UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILE INSTITUTO DE CIENCIA Y TECNOLOGIA DE LOS ALIMENTOS / ASIGNATURA : Ingeniería de Procesos III (ITCL 234) PROFESOR : Elton F. Morales Blancas

UNIDAD 6: CONGELACIÓN DE ALIMENTOS GUIA DE PROBLEMAS RESUELTOS (Versión ALFA) 1) Una planta de alimentos congelados procesa cerezas de 18 mm de diámetro aproximadamente. La temperatura inicial del producto es 20 °C, y la temperatura del aire es - 35 °C. Se dispone de un túnel congelador de lecho semi-fluidizado continuo con un coeficiente convectivo de transferencia de calor igual a 60 W/m²-K. Considerar la temperatura del centro térmico al final del proceso igual a -10 °C. a) ¿Las cerezas congeladas cumplen con los requisitos de un producto I.Q.F.? b) Determine el tiempo efectivo de congelación. Cerezas Humedad = 82,6% Densidad = 1050 kg/m³ SOLUCION: Para saber si las cerezas cumplen con los requisitos IQF (congelación rápida) se debe cumplir que:

W =

5 < W < 10 cm / h siendo:

r tw

Ecuación 0.0

W: Velocidad de congelación r: Distancia mínima desde la superficie hasta el centro térmico (cm) tw: Tiempo transcurrido desde que la superficie alcanza 0 ºC hasta que el centro térmico alcance 5 ºC por debajo de la temperatura inicial de formación del hielo (s)

En el siguiente esquema En el esquema se puede observar el tiempo tw que se pide (denominador) ºC 20

I

0

II

Tzc

III

Tzc -5

t1

t2

t

tw Curva centro producto Curva superficie del producto

t w = t 2 − t1

Ecuación 1.0

NOTA: Los puntos donde se quiebra la curva para centro (azul) indica las tres diferentes zonas que existen. • • •

Zona I : de pre-enfriamiento Zona II: de cambio de fase Zona III : de post-enfriamiento

- El tiempo se calcula en la zona I y III mediante cartas y en la zona II por medio de Plank, de acuerdo a los siguientes pasos. - Forma geométrica de la cereza corresponde a una esfera Paso 1 9 Cálculo de t1. - t1 corresponde al tiempo en que la superficie alcanza 0 ºC. Datos:

ti = 20 °C tf = -10 °C tzc (– 5) = -6,39 °C

t∞ = -35 °C tzc = -1,39 °C (Foodproperty) R = 9·10-3 m

D = 0,018 m

- Se calculan las propiedades termofísicas de la cereza basándose en composición binaria a 0 ºC y a 20 °C en programa computacional on-line Foodproperty. Posteriormente se calculan los promedios de: densidad, calor específico y conductividad térmica. Æ Densidad promedio:

ρ ( 20°C ) = 1050 Kg / m 3 ρ ( 0°C ) = 1051,3Kg / m

3

ρ = 1050,65 Kg / m 3

Æ Calor específico promedio:

Cp( 20ºC ) = 3749, 7 J / kgK Cp( 0ºC ) = 3779,1 J / kgK

Cp = 3764, 4 J / kgK

Æ Conductividad térmica promedio:

K ( 20º c ) = 0,555W / m K K ( 0ºC ) = 0,526W / m K

K = 0,5405 W / m K

- Mediante las cartas de Heissler se busca el tiempo (se puede realizar también con cartas de Gourney), ya que este tiempo t1 cae en la zona I. - Se determina el NBi para poder conocer a que situación corresponde el problema:

N Bi =

Siendo:

h ⋅ L∗ K

L∗ : La longitud característica (m). h : Coeficiente de conductividad térmica (W / m2 K). K : Promedio de conductivita térmica (W / m K).

Ecuación 1.1

L* =

V A

Ecuación 1.2

A = 4πR 2

V =

4 3 πR 3

Ecuación 1.3

Ecuación 1.4

Al reemplazar se obtiene:

4 V = π (0.009m)3 = 3, 054 × 10−6 m3 3

A = 4π (0, 009m) 2 = 0, 001m 2

L∗ =

V 3, 054 ×10−6 m3 = = 0, 003m A 0, 001m 2

60(W / m 2 K ) ⋅ 0, 003m = 0.33 N Bi = 0,5404(W / mK ) 0,1 < N Bi < 40 , por lo tanto se tiene una resistencia interna y externa apreciable. Æ Cálculo de la difusividad térmica α.

α= Siendo:

K ρ ⋅ Cp

Ecuación 1.5

K : Conductividad térmica promedio (W/m K)

ρ : Densidad promedio (kg/m3) Cp : Calor especifico promedio (J/Kg K) Al reemplazar se obtiene

α=

0,5405(W / mK ) = 1,37 ×10−7 m 2 / s 3 1050, 65( Kg / m ) ⋅ 3764, 4( J / KgK )

W =

J s

Æ Cálculo de Y.

Y=

T − T∞ T0 − T∞

Ecuación 1.6

Siendo: T: temperatura de enfriamiento a 0 °C (°C). T0: Temperatura inicial del producto (°C). T∞: Temperatura del medio (°C). Reemplazando se obtiene:

Y=

-

(0 − (−35))º C = 0, 636 (20 − (−35))º C

Se debe buscar un Y cercano a este valor, esto se realiza probando mediante cartas hasta coincidir con esta cantidad.

-

Para utilizar las cartas de Heissler se debe tener Fo’ y

Fo ' =

α ⋅t R

2

1 Bi ′

1 K = Bi′ h ⋅ R

Ecuación 1.7

Ecuación 1.8

Siendo α : Coeficiente de difusividad térmica (m2/s) t : Tiempo (s).

K : Conductividad térmica promedio (W/m K) h : Coeficiente convectivo de transferencia de calor (W/ m2 K). L* : La longitud característica (m). -

Para calcular el tiempo en la superficie, se multiplica y1 (centro) por y2 (superficie), utilizando las cartas de Heissler para esfera en centro y en superficie.

