IES ALFONSO MORENO CURSO 2014-2015

BRUNETE 3º ESO

“UN CACHITO DE LA ALHAMBRA” Se llama mosaico a todo recubrimiento del plano mediante piezas llamadas teselas que no pueden superponerse, ni puede dejar huecos sin recubrir y en el que los ángulos que concurren en un vértice deben sumar 3600.

Con esta práctica, vamos a intentar crear nuestros propios mosaicos basándonos en los mosaicos nazaríes que han hecho de la Alhambra una joya geométrica y arquitectónica1. Nunca fueron mejor aplicadas las Matemáticas, en este caso la Geometría, ya que sirvieron para manifestar sus creencias en un bello alarde de ingenio que se traduce en una creatividad sin precedentes en el diseño de los mosaicos de la Alhambra. Para ello: 1. Visionado del vídeo “Las geometría se hace arte” del programa “Más por menos” de RTVE. 2. Realización de actividades usando el programa Geogebra. 3. Boceto de los mosaicos a crear. 4. Creación de tres mosaicos con diferentes materiales.

1

La Alhambra es Patrimonio de la Humanidad desde 1984

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS:”Mosaicos”.

1

IES ALFONSO MORENO CURSO 2014-2015

BRUNETE 3º ESO

ACTIVIDAD 1: Construcción del hueso. A continuación se explicará detalladamente la construcción del Hueso, polígono nazarí cuya base es un cuadrado (esta figura se usa en algunos mosaicos de la Alhambra de Granada).

Vamos a realizar una figura Geogebra llamada hueso.ggb, y a partir de él crearemos una plantilla que nos servirá para diseñar un mosaico. Podemos intentar hacer la práctica directamente o bien seguir las siguientes indicaciones: 1. Dibujar un cuadrado. Para ello, seleccionar de la barra de herramientas “polígono” o “polígono regular”.

En el primer caso, dibujar vértice A y haciendo un clic tras otro en la vista gráfica, permite crear los vértices B, C y D de un cuadrado que se cierra reiterando un clic sobre A. En el segundo caso, dibujar los vértices A y B, y señalar que buscamos 4 vértices.

2. Trazar las diagonales del cuadrado usando el comando “segmento” (tercera tecla) y picar sobre los puntos A y C; luego picar sobre B y D.

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS:”Mosaicos”.

2

IES ALFONSO MORENO CURSO 2014-2015

3. Elegir “punto medio o centro” (segunda tecla) Se etiquetará como E.

4.

Con

BRUNETE 3º ESO

para hallar el punto medio del segmento AB.

“mediatriz” (cuarta tecla), trazar las mediatrices de los segmentos AE y BE.

5. Con la herramienta “Intersección” (segunda tecla) mediatrices con las diagonales obteniendo los vértices

hallar los puntos de corte de las F, G, H e I.

6. Hallar los vértices F’ y G’ de la figura por simetría axial de los puntos F y G. Y los vértices H’ e I’ por simetría axial de los puntos H e I. Para ello seleccionar la herramienta “simetría axial” (novena tecla), luego sobre el lado AB. Proceder de forma análoga con el resto de

picar sobre el punto F y los puntos.

7. El Hueso será el polígono formado por los puntos A, F’, G’, B, G, H, C, H’, I’, D, I, F, A. Para construirlo utilizar la herramienta, “polígono”, y hacer clic sobre los vértices indicados anteriormente.

8. Cambiar el color y grosor del polígono hueso para que quede como en la figura de la derecha.

9. Guardar el fichero con el nombre de hueso.ggb, borrando previamente el cuadrado, las diagonales, las mediatrices, y todos los elementos que han servido para la construcción.

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS:”Mosaicos”.

