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Unidad 2 : Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior Tema 2.1 : Definiciones y Terminología •

La Ecuación Diferencial Lineal de 2o 0rden No Homogénea tiene la forma:

d2y dy a2 ( x ) 2 + a1 ( x ) + a0 ( x ) y = g ( x ) dx dx •

La Ecuación Diferencial Lineal de 2o 0rden Homogénea Asociada

d2y dy a2 ( x ) 2 + a1 ( x ) + a0 ( x ) y = 0 dx dx •

ecuación (1) EDLN − H

ecuación (2 ) EDLH

Operadores Diferenciales:

d d2 d3 2 =D; =D ; = D3⇒ 2 3 dx dx dx 4 y ′′ + 3 y ′ + 5 y = 2 cos(3 x) ⇒ 4 D 2 y + 3Dy + 5 y = 2 cos(3 x) ⇒

(4 D

2

+ 3D + 5)y = 2 cos(3 x) ⇒

L ≡ 4 D 2 + 3D + 5 ⇒

L[ y ] = 2 cos(3 x)

d2 d L ≡ a2 ( x ) 2 + a1 ( x ) + a0 ( x ) ⇒ dx dx d2y dy L[ y ] = a2 ( x ) 2 + a1 ( x ) + a0 ( x ) y dx dx L[ y ] = g ( x ) representa a (1) EDLN − H L[ y ] = 0 representa a (2) EDLH •

Principio de Superposición para la EDLH. Si y1 ( x ) , y 2 ( x ) son soluciones de la EDLH (2), entonces la combinación lineal

y ( x ) = c1 y1 ( x ) + c2 y 2 ( x ) también es solución. Datos: L[ y1 ( x )] = 0

Verificación:

; L[ y 2 ( x )] = 0 L[ y ( x )] = L[c1 y1 ( x ) + c2 y 2 ( x )] = L[c1 y1 ( x )] + L[c2 y 2 ( x )]

c1 L[ y1 ( x )] + c2 L[ y 2 ( x )] = 0

38

•

Independencia Lineal Un conjunto de funciones

{ f1 (x ), f 2 (x ),.... f n (x ),} se dice que es Linealmente Independiente, abreviado LI, si ninguna de las funciones f k ( x ) puede expresarse

como una combinación lineal de las demás. En caso contrario se dice que el conjunto es Linealmente Dependiente, abreviado LD.

{

Ejemplo: f1 ( x ) = x , f 2 ( x ) = x , f 3 ( x ) = x , f 4 ( x ) = 2 x − 3 x + 4 x 3

2

2

3

es un conjunto LD ya que f 4 ( x ) = 2 f 2 ( x ) − 3 f 3 ( x ) + 4 f1 ( x ) •

Wronskiano El wronskiano W ( f1 , f 2 ) de un conjunto de dos funciones determinante: W ( f 1 , f 2 ) =

f1 f 1′

{ f1 , f 2 } se define con el

f2 = f 1 f 2′ − f1′ f 2 . f 2′

El wronskiano W ( f1 , f 2 , f 3 ) de un conjunto de tres funciones

f1 f 2 W ( f 1 , f 2 , f 3 ) = f1′ f 2′ f1′′ f 2′′ con el determinante: = f1

f 2′ f 2′′

}

{ f1 , f 2 , f 3 } se define

f3 f 3′ f 3′′

f 3′ f ′ f 3′ f ′ f 2′ − f2 1 + f3 1 f 3′′ f 1′′ f 3′′ f 1′′ f 2′′

Y así sucesivamente para ordenes mayores.

•

Criterio para Independencia Lineal Un conjunto de “n” funciones { f 1 , f 2 ,..., f n } es Linealmente Independiente, si y solo si, su wronskiano es diferente de cero en un intervalo I, esto es, si W ≠ 0.

{

2x

Ejemplo: e , e

3x

}es LI ya que W (e

2x

,e

3x

)=

e2x 2e

2x

e3x 3e

3x

= 3e 5 x − 2e 5 x = e 5 x ≠ 0

•

Conjunto Fundamental de Soluciones, CFS Si {y1 , y 2 } son soluciones de la EDLH de 2o orden y además son LI, constituyen entonces un CFS de la EDLH.

{

} constituye un CFS de la EDLH: y ′′ − 5 y ′ + 6 y = 0 ; ya que ambas funciones satisfacen la EDLH y además el conjunto {e , e } es LI. 2x

Ejemplo: e , e

3x

2x

3x

39

•

Solución General de la EDLH de 2o orden, yh(x) Si {y1 , y 2 } constituyen un CFS de la EDLH entonces la solución general de

la EDLH es: y h ( x ) = c1 y1 ( x ) + c2 y 2 ( x )

A esta solución y h ( x ) algunas veces se le llama la solución homogénea, por ser la solución de la EDLH, y algunas veces se le llama la solución complementaria de la EDLN-H, y se le denota como yc ( x ) . Por tanto y h = y c

Ejemplo: la solución general de la EDLH: y ′′ − 5 y ′ + 6 y = 0 ; está dada por:

y h ( x ) = c1e 2 x + c2 e 3 x

•

Solución Particular yp(x) Cualquier función y p ( x ) que satisface la EDLN-H (1), L[ y ( x )] = g ( x ) se llama

solución particular.