⎡ T (r , t ) − T∞ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ T0 − T∞ ⎦

⎡ T( r ,t ) − T∞ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣⎢ T(0,t ) − T∞ ⎦⎥

=

×

⎡ T(0,t ) − T∞ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ T0 − T∞ ⎦

t (seg)

Y1

r r0

1 Bi`

F0’

1 Bi`

Y2

Y = Y1 ×Y2

60

0,64

1

1,00

0,1

1,00

0,99

0,634

- Al suponer un tiempo de 60 s, se logra el objetivo de encontrar un Y cercano a 0.636, por lo tanto,

t1 = t( 20°C →0°C ) ≈ 60s ≈ 1 min Paso 2 9 Cálculo de t2. - t2 corresponde al tiempo en que el centro térmico de la cereza se demora en llegar a la temperatura de – 6.39 °C desde la temperatura inicial de 20 °C. - Este tiempo esta dado por tres etapas:

t 20°C → t −1.39°C , se calcula por cartas. b) t −1.39°C , se calcula por Plank. c) t−1,39°C → t−6,39°C , se calcula por cartas. a)

⇒

Etapa a)

t 20°C → t −1.39°C

- Se obtienen las propiedades termofísicas de la temperatura inicial del producto (T0) y la temperatura inicial de congelación del producto (TZC) en programa computacional on-line Foodproperty. Posteriormente se calculan los promedios de: Densidad, Calor específico y Conductividad térmica.

Æ Densidad promedio:

ρ ( 20°C ) = 1050 Kg / m 3 ρ ( −1.39°C ) = 1051,2 Kg / m

3

ρ = 1050,6 Kg / m 3

Æ Calor específico promedio:

Cp( 20°C ) = 3749,7 J / KgK Cp( −1.39°C ) = 3782,4 J / KgK

Cp = 3766,05 J / KgK

Æ Conductividad térmica promedio:

K ( 20°C ) = 0,555 W / mK K ( −1.39°C ) = 0,524 W / mK

K = 0,5395 W / mK

Se determina el NBi para poder conocer a que situación corresponde el problema:

N Bi =

L* =

V A

Ecuación 1.2

h ⋅ L∗ K

V =

Ecuación 1.1

4 3 πR 3

A = 4πR 2

Ecuación 1.3

Ecuación 1.4

Al reemplazar se obtiene:

4 V = π (0.009m)3 = 3, 054 × 10−6 m3 3

A = 4π (0, 009m) 2 = 0, 001m 2

L∗ =

V 3, 054 ×10−6 m3 = = 0, 003m 0, 001m 2 A

N Bi =

60(W / m 2 K ) ⋅ 0,003(m) = 0,33 0,5395(W / mK )

0,1 < N Bi < 40 , por lo tanto se tiene una resistencia interna y externa apreciable. Æ Cálculo de la difusividad térmica α.

α=

0,5395(W / mK ) = 1,36 × 10−7 m 2 / s 3 1050, 6( Kg / m ) ⋅ 3766, 05( J / KgK )

Ecuación 1.5

9

Cálculo de Y.

Y=

((−1.39 − (−35))°C = 0,611 ((20 − (−35))°C

Ecuación 1.6

-

Se debe buscar un Y cercano a este valor, esto se realiza probando mediante cartas hasta coincidir con esta cantidad.

-

Para utilizar las cartas de Heissler se debe tener Fo’ y

Fo ' =

α ⋅t R

2

1 Bi ′

1 K = Bi′ h ⋅ R

Ecuación 1.7

Ecuación 1.8

Por lo tanto se obtiene:

1,36 ⋅ 10 −7 (m 2 ⋅ s ) ⋅ t F0 = (9 ⋅ 10 −3 m) 2

1 = 1,00 Bi`

,

- Para calcular el tiempo de una esfera en el centro, se utiliza la carta de Heissler para centro. - Se prueban tiempos hasta obtener un valor de Y = 0,611 - Al asumir un tiempo de 184,63 s, se obtiene un

,

F0 = 0,31 y un Y = 0,61 .

- Por lo tanto se obtiene:

t20°C → t−1.39°C = 184, 63s ⇒

Etapa b)

t −1.39°C - Se obtiene el tiempo a -1.39 °C, mediante la ecuación de Plank (1941). Para ello se siguen los siguientes puntos.

tc =

L ⋅ ρUZ TZC − T∞

⎛ PD RD 2 ⎞ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ + h K FZ ⎠ ⎝

Ecuación 1.9

siendo: tc = Tiempo efectivo de congelación (s). L = Calor latente del alimento (KJ/Kg). ρUZ = Densidad del producto bajo el periodo de pre-enfriamiento a T0 (Kg/m3).

P y D = Factores de forma de la ecuación de Plank (1941). D = Dimensión característica (diámetro para esfera) (m). Tzc = Temperatura inicial de congelación (°C). T∞ = Temperatura del medio (°C). h = Coeficiente convectivo de transferencia de calor (W/m2 K). K FZ (−10°C ) = Conductividad térmica bajo el punto de congelación (W/mK).

Nota: Los factores de forma de la ecuación de Plank (1941) para esfera son:

P=

1 6

R=

1 24

3 Cálculo de L.

L = y wz ⋅ λ H 2O

Ecuación 2.0

siendo: y wz = Fracción de agua en el producto.

λ H O = Calor latente del agua = 335000 [J/Kg] = 335 [KJ/Kg] = constante 2

Reemplazando en la fórmula se obtiene:

L = 0,826( Kg / Kg ) ⋅ 335( KJ / Kg ) L = 276,71( KJ / Kg ) 3 Cálculo de t c

tc =

276710( J / Kg ) ⋅ 1050( Kg / m 3 ) ⎛ 1 0,018(m) 1 (0,018m) 2 ⎞ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⋅ + ⋅ 2 (−1.39 − (−35))°C ⎝ 6 60(W / m K ) 24 1,622(W / mK ) ⎠

t c = 504,2 s t−1.39°C = 504, 2 s ⇒

Etapa c)

t−1,39°C → t−6,39°C - Se obtienen las propiedades termofísicas de la temperatura inicial de congelación (TZC) y la temperatura de -6.39°C, en programa computacional on-line Foodproperty. Posteriormente se calculan los promedios de: Densidad, Calor específico y Conductividad térmica. Æ Densidad promedio:

