TRIGONOMETRIA. 1. DEFINICIONES: Consideremos en el triángulo ABC, rectángulo en C, las razones: C

B

A

BC AB

AC BC , AB AC

que dependen del ángulo α, se llaman razones trigonométricas de dicho ángulo. La primera se llama seno de α, y se designa por

BC = sin α AB

La segunda, se llama coseno de α, y se designa por

AC = cosα AB

La tercera se llama tangente de α y se designa por

BC = tan α AC

De igual modo, se definen las cofunciones trigonométricas de las precedentes, siendo funciones tales que multiplicadas por las anteriores dan 1. La primera se llama cosecante de α, y se designa por

AB = cscα BC

La segunda, se llama secante de α, y se designa por

AB = secα AC

La tercera se llama cotangente de α, y se designa por

AC = cot α BC

Sí representamos los catetos del triángulo por a y b y la hipotenusa por c, se tiene:

a c b cot α = a

sin α =

b c c secα = b

cosα =

tanα =

a b

cscα =

c a

Observación: Las razones trigonométricas de un ángulo α, no dependen de la longitud del lado AB = c. En efecto, si consideramos otro triángulo A'B'C' semejante a ABC, se tiene que

C

A B

A' B'

B 'C ' = A' B ' A 'C ' = A' B ' B 'C ' = A 'C '

BC = sin α AB AC = cosα AB BC = tan α AC

Por lo tanto, las funciones trigonométricas de un ángulo, sólo dependen de dicho ángulo.

LINEAS TRIGONOMETRICAS. Sabemos que a cada ángulo le corresponde un arco de círculo, descrito con un radio arbitrario, haciendo centro en su vértice y recíprocamente. Basta entonces, estudiar las propiedades de los arcos para conocer la de los ángulos. CIRCULO ORIENTADO: Un móvil puede desplazarse sobre una circunferencia en dos sentidos opuestos: uno de ellos se llama sentido positivo y el otro sentido negativo. Se dice que un círculo es orientado cuando se ha elegido el sentido positivo sobre su circunferencia. En trigonometría el sentido positivo se considera como el descrito por el sentido contrario a los punteros del reloj. El sentido negativo es entonces el descrito por los punteros del reloj. ARCO: Se llama arco al camino que recorre un móvil sobre la circunferencia en un sentido determinado. El punto de partida del móvil se llama origen del arco y el punto de llegada se llama extremo del arco. SENTIDO DEL ARCO: Un arco se llama positivo o negativo según sea recorrido en el sentido positivo o en el sentido negativo. LONGITUD DEL ARCO: es el número que expresa su razón a otro arco de la misma circunferencia escogido como unidad.

En la práctica, se toma la 360 ava parte de la circunferencia o grado. En trigonometría es a menudo útil tomar como unidad ya no una parte de la circunferencia sino el arco cuya longitud es igual al radio del círculo considerado. 2

Es fácil expresar este arco en grados, minutos y segundos: la circunferencia de radio R tiene por longitud 2πR y equivale a 360°, luego el arco de longitud R, equivale a :

360° R 360° = = 57°17'44,8'' 2π R 2π

CIRCULO TRIGONOMETRICO: En Trigonometría siempre se toma como unidad de longitud el radio del círculo que se considera. Este círculo, cuyo radio es igual a 1, se llama círculo trigonométrico. La circunferencia del círculo trigonométrico, es decir, el arco de 360°, tiene por longitud 2π; la semicircunferencia o arco de 180°, tiene por longitud π; el arco de 90 °, tiene por longitud π/2. VARIACION DE LOS ARCOS: Se ha definido la longitud, el sentido y la medida de un arco. Se puede suponer que el punto móvil que describe el arco, no solo recorre una parte de la circunferencia, sino que da una vuelta completa y sigue girando, y aún puede dar en cualquier sentido un número indefinido de vueltas. Luego el arco es una variable que puede tomar todos los valores desde -∞, a +∞. Se tomará sobre el círculo trigonométrico un punto fijo arbitrario A, a partir del cual se contarán todos los arcos y que se llama Origen de los arcos; en seguida se trazan los diámetros rectangulares AA', BB' como se indica en la figura.

