UNIDAD 11 La semejanza y sus aplicaciones 2. Ayuda a la resolución de problemas: triángulos semejantes en el espacio Soluciones

Pág. 1 de 4

1 Tenemos tres copas de forma cónica de 6 cm de radio y 15 cm de altura. La primera está llena, en la segunda el líquido alcanza 10 cm, y en la tercera, 5 cm. Calcula la cantidad de líquido que contiene cada copa. 6

A

6

6

15 cm 10 cm 5 cm B

AYUDA • Volumen de la primera V = π R 2 · h = … 3 • Para calcular el volumen de la segunda, necesitamos calcular el radio menor: 6 R1

De la semejanza de estos triángulos: R1 10 = 8 R1 = … 6 15

15 10

• Volumen de la segunda: V = π R 21 · 10 = … 3 • Repite el procedimiento anterior para hallar el radio y el volumen de la tercera. SOLUCIÓN π 2 6 · 15 = 565,49 cm3 3

V= R1 6

=

V1 = R2 6

=

V2 =

10 15

8 R1 = 4 cm

π · 42 · 10 = 167,55 cm3 3 5 15

8 R2 = 2 cm

π · 22 · 5 = 20,94 cm3 3

UNIDAD 11 La semejanza y sus aplicaciones 2. Ayuda a la resolución de problemas: triángulos semejantes en el espacio Soluciones

Pág. 2 de 4

2 Una maceta tiene forma de tronco de pirámide cuadrangular regular con las dimensiones que se indican en la figura. Calcula su volumen. 18 cm

20 cm

10 cm

AYUDA V

• Prolongamos las aristas laterales hasta que se corten para obtener la pirámide de la que se obtiene el tronco. • Tenemos que hallar la altura de la pirámide mayor VO', y de la menor, VO:

A

O

D

10 cm

— — AC = √102 + 102 = 10 √2 8 AO = …

O A 10 B

20 cm

A'

C

O' 18 cm

D'

C'

— — A'C' = √182 + 182 = 18 √2 8 A'O' = …

O' A'

18

B'

• Por la semejanza de los triángulos AOV y A'O'V' se verifica: — — AV = AO 8 Obtén AV y A'V . A'V A'O' — — • Con el teorema de Pitágoras, halla las alturas VO y V'O. — — • Volumen del tronco = VPIRÁMIDE MAYOR – VPIRÁMIDE MENOR = 1 182 · VO' – 1 102 · VO = … 3 3 SOLUCIÓN — — — — — — AO = 5√2 cm; A'O' = 9√2 cm; AV = 25 cm; A'V = 45 cm; VO › 23,98 cm; VO' › 43,16 cm V = 3 861,95 cm3

UNIDAD 11 La semejanza y sus aplicaciones 2. Ayuda a la resolución de problemas: triángulos semejantes en el espacio Soluciones

Pág. 3 de 4

3 En un cono de 5 cm de radio y 12 cm de altura se inscribe una esfera. Calcula su radio. A

R

P

O

B

5 cm

C

AYUDA • Hallamos la generatriz del cono: — — — — AC 2 = BC 2 + AB 2 = 52 + 122 8 AC = … ì • Los triángulos ABC y APO son semejantes, por ser rectángulos con un ángulo agudo común, el A . • Por semejanza: Hipotenusa de APO = Cateto menor de APO Hipotenusa de ABC Cateto menor de ABC

8 AO = OP AC BC

• Si llamamos R al radio de la esfera: — — — OP = R y AO = AB – R = 12 – R • Sustituye en la igualdad [1] y despeja R. SOLUCIÓN — AC = 13 cm 12 – R R = 13 5

)

8 R = 3,3 cm

[1]

UNIDAD 11 La semejanza y sus aplicaciones 2. Ayuda a la resolución de problemas: triángulos semejantes en el espacio Soluciones

Pág. 4 de 4

4 Si cortamos un tronco de cono por un plano perpendicular a las bases la sección es un trapecio isósceles de bases 26 cm y 34 cm y altura 12 cm. Halla el volumen del tronco de cono. 26 cm 12 cm 34 cm

AYUDA V

Prolonga los lados laterales hasta llegar al vértice del cono y ten en cuenta la semejanza de los triángulos VAB y VCD: x = … x + 12 … x

13

A

B

12 C

17

D

SOLUCIÓN x 13 = 8 x = 39 cm x + 12 17 V=

π 3

· 172 · 51 –

π 3

· 132 · 39 = 8 532,57 cm3

UNIDAD 11 La semejanza y sus aplicaciones 2. Ayuda a la resolución de problemas: triángulos semejantes en el espacio Soluciones