ρ ( −1.39°C ) = 1051,2 Kg / m 3 ρ ( −6.39°C ) = 993,5Kg / m

3

ρ = 1022,35 Kg / m 3

Æ Calor específico promedio:

Cp( −1.39°C ) = 3782,4 J / KgK Cp( −6.39°C ) = 11221,6 J / KgK

Cp = 7502 J / KgK

Æ Conductividad térmica promedio:

K ( −1.39°C ) = 0,524 W / mK K ( −6.39°C ) = 1,460 W / mK

K = 0,992 W / mK

- Se determina el NBi para poder conocer a que situación corresponde el problema:

N Bi =

L* =

V A

h ⋅ L∗ K

Ecuación 1.2

V =

Ecuación 1.1

4 3 πR 3

A = 4πR 2

Ecuación 1.3

Ecuación 1.4

Al reemplazar se obtiene:

4 V = π (0.009m)3 = 3, 054 × 10−6 m3 3

A = 4π (0, 009m) 2 = 0, 001m 2

L∗ =

V 3, 054 ×10−6 m3 = = 0, 003m A 0, 001m 2

60(W / m 2 K ) ⋅ 0,003(m) N Bi = = 0,18 0,992(W / mK ) 0,1 < N Bi < 40 , por lo tanto se tiene una resistencia interna y externa apreciable. Æ Cálculo del coeficiente de difusividad térmica α.

α=

0,992(W / mK ) = 1, 29 ×10−7 m 2 / s 3 1022,35( Kg / m ) ⋅ 7502( J / KgK )

Ecuación 1.5

Æ Cálculo de Y.

Y=

((−6.39 − (−35))°C = 0,85 ((−1.39 − (−35))°C

Ecuación 1.6

-

Se debe buscar un Y cercano a este valor, esto se realiza probando mediante cartas hasta coincidir con esta cantidad.

-

Para utilizar las cartas de Heissler se debe tener Fo’ y

1 Bi ′

Fo ' =

α ⋅t R

1 K = Bi′ h ⋅ R

Ecuación 1.7

2

Ecuación 1.8

Al reemplazar se obtiene:

1 0.992(W / mK ) = Bi` 60(W / m 2 K ) ⋅ 0, 009m 1 = 1,84 Bi`

F0, =

1, 29 ⋅10−7 (m 2 ⋅ s) ⋅ t (9 ⋅10−3 m) 2

- Para calcular el tiempo de una esfera en el centro, se utiliza la carta de Heissler para centro. - Se prueban tiempos hasta obtener un valor de Y = 0,85 - Al asumir un tiempo de 157,59 s se obtiene un F0 = 0, 25 y un Y = 0,85 . ,

- Por lo tanto se obtiene:

t−1,39°C → t−6,39°C = 157,59s Æ Cálculo de t2

t2 = (184, 63 + 504, 2 + 157,59) s t2 = 846, 42 s t2 = 14,11 min Æ Cálculo de t w

tw = t2 − t1 tw = 14,11min − 1min tw = 13,11min

Ecuación 1.0

tw = 0, 22h Æ Cálculo de W

W =

r tw

Ecuación 0.0

Reemplazando se obtiene

W=

0,9cm = 4, 09 cm / h 0, 22h

- De acuerdo al velocidad de congelación de las cerezas, estás no cumplen con los requisitos de un producto IQF, ya que no se encuentran en el rango permitido, por lo tanto, el producto se encuentra en la clasificación de congelación semirápida.

b) Determine el tiempo efectivo de congelación. - Para calcular el tiempo efectivo de congelación se utiliza método de Cleland y Earle (1979a), el que sirve para una figura geométrica de esfera, por lo tanto se siguen los siguientes pasos. Paso 1 9 Cálculo de ∆Hv10

∆H v10 = hTZ ⋅ ρTZ − h−10 ⋅ ρ −10

Ecuación 2.1

Siendo: ∆Hv10 = Diferencia de entalpía volumétrica entre el punto inicial de congelación y -10°C (J / Kg).

hTZ : Coeficiente convectivo de transferencia de calor a temperatura inicial de congelación (W/m2K).

ρTZ : Densidad a temperatura inicial de congelación (Kg/m3). h−10 : Coeficiente convectivo de transferencia de calor a -10 ºC (J/Kg).

ρ −10 : Densidad a -10 ºC (Kg/m3). Estos valores se obtienen de Foodproperty

⎡J ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ kg ⎦ ⎡J ⎤ h(-10) = 84783 ⎢ ⎥ ⎣ kg ⎦ h(-1.39°C)= 334054

⎡ kg ⎤

ρ(-1.39°C) = 1051,2 ⎢ 3 ⎥ ⎣m ⎦ ρ(-10) = 988,5

⎡ kg ⎤ ⎢ m3 ⎥ ⎣ ⎦

Al reemplazar los datos se obtiene:

∆H V 10 = 334054( J / Kg ) ⋅ 1051,2( Kg / m 3 ) − 84783( J / Kg ) ⋅ 988,5(kg / m 3 ) ∆H V 10 = 267349569,3( J / m 3 ) ≈ 267349,6( KJ / m 3 )

∆Η 10 = hTZ − h−10

Por lo tanto

Ecuación 2.2

∆H 10 = 334054( J / Kg ) − 84783( J / Kg ) ∆H 10 = 249271( J / Kg ) Paso 2 9 Cálculo de números adimensionales. Æ Cálculo del Número de Biot.

Bi =

hD K FZ

Ecuación 2.3

Siendo: h : Coeficiente convectivo de transferencia de calor (W/m2 K). D : Dimensión característica (diámetro para una esfera), (m). K FZ : Conductividad térmica bajo el punto de congelación a -10 °C (W/m K).

Reemplazando los datos obtenidos con Foodproperty se obtiene:

60(W / m 2 K ) ⋅ 0,018(m) 1,622(W / mK ) Bi = 0,666 Bi =

Æ Cálculo del Número de Plank.

