Matemática

1° Medio

UNIDAD 1. Los números racionales En esta Unidad se sistematizan y profundizan los conocimientos acerca del conjunto de los racionales, tomando como base los conocimientos que el estudiante posee acerca de las fracciones positivas. Se trata, en primer lugar, de ubicar los números racionales en el marco de los grandes conjuntos numéricos, en especial en relación con el conjunto de los naturales y el conjunto de los enteros y preparando la introducción del conjunto de los reales y el conjunto de los números complejos que se hará más adelante. Luego se revisan las operaciones con números racionales, un tema que no es nuevo para el estudiante, subrayando la lógica de los procedimientos más que su mecanización. La ubicación de los racionales en la recta numérica ayuda a fortalecer las ideas acerca de las relaciones de orden y su vinculación con los naturales y enteros. Una propiedad importante de los racionales es el hecho que entre dos racionales cualesquiera siempre hay por lo menos un racional más. Esto establece otra diferencia sustancial con los naturales y los enteros. La Unidad termina con un análisis algo más detallado de las relaciones que existen entre las fracciones y los números decimales. Se muestran y justifican procedimientos que permiten pasar de la notación fraccionaria a la notación como número decimal y viceversa. En general, el tratamiento es más sistemático, con un énfasis más acentuado en las propiedades generales y en las relaciones con los demás conjuntos numéricos.

Contenidos

Aprendizajes esperados

El conjunto de los números racionales

• Identifican el conjunto de los números naturales. • Identifican y caracterizan el conjunto de los números enteros. • Identifican problemas que no pueden ser resueltos en el marco de los números naturales y reconocen que algunos de ellos pueden ser resueltos en el marco de los números enteros. • Conocen e interpretan la definición de número racional. • Identifican problemas que no pueden ser resueltos en el marco de los números enteros y reconocen que algunos de ellos pueden ser resueltos en el marco de los números racionales. • Conocen algunas propiedades de los números racionales.

Actividades sugeridas Se sugiere trabajar las siguientes guías: Guía nº 1 (Grandes conjuntos numéricos) Guía nº 2 (Propiedades de los números racionales)

1 FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO

• Manejan procedimientos de cálculo de adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones de números racionales Fracciones y números decimales

• Transforman números racionales, expresados en lenguaje de fracciones, en números decimales. • Conocen y compenden procedimientos para transformar números decimales a la notación de fracciones.

Guía nº 3 (Números racionales y números decimales)

2 FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO

GUÍA N° 1 GRANDES CONJUNTOS NÚMERICOS El conjunto de los naturales En la Educación Básica hemos podido conocer distintos tipos de números. Los primeros números que conocimos fueron los números naturales. Luego se introdujeron las fracciones, los números decimales y los números enteros. Ha llegado el momento de sistematizar estos conocimientos y establecer las relaciones existentes entre estos tipos de números. Conviene empezar con los números naturales. Fueron los primeros números que surgieron en la historia del conocimiento matemático como una forma de cuantificar la cantidad de elementos que hay en un conjunto dado: la cantidad de ovejas en un rebaño, la cantidad de personas en un local, etc. Todos los números naturales forman el conjunto de los naturales. En este conjunto se incluye el 0, el 1, el 2, el 3 y así sucesivamente. En general, el sucesor de un número natural es también un número natural. De acuerdo con esto, el conjunto de los números naturales es infinito. No puede existir un número natural que sea el mayor de todos, pues su sucesor será también un número natural.

NOTA. No todos los matemáticos están de acuerdo en incorporar el 0 dentro del conjunto de los números naturales. Algunos de ellos prefieren considerar el 1 como el menor de los naturales. En todo caso, ello no modifica aspectos esenciales del conjunto de los naturales.

3 FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO

ACTIVIDADES

1.

Encuentra en internet información acerca de las primeras formas utilizadas por los humanos para cuantificar elementos de un conjunto.

2.

En el texto se afirma que si el sucesor de un número natural es también un número natural, entonces el conjunto de los naturales tiene infinitos elementos. ¿Podrías justificar esta conclusión?