3

IES ALFONSO MORENO CURSO 2014-2015

BRUNETE 3º ESO

ACTIVIDAD 2: Mosaico a partir del hueso. Mosaico: Construcción geométrica que resulta de recubrir todo el plano. Tesela: Motivo mínimo que se repite para formar el mosaico. Para formar el mosaico: a) Giramos el primer hueso 900 alrededor de uno de los vértices anteriores (por ejemplo A). Usaremos la herramienta “rota alrededor de un punto” (octava tecla) b) El mosaico se construye por simetría central de cada hueso respecto a cada uno de los vértices de 900. (A, B, C, D). En este paso utilizaremos la herramienta “simetría central” (novena tecla) Es decir: 1. Abrir el documento hueso.ggb y cambiamos el nombre por mosaico hueso.ggb, dejando únicamente visible los vértices de 900, es decir, A, B, C, D.

2. Girar 900 el hueso alrededor del vértice A. Seleccionar primero el hueso, y a continuación el punto A y el valor numérico 900 en sentido antihorario. Obtendremos entonces la figura:

3. Realicemos ahora simetría central de cada hueso respecto a cada uno de los vértices de 900 (A, B, C, D), para obtener el mosaico de la figura. Para ello hacer clic sobre uno de los huesos y sobre el vértice A. Proceder de forma análoga con dicho hueso sobre los vértices B, C y D. Realizar la misma operación con el otro hueso. Continuar con el mismo procedimiento con cada uno de los huesos generados. Guardar con el nombre mosaico hueso.ggb, y cerrar.

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS:”Mosaicos”.

4

IES ALFONSO MORENO CURSO 2014-2015

BRUNETE 3º ESO

ACTIVIDAD 3: Construcción del Pétalo. El Pétalo es un polígono nazarí cuya base es un rombo formado por dos triángulos equiláteros.

Igual que en las actividades anteriores, vamos a realizar una figura Geogebra llamada petalo.ggb, y a partir de él crearemos una plantilla que nos servirá para diseñar un mosaico. Podemos intentar hacer la práctica directamente o bien seguir las siguientes indicaciones: 1. Construir un triángulo equilátero usando la herramienta de “polígono regular” (ABC) 2. Usar simetría central del vértice C con respecto a los vértices A y B. Los nuevos puntos serán C’ y C’’ 3. Haciendo centro en los puntos A, B, C’, C’’, construir cuatro circunferencias de radio el lado del triángulo. Usaremos el comando “circunferencia (centro, punto)” (tecla sexta de la barra de herramientas). 4. Crear el punto de intersección de las cuatro circunferencias (será el vértice inferior del Pétalo). Utilizar la herramienta “Intersección de dos objetos”. Será el vértice D. Se obtendrá la figura:

5. El Pétalo está formado por cuatro arcos, tal como se muestran en la figura. Para obtenerlos procedamos de la siguiente forma:

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS:”Mosaicos”.

5

IES ALFONSO MORENO CURSO 2014-2015

BRUNETE 3º ESO

a) Hallar el arco CA, para ello utilizar la herramienta “arco de circunferencia” (tecla sexta de barra de herramientas) y hacer clic en el centro de la circunferencia (B), sobre el punto C y sobre el punto A. Se dibujará en otro color el arco buscado y con un grosor intermedio. b) Construir los arcos DA, BD y BC como en el apartado a. Nota: Para las construcciones de los arcos se deberá tener en cuenta el orden señalado. Ocultar todos los elementos utilizados para la construcción.

6. Guardar la construcción con el nombre petalo.ggb.

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS:”Mosaicos”.

6

IES ALFONSO MORENO CURSO 2014-2015

BRUNETE 3º ESO

ACTIVIDAD 4: Construcción de un mosaico a partir del Pétalo. Utilizando como tesela el pétalo podemos construir un mosaico. El mosaico se puede formar trasladando el pétalo mediante dos vectores 1. Vamos a partir de la figura anterior que se encuentra en el archivo r r petalo.ggb. Definamos los vectores de traslación u = AB y v = CD (las diagonales del rombo). Para ello utilizar “vector” (tecla tercera de la barra de herramientas) y picar sobre los vértices en el orden señalado. r 2. Realicemos la traslación del pétalo según el vector u = AB . Para ello utilizar la herramienta “traslación” y luego seleccionar un arco y el vector r u = AB .