Pk =

CpUZ (T0 − TZC ) ∆H10

Ecuación 2.4

siendo: CpUZ : Calor específico bajo el periodo de pre-enfriamiento a T0 (J/Kg K)

T0 : Temperatura inicial del producto ºC. TZC : Temperatura inicial de congelación ºC. ∆H10 : Diferencia de entalpía entre el punto inicial de congelación y -10 ºC (J/Kg) Al reemplazar los datos obtenidos en Foodproperty se obtiene:

3749,7( J / KgK ) ⋅ (20°C − (−1.39°C )) 249271( J / Kg ) Pk = 0,322 Pk =

Æ Cálculo del Número de Stefan.

Ste = siendo:

Cp FZ ⋅ (TZC − T∞ ) ∆Η 10

Ecuación 2.5

CpFZ : Calor especifico bajo el punto de congelación a -10 ºC (J/Kg K) TZC : Temperatura en el punto inicial de congelación ºC. T∞ : Temperatura del medio ºC. ∆Η10 : Diferencia de entalpía entre el punto inicial de congelación y -10 ºC (J/Kg)

Al reemplazar los datos obtenidos en Foodproperty se obtiene:

5775,4( J / KgK ) ⋅ (−1.39°C − (−35°C )) 249271( J / Kg ) Ste = 0,779

Ste =

Paso 3 9 Cálculo de los factores de forma para una esfera mediante el método de Cleland y Earle (1979a). →

Cálculo de P.

0,3114 ⎛ ⎞ P = 0,1084 + 0,0924 Pk + Ste⎜ 0,231Pk − + 0,6739 ⎟ Bi ⎝ ⎠

Ecuación 2.6

siendo:

P: Factor de forma. Pk: Número de Plank. Ste: Número de Stefan. Bi: Número de Biot.

Al reemplazar en la fórmula se obtiene:

0,3114 ⎛ ⎞ P = 0,1084 + 0,0924 ⋅ 0,322 + 0,779⎜ 0,231 ⋅ 0,322 − + 0,6739 ⎟ 0,666 ⎝ ⎠ P = 0,357 →

Cálculo de R.

R = 0,0784 + Ste(0,0386Pk − 0,1694)

Ecuación 2.7

Reemplazando en la fórmula se obtiene

R = 0,0784 + 0,779(0,0386 ⋅ 0,322 − 0,1694 ) R = 0,044 Paso 4 3 Cálculo de tc.

tc = siendo:

⎛ D2 ⎞⎤ ∆H V 10 ⎡ ⎛ D ⎞ ⎟⎥ ⎢ P⎜ ⎟ + R⎜⎜ ⎟⎥ (TZC − T∞ ) ⎢⎣ ⎝ h ⎠ K FZ ( − 10 ° C ) ⎝ ⎠⎦

Ecuación 2.8

tc = Tiempo efectivo de congelación (s) ∆Hv10 = Diferencia de entalpía volumétrica entre el punto inicial de congelación y -10°C.(J/m3) Tzc = Temperatura inicial de congelación (°C). T∞ = Temperatura del medio (°C). P y R = Factores de forma de la ecuación de Cleland y Early (1979a). h = Coeficiente convectivo de transferencia de calor (W/m2 K). D = Dimensión característica (diámetro para esfera) (m). K FZ ( −10°C ) = Conductividad térmica bajo el punto de congelación. (W/m K).

Al reemplazar en la ecuación se obtiene:

tc =

⎛ (0,018m) 2 ⎞⎤ ⎛ 0,018m ⎞ 267349569,3( J / m 3 ) ⎡ ⎟⎟⎥ ⎜⎜ ⎟ + 0 , 044 ⎢0,357⎜⎜ 2 ⎟ (−1.39°C − (−35°C )) ⎣ ⎝ 60(W / m K ) ⎠ ⎝ 1,622(W / mK ) ⎠⎦

t c = 921,84 s ≈ 15,4 min

2) Una planta de alimentos procesa cortes de zanahoria de las siguientes dimensiones: 4 x 2 x 1 cm. El producto tiene una temperatura inicial de 20 °C. La temperatura del aire es -40 °C. Considerar la temperatura en el centro térmico al final del proceso igual a -20°C. a) Con la finalidad de estimar el coeficiente convectivo de transferencia de calor se registró experimentalmente mediante unas termouplas y un registrador de temperatura el tiempo de enfriamiento del punto superficial más cercano al centro geométrico desde la temperatura inicial hasta el punto de congelación del producto. El tiempo registrado fue de 4 min. b) Calcule el tiempo efectivo de congelación. Zanahoria: Humedad = 89 % Densidad = 1030 kg/m3 SOLUCIÓN: - Primero se debe conocer a que figura corresponde el corte de zanahoria.

a

b c

Como: a=1 b=2 c=4

c/a = 4 < 6 c/b = 2 < 6 b/a = 2 < 6

- El corte de la zanahoria corresponde a un paralelepípedo. - Por lo tanto, primero se deben calcular las propiedades termofísicas del alimento y para ello existen dos métodos: • •

Mediante el uso de fórmulas (Unidad 4). Mediante el uso del programa computacional on- line Wamfoodlab (Foodproperty).

- En este caso el método escogido es el uso del programa computacional on- line, por lo tanto, para poder obtener el coeficiente convectivo (h) del corte de zanahoria se deben seguir los siguientes pasos Paso 1: Cálculo de las propiedades termofísicas de la zanahoria basándose en composición binaria. - Humedad: 89 % - Temperatura inicial: 20 ºC - Densidad: 1030 Kg/m3. El resultado nos entrega las propiedades termofísicas del producto a: -

La temperatura inicial del producto Ti = 20 ºC y La temperatura inicial de congelación Tzc = -0.81 ºC

De acuerdo a estos resultados, se deben obtener los promedios de: densidad, calor específico y conductividad térmica de la siguiente forma.

