360o ใหนํา θ มาลบออกดวยดวย 360o อาจลบหลายรอบ จนกวา θ จะมีคานอยกวา 360o แลวจึงคิดแบบเดิม ตัวอยางที่ 6. จงหาคาของ cos 570o วิธที าํ เนือ่ งจาก cos 570o = cos (570 – 360 )o = cos 210o = – cos 30o 210o อยูใ นควอดรันตท่ี 3 = – 23 ! 210o เปนกลุมเดียวกับ 30o 10. จงหาคา sin θ และ cos θ ของ θ ตอไปนี้ 1. sin 495o = …… 2. cos 510o = ……… 3. cos 540o = …… วิธที าํ
( 22 , – 23 , –1 )
กรณี – θ ใหใชสตู รตอไปนีช้ ว ยเปนเบือ้ งตน sin (– θ) = – sin θ และ cos (– θ) = cos θ ตัวอยางที่ 7. จงหาคา sin (–210o) วิธที าํ จาก sin (–210o) = – [ sin 210o ] = – [ – sin 30o ] 210o อยูใ นควอดรันตท่ี 3 = sin 30o 210o เปนกลุมเดียวกับ 30o = 12 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
ตัวอยางที่ 8. จงหาคา cos (–150o) วิธที าํ จาก cos (–150o) = cos 150o = – cos 30o 150o อยูใ นควอดรันตท่ี 2 = – 23 150o เปนกลุมเดียวกับ 30o !
%"!!
! !
http://www.pec9.com
MATH Online III
บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ
11. จงหาคา sinθ และ cosθ ของ θ ตอไปนี้ 1. sin(–330o) = ….. 2. cos(–315o) = ….. 3. sin (–120o) =…… ( 12 , 22 , – 23 ) วิธที าํ
! !
!
!
โปรด สั ง เกต ! ! ! 1) – 1 ≤ sin θ ≤ 1 2) 1 ≤ cos θ ≤ 1
!
!
! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
ตอนที่ 2 ฟงกชน่ั ตรีโกณมิตอิ น่ื ๆ ฟงกชั่นตรีโกณมิติอื่น ๆ ทีค่ วรรูจ กั = sinθ cosθ cotangent ( θ ) = cot θ = 1 tanθ secant ( θ ) = sec θ = 1 cosθ cosecant ( θ ) = cosec θ = 1 sinθ คา tan ของมุมที่ใชบอยๆ เปนดังนี้ tangent ( θ )
= tan θ
เมือ่ cos θ ≠ 0 = cosθ sinθ
เมือ่ sin θ ≠ 0 เมือ่ cos θ ≠ 0 เมือ่ sin θ ≠ 0
! !
%%!!
!
MATH Online III
http://www.pec9.com
12. ตามแบบที่ผานมา จงเติม
ใหสมบูรณ
บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ
!
ฟงกชั่นตรีโกณมิติของมมลบ ( – θ) sin ( – θ ) = – sin θ cosec ( – θ ) = – cosec θ cos ( – θ ) = cos θ sec ( – θ ) = sec θ tan ( – θ ) = – tan θ cot ( – θ ) = – cot θ หลักการจํา cos ( – θ ) และ sec ( – θ ) เทานัน้ ทีใ่ หคา บวก นอกนัน้ ใหคา ลบทัง้ หมด
13. จงหาคาตอไปนี้ 1. tan 480o 4. csc 120o 7. sec 150o ตอบ 1. –
3
2. –1 /
2. tan (–570o) 5. csc (–210o) 8. sec (–240o) 3
3. 1 4. 2 /
3
5. 2
3. tan (–675o) 6. csc (–315o) 9. sec (–330o) 6.
2
7. –2 /
3
8. –2 9. 2 /
3
วิธที าํ
!
%)!!
!
MATH Online III
http://www.pec9.com
7π 14(มช 31) sin ( π6 ) – cos ( 5π 6 ) tan ( 6 ) มีคาเทากับเทาใด ก. 0 ข. 1 ค. 2 วิธที าํ
15. จงหาคาของ
บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ
ง. 33
tan(−480o )−sin( −840o ) cos( −390o )
(ขอ ข)
(3)
วิธที าํ
16. มีจาํ นวนจริง θ ใดหรือไมที่ทําให secθ < 1 วิธที าํ
( ไมมี )
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
ตอนที่ 3 สามเหลี่ยมมุมฉาก 17. ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มีมุม C เปนมุมฉาก มุม A มีขนาด 20o และมีดานตรงขาม มุมฉากยาว 10 Cm จงหาความยาวของดาน AC และ BC (sin20o=0.3420 , cos20o=0.9397 ) (9.397 , 3.42 cm ) วิธที าํ
!
%*!!
!
MATH Online III
http://www.pec9.com
18. ตึกสองหลังที่มีหลังคาเรียบตั้งอยูหางกัน 60 ฟุต จากหลังคาของตึกที่เตี้ยกวา ซึ่งสูง 40 ฟุต มุมที่ วัดจากหลังคาของตึกที่เตี้ยกวาไปยังหลังคาของ ตึกที่สูงกวามีขนาด 40o ดังรูป จงหาความสูง ของตึกที่สูงกวา (tan40o=0.8391 ) (90.3 ฟุต) 40 ฟุต วิธที าํ
19. แมน้ําแหงหนึ่งกวาง 50 เมตร นักวายน้ําจากจุด A ของฝงหนึ่งไปยังจุด B ของอีกฝง หนึง่ ตามเสน ดังรูป จงหาระยะทางที่นักวายน้ําวายขามฝง (57.7 ม.) วิธที าํ ! ! ! ! ! 20. แกวงลูกตุมซึ่งยาว 90 เซนติเมตร ตามแนวดิง่ ดวยมุม 15o ของแตละขาง ดังรูป จงหาระยะ ระหวางตําแหนงสูงสุดและต่ําสุดของลูกตุม ( x เซนติเมตร ) ( cos15o = 0.9659) (3.1 cm) วิธที าํ ! ! ! ! ! !
