http://www.pec9.com

MATH Online III

บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ

คณิ ต ศาสตร บทที่ 8 ตรี โ กณเบื้ อ งต น ตอนที่ 1 ฟงกชน่ั sine และ cosine วงกลมหนึ่งหนวย คือ วงกลมที่มีจุดศูนยกลางอยูที่จุด (0 , 0) บนแกนกราฟและมีรัศมี ยาว 1 หนวย สิง่ ทีค่ วรรูเ กีย่ วกับวงกลมหนึง่ หนวย 1) เนื่องจากวงกลมนี้มีรัศมีวงกลมหนึ่งหนวย แกน x และ y ตามจุดตางๆ ดังแสดงในรูป 2) จาก เสนรอบวง = 2πR ดังนัน้ เสนรอบวง = 2π (1) ! เสนรอบวง = 2π ถาลากเสนโคงจากจุด (1 , 0) ทวนเข็มนาฬิกาไปจะไดความยาว ณ จุดตาง ๆ บนเสน รอบวงเปนดังรูป 1. ตามแบบที่ผานมา จงเติม

ใหสมบูรณ

!

ฟงกชันตรีโกณมิติของมุม โดยทั่วไปแลว ความยาวสวนโคงทีว่ ดั เปนเรเดียน เราสามารถเปลี่ยนเปนองศาได ดังตัวอยางตอไปนี้ ตัวอยางที่ 1 จงหาวา π6 มีคาเทากับกี่องศา วิธที าํ เนือ่ งจาก π เรเดียน เทากับ 180o ดังนัน้ π6 = 1806 = 30o

!

! "#!!

!

http://www.pec9.com

MATH Online III

บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ

2. จงหามุมทีว่ ดั เปนเรเดียนตอไปนี้ แตละมุมมีขนาดกี่องศา 2. −5π 3. 11π 1. 2π 3 6 3 วิธที าํ

ตอบ 1. 120o

2. –150o

3. 660o

4. 4π

4. 720o

ตัวอยางที่ 2 จงหาวา 150o มีคาเทากับกี่เรเดียน π = 5π เรเดียน 150o = 150o x 180 วิธที าํ ! 6 3. จงหาวามุมตอไปนีเ้ ปนมุมกีเ่ รเดียน 1. 300o 2. –315o วิธที าํ

ตอบ 1. 53π

2. – 74π

3. 120o

3. 23π

4. –510o

4. 176π

พิจารณาวงกลมหนึ่งหนวยตามองศา จะไดวา sin θ , cos θ เปนดังนี้

! !

"$!!

!

http://www.pec9.com

MATH Online III

4. ตามแบบที่ผานมา จงเติม

บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ

ใหสมบูรณ

!

5. จงหาคาตรีโกณมิตติ อ ไปนี้ sin (0o) sin (90o) sin (180o) sin (270o) sin (30o)

= = = =

…………. …………. …………. ………….

(0) (1) (0) (–1 )

= ………….

( 12 )

sin (45o) = …………. sin (60o) = ………….

cos (0o) = ……………. cos (90o) = ……………. cos (180o) = ……………. cos (270o) = ……………. cos (30o) = …………….

( 22 )

cos (45o) = …………….

( 23 )

cos (60o) = …………….

(1) (0) ( –1 ) (0) ( 23 )

( 22 )

( 12 )

พิจารณาวงกลมหนึ่งหนวยตอไปนี้

!

!

%&!!

!

http://www.pec9.com

MATH Online III

บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ

6. ตามแบบที่ผานมา จงเติม ใหสมบูรณ ! ! ! ! ! ! พิจารณาวงกลมหนึ่งหนวยตอไปนี!้

!

! !

!

7. ตามแบบที่ผานมา จงเติม

ใหสมบูรณ

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!

วิธีการหาคา sin θ และ cos θ มุมที่ใชบอยแบบคิดในใจ ขัน้ ที่ 1 หาวา θ อยูใ นควอดรันตทเ่ี ทาใด ขัน้ ที่ 2 หาวา θ อยูใ นกลุม เดียวกับมุมพืน้ ฐานใด แลวใชคา ของมุมพืน้ ฐานนัน้ มาตอบเบือ้ งตน ขัน้ ที่ 3 หาคาบวก ลบ ของคําตอบทีแ่ ทจริง

!

%'!!

!

MATH Online III

http://www.pec9.com

ตัวอยางที่ 3. จงหาคาของ cos 150o

บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ

ตัวอยางที่ 4. จงหาคาของ sin 300o

!

ขัน้ 1 150o อยูใ นควอดรันตท2่ี ขัน้ 2 150o เปนกลุมเดียวกับ 30o ขัน้ 3 ดังนัน้ cos 150o = –cos30o cos 150o = – 23

ขัน้ 1 300o อยูใ นควอดรันตท4่ี ขัน้ 2 300o เปนกลุมเดียวกับ 60o ขัน้ 3 ดังนัน้ sin 300o = – sin60o sin 300o = – 23

ตัวอยางที่ 5. จงหาคาของ cos 315o ขัน้ 1 315o อยูใ นควอดรันตท่ี 4 ขัน้ 2 315o เปนกลุมเดียวกับ 45o ขัน้ 3 ดังนัน้ cos 315o = + cos45o cos 315o = + 22 8. จงหาคาตอไปนี้ 1. sin 120o = ……

2. sin 210o = ……

3. sin315o = …..

( 23 , – 12 , – 22 )

2. cos 210o = ……

3. cos 315o = ……

(– 12 , – 23 , 22 )

วิธที าํ

9. จงหาคาตอไปนี้ 1. cos 120o =…… วิธที าํ

!

%(!!

!