9

Densidad promedio:

ρ (20 ºC ) = 1030 kg / m 3 ρ (−0.81ºC ) = 1031,3 Kg / m 9

ρ = 1030 ,65 kg / m 3

3

Calor específico promedio:

Cp (20 ºC ) = 3910,5 J / kgK

Cp = 3927,35 J / kgK

Cp (−0.81ºC ) = 3944,2 J / kgK 9

Conductividad térmica promedio:

K (20 ºC ) = 0,587W / m K

K = 0,5705 W / m K

K (−0.81ºC ) = 0,554W / m K

Paso 2: 9 Cálculo del coeficiente de difusividad térmica mediante la siguiente fórmula.

α=

0,5705 W / m K 1030,65 Kg / m 3 ⋅ 3927,35 J / Kg K

Ecuación 1.5

α = 1,41 ⋅ 10 −7 m 2 / s Paso 3: 9 Cálculo de Y mediante la fórmula.

Υ=

− 0,81 − (−40) 20 − (−40)

Ecuación 1.6

Y = 0,65 - De acuerdo a los datos obtenidos anteriormente se calcula el coeficiente convectivo simulando valores de h hasta llegar a obtener el valor más cercano a Y = 0,65, para ello, esto se realiza utilizando las cartas de Heissler. Nota: Cada una de las dimensiones del paralelepípedo se toman como planchas infinitas, así se tendrá una plancha infinita para a, para b y para c. - Es importante buscar el punto más cercano al centro geométrico, en este caso los puntos son: x=0

y=0

z = a/2

- Para calcular x e y se utiliza cartas de Heissler en el centro, para a/2 se necesita utilizar simultáneamente carta para el centro y para la superficie. - Para utilizar las cartas de Heissler se necesita calcular primero Fo’ y 1/Bi’:

Fo ' =

α ⋅t 2

L

Ecuación 1.7

1 K = Bi′ h ⋅ L

Ecuación 1.8

siendo α : Coeficiente de difusividad térmica. (m2/s) t : Tiempo. (s)

K : Conductividad térmica promedio.(W/mK) h : Coeficiente convectivo de transferencia de calor. (W/m2K) L : La mitad del espesor, por lo tanto para

a → L = 5 ⋅ 10 −3 m b → L = 0,01 m c → L = 0,02 m

- Utilización de las cartas de Heissler para plancha infinita.

⎡ T (0,0, a 2, t ) − T∞ ⎤ ⎥= ⎢ T° − T∞ ⎦ ⎣ ⎡ T ( x = 0, t ) − T∞ ⎤ ⎥ T° − T∞ ⎦ ⎣

=⎢

F 0’ =

1,41 ⋅ 10 −7 ⋅ 240 0,02 2

F0’= 0,09

1 Bi

,

=

x

⎡ T ( y = 0, t ) − T∞ ⎤ ⎥x ⎢ T° − T∞ ⎦ ⎣

⎡ T ( z = a , t ) − T∞ ⎤ ⎡ T ( z = 0, t ) − T ⎤ ∞ 2 ⎢ ⎥x ⎢ ⎥ T − T T° − T∞ ⎢ ⎥ ⎣ ( 0 ,t ) ∞ ⎦ ⎣ ⎦

1,41 ⋅ 10 −7 ⋅ 240 0,012

F0’=

x =1 L

F0’= 0,34

1

0,5705 h ⋅ 0,02

Bi

,

=

1,41 ⋅ 10 −7 ⋅ 240 (5 ⋅ 10 −3 ) 2

F0’=

F0’= 1,35

1

0,5705 h ⋅ 0,01

Bi

,

=

0,5705 h ⋅ (5 ⋅ 10 −3 ) 2

1 Bi

,

=

0,5705 h ⋅ 5 ⋅ 10 −3

(

)

Al asumir valores de h obtenemos los siguientes valores de Y para cada plancha.

h(W/m2k)

1 Bi `

F0’

Y1

1 Bi `

F 0’

Y2

1 Bi `

n

Y3

1 Bi `

F 0’

Y4

Y= Y1·Y2·Y3·Y4

35

0,82

0,09

1

1,63

0,34

0,90

3,26

1

0,86

3,26

1,35

0,78

0,60

30

0,95

0,09

1

1,90

0,34

0,92

3,80

1

0,88

3,80

1,35

0,80

0,65

Luego, teniendo un respectivo valor de Yi para cada plancha, los valores se multiplican obteniéndose un Y que debe ser igual o muy similar al valor deseado de Y = 0,65, por lo tanto, el coeficiente convectivo buscado es:

⎡W ⎤ h ≈ 30⎢ 2 ⎥ ⎣m k ⎦ NOTA: Todas estas estimaciones de tiempo realizadas de esta manera puede estar sometida a errores por la aproximación visual del evaluador.

b) Calcule el tiempo efectivo de congelación. - Para calcular el tiempo efectivo de congelación utilizamos la ecuación de Cleland y Earle (1979b), para un paralelepípedo. - De acuerdo a los siguientes pasos se calcula el tiempo efectivo de congelación hasta una temperatura final de -10 °C, posteriormente se realizaran los cálculos hasta una temperatura final de -20 °C. Paso 1. 9 Cálculo de

∆Hv10 ∆H v10 = hTZ ⋅ ρTZ − h−10 ⋅ ρ −10

Ecuación 2.1

Estos valores se obtienen de Foodproperty.

⎡J ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ kg ⎦ ⎡J ⎤ h(-10) = 75806 ⎢ ⎥ ⎣ kg ⎦ h(-0,81)= 364563

⎡ kg ⎤

ρ(-0,81) = 1031,3 ⎢ 3 ⎥ ⎣m ⎦ ρ(-10) = 961,8

⎡ kg ⎤ ⎢ m3 ⎥ ⎣ ⎦

Al reemplazar los datos se obtiene:

∆Hv10 = 364563 ( J / Kg ) ⋅1031,3 ( Kg / m3 ) − 75806( J / kg ) ⋅ 961,8( Kg / m3 ) ∆Hv10 = 303063611,1( J / m3 ) ≈ 303063, 61( KJ / m3 )

∆Η 10 = hTZ − h−10

Por lo tanto

Ecuación 2.2

∆Η10 = 364563 ( J / Kg ) − 75806( J / kg ) ∆Η10 = 288757( J / Kg ) Paso 2 9 Cálculo del número de Biot.