%+!!
บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ
40o! 60 ฟุต
B 50 เมตร!
A
60o!
! o! 15o15
X เซนติเมตร
!
MATH Online III
http://www.pec9.com
บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ
21. จงหาความยาวของเสนรอบรูปของรูปสามเหลีย่ มหนาจัว่ ซึ่งมีฐานยาว 40 นิว้ และมุมที่ฐาน (156.96 นิ้ว) มีขนาด 70o (cos 70o = 0.3420 ) วิธที าํ ! ! ! ! ! ! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
ตอนที่ 4 กราฟของฟงกชน่ั ตรีโกณมิติ พิจารณาฟงกชัน y = sin x
พิจารณา y = sin x y = sin π2 = 1
จากลักษณะของกราฟ y = sin x เราสรุปไดดงั นี้ 1. กราฟเปนลูกคลื่น ผานจุด (0 , 0) 2. โดเมนของฟงกชนั คือ เซตของจํานวนจริง 3. เรนจของฟงกชนั คือ [ –1 , 1 ] นัน่ คือ –1 ≤ sin x ≤ 1 4. คาบมีความยาว = 2π 5. แอมปลิจูดของฟงกชัน = 1 (แอมปลิจูด อาจจะเรียกวาเปนความสูงของคลื่นไซนก็ได )
y = sin π = 0 y = sin 3π 2 = –1 y = sin 2π = 0
22. ลักษณะสําคัญของกราฟฟงกชั่น y = a sin bx ไดแก 1. กราฟจะผานจุด .......................... เสมอ 2. ความสูงของคลื่นไซนอาจเรียกวา ...................................... !
%#!!
!
MATH Online III
http://www.pec9.com
บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ
พิจารณาฟงกชัน y = cos x
จากลักษณะของกราฟ y = cos x เราสรุปไดดงั นี้ 1. กราฟเปนลูกคลื่น ไมผานจุด (0 , 0) 2. โดเมนของฟงกชนั คือ เซตของจํานวนจริง 3. เรนจของฟงกชนั คือ [ –1 , 1 ] นัน่ คือ – 1 ≤ cos x ≤ 1 4. คาบมีความยาว = 2π 5. แอมปลิจูดของฟงกชัน = 1 23. กราฟของฟงกชันไซนกับโคไซน จะมีลักษณะเปนคลื่นเหมือนกัน แตสิ่งหนึ่งที่ตางกัน คือ ...................................... ............... ............... ............... ............... ............... ............... พิจารณาฟงกชัน y = tan x
!
จากลักษณะของกราฟ y = tan x เราสรุปไดดงั นี้ 1. กราฟเปนลูกคลื่น ผานจุด (0 , 0) 2. โดเมนของฟงกชนั คือ { x | x ∈ R และ x ≠ nπ + π2 เมือ่ n ∈ I } 3. เรนจของฟงกชนั คือ เซตของจํานวนจริง นัน่ คือ – ∞ < tan x < ∞ !
%$!!
!
MATH Online III
http://www.pec9.com
บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ
4. คาบของฟงกชันยาว = π 5. แอมปลิจูดของฟงกชันไมมี เพราะฟงกชันไมมีคาสูงสุด และต่ําสุด พิจารณาฟงกชัน y = cosec x
จากลักษณะของกราฟ y = cosec x เราสรุปไดดงั นี้ 1. กราฟไมผานจุด (0 , 0) 2. โดเมนของฟงกชนั คือ { x | x ∈ R และ x ≠ nπ เมือ่ n ∈ I } 3. เรนจของฟงกชนั คือ y ≥ 1 หรือ y ≤ – 1 4. คาบของฟงกชันยาว = 2π 5. แอมปลิจูดของฟงกชันไมมี พิจารณาฟงกชัน y = sec x
จากลักษณะของกราฟ y = sec x เราสรุปไดดงั นี้ 1. กราฟไมผานจุด (0 , 0) 2. โดเมนของฟงกชนั คือ { x | x ∈ R และ x ≠ nπ + π2 เมือ่ n ∈ I } !
)&!!
!
MATH Online III
http://www.pec9.com
บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ
3. เรนจของฟงกชนั คือ y ≥ 1 หรือ y ≤ – 1 4. คาบของฟงกชันยาว = 2π 5. แอมปลิจูดของฟงกชันไมมี พิจารณาฟงกชัน y = cot x
!
จากลักษณะของกราฟ y = cot x เราสรุปไดดงั นี้ 1. กราฟไมผานจุด (0 , 0) 2. โดเมนของฟงกชนั คือ { x | x ∈ R และ x ≠ nπ เมือ่ n ∈ I } 3. เรนจของฟงกชนั คือ เซตของจํานวนจริง นัน่ คือ – ∞ ≤ cot x ≤ ∞ 4. คาบของฟงกชันยาว = π 5. แอมปลิจูดของฟงกชันไมมี เพราะฟงกชันไมมีคาสูงสุดและต่ําสุด
24. จงวาดรูปกราฟของฟงกชั่น sin , cos , tan คราวๆ แลววาดรูป ฟงกชัน cosec , sec และ cot เปรียบเทียบ
!
