U NI DAD 3 ESPACIO BIDIMENSIONAL: LA RECTA Objetivos

Geometría analítica

Introducción

U

3.1. Definición de recta

91

Dos puntos sólo pueden ser unidos por una sola recta y la relación matemática que satisface la unión de estos se llama ecuación de la recta.

x= y x= –y y = 0. x = 0. k y= k h x= h

Ejemplo 1 A

B

x y Solución A

B .

3.2. Ángulo de inclinación de una recta

92

Geometría analítica

Inclinación de una recta Es el ángulo que forma con la dirección positiva del eje X. Se mide a partir del eje X en el sentido contrario al recorrido de las manecillas del reloj y los valores son de 0 a 180 como se aprecia en la figura 3.1.

Y

L2

L y

y

O (x,

x

X

La inclinación de la recta L1 se representa por el ángulo ; asimismo, la inclinación de la recta L2 es el ángulo .

=

L2

L

93

Ejemplo 2 A B Solución

=

3.3. Pendiente de una recta La pendiente de una recta el valor de la tangente del ángulo de inclinación pendiente es positiva pendiente es negativa

Pendiente de una recta que pasa por dos puntos Sean A(x1, y1) y B(x2, y2), puntos de la recta L , si desde A trazamos una línea recta paralela al eje X e igualmente desde B una paralela al eje Y, se forma el triángulo ABC. La inclinación de la recta AB es el ángulo y éste es igual al ángulo CAB, como se observa en la figura 3.2.

L

Y (x2 y2

y2

y



(x y x

x2

Entonces, por la definición de pendiente se tiene que la pendiente de:

94

X

Geometría analítica

La pendiente de una recta, llamada también por algunos autores coeficiente angular de la recta, se suele representar por la letra m. Así, se tiene la siguiente fórmula:

Significa que la pendiente de la recta que pasa por dos puntos es igual a la diferencia de ordenadas dividida entre la diferencia de abscisas, tomadas en el mismo orden.

y2 – y

m

x2 – x

m

Ejemplo 3

A C

B D

Solución

B

A

A

m

m

B

m

m

95

AB AB CD CD

3.4. Ecuación punto-pendiente de una recta el origen

m

m

La ecuación de una recta que pasa por el origen y tiene pendiente m, se puede obtener de una manera sencilla, considerando la figura 3.3, en donde si A(x1, y1), B(x2, y2) y C(x3, y3), son puntos de la recta AB, los triángulos AOA’, BOB’ y COC’ son semejantes; entonces se tiene que:

Y

O

96

X

Geometría analítica

, entonces

, es decir:

para cualquier punto P(x, y) de la recta AB se verifica que:

Así, la ecuación de una recta que pasa por el origen y tiene una pendiente m es y = mx. Ahora bien, para la obtención de la ecuación de la recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada, se considerará que A(x1, y1) es un punto de la recta y m1 su pendiente. Si P (x, y) es un punto cualquiera de la recta, por definición de pendiente se tendrá la ecuación: ; por lo tanto

que es la ecuación buscada.

A esta ecuación se le suele llamar forma ordinaria de la ecuación de la recta o ecuación punto-pendiente.

Ejemplo 4

A

Solución y = 2x

y =mx

x

m

y

97

x

y

Ejemplo 5 A

Solución

A (x , y

B

B (x2, y2

,

AB

m AB y

=

x

x

y

3.5. Ecuación pendiente-ordenada al origen de una recta y =mx

Se llama ordenada al origen de una recta, al valor de la ordenada en el punto de intersección de la recta con el eje Y. Se representa por la letra b. Para obtener la ecuación de una recta con pendiente m y ordenada al origen b se procederá como sigue:

98

Geometría analítica

Y

L2 L

b X 0

Considerando la figura 3.4 se tiene que la recta L1, cuya ecuación es y= mx pasa por el origen y es paralela a L2, de lo que si la pendiente de L1 es m la de L2, también lo es. Analizando ahora la relación que hay entre las coordenadas de los puntos correspondientes A y A’, B y B’ sobre ambas rectas, se tiene que: Las abscisas son las mismas para las dos parejas de puntos, esto es, la abscisa de A es la misma que la de A’, la abscisa de B es la misma que la de B’. Las ordenadas de los puntos A, B, de la recta L2 son iguales a las de los puntos correspondientes A’, B’, de la recta L1 aumentadassiempre en la misma cantidad b, que esla ordenada en el origen de la recta L2, es decir: La ordenada de A = ordenada de A’ + b. La ordenada de B = ordenada de B’ + b. De una manera general, para un punto cualquiera P(x, y) de la recta L2 se tendrá que: ordenada de P = ordenada P’ + b Por lo tanto, la ordenada al origen de la recta L1, cuya ecuación es y = mx, tiene valor cero; asimismo, la ordenada al origen de la recta L2 tiene el valor b, por lo que concluimos que la ecuación es y = mx + b. Esta relación entre las coordenadas (x, y) de un punto cualquiera de la recta L2, su pendiente m y su ordenada en el origen b es la ecuación de la recta, se suele llamar forma tangencial o abreviada de la ecuación de la recta.

99

Ejemplo 6

Solución y= x+ 2 = y= x

y = –x +

Ejercicio 1 1.

2.

3.

4.

5.

100

x

x

y

y

Geometría analítica

3.6. Ecuación simétrica de una recta

-

Ecuación simétrica es aquella que está determinada en función de los segmentos a y b, en magnitud y signo, los que determinan las intersecciones sobre los ejes de las coordenadas. Como se aprecia en la figura 3.5, la ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B se obtiene utilizando la ecuación puntopendiente, esto es: Y

B

b

b

(a X

a

0

esto es, –ay = bx – ab, trasponiendo términos y dividiendo por ab, resulta

, es la ecuación simétrica de la recta que

pasa por los puntos A y B.

Ejemplo 7

101

Solución a b

3.7. Ecuación general de una recta

La ecuación general de primer grado con dos variables es de la forma: A x + By + C = 0 Si alguno de los coeficientes es igual a cero, se tienen los casos siguientes: A = 0, C = 0 y B no es igual a cero, la ecuación es de la forma By = 0, equivale a y = 0, que representa al eje X. B = 0, C = 0 y A no es igual a cero, la ecuación es de la forma Ax = 0, equivale a x = 0, que representa al eje Y. A = 0 y B y C no son iguales a cero, la ecuación es de la forma By + C = 0; esto es y = –C/B, que representa una recta paralela al eje X a la distancia –C/B. B = 0 y A y C no son iguales a cero, la ecuación es de la forma Ax + C = 0; esto es, x = –C/A, que representa una recta paralela al eje Y a la distancia –C/A.

102

Geometría analítica

C = 0 y A y B no son cero, la ecuación es de la forma Ax + By = 0; esto es, y = –Ax/B, que representa una recta que pasa por el origen y tiene de pendiente –A/B. En resumen, cualesquiera que sean los valores de A, B y C, con A y B diferentes de cero, una ecuación de la forma: Ax + By + C = 0 representa una recta. A esta ecuación se le llama forma general de la ecuación de la recta.

A B

C

B

y

y = mx + b C/B

A/B

Ejemplo 8

x=0 x x y=0 x y Solución

x x y y

103

Ejemplo 9

Solución general

Ax + By + C =

forma x

x

y

y y

NOTA B y

B

x B

3.8. Distancia de un punto a una recta forma normal

Forma normal de la ecuación de la recta Es aquella que viene determinada en función de la distancia (d) del origen a la recta y del ángulo , que es el ángulo formado por el segmento d con la dirección positiva del eje X, como se muestra en la figura 3.6.