Pág. 1 de 4

1 Tenemos tres copas de forma cónica de 6 cm de radio y 15 cm de altura. La primera está llena, en la segunda el líquido alcanza 10 cm, y en la tercera, 5 cm. Calcula la cantidad de líquido que contiene cada copa. 6

A

6

6

15 cm 10 cm 5 cm B

AYUDA • Volumen de la primera V = π R 2 · h = … 3 • Para calcular el volumen de la segunda, necesitamos calcular el radio menor: 6 R1

De la semejanza de estos triángulos: R1 10 = 8 R1 = … 6 15

15 10

• Volumen de la segunda: V = π R 21 · 10 = … 3 • Repite el procedimiento anterior para hallar el radio y el volumen de la tercera. SOLUCIÓN π 2 6 · 15 = 565,49 cm3 3

V= R1 6

=

V1 = R2 6

=

V2 =

10 15

8 R1 = 4 cm

π · 42 · 10 = 167,55 cm3 3 5 15

8 R2 = 2 cm

π · 22 · 5 = 20,94 cm3 3

UNIDAD 11 La semejanza y sus aplicaciones 2. Ayuda a la resolución de problemas: triángulos semejantes en el espacio Soluciones

Pág. 2 de 4

2 Una maceta tiene forma de tronco de pirámide cuadrangular regular con las dimensiones que se indican en la figura. Calcula su volumen. 18 cm

20 cm

10 cm

AYUDA V

• Prolongamos las aristas laterales hasta que se corten para obtener la pirámide de la que se obtiene el tronco. • Tenemos que hallar la altura de la pirámide mayor VO', y de la menor, VO:

A

O

D

10 cm

— — AC = √102 + 102 = 10 √2 8 AO = …

O A 10 B

20 cm

A'

C

O' 18 cm

D'

C'

— — A'C' = √182 + 182 = 18 √2 8 A'O' = …

O' A'

18

B'

• Por la semejanza de los triángulos AOV y A'O'V' se verifica: — — AV = AO 8 Obtén AV y A'V . A'V A'O' — — • Con el teorema de Pitágoras, halla las alturas VO y V'O. — — • Volumen del tronco = VPIRÁMIDE MAYOR – VPIRÁMIDE MENOR = 1 182 · VO' – 1 102 · VO = … 3 3 SOLUCIÓN — — — — — — AO = 5√2 cm; A'O' = 9√2 cm; AV = 25 cm; A'V = 45 cm; VO › 23,98 cm; VO' › 43,16 cm V = 3 861,95 cm3

UNIDAD 11 La semejanza y sus aplicaciones 2. Ayuda a la resolución de problemas: triángulos semejantes en el espacio Soluciones

Pág. 3 de 4

3 En un cono de 5 cm de radio y 12 cm de altura se inscribe una esfera. Calcula su radio. A

R

P

O

B

5 cm

C

AYUDA • Hallamos la generatriz del cono: — — — — AC 2 = BC 2 + AB 2 = 52 + 122 8 AC = … ì • Los triángulos ABC y APO son semejantes, por ser rectángulos con un ángulo agudo común, el A . • Por semejanza: Hipotenusa de APO = Cateto menor de APO Hipotenusa de ABC Cateto menor de ABC

8 AO = OP AC BC

• Si llamamos R al radio de la esfera: — — — OP = R y AO = AB – R = 12 – R • Sustituye en la igualdad [1] y despeja R. SOLUCIÓN — AC = 13 cm 12 – R R = 13 5

)

8 R = 3,3 cm

[1]

UNIDAD 11 La semejanza y sus aplicaciones 2. Ayuda a la resolución de problemas: triángulos semejantes en el espacio Soluciones

Pág. 4 de 4

4 Si cortamos un tronco de cono por un plano perpendicular a las bases la sección es un trapecio isósceles de bases 26 cm y 34 cm y altura 12 cm. Halla el volumen del tronco de cono. 26 cm 12 cm 34 cm

AYUDA V

Prolonga los lados laterales hasta llegar al vértice del cono y ten en cuenta la semejanza de los triángulos VAB y VCD: x = … x + 12 … x

13

A

B

12 C

17

D

SOLUCIÓN x 13 = 8 x = 39 cm x + 12 17 V=

π 3

· 172 · 51 –

π 3

· 132 · 39 = 8 532,57 cm3