)'!!
!
MATH Online III
http://www.pec9.com
บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ
การหาคาบและแอมปลิจูด ของฟงกชันตรีโกณมิติ กําหนดให a , b , c และ d เปนคาคงที่ใดๆ ลําดับ 1.
รูปทัว่ ไปอยางงาย y = a sin bx
2.
y = a cos bx
3.
y = a cosec bx
4.
y = a sec bx
5.
y = a tan bx
6.
y = a cot bx
สูตรหาคาบ
2π b 2π b 2π b 2π b π b π b
25. จงหาคาบและแอมปลิจดู ของฟงกชนั ตรีโกณมิตติ อ ไปนี้ y = 4 sin x วิธที าํ !
สูตรหาแอมปลิจูด |a| |a| ไมมี ไมมี ไมมี ไมมี
π , 4) ( 2π
!
26. จงหาคาบและแอมปลิจดู ของฟงกชนั ตรีโกณมิตติ อ ไปนี้ y = – 3 tan 12 x วิธที าํ !
π , –) ( 2π
!
27. จงหาคาบและแอมปลิจดู ของฟงกชนั ตรีโกณมิตติ อ ไปนี้ y = 4 cos ( 2x – π2 ) + 4 วิธที าํ !
(π , 4)
!
28. จงหาคาบและแอมปลิจดู ของฟงกชนั ตรีโกณมิตติ อ ไปนี้ y = 14 cosec ( 13 x + π6 ) วิธที าํ !
π , –) ( 6π
!
29. จงหาคาบและแอมปลิจดู ของฟงกชนั ตรีโกณมิตติ อ ไปนี้ y = 12 sec ( 2x – π3 ) + 1 วิธที าํ ! ! !
)(!!
(π , –)
!
MATH Online III
http://www.pec9.com
บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ
30. จงหาคาบและแอมปลิจดู ของฟงกชนั ตรีโกณมิตติ อ ไปนี้ y = 2 cot ( 3π x + π6 ) วิธที าํ !
(1/3 , – )
!
1 sin (400 π t ) 31. สมการของคลื่นชนิดหนึ่ง คือ y = 1000 เมือ่ t แทนเวลาเปนวินาที แลว แอมปลิจูด และคาบของสมการ คือขอใด 1. 0.001 , 400π วินาที 2. 0.001 , 200π วินาที 1 วินาที 1 วินาที 3. 0.001 , 400 4. 0.001 , 200 วิธที าํ !
(4)
!
32. ให v = 220 sin (140 π t ) เปนสมการแสดงความสัมพันธระหวางความตางศักดิ์ไฟฟา V (หนวยเปนโวลต) กับเวลา t ( หนวยเปนวินาที ) แลวคาสูงสุดของ V และ คาบของ ฟงกเปนเทาใด 1. 220 โวลต , 140 วินาที 2. 220 โวลต , 117 วินาที (3) 4. 220 โวลต , 70 วินาที 3. 220 โวลต , 701 วินาที วิธที าํ ! !
33. จงรางกราฟของฟงกชนั ตรีโกณมิตติ อ ไปนี้! 2) y = 12 cos θ ! 1) y = 12 sin θ 4) y = – 12 sin (–2θ) 3) y = 12 sin (–2θ) วิธที าํ ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!
)"!!
!
MATH Online III
http://www.pec9.com
บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ
ตอนที่ 5 เอกลักษณตรีโกณเบือ้ งตน เอกลักษณตรีโกณ คือ สมการตรีโกณซึง่ เปนจริงเสมอ → (1) cos2 θ + sin2 θ = 1 → (2) cos2 θ = 1 – sin2 θ cos θ = ± 1 − sin 2θ sin2 θ = 1 – cos2 θ
→ (3)
sin θ = ± 1 − cos 2θ → (4) sec2 θ = 1 + tan2 θ → (5) csc2 θ = 1 + cot2 θ 34. จงเติมคําตอบทีถ่ กู ตอง cos2 θ + sin2 θ = …………… cos2 θ = ………….. cos θ = ………….. sin2 θ = ………….. sin θ = ………….. sec2 θ = ………….. csc2 θ = …………. 35. ถา sin θ = 35 และ 0 < θ < π2 จงหาคาของ cos θ + tan θ วิธที าํ !
31 ) ( 20
! ! ! ! ! ! !
36. กําหนด sin θ = 35 และ π2 < θ < π จงหาคาของ cos θ และ tan θ (– 45 , – 43 ) วิธที าํ ! ! ! ! ! !
!
)%!!
!
http://www.pec9.com
MATH Online III
บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ
( -35 , 43 )
37. กําหนด cos θ = – 45 และ π < θ < 3π 2 จงหาคาของ sin θ และ tan θ วิธที าํ ! ! ! ! ! ! ! ! !
38. กําหนด sin θ > 0 โดยที่ cos θ = – 35 แลว จงหาคาของ sec θ + cosec θ วิธที าํ !
(– 125 )
! ! ! ! ! ! ! ! ! !
