UD Trigonometría 

Ejercicios Resueltos y Propuestos 

Col La Presentación 

En este documento se da una relación de los tipos de ejercicios que nos podemos encontrar en  el tema de Trigonometría de 1º de Bachillerato. En todo el documento se sigue el mismo  esquema:  • Enunciado tipo  • Breve resumen teórico para su resolución  • Ejercicios resueltos    1. Transforma de grados a radianes y viceversa  Para realizar este ejercicio: usamos reglas de tres con la identidad  180º = π rad   x 36º π rad ⋅ 36º 1 π a) 36º → = ⇔x= = π rad =   π rad 180º 180º 5 5 17π rad 17π rad b)

x 17 7 = ⇔x= π rad → 7 180º π rad

7

⋅180º

π rad

= 437.143º = 437º 8' 34.2857 '' ≈ 77º 8' 34.2857 ''

  2. Calcular las razones trigonométricas reduciéndolas al primer cuadrante  180 ⎛π ⎞ Del 2ºC al 1ºC: Si  α ∈ ⎜ , π ⎟  su correspondiente en el primer cuadrante es  −α

 

π ⎝2 ⎠ 180 ⎛ 3π ⎞ Del 3ºC al 1ºC: Si  α ∈ ⎜ π , ⎟ su correspondiente en el primer cuadrante es  α −   π 2 ⎠ ⎝ 360 ⎛ 3π ⎞ Del 4ºC al 1ºC: Si  α ∈ ⎜ , 2π ⎟  su correspondiente en el primer cuadrante es  −α   2π ⎝ 2 ⎠

Observación: cuando hablamos de ángulo correspondiente a otro estamos refiriéndonos a  aquel ángulo que en el primer cuadrante que tiene razones trigonométricas iguales salvo  por el signo. Para la completa comprensión de estos ejemplos es necesario saber no sólo  los ángulos correspondientes sino que además también hay que saber cómo se comportan  las RT al cambiar de cuadrantes. Al aplicar las relaciones vistas en teoría hay que tener en  cuenta los cambios de signo, para ello hemos de tener en cuenta la tabla anidada inferior    RT  1C  2C 3C 4C   Sen +  +  ‐  ‐    Cos + ‐ ‐ + Tg  +  ‐  +  ‐  a) b) c)

1   2 1 1 1 2 2 3 sec 330º = ( 4º C ) = = = = =   cos 330º cos ( 360º −330º ) cos 30º 3 3

cos 240º = ( 3º C ) = − cos ( 240º −180º ) = − cos 60 = −

tg

3π 3π ⎛ = ( 2º C ) = −tg ⎜ π − 4 4 ⎝

π ⎞ ⎟ = −tg = −1   4 ⎠

3. Sabiendo el cuadrante de la circunferencia goniométrica y una única razón  trigonométrica, calcular las restantes razones trigonométricas:  Para hallar las restantes razones trigonométricas es necesario saber estas fórmulas:  sen x ; cos x 1 co sec x = ; sen x

sen 2 x + cos 2 x = 1; sec x =

1 ; cos x

tg x =

1 + tg 2 x = sec 2 x = cotg x =

1 tg x

1 ; cos 2 x

 

Para decidir el signo según el cuadrante basta asociar al seno el signo del eje OY y al  coseno el signo del eje OX los demás signos salen de productos de signos ya conocidos.  3π a) Sabiendo  cotg α = 2; π < α < calcular las restantes razones trigonométricas.  2

1   

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⇒ tg α =

1 2

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⇒ Como 1 + tg 2α =

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1 1 1 5 1 4 ⇔ 1+ = ⇔ = ⇔ cos 2 α = ⇒ cos 2 α 4 cos 2 α 4 cos 2 α 5