B M

A' A'

A

B' Se supone que si partimos del punto A y nos movemos sobre la circunferencia en el sentido positivo ABA'; el arco que describe varía de una manera continua. Este arco es nulo cuando estamos ubicados en A; después crece y toma los valores particulares: π/2, π, 3π/2, 2π cuando nos encontramos en los puntos B, A', B' y vuelve al punto A. Podemos imaginarnos entonces que podemos dar no solo una sino que un número indefinido de vueltas. De igual modo podemos hacer el análisis moviéndonos en el sentido negativo, en este caso se toman los valores: -π/2, -π, -3π/2, -2π. Cuando volvemos al punto A después de haber recorrido un número entero de circunferencias, es decir una arco que tiene por longitud 2kπ, donde k representa un número entero cualquiera positivo o negativo. VARIACION DE LOS ANGULOS. Mientras nos movemos indefinidamente sobre la circunferencia, el radio móvil OM gira alrededor del centro O y genera un ángulo variable AOM que tiene la misma medida y signo que el arco AM. En Trigonometría, un ángulo, no será necesariamente menor que dos rectos: podrá tomar, como el arco, todos los valores desde -∞ hasta ∞. 3

ARCOS COMPLEMENTARIOS. Se llaman arcos complementarios, dos arcos cuya suma algebraica es igual a 90° o π /2. Sí un arco tiene por medida α, su complemento tiene por medida 90°-α ARCOS SUPLEMENTARIOS. Se llaman arcos suplementarios dos arcos cuya suma es igual a π. Sí un arco tiene por medida α, su suplemento tiene por medida π-α ARCOS QUE TIENEN LOS MISMOS EXTREMOS. Dado el origen A de los arcos, a un valor dado de un arco, corresponde un extremo determinado M; pero si recíprocamente nos damos el origen A y el extremo M, no corresponde a estos dos puntos un extremo determinado. En efecto hemos podido partir de A y llegar a M recorriendo un arco positivo menor que una circunferencia, pero también hemos podido dar un número cualquiera de vueltas y recorrer el mismo arco. Siendo α, la medida de uno de los arcos cuyo extremo es M, los arcos: α+2π, α+4π, α+6π, o en general α=2kπ + α, con k∈ Z

FUNCIONES CIRCULARES O RAZONES TRIGONOMETRICAS. Razones trigonométricas: Dado un ángulo AOM, se describe desde su vértice como centro una circunferencia sobre la cual dicho ángulo, intercepte un arco AM.

S T M

Q

A'

T'

P B' A

B' Sea A el origen del arco AM y M su extremo; por último tracemos los diámetros rectangulares AA' y BB'. Se llama seno de una arco la relación de la perpendicular bajada del extremo del arco sobre el diámetro que pasa por el origen con el radio del mismo arco. Así el seno del arco AM ó el ángulo AOM es la relación

MP OA

Se llama tangente de un arco la relación de la perpendicular levantada en el extremo del radio trazado por el origen y comprendida entre este origen y la 4

prolongación del radio que pasa por el extremo de este arco, con el radio de este arco. Así, la tangente del arco AM ó del ángulo AOM es la relación

AT OA

Se llama secante de un arco la relación de la parte de la recta OA, comprendida entre el centro O y la tangente trazada en la extremidad del arco, con el radio de este arco. Así la secante del arco AM ó del ángulo AOM es la razón

OT ' . OA

Se puede observar que OT=OT'. Se llama coseno, cotangente, cosecante de un arco, el seno, la tangente y la secante de su complemento. Así el coseno del arco AM es la relación

MQ , siendo MQ la perpendicular bajada OB

desde el extremo del arco sobre el diámetro que pasa por el origen de los complementos. La cotangente del arco AM, es la relación

BS , siendo BS la perpendicular OB

levantada en el extremo del radio trazado por el origen de los complementos y comprendida entre este origen y la prolongación del radio que pasa por el extremo del arco. La cosecante del arco AM es la razón

OS ' , siendo MS' la tangente trazada en M. OB

Observación: Fácilmente, podemos notar que, las nuevas definiciones del seno, coseno y tangente son idénticas a las dadas anteriormente.

