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Revista
Colombiana
de
Estadística.
N° 3 - 1981
UN MODELO GEOMÉTRICO PARA LOS FLUJOS DE EFECTIVO
Marco Fidel C a s t i n o Profesor A s o c i a d o Universidad Nacional
En los d i f e r e n t e s
tratados
cleros donde
se trabaja
es corriente
encontrar
efectivo
son
la vida útil estos
la T e o r í a
con
el manejo
e f e c t i v o , bajo el supuesto es u n i f o r m e , es decir
de los m o d e l o s
su
los ingresos
nomina
o disminuyendo
gradientes
uniformes
nar
de los
también en forma
flujos
se les
de ver con£ los d£
(aritméticos).
poca p r e o c u p a c i ó n
tamiento del c r e c i m i e n t o
de
similar al de
a r i t m é t i c a s , a dichos
Sinembargo
métrica
y egresos
todos los periodos
t a n t e , es decir un c o m p o r t a m i e n t o progresiones
de
comportamiento
de un p r o y e c t o ; es posible
flujos a u m e n t a n d o
1nterís,
de los flujos
de que
iguales durante
del
finan
existe
o disminución
por el traen forma geo^
flujos de e f e c t i v o , es decir determl_
fórmulas que
son útiles
dado el proceso
infla-
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clonarlo mundial, donde es corriente que los costos de los alimentos, los salarios, arriendos, etc.; aumentan en forma geométrica y no como lo expuesto anteriormente. Es por tanto necesario exponer un M o d e l o
Geom¿-
t r l c o , para determinar el Valor Presente Neto (P) de los flujos de efectivo de un proyecto, o la Anua^ lidad correspondiente, A. El problema se visualiza mediante el diagrama de flujo de efectivo del proyecto, que consiste en graficar los períodos de vida útil, o sea puntos so^ lire una línea horizontal; tanto como, los egresos e ingresos son flechas hacia arriba o hacia abajo re^ pectivamente en los puntos de cada uno de los perl£ dos del proyecto. De tal forma se tiene: P=?
li O
-
r% . n-2
1 8(1+A)R.,;..2 t ^^^•'^^ 8(l+/t)^
n-1
8(1+^) n - 2 n-1 8(1+^)
donde : P : Valor presente total de la serie gradiente geomét rica.
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: Aumento porcentual de los flujos de efectivos
1% : Tasa de interés - Tasa de descuento : Flujo de efectivo base : Número de período del proyecto
(Vida útil).
Nótese en el diagrama que el primer flujo es B en el período 1, el segundo es 8(1+1) en el período 2, es decir el primer flujo más su rr.spectivo aumento geométrico, y asi sucesivamente hasta el último que es 8(1+1)
; estos flujos se comportan como valo-
res futuros que se traerán al presente total ubica do en el periodo O, según diagrama. Al utilizar el factor de descuento
para (l+c)^ (l+-¿)^ (1+^)""^ (l+-¿)" Operando a ambos misembros la Ecl por
ji+r) l+l
(1)
ae
tlene:
P -ü±^ .8 1+^
i+r ,(n-^)^,(i+^)^,^ ^ ^ i i + r ) ' ^ Hi+l)^
(i+¿)^
U+l)'* ' "
(i+^c)"""^
(2)
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Al restar
P
Ec 2-Ecl miembro a miembro queda:
n+A) _ p , g
1
(1+1)
(l+.c)^
1+^ simplificando por
n operando y
(l+.ó)"''^
(l+.t), se obtiene
P(l+1) - P(l+-¿) = 8
(l±ry
P{r-l)
"-(1+-C)' (l+i)'^-(l+-¿)'^
(i+í) (i+x)"-(i+i)"
^U-r)
I ^ r
(3)
(l+l)'
La Ec 3 determina
el valor presente
total
de los
en el periodo
1, ere
y son d e s c o n t a d o s
al l i .
flujos de e f e c t i v o , que inician cen en forma
geométrica
La d e t e r m i n a c i ó n toma
r i ,
del m o d e l o
de d e c i s i o n e s
geométrico
financieras
entre
es útil
para:
p r o y e c t o s , cons^
t i t u c i ó n de fondos de r e s e r v a , e t c . Aparece taría
en Ec 3 I
4 1,
indeterminada
puesto
que si I
» 1 nos resuJ^
y que se interpreta
según
po r : 8
1 , l+l
l + l ,(i-»--¿)^,^ (l+l)^
(1+^)"^
1 + . . .+ l+l l+l
+(_ͱÍL!Í1Í (1+^)"
1.-1 + I l+l
l+l
l+l
Ec 1
93 P =
_n8
(4)
l+-¿ La Ec 4 muestra vo se d i s m i n u y e n este hecho n-veces do
que los c r e c i m i e n t o s
igualmente
el problema
y solo
La
con los d e s c u e n t o s
se reduce
se n e c e s i t a r í a
1 al O para encontrar forma c o n v e n c i o n a l
de e f e c t i -
a sumar
y de
la base 8
trasladarla
del p e r Í £
P. para
la notación
de la Ec
3 seria:
8
Si
(l+-¿)'^-(l+1)" L(^-1)
-**• P = 8 (P/8, l i
- r i , n).
(1+-C)
que es similar a la usada en los libros de finanzas, matemáticas financieras e ingeniería económica para otros factores. Para finalizar es necesario determinar la fórmu la para la anualidad correspondiente a los flujos de efectivo con crecimiento geométrico. Se obtiene usando el factor recuperación de capital: ( l + - < : n) ' - l
pero
si:
L -¿(1+^) -• P
Ee 3 d e l modelo g e o m é t r i c o
A
8 (l+.¿)"-(l+1)"
^U-r) A -
8
(i+^)"J
(l+.c)^"-
entonces:
U+ÍY-l '-- r
sin excepción, por lo que
se perfila de gran utilidad en la aplicación de la
Teoría det í n t e r í s . *
*
*
BIBLIOGRAFÍA
[l] Castillo,M.F., Matemática F i n a n c i e r a , Encoque toma de d e c i s i o n e s , Bogotá, Mimeo (1980)