⇒ cos α =

4 2 5 2 5 ⇔ cos α = ± ⇒ cos α = − ( 3º C ) ⇒ sen α = 1 − cos 2 α ⇔ 5 5 5

sen α = 1 −

⎧co sec α = − 5 ( 3º C ) 4 5 ⇔ sen α = − ( 3º C ) ⇒ ⎪⎨ 5 5 5 ⎪ sec α = − ( 3º C ) 2 ⎩

cos α = −

2 5 5 1 ; sen α = − ; tg α = ; 5 5 2

co sec α = − 5 ;

sec α = −

 

5 ;   2

4. Calcular en función de una razón trigonométrica conocida o parametrizada, el valor  exacto de otra razón:  Se  trata  de  calcular  razones  trigonométricas  de  ángulos  que  vienen  a  ser  combinaciones  lineales  de  ángulos  conocidos  y  ángulos  de  los  cuales  se  nos  dan  sus  razones  trigonométricas.  Para  resolver  este  tipo  de  ejercicios  nos  serán  útiles  las  siguientes  fórmulas:  cos cos   cos cos cos a) Calcula en función de h el valor de  sen 123   siendo  sen 57 = h   Para empezar calculamos el cos 57 puesto que nos puede salir después Si sen 57 = h ⇒ cos 57 = 1 − sen 2 57 = 1 − h 2 Ahora hemos de poner 123 como combinación lineal de algún ángulo famoso y el que nos han dado sólo así, podremos calcular dicha RT en función de h sen (123) = sen (180 − 57 ) = sen 180 cos 57 − sen 57 cos 180 = 0 ⋅ 1 − h 2 − h ⋅ −1 = h

  5. Mezcla de los puntos 1. Y 2.  a) Calcula las razones trigonométricas de  75º   1 2 2 3 2+ 6 ⋅ + ⋅ = 2 2 2 2 4 3 2 2 1 6− 2 cos ( 75 ) = cos ( 30 + 45 ) = cos 30 cos 45 − sen 45 sen 30 = ⋅ − ⋅ =   2 2 2 2 4 2+ 6 sen ( 75 ) 2+ 6 2 1+ 3 1+ 3 4 = = = ⋅ = tg ( 75 ) = cos ( 75 ) 6− 2 6− 2 2 3 −1 3 −1 4 sen ( 75 ) = sen ( 30 + 45 ) = sen 30 cos 45 + sen 45 cos 30 =

b) Calcula las razones trigonométricas de 

π 12

rad  

π π π π 3 2 2 1 ⎛π ⎞ ⎛π π ⎞ sen ⎜ ⎟ = sen ⎜ − ⎟ = sen cos − sen cos = ⋅ − ⋅ = 12 3 4 3 4 4 3 2 2 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6− 2 4

π π π π 1 2 2 3 ⎛π ⎞ ⎛π π ⎞ cos ⎜ ⎟ = cos ⎜ − ⎟ = cos cos + sen sen = ⋅ + ⋅ = 3 4 4 3 2 2 2 2 ⎝ 12 ⎠ ⎝3 4⎠ ⎛π ⎞ sen ⎜ ⎟ ⎛π ⎞ ⎝ 12 ⎠ = 3 − 1 tg ⎜ ⎟ = ⎝ 12 ⎠ cos ⎛ π ⎞ 1 + 3 ⎜ ⎟ ⎝ 12 ⎠

2+ 6 4

    6. Aplicación de las transformaciones SUMA – PRODUCTO 

2   

 

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2  2 

a)

2 2

2

2

 

2

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2

 

2 2

2

 

2

sen (α + β ) + sen (α − β ) = 2sen α cos β  

sen (α + β ) − sen (α − β ) = 2 cos α sen β  

cos (α + β ) + cos (α − β ) = 2 cos α cos β  

− cos (α + β ) + cos (α − β ) = 2sen α cos β  

 

⎛ 80 ⎞ ⎛ −34 ⎞ cos 23 − cos 57 = −2sen ⎜ ⎟ sen ⎜ ⎟ = −2 sen 40 sen ( −17 ) = −2 sen 40 ( − sen ( −17 ) ) = 2sen 40 sen17 2 ⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠

  b)