39(มช 33) ถา sin θ = – 35 และ tan θ > 0 แลวคาของ sec θ – cosec θ เทากับ ..... ( 125 ) วิธที าํ ! ! ! ! ! ! ! ! ! !
40. ถา 3π 2 < θ < 2π และ cot θ = –3 จงหาคาของ 2 sin θ + tan θ วิธที าํ !
( -210 − 13 )
! ! ! ! ! ! ! !
sin ( nπ ± θ ) =
!
cos ( nπ ± θ ) =! !
sin ( ± θ ) – sin ( ± θ ) cos ( ± θ ) – cos ( ± θ ) ))!!
เมือ่ เมือ่ เมือ่ เมือ่
n n n n
เปนจํานวนเต็มคู เปนจํานวนเต็มคี่ เปนจํานวนเต็มคู เปนจํานวนเต็มคี่
→ (6)! → (7)! !
http://www.pec9.com
MATH Online III
บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ
41. จงเติมคําลงในชองวางตอไปนี้ cos (2π + π2 ) = ………………… sin (4π + π6 ) = ………………… cos (3π + π2 ) = ………………… sin (7π + π4 ) = ………………… cos (6π – π2 ) = ………………… cos (8π – π4 ) = ………………… cos (7π – π4 ) = ………………… cos (360o + 25o ) = ………………… sin (180o + 50o ) = ………………… 42. ให sinθ =
3 5
จงหาคาของ sin (θ – π)
(– 53 )
วิธที าํ ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !
43. กําหนด 0 < θ < π2 และ sin θ = 0.4848 จงหาคาของ 1. cos θ 2. sin (– θ) 3. cos (π + θ) 4. sin (π – θ) 5. cos (θ – 2π ) 6. sin (3π – θ) ตอบ 1. 0.8746
2. – 0.4848
3. –0.8746
4. 0.4848
5. 0.8746
6. 0.4848
วิธที าํ ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !
!
)*!!
!
http://www.pec9.com
MATH Online III
บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ
44. จงเขียนคาของฟงกชันไซนและโคไซนของจํานวนจริงตอไปนี้ใหอยูในรูปคาของฟงกชัน ไซนและโคไซนของจํานวนจริงที่มีคาตั้งแต 0 ถึง π2 π 2. 53π 3. 76π 4. 710π 1. 13 12 วิธที าํ ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !
π , –cos π ตอบ 1. –sin 12 12
3. –sin π6 , –cos π6
2. –sin π3 , cos π3 2. sin 310π , –cos 310π
Co – function ของฟงกชันตรีโกณมิติ ขอตกลง 1) sine และ cosine tangent และ cotangent secant และ coseccant 2) เมื่อเขียนมุมอยูในรูป π 2 ± θ หรือ
( สูตรที่ 8 ) เปน Co – function ซึ่งกันและกัน เปน Co – function ซึ่งกันและกัน เปน Co – function ซึ่งกันและกัน 3π ± θ เราสามารถตัด π หรือ 3π ทิ้งไป แลว 2 2 2
เหลือแต θ ได แตฟง กชน่ั ตรีโกณในโจทย ตองเปลี่ยนเปนโคฟงกชั่นของตัวนั้น ๆ 3) การพิจารณาเครือ่ งหมาย ใหดูตามจุดปลายของสวนโคงวาตกอยูในควอดรันตที่เทาใด
45. กําหนด 0 < θ < π2 จงเขียนฟงกชนั ตรีโกณตอไปนีใ้ หอยูใ นรูปของ θ 1) sin ( π2 – θ ) 2. cos ( π2 – θ ) 3) tan ( π2 – θ ) 5) sec ( π2 – θ )
ตอบ 1. cosθ !
4. cot ( π2 – θ ) 6. cosec ( π2 – θ )
2. sinθ
3. cot θ
)+!!
4. tanθ
5. cosecθ
6. secθ !
http://www.pec9.com
MATH Online III
บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ
46. กําหนด 0 < θ < π2 จงเขียนฟงกชนั ตรีโกณตอไปนีใ้ หอยูใ นรูปของ θ 1) sin ( π2 + θ ) 2. cos ( π2 + θ ) 3) tan ( π2 + θ ) 5) sec ( π2 + θ )
4. cot ( π2 + θ ) 6. cosec ( π2 + θ )
3) tan ( 3π 2 – θ) 5) sec ( 3π 2 – θ)
4. cot ( 3π 2 – θ) 6. cosec ( 3π 2 – θ)
1) sin ( 3π 2 + θ) 3) tan ( 3π 2 + θ)
2) cos ( 3π 2 + θ) 4) cot ( 3π 2 + θ)
2. – sinθ 3. –cot θ 4. –tanθ 5. –cosecθ 6. secθ ตอบ 1. cosθ 47. กําหนด 0 < θ < π2 จงเขียนฟงกชนั ตรีโกณตอไปนีใ้ หอยูใ นรูปของ θ 1) sin ( 3π 2. cos ( 3π 2 – θ) 2 – θ)
4. tanθ 5. –cosecθ ตอบ 1. –cosθ 2. –sinθ 3. cot θ 48. กําหนด 0 < θ < π2 จงเขียนฟงกชนั ตรีโกณตอไปนีใ้ หอยูใ นรูปของ θ
5) sec ( 3π 2 + θ) 2. sinθ ตอบ 1. –cosθ โปรดจําไวใหได
1. 2. 3. 4. 5.
