IV Jornadas de Ingeniería del Agua La precipitación y los procesos erosivos Córdoba 2015

Un modelo de almenara con multicompuertas para la regulación de canales de regadío Joan Soler Universidad de la República Uruguay. Departamento del agua. Avenida General Rivera, 1350. 50000-Salto. Uruguay

Manuel Gómez Universidad Politécnica de Catalunya-BarcelonaTech – Departamento de Ingeniería hidráulica. Campus Nord. Calle Jordi Girona, 1-3. 08036-Barcelona

Eduardo Bautista USDA-ARS U.S. Arid Land Agricultural Research Center. 21881 N Cardon Lane Maricopa AZ 85138, USA

1. Introducción Habitualmente, algunas estructuras presentes en los canales en lámina libre tienen la doble función de regular para distribuir el flujo y medir los caudales circulantes para que la distribución sea equitativa. Curiosamente en los canales de regadío, estas dos funciones las realizan estructuras diferentes (Boss, 1989). Así, por ejemplo, en algunos canales españoles se utilizan aforadores Parshall en línea además de compuertas para la regulación. Esta aparente redundancia de estructuras se justifica por la falta de precisión de los modelos hidráulicos de compuerta bajo determinadas condiciones de flujo. Trabajos recientes en calibración de modelos de compuerta única radial, como Clemmens et al. (2003) y Clemmens y Wahl (2012), o modelos de compuerta única vertical como CastroOrgaz et al. (2010) y Lozano et al. (2009), indican que los procedimientos no son suficientemente precisos en ciertas condiciones de sumergimiento, la situación más habitual. Además, en presencia de múltiples compuertas funcionando en paralelo en las almenaras, la medición del flujo presenta problemas adicionales de aparición de vórtices aguas abajo de las mismas Clemmens (2004). Esta problemática justifica plenamente la

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presencia de la redundancia de estructuras mencionada anteriormente y puede ser la causa que los modelos de aforo propuestos resulten imprecisos. Cuando el nivel de aguas abajo de la almenara en el canal es alto, el resalto generado en las compuertas queda inundado. El chorro de agua bajo compuerta queda superpuesto por una masa de agua que no tiene un movimiento neto claro en ninguna dirección (Henderson, 1966) con lo que el flujo presenta remolinos en el plano vertical. Por otro lado, las compuertas trabajando en paralelo y con aberturas diferentes generan vórtices aguas abajo en el plano horizontal. La presencia de remolinos en todos los planos de la cuenca de la almenara situada aguas abajo de las compuertas genera un flujo claramente en 3D difícil de predecir y modelar con modelos 1D. Suponiendo que existen varias compuertas operando en paralelo en una almenara situada entre dos tramos de canal de sección trapezoidal como muestra la almenara con dos lineas de compuertas de la Figura 1, entonces a partir de los valores de los niveles de agua en los puntos P y Q es posible determinar los caudales circulantes a través de cada linea de compuerta así como los niveles correspondientes en los puntos 1, 2 y 3

2. Modelo de Almenara En la Figura 1 puede verse el esquema en planta de una almenara genérica con dos compuertas operando en paralelo de acuerdo con el concepto de almenara definido en la introducción. Según el esquema, el flujo circula de izquierda a derecha, esto es, desde el punto P al punto Q donde se va a suponer que se dispone de medidas de nivel. En el punto P, el canal tiene sección trapezoidal de ancho de la solera bP y en el Q de bQ y el talud lateral —definido como la inversa de la pendiente de los hastiales— en el punto P se denota con mP y con mQ en Q. El tramo de canal desemboca en el cuenco de aguas arriba que está delimitado por las lineas de compuertas y por dos aliviaderos “by-pass” de las compuertas que solo funcionan cuando hay flujo y todas las compuertas están cerradas. El flujo, al llegar a los tajamares de soporte de las compuertas, se ve dividido en nG líneas de compuerta denotadas por el superíndice i=1,...,nG —para la almenara representada, nG=2—. Por cada línea, circula un caudal qi y lo hace a través de los tajamares cuya anchura variable se define b1i, b2i y b3i para poder dar un carácter más general a la geometría. Como se verá en la descripción de los modelos de compuerta única utilizados, tanto el caudal circulante qi como el nivel y2i de justo aguas abajo de la compuerta, dependen del nivel de aguas arriba y1i y del nivel de aguas abajo y3i y de la abertura de la compuerta wi(t).

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L23

1 y 1

1 b 1

1 b 2

y 12

y 13 1

b3

P yP

L4Q

b P

Q y4

y 12

2 b 1

2 b 2

y 22

y 23 b 23

b Q

yQ

B4

Figura 1. Esquema en planta de una almenara con dos compuertas en paralelo situada entre dos tramos de canal de sección trapezoidal.