MATH Online III

http://www.pec9.com

บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ

กรณี θ > 360o ใหนํา θ มาลบออกดวยดวย 360o อาจลบหลายรอบ จนกวา θ จะมีคานอยกวา 360o แลวจึงคิดแบบเดิม ตัวอยางที่ 6. จงหาคาของ cos 570o วิธที าํ เนือ่ งจาก cos 570o = cos (570 – 360 )o = cos 210o = – cos 30o 210o อยูใ นควอดรันตท่ี 3 = – 23 ! 210o เปนกลุมเดียวกับ 30o 10. จงหาคา sin θ และ cos θ ของ θ ตอไปนี้ 1. sin 495o = …… 2. cos 510o = ……… 3. cos 540o = …… วิธที าํ

( 22 , – 23 , –1 )

กรณี – θ ใหใชสตู รตอไปนีช้ ว ยเปนเบือ้ งตน sin (– θ) = – sin θ และ cos (– θ) = cos θ ตัวอยางที่ 7. จงหาคา sin (–210o) วิธที าํ จาก sin (–210o) = – [ sin 210o ] = – [ – sin 30o ] 210o อยูใ นควอดรันตท่ี 3 = sin 30o 210o เปนกลุมเดียวกับ 30o = 12 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

ตัวอยางที่ 8. จงหาคา cos (–150o) วิธที าํ จาก cos (–150o) = cos 150o = – cos 30o 150o อยูใ นควอดรันตท่ี 2 = – 23 150o เปนกลุมเดียวกับ 30o !

%"!!

! !

http://www.pec9.com

MATH Online III

บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ

11. จงหาคา sinθ และ cosθ ของ θ ตอไปนี้ 1. sin(–330o) = ….. 2. cos(–315o) = ….. 3. sin (–120o) =…… ( 12 , 22 , – 23 ) วิธที าํ

! !

!

!

โปรด สั ง เกต ! ! ! 1) – 1 ≤ sin θ ≤ 1 2) 1 ≤ cos θ ≤ 1

!

!

! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

ตอนที่ 2 ฟงกชน่ั ตรีโกณมิตอิ น่ื ๆ ฟงกชั่นตรีโกณมิติอื่น ๆ ทีค่ วรรูจ กั = sinθ cosθ cotangent ( θ ) = cot θ = 1 tanθ secant ( θ ) = sec θ = 1 cosθ cosecant ( θ ) = cosec θ = 1 sinθ คา tan ของมุมที่ใชบอยๆ เปนดังนี้ tangent ( θ )

= tan θ

เมือ่ cos θ ≠ 0 = cosθ sinθ

เมือ่ sin θ ≠ 0 เมือ่ cos θ ≠ 0 เมือ่ sin θ ≠ 0

! !

%%!!

!

MATH Online III

http://www.pec9.com

12. ตามแบบที่ผานมา จงเติม

ใหสมบูรณ

บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ

!

ฟงกชั่นตรีโกณมิติของมมลบ ( – θ) sin ( – θ ) = – sin θ cosec ( – θ ) = – cosec θ cos ( – θ ) = cos θ sec ( – θ ) = sec θ tan ( – θ ) = – tan θ cot ( – θ ) = – cot θ หลักการจํา cos ( – θ ) และ sec ( – θ ) เทานัน้ ทีใ่ หคา บวก นอกนัน้ ใหคา ลบทัง้ หมด

13. จงหาคาตอไปนี้ 1. tan 480o 4. csc 120o 7. sec 150o ตอบ 1. –

3

2. –1 /

2. tan (–570o) 5. csc (–210o) 8. sec (–240o) 3

3. 1 4. 2 /

3

5. 2

3. tan (–675o) 6. csc (–315o) 9. sec (–330o) 6.

2

7. –2 /

3

8. –2 9. 2 /

3

วิธที าํ

!

%)!!

!

MATH Online III

http://www.pec9.com

7π 14(มช 31) sin ( π6 ) – cos ( 5π 6 ) tan ( 6 ) มีคาเทากับเทาใด ก. 0 ข. 1 ค. 2 วิธที าํ

15. จงหาคาของ

บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ

ง. 33

tan(−480o )−sin( −840o ) cos( −390o )

(ขอ ข)

(3)

วิธที าํ

16. มีจาํ นวนจริง θ ใดหรือไมที่ทําให secθ < 1 วิธที าํ

( ไมมี )

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

ตอนที่ 3 สามเหลี่ยมมุมฉาก 17. ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มีมุม C เปนมุมฉาก มุม A มีขนาด 20o และมีดานตรงขาม มุมฉากยาว 10 Cm จงหาความยาวของดาน AC และ BC (sin20o=0.3420 , cos20o=0.9397 ) (9.397 , 3.42 cm ) วิธที าํ

!

%*!!

!

MATH Online III

http://www.pec9.com

18. ตึกสองหลังที่มีหลังคาเรียบตั้งอยูหางกัน 60 ฟุต จากหลังคาของตึกที่เตี้ยกวา ซึ่งสูง 40 ฟุต มุมที่ วัดจากหลังคาของตึกที่เตี้ยกวาไปยังหลังคาของ ตึกที่สูงกวามีขนาด 40o ดังรูป จงหาความสูง ของตึกที่สูงกวา (tan40o=0.8391 ) (90.3 ฟุต) 40 ฟุต วิธที าํ

19. แมน้ําแหงหนึ่งกวาง 50 เมตร นักวายน้ําจากจุด A ของฝงหนึ่งไปยังจุด B ของอีกฝง หนึง่ ตามเสน ดังรูป จงหาระยะทางที่นักวายน้ําวายขามฝง (57.7 ม.) วิธที าํ ! ! ! ! ! 20. แกวงลูกตุมซึ่งยาว 90 เซนติเมตร ตามแนวดิง่ ดวยมุม 15o ของแตละขาง ดังรูป จงหาระยะ ระหวางตําแหนงสูงสุดและต่ําสุดของลูกตุม ( x เซนติเมตร ) ( cos15o = 0.9659) (3.1 cm) วิธที าํ ! ! ! ! ! !

%+!!

บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ

40o! 60 ฟุต

B 50 เมตร!

A

60o!

! o! 15o15

X เซนติเมตร

!

