Unidad 3: Razones trigonométricas

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Unidad 3: Razones trigonométricas. 1.- Medida de ángulos: grados y radianes. Las unidades de medida de ángulos más usuales son el grado sexagesimal y el radián. 

Se define grado sexagesimal a la amplitud del ángulo que se obtiene al dividir el ángulo completo de una circunferencia en 360 partes iguales. Un minuto sexagesimal es la amplitud que se obtiene al dividir un grado sexagesimal en 60 partes iguales. Un segundo sexagesimal es la amplitud que se obtiene al dividir un minuto sexagesimal en 60 partes iguales.

Unidades complejas e incomplejas Para pasar de una forma a la otra, se usa la siguiente tecla de la calculadora: º ´ ´´

26,26º= Shift

º ´ ´´

=26º 15´36´´

Ángulos mayores de 360º 1720º= 4 · 360º +280º  4 giros completos, más 280º

Unidad 3: Razones trigonométricas



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Se llama radián a la amplitud de un ángulo central de una circunferencia cuyo arco mide lo mismo que su radio.

Como la longitud de una circunferencia de radio r es 2 r , un ángulo que abarque la circunferencia completa mide equivale a uno de

2 r radianes = 2 rad . Por tanto, un ángulo de 360º r

, uno de

equivale a uno de

y uno de

. Estas equivalencias nos permiten pasar de una unidad a otra (grados mediante una regla de tres. Ejemplos. Expresa en radianes los siguientes ángulos:

Solución

Ejemplos. Expresa en grados los siguientes ángulos:

Solución

a uno de radianes)

Unidad 3: Razones trigonométricas

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Observación: Cuando medimos ángulos sobre una circunferencia, consideramos como sentido positivo el del sentido contrario a las agujas del reloj. Si lo medimos en sentido inverso, diremos que es un ángulo negativo.

1.- Expresa en radianes los ángulos dados en grados y en grados los expresados en radianes.

2.- Razones trigonométricas de un ángulo agudo.

Se llaman razones trigonométricas de un ángulo agudo  en un triángulo rectángulo a las distintas razones que hay entre los lados del triángulo rectángulo. cateto opuesto al ángulo 1  cos ec  hipotenusa sen cateto contiguo al ángulo 1 cos    sen  hipotenusa cos  cateto opuesto al ángulo 1 tg   cot g  cateto contiguo tg sen 

Observa que:

Unidad 3: Razones trigonométricas

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Observaciones: 

, pues la hipotenusa es mayor que cualquiera de los dos catetos.



Al usar la calculadora, tienes que trabajar en el modo DEG si los ángulos vienen en grados, y en modo RAD si los ángulos vienen en radianes.



Para calcular un ángulo conociendo alguna de sus razones trigonométricas hacemos uso de las teclas shift y cos-1, sin-1 o tg-1. Por ejemplo, si sabemos que el coseno de un ángulo es 0,35, podemos averiguar el ángulo calculando .

2.- Emplea la calculadora para determinar los ángulos agudos que cumplen:

3.- Determina las siguientes razones.

3.- Razones trigonométricas de los ángulos de

.

Razones trigonométricas del ángulo de Consideremos un triángulo rectángulo isósceles como el de la figura. Entonces, la hipotenusa es Por tanto:

Razones trigonométricas del ángulo de

Unidad 3: Razones trigonométricas

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Consideremos un triángulo equilátero. La altura h lo divide en dos triángulos rectángulos. Si tenemos en cuenta el teorema de Pitágoras, la altura se relaciona con el lado l de la siguiente forma:

De donde:

Razones trigonométricas de un ángulo de 30

Razones trigonométricas de un ángulo de 60

4.- Calcula el lado de un triángulo equilátero cuya altura es de 3 cm sin usar el teorema de Pitágoras. 5.- Calcula:

6.- Calcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles cuyo cateto mide 6cm, sin usar el teorema de Pitágoras.

Unidad 3: Razones trigonométricas

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7.- Calcula la altura de un triángulo equilátero de lado 5cm sin utilizar el teorema de Pitágoras.

4.- Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera. Vamos a ver otra forma de determinar las razones trigonométricas de un ángulo. Sobre unos ejes de coordenadas trazamos una circunferencia de centro el origen de coordenadas y radio 1 (circunferencia goniométrica). Dibujamos el ángulo  de forma que su vértice coincida con el origen de coordenadas y uno de sus lados coincida con el semieje positivo X. El otro lado lo dibujaremos girando en el sentido contrario al de agujas del reloj, si el ángulo es positivo, o en el de las agujas del reloj, si es negativo.

Obsérvese que el ángulo queda determinado conociendo el punto P de intersección del segundo lado del ángulo con la circunferencia goniométrica.