•

Solución General de la EDLN-H de 2o orden Si y p ( x ) es una solución particular de la EDLN-H y {y1 , y 2 } es un CFS de la EDLH asociada, entonces la solución general de la EDLN-H es:

y ( x ) = y h ( x ) + y p ( x ) = c1 y1 ( x ) + c2 y 2 ( x ) + y p ( x )

•

Principio de Superposición para EDLN-H. Si tenemos una EDLN-H, L[ y ( x )] = g ( x ) , tal que

g ( x ) = g1 ( x ) + g 2 ( x ) + g 3 ( x ) , y si conocemos soluciones particulares y p1 , y p 2 , y p 3 tales que L[y p1 ( x )] = g1 ( x ) ; L[y p 2 ( x )] = g 2 ( x ) ; L[y p 3 ( x )] = g 3 ( x ) ; entonces se cumple

[

]

que: L y p1 ( x ) + y p 2 ( x ) + y p 3 ( x ) = g1 ( x ) + g 2 ( x ) + g 3 ( x )

40

•

Ejemplo: Si y p1 ( x ) = −4x es solución particular de y ′′ − 3 y ′ + 4 y = −16 x + 24 x − 8 ; y 2

si y p 2 ( x ) = e es solución particular de y ′′ − 3 y ′ + 4 y = 2e 2x

2

2x

;y

si y p 3 ( x ) = xe es solución particular de y ′′ − 3 y ′ + 4 y = (2 x − 1)e x

entonces:

y p ( x ) = y p1 ( x ) + y p 2 ( x ) + y p 3 ( x ) = −4 x 2 + e 2 x + xe x

es solución particular de la EDLN-H:

y ′′ − 3 y ′ + 4 y = −16 x 2 + 24 x − 8 + 2e 2 x + (2 x − 1)e x

Para la próxima clase estudiar las secciones: 4.1 Zill 4.1 al 4.3 Nagle Teoría Preliminar 4.2 Zill 4.4 Nagle Reducción de Orden Tarea para entregar la próxima clase: Tarea No. 11 : Teoría Preliminar

x

41

Ma-841 : ECUACIONES DIFERENCIALES Tarea No. 11 : Teoría Preliminar En los siguientes problemas cada familia de funciones es la solución general de la ED dada ene l intervalo indicado. Determine un miembro de la familia que sea solución del problema de valor inicial.

P1 : y = c1e x + c2 e − x

(− ∞, ∞ ) ; y′′ − y = 0 ; y(0) = 0 ; y ′(0) = 1 (0, ∞ ) ; x 2 y′′ − xy′ + y = 0 ; y(1) = 3 ; y′(1) = −1

;

P 2 : y = c1 x + c2 x ln x ;

En los siguientes problemas investigue si los conjuntos de funciones son linealmente independientes, (LI), en el intervalo (− ∞, ∞ ) .

P3 : P4 :

f1 ( x ) = x ;

f 2 (x ) = x − 1 ;

f1 ( x ) = 1 + x ;

f 2 (x ) = x ;

f 3 (x ) = x + 3 f 3 (x ) = x 2

En los problemas siguientes compruebe que las funciones dadas forman un conjunto fundamental de soluciones de la ED en el intervalo indicado. Forme la solución general.

P5 : y ′′ − y ′ − 12 y = 0 ;

{e

−3 x

,e4x } ;

P6 : x 3 y ′′′ + 6 x 2 y ′′ + 4 xy ′ − 4 y = 0 ;

(− ∞, ∞ )

{x, x

−2

, x −2 ln x} ;

(0, ∞ )

Compruebe que la familia biparamétrica de funciones dadas en los siguientes problemas sea la solución general de la ED no homogénea dada.

P7 : y ′′ − 7 y ′ + 10 y = 24e x

;

y = c1e 2 x + c2 e 5 x + 6e x

P8 : y ′′ − 4 y ′ + 4 y = 2e 2 x + 4 x − 12 ;

R1 : y = (e − e x

−x

)/ 2

R 2 : y = 3 x − 4 x ln x R3 : dependiente R 4 : independiente

y = c1e 2 x + c2 xe 2 x + x 2 e 2 x + x − 2

R5: Las funciones satisfacen la ED y son linealmente independientes en el intervalo, porque:

W (e −3 x , e 4 x ) = 7e x ≠ 0 ; y = c1e −3 x + c2 e 4 x

R6: Las funciones satisfacen la ED y son linealmente independientes en el intervalo, porque:

W (x, x −2 , x −2 ln x ) = 9 x −6 ≠ 0 ; y = c1 x + c2 x −2 + c3 x −2 ln x