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M´ odulo 6
Trigonometr´ıa Gu´ıa de Ejercicios
´Indice Unidad I.
Razones trigonom´etricas en el tri´angulo rect´angulo.
Ejercicios Resueltos ............................................................................................ p´ag. 02 Ejercicios Propuestos .......................................................................................... p´ag. 07
Unidad II.
Identidades trigonom´etricas fundamentales.
Ejercicios Resueltos ............................................................................................ p´ag. 09 Ejercicios Propuestos .......................................................................................... p´ag. 13
Unidad III.
Funciones trigonom´etricas para ´angulos cualesquiera.
Ejercicios Resueltos ............................................................................................ p´ag. 15 Ejercicios Propuestos .......................................................................................... p´ag. 18
1
Unidad I.
Razones trigonom´ etricas en el tri´ angulo rect´ angulo.
Ejercicios Resueltos 1. Considere un ∆ABC rect´angulo en C, con catetos AC = 8 cm, BC = 6 cm e hipotenusa AB = 10 cm. Calcule respecto de los ´angulos agudos α y β las razones trigonom´etricas fundamentales. Soluci´ on sen α =
6 = 0, 6, 10
sen β =
8 = 0, 8 10
cos α =
cos β =
8 = 0, 8, 10
6 = 0, 6 10
tan α =
tan β =
6 = 0, 75 8
8 = 1, 33... 6
2. Encontrar los valores de las funciones trigonom´etricas de los ´angulos agudos del tri´angulo rect´angulo ABC, dados b = 24 y c = 25. Soluci´ on Puesto que Entonces
a2 = c2 − b2 = 252 − 242 = 49, a = 7.
sen α =
7 , 25 25 , 7
cosec α =
sen β =
24 25
cosec β =
25 24
cos α =
24 , 25
sec α =
cos β =
7 25
sec β =
2
25 , 24
25 7
7 24
tan α =
cot α =
tan β =
cot β =
24 7
24 7 7 24
3. Considere un tri´angulo ABC rect´angulo en C, donde tan α = 2/5. Determine el valor de sec α, cos α y cosec α
Soluci´ on Como tan α = 2/5, esto significa que en ∆ABC se tiene: a = 2u,
b = 5u,
c=
q
(2u)2 + (5u)2 =
√
29u
Por lo tanto, √ sec α =
29 , 5
√
5 cos α = √ , 29
29 2
cosec α =
4. Encontrar los valores de las funciones trigonom´etricas del ´angulo agudo β, dada tan β = 1, 5. Soluci´ on
Observe que 1,√5 = 3/2, con utilizar un tri´angulo donde b = 3, a = 2. √ √ lo que podemos Entonces c = a2 + b2 = 22 + 35 = 13 3 sen β = √ 13
2 cos β = √ 13
√ cosec β =
13 3
tan β =
√ sec β =
3
13 2
cot β =
3 2 2 3
5. Si α es agudo y tan α = x = x/1, determine los valores de las otras funciones trigonom´etricas. Soluci´ on
Construya un tri´angulo rect´angulo ABC tal que a = x y b = 1. Entonces c = sen α = √
√ cosec α =
x , +1
cos α = √
x2 + 1 , x
sec α =
x2
1 x2
√
+1
,
x2 + 1,
√
x2 + 1
tan α = x
cot α =
1 x
6. Encontrar los valores de las funciones trigonom´etricas del ´angulo 45o . Soluci´ on
En todo tri´angulo rect´a√ngulo is´osceles ABC, α = β =45o y a = b. Sea a = b = 1, √ entonces c = 1 + 1 = 2. 1 sen 45o = √ 2 cosec 45o =