En el caso de que el ángulo sea agudo, las coordenadas del punto P coinciden con el coseno y el seno de dicho ángulo.

Unidad 3: Razones trigonométricas

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Teniendo en cuenta lo anterior, se define el coseno y el seno de cualquier ángulo como las coordenadas del punto P de corte entre la circunferencia goniométrica y el segundo lado del ángulo.

4.1.- Razones trigonométricas de los ángulos notables

0° 30° 45° 60°

90°

sin 0

1

cos 1

0

tan 0

1

No existe

4.2.- Razones trigonométricas de los ángulos de

Ángulo 0º 90º 180º 270º 360º 0 1 0 -1 0 Seno 0 -1 0 1 Coseno 1 0 No existe 0 Tangente 0 No existe

Unidad 3: Razones trigonométricas

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8.- Razona la respuesta: a) ¿Por qué no existe

?

b) ¿Ocurre lo mismo con todos los ángulos que son múltiplos de 90 ?

4.3.- Signo de las razones trigonométricas. Dependiendo del cuadrante donde se encuentre el punto, los signos de las razones trigonométricas varían.

4.4.- Intervalos de valores en los que están definidas las razones trigonométricas: 

pues las coordenadas de cualquier punto de la circunferencia goniométrica están comprendidas entre -1 y 1.



En cambio

puede tomar cualquier valor, es decir

.

9.- Indica el signo que tienen las razones trigonométricas de los ángulos, identificando el cuadrante en que se encuentran.

a)66º b)18º c)175º 10.- Sin usar la calculadora, determina:

d )135º e)342º f )120º

Unidad 3: Razones trigonométricas

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5.- Relaciones entre las razones trigonométricas.

5.1.- Principales relaciones entre las razones trigonométricas de un ángulo. 

Fórmula fundamental de la trigonometría



A partir de estas dos fórmulas o relaciones se obtienen:

11.- Calcula las razones trigonométricas de un ángulo agudo sabiendo:

12.- Razona si existe algún ángulo para el que se cumpla:

a) sen  0,3 y cos   0,8 b) cos   0,1 y sen  0,99 c)tg  1, 04 y sen  0, 72 13.- Calcula el seno, el coseno y la tangente sabiendo que:

14.- Utilizando las fórmulas o relaciones fundamentales, demuestra que: cos2   sen2  2cos2   1

Unidad 3: Razones trigonométricas

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5.2.- Cálculo de las razones trigonométricas de ángulos del segundo, tercer y cuarto cuadrante a partir de las razones trigonométricas de ángulos del primer cuadrante. a) Razones

trigonométricas

de

ángulos

del

2º

cuadrante

(

b) Razones (

.

trigonométricas

de

ángulos

del

3º

cuadrante .

Unidad 3: Razones trigonométricas

c) Razones trigonométricas de ángulos del 4º cuadrante (

5.3.- Relación entre las razones complementarios (suman 90º).

trigonométricas

11

.

de

ángulos

5.4.- Relación entre las razones trigonométricas de ángulos opuestos.

Unidad 3: Razones trigonométricas

15.-

Si

,

calcula

las

12

razones

trigonométricas de los siguientes ángulos:

16.- Calcula el valor de las siguientes razones trigonométricas reduciéndolas a razones trigonométricas de ángulos del primer cuadrante.

17.- Sabiendo que

, halla las razones trigonométricas de:

18.- Calcula las razones trigonométricas en función de las razones de otros ángulos del primer cuadrante:

19.- Si

20.- Sabiendo que

; halla:

y que

es un ángulo agudo, determina las razones

trigonométricas.

6.- Relaciones trigonométricas de operaciones con ángulos. Razones trigonométricas de la suma Consideremos el triángulo AFE, entonces:

Consideremos el triángulo ACE, entonces:

Unidad 3: Razones trigonométricas

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Por otro lado, los triángulos ABC y CDE son semejantes, con lo que el ángulo agudo de vértice C del triángulo CDE es igual a . Por tanto:

Consideremos el triángulo ABC, entonces:

Teniendo en cuenta lo anterior:

A partir de las fórmulas anteriores se obtiene:

Razones trigonométricas de la diferencia Como

, y sabemos que

y

, teniendo en cuenta las razones trigonométricas de la suma, se tiene:

Unidad 3: Razones trigonométricas

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Razones trigonométricas del ángulo doble Como

, usando las formulas de las razones trigonométricas de la suma se

tiene:

Razones trigonométricas del ángulo mitad Usando las razones trigonométricas del ángulo doble, se obtiene: (1) Por otro lado, usando la fórmula fundamental de la trigonometría: (2) Sumando ahora la igualdad (1) con la igualdad (2), miembro a miembro, se obtiene:

De donde:

De manera análoga, si en lugar de sumar restamos y despejamos se obtiene:

De aquí:

El signo + o – de cada una de las fórmulas dependerá del cuadrante en el que esté el ángulo 21.- A partir de las razones de 60º y 45º, calcula las razones trigonométricas de 105º y 15º. 22.- A partir de las razones trigonométricas de 60º y 30º halla las razones trigonométricas de 120º y 15º

Unidad 3: Razones trigonométricas

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23.- A partir de las razones trigonométricas de 30º y 45º, calcula las razones trigonométricas de 75º y 22,5º24.- Expresa en función de

, las razones trigonométricas

.

