UNIDAD 3: ANALICEMOS LA FUNCION EXPONENCIAL Y LOGARITMICA. Históricamente, los exponentes fueron introducidos en matemáticas para dar un método corto que indicara el producto de varios factores semejantes, y, con este propósito, solo se consideraron inicialmente exponentes naturales. El estudio de las potencias de base real será dividido en varios casos, de acuerdo con la clase de exponente: un número entero, racional o, en general, un número real . 2.1 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Definición. Sea

un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder

la potencia Como

se llama función exponencial de base a y exponente x. para todo

,la función exponencial es una función de

en

.

En el siguiente teorema, se presentan las propiedades más importantes de la función exponencial.

2.1.1 Teorema (Leyes de los Exponentes) Sean a y b reales positivos y

x,y ,entonces:

1.

2. 3. 4.

5.

.

6. Cuando a > 1 ,si x < y, entonces, .Es decir, cuando la base a es mayor que 1,la función exponencial de base a es estrictamente creciente en su dominio. Cuando 0 < a < 1, si x < y, entonces,

.

Esto significa que la función exponencial de base a < 1 es estrictamente decreciente en su dominio. . 10.Si 0< a < b ,se tiene:

. Esta propiedad permite comparar funciones exponenciales de diferentes bases. 11. Cualquiera que sea el número real positivo

,existe un único número real

tal que

. Esta propiedad indica que la función exponencial es sobreyectiva. Cuando x e y son enteros, los propiedades enunciadas anteriormente pueden demostrarse usando las definiciones y el teorema 1. Para el caso en el cual x e y son racionales, la demostración utiliza la definición y el teorema 2. Para el caso general, es decir, cuando x e y son reales, la demostración utiliza elementos del análisis real.

2.1.2 Gráfica de la Función Exponencial En relación con las propiedades 7 y 8, enunciadas en el teorema, es conveniente hacer algunos comentarios adicionales. En primer lugar, en las figuras 1 y 2, aparecen las gráficas de algunas funciones exponenciales de base a > 1 (fig. 1) y de base a < 1 (fig. 2).

Note que cuando la base a es mayor que 1,la función exponencial acotada superiormente. Es decir ,

(fig.1) no está

crece sin límite al aumentar la variable x. Además,

ésta función tiene al cero como extremo inferior. Esto es , tiende a cero(0), cuando x toma valores grandes pero negativos. Igualmente, cuando la base a < 1, la función exponencial (fig.2) no está acotada superiormente, pero su comportamiento para valores grandes de x, en valor absoluto, es diferente. Así,

crece sin límite, al tomar x valores grandes, pero negativos y cero, cuando la variable x toma valores grandes positivos.

tiende a

El hecho de ser la función exponencial con a > 1, estrictamente creciente (estrictamente decreciente cuando 0 < a < 1), significa que la función exponencial es invectiva en su dominio. Este hecho y la continuidad de la función son las condiciones que se exigen para garantizar la existencia de la función inversa (función logarítmica), que se presentan en la próxima sección. En relación con la propiedad 9, en un sentido, se deduce fácilmente de la definición de función; y, en otro, del hecho de ser la función exponencial invectiva. Observación. Cuando a = e ,donde e es el número irracional cuya representación decimal con sus primeras cifras decimales, es e = 2.7182818284?.,la función exponencial

,se llama:

función exponencial de base e y, frecuentemente, se denota por Exp ( x ) =

.

2.1.3 Las Funciones Hiperbólicas En algunos problemas de Física e Ingeniería, se presentan ciertas combinaciones de las funciones y que por su interés y características especiales merecen ser consideradas con algún tratamiento. Tales combinaciones reciben el nombre de funciones hiperbólicas. Aquí solamente, se definirán y presentarán algunas identidades básicas que las relacionan.

La función COSENO HIPERBÓLICO, denotada por coshx, se define:

, La función SENO HIPERBÓLICO, denotada por senhx , se define:

, A partir de éstas, se definen las funciones: TANGENTE, COTANGENTE, SECANTE Y COSECANTE HIPERBÓLICA, de la siguiente manera:

A partir de la definición de las funciones hiperbólicas, es fácil demostrar, y se deja como ejercicio para el lector, las siguientes identidades con funciones hiperbólicas: 1. 2. 3. 4. 5. 6. senh2x =2senhx coshx 8.

9.

10. 11. 12.

2.2. LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA Con el uso de los logaritmos, los procesos de multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de raíces entre números reales pueden simplificarse notoriamente. El proceso de multiplicación es reemplazado por una suma; la división, por una sustracción; la elevación a potencias, por una simple multiplicación, y la extracción de raíces, por una división. Muchos cálculos algebraicos, que son difíciles o imposibles por otros métodos, son fáciles de desarrollar por medio de los logaritmos.

La igualdad N fundamentales:

,donde N es un número real y

, es una expresión potencial; da lugar a dos problemas

Dada la base a y el exponente x ,encontrar N. Dados N y a, encontrar x.

El primero de ellos puede solucionarse, en algunos casos ,aplicando las leyes de los exponentes. Para el segundo, la propiedad 11 del teorema 2.1.1 garantiza que siempre existe un número real x tal que N reales positivos y

, cuando N y a son

.

Lo anterior da lugar a la siguiente definición:

Definición. Sea a un real positivo fijo,

y sea x cualquier real positivo, entonces:

La función que hace corresponder a cada número real positivo su logaritmo en base

denotada por x en la base a.