MATH Online III

http://www.pec9.com

บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ

21. จงหาความยาวของเสนรอบรูปของรูปสามเหลีย่ มหนาจัว่ ซึ่งมีฐานยาว 40 นิว้ และมุมที่ฐาน (156.96 นิ้ว) มีขนาด 70o (cos 70o = 0.3420 ) วิธที าํ ! ! ! ! ! ! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

ตอนที่ 4 กราฟของฟงกชน่ั ตรีโกณมิติ พิจารณาฟงกชัน y = sin x

พิจารณา y = sin x y = sin π2 = 1

จากลักษณะของกราฟ y = sin x เราสรุปไดดงั นี้ 1. กราฟเปนลูกคลื่น ผานจุด (0 , 0) 2. โดเมนของฟงกชนั คือ เซตของจํานวนจริง 3. เรนจของฟงกชนั คือ [ –1 , 1 ] นัน่ คือ –1 ≤ sin x ≤ 1 4. คาบมีความยาว = 2π 5. แอมปลิจูดของฟงกชัน = 1 (แอมปลิจูด อาจจะเรียกวาเปนความสูงของคลื่นไซนก็ได )

y = sin π = 0 y = sin 3π 2 = –1 y = sin 2π = 0

22. ลักษณะสําคัญของกราฟฟงกชั่น y = a sin bx ไดแก 1. กราฟจะผานจุด .......................... เสมอ 2. ความสูงของคลื่นไซนอาจเรียกวา ...................................... !

%#!!

!

MATH Online III

http://www.pec9.com

บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ

พิจารณาฟงกชัน y = cos x

จากลักษณะของกราฟ y = cos x เราสรุปไดดงั นี้ 1. กราฟเปนลูกคลื่น ไมผานจุด (0 , 0) 2. โดเมนของฟงกชนั คือ เซตของจํานวนจริง 3. เรนจของฟงกชนั คือ [ –1 , 1 ] นัน่ คือ – 1 ≤ cos x ≤ 1 4. คาบมีความยาว = 2π 5. แอมปลิจูดของฟงกชัน = 1 23. กราฟของฟงกชันไซนกับโคไซน จะมีลักษณะเปนคลื่นเหมือนกัน แตสิ่งหนึ่งที่ตางกัน คือ ...................................... ............... ............... ............... ............... ............... ............... พิจารณาฟงกชัน y = tan x

!

จากลักษณะของกราฟ y = tan x เราสรุปไดดงั นี้ 1. กราฟเปนลูกคลื่น ผานจุด (0 , 0) 2. โดเมนของฟงกชนั คือ { x | x ∈ R และ x ≠ nπ + π2 เมือ่ n ∈ I } 3. เรนจของฟงกชนั คือ เซตของจํานวนจริง นัน่ คือ – ∞ < tan x < ∞ !

%$!!

!

MATH Online III

http://www.pec9.com

บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ

4. คาบของฟงกชันยาว = π 5. แอมปลิจูดของฟงกชันไมมี เพราะฟงกชันไมมีคาสูงสุด และต่ําสุด พิจารณาฟงกชัน y = cosec x

จากลักษณะของกราฟ y = cosec x เราสรุปไดดงั นี้ 1. กราฟไมผานจุด (0 , 0) 2. โดเมนของฟงกชนั คือ { x | x ∈ R และ x ≠ nπ เมือ่ n ∈ I } 3. เรนจของฟงกชนั คือ y ≥ 1 หรือ y ≤ – 1 4. คาบของฟงกชันยาว = 2π 5. แอมปลิจูดของฟงกชันไมมี พิจารณาฟงกชัน y = sec x

จากลักษณะของกราฟ y = sec x เราสรุปไดดงั นี้ 1. กราฟไมผานจุด (0 , 0) 2. โดเมนของฟงกชนั คือ { x | x ∈ R และ x ≠ nπ + π2 เมือ่ n ∈ I } !

)&!!

!

MATH Online III

http://www.pec9.com

บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ

3. เรนจของฟงกชนั คือ y ≥ 1 หรือ y ≤ – 1 4. คาบของฟงกชันยาว = 2π 5. แอมปลิจูดของฟงกชันไมมี พิจารณาฟงกชัน y = cot x

!

จากลักษณะของกราฟ y = cot x เราสรุปไดดงั นี้ 1. กราฟไมผานจุด (0 , 0) 2. โดเมนของฟงกชนั คือ { x | x ∈ R และ x ≠ nπ เมือ่ n ∈ I } 3. เรนจของฟงกชนั คือ เซตของจํานวนจริง นัน่ คือ – ∞ ≤ cot x ≤ ∞ 4. คาบของฟงกชันยาว = π 5. แอมปลิจูดของฟงกชันไมมี เพราะฟงกชันไมมีคาสูงสุดและต่ําสุด

24. จงวาดรูปกราฟของฟงกชั่น sin , cos , tan คราวๆ แลววาดรูป ฟงกชัน cosec , sec และ cot เปรียบเทียบ

!

)'!!

!

MATH Online III

http://www.pec9.com

บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ

การหาคาบและแอมปลิจูด ของฟงกชันตรีโกณมิติ กําหนดให a , b , c และ d เปนคาคงที่ใดๆ ลําดับ 1.

รูปทัว่ ไปอยางงาย y = a sin bx

2.

y = a cos bx

3.

y = a cosec bx

4.

y = a sec bx

5.

y = a tan bx

6.

y = a cot bx

สูตรหาคาบ

2π b 2π b 2π b 2π b π b π b

25. จงหาคาบและแอมปลิจดู ของฟงกชนั ตรีโกณมิตติ อ ไปนี้ y = 4 sin x วิธที าํ !

สูตรหาแอมปลิจูด |a| |a| ไมมี ไมมี ไมมี ไมมี

π , 4) ( 2π

!

26. จงหาคาบและแอมปลิจดู ของฟงกชนั ตรีโกณมิตติ อ ไปนี้ y = – 3 tan 12 x วิธที าํ !

π , –) ( 2π

!

27. จงหาคาบและแอมปลิจดู ของฟงกชนั ตรีโกณมิตติ อ ไปนี้ y = 4 cos ( 2x – π2 ) + 4 วิธที าํ !

(π , 4)

!

28. จงหาคาบและแอมปลิจดู ของฟงกชนั ตรีโกณมิตติ อ ไปนี้ y = 14 cosec ( 13 x + π6 ) วิธที าํ !