√
1 cos 45o = √ 2 2
sec 45o =
4
√
2
tan 45o = 1
cot 45o = 1
7. Calcular los valores de x e y con aproximaci´on al entero m´as cercano.
Soluci´ on Puesto que tan 40o =
x , ⇒ x = 150 · tan 40o = 150 · 0, 8391 = 126 150
cos 40o =
150 150 150 ,⇒ y = = = 196 o y cos 40 0, 766
8. Calcular los valores de x e y con aproximaci´on al entero m´as cercano.
Soluci´ on Puesto que tan 50o =
x , ⇒ x = 150 · tan 50o = 150 · 1, 1918 = 179 150
sen 40o =
150 150 150 ,⇒ y = = = 233 o y sen 40 0, 6428
5
9. ¿Cu´al es la longitud de la sombra ptoyectada por un edificio de 150 m de altura cuando el sol se ha elevado 20o sobre el horizonte? Soluci´ on En la figura α = 20o y CB = 150. Entonces cot α = AC y AC = CB. cot α = 150 · cot 20o = 150 · 2, 7 = 405m
10. Si tan α =
4 , 15
hallar el valor de 5 · sen α + 7 · cos α 6 · cos α − 3 · sen α
Soluci´ on
Sea el tri´angulo que indica la figura, entonces sen α = √
4 , 241
15 cos α = √ 241
reemplazando en la expresi´on: 5· 6·
√4 241 √15 241
+7· −3·
√15 241 √4 241
6
=
20+105 √ 241 90−12 √ 241
=
125 78
Ejercicios Propuestos 1. Encontrar los valores de las funciones trigonom´etricas de los ´angulos agudos del tri´angulo rect´angulo ABC, dados √ a)a = 3, b = 1, b)a = 2, c = 5, c)b = 7, c = 4 2. En un ∆ABC rect´angulo en C, donde cos α = 56 , calcular: a) sen α,
b) tan α,
c) cosec α,
d) cot α,
e) sec α
3. Calcular sen α, cos α y tan α en el siguiente tri´angulo
4. Hallar β aproximando al grado m´as cercano: a)si b = 67 y c = 100 b)si a = 14 y c = 50 c)si a = 22 y b =√55 d)si a = 3 y b = 3 5. Dado el siguiente tri´angulo, calcular x e y aproximando al entero m´as cercano.
7
6. Un ´arbol quebrado por el viento, forma un tri´angulo rect´angulo con el suelo. ¿C´ ual era la altura del ´rbol si la parte que ha ca´ıdo haci el suelo forma con este un ´angulo de 50o , y si la parte del tronco que ha quedado en pie tiene una altura de 20 m? 7. La distancia entre 2 edificios de tejado plano es de 60 m. Desde la azotea del menor de los edificios , cuya altura es de 40 m se observa la azotea del otro con ´angulo de elevaci´on de 40o . ¿Cu´al es la altura del edificio m´as alto?. 8. Encontrar el per´ımetro de un tri´angulo is´osceles cuya base mide 40 cm si los ´angulos de la base miden 70o . 9. Si dos ´angulos de la base de un tri´angulo is´osceles miden 28o y los lados iguales 45 cm, hallar, aproximando a los cent´ımetros m´as cercanos: a) la altura correspondiente a la base b) la base 10. En un ∆ABC rect´angulo en C, donde sec α =
13 , 5
calcular el valor de
2 sen α − 3 cos α 4 cosec α − 9 · cot α
8
Unidad II.
Identidades trigonom´ etricas fundamentales.
Ejercicios Resueltos 1. Demostrar las relaciones pitag´oricas: a) sen2 θ + cos2 θ = 1 b) 1 + tan2 θ = sec2 θ c) 1 + cot2 θ = cosec2 θ Soluci´ on Para todo ´angulo θ, sen θ = y/r, cos θ = x/r y cot θ = y/x, donde x2 + y 2 = r2 a) (x/r)2 + (y/r)2 = 1 ⇒ sen2 θ + cos2 θ = 1 b) 1 + (y/x)2 = (r/x)2 ⇒ 1 + tan2 θ = sec2 θ c) (x/y)2 + 1 = (r/y)2 ⇒ 1 + cot2 θ = cosec2 θ
2. Demostrar que: (1 − sen2 α)(1 + tan2 α) = 1
Soluci´ on Se tiene: (1 − sen2 α)(1 + tan2 α) = cosec2 α · sec2 α = (cos α sec α)2 = 12 = 1