Bi =

hD K FZ

Ecuación 2.3

Reemplazando los datos obtenidos en Foodproperty se obtiene:

Bi =

30 (W / m 2 K ) ⋅ 0, 01m 1,881(W / mK )

Bi = 0,160 9

Cálculo del número de Plank.

Pk =

CpUZ (T0 − TZC ) ∆H10

Ecuación 2.4

Al reemplazar los datos obtenidos en Foodproperty se obtiene:

3910,5( J / KgK )(20º C − (−0,81º C )) 288757( J / Kg ) Pk = 0, 281 Pk =

→ Cálculo del número de Stefan.

Ste =

Cp FZ ⋅ (TZC − T∞ ) ∆Η 10

Ecuación 2.5

Al reemplazar los datos obtenidos en Foodproperty se obtiene:

4464, 2( J / KgK ) ⋅ (−0,81º C − (−40º C )) 288757( J / Kg ) Ste = 0, 605 Ste =

Paso 3 3 Cálculo de factores de forma para un paralelepípedo (Cleland y Earle, 1979b ) →

Cálculo de P

P=

β1 ⋅ β 2 2 (β 1 ⋅ β 2 + β 1 + β 2 )

Ecuación 2.9

siendo : β 1 = Razón entre la segunda dimensión y la dimensión mas pequeña.

β 2 = Razón entre la tercera dimensión y la dimensión mas pequeña.

β1 = 2 /1 = 2 β 2 = 4 /1 = 4

Por lo tanto

Reemplazando en la fórmula se obtiene:

2⋅4 2(2 ⋅ 4 + 2 + 4) P = 0, 286 P=

→

Cálculo de P1.

⎡ 0,0182 ⎛ ⎞⎤ + 0,1050 ⎟⎥ Ecuación 3.0 P1 = P ⎢1,026 + 0,5808Pk + Ste⎜ 0,2296 Pk + Bi ⎝ ⎠⎦ ⎣

Al reemplazar en la fórmula se obtiene:

⎡ 0, 0182 ⎛ ⎞⎤ P1 = 0, 286 ⎢1, 026 + 0,5808 ⋅ 0, 281 + 0, 605 ⎜ 0, 2296 ⋅ 0, 281 + + 0,1050 ⎟ ⎥ 0,160 ⎝ ⎠⎦ ⎣ P1 = 0,389 →

Cálculo de P2.

P2 = P1 + P[(0,1136 + Ste(5,766P − 1,242))]

Ecuación 3.1

Reemplazando se obtiene:

P2 = 0,389 + 0, 286 ⎡⎣( 0,1136 + 0, 605 ( 5, 766 ⋅ 0, 286 − 1, 242 ) ) ⎤⎦ P2 = 0, 492 →

Cálculo de Q.

[

1 = 4 (β1 − β 2 )( β1 − 1) + ( β 2 − 1) 2 Q

]

1/ 2

Ecuación 3.2

Al reemplazar en la fórmula se obtiene: 1/ 2 1 = 4 ⎡⎣( 2 − 4 ) (2 − 1) + (4 − 1) 2 ⎤⎦ Q Q = 0, 094

→

Cálculo de m.

m=

{

[

1 β1 + β 2 + 1 + ( β1 − β 2 )( β1 − 1) + ( β 2 − 1) 2 3

]

1/ 2

}

Ecuación 3.3

Reemplazando se obtiene:

{

1/ 2 1 2 + 4 + 1 + ⎡⎣(2 − 4)(2 − 1) + (4 − 1) 2 ⎤⎦ 3 m = 3, 215

m=

→

}

Cálculo de n.

n=

{

[

1 β1 + β 2 + 1 − ( β1 − β 2 )( β1 − 1) + ( β 2 − 1) 2 3

Reemplazando se obtiene:

{

1/ 2 1 2 + 4 + 1 − ⎡⎣ (2 − 4)(2 − 1) + (4 − 1) 2 ⎤⎦ 3 n = 1, 451

n=

}

]

1/ 2

}

Ecuación 3.4

→

R=

Cálculo de R.

Q ⎛ m ⎞ ⎛ n ⎞ 1 (m − 1)( β1 − m)( β 2 − m) ln⎜ ⎟ − (n − 1)( β1 − n)( β 2 − n) ln⎜ ⎟ + (2 β1 + 2β 2 − 1) 2 ⎝ m −1 ⎠ ⎝ n − 1 ⎠ 72 Ecuación 3.5

Reemplazando en la fórmula se obtiene:

R=

0, 094 ⎛ 3, 215 ⎞ ⎛ 1, 451 ⎞ (3, 215 − 1)(2 − 3, 215)(4 − 3, 215) ln ⎜ ⎟ − (1, 451 − 1)(2 − 1, 451)(4 − 1, 451) ln ⎜ 1, 451 − 1 ⎟ 2 3, 215 1 − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 (2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 4 − 1) 72 R = 0, 081 +

→

Cálculo de R1.

R1 = R[1,202 + Ste(3,410Pk + 0,7336)]

Ecuación 3.6

Reemplazando en la fórmula se obtiene:

R1 = 0, 081[1, 202 + 0, 605 ⋅ (3, 410 ⋅ 0, 281 + 0, 7336) ] R1 = 0,180 →

Cálculo de R2.

R2 = R1 + R[(0,7344 + Ste(49,89 R − 2,900))]

Ecuación 3.7

Reemplazando en la fórmula se obtiene:

R2 = 0,180 + 0, 081 ⎡⎣( 0, 7344 + 0, 605 ( 49,89 ⋅ 0, 081 − 2,900 ) ) ⎤⎦ R2 = 0, 295 Paso 4 →

Cálculo de tc.

⎛ D 2 ⎞⎤ ∆Hv10 ⎡ ⎛ D ⎞ ⎟⎥ tc = ⎢P ⎜ ⎟ + R ⎜ (Tzc − T∞ ) ⎣⎢ 2 ⎝ h ⎠ 2 ⎜⎝ K FZ (−10°C ) ⎟⎠⎦⎥ siendo:

Ecuación 3.8

tc = Tiempo efectivo de congelación (s) ∆H V 10 = Diferencia de entalpía volumétrica entre el punto inicial de congelación y -10°C. (J/m3) TZC = Temperatura inicial de congelación (°C).