,se llama: función logarítmica de base a, y, el número

,

se llama logaritmo de

La definición anterior, muchas veces, se expresa diciendo que :el logaritmo de un número, en una base dada ,es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número. En el teorema siguiente, se presentan las propiedades más importantes de los logaritmos. 2.2.1 Teorema ( Propiedades de los logarítmos ) Si a > 0, y b es cualquier real positivo, x e y reales positivos, entonces :

.

.

Cuando a > 1 , si 0 < x < y , entonces, estrictamente creciente en su dominio.

.Es decir ,la función logarítmica de base a > 1 es

Cuando 0 < a < 1, si 0 < x < y ,entonces, estrictamente decreciente en su dominio.

.Esto es la función logarítmica de base entre 0 y 1; es

Para todo número real , existe un único número real función logarítmica es sobreyectiva .

tal que

. Esta propiedad indica que la

.

Si

, y, a != 0 , entonces,

. (Invarianza)

Demostración. Para demostrar las propiedades de los logaritmos, se hace uso de la definición y de las propiedades de la función exponencial, presentadas en la sección anterior. A manera de ilustración , se demuestran las propiedades 1,4 y 7. Se dejan las restantes como ejercicio para el lector.

Sea

.De acuerdo a la definición de logaritmo y de la propiedad 9 del teorema 3 ,se tiene :

.

Esto es ,

(1)

En segundo lugar , nuevamente por la definición ,

. 0

Es decir ,

( 2 ).

De ( 1 ) y ( 2 ), se concluye que

Sea

y

.

, entonces :

( 1 ).

( 2 ).

De ( 1 ) y ( 2 ), se sigue que :

.

Es decir ,

.

7.Se supone que a > 1 y 0< x < y. Sean :

y

.Se prueba que

.

En efecto ,si ,y como a > 1 ,se tendría por la propiedad 7 del teorema 3 que en contradicción con la hipótesis.

, es decir ,

Análogamente, se razona para el caso 0 < a < 1. Observaciones.

i ) La igualdad

, dada en la propiedad 1, es también válida para b < 0 .

ii) Las propiedades 7 y 8 de los logaritmos, conjuntamente con las propiedades 7 y 8 de los exponentes, ponen de manifiesto el comportamiento similar que presentan las funciones exponenciales y logarítmicas en una misma base .Es decir, si una de ellas es continua y creciente ( continua y decreciente ) , la otra también lo es. iii) La base más frecuentemente utilizada para las funciones exponenciales y logarítmicas es el llamado número e (número de EULER ).Los logaritmos de base e son llamados logaritmos Naturales o Neperianos y se denotan por Ln .Sin embargo ,los que más a menudo se encuentran tabulados y que se utilizan en la practica son los correspondientes a la base 10 ,los cuales son llamados logaritmos decimales o vulgares y se denotan por

o, simplemente, Log x.

2.2.2. Gráfica de La Función Logarítmica En las figuras 3 y 4 , aparecen las gráficas de las funciones propiedades establecidas en el teorema inmediatamente anterior.

e

, en concordancia con las

En la figura 5, se han trazado conjuntamente las curvas e .Allí pueden visualizarse los comentarios hechos en la observación ii). Puede notarse, además, que las curvas son simétricas con respecto a la recta y = x.

fig 3

fig 4

2.3.1 Ejercicios Resueltos Sobre la Función Exponencial

1. Simplifique totalmente la siguiente expresión: .. SOLUCIÓN

=

=

=

=

=

= 2025 .

2. Pruebe que .. SOLUCIÓN Simplifique inicialmente el numerador y el denominador de la fracción .Así: También ,

En consecuencia ,

.

2.3.2 Ejercicios Resueltos Sobre La Función Logarítmica

1. Pruebe que si a > 0 , a .. SOLUCIÓN Suponga que (2).

y x > 0 ,entonces,

.

(1). Esto significa, de acuerdo a la definición, que

De (2), se deduce que

. Pero ,

(3).

De (1) y (3), se concluye que :

2. Sea a > 0 , x > 0 y, además , .. SOLUCIÓN

.Determine el valor de x.

Si , entonces, miembros de la última igualdad ,se obtiene :

. Tomando logaritmo en base a ,en ambos

. O Equivalentemente ,

Despejando

y simplificando , se obtiene :

En

consecuencia ,

.

3. Determine los valores de x e y que satisfacen simultáneamente las ecuaciones : (1)

(2)

.. SOLUCIÓN De la ecuación ( 2 ) ,se sigue que x e y son reales positivos. Además,se puede deducir que :

( 3 ). De donde , Como x,y son reales positivos ,se sigue de ( 1 ) que De ( 4 ) y ( 5 ), se deduce que :

( 4 ). ( 5 ).

.

De donde ,

.

Sustituyendo el valor de y en la ecuación ( 1 ) ,se obtiene

4. En la escala de Richter, la intensidad M de un terremoto, se relaciona con su energía E (en Ergios ) por medio de la fórmula:

Si un terremoto tiene 1000 veces más energía que otro, ¿cuántas veces mayor es su índice de Richter M ? ¿Cuál es la razón de la energía del terremoto de San Francisco, ocurrido en 1906 (M=8.3), con la del Eureka de 1980 (M=7) ? .. SOLUCIÓN Sean

, las energías de los dos terremotos y tales que

(1).

Entonces,

Pero,

(3) y ,también ,

(4)

Sustituyendo (3) y (4) en (2), se obtiene:

Simplificando la última igualdad, se deduce que : . Este último resultado indica que la intensidad del terremoto de mayor energía tenía dos unidades mas que la intensidad del primero.

Si

denota la energía del terremoto de San Francisco

y

la energía del Eureka

, entonces :

(5). (6).

Dividiendo miembro a miembro las igualdades (5) y (6), se

obtiene: ¿Cómo interpreta usted este resultado?