3. Demostrar que: 1 − 2 cos2 α = tan α − cot α sen α cos α
Soluci´ on Se tiene: 1 − 2 cos2 α sen2 α − cos2 α sen α cos α = = − = tan α − cot α sen α cos α sen α cos α cos α sen α
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4. Demostrar que: 1 + 2 sec2 α · tan2 α − sec4 α − tan4 α = 0
Soluci´ on Se tiene: 0 = 1 − 1 = 1 − (sec2 α − tan2 α)2 = 1 + 2 sec2 α · tan2 α − sec4 α − tan4 α
5. Demostrar: tan(α + β) =
tan α + tan β 1 − tan α tan β
Soluci´ on Se tiene: sen(α + β) cos(α + β) sen α cos β + cos α sen β = cos α cos β − sen α sen β sen α cos β α sen β + cos cos α cos β cos cos β = cos α cos β sen α sen β − cos α cos β cos α cos β
tan(α + β) =
=
tan α + tan β 1 − tan α tan β
6. Simplificar: tan(α + β) − tan α 1 + tan(α + β) tan α
Soluci´ on Se tiene:
tan(α + β) − tan α = tan[(α + β) − α] = tan β 1 + tan(α + β) tan α
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7. Demostrar: cot(α + β) =
cot α cot β − 1 cot β + cot β
Soluci´ on Se tiene: 1 tan(α + β) 1 − tan α tan β = tan α + tan β 1 − cot α1cot β = 1 + cot1 β cot α
cot(α + β) =
=
cot α cot β − 1 cot β + cot β
8. Demostrar: tan 3α − tan 2α − tan α = tan α · tan 2α · tan 3α
Soluci´ on Se tiene: tan α = tan(3α − 2α) =
tan 3α − tan 2α 1 + tan 3α · tan 3α
Entonces: tan α(1 + tan 3α · tan 3α) = tan 3α − tan 2α tan α + tan α · tan 3α · tan 3α = tan 3α − tan 2α tan α · tan 2α · tan 3α = tan 3α − tan 2α − tan α
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9. Demostrar:
1 − tan α = tan(π/4 − α) 1 + tan α
Soluci´ on Se tiene: tan π/4 − tan α 1 − tan α = 1 + tan α tan π/4 + tan α √
2 sen(π/4−α) cos α 2 sen(π/4+α) cos α
=
√
=
sen(π/4 + α) sen(π/4 − α)
pero, (π/4 − α) y (π/4 + α) son complementarios, luego: 1 − tan α sen(π/4 + α) = = tan(π/4 − α) 1 + tan α sen(π/4 − α)
10. Demostrar que A + B + C = 180o , si sen 2A + sen 2B + sen 2C = 4 sen A sen B sen C Soluci´ on Puesto que C = 180o − (A + B), sen 2A + sen 2B + sen 2C = = = = = = = = = =
sen 2A + sen 2B + sen[360o − 2(A + B)] sen 2A + sen 2B − sen 2(A + B) sen 2A + sen 2B − sen 2A cos 2B − cos 2A sen 2B (sen 2A)(1 − cos 2B) + (sen 2B)(1 − cos 2A) 2 sen 2A sen2 B + 2 sen 2B sen2 A 4 sen A cos A sen2 B + 4 sen BB sen2 A 4 sen A sen B(sen A cos B + cos A sen B) 4 sen A sen B sen(A + B) 4 sen A sen B sen[180o − (A + B)] 4 sen A sen B sen C
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Ejercicios Propuestos 1. Demostrar: cosec α cos α = cot α
2. Demostrar:
1 − sen α = sec α − tan α cos α
3. Demostrar:
sen θ cos θ + =1 cosec θ sec θ
4. Demostrar: cos 3α = 4 cos3 α − 3 cos α
5. Si a = cot α, entonces demostrar: a+
1 = sec α cosec α a
6. Demostrar: cosec α − cot α = tan(α/2)
7. Demostrar: sen(α + β) sen β + cos(α + β) sen β = cos α
8. Demostrar:
sen 3x cos 3x − =2 sen x cos x
9. Demostrar: tan 50o − tan 40o = 2 tan 10o
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10. Si A + B + C = 180o , demostrar que: sen A + sen B + sen C = 4 cos(A/2) cos(B/2) cos(C/2)
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Unidad III.
Funciones trigonom´ etricas para ´ angulos cualesquiera.