T∞ = Temperatura del medio (°C). P y R= Factores de forma de la ecuación de Plank (1941). D = Dimensión característica. (m)

h = Coeficiente convectivo de transferencia de calor (W/m2 K). K FZ ( −10°C ) = Conductividad térmica bajo el punto de congelación. (W/m K).

Reemplazando se obtiene:

tc =

⎛ (0, 01m) 2 ⎞ ⎤ ⎛ 0, 01m ⎞ 303063611,1( J / m3 ) ⎡ 0, 492 ⋅ + 0, 295 ⋅ ⎜ ⎟⎥ ⎜ ⎟ 2 ( −0,81º C − (−40º C ) ⎢⎣ ⎝ 30(W / m K ) ⎠ ⎝ 1,881(W / mK ) ⎠ ⎦

tc = 1389,5 s = 23min Ahora se debe extender hasta -20°C con la fórmula de Cleland y Earle (1984b), el cual amplia los otros método de cálculo del tiempo de congelación que sólo llegan hasta -10°C.

⎡ 1, 65Ste ⎛ Tf − T∞ ⎞ ⎤ tc = tc' ⎢1 − ⋅ ln ⎜ ⎟ ⎥ K FZ ⎝ Tref − T ∞ ⎠ ⎦ ⎣

siendo:

Ecuación 3.9

tc’: El tiempo de congelación hasta -10 ºC. (s) Ste: Número de Stefan. KFZ: Conductividad térmica bajo el punto de congelación (W/m K). Tf: Temperatura en el centro térmico del producto al final del proceso ºC. T∞: Temperatura del medio ºC. Tref: Temperatura de referencia -10 ºC.

Por lo tanto, reemplazando en la fórmula se obtiene

⎡ ⎛ −20º C − (−40º C ) ⎞ ⎤ 1, 65 ⋅ 0, 605 tc = 1389,5s ⎢1 − ⋅ ln ⎜ ⎟ ⎥ ⎣ 1,881(W / mK ) ⎝ −10º C − (−40º C ) ⎠ ⎦ tc = 1688,5s tc = 28,1min

3) Una planta de congelación de carne trabaja con cortes de carne bovina de 12 cm. x 6 cm. x 3 cm. El producto tiene una temperatura inicial de 15 °C. La temperatura del medio de enfriamiento es -35 °C. Se dispone de un túnel congelador de aire forzado con un coeficiente convectivo de transferencia de calor igual a 25 W/m²-K. Uno de los parámetros utilizados para caracterizar el daño producido durante la congelación de piezas de carne es el "TIEMPO CARACTERISTICO 7" definido como el necesario para que la temperatura en el centro térmico de la muestra cambie desde su punto inicial de congelación hasta que se congele el 80% del agua libre existente. a) Calcule el "tiempo característico 7". Carne Bovina Humedad = 72,7% Densidad = 1060 Kg/m³ SOLUCIÓN Datos: Ti = 15°C h = 25[W/m2 K]

T∞= -35°C TZC= -2,63°C ( Foodproperty)

- Se debe conocer a que figura corresponde el corte de carne bovina.

a c

b

como: a=3 b=6 c = 12

c/a = 4 < 6 c/b = 2 < 6 b/a = 2 < 6

- El corte de carne bovina corresponde a un paralelepípedo. - Se deben tener presentes los siguientes datos: Fracción total de agua ≈ YWZ = 0,727[kg/kg] Fracción del contenido de sólidos totales ≈ YS = 0,273[kg/kg] 3

Calculo de fracción de agua no congelable (o ligada)

Yb = Ys ⋅ 0,3 Reemplazando se obtiene:

Yb = 0,273( Kg / kg ) ⋅ 0,3 Yb = 0,082( Kg / Kg )

Ecuación 4.0

3

Cálculo de agua libre

Agua libre = YWZ − Yb

Ecuación 4.1

Reemplazando se obtiene:

Agua libre = 0,727( Kg / Kg ) − 0,082( Kg / Kg ) Agua libre = 0,645( Kg / Kg ) Por lo tanto: 0,645 → 100 % X → 80 % X = 0,516 representa la fracción del 80 % del agua libre. - En el esquema se puede observar el tiempo característico 7.

T(°C)

15°C TZc

-11,8°C

t1

t2

t

- Para buscar la temperatura que corresponde a la fracción del 80 % del agua libre se utiliza Foodproperty. Al observar la segunda columna de Foodproperty se obtiene YW (agua no congelada), que corresponde a toda el agua que está en el alimento menos el hielo, por lo tanto se debe realizar lo siguiente: 3

Cálculo de YW YWZ =YI + YW

Siendo: YWZ = Fracción total de agua. [Kg/Kg] YI = Fracción de hielo. [Kg/Kg] Al reemplazar se obtiene: YW = 0,727 - 0,516 [Kg/Kg] YW = 0,211 [kg/kg]

Ecuación 4.2

- Otra forma de calcular es según la ecuación YW = YWA + Yb siendo: YWA = Fracción que corresponde al 20 % de agua libre [kg/kg] Yb = Fracción de agua no congelable. [kg/kg] Al reemplazar se obtiene: YW = 0,129 + 0,082 [kg/kg] YW = 0,211[kg/kg] - Posteriormente al simular temperaturas (t2) para que corresponde la fracción de agua de 0,211[Kg/Kg], lo que se observa en Foodproperty es -11,8 °C, como se observa a continuación: Temperatura (°C) -11,8

Fracción de agua 0,211

Fracción de hielo 0,516

- Al obtener la temperatura, se calculan las propiedades termofisicas en Foodproperty, para luego calcular el tiempo efectivo de congelación mediante el método de Cleland y Earle (1979 b), el cual se utiliza para paralelepípedos, mediante los siguientes pasos. Paso 1 3 Cálculo de

∆H V 10

∆H v10 = hTZ ⋅ ρTZ − h−10 ⋅ ρ −10

Ecuación 2.1

Estos valores se obtienen de Foodproperty.