⎡x+ y ⎤ ⎫ ⎢ 2 = 38⎪⎪ x = 133 ⎥ 1 1 1 ⎥ = ( sen 133 + sen ( −57 ) ) = ( sen 133 − sen 57 ) cos 95 ⋅ sen 38 = ( 2 sen 38 ⋅ cos 95 ) = ⎢ ⎬ 2 2 ⎢ x − y = 95 ⎪ y = −57 ⎥ 2 ⎢⎣ 2 ⎥⎦ ⎪⎭

  7. Aplicación de las fórmulas con carácter general  Quizá esto no sea necesariamente un tipo de ejercicio, pero al no poder ubicarlo de forma  alguna he intentado hacer una breve recopilación de lo que podemos encontrar. Se trata  de aplicar las fórmulas trigonométricas en función de la necesidad del ejercicio:  a) De dos ángulos  α y β  se sabe que suman 60º. ¿Qué será mayor la suma de sus senos  o la suma de sus cosenos?  b) Simplifica en aquellos valores donde tenga sentido la expresión   ⎧1 ) sen x = sen ( 2 ⋅ 2x ) = 2 sen 2x cos 2x ⎪⎪ Sabemos que  ⎨2 )cos x = cos ( 2 ⋅ 2x ) = cos 2 2x − sen 2 ⎪ 1 = cos 2 2x + sen 2 2x ⎪⎩3 )

sen x .  1 + cos x

⎫ ⎪ ⎡ Si sumo ⎤ ⎪ 2 x x →⎢ ⎥ → 4 ) 1 + cos x = 2 cos 2   2⎬  2) y 3) ⎦ ⎪ ⎣ ⎪⎭

Si me quedo con 1) y 4) me queda  2 sen 2x cos 2x sen 2x sen x ⎛ x⎞ = = = tg ⎜ ⎟   2 x x cos 2 1 + cos x 2 cos 2 ⎝2⎠

  8. Demostración de igualdades trigonométricas  Se trata siempre de probar que una igualdad en la que aparecen fórmulas trigonométricas  es cierta. Hay una técnica que no falla, pero que a veces puede resultar demasiado larga.  Se toma un miembro de la igualdad y se intenta dejar en función de una sola razón  trigonométrica, hacemos igual con el otro miembro y antes de que nos demos cuenta ya  empezamos a ver que son la misma cosa  a) Demuestra donde tenga sentido la expresión esta identidad   Conocemos la fórmula  miembros, tengo  sen 2 2x =

1 − cos x + sen x x = tg   1 + cos x + sen x 2

 si yo elevo al cuadrado en ambos 

1 − cos x ⇔ 2 sen 2 2x = 1 − cos x . Con esto y los resultados del  2

ejemplo justo anterior, empezamos a sustituir en la expresión original y me da como  resultado: 

1 − cos x + sen x 2 sen 2 2x + 2 sen 2x cos 2x 2 sen 2x ( sen 2x + cos 2x ) x = = = tg   2 x x x x x x 1 + cos x + sen x 2 cos 2 + 2 sen 2 cos 2 2 cos 2 ( cos 2 + sen 2 ) 2

9. Ecuaciones Trigonométricas  1) Usando las fórmulas trigonométricas estudiadas intentamos dejar todo lo que  3   

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aparezca en función de una única razón. 2) Una vez tengamos toda la expresión con una única RT procedemos al cambio de  variable  t = RT .  3) Resolvemos la ecuación en t.  4) Deshacemos el cambio de variable y a continuación comprobamos que todas las  soluciones verifiquen la ecuación original.  a) cos x − 3 sen x = 1   cos x − 3 sen x = 1

( cos x − 1)

cos x − 1 = 3 sen x ⇒

2

=

(

3 sen x

)