Ejercicios Resueltos 1. Deducir las f´ormulas para las funciones de (180o − θ) en t´ermnos de las funciones de θ Soluci´ on Puesto que 180o − θ = 90o + (90o − θ), entonces sen(180o − θ) = sen[90o + (90o − θ)] = cos(90o − θ) = sen θ cos(180o − θ) = cos[90o + (90o − θ)] = − sen(90o − θ) = − cos θ
2. Deducir las f´ormulas para las funciones de (270o − θ) en t´ermnos de las funciones de θ Soluci´ on Puesto que 270o − θ = 180o + (90o + θ), entonces sen(270o − θ) = sen[180o + (90o + θ)] = − sen(90o − θ) = − cos θ cos(270o − θ) = cos[180o + (90o + θ)] = − cos(90o − θ) = − sen θ
3. Calcular el valor de:
sen 30 − cos2 30o + tan2 60o 3 sec 30o + cos2 45o
Soluci´ on Sabemos que:
√ 2
3 cos 30 = 2 √ tan2 60o = ( 2)2 √ 2 2 1 2 o cos 45 = = 2 2
1 cos 30 = 2 o
2
o
=
3 4
Reemplando resulta: √ 1 − 3 +3 sen 30 − cos2 30o + tan2 60o 11 11(4 3 − 1) 2 √4 √ = = = 3 sec 30o + cos2 45o 94 2(4 3 + 1) 3 · 2 3 3 + 21
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4. Encontrar el valor exacto del seno, del coseno y de la tangente para el ´angulo igual a 315o Soluci´ on Tenemos que 315o = 360o − 45o , entonces: √ sen 315o = − sen 45o = −
2 2
√
2 2 o o tan 315 = − tan 45 = −1 o
o
cos 315 = cos 45 =
5. Encontrar el valor exacto del seno, del coseno y de la tangente para el ´angulo igual a −240o Soluci´ on Tenemos que −240o + 360o = 120o
y 120o = 180o − 60o , entonces: √ 3 o o sen −240 = sen 60 = 2 √ 3 o o cos −240 = − cos 60 = 2 √ o o tan −240 = − tan 60 = − 3
6. Si tan 25o = a, encontrar:
tan 155o − tan 115o 1 + tan 155o tan 115o
Soluci´ on tan 155o − tan 115o − tan 25o − (− cot 25o ) −a + 1/a −a2 + 1 1 − a2 = = = = 1 + tan 155o tan 115o 1 − tan 25o cot 25o 1 + a(1/a) a+a 2a
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7. Calcular el largo de la sombra que proyecta un edificio de 150 metros de alto cuando el sol se encuentra a 30o por encima del horizonte Soluci´ on En el tri´angulo que representa la situaci´on real conocemos el cateto opuesto al ´angulode 30o , pero no su cateto adyacente. Las razones que relacionan estos datos son la tangente y la cotangente de 30o . Luego: tan 30o = Donde: x=
150 x
√ 150 150 √ ⇒ x = 150 3 = 259, 81m = 3 tan 30o 3
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Ejercicios Propuestos 1. Expresar como funciones de un ´angulo agudo positivo. a) cos 215o
b) sen −200o
2. Dado tan 25o = 0, 46, calcular: a) cot 50o
b) tan 50o
3. Calcular el valor de sen 30o + cos2 45o − 2 tan2 30o
4. Calcular el valor de
cosec 30o + cosec 60o + cosec 90o sec 0o + sec 30o + sec 60o
5. Calcular el valor de cos 60o − tan2 45o +
3 tan2 30o + cos2 30o − sen2 30o 4
6. Encontrar los valores exactos del seno, del coseno y la tangente de: a) 225o
b) −120o
7. Demostrar que cuando θ es un ´angulo del segundo cuadrante, tal que tan θ = −2/3, entoces: sen(90o − θ) − cos(180o − θ) 2 = −√ o tan(270 + θ) + cot(360 − θ) 3
8. Una persona sube por un camino que tiene 20o de pendiente respecto delplano horizontal. Al cabo de caminar 500 metros, ?a qu´e altura sobre el nivel inicial se encuentra la persona? 9. Un sat´elite artificial sobrevuela una ciudad y en ese instante, desde un observatorio situado a 300 kil´ometros de ella, se le avista con un ´angulo de elevaci´on de 64o . ?A qu´e altura de la ciudad se encuentra el sat´elite?
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10. Un bote con motor se puede desplazar a un m´aximo de 12 km/hr. ? En qu’e direcci´on se debe enfilar el bote para cruzar en forma perpendicular de un punto de a otro de las riberas de un r´ıo, si la corriente es de 5km/hr?
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