LINEAS TRIGONOMETRICAS Se conviene finalmente en tomar como longitud el radio OA del círculo considerado. Desde luego, las seis relaciones trigonométricas del arco AM, o del ángulo AOM se reducen a sus numeradores. Estos numeradores, son las medidas de segmentos de rectas que toman el nombre de líneas trigonométricas. Las definiciones que anteceden pueden entonces reemplazarse por las siguientes: 1) El seno de un arco, es el segmento de la perpendicular bajada del extremo del arco sobre el diámetro que pasa pro el origen. 2) la Tangente de un arco es el segmento de la tangente, trazada al arco en su origen, comprendido entre este origen y la prolongación del radio que pasa por el extremo del arco. 3) Secante de un arco, es el segmento del diámetro del origen comprendido entre el centro del arco y el extremo de la tangente trazada en el extremo del arco. 4) Coseno de un arco es la distancia del centro al pié del seno. 5) Cotangente es el segmento de la tangente trazada al círculo en el origen de los complementos, comprendido entre este origen y la prolongación del radio que pasa por el extremo del arco. 6) Cosecante es el segmento del diámetro de los complementos comprendido entre el centro O y la tangente trazada en el extremo del arco. Observación: Es conveniente tener presente que, el seno, el coseno, etc., son números abstractos y no segmentos. TEOREMA 1: Las razones trigonométricas de un ángulo son independientes del radio del círculo considerado.

5

M' M

O

P

A

P'

A'

Dem: Sea un ángulo AOM medido por el arco AM=α, descrito desde el vértice O como centro, con el radio OA=1, y por todo otro arco A'M' descrito desde el mismo centro con un radio cualquiera OA'=R. Bajamos sobre OA las perpendiculares MP, M'P'; tenemos que: ∆OPM∼∆OP'M', por lo tanto

MP OP OM = = M 'P' O'P' O'M ' es decir

sin α cosα 1 = = M ' P ' OP ' R

de donde

sin α =

M 'P' OP ' , y cosα = R R

Luego, cualquiera que sea el radio R, sinα es igual a la razón igual a

M 'P' y cos α es R

OP ' R

Para el resto de las razones se procede de igual modo. SIGNOS DE LAS LINEAS TRIGONOMÉTRICAS Siendo toda línea trigonométrica un segmento de recta perpendicular a uno de los ejes rectangulares OA, OB y teniendo su origen sobre este eje, se le atribuye el signo + o el signo -, conforme a lo siguiente: Todo segmento perpendicular al diámetro BB' es positivo a la derecha de este diámetro y negativo a la izquierda. Todo segmento perpendicular al diámetro AA' es positivo arriba de este diámetro y negativo abajo. Así, el seno de un arco es positivo cuando este arco termina en el 1º o en el 2º cuadrante y negativo cuando termina en el tercer o cuarto cuadrante. La tangente es positiva en el primer y tercer cuadrante y negativa en el segundo y cuarto. El coseno es positivo en el primer y cuarto cuadrante y negativo en el segundo y tercero. La secante de un arco es siempre del mismo signo que su coseno; la cotangente es del mismo signo que su tangente; y la cosecante del mismo signo que su seno.

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RELACIONES ENTRE LAS LINEAS TRIGONOMETRICAS DE CIERTOS ARCOS. Inscribamos el círculo trigonométrico en un rectángulo M,M',M'',M''' cuyos lados sean paralelos a los diámetros rectangulares AA',BB'. Este rectángulo se llama rectángulo trigonométrico. Al construir las líneas trigonométricas de los arcos que terminan en cada uno de los cuatro vértices M,M',M'',M'' se concluye que las líneas del mismo nombre son iguales en valor absoluto. Entre las numerosas consecuencias que se desprenden de esta observación, las siguientes son particularmente útiles. ARCOS QUE DIFIEREN DE UN NUMERO ENTERO DE CIRCUNFERENCIAS.