⎡J ⎤ ⎥ ⎣ kg ⎦

ρ(-2.63°C) = 1060,2 ⎢ 3 ⎥ ⎣m ⎦

⎡J ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ kg ⎦

ρ(-10°C) = 1014,2

h(-2.63°C)= 275029 ⎢ h(-10°C) = 96969

⎡ kg ⎤ ⎡ kg ⎤ ⎢ m3 ⎥ ⎣ ⎦

Al reemplazar los datos se obtiene:

∆H V 10 = 275029( J / Kg ) ⋅ 1060,2( Kg / m 3 ) − 96969( J / Kg ) ⋅ 1014,2(kg / m 3 ) ∆H V 10 = 193239786( J / m 3 ) ≈ 193239,8( KJ / m 3 ) Por lo tanto

∆Η 10 = hTZ − h−10

∆H 10 = 275029( J / Kg ) − 96969( J / Kg ) ∆H 10 = 178060( J / Kg )

Ecuación 2.2

Paso 2 Cálculo de números adimensionales. 9

Cálculo del número de Biot.

Bi =

hD K FZ

Ecuación 2.3

Reemplazando los datos obtenidos en Foodproperty se obtiene:

25(W / m 2 K ) ⋅ 0,03(m) 1,130(W / mK ) Bi = 0,664

Bi =

9

Cálculo del número de Plank.

Pk =

CpUZ (T0 − TZC ) ∆H10

Ecuación 2.4

Al reemplazar los datos obtenidos en Foodproperty se obtiene:

3501,0( J / KgK ) ⋅ (15°C − (−2.63°C )) 178060( J / Kg ) Pk = 0,347 Pk =

9

Cálculo del número de Stefan.

Ste =

Cp FZ ⋅ (TZC − T∞ ) ∆Η 10

Ecuación 2.5

Al reemplazar los datos obtenidos en Foodproperty se obtiene:

7748,4( J / KgK ) ⋅ (−2.63°C − (−35°C )) 178060( J / Kg ) Ste = 1,409 Ste =

Paso 3 Cálculo de los factores de forma para un paralelepípedo definido por (Plank, 1941) →

Cálculo de P.

P=

β1 ⋅ β 2 2(β1 ⋅ β 2 + β1 + β 2 )

Ecuación 2.9

Siendo : β 1 = Razón entre la segunda dimensión y la dimensión mas pequeña.

β 2 = Razón entre la tercera dimensión y la dimensión mas pequeña.

β1 =

Por lo tanto

6 =2 3

β2 =

12 =4 3

Reemplazando en la fórmula se obtiene:

2⋅4 2(2 ⋅ 4 + 2 + 4 ) P = 0,29 P=

→

Cálculo de P1.

⎡ 0,0182 ⎛ ⎞⎤ + 0,1050 ⎟⎥ P1 = P ⎢1,026 + 0,5808Pk + Ste⎜ 0,2296 Pk + Bi ⎝ ⎠⎦ ⎣

Ecuación 3.0

Al reemplazar en la fórmula se obtiene:

P1 = 0,29[1,026 + 0,5808 ⋅ 0,347 + 1,409(0,2296 ⋅ 0,347 + 0,664 + 0,1050)] P1 = 0,703 →

Cálculo de P2

P2 = P1 + P[(0,1136 + Ste(5,766 P − 1,242 ))]

Ecuación 3.1

Reemplazando se obtiene:

P2 = 0,703 + 0,29[(0,1136 + 1,409(5,766 ⋅ 0,29 − 1,242))] P2 = 0,912 →

Cálculo de Q

[

1 = 4 (β1 − β 2 )( β1 − 1) + ( β 2 − 1) 2 Q

]

1/ 2

Ecuación 3.2

Al reemplazar en la fórmula se obtiene:

[

1 = 4 (2 − 4)(2 − 1) + (4 − 1) 2 Q Q = 0,094 →

]

1/ 2

Cálculo de m

m=

{

[

1 β1 + β 2 + 1 + ( β1 − β 2 )( β1 − 1) + ( β 2 − 1) 2 3

]

1/ 2

}

Ecuación 3.3

Reemplazando se obtiene:

{

1/ 2 1 2 + 4 + 1 + ⎡⎣(2 − 4)(2 − 1) + (4 − 1) 2 ⎤⎦ 3 m = 3, 215

m=

→

}

Cálculo de n

n=

{

[

1 β1 + β 2 + 1 − ( β1 − β 2 )( β1 − 1) + ( β 2 − 1) 2 3

]

1/ 2

}

Ecuación 3.4

Reemplazando se obtiene:

{

1/ 2 1 2 + 4 + 1 − ⎡⎣ (2 − 4)(2 − 1) + (4 − 1) 2 ⎤⎦ 3 n = 1, 451

n=

→

R=

}

Cálculo de R.

Q ⎛ m ⎞ ⎛ n ⎞ 1 (m − 1)( β1 − m)( β 2 − m) ln⎜ (2β1 + 2 β 2 − 1) ⎟ − (n − 1)( β1 − n)( β 2 − n) ln⎜ ⎟+ 2 ⎝ m −1⎠ ⎝ n − 1 ⎠ 72 Ecuación 3.5

Reemplazando en la fórmula se obtiene:

R=

0, 094 ⎛ 3, 215 ⎞ ⎛ 1, 451 ⎞ (3, 215 − 1)(2 − 3, 215)(4 − 3, 215) ln ⎜ − (1, 451 − 1)(2 − 1, 451)(4 − 1, 451) ln ⎜ ⎟ ⎟ 2 ⎝ 3, 215 − 1 ⎠ ⎝ 1, 451 − 1 ⎠

1 (2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 4 − 1) 72 R = 0, 081 +

→

Cálculo de R1.

R1 = R[1,202 + Ste(3,410 Pk + 0,7336)]

Ecuación 3.6

Reemplazando en la fórmula se obtiene:

R1 = 0,081[1,202 + 1,409(3,410 ⋅ 0,347 + 0,7336)] R1 = 0,316 →

Cálculo de R2.

R2 = R1 + R[(0,7344 + Ste(49,89 R − 2,900 ))] Reