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Revista

Colombiana

de

Estadística.

N° 3 - 1981

UN MODELO GEOMÉTRICO PARA LOS FLUJOS DE EFECTIVO

Marco Fidel C a s t i n o Profesor A s o c i a d o Universidad Nacional

En los d i f e r e n t e s

tratados

cleros donde

se trabaja

es corriente

encontrar

efectivo

son

la vida útil estos

la T e o r í a

con

el manejo

e f e c t i v o , bajo el supuesto es u n i f o r m e , es decir

de los m o d e l o s

su

los ingresos

nomina

o disminuyendo

gradientes

uniformes

nar

de los

también en forma

flujos

se les

de ver con£ los d£

(aritméticos).

poca p r e o c u p a c i ó n

tamiento del c r e c i m i e n t o

de

similar al de

a r i t m é t i c a s , a dichos

Sinembargo

métrica

y egresos

todos los periodos

t a n t e , es decir un c o m p o r t a m i e n t o progresiones

de

comportamiento

de un p r o y e c t o ; es posible

flujos a u m e n t a n d o

1nterís,

de los flujos

de que

iguales durante

del

finan

existe

o disminución

por el traen forma geo^

flujos de e f e c t i v o , es decir determl_

fórmulas que

son útiles

dado el proceso

infla-

90

clonarlo mundial, donde es corriente que los costos de los alimentos, los salarios, arriendos, etc.; aumentan en forma geométrica y no como lo expuesto anteriormente. Es por tanto necesario exponer un M o d e l o

Geom¿-

t r l c o , para determinar el Valor Presente Neto (P) de los flujos de efectivo de un proyecto, o la Anua^ lidad correspondiente, A. El problema se visualiza mediante el diagrama de flujo de efectivo del proyecto, que consiste en graficar los períodos de vida útil, o sea puntos so^ lire una línea horizontal; tanto como, los egresos e ingresos son flechas hacia arriba o hacia abajo re^ pectivamente en los puntos de cada uno de los perl£ dos del proyecto. De tal forma se tiene: P=?

li O

-

r% . n-2

1 8(1+A)R.,;..2 t ^^^•'^^ 8(l+/t)^

n-1

8(1+^) n - 2 n-1 8(1+^)

donde : P : Valor presente total de la serie gradiente geomét rica.

91

: Aumento porcentual de los flujos de efectivos

1% : Tasa de interés - Tasa de descuento : Flujo de efectivo base : Número de período del proyecto

(Vida útil).

Nótese en el diagrama que el primer flujo es B en el período 1, el segundo es 8(1+1) en el período 2, es decir el primer flujo más su rr.spectivo aumento geométrico, y asi sucesivamente hasta el último que es 8(1+1)

; estos flujos se comportan como valo-

res futuros que se traerán al presente total ubica do en el periodo O, según diagrama. Al utilizar el factor de descuento

para (l+c)^ (l+-¿)^ (1+^)""^ (l+-¿)" Operando a ambos misembros la Ecl por

ji+r) l+l

(1)

ae

tlene:

P -ü±^ .8 1+^

i+r ,(n-^)^,(i+^)^,^ ^ ^ i i + r ) ' ^ Hi+l)^

(i+¿)^

U+l)'* ' "

(i+^c)"""^

(2)

92

Al restar

P

Ec 2-Ecl miembro a miembro queda:

n+A) _ p , g

1

(1+1)

(l+.c)^

1+^ simplificando por

n operando y

(l+.ó)"''^

(l+.t), se obtiene

P(l+1) - P(l+-¿) = 8

(l±ry

P{r-l)

"-(1+-C)' (l+i)'^-(l+-¿)'^

(i+í) (i+x)"-(i+i)"

^U-r)

I ^ r

(3)

(l+l)'

La Ec 3 determina

el valor presente

total

de los

en el periodo

1, ere

y son d e s c o n t a d o s

al l i .

flujos de e f e c t i v o , que inician cen en forma

geométrica

La d e t e r m i n a c i ó n toma

r i ,

del m o d e l o

de d e c i s i o n e s

geométrico

financieras

entre

es útil

para:

p r o y e c t o s , cons^

t i t u c i ó n de fondos de r e s e r v a , e t c . Aparece taría

en Ec 3 I

4 1,

indeterminada

puesto

que si I

» 1 nos resuJ^

y que se interpreta

según

po r : 8

1 , l+l

l + l ,(i-»--¿)^,^ (l+l)^

(1+^)"^

1 + . . .+ l+l l+l

+(_ͱÍL!Í1Í (1+^)"

1.-1 + I l+l

l+l

l+l

Ec 1

93 P =

_n8

(4)

l+-¿ La Ec 4 muestra vo se d i s m i n u y e n este hecho n-veces do

que los c r e c i m i e n t o s

igualmente

el problema

y solo

La

con los d e s c u e n t o s

se reduce

se n e c e s i t a r í a

1 al O para encontrar forma c o n v e n c i o n a l

de e f e c t i -

a sumar

y de

la base 8

trasladarla

del p e r Í £

P. para

la notación

de la Ec

3 seria:

8

Si

(l+-¿)'^-(l+1)" L(^-1)

-**• P = 8 (P/8, l i

- r i , n).

(1+-C)

que es similar a la usada en los libros de finanzas, matemáticas financieras e ingeniería económica para otros factores. Para finalizar es necesario determinar la fórmu la para la anualidad correspondiente a los flujos de efectivo con crecimiento geométrico. Se obtiene usando el factor recuperación de capital: ( l + - < : n) ' - l

pero

si:

L -¿(1+^) -• P

Ee 3 d e l modelo g e o m é t r i c o

A

8 (l+.¿)"-(l+1)"

^U-r) A -

8

(i+^)"J

(l+.c)^"-

entonces:

U+ÍY-l '-- r

sin excepción, por lo que

se perfila de gran utilidad en la aplicación de la

Teoría det í n t e r í s . *

*

*

BIBLIOGRAFÍA

[l] Castillo,M.F., Matemática F i n a n c i e r a , Encoque toma de d e c i s i o n e s , Bogotá, Mimeo (1980)