Dos arcos del mismo origen, que difieren de un número entero de circunferencias, acaban en el mismo punto, luego tienen las mismas líneas trigonométricas. Cualquiera que sea el arco α y el número entero k, se puede escribir: sin(2kπ+α) = sin α cos(2kπ+α) = cosα tan(2kπ+α) = tanα cot(2kπ+α) = cotα sec(2kπ+α) = secα csc(2kπ+α) = cscα ARCOS SUPLEMENTARIOS Dos arcos suplementarios AM y AM', tienen sus extremos simétricos con respecto al diámetro BB'; luego, sus líneas trigonométricas son iguales y de signos contrarios a excepción del seno Mp = M'P' y de las cosecantes OS=OS' que son iguales y del mismo signo, por lo que se tiene: sin(π-α) = sinα csc(π-α) = cscα cos(π-α) = -cosα sec(π-α) = -secα tan(π-α) = -tanα cot(π-α) = -cotα Por lo tanto, si se reemplaza un arco por su suplemento las líneas trigonométricas conservan su valor absoluto y cambian de signo, a excepción del seno y la cosecante que conservan su signo ARCOS QUE DIFIEREN EN UNA SEMICIRCUNFERENCIA. Dos arcos AM y AM' que difieren en una semicircunferencia tienen sus extremos diametralmente opuestas; por lo tanto sus líneas trigonométricas son iguales y de signos contrarios a excepción de la tangente AT y la cotangente BS que son iguales y del mismo signo, luego, se tiene: sin(π+α) = -sinα csc(π+α) = -cscα cos(π+α) = -cosα sec(π+α) = -secα tan(π+α) = tanα cot(π+α) = cotα. Luego, si se agrega a un arco, o si resta de un arco una semicircunferencia, las líneas trigonométricas conservan su valor absoluto y cambian de signo, a excepción de la tangente y la cotangente. ARCOS IGUALES Y DE SIGNOS CONTRARIOS. Dos arcos iguales y de signos contrarios AM y AM', tienen sus extremos M y M' simétricos con respecto al diámetro AA'; sus líneas trigonométricas, serán iguales 7

en valor absoluto y de signo contrarios, a excepción del coseno OP y de la secante OT=OT' que son iguales y del mismo signo. Así podemos escribir: sin(-α) = -sinα csc(-α) = -cscα cos(-α) = +cosα sec(-α) = +secα tan(-α) = -tanα cot(-α) = -cotα. Luego, si se cambia el signo de un arco, las líneas trigonométricas conservan su valor absoluto y cambian de signo, a excepción del coseno y la secante. REDUCCION DE UN ARCO AL PRIMER CUADRANTE Reducir un arco al primer cuadrante, es encontrar un arco comprendido entre 0° y 90° cuyas líneas trigonométricas sean iguales en valor absoluto a las del arco dado. Para reducir al primer cuadrante un arco dado α, sí este arco es mayor que 360°, se divide primeramente por 360 lo que da un cuociente entero y un resto R menor que 360°. El cuociente entero, indica cuantas circunferencias enteras contiene el arco dado, el resto informa en que cuadrante termina este arco, y por lo tanto cuales son los signos que tienen estas líenas trigonométricas. Sí el resto es menor que 90°, este es el arco buscado cuyas líneas trigonométricas son iguales en valor absoluto a las de α. Sí α es un arco del segundo cuadrante se resta 180°, la diferencia π-α, es el arco pedido. Sí α es un arco del tercer cuadrante se le resta 180°, el exceso α-π, es el arco pedido. Sí α es un arco del cuarto cuadrante se le resta 360°, la diferencia 2π-α, es el arco pedido. Ejemplos: Reducir al primer cuadrante: a) 1860° 1860:360=5 60 Luego la línea trigonométrica de 1860° reducida al primer cuadrante es igual a 60°. b) 1575° 1575:360=4 135 y 180°-135°=45°. Luego la línea trigonométrica de 1875° reducida al primer cuadrante es igual a 45°. c) 930° 930:360=2 210 y 210° - 360° = 30° Luego la línea trigonométrica de 930° reducida al primer cuadrante es igual a 30°. d) 705° 705:360=1 345 y 360°-345°=15° Luego la línea trigonométrica de 705° reducida al primer cuadrante es igual a 15°.

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FORMULAS TRIGONOMÉTRICAS I. RELACIONES ENTRE LAS LINEAS TRIGONOMETRICAS DE UN MISMO ARCO.

B

S

T

M

Q

P A'

A

O

M' M''

Fórmulas fundamentales: Entre las seis líneas trigonométricas de un mismo arco, existen 5 relaciones distintas que son las fórmulas fundamentales de la trigonometría. Sea un arco AM=α. Construyamos sus seis líneas trigonométricas. El triángulo rectángulo OMP, da: MP² + OP² = OM² ó sin²α + cos²α = 1 Los triángulos semejantes OAT y OPM, dan:

AT OA OT = = PM OP OM ó

tan α 1 secα = = sin α cosα 1

de donde obtenemos: tan α =

sin α cosα

Los triángulos semejantes OBS y OPM nos permiten escribir:

BS OB OS = = OP PM OM ó

cot α 1 cscα = = cosα sin α 1

De les relaciones precedentes podemos deducir que: a) secαcosα = 1 b) cscαsinα = 1 de donde,

9

1 , cosα 1 cscα = sinα

secα =

y

FORMULAS QUE DE AQUI SE DEDUCEN

Combinando entre sí las fórmulas elementales se puede establecer un gran número de otras relaciones entre las seis líneas trigonométricas de un mismo arco. Así obtenemos: a) tanαcotα = 1 ó cot α =

o también

1 tan α tan α =

1 cot α

b) Dividiendo los dos miembros de la identidad de Pitágoras por i) cos²α, obtenemos: 1 + tan²α = sec²α ii) sin²α, obtenemos: 1 + cot²α = csc²α

Explicación de las líneas trigonométricas de un arco en función de una de ellas. Por medio de las cinco fórmulas fundamentales, se puede calcular todas las líneas trigonométricas de un arco en función de una de ellas. 1) Calcular cosα y tanα en función de sinα La identidad de Pitágoras nos da inmediatamente:

cosα = ± 1 − sin 2 α sin α y ya que tan α = , tenemos: cosα tan α =

sin α ± 1 − sin 2 α

Fácilmente podemos explicar el signo ±. El seno, dado determina dos arcos que terminan en dos puntos M y M' simétricos con respecto al diámetro BB'. Además los arcos terminados en M y en M' tienen cosenos iguales y de signos contrarios, tangentes iguales y de signos contrarios. Luego, dado el sinα, el arco α puede terminar en M o en M'; de manera que el valor de cosα y el de tanα están determinados en valor absoluto, pero no en signo. Ejercicios: 1) Calcular sinα y tanα en función de cosα 2) Calcular sinα y cosα en función de tanα. Ejercicios: Demostrar las siguientes identidades.

1) tan α sin α + cosα = secα 10

solución

sin α sin α + cosα = cosα sin 2 α + cosα = cosα sin 2 α + cos 2 α = cosα 1 = cosα secα = 2)sin 3 α + cos3 α = ( sin α + cosα )(1 − sin α cosα )

demostración: ejercicio

3) ( tan α − sin α ) + (1 − cosα ) = ( sec 2 α − 1) 2

2

2

1 + tan 2 α ⎛ 1 − tan 2 α ⎞ 4) =⎜ ⎟ 1 − cot 2 α ⎝ 1 − cot 2 α ⎠ 5)csc 4 α − 1 = 2cot 2 α + cot 4 α

PROYECCION DE UN CONTORNO POLIGONAL EXPRESADA POR MEDIO DE LAS FUNCIONES CIRCULARES. Teorema: La medida de la proyección de un segmento es igual a la longitud del segmento, multiplicada por el coseno del ángulo que forman las direcciones positivas del eje y del segmento.

B C

A

A

Z

C

D

D

Z

B

A'

B'

B'

A'

X

Dem: Sea A'B' la proyección de AB sobre X'X, por el origen del segmento, tracemos la semirrecta AZ // X'X. Sea C la intersección de AZ con la proyectante BB'. Desde el origen A como centro, tracemos la circunferencia que tiene a AB como radio. Esta circunferencia corta a la semirrecta AZ en un punto D que se toma como origen de los arcos. Cuatro casos pueden presentarse según la posición ocupada por el punto B, en el 1º, 2º, 3º ó 4º cuadrante; pero en todos los casos el ángulo ZAB tiene la misma medida que el arco DB y según la definición del coseno se tiene siempre en magnitud y en signo:

11

cos ( ∠ZAB ) =

AC , de donde AB

AC = ABcos( 0 de donde a < b+c s-b > 0 de donde b < a+c s-c > 0 de donde c< a+b. d) Resolver un triángulo, dados los lados a y b y el ángulo α, opuesto a uno de ellos. Las ecuaciones: a = b = c sinα sinβ sinγ α + β + γ = 180º dan sucesivamente: sinβ = bsinα (1) a γ = 180º - (α+ β) (2) y finalmente c = asinγ (3) sinα y la superficie se calcula por S = absinγ 2 Discusión: La fórmula (1), cuyo segundo miembro es positivo, exige que bsinα ≤ 1 a ó a ≥ bsinα Sí a < bsinα, el problema no tiene solución. Sí a=bsinα, las fórmulas (1), (2) y (3) , dan sucesivamente β = 90º, γ = 90º - α y c=bcosα esta solución solo es aceptable cuando el ángulo α es agudo. En esta hipótesis existe un solo triángulo que satisface el problema. Este triángulo es rectángulo en β. Sí α > bsinα, la fórmula (1) dá para el ángulo β dos valores suplementarios comprendidos entre 0º y 180º: un ángulo β' agudo y un ángulo β'' obtuso. Pero estos ángulos solo son aceptables cuando los valores correspondientes del ángulo γ y del lado c son ambos positivos. Por otra parte, reemplazando β por el valor β' después por el valor β'', las fórmulas (2) y (3) dan sucesivamente. γ'=180º-(α+β') y c' = asinγ' sinα después γ'' = 180º - (α+β'') y c'' = asinγ'' sinα Para que sirva la primera solución, debe tenerse que α+β' < 180º, ya que esta condición trae consigo: sinγ' > 0 y c' > 0 del mismo modo la segunda relación conviene si se tiene α+ β'' sinβ' ó todavía sinα > bsinα a o finalmente a > b. Por lo tanto, cuando el ángulo α es obtuso, el problema no puede tener más que una solución, y esta solución no existe sino cuando el lado opuesto a α es mayor que el lado adyacente dado. El siguiente cuadro resume esta discusión, cuyos resultados todos están conformes a los encontrados en la Geometría. a < bsinα a=bsinα

a > bsinα

0 solución 1 solución

⎧ α < 90º ⎨ ⎩ α ≥ 90º

α < 90º ⎧ ⎨ ⎩ α > 90º

0 solución

⎧ab

2 soluciones 1 solución 0 solución 1 solución

Este caso de resolución se llama caso dudoso porque puede tener 0,1 ó 2 soluciones APLICACIONES A PROBLEMAS DE LEVANTAMIENTO DE PLANOS. PROBLEMA Nº 1: Determinar la distancia de un punto accesible A a otro punto inaccesible C. Solución: Se elige arbitrariamente y se mide sobre el terreno una base de operación AB. Consideremos el triángulo ABC. Sean α =