Proceder de forma análoga con el resto de los arcos. r 3. Análogamente al paso anterior, proceder usando esta vez el vector v = CD . Quedará entonces la figura de la forma siguiente:

r 4. Trasladando los arcos de los pétalos nuevos, sucesivamente, según los vectores u = AB y r v = CD creamos el mosaico. Guardar el archivo como mosaico petalo.ggb.

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS:”Mosaicos”.

7

IES ALFONSO MORENO CURSO 2014-2015

BRUNETE 3º ESO

ACTIVIDAD 5: Construcción de la Pajarita. La Pajarita es otro polígono nazarí cuya base es un triángulo equilátero.

Igual que en las actividades anteriores, vamos a realizar una figura Geogebra llamada pajarita.ggb, y a partir de él crearemos una plantilla que nos servirá para diseñar un mosaico. Podemos intentar hacer la práctica directamente o bien seguir las siguientes indicaciones: 1. Construir un triángulo equilátero usando la herramienta de “polígono regular” (ABC) 2. Usar simetría axial del vértice C con respecto al lado AB, para obtener el vértice C’. 3. Hallar los “puntos medios” de los lados AB y AC’. Se etiquetarán como D y E 4. Hallar la circunferencia que pasa por los punto A, D y E. Aunque el programa de Geogebra permite determinar la circunferencia que pasa por tres puntos, lo haremos siguiendo los siguientes pasos: a) Hallamos las mediatrices de los segmentos AD y AE. La intersección de ambas será el centro de la circunferencia buscada. El centro se designará por F. Para este paso, usar las herramientas “mediatriz” e “intersección” (cuarta tecla y segunda tecla, respectivamente). b) Construir la circunferencia con centro en el punto anterior que pase por A. 5. Construir el arco de circunferencia AD. Para ello utilizar “arco de circunferencia” (tecla sexta). Dibujar más grueso el arco.

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS:”Mosaicos”.

8

IES ALFONSO MORENO CURSO 2014-2015

BRUNETE 3º ESO

A partir de este arco construiremos la pajarita. Para ello: 6. Girar el arco creado 600 respecto al vértice A. Utilizando la herramienta “rota alrededor de un punto” (octava tecla) hacemos clic sobre el arco, punto A y ángulo de 600 en sentido antihorario. 7. Determinamos el “punto medio” del lado AC. Este punto será G. Utilizando “simetría central” sobre el arco girado respecto al punto medio G, construir el nuevo tramo de la pajarita. 8. Girar el arco creado 600 respecto al vértice C. 9. Hallar el “punto medio” del lado CB. Este punto será H. Utilizando “simetría central” sobre el arco girado respecto al punto medio H, construir el nuevo tramo de la pajarita. 10. Girar el arco creado 600 respecto al vértice B, completando la pajarita. Es conveniente ocultar todos los puntos que se han generado en los vértices y dejar visibles sólo los puntos de partida.

11. Guardar la construcción con el nombre pajarita.ggb. Si arrastramos el punto A o B se observa la integridad de la figura.

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS:”Mosaicos”.

9

IES ALFONSO MORENO CURSO 2014-2015

BRUNETE 3º ESO

ACTIVIDAD 6: Construcción de un mosaico a partir de la Pajarita. Utilizando como tesela la pajarita podemos construir un mosaico. El mosaico se puede formar trasladando el pétalo mediante dos vectores 1. Vamos a partir de la figura anterior que se encuentra en el archivo r r pajarita.ggb. Definamos los vectores de traslación u = AB y v = CA (dos lados del triángulo). Para ello utilizar “vector” (tecla tercera de la barra de herramientas) y picar sobre los vértices en el orden señalado. r 2. Realicemos la traslación del pétalo según el vector v = CA . Para ello utilizar la r herramienta “traslación” y luego seleccionar un arco y el vector v = CA .

Proceder de forma análoga con el resto de los arcos. r 3. Análogamente al paso anterior, proceder usando esta vez el vector u = AB . Quedará entonces la figura de la forma siguiente:

r 4. Trasladando los arcos de las pajaritas nuevas, sucesivamente, según los vectores u = AB y r v = CD creamos el mosaico. Guardar el archivo como mosaico pajarita.ggb.

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS:”Mosaicos”.

10