π , –) ( 6π

!

29. จงหาคาบและแอมปลิจดู ของฟงกชนั ตรีโกณมิตติ อ ไปนี้ y = 12 sec ( 2x – π3 ) + 1 วิธที าํ ! ! !

)(!!

(π , –)

!

MATH Online III

http://www.pec9.com

บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ

30. จงหาคาบและแอมปลิจดู ของฟงกชนั ตรีโกณมิตติ อ ไปนี้ y = 2 cot ( 3π x + π6 ) วิธที าํ !

(1/3 , – )

!

1 sin (400 π t ) 31. สมการของคลื่นชนิดหนึ่ง คือ y = 1000 เมือ่ t แทนเวลาเปนวินาที แลว แอมปลิจูด และคาบของสมการ คือขอใด 1. 0.001 , 400π วินาที 2. 0.001 , 200π วินาที 1 วินาที 1 วินาที 3. 0.001 , 400 4. 0.001 , 200 วิธที าํ !

(4)

!

32. ให v = 220 sin (140 π t ) เปนสมการแสดงความสัมพันธระหวางความตางศักดิ์ไฟฟา V (หนวยเปนโวลต) กับเวลา t ( หนวยเปนวินาที ) แลวคาสูงสุดของ V และ คาบของ ฟงกเปนเทาใด 1. 220 โวลต , 140 วินาที 2. 220 โวลต , 117 วินาที (3) 4. 220 โวลต , 70 วินาที 3. 220 โวลต , 701 วินาที วิธที าํ ! !

33. จงรางกราฟของฟงกชนั ตรีโกณมิตติ อ ไปนี้! 2) y = 12 cos θ ! 1) y = 12 sin θ 4) y = – 12 sin (–2θ) 3) y = 12 sin (–2θ) วิธที าํ ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!

)"!!

!

MATH Online III

http://www.pec9.com

บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ

ตอนที่ 5 เอกลักษณตรีโกณเบือ้ งตน เอกลักษณตรีโกณ คือ สมการตรีโกณซึง่ เปนจริงเสมอ → (1) cos2 θ + sin2 θ = 1 → (2) cos2 θ = 1 – sin2 θ cos θ = ± 1 − sin 2θ sin2 θ = 1 – cos2 θ

→ (3)

sin θ = ± 1 − cos 2θ → (4) sec2 θ = 1 + tan2 θ → (5) csc2 θ = 1 + cot2 θ 34. จงเติมคําตอบทีถ่ กู ตอง cos2 θ + sin2 θ = …………… cos2 θ = ………….. cos θ = ………….. sin2 θ = ………….. sin θ = ………….. sec2 θ = ………….. csc2 θ = …………. 35. ถา sin θ = 35 และ 0 < θ < π2 จงหาคาของ cos θ + tan θ วิธที าํ !

31 ) ( 20

! ! ! ! ! ! !

36. กําหนด sin θ = 35 และ π2 < θ < π จงหาคาของ cos θ และ tan θ (– 45 , – 43 ) วิธที าํ ! ! ! ! ! !

!

)%!!

!

http://www.pec9.com

MATH Online III

บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ

( -35 , 43 )

37. กําหนด cos θ = – 45 และ π < θ < 3π 2 จงหาคาของ sin θ และ tan θ วิธที าํ ! ! ! ! ! ! ! ! !

38. กําหนด sin θ > 0 โดยที่ cos θ = – 35 แลว จงหาคาของ sec θ + cosec θ วิธที าํ !

(– 125 )

! ! ! ! ! ! ! ! ! !

39(มช 33) ถา sin θ = – 35 และ tan θ > 0 แลวคาของ sec θ – cosec θ เทากับ ..... ( 125 ) วิธที าํ ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

40. ถา 3π 2 < θ < 2π และ cot θ = –3 จงหาคาของ 2 sin θ + tan θ วิธที าํ !

( -210 − 13 )

! ! ! ! ! ! ! !

sin ( nπ ± θ ) =

!

cos ( nπ ± θ ) =! !

sin ( ± θ ) – sin ( ± θ ) cos ( ± θ ) – cos ( ± θ ) ))!!

เมือ่ เมือ่ เมือ่ เมือ่

n n n n

เปนจํานวนเต็มคู เปนจํานวนเต็มคี่ เปนจํานวนเต็มคู เปนจํานวนเต็มคี่

→ (6)! → (7)! !

http://www.pec9.com

MATH Online III

บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ

41. จงเติมคําลงในชองวางตอไปนี้ cos (2π + π2 ) = ………………… sin (4π + π6 ) = ………………… cos (3π + π2 ) = ………………… sin (7π + π4 ) = ………………… cos (6π – π2 ) = ………………… cos (8π – π4 ) = ………………… cos (7π – π4 ) = ………………… cos (360o + 25o ) = ………………… sin (180o + 50o ) = ………………… 42. ให sinθ =

3 5

จงหาคาของ sin (θ – π)

(– 53 )

วิธที าํ ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

43. กําหนด 0 < θ < π2 และ sin θ = 0.4848 จงหาคาของ 1. cos θ 2. sin (– θ) 3. cos (π + θ) 4. sin (π – θ) 5. cos (θ – 2π ) 6. sin (3π – θ) ตอบ 1. 0.8746

2. – 0.4848

3. –0.8746

4. 0.4848

5. 0.8746

6. 0.4848

วิธที าํ ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

!

)*!!