3.

Se llama elemento neutro de la adición a un número e que cumpla con las siguientes igualdades: a+e=a y e + a = a, para todo número natural a. (a)

De acuerdo con esta definición, ¿cuál sería el elemento neutro de la adición para los naturales? Justifica tu respuesta.

(b)

¿Qué sucedería en este sentido en el caso de considerar que el 0 no pertenece al conjunto de los naturales?

4.

¿La suma de dos números naturales es siempre un número natural? Justifica tu respuesta.

5.

¿La diferencia entre dos números naturales es siempre un número natural? Justifica tu respuesta.

6.

¿El producto de dos números naturales es siempre un número natural? Justifica tu respuesta.

7.

¿El cuociente entre dos números naturales es siempre un número natural? Justifica tu respuesta.

4 FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO

El conjunto de los enteros En el conjunto de los naturales, las operaciones de sustracción y de división presentan insuficiencias. En efecto, todas las sustracciones en que el sustraendo es mayor que el minuendo carecen de solución en el conjunto de los naturales. Lo mismo sucede con todos las divisiones en que el dividendo no es un múltiplo exacto del divisor. La primera de estas deficiencias puede solucionarse si se introducen números negativos. Supongamos que para cada número natural a distinto de 0 se introduce un nuevo número (-a) tal que: a + (-a) = 0 Dado que a es un número natural distinto de 0, se cumple que a > 0. Por su parte, (-a) < 0. En la recta numérica, los enteros negativos se ubican a la izquierda del 0 de modo que el número a y el número (-a) quedan ubicado en posiciones simétricas con respecto al 0. Se forma así un nuevo conjunto numérico, el conjunto de los enteros. Este conjunto está formado por los números naturales, el 0 y los enteros negativos recién definidos. Se suele llamar enteros positivos a los enteros mayores que 0 y enteros negativos a los enteros menores que 0. De modo que el conjunto de los enteros está formado por los enteros positivos, el 0 y los enteros negativos. Por convención se acepta que el 0 no es positivo ni negativo.

5 FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO

ACTIVIDADES

1.

¿Cuál de los dos diagramas siguientes representa mejor la relación que existe entre el conjunto de los naturales y el conjunto de los enteros? Explica tu respuesta.

enteros naturales naturales enteros 2.

En la siguiente recta numérica anota los enteros que corresponden a cada una de las marcas dibujadas.

0 3.

4.

(a)

¿Hay algún número entero entre 5 y 6? ¿Y entre -3 y -4?

(b)

En general, ¿hay números enteros entre un número entero cualquiera y su sucesor?

En la recta numérica es posible visualizar las relaciones de orden que hay entre los números representados en ella. En efecto, la recta numérica se construye de modo que los números van aumentando de valor de izquierda a derecha. (a)

¿Es válido esto también para los números negativos?

(b)

¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? • El 0 es menor que cualquier entero positivo. • El 0 es mayor que cualquier entero negativo. • Cualquier entero positivo es mayor que cualquier entero negativo.

6 FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO

Como hemos visto en años anteriores, en el conjunto de los enteros se verifica que la suma de dos números enteros, la diferencia entre dos números enteros y el producto de dos números enteros es siempre también un número entero.

ACTIVIDADES

1.

2.

3.

4.

5.

(a)

¿Cómo se suman dos números enteros del mismo signo?

(b)

¿El resultado es siempre un número entero?

(a)

¿Cómo se suman dos números enteros de distinto signo?

(b)

¿El resultado es siempre un número entero?

(a)

¿Cómo se restan dos números enteros?

(b)

¿El resultado es siempre un número entero?

(a)

¿Cómo se multiplican dos números enteros?

(b)

¿El resultado es siempre un número entero?

(a)

¿Cómo se dividen dos números enteros?

(b)

¿El resultado es siempre un número entero?