Una vez los flujos de cada linea han cruzado las compuertas, se reúnen en el cuenco de aguas abajo en el punto 4 donde el flujo total prosigue su camino hacia el punto Q de la entrada del siguiente tramo de canal. La experiencia nos indica que el flujo en el cuenco izquierdo (o de aguas arriba) puede considerarse “tranquilo”, al contrario de lo que ocurre en el cuenco derecho (o de aguas abajo). En consecuencia, se propone aplicar el principio de conservación de la energía entre puntos situados en el cuenco izquierdo y el de conservación de la cantidad de movimiento entre puntos del cuenco de la derecha. Es decir, de acuerdo con la filosofía del método E-M del modelo de compuerta única que se estudiará más adelante. Ahora, se describen las ecuaciones que deben de verificarse. Conservación de la energía entre P y 1: en el cuenco de la izquierda, el principio de conservación de la energía de Bernoulli entre el punto P y cada uno de los nG puntos tipo 1. Conforman un conjunto de nG ecuaciones que se pueden expresar en forma de residuo numérico: ,

i

,…,

≡2

−

+

−

= 0 ; = 1, … , !"

[1]

donde rP1 es la función residuo que en la solución vale 0, Q es el caudal circulante a través de i la almenara ―la suma de los q ― circulantes por cada linea y aP es el área de la sección mojada trapezoidal en P: =

+ #$

[2]

Igualdad de fuerzas específicas entre 3 y 4: en el cuenco de la derecha, la suma de la cantidad de movimiento de todas las líneas de compuerta en los puntos 3 añadida a la suma de todas sus fuerzas de presión hidrostática, deben de ser igual a la cantidad de movimiento

D.5.

existente en la sección de ancho b4 y de nivel y4 más la fuerza hidrostática. Esta ecuación puede expresarse en forma de residuo con la expresión: '( +

%, … , %

%&

+ 0,5

% %

%

,

,…,

*−

%

&

,

&

≡

&

− 0,5 ,

&

−' +

%- &

=0

[3]

donde y4 se considera un nivel ficticio de ponderación entre los niveles y3i. Conservación de la cantidad de movimiento entre 4 y Q: entre los puntos 4 y Q se establece conservación de la cantidad de movimiento: + 0,5

& &

&. / & ,

&

&

−

.

con: .

=

. .

+ #.

; 1. =

.

23 = 0,5 4

&

− 1.

.

+

25 = 0,515 ;&. 1 − < 4

0≡

,…,

#. 3

93

&

− 0,51.

&

.

.

; 7. =

+ 1 − 9:

+2

− .

23 25 − =0 4 4

+ 281 + #.

.

[4]

.

[5]

=& +

,

,

,

%

=0 ;

%?

,

,

,

%

=0

[6]

Condiciones de contorno: dado que en las almenaras usualmente se dan condiciones de régimen subcrítico, se debe imponer una condición de contorno en el punto P y otra en Q. Dado que los niveles en esos puntos son medidos a lo largo del tiempo, se toman las 2 siguientes ecuaciones como condiciones de contorno: = @A

B

C

;

.

= @D:B C

[7]

donde YUPS(t) es el nivel medido en el punto P, en el tramo de canal de aguas arriba de la almenara, y YUPS(t) el nivel medido en el Q, en el tramo de aguas abajo.

D.5.

Ecuaciones de clausura: si se pretende resolver los nG subsistemas constituidos por las ecuaciones [1] y [6] correspondientes a cada línea de compuerta, simultáneamente con las [3] y [4], —lo que representa un sistema de 3nG+2 ecuaciones— uno se percata que faltan ecuaciones cuando observa todas las incógnitas que se agrupan formalmente en el vector: E=

,…,

,

,…,

,

,…,

,

%, … , %

,

;

&

E∈ℝ

[8]

donde n=4nG+1 es el número de incógnitas. Así que faltan por definir nG-1 ecuaciones, las denominadas aquí ecuaciones de clausura. i

Si la distancia L23 fuese suficientemente grande, podría ocurrir que los niveles y3 de las líneas de compuerta contiguas se igualasen en el punto 3. En tal caso, las nuevas ecuaciones serían: H

/

%, %0

≡

%

−

%

=0

...