104

Geometría analítica

Y

b

d

X

0

a

AB

AOP

BOP

Sustituyendo estos valores en la ecuación simétrica anterior, resulta: , entonces la ecuación normal de la recta es:

x

+y

=d

Ax + By +C

d Ax + By +C

x

+y

d

dk = C (*) 105

k2

2

x

+y

2

=d

d x d Ax + By + C

2

106

2

Geometría analítica

Ejemplo 10

x + 4y x y Solución d

x

y

d

x

y P(x y

Ax + By + C P

Ax + By + C

2

2

107

en valor absoluto,

Ax + By + C

P(x y Ax + By + C

C

Ax

By

d

x x

108

y

y

Geometría analítica

Ejemplo 11 O

P

Q

x + 4y Solución

O

d

P

d=

Q

d=

3.9. Intersección de rectas intersección

Ecuación de todas las rectas que pasan por un punto dado A (x1, y1) Se denomina haz de rectas a la familia de rectas que pasan por el punto A y difieren sólo en su pendiente. Si se nombra m a una pendiente cualquiera, entonces la ecuación de todas las rectas que pasan por el punto A, con exclusión de la paralela al eje Y, que no tiene pendiente, es:

A cada valor de m le corresponderá una recta del haz. Asimismo, la ecuación de la recta que pasa por A y es paralela al eje Y es x = x1, ahora bien, si se conocen por lo menos dos rectas de esta familia, cómo podremos calcular el punto de intersección. Cálculo del punto de intersección de dos rectas. Para hallar el punto de intersección de las dos rectas.

109

y Se resuelve el sistema de ecuaciones. Las soluciones del sistema formado por las ecuaciones de las rectas dan las coordenadas del punto de intersección.

Ejemplo 12

A x y Solución

x y y+

= m (x – A

y x

x

x x

x x y

x

x y

x

y P

3.10. Ángulo entre rectas

ángulo entre dos rectas

110

Geometría analítica

Ángulo de dos rectas en función de sus pendientes Sean las rectas L1 y L2, de la figura 3.8, cuya inclinación es pendientes son m1 y m2, respectivamente.

1

y

2

y cuyas

Consideramos el ángulo , medido de L1 a L2, en dirección contraria de las manecillas del reloj. se puede calcular en función de las pendientes de L1 y L2, es decir m1 y m2. En el triángulo MNP, el ángulo 2

=

1

+ ; por lo tanto =

2

es exterior y consecuentemente:

2

–

1

De la fórmula de la tangente de la diferencia de dos ángulos, resulta: m

m mm

Si se quisiera calcular el ángulo ’ de L2 a L1 en dirección contraria de las manecillas del reloj, la fórmula sería: m

m mm

que es igual a tan pero con signo contrario, lo que nos dice que se trata de ángulos suplementarios, como ya lo habíamos mencionado.

111

Ejemplo 13 A

B

C

A Solución AB

A AC

Y

X

A

A

NOTA y la fórmula no se puede aplicar

112

Geometría analítica

Ejercicio 2 x

A

y

B A

x x

y x

y x

y

y x

y

3.11. Familia de rectas paralelas

Ecuación de todas las rectas paralelas a una recta de pendiente dada Es la ecuación de la familia de rectas paralelas a una recta dada. Todas estas rectas se diferencian en la ordenada en el origen. Así, si m1 es la pendiente de la recta dada y llamamos b a una ordenada al origen cualquiera, tendremos que la ecuación buscada es: y = m1 x + b Ahora bien, cómo saber si dos rectas son paralelas. La condición de paralelismo de dos rectas es que sus pendientes sean iguales. Si dos rectas son paralelas, su ángulo es cero y la tangente de cero grados es también cero. Por lo tanto, en la fórmula: m

m mm

el numerador es igual a cero, o sea m1 – m2 = 0, entonces m1 = m2, por lo que si las pendientes son iguales, las rectas son paralelas.

113

Ejemplo 14

y = 4x – Solución

y = 4x – y = 4x + n

3.11.1. Distancia entre rectas paralelas

Para calcular la distancia entre dos rectas paralelas, se toma un punto cualquiera de una de las rectas y se calcula la distancia de este punto a la otra recta. Si ambas rectas están en su forma normal, sus ecuaciones solamente se diferencian en sus distancias d y d’ al origen. La distancia entre las dos rectas será: | d – d’| o | d + d’| dependiendo de si lasrectasse encuentran en el mismo cuadrante o en cuadrantes distintos (el origen se encuentra entre las dos rectas) respectivamente.

Ejemplo 15 x y Solución

x

x y x

114

y

y

Geometría analítica

d

d

d

d

d

d d

3.11.2. Ecuación de una recta y es paralela a otra que pasa por un punto dado

Ejemplo 16 A x–y Solución y – y = m (x – x

A

x = 3, y = – m = y m (x

x y y+

= (x

y= x–

.

115

3.12. Familia de rectas perpendiculares

Condición de perpendicularidad entre rectas Si dos rectas son perpendiculares, el ángulo entre ellas es de 90 y la tangente de 90 no existe, pero la cotangente es igual a cero. Entonces, para que: mm sea igual a cero se debe cumplir que: m m mm

, por lo que m

m

, o también m m

.

Así dos rectas son perpendiculares si sus pendientes son negativamente recíprocas, es decir, si su producto es igual a –1. Entonces, una familia de rectas perpendiculares es la que todas sus rectas forman un ángulo de 90°con una recta dada, sus pen dientes son negativamente recíprocas y su producto es igual a –1.

Ejemplo 17 l

A

B

D Solución AB AB

116

CD CD

l2

C

Geometría analítica

3.12.1. Ecuación de una recta perpendicular a otra que pasa por un punto determinado

Ejemplo 18 P x

y

Solución: P

x + 9y – =

3.13. Representación de regiones en el plano utilizando desigualdades y rectas

y x

x x

x

y (x

x x y x y

y

y 117

y

y

y > mx + b y = mx + b. y < mx + b y = mx + b.

Y

Y

y > mx + b

y = mx + b X

X y < mx + b

y = mx + b

y> a y< a

118

x= a x= a

Geometría analítica

Ejemplo 19

Solución

x

x

y

x y y

y

y

119

Ejercicio 3

A

A

D

Ejercicios resueltos A Solución

m m

120

B

Geometría analítica

2.

AB

A

B

y

B Solución

y

y

y

y y

y y

y B

3. Solución

m b

4.

Solución

y

m b

121

5. M2

M

Solución Ax + By + C

,

y x

x

A x

y

B

6.

M

Solución

M

122

y

M2

M2

Geometría analítica

y

x

x

7. A

x

y

y

y

B

Solución

AB

AB AC

AC

BC

BC

123

8.

A

Solución

d

d

9.

Solución

0 x y

124

Geometría analítica

10.

A

B

C

Solución AB AB

m

AC AC

m

BC BC

m

AB m

m

m

AC

m2

m mm

m mm

125

11.

P C

O

Solución:

CO

m P CO

P

CO

12.

Solución

m, m

m2 m m 126

Geometría analítica

m

13.

Solución

d

A

u

d2

u

127

d d

14.

A

B

C Solución

m

x

y

15.

x– y= A

Solución

128

D

Geometría analítica

AD

m m

x

y

16. 0 Solución

L

Q

L2 0

L L L2 L2 L R

P

L

L

L L2 L

L2

L

129

PQR P Q

130

PR QR

Geometría analítica

Autoevaluación 1. x y x y=0 x y=0 x y=0 2.

3.

4.

131

5.

B C

O

x

y x +2y x +2y x y 6.

P A

B

x y x y x y=0 x y 7. A

B A C 8.

9.

132

B

C

Geometría analítica

10. 4x

d y

x

y

d d d d

Ejercicios opcionales 1.

M

M2

M 2.

P Q

3.

M

M2

N

M

4. A

5.

A

133

Geometría analítica

Respuestas a los ejercicios 1

m= –

b= 2

2 x y x + 2y d=4 P

3 x

y b

Respuestas a la autoevaluación

135

Respuestas a los ejercicios opcionales

x M A

136