!

http://www.pec9.com

MATH Online III

บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ

44. จงเขียนคาของฟงกชันไซนและโคไซนของจํานวนจริงตอไปนี้ใหอยูในรูปคาของฟงกชัน ไซนและโคไซนของจํานวนจริงที่มีคาตั้งแต 0 ถึง π2 π 2. 53π 3. 76π 4. 710π 1. 13 12 วิธที าํ ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

π , –cos π ตอบ 1. –sin 12 12

3. –sin π6 , –cos π6

2. –sin π3 , cos π3 2. sin 310π , –cos 310π

Co – function ของฟงกชันตรีโกณมิติ ขอตกลง 1) sine และ cosine tangent และ cotangent secant และ coseccant 2) เมื่อเขียนมุมอยูในรูป π 2 ± θ หรือ

( สูตรที่ 8 ) เปน Co – function ซึ่งกันและกัน เปน Co – function ซึ่งกันและกัน เปน Co – function ซึ่งกันและกัน 3π ± θ เราสามารถตัด π หรือ 3π ทิ้งไป แลว 2 2 2

เหลือแต θ ได แตฟง กชน่ั ตรีโกณในโจทย ตองเปลี่ยนเปนโคฟงกชั่นของตัวนั้น ๆ 3) การพิจารณาเครือ่ งหมาย ใหดูตามจุดปลายของสวนโคงวาตกอยูในควอดรันตที่เทาใด

45. กําหนด 0 < θ < π2 จงเขียนฟงกชนั ตรีโกณตอไปนีใ้ หอยูใ นรูปของ θ 1) sin ( π2 – θ ) 2. cos ( π2 – θ ) 3) tan ( π2 – θ ) 5) sec ( π2 – θ )

ตอบ 1. cosθ !

4. cot ( π2 – θ ) 6. cosec ( π2 – θ )

2. sinθ

3. cot θ

)+!!

4. tanθ

5. cosecθ

6. secθ !

http://www.pec9.com

MATH Online III

บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ

46. กําหนด 0 < θ < π2 จงเขียนฟงกชนั ตรีโกณตอไปนีใ้ หอยูใ นรูปของ θ 1) sin ( π2 + θ ) 2. cos ( π2 + θ ) 3) tan ( π2 + θ ) 5) sec ( π2 + θ )

4. cot ( π2 + θ ) 6. cosec ( π2 + θ )

3) tan ( 3π 2 – θ) 5) sec ( 3π 2 – θ)

4. cot ( 3π 2 – θ) 6. cosec ( 3π 2 – θ)

1) sin ( 3π 2 + θ) 3) tan ( 3π 2 + θ)

2) cos ( 3π 2 + θ) 4) cot ( 3π 2 + θ)

2. – sinθ 3. –cot θ 4. –tanθ 5. –cosecθ 6. secθ ตอบ 1. cosθ 47. กําหนด 0 < θ < π2 จงเขียนฟงกชนั ตรีโกณตอไปนีใ้ หอยูใ นรูปของ θ 1) sin ( 3π 2. cos ( 3π 2 – θ) 2 – θ)

4. tanθ 5. –cosecθ ตอบ 1. –cosθ 2. –sinθ 3. cot θ 48. กําหนด 0 < θ < π2 จงเขียนฟงกชนั ตรีโกณตอไปนีใ้ หอยูใ นรูปของ θ

5) sec ( 3π 2 + θ) 2. sinθ ตอบ 1. –cosθ โปรดจําไวใหได

1. 2. 3. 4. 5.

6) cosec ( 3π 2 + θ) 3. –cot θ 4. –tanθ 5. cosecθ

6. –secθ

6. –secθ

ถา ,!-!.!/!$&0!!แลว!

sin A = cos B tan A = cot B sec A = cosec B tan A . tan b = 1 cot A . cot B = 1

เชน เชน เชน เชน เชน

sin 20o = cos 70o tan 10o = cot 80o sec75 o = cosec 15o tan 20 o . tan 70o = 1 cot 10 o . cot 80 o = 1

ตอไปคิดเปนเรเดียน sin ( π6 ) = cos ( π2 – π6 ) = cos ( π3 ) 49. เติมคําลงในชองวางใหสมบูรณ 1 sin 40o = cos …… 2 tan 40o = cot ….. 4 cos 10o = ..…. 80o 5 cot 20o = ….. 70o

3 sec 40o = cosec……. 6 cosec30o = …. …60o

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!

)#!!

!

http://www.pec9.com

MATH Online III

บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ

ตอนที่ 6 ฟงกชน่ั ตรีโกณมิตขิ องผลบวกหรือผลตางของจํานวนจริงหรือมุม !

ฟงกชั่นของผลบวกหรือผลตาง cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B sin (A + B) = sin A cos B + sin B cos A sin (A – B) = sin A cos B – sin B cos A 50. เติมคําลงในชองวางใหสมบูรณ คําตอบ (รอบ 1) cos(A + B ) cos(A – B ) sin(A + B ) sin(A – B )

= = = =

……………………. ……………………. ……………………. …………………….

→ (9) → (10) → (11) → (12)

คําตอบ (รอบ 2) = = = =

……………………. ……………………. ……………………. …………………….

51. จงหาคาของ sin 15o วิธที าํ !

คําตอบ (รอบ 3) = = = =

……………………. ……………………. ……………………. ……………………. ( 6−4 2 )

! ! ! ! ! !

52. จงหาคาของ cos 75o วิธที าํ !

( 6−4 2 )

! ! ! ! ! !

53. จงพิสูจนวา sin (90o – A) = cos A วิธที าํ ! ! ! ! ! !

!

)$!!

!

MATH Online III

http://www.pec9.com

บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ

54. จงพิสูจนวา sec(90o – A) = csc A วิธที าํ ! ! ! ! ! ! !

55. จงหาคาของ sin (− 5π2 ). sin (π2 ) + cos (π2 ) . cos (− 5π2 ) วิธที าํ !

(-1)

! ! ! ! ! !

A + tan B tan (A + B) = 1tan − tan A tan B ! ! ! ! ! ! → (13) A − tan B tan (A – B) = 1tan + tan A tan B ! ! ! ! ! ! → (14) A cot B − 1 → (15) cot (A + B) = cot cot B + cot A A cot B + 1 cot (A – B) = cot cot B − cot A ! ! ! ! ! ! → (16) 56. เติมคําลงในชองวางใหสมบูรณ คําตอบ (รอบ 1)

คําตอบ (รอบ 2)

คําตอบ (รอบ 3)

tan(A + B ) =

=

=

tan (A – B ) =

=

=

cot(A + B ) =

=

=

cot (A – B ) =

=

=

tanA 57. จงพิสูจนวา tan (45o + A) = 11 +− tanA วิธที าํ ! ! ! !