7 FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO

El conjunto de los racionales Si en una división de números enteros el dividendo no es un múltiplo exacto del divisor, entonces el cuociente ya no es un número entero. Se hace necesario entonces ampliar el campo numérico de modo de poder dar solución a cualquier división. Para ello, definiremos un nuevo conjunto numérico: el conjunto de los racionales. Llamaremos número racional a cualquier número que puede expresarse como el cuociente entre dos números enteros, con el divisor distinto de 0. En otras palabras, son números racionales todos los números que pueden expresarse en la forma a/b, con a y b enteros y b distinto de 0. El término “racional” viene de “razón” en el sentido matemático de cuociente que expresa una comparación por cuociente. Los números racionales así definidos forman el conjunto de los racionales. En este conjunto entran, por supuesto, todas las fracciones que conocimos en básica. También entran algunos números decimales como 0,4 o 7,5, ya que 0,4 = 4/10 y 7,25 = 725/100 También pertenecen a este conjunto las fracciones en que el numerador o el denominador es un entero negativo y las fracciones en que tanto el numerador como el denominador son enteros negativos. Todos los números enteros, positivos o negativos, son parte del conjunto de los racionales. En efecto, para todo entero n se cumple que n es igual al cuociente n/1. Por lo tanto, n es un número racional.

8 FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO

ACTIVIDADES

1.

2.

3.

(a)

¿Existen números racionales negativos?

(b)

¿Qué condición deben cumplir a y b para que el número racional representado por el cuociente a/b sea negativo?

(a)

El 1, ¿es un número racional?

(b)

El 0, ¿es un número racional?

(c)

El -1, ¿es un número racional?

(a)

Escribe como fracción cada uno de los siguientes números racionales: 0,5

(b)

4.

8

-8

0

¿Hay una sola forma de expresar como fracción cada uno de estos números racionales? Explica tu respuesta.

En una actividad anterior representamos mediante un diagrama la relación que existe entre el conjunto de los enteros y el conjunto de los naturales. Dibuja un diagrama similar que represente la relación que existe entre el conjunto de los naturales, el conjunto de los enteros y el conjunto de los racionales. Justifica tu diagrama.

9 FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO

GUÍA N° 2 PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS RACIONALES Números racionales en la recta numérica Los números racionales pueden representarse en la recta numérica. Los números naturales y los números enteros son números racionales. Y ya sabemos cómo representar en la recta numérica números naturales y números enteros. Veamos ahora cómo representar en la recta numérica números racionales que no son enteros. Una posibilidad consiste en establecer primero entre qué enteros debe ubicarse el número racional. Por ejemplo, el número racional 8/3 es igual a 2 + 2/3. Por lo tanto, debe ubicarse entre la marca correspondiente a 2 y la marca correspondiente a 3. Como 8/3 es 2/3 de unidad mayor que 2, el punto correspondiente a 5/2 debe estar a la derecha de 2, a una distancia correspondiente a 2/3 de unidad, tal como muestra la figura 1. Figura 1

8 3

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

En forma similar, el número racional -4,2 debe ubicarse entre -4 y -5. Debe estar 2/10 de unidad a la izquierda de -4, como muestra la figura 2. Figura 2

-4,2

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

ACTIVIDADES

1.

Ubica en una recta numérica los siguientes números racionales. 2,5

2.

(a)

7/2

-3/4

-4/3

¿Cuál de los siguientes números racionales queda más a la derecha en la recta numérica? -3,2

(b)

-2,5

-3/2

3,2

-3,2

0

¿Cuál de ellos queda más a la izquierda?

10 FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO

Amplificación y simplificación de números racionales Como vimos en años anteriores, una fracción se puede amplificar o simplificar sin que cambie su valor. Amplificar una fracción es multiplicar el numerador y el denominador por un mismo número. Por su parte, simplificar una fracción es dividir el numerador y el denominador por un mismo número. Lo más importante de estas operaciones es que el valor representado por la fracción no varía. Esta propiedad de las fracciones es válida también para los números racionales. Es decir, si se tiene un número racional cualquiera a/b, se cumple que: a b

ac

= bc

para todo número entero c.

A su vez, si se tiene un número racional en que el numerador y el denominador son múltiplos de un entero c, se puede dividir el numerador y el denominador por c y se obtiene un número racional que representa el mismo valor que el número racional original. Es decir: ac = bc

a b

para todo número entero c.