6) cosec ( 3π 2 + θ) 3. –cot θ 4. –tanθ 5. cosecθ
6. –secθ
6. –secθ
ถา ,!-!.!/!$&0!!แลว!
sin A = cos B tan A = cot B sec A = cosec B tan A . tan b = 1 cot A . cot B = 1
เชน เชน เชน เชน เชน
sin 20o = cos 70o tan 10o = cot 80o sec75 o = cosec 15o tan 20 o . tan 70o = 1 cot 10 o . cot 80 o = 1
ตอไปคิดเปนเรเดียน sin ( π6 ) = cos ( π2 – π6 ) = cos ( π3 ) 49. เติมคําลงในชองวางใหสมบูรณ 1 sin 40o = cos …… 2 tan 40o = cot ….. 4 cos 10o = ..…. 80o 5 cot 20o = ….. 70o
3 sec 40o = cosec……. 6 cosec30o = …. …60o
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!
)#!!
!
http://www.pec9.com
MATH Online III
บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ
ตอนที่ 6 ฟงกชน่ั ตรีโกณมิตขิ องผลบวกหรือผลตางของจํานวนจริงหรือมุม !
ฟงกชั่นของผลบวกหรือผลตาง cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B sin (A + B) = sin A cos B + sin B cos A sin (A – B) = sin A cos B – sin B cos A 50. เติมคําลงในชองวางใหสมบูรณ คําตอบ (รอบ 1) cos(A + B ) cos(A – B ) sin(A + B ) sin(A – B )
= = = =
……………………. ……………………. ……………………. …………………….
→ (9) → (10) → (11) → (12)
คําตอบ (รอบ 2) = = = =
……………………. ……………………. ……………………. …………………….
51. จงหาคาของ sin 15o วิธที าํ !
คําตอบ (รอบ 3) = = = =
……………………. ……………………. ……………………. ……………………. ( 6−4 2 )
! ! ! ! ! !
52. จงหาคาของ cos 75o วิธที าํ !
( 6−4 2 )
! ! ! ! ! !
53. จงพิสูจนวา sin (90o – A) = cos A วิธที าํ ! ! ! ! ! !
!
)$!!
!
MATH Online III
http://www.pec9.com
บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ
54. จงพิสูจนวา sec(90o – A) = csc A วิธที าํ ! ! ! ! ! ! !
55. จงหาคาของ sin (− 5π2 ). sin (π2 ) + cos (π2 ) . cos (− 5π2 ) วิธที าํ !
(-1)
! ! ! ! ! !
A + tan B tan (A + B) = 1tan − tan A tan B ! ! ! ! ! ! → (13) A − tan B tan (A – B) = 1tan + tan A tan B ! ! ! ! ! ! → (14) A cot B − 1 → (15) cot (A + B) = cot cot B + cot A A cot B + 1 cot (A – B) = cot cot B − cot A ! ! ! ! ! ! → (16) 56. เติมคําลงในชองวางใหสมบูรณ คําตอบ (รอบ 1)
คําตอบ (รอบ 2)
คําตอบ (รอบ 3)
tan(A + B ) =
=
=
tan (A – B ) =
=
=
cot(A + B ) =
=
=
cot (A – B ) =
=
=
tanA 57. จงพิสูจนวา tan (45o + A) = 11 +− tanA วิธที าํ ! ! ! !
!
*&!!
!
http://www.pec9.com
MATH Online III
บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ
o !+!tan25o 58. จงหาคาของ 1tan20 −!tan20o tan25o วิธที าํ !
(1)
! ! ! ! ! !
ฟงกชั่นที่ใชเปลี่ยนผลคูณเปนผลบวก 2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A – B) 2 cos A sin B = sin (A + B) – sin (A – B) 2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B) 2 sin A sin B = cos (A – B) – cos (A + B)
→ (17) → (18) → (19) → (20)
59. เติมคําลงในชองวางใหสมบูรณ คําตอบ (รอบ 1) 2 sinA cosB 2 cosA sinB 2 cosA cosB 2 sinA. sinB
คําตอบ (รอบ 2)
= …...…(A + B) + ……..(A – B) = …...…(A + B) – ……..(A – B) = …...…(A + B) + ……..(A – B) = …...…(A – B) – ……..(A + B)
= …...…(A + B) + ……..(A – B) = …...…(A + B) – ……..(A – B) = …...…(A + B) + ……..(A – B) = …...…(A – B) – ……..(A + B)
60. เติมคําลงในชองวางใหสมบูรณ คําตอบ (รอบ 1) 2 sinA . cosB 2 cosA. sinB 2 cosA. cosB 2 sinA. sinB
= = = =
คําตอบ (รอบ 2)
……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. …………………………………….
= = = =
………………………………………. ………………………………………. ………………………………………. ……………………………………….
( 2 +2 3 )
61. จงหาคาของ 2 sin75o . cos15o วิธที าํ ! ! ! ! ! !
!
*'!!
!
MATH Online III
http://www.pec9.com
บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ
62. จงหาคาของ 2 cos75o . sin15o
( 2 −2 3 )
วิธที าํ ! ! ! ! ! !
63. จงหาคาของ 2 cos75o . cos15o
( 21 )
วิธที าํ ! ! ! ! ! !
64. จงหาคาของ 2 sin75o . sin15o
( 21 )
วิธที าํ ! ! ! ! ! !