!

*&!!

!

http://www.pec9.com

MATH Online III

บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ

o !+!tan25o 58. จงหาคาของ 1tan20 −!tan20o tan25o วิธที าํ !

(1)

! ! ! ! ! !

ฟงกชั่นที่ใชเปลี่ยนผลคูณเปนผลบวก 2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A – B) 2 cos A sin B = sin (A + B) – sin (A – B) 2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B) 2 sin A sin B = cos (A – B) – cos (A + B)

→ (17) → (18) → (19) → (20)

59. เติมคําลงในชองวางใหสมบูรณ คําตอบ (รอบ 1) 2 sinA cosB 2 cosA sinB 2 cosA cosB 2 sinA. sinB

คําตอบ (รอบ 2)

= …...…(A + B) + ……..(A – B) = …...…(A + B) – ……..(A – B) = …...…(A + B) + ……..(A – B) = …...…(A – B) – ……..(A + B)

= …...…(A + B) + ……..(A – B) = …...…(A + B) – ……..(A – B) = …...…(A + B) + ……..(A – B) = …...…(A – B) – ……..(A + B)

60. เติมคําลงในชองวางใหสมบูรณ คําตอบ (รอบ 1) 2 sinA . cosB 2 cosA. sinB 2 cosA. cosB 2 sinA. sinB

= = = =

คําตอบ (รอบ 2)

……………………………………. ……………………………………. ……………………………………. …………………………………….

= = = =

………………………………………. ………………………………………. ………………………………………. ……………………………………….

( 2 +2 3 )

61. จงหาคาของ 2 sin75o . cos15o วิธที าํ ! ! ! ! ! !

!

*'!!

!

MATH Online III

http://www.pec9.com

บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ

62. จงหาคาของ 2 cos75o . sin15o

( 2 −2 3 )

วิธที าํ ! ! ! ! ! !

63. จงหาคาของ 2 cos75o . cos15o

( 21 )

วิธที าํ ! ! ! ! ! !

64. จงหาคาของ 2 sin75o . sin15o

( 21 )

วิธที าํ ! ! ! ! ! !

( 23 )

65. จงหาคาของ 2 cos10o.cos40o – cos50o วิธที าํ ! ! ! ! ! !

66. จงหาคาของ cos20o – 2 sin20o. sin 40o วิธที าํ !

( 12 )

! ! ! !

67. จงหาคาของ sin 15o . cos45o

( 12

3 1 2 −2 "

วิธที าํ ! ! ! !

68. จงหาคาของ (cos 75o ) 2

( 12 − 23 + 1 "!

วิธที าํ ! ! !

!

*(!!

!

http://www.pec9.com

MATH Online III

บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ

ฟงกชั่นที่ใชเปลี่ยนผลบวกเปนผลคูณ sin A + sin B = 2 sin A2+B . cos A−2 B sin A – sin B = 2 cos A2+B . sin A−2 B cos A + cos B = 2 cos A2+B . cos A−2 B cos A – cos B = – 2 sin A2+B . sin A−2 B

→ (21) → (22) → (23) → (24)

69. เติมคําลงในชองวางใหสมบูรณ คําตอบ (รอบ 1) sinA + sinB sinA – sinB cosA + cosB cosA – cosB

= = = =

คําตอบ (รอบ 2)

2…….. A2+B ……… A−2 B 2…….. A2+B ……… A−2 B 2…….. A2+B ……… A−2 B –2…….. A2+B ……… A−2 B

70. เติมคําลงในชองวางใหสมบูรณ คําตอบ (รอบ 1)

= = = =

2…….. A2+B ……… A−2 B 2…….. A2+B ……… A−2 B 2…….. A2+B ……… A−2 B –2…….. A2+B ……… A−2 B คําตอบ (รอบ 2)

sinA + sinB

= ……………………………………. = …………………………………….

sinA – sinB

= ……………………………………. = …………………………………….

cosA + cosB

= ……………………………………. = …………………………………….

cosA – cosB

= ……………………………………. = …………………………………….

71. จงหาคาของ sin 75o + sin 15o วิธที าํ !

( 6 /2)

! ! !

72. จงหาคาของ sin 75o – sin 15o วิธที าํ !

(

2/ 2

)

! ! !

73. จงหาคาของ cos 75o + cos 15o วิธที าํ !

( 6 /2)

!

!

*"!!

!

http://www.pec9.com

MATH Online III

บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ

74. จงหาคาของ cos 75o – cos 15o วิธที าํ !

(–

2/ 2

)

! ! ! ! !

75. กําหนดให sin 87o = a แลวคาของ cos 57o + sin 27o มีคาตรงกับขอใด 1. a 2. 2a 3. 1 + a 4. 1 + 2a วิธที าํ !

(ขอ 1)

! ! ! ! ! !

ฟงกชั่นที่มีมุมเปน 2A sin 2A = 2 sin A cos A sin 2A = 2 tan 2A 1 + tan A cos 2A = cos2 A – sin2 A cos 2A = 2 cos2 A – 1 cos 2A = 1 – 2 sin2 A tan 2A = 2 tan 2A 1 − tan A 2 A− 1 cot 2 A = cot2 cot A 76. เติมคําลงในชองวางใหสมบูรณ คําตอบ (รอบ 1) sin2A sin2A cos2A cos2A cos2A tan2A cot2A !

= = = = = = =

……………… ……………… ……………… ……………… ……………… ……………… ………………

→ (25) → (26) → (27) → (28) → (29) → (30) → (31) คําตอบ (รอบ 2) = = = = = = =

……………… ……………… ……………… ……………… ……………… ……………… ……………… *%!!

คําตอบ (รอบ 3) = = = = = = =

……………… ……………… ……………… ……………… ……………… ……………… ……………… !

MATH Online III

77. ถา cos x = 73 จงหา cos 2x วิธที าํ !

http://www.pec9.com

บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ

31 " (– 49

! ! !

จงหา cos 2x

(– 257 "

79. ถา tan x = 12 จงหา tan 2x วิธที าํ !

( 43 "!

78. ถา sin x =

4 5

วิธที าํ ! ! ! ! !

! ! !

cos3A !ตรงกับขอใด!! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! (ขอ 2.)! − 80. คาของ sin3A sinA cosA 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3 วิธที าํ ! ! ! !

ฟงกชั่นที่มีมุมเปน A2 sin A2 = ± cos A2 = ± tan A2 = ±

1 − cosA 2 1 cosA 2 1 − cosA 1 + cos A

→ (36) → (37) → (38)

81. เติมคําลงในชองวางใหสมบูรณ คําตอบ (รอบ 1) sin A2

cos A2 tan A2 !

คําตอบ (รอบ 2)

คําตอบ (รอบ 3)

=

=

=

=

=

=

=

=

= *)!!

!

MATH Online III

http://www.pec9.com

บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ

82(มช 31) ถา cos 70o = k เมือ่ k เปนคาคงตัว แลว cos 35o เทากับขอใด ข. – k 2+ 1 ค. 1 −2 k ง. – 1 −2 k ก. k 2+ 1 วิธที าํ !

(ขอ ก.)

! ! ! ! ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!!! ตอน 7 การพิสจู นเอกลักษณตรีโกณมิติ! !

83. จงพิสูจนเอกลักษณ csc θ ⋅ cos θ = cot θ วิธที าํ ! ! ! ! ! !

84. จงพิสูจนเอกลักษณ sinθ . cotθ = cosθ วิธที าํ ! ! ! ! ! !

85. จงพิสูจนเอกลักษณ cotθ . secθ . sinθ = 1 วิธที าํ ! ! ! ! ! !

86. จงพิสูจนเอกลักษณ secθ + sinθ = 2 tanθ cscθ cosθ วิธที าํ ! ! ! ! ! ! !

sin xx !!=!!1 87. จงพิสูจนเอกลักษณ cos sec xx !!!+!! csc วิธที าํ ! ! ! !

!

**!!

!

MATH Online III

http://www.pec9.com

บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ

88. จงพิสูจนเอกลักษณ cotθ cosθ + sinθ = csc θ วิธที าํ ! ! ! ! ! !

89. จงพิสูจนเอกลักษณ tanθ cotθ – cos2θ = sin2θ วิธที าํ ! ! ! ! ! !

90. จงพิสูจนเอกลักษณ cosθ ( tanθ + cot θ) = cscθ วิธที าํ ! ! ! ! ! !

91. จงพิสูจนเอกลักษณ csc x – sin x = cos x cot x วิธที าํ ! ! ! ! ! !

92. จงพิสูจนเอกลักษณ 3 sin2θ + 4 cos2θ = 3 + cos2θ วิธที าํ ! ! ! ! ! !

93. จงพิสูจนเอกลักษณ (sinθ + cosθ)2 + (sinθ – cosθ)2 = 2 วิธที าํ ! ! ! ! ! !

94. จงพิสูจนเอกลักษณ sin2α cot2α + tan2α cos2α = 1 วิธที าํ ! ! !

!

*+!!

!

MATH Online III

http://www.pec9.com

บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ

95. จงพิสูจนเอกลักษณ sec θ – secθ sin2θ = cosθ วิธที าํ ! ! ! ! !

96. จงพิสูจนเอกลักษณ 2 sin2α – 1 = 1 –2 cos2α วิธที าํ ! ! ! ! !

97. จงพิสูจนเอกลักษณ tan2θ – sin2θ = tan2θsin2θ วิธที าํ ! ! ! ! ! !

98. จงพิสูจนเอกลักษณ sin2θ tanθ + cos2θ cotθ + 2 sinθ cosθ = tanθ + cotθ วิธที าํ ! ! ! ! ! !

99. จงพิสูจนเอกลักษณ วิธที าํ !

2sinθ cosθ − cosθ = cotθ 1− sinθ + sin 2θ − cos2 θ

! ! ! ! !

100. จงพิสูจนเอกลักษณ 1 − sinθ + cosθ = 2 secθ cosθ 1 − sinθ วิธที าํ ! ! ! ! ! !

101. จงพิสูจนเอกลักษณ secθ – tanθ = cosθ 1 + sinθ วิธที าํ ! !

!

*#!!

!

MATH Online III

http://www.pec9.com

บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ

102. จงพิสูจนเอกลักษณ (secθ – 1) (secθ + 1) = tan2θ วิธที าํ ! ! ! ! ! !

103. จงพิสูจนเอกลักษณ (secθ + tanθ) (secθ – tanθ) = 1 วิธที าํ ! ! ! ! ! !

104. จงพิสูจนเอกลักษณ sec2θ – csc2θ = tan2θ – cot2θ วิธที าํ ! ! ! ! ! !

105. จงพิสูจนเอกลักษณ sin2θ (1+ cot2θ) = 1 วิธที าํ ! ! ! ! !

106. จงพิสูจนเอกลักษณ 1 + tan2(–θ) = sec2θ วิธที าํ ! ! ! ! ! !

107. จงพิสูจนเอกลักษณ 1 + tanθ = cotθ + 1 1 − tanθ cotθ − 1 วิธที าํ ! ! ! ! ! !

108. จงพิสูจนเอกลักษณ 1 + sinθ = cscθ +1 1 − sinθ cscθ −1 วิธที าํ ! !

!

*$!!

!

MATH Online III

109. จงพิสูจนเอกลักษณ วิธที าํ !

http://www.pec9.com

บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ

sinθ 1 = sinθ −cosθ 1 − cotθ

! ! ! ! !

110. จงพิสูจนเอกลักษณ 1 − sinθ = (secθ – tan θ)2 1 + sinθ วิธที าํ ! ! ! ! ! ! !

111. จงพิสูจนเอกลักษณ cos (45o – θ) – sin (45o – θ) วิธที าํ !

=0

! ! ! ! ! ! !

α 112. จงพิสูจนเอกลักษณ tan (45o – α) = 11 +− tan tanα วิธที าํ ! ! ! ! ! !

113. จงพิสูจนเอกลักษณ cot 2θ + tan θ = csc 2θ วิธที าํ ! ! ! ! ! ! !

114. จงพิสูจนเอกลักษณ วิธที าํ !

sin2θ = tanθ 1 + cos2θ

! ! ! ! !

!

+&!!

!

MATH Online III

http://www.pec9.com

บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ

115. จงพิสูจนเอกลักษณ cot α – tan α = 2 cot 2α วิธที าํ ! ! ! ! ! !

116. จงพิสูจนเอกลักษณ (sin θ2 – cos θ2 )2 = 1 – sin θ วิธที าํ ! ! ! ! ! !

117. จงพิสูจนเอกลักษณ วิธที าํ !

sin 2θ + sin θ = tanα cos 2θ + cosθ + 1

! ! ! ! !

118. จงพิสูจนเอกลักษณ cos 3θ = 4cos3θ – 3cosθ วิธที าํ ! ! ! ! ! !

119. จงพิสูจนเอกลักษณ cos 4θ = 8cos4θ – 8cos2θ + 1 วิธที าํ ! ! ! ! ! !

120. ถา A + B + C = 180o จงพิสูจนวา 1) sin A = sin (B + C) 2) cos A = – cos(B + C) วิธที าํ ! ! ! ! ! !

!

+'!!

!

MATH Online III

http://www.pec9.com

บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ

121. จงพิสูจนเอกลักษณ sin 8θ + sin 2θ = tan 5θ cos 8θ + cos 2θ วิธที าํ ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

122. จงพิสูจนเอกลักษณ cos2A + cos2 (60o+A) + cos2 (60 o – A) = 23 วิธที าํ ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

123. จงพิสูจนเอกลักษณ cos20o cos 40 o cos80 o = 18 วิธที าํ ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!

+(!!

!

MATH Online III

http://www.pec9.com

บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ

!!!ตอน 8 สมการเอกลักษณตรีโกณมิติ! วิธีการแกสมการตรีโกณมิติเบื้องตน! ขัน้ 1 หาควอดรันต ขัน้ 2 หาคําตอบจากมุมพื้นฐาน ขัน้ 3 หาคําตอบจริงตามควอดรันต ! ตัวอยางที่ 11 จงแกสมการ sinθ = – 23 วิธที าํ ขัน้ 1 เนือ่ งจากคา sin θ เปนลบ แสดงวาอยูใ นควอดรันตท่ี 3 และ 4 ขัน้ 2 คิดเฉพาะ sin θ = 23 θ = 60o จะได 60o ขัน้ 3 มุมกลุมเดียวกับ ในควอดรันต 3 คือ 240o ในควอดรันต 4 คือ 300o เซตคําตอบ คือ { 240o , 300o } !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

ตัวอยางที่ 12 จงแกสมการ tan θ = 1 วิธที าํ ขัน้ 1 เนือ่ งจากคา tan θ เปน็ บวก แสดงวาอยูใ นควอดรันตท่ี 1 และ 3 θ = 45o ขัน้ 2 คิดเฉพาะ tan θ = 1 จะได ขัน้ 3 มุมกลุมเดียวกับ 45o ในควอดรันต 1 คือ 45o ในควอดรันต 3 คือ 225o เซตคําตอบ คือ { 45o , 225o } 124. ถา 0o ≤ θ ≤ 360o แลว จงแกสมการตอไปนี้ 2. cos θ = – 23 1) sin θ = 12 วิธที าํ !

( 1. 30o, 150o

2. 150o, 210o)

! ! ! ! !

!

+"!!

!

MATH Online III

http://www.pec9.com

125. ถา 0o ≤ θ ≤ 360o แลว จงแกสมการตอไปนี้ 2. tan θ = – 3 1) cos θ = 22 วิธที าํ !

บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ

( 1. 45o, 315o

2. 120o, 300o)

! ! ! ! !

126. ถา 0o ≤ θ ≤ 360o แลว จงแกสมการตอไปนี้ 2) sin θ = 23 1) sin θ = 12 5) sin θ = – 23 4) sin θ = – 12 8) cos θ = 23 7) cos θ = 12 11) cos θ = – 23 10) cos θ = – 12 13) tan θ = 1 14) tan θ = 1 3 16) tan θ = – 1 17) tan θ = –1 3 วิธที าํ ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

!

3) sin θ = 22 6) sin θ = – 22 9) cos θ = 22 12) cos θ = – 22 15) tan θ =

3

18) tan θ = – 3

ตอบ 1. 30o,150o

2. 60o,120o

3. 45o,135o

4. 210o,330o

5. 240o,300o

6. 225o,315o

7. 60o,300o

8. 30o,330o

9. 45o,315o

10. 120o,240o

11. 150o,210o

12. 135o,225o

13. 30o,210o

14. 45o,225o

15. 60o,240o

16. 150o,330o

17. 135o,315o

18. 120o,300o +%!!

!

http://www.pec9.com

MATH Online III

127. ถา 0o ≤ θ ≤ 360o แลว จงแกสมการตอไปนี้ 1) sin θ = 1 2. sin θ = –1 4) cos θ = 1 5. cos θ = –1 วิธที าํ ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

ตอบ 1. 90o

2. 270o

3. 0o , 180o

4. 0o

บทที่ 8 ฟงกชั่นตรีโกณ

3. sin θ = 0 6. cos θ = 0

5. 180o

128. ถา 0o ≤ θ ≤ 360o แลว จงแกสมการตอไปนี้ 1) sec θ = –2 2. cot θ = 1 3 วิธที าํ ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

ตอบ 1. 120o, 240o

2. 60o, 240o

6. 90o , 270o

3. cosec θ = – 2 3

3. 240o, 300o

129. ถา 0o ≤ θ ≤ 360o แลว จงแกสมการ 2 sin θ – 1 = 0 วิธที าํ ! ! ! ! ! ! !

130. ถา 0o ≤ θ ≤ 360o แลว จงแกสมการ 3 tan2 θ – 1 = 0 วิธที าํ !

(30o , 150 o)

(30o , 150 o, 210o, 330o )

! ! ! ! ! !

!

+)!!

!

MATH Online III

http://www.pec9.com

131. ถา 0≤ x