H

,

%

≡

%

−

%

%

=0

[9]

El conjunto [9] de ecuaciones de clausura es el utilizado en esta comunicación, pero se deja abierta la discusión sobre otras alternativas. Llegados a este punto, ya se está en disposición de poder definir el modelo de almenara como aquella herramienta matemática capaz de resolver el sistema constituido por nG ecuaciones tipo [1], 2xnG tipo [6], nG-1 tipo [9], la [3] y la [4]. Total n ecuaciones con las n incógnitas de [8]. Como se mostrará en el siguiente apartado, la resolución del sistema no resulta trivial debido a que los nG subsistemas correspondientes a cada línea de compuerta (ecuaciones de tipo [6]) se deben resolver de forma desacoplada de las demás. Por consiguiente, se propone resolver el sistema mediante el siguiente algoritmo recursivo: 1.- Inicializar la solución con unos niveles iniciales. Esto es, definiendo el vector de incógnitas: =

,…,

,

%, … , %

,

&

;

∈ℝ

J

K

[10]

2.- Resolver todos subsistemas de compuerta única a partir de los niveles en las secciones 1 i i y 3, es decir, encontrar todos los caudales q de cada línea de compuerta así como el nivel y2 : >

,

%

,

,

%

=0 y

%?

,

%

,

,

%

=0

[11]

3.- A partir de la aplicación del teorema de la función implícita a cada subsistema [11] una vez resuelto, obtener las derivadas implícitas mediante la resolución del sistema:

D.5.

P > O N P N N 0 N NP %? N P N N 0 M

P P

>

P

0

P P

P

%?

P

0

4.- Resolver el resto de ecuaciones:

/ 0=

XY V V V

,

,

W V V V U

,

Y

%&

0

P 0 S O R NP P > R NP R N P R · NP R NP 0 R N P R N P %? R N P P Q MP

>

0

P

%?

P S O R N P R NP R N R = −N P R NP N P R % N R NP R M P %Q

S R R > R R %? R R R %? R Q >

[12]

,…, , % =0 [ !" ecuaciones ⋮ , % ,…, , % =0 H / %, %0 = 0 Y ⋮ [ !" − 1 ecuaciones , % =0 %

H

%

%, … , % &.

&,

,

,

,

%

%

,…,

,…,

i

,

,

%

%

,

&

=0

[13]

=0 i

i

Dada la dependencia que tienen los caudales de línea q de los niveles y1 e y3 ―cosa que se i i i denota con q (y1 ,y3 )―, la compilación de la matriz jacobiana requerida por el método de Newton-Raphson en resolución de [13], requiere las derivadas obtenidas en [12].

3. Modelo de compuerta única Existen muchos modelos que describen el flujo bajo compuerta radial. Aquí se ha adaptado el de Clemmens y Wahl (2012) que se basa en el método E-M, que consiste en aplicar Bernoulli entre los punto 1 y 2 (Fig. 1 y 2) y conservación de la cantidad de movimiento entre 2 y 3. Así, las ecuaciones [6] quedan establecidas de la siguiente forma: Y

Sumergido: r con:

D.5.

+

1 d 2 ij

e = f>

No sumergido:

+ f?

1 d e 2 ij =i j

+ g +h

2

= r%

% %

+ f%

%

%

2

u V V

t 25 23 V + + V 4 4s

[14]

f> = 1,06 − 0,21 d g +h

d

= 1 + 0,2 · z

{|} ~ e •&.€€€

w

e con w =

con •z

i = 1,0016 − 0,2349 †

25 ‰5 = ; 4 2 i

w

e + 0,15 d

i

r = 1,07 − 0,05 d

w

+x

= •‚ y •‚ = ƒ + 0,1133 † % =

e + 0,28 d

w

e

%

f? = 2f> − 1 ; r% = 1,04 ; f?% = 1 ( 1−<

%

23 = 4 i

%

−

+2

93

=

%

1 y·d 2

+<

+ 1 − 93 2

%

+2

%

e +2 [15]

=% *

donde λE2 , λM2 y λM3 son coeficientes que tienen en cuenta el efecto de la presión no i hidrostática, (α2+ξ) es el coeficiente de Coriolis inseparable del de pérdidas de carga, δ es el i coeficiente de contracción de la vena contracta, w es la abertura vertical de la compuerta, i i i θ es el ángulo de la tangente a la compuerta radial en el labio, β2 y β3 son los coeficientes de Boussinesq, ν es la viscosidad del agua, Cf es el coeficiente empírico de pérdidas de carga i i localizadas y Φ y φw son coeficientes de ponderación que toman valores de 0 a 1, Ff y Fw son las fuerzas de rozamiento y de las paredes, ambas ejercidas por el cuenco de la derecha. i

i

Obtener la solución consiste en encontrar el caudal circulante q y el nivel y2 , dados los i i niveles y1 e y3 . Primero, se resuelve [14] considerando la condición de resalto no inundado, i i i i i esto es: y2 =δiwi. Después, dados q , y1 , y2 e y3 , se comprueba que el lado izquierdo de la condición de resalto sumergido es superior al derecho. En caso contrario, se trata de resalto sumergido y se debe volver a resolver [14] con la condición de sumergido. El método utilizado ha sido el de Newton-Raphson.