( 23 )
65. จงหาคาของ 2 cos10o.cos40o – cos50o วิธที าํ ! ! ! ! ! !
66. จงหาคาของ cos20o – 2 sin20o. sin 40o วิธที าํ !
( 12 )
! ! ! !
67. จงหาคาของ sin 15o . cos45o
( 12
3 1 2 −2 "
วิธที าํ ! ! ! !
68. จงหาคาของ (cos 75o ) 2
( 12 − 23 + 1 "!
วิธที าํ ! ! !
!
*(!!
!
http://www.pec9.com
MATH Online III
บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ
ฟงกชั่นที่ใชเปลี่ยนผลบวกเปนผลคูณ sin A + sin B = 2 sin A2+B . cos A−2 B sin A – sin B = 2 cos A2+B . sin A−2 B cos A + cos B = 2 cos A2+B . cos A−2 B cos A – cos B = – 2 sin A2+B . sin A−2 B
→ (21) → (22) → (23) → (24)
69. เติมคําลงในชองวางใหสมบูรณ คําตอบ (รอบ 1) sinA + sinB sinA – sinB cosA + cosB cosA – cosB
= = = =
คําตอบ (รอบ 2)
2…….. A2+B ……… A−2 B 2…….. A2+B ……… A−2 B 2…….. A2+B ……… A−2 B –2…….. A2+B ……… A−2 B
70. เติมคําลงในชองวางใหสมบูรณ คําตอบ (รอบ 1)
= = = =
2…….. A2+B ……… A−2 B 2…….. A2+B ……… A−2 B 2…….. A2+B ……… A−2 B –2…….. A2+B ……… A−2 B คําตอบ (รอบ 2)
sinA + sinB
= ……………………………………. = …………………………………….
sinA – sinB
= ……………………………………. = …………………………………….
cosA + cosB
= ……………………………………. = …………………………………….
cosA – cosB
= ……………………………………. = …………………………………….
71. จงหาคาของ sin 75o + sin 15o วิธที าํ !
( 6 /2)
! ! !
72. จงหาคาของ sin 75o – sin 15o วิธที าํ !
(
2/ 2
)
! ! !
73. จงหาคาของ cos 75o + cos 15o วิธที าํ !
( 6 /2)
!
!
*"!!
!
http://www.pec9.com
MATH Online III
บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ
74. จงหาคาของ cos 75o – cos 15o วิธที าํ !
(–
2/ 2
)
! ! ! ! !
75. กําหนดให sin 87o = a แลวคาของ cos 57o + sin 27o มีคาตรงกับขอใด 1. a 2. 2a 3. 1 + a 4. 1 + 2a วิธที าํ !
(ขอ 1)
! ! ! ! ! !
ฟงกชั่นที่มีมุมเปน 2A sin 2A = 2 sin A cos A sin 2A = 2 tan 2A 1 + tan A cos 2A = cos2 A – sin2 A cos 2A = 2 cos2 A – 1 cos 2A = 1 – 2 sin2 A tan 2A = 2 tan 2A 1 − tan A 2 A− 1 cot 2 A = cot2 cot A 76. เติมคําลงในชองวางใหสมบูรณ คําตอบ (รอบ 1) sin2A sin2A cos2A cos2A cos2A tan2A cot2A !
= = = = = = =
……………… ……………… ……………… ……………… ……………… ……………… ………………
→ (25) → (26) → (27) → (28) → (29) → (30) → (31) คําตอบ (รอบ 2) = = = = = = =
……………… ……………… ……………… ……………… ……………… ……………… ……………… *%!!
คําตอบ (รอบ 3) = = = = = = =
……………… ……………… ……………… ……………… ……………… ……………… ……………… !
MATH Online III
77. ถา cos x = 73 จงหา cos 2x วิธที าํ !
http://www.pec9.com
บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ
31 " (– 49
! ! !
จงหา cos 2x
(– 257 "
79. ถา tan x = 12 จงหา tan 2x วิธที าํ !
( 43 "!
78. ถา sin x =
4 5
วิธที าํ ! ! ! ! !
! ! !
cos3A !ตรงกับขอใด!! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! (ขอ 2.)! − 80. คาของ sin3A sinA cosA 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3 วิธที าํ ! ! ! !
ฟงกชั่นที่มีมุมเปน A2 sin A2 = ± cos A2 = ± tan A2 = ±
1 − cosA 2 1 cosA 2 1 − cosA 1 + cos A
→ (36) → (37) → (38)
81. เติมคําลงในชองวางใหสมบูรณ คําตอบ (รอบ 1) sin A2
cos A2 tan A2 !
คําตอบ (รอบ 2)
คําตอบ (รอบ 3)
=
=
=
=
=
=
=
=
= *)!!
!
MATH Online III
http://www.pec9.com
บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ
82(มช 31) ถา cos 70o = k เมือ่ k เปนคาคงตัว แลว cos 35o เทากับขอใด ข. – k 2+ 1 ค. 1 −2 k ง. – 1 −2 k ก. k 2+ 1 วิธที าํ !
(ขอ ก.)
! ! ! ! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!!! ตอน 7 การพิสจู นเอกลักษณตรีโกณมิติ! !
83. จงพิสูจนเอกลักษณ csc θ ⋅ cos θ = cot θ วิธที าํ ! ! ! ! ! !
84. จงพิสูจนเอกลักษณ sinθ . cotθ = cosθ วิธที าํ ! ! ! ! ! !
85. จงพิสูจนเอกลักษณ cotθ . secθ . sinθ = 1 วิธที าํ ! ! ! ! ! !
86. จงพิสูจนเอกลักษณ secθ + sinθ = 2 tanθ cscθ cosθ วิธที าํ ! ! ! ! ! ! !
sin xx !!=!!1 87. จงพิสูจนเอกลักษณ cos sec xx !!!+!! csc วิธที าํ ! ! ! !
!
**!!
!
MATH Online III
http://www.pec9.com
บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ
88. จงพิสูจนเอกลักษณ cotθ cosθ + sinθ = csc θ วิธที าํ ! ! ! ! ! !
89. จงพิสูจนเอกลักษณ tanθ cotθ – cos2θ = sin2θ วิธที าํ ! ! ! ! ! !
90. จงพิสูจนเอกลักษณ cosθ ( tanθ + cot θ) = cscθ วิธที าํ ! ! ! ! ! !
91. จงพิสูจนเอกลักษณ csc x – sin x = cos x cot x วิธที าํ ! ! ! ! ! !
92. จงพิสูจนเอกลักษณ 3 sin2θ + 4 cos2θ = 3 + cos2θ วิธที าํ ! ! ! ! ! !
93. จงพิสูจนเอกลักษณ (sinθ + cosθ)2 + (sinθ – cosθ)2 = 2 วิธที าํ ! ! ! ! ! !
94. จงพิสูจนเอกลักษณ sin2α cot2α + tan2α cos2α = 1 วิธที าํ ! ! !
!
*+!!
!
MATH Online III
http://www.pec9.com
บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ
95. จงพิสูจนเอกลักษณ sec θ – secθ sin2θ = cosθ วิธที าํ ! ! ! ! !
96. จงพิสูจนเอกลักษณ 2 sin2α – 1 = 1 –2 cos2α วิธที าํ ! ! ! ! !
97. จงพิสูจนเอกลักษณ tan2θ – sin2θ = tan2θsin2θ วิธที าํ ! ! ! ! ! !
98. จงพิสูจนเอกลักษณ sin2θ tanθ + cos2θ cotθ + 2 sinθ cosθ = tanθ + cotθ วิธที าํ ! ! ! ! ! !
99. จงพิสูจนเอกลักษณ วิธที าํ !
2sinθ cosθ − cosθ = cotθ 1− sinθ + sin 2θ − cos2 θ
! ! ! ! !
100. จงพิสูจนเอกลักษณ 1 − sinθ + cosθ = 2 secθ cosθ 1 − sinθ วิธที าํ ! ! ! ! ! !
101. จงพิสูจนเอกลักษณ secθ – tanθ = cosθ 1 + sinθ วิธที าํ ! !
!
*#!!
!
MATH Online III
http://www.pec9.com
บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ
102. จงพิสูจนเอกลักษณ (secθ – 1) (secθ + 1) = tan2θ วิธที าํ ! ! ! ! ! !
103. จงพิสูจนเอกลักษณ (secθ + tanθ) (secθ – tanθ) = 1 วิธที าํ ! ! ! ! ! !
104. จงพิสูจนเอกลักษณ sec2θ – csc2θ = tan2θ – cot2θ วิธที าํ ! ! ! ! ! !
105. จงพิสูจนเอกลักษณ sin2θ (1+ cot2θ) = 1 วิธที าํ ! ! ! ! !
106. จงพิสูจนเอกลักษณ 1 + tan2(–θ) = sec2θ วิธที าํ ! ! ! ! ! !
107. จงพิสูจนเอกลักษณ 1 + tanθ = cotθ + 1 1 − tanθ cotθ − 1 วิธที าํ ! ! ! ! ! !
108. จงพิสูจนเอกลักษณ 1 + sinθ = cscθ +1 1 − sinθ cscθ −1 วิธที าํ ! !
!
*$!!
!
MATH Online III
109. จงพิสูจนเอกลักษณ วิธที าํ !
http://www.pec9.com
บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ
sinθ 1 = sinθ −cosθ 1 − cotθ
! ! ! ! !
110. จงพิสูจนเอกลักษณ 1 − sinθ = (secθ – tan θ)2 1 + sinθ วิธที าํ ! ! ! ! ! ! !
111. จงพิสูจนเอกลักษณ cos (45o – θ) – sin (45o – θ) วิธที าํ !
=0
! ! ! ! ! ! !
α 112. จงพิสูจนเอกลักษณ tan (45o – α) = 11 +− tan tanα วิธที าํ ! ! ! ! ! !
113. จงพิสูจนเอกลักษณ cot 2θ + tan θ = csc 2θ วิธที าํ ! ! ! ! ! ! !
114. จงพิสูจนเอกลักษณ วิธที าํ !
sin2θ = tanθ 1 + cos2θ
! ! ! ! !
!
+&!!
!
MATH Online III
http://www.pec9.com
บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ
115. จงพิสูจนเอกลักษณ cot α – tan α = 2 cot 2α วิธที าํ ! ! ! ! ! !
116. จงพิสูจนเอกลักษณ (sin θ2 – cos θ2 )2 = 1 – sin θ วิธที าํ ! ! ! ! ! !
117. จงพิสูจนเอกลักษณ วิธที าํ !
sin 2θ + sin θ = tanα cos 2θ + cosθ + 1
! ! ! ! !