Mediante amplificaciones sucesivas es posible obtener nuevas fracciones, todas las cuales representan el mismo valor. Son formas distintas de escribir un mismo número racional. De hecho, para cada número racional existe una cantidad infinita de posibilidades de escribirlo.

ACTIVIDADES

1.

Encuentra diferentes formas de escribir el número racional 3/5.

2.

(a)

Amplifica las fracciones 2/3 y 5/8 de modo de obtener dos fracciones que tengan igual denominador.

(b)

¿Qué relación hay entre las dos fracciones que acabas de escribir y las fracciones 2/3 y 5/8?

(a)

Amplifica las fracciones a/b y c/d de modo de obtener dos fracciones que tengan igual denominador.

(b)

¿Qué relación hay entre las dos fracciones que acabas de escribir y las fracciones a/b y c/d?

3.

11 FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO

Adición y sustracción de números racionales En básica conociste procedimientos para sumar y restar fracciones. Si las fracciones tienen igual denominador, basta sumar o restar los numeradores y conservar el denominador. Si las fracciones tienen distinto denominador, podemos amplificar o simplificar una o las dos fracciones de modo de tener una suma o resta de fracciones de igual denominador. Supongamos que se quiere sumar los números racionales a/b y c/d. Si b es distinto de d, tendremos una adición de dos fracciones de distinto denominador. Una forma muy simple de igualar los denominadores es amplificar a/b por d y amplificar c/d por b. Tendremos, por lo tanto: a b

+

c d

ad

= bd +

bc bd

Ahora tenemos dos fracciones de igual denominador. Sumamos los numeradores y conservamos el denominador: a b

+

c d

ad

= bd +

bc bd

=

ad + bc bd

ACTIVIDADES

1.

2.

3.

4.

(a)

Explica cada uno de los pasos en esta última cadena de igualdades.

(b)

¿Es posible simplificar la última fracción? Explica tu respuesta.

(c)

Para demostrar si un número dado es racional debemos demostrar que se puede escribir como el cuociente entre dos número enteros. De acuerdo con esto, el resultado obtenido para la suma a/b + c/d, ¿es un número racional? Explica tu respuesta. (Recuerda que la suma, la resta y el producto de números enteros es siempre un número entero).

(a)

Haz el mismo análisis para el caso de la sustracción p/q – m/n.

(b)

El resultado que obtienes, ¿es un número racional? Explica tu respuesta.

(a)

¿Podríamos afirmar que la adición de dos números racionales será siempre un número racional? Explica tu respuesta.

(b)

¿Podríamos afirmar que la sustracción de dos números racionales será siempre un número racional? Explica tu respuesta.

(a)

Aplicando el procedimiento de suma de fracciones, determina cuánto es 3/4 + 2/5.

(b)

Ahora efectúa esta misma suma con una calculadora. ¿Obtienes el mismo resultado? ¿Cómo explicas lo sucedido? 12

FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO

Multiplicación y división de números racionales El procedimiento para multiplicar números racionales es bastante simple. Ya lo conociste en años anteriores para el caso de las fracciones. Todo lo que tenemos que hacer es multiplicar los numeradores entre sí y los denominadores entre sí. Es decir: a b

·

c d

ac

= bd

El procedimiento para dividir números racionales es una aplicación del concepto de inverso multiplicativo. Un número es el inverso multiplicativo de otro si el producto de ambos es igual a 1. En el conjunto de los naturales el único número que tiene inverso multiplicativo es 1, que es inverso multiplicativo de sí mismo. En efecto, se cumple que 1 · 1 = 1. Ningún otro número natural tiene inverso multiplicativo en el conjunto de los naturales. En el conjunto de los números enteros tanto 1 como -1 son inversos multiplicativos de sí mismos, y son los únicos enteros que tienen inverso multiplicativo. Sin embargo, en el conjunto de los racionales cualquier número natural o entero distinto de 0 tiene inverso multiplicativo. En efecto, se puede mostrar fácilmente que 1/n es el inverso multiplicativo de n para cualquier número entero o natural n. Y el inverso multiplicativo de un número racional a/b es simplemente b/a. En efecto: a b

·

b a

ab

= ba = 1

El concepto de inverso multiplicativo permite convertir una división en multiplicación. En efecto, dividir por un número cualquiera (distinto de 0) es equivalente a multiplicar por su inverso multiplicativo. Y esta última multiplicación la sabemos hacer.