D.5.

Figura 2. Esquema de una compuerta radial.

La elección entre la ecuación de resalto no sumergido y la de sumergido depende solo de los i i niveles y1 e y3 , con lo que debe resolverse de forma desacoplada del resto de ecuaciones de la almenara. Solo cuando se conocen los caudales de línea se puede saber el caudal global Q y resolver el sistema global de la almenara.

4. Aforo en el Canal “Upper Arizona” En base a medidas de calado aguas arriba y abajo y de las aberturas de las 5 compuertas existentes en la almenara 1-00-6 de cabecera del canal de suministro de agua a la ciudad de Phoenix (Arizona) ―el denominado Upper Arizona Canal― cedidas por la dirección del Salt River Project Canal, se ha aplicado el modelo de almenara con multicompuertas para determinar el caudal circulante durante el episodio de medidas. Los caudales obtenidos con el modelo, así como los aforados por la propia dirección del canal pueden verse en al Figura 3. Como puede verse en la figura, las discrepancias entre los datos medidos y los datos modelados difieren con una media de 3,75% (con una desviación estándar de 2,31) y en todos los casos, difieren de valores inferiores al 10 %. También se muestra la gran variedad de configuraciones de aberturas de compuerta que se suceden a lo largo del tiempo y que son generadoras de inestabilidad en el aforo. 28

0,5

26

0,5

24

0,4

20

0,4

18

0,3

A b ertu ra (m )

Caudal (m3/s) / Error (%)

22

16 14 12 10

0,3 0,2 0,2

8

0,1

6

0,1

4

0,0

2

0

500

0 0

500

1000

1500

1000

1500

2000

Compuerta 4

Compuerta 5

Tiempo (h)

2000

Tiempo (h)

Modelo de almenara con multicompuertas.

Datos Salt River Project

Error (%)

Compuerta 1

Compuerta 2

Compuerta 3

Figura 3. Caudales y aberturas cedidos por la dirección del Salt River Project del Upper Arizona Canal 5 compuertas existentes en la almenara 1-00-6 de cabecera del canal de suministro de agua a la ciudad de Phoenix (Arizona) y los obtenidos con modelo de almenara con multicompuertas.

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5. Resumen y conclusiones Se ha presentado una metodología numérica para el cálculo del flujo de agua a través de almenaras con multicompuertas en canales en lámina libre. A partir de medidas de los calados de aguas arriba y de abajo y de las aberturas de las compuertas, el modelo resuelve simultáneamente para cada “linea de compuerta” el balance de energía de Bernoulli (en el cuenco de aguas arriba dónde el flujo es más tranquilo) y la conservación de la cantidad de movimiento en el cuenco de aguas abajo. Se trata pues de un modelo 1D. Se propone igualdad de calados aguas abajo de todas las lineas compuertas como primera aproximación a las ecuaciones de clausura del problema. Se deja abierta la discusión para otras opciones.

Referencias Boss, M.G. (1989). Discharge Measurement Structures. International Institute for Land Reclamation and Improvement, Publication 20, Ẃageningen, The Nederlands. Castro-Orgaz, O., Lozano, D., and Mateos, L. (2010). Energy and momentum velocity coefficients for calibrating submerged sluice gates in irrigation canals. Journal of Irrigation and Drainage Engineering, ASCE, 136(9), 610-616. Clemmens, A. (2004). Avoiding Submergence Transition Zone for Radial Gates in Parallel. Critical Transitions in Water and Environmental Resources Management: pp. 1-10. doi: 10.1061/40737(2004)276 Clemmens, A.J., Strelkoff, T.S., and Replogle, J.A., (2003), Calibration of submerged radial gates. Journal of Irrigation and Drainage Engineering, ASCE, 129(9), 680-687. . Clemmens, A.J. and Wahl T.L., (2012), Computational Procedures used for Radial Gate Calibration in WinGate, World Environmental & Water Resources Congress EWRI / ASCE . Albuquerque, NM. Lozano, D., Mateos, L., Merkley, G.P., and Clemmens, A.J. (2009). Field calibration of submerged sluice gates in an irrigation canal. Journal of Irrigation and Drainage Engineering, 136(6), 763-772. Henderson, F.M., (1966), Open-Channel Flow. Macmillan Publishing Co., New York, USA.

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