25.- Demuestra que se verifican estas igualdades.

26.- Comprueba la siguiente relación entre las razones trigonométricas de un ángulo.

27.- Demuestra que es cierta la igualdad.

28.- Simplifica la expresión

29.- Demuestra la siguiente igualdad

30.- Demuestra que se verifica la igualdad.

7.- Identidades trigonométricas que permiten transformar sumas y restas de razones trigonométricas en productos y viceversa.

Demostración

Unidad 3: Razones trigonométricas

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Sumando las dos expresiones: (1) Si en vez de sumar restamos: (2) Teniendo en cuenta el cambio de variable:

Sustituyendo en las identidades (1) y (2) resultan las dos primeras fórmulas. Para demostrar las últimas dos fórmulas basta realizar el mismo procedimiento usando las fórmulas del coseno de la suma y el coseno de la diferencia.

31.- Transforma en productos las siguientes sumas:

32.- Utiliza las identidades trigonométricas para simplificar:

8.- Ecuaciones trigonométricas. Cuando en una ecuación la incógnita aparece como argumento de alguna razón trigonométrica, estamos ante una ecuación trigonométrica. Las ecuaciones trigonométricas, si tienen solución, tienen un número infinito de soluciones, pero es suficiente dar las soluciones comprendidas entre 0º y 360º.

Ecuación con una razón trigonométrica igualada a una constante Ejemplo:

Por tanto, teniendo en cuenta que el seno es positivo en el primer y segundo cuadrante, en los primeros 360º obtenemos cuatro soluciones 5º, 125º, 245º, 45º, 165º y 285º.

Unidad 3: Razones trigonométricas

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Ecuaciones en las que se aplican fórmulas trigonométricas Ejemplo:

Aplicamos las fórmulas para expresar la ecuación mediante una sola razón trigonométrica.

Haciendo un cambio de variable

, lo que es imposible. Por tanto, las soluciones comprendidas entre 0º y 360º son 60º y 300º

Ejemplo:

De aquí:

Ejemplo:

En algunos casos conviene transformar sumas en productos:

De aquí:

Por tanto, las soluciones comprendidas entre 0º y 360º son 0º, 45º, 135º, 180º, 225º y 315º

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9.- Sistemas de ecuaciones trigonométricas. Diremos que un sistema de ecuaciones es un sistema de ecuaciones trigonométricas si alguna de las ecuaciones que lo componen es una ecuación trigonométrica. Aunque no existe un procedimiento general para resolver este tipo de sistemas, sin embargo es necesario dominar los métodos de sustitución y reducción habituales para la resolución de sistemas de ecuaciones trigonométricas. Ejemplo:

Aplicando el método de reducción:

De aquí:

Luego las soluciones del sistema son (60º,0º) y (300º, 0º) Ejemplo:

Aplicando el método de sustitución:

(1)

Haciendo el cambio

Sustituyendo ahora

en (1):

Luego, las soluciones son (45º, 45º), (45º, 315º), (135º, 45º) y (135º, 315º)

Unidad 3: Razones trigonométricas

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Soluciones 1.-

2.-

3.-

4.5.6.7.8.- a) Porque b) Si lo multiplicamos por un número par la tangente da O. Si lo multiplicamos por un número impar ocurre lo mismo que para 90º. 9.- a) Todas positivas b) Todas positivas c) coseno negativo seno positivo,… 10.11.-

12.- Debes comprobar que cumplen las fórmulas trigonométricas (FFT) 13.-

14.- Si son iguales, su diferencia da 0. Resta ambos miembros y comprueba, haciendo uso de las fórmulas trigonométricas, que da 0. 15.-

Unidad 3: Razones trigonométricas

20

16.-

17.- Primero calcula

y después calcula utilizando las relaciones

correspondientes. 18.-

El resto de manera análoga. 19.20.-

21.22.23.24.25.- Desarrolla el segundo miembro y obtén el primero. 26.- Desarrolla el primer miembro y obtén el segundo. 27.- Es el 24 28.- La solución es 1. 30.- Desarrolla el segundo miembro, después divide el numerador y el denominador por y obtendrás el primer miembro.