13 FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO

ACTIVIDADES

1.

Demuestra que si el número racional a/b se multiplica por b se obtiene un número entero.

2.

Encuentra un argumento que muestre que el producto de dos números racionales es también un número racional.

3.

(a)

Sobre la base de lo que sabemos acerca de la multiplicación de números enteros, encuentra un argumento que muestre que el producto de dos números racionales de distinto signo es negativo.

(b)

Encuentra un argumento que muestre que el producto de dos números racionales de igual signo es positivo.

(a)

Demuestra que el inverso multiplicativo de un número racional a/b es b/a.

(b)

Demuestra que el inverso multiplicativo del número racional 1/p es un número entero.

4.

5.

Propón una división de dos números racionales y resuélvela.

6.

¿Cómo dividirías un número racional por un número natural?

7.

Encuentra un argumento que muestre que el cuociente entre dos números racionales es también un número racional.

8.

(a)

En el conjunto de los números naturales, ¿qué operaciones dan siempre como resultado un número natural?

(b)

En el conjunto de los números enteros, ¿qué operaciones dan siempre como resultado un número entero?

(c)

En el conjunto de los números racionales, ¿qué operaciones dan siempre como resultado un número racional?

14 FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO

Una propiedad interesante de los números racionales A continuación analizaremos una propiedad de los números racionales que los diferencia de los números enteros y de los números naturales. Sabemos que entre dos números naturales consecutivos no existe ningún otro número natural. Por ejemplo, no hay naturales que sean mayores que 6 y menores que 7. Algo similar sucede con los números enteros. Entre un número entero y su sucesor no hay otro entero. Tanto para los números naturales como para los números enteros la recta numérica aparece como un conjunto de puntos aislados entre sí, separados por espacios en los que no hay números naturales ni enteros. No sucede lo mismo con los números racionales. Se puede demostrar que entre dos números racionales cualesquiera siempre hay por lo menos un número racional más. Una forma de encontrar un nuevo número racional que esté entre dos números racionales dados consiste en calcular la diferencia entre los dos números racionales dados y luego sumar al menor de ellos una fracción de esa diferencia. Dado que la suma, la resta, la multiplicación y la división de números racionales es siempre un número racional, el número que se encuentre siguiendo ese procedimiento debe ser también un número racional. Supongamos, por ejemplo, que se quiere encontrar un número racional que sea mayor que 3/4 pero menor que 5/6. La diferencia entre ellos es: 5 6

-

3 4

=

10 12

9 12

=

1 12

Ahora bien, 1/4 de 1/12 es 1/48. De modo que podemos formar 3 nuevos números racionales que están entre 3/4 y 5/6: 3 4

+

1 = 48

36 1 + 48 48

=

37 48

3 4

+

2 = 48

36 2 + 48 48

=

38 48

3 4

+

3 = 48

3 36 + 48 48

=

39 48

De modo que podemos afirmar que entre 3/4 y 5/6 hay por lo menos 3 números racionales: 37/48, 38/48 y 39/48. Como este procedimiento se puede repetir con cualquier fracción de la diferencia 1/12, resulta que entre 3/4 y 5/6 no solo hay 3 números racionales sino que hay una cantidad infinita de otros números racionales. Y esto es válido para cualquier par de números racionales que elijamos.

15 FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO

ACTIVIDADES

1.

2.

(a)

Verifica que los números racionales 37/48, 38/48 y 39/48 son efectivamente mayores que 3/4.

(b)

Verifica que los números racionales 37/48, 38/48 y 39/48 son efectivamente menores que 5/6.

(a)

Explica con tus propias palabras la propiedad de los números racionales que acabamos de ver.