2

⇒ cos 2 x − 2 cos x + 1 = 3 sen 2 x ⇒

cos 2 x − 2 cos x + 1 = 3 (1 − cos 2 x ) ⇒ cos 2 x − 2 cos x + 1 = 3 − 3 cos 2 x ⇒

 

4 cos 2 x − 2 cos x − 2 = 0

Una vez está toda pasada a la misma RT en este caso  cos x , procedemos a hacer el  cambio de variable  t = cos x , así nos queda  ⎧cos x = 1 ⇔ { x = arccos 1 = 0º +360k; k ∈ ] ⎧t = 1 ⎪ 4t 2 − 2t − 2 = 0 ⎨ −1 ⇒ ⎨ ⎧120º +360º k; k ∈ ]   ⎪⎧ −1 −1 = t 2 ⎩ ⎪cos x = 2 ⇔ ⎨ x = arccos 2 = ⎨240º +360º k; k ∈ ] ⎩ ⎩⎪ ⎩

Ya sólo queda sustituir las tres soluciones en la ecuación original, si hacemos eso nos  damos cuenta que sólo la 0º y la 240º verifican la ecuación original.  Si x = 0º ⇒ cos 0 − 3 sen 0 = 1 ⇔ 1 − 3 ⋅ 0 = 1 Correcto Si x = 120º ⇒ cos 120 − 3 sen 120 = 1 ⇔ −21 − 3 ⋅

3 2

= 1 Incorrecto  

Si x = 240º ⇒ cos 240 − 3 sen 240 = 1 ⇔ −21 − 3 ⋅ − 2 3 = 1 Correcto

10. Resolución de Triángulos (NO necesariamente rectángulos)  Lo único que necesitamos para resolver este tipo de ejercicios son los teoremas del seno y  de coseno. También decir que cuando hallemos los ángulos, no olvidamos de ángulos  negativos y mayores de 180º. Aquí los tenéis:   

 

     

 

 

 

 

   

 

  

2

 

 

2

 

   

2     a) Resuelve el triángulo (halla los restantes valores desconocidos) a = 16 cm; b = 25 cm; c = 15 cm;  Este es el caso en el que desconocemos todos los  ángulos y hemos de hallarlos. Aquí no queda más remedio que usar el teorema del  coseno, cualquiera de sus tres versiones. Usamos:   2     , y  despejamos el    .  256 = 625 + 225 − 750 cos A ⇒ cos A = 0.792 ⇒ A = arccos 0.792 = 52.372809º   Ahora calculamos el sen A: sen A = 1 − 0.7922 = 0.627264   Ahora uso el teorema del seno para hallar los otros senos:  16 25 = ⇔ sen B = 0.9801 ⇒ B = 78.75048697º   0.627264 sen B

Ahora para sacar el otro ángulo no es necesario aplicar ninguno de los teoremas  anteriormente citados, usamos la fórmula:  A + B + C = 180º ⇒ C = 180 − ( A + B )   C = 180º − ( A + B ) = 180º − ( 52.372809º +78.75048697º ) = 49.076704º  

Ahora ya si se quiere, se pueden pasar los ángulos a º ’ ‘’ ó a radianes.  4   

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11. Problemas de Triángulos  Los problemas de triángulos se tratarán en clase.    Aquí tenéis un cuadro resumen con todas las fórmulas excepto los teoremas del seno y del  coseno    cos 2 1 2

cos

  2  2 

cos

 

2  cos 2

 

 

cos

 

cos

 

2

 

ú  

2

2

2

2

1 2

cos 2

2

 

ú

 

2

 

2

2 2

2 2

2

2 

1 1

 

1   

1

cos 2 2 cos 2   2

1

cos (α + β ) + cos (α − β ) = 2 cos α cos β  

− cos (α + β ) + cos (α − β ) = 2sen α cos β  

 

5 

 

ú

 

sen (α + β ) − sen (α − β ) = 2 cos α sen β  

 

 

1

sen (α + β ) + sen (α − β ) = 2sen α cos β  

 

 

1