118. จงพิสูจนเอกลักษณ cos 3θ = 4cos3θ – 3cosθ วิธที าํ ! ! ! ! ! !
119. จงพิสูจนเอกลักษณ cos 4θ = 8cos4θ – 8cos2θ + 1 วิธที าํ ! ! ! ! ! !
120. ถา A + B + C = 180o จงพิสูจนวา 1) sin A = sin (B + C) 2) cos A = – cos(B + C) วิธที าํ ! ! ! ! ! !
!
+'!!
!
MATH Online III
http://www.pec9.com
บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ
121. จงพิสูจนเอกลักษณ sin 8θ + sin 2θ = tan 5θ cos 8θ + cos 2θ วิธที าํ ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !
122. จงพิสูจนเอกลักษณ cos2A + cos2 (60o+A) + cos2 (60 o – A) = 23 วิธที าํ ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !
123. จงพิสูจนเอกลักษณ cos20o cos 40 o cos80 o = 18 วิธที าํ ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
!
+(!!
!
MATH Online III
http://www.pec9.com
บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ
!!!ตอน 8 สมการเอกลักษณตรีโกณมิติ! วิธีการแกสมการตรีโกณมิติเบื้องตน! ขัน้ 1 หาควอดรันต ขัน้ 2 หาคําตอบจากมุมพื้นฐาน ขัน้ 3 หาคําตอบจริงตามควอดรันต ! ตัวอยางที่ 11 จงแกสมการ sinθ = – 23 วิธที าํ ขัน้ 1 เนือ่ งจากคา sin θ เปนลบ แสดงวาอยูใ นควอดรันตท่ี 3 และ 4 ขัน้ 2 คิดเฉพาะ sin θ = 23 θ = 60o จะได 60o ขัน้ 3 มุมกลุมเดียวกับ ในควอดรันต 3 คือ 240o ในควอดรันต 4 คือ 300o เซตคําตอบ คือ { 240o , 300o } !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
ตัวอยางที่ 12 จงแกสมการ tan θ = 1 วิธที าํ ขัน้ 1 เนือ่ งจากคา tan θ เปน็ บวก แสดงวาอยูใ นควอดรันตท่ี 1 และ 3 θ = 45o ขัน้ 2 คิดเฉพาะ tan θ = 1 จะได ขัน้ 3 มุมกลุมเดียวกับ 45o ในควอดรันต 1 คือ 45o ในควอดรันต 3 คือ 225o เซตคําตอบ คือ { 45o , 225o } 124. ถา 0o ≤ θ ≤ 360o แลว จงแกสมการตอไปนี้ 2. cos θ = – 23 1) sin θ = 12 วิธที าํ !
( 1. 30o, 150o
2. 150o, 210o)
! ! ! ! !
!
+"!!
!
MATH Online III
http://www.pec9.com
125. ถา 0o ≤ θ ≤ 360o แลว จงแกสมการตอไปนี้ 2. tan θ = – 3 1) cos θ = 22 วิธที าํ !
บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ
( 1. 45o, 315o
2. 120o, 300o)
! ! ! ! !
126. ถา 0o ≤ θ ≤ 360o แลว จงแกสมการตอไปนี้ 2) sin θ = 23 1) sin θ = 12 5) sin θ = – 23 4) sin θ = – 12 8) cos θ = 23 7) cos θ = 12 11) cos θ = – 23 10) cos θ = – 12 13) tan θ = 1 14) tan θ = 1 3 16) tan θ = – 1 17) tan θ = –1 3 วิธที าํ ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !
!
3) sin θ = 22 6) sin θ = – 22 9) cos θ = 22 12) cos θ = – 22 15) tan θ =
3
18) tan θ = – 3
ตอบ 1. 30o,150o
2. 60o,120o
3. 45o,135o
4. 210o,330o
5. 240o,300o
6. 225o,315o
7. 60o,300o
8. 30o,330o
9. 45o,315o
10. 120o,240o
11. 150o,210o
12. 135o,225o
13. 30o,210o
14. 45o,225o
15. 60o,240o
16. 150o,330o
17. 135o,315o
18. 120o,300o +%!!
!
http://www.pec9.com
MATH Online III
127. ถา 0o ≤ θ ≤ 360o แลว จงแกสมการตอไปนี้ 1) sin θ = 1 2. sin θ = –1 4) cos θ = 1 5. cos θ = –1 วิธที าํ ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !
ตอบ 1. 90o
2. 270o
3. 0o , 180o
4. 0o
บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ
3. sin θ = 0 6. cos θ = 0
5. 180o
128. ถา 0o ≤ θ ≤ 360o แลว จงแกสมการตอไปนี้ 1) sec θ = –2 2. cot θ = 1 3 วิธที าํ ! ! ! ! ! ! ! ! ! !
ตอบ 1. 120o, 240o
2. 60o, 240o
6. 90o , 270o
3. cosec θ = – 2 3
3. 240o, 300o
129. ถา 0o ≤ θ ≤ 360o แลว จงแกสมการ 2 sin θ – 1 = 0 วิธที าํ ! ! ! ! ! ! !
130. ถา 0o ≤ θ ≤ 360o แลว จงแกสมการ 3 tan2 θ – 1 = 0 วิธที าํ !
(30o , 150 o)
(30o , 150 o, 210o, 330o )
! ! ! ! ! !
!
+)!!
!
MATH Online III
http://www.pec9.com
131. ถา 0≤ x