(b)

¿Qué diferencia hay, en este sentido, entre los números racionales y los números enteros o naturales?

16 FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO

GUÍA N° 3 NÚMEROS RACIONALES Y NÚMEROS DECIMALES Transformación de números racionales a otras notaciones Sabemos que todo número racional puede escribirse como el cuociente entre dos números enteros. Analicemos qué sucede si efectuamos la división entre el numerador y el denominador. Si el número racional es positivo, entonces hay dos posibilidades. -

Si el numerador es múltiplo del denominador, entonces el resultado será un número natural. Si el numerador no es múltiplo del denominador, entonces el resultado será un número decimal positivo.

Si el número racional es negativo, entonces tenemos las siguientes posibilidades. -

Si el numerador es múltiplo del denominador, entonces el resultado será un entero negativo. Si el numerador no es múltiplo del denominador, entonces el resultado será un número decimal negativo.

De modo que si queremos transformar un número racional a otra notación, todo lo que tenemos que hacer es efectuar la división correspondiente.

ACTIVIDADES

1.

(a)

¿Podrías determinar, sin ayuda de la calculadora, cuáles de los siguientes números racionales pueden expresarse como números naturales? 28/7

2.

28/70

-280/7

280/(-70)

280/700

(b)

¿Podrías determinar, sin ayuda de la calculadora, cuáles de esos números racionales pueden expresarse como números enteros? (Recuerda que el conjunto de los enteros incluye a los naturales).

(c)

¿Podrías determinar, sin ayuda de la calculadora, cuáles de esos números racionales pueden expresarse como números decimales positivos?

(d)

¿Podrías determinar, sin ayuda de la calculadora, cuáles de esos números racionales pueden expresarse como números decimales negativos?

(e)

Verifica con ayuda de la calculadora si tus respuestas anteriores fueron correctas.

Con ayuda de una calculadora transforma los siguientes números racionales a números enteros o a números decimales según corresponda. -1/3

1/40

25/500

320/16

300/(-125) 17

FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO

Transformación de números decimales a notación fraccionaria Sabemos que cualquier número natural o entero puede expresarse muy fácilmente como número racional. Basta escribirlo como una fracción de denominador 1. La transformación de números decimales a notación racional no es tan inmediata y debemos distinguir aquí varios casos. Caso 1. El número decimal tiene una cantidad finita de cifras decimales En estos casos, como veremos, siempre será posible expresar el número decimal como una fracción cuyo denominador es una potencia de 10. Veamos un ejemplo. Supongamos que se quiere transformar 0,36 a notación racional. Multipliquemos 0,36 por 100/100. El valor no cambia pues 100/100 es igual a 1. 0,36 ·

100 = 100

0,36 ·100 = 100

36 100

De modo que 0,36 = 36/100. Por iguales razones, podemos afirmar que 8,72 = 872/100 y que 0,07 = 7/100. En todos estos casos, el denominador de la fracción es 100 porque el número decimal que queremos transformar tiene 2 cifras decimales.

ACTIVIDADES

1.

2.

3.

(a)

Para transformar 0,36 a notación fraccionaria hemos multiplicado ese número por 100/100. ¿Habríamos tenido éxito si multiplicamos 0,36 por 10/10? Explica tu respuesta.

(b)

¿Y si multiplicamos 0,36 por 1000/1000?

(a)

¿Podrías formular una regla para transformar a notación fraccionaria un número decimal que tiene 1 cifra decimal?

(b)

¿Y para transformar a notación fraccionaria un número decimal que tiene 3 cifras decimales?

(c)

¿Podrías formular una regla general, para transformar a notación fraccionaria un número decimal que tiene n cifras decimales?

Expresa en notación fraccionaria los siguientes números decimales. 0,0025

88,88

457,1

3,005

9,12

0,0101

18 FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO

Caso 2. El número decimal contiene un dígito que se repite indefinidamente A veces encontramos números decimales en que un determinado dígito se repite indefinidamente, como en los siguientes ejemplos: 0,33333…

4,8555555…

0,000111111…

277,777777…

Las siguientes actividades nos ayudarán a encontrar un procedimiento para transformar este tipo de números decimales en fracción.

ACTIVIDADES

1.

Con ayuda de una calculadora encuentra la expresión decimal de las siguientes fracciones. 1/9 (b)

2.

2/9

3/9

4/9

De acuerdo con estos resultados, ¿podrías enunciar una conclusión general para los casos en que un número de una cifra se divide por 9?

Para explicar el resultado obtenido para 2/9, Mireya propone el siguiente razonamiento: 2/9 = 2 · 1/9 = 2 · 0,1111111… = 0,22222222…. ¿Te parece correcto el razonamiento de Mireya?

3.

(a)

¿Qué resultado muestra la calculadora en los siguientes casos? 5/9

(b)

4.

6/9

7/9

8/9

¿Estos nuevos resultados contradicen la respuesta que diste a la pregunta (b) de la actividad 1? Explica tu opinión.

Basándote en los resultados que has encontrado, formula una regla para transformar a notación de fracciones los números decimales que constan de un único dígito que se repite indefinidamente.

NOTA. En matemáticas se considera que el número decimal 0,99999… es igual a 1. De igual forma, números decimales que terminan en una sucesión indefinida de nueves se considera que son iguales al número decimal finito que resulta de aumentar en una unidad el último dígito que precede a la sucesión de nueves. Por ejemplo, 3,2399999… se considera igual a 3,24.)

5.

(a)

Con ayuda de una calculadora encuentra la expresión decimal de las siguientes fracciones: 1/90

1/900

1/9000

19 FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO

(b)

Basándote en estos resultados encuentra la expresión fraccionaria para los siguientes números decimales: 0,033333…

0,00055555…

0,0088888…

Veamos ahora el caso de los números decimales que incluyen otros dígitos además de los ceros y el dígito que se repite indefinidamente. Aquí, una posibilidad consiste en separar el dígito que se repite de los demás dígitos. Por ejemplo: 1,266666… = 1,2 + 0,066666… Esto reduce la situación a casos que ya hemos visto: 1,266666… = 1,2 + 0,066666… =

12 10

6

+ 90

=

12 · 9 + 6 90

=

114 90

ACTIVIDADES

1.

2.

(a)

Explica cada uno de los pasos en esta última cadena de igualdades.

(b)

Con ayuda de una calculadora verifica si 114/90 es efectivamente igual a 1,266666…

Empleando un procedimiento similar, encuentra la expresión fraccionaria para los siguientes números decimales. Puedes usar una calculadora para efectuar los cálculos que sean necesarios. 0,04433333…

55,55555…

7,022222…

Caso 3. El número decimal contiene un grupo de dígitos que se repite indefinidamente En algunos números decimales no se repite un único dígito sino que un grupo de dígitos. Por ejemplo: 0,4545454545…

28,5913913913913…

Si el grupo que se repite consta de 2 dígitos es útil el siguiente resultado que tú puedes verificar con ayuda de una calculadora. 1/99 = 0,0101010101… Observa que se repite el grupo 01. Ahora, si multiplicamos 1/99 por un número de 1 o 2 cifras, tendremos nuevamente grupos de 2 dígitos repitiéndose indefinidamente: 7 · 1/99 = 0,0707070707…

38 · 1/99 = 0,3838383838… 20

FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO

ACTIVIDADES

1.

(a)

Basándote en los que acabamos de ver, encuentra la expresión fraccionaria de los siguientes números decimales. 0,2525252525…

2.

0,9898989898…

0,0505050505…

(b)

Verifica tus respuestas con ayuda de una calculadora.

(a)

Con ayuda de la calculadora encuentra la expresión decimal de las fracciones 1/999 y 1/9999.

(b)

¿Podrías formular un procedimiento para transformar a fracción números decimales que constan de un grupo de 3 dígitos que se repite indefinidamente?

(c)

Propón un par de ejemplos, resuélvelos y verifica tus respuestas con ayuda de la calculadora.

(c)

¿Y si el grupo que se repite indefinidamente consta de 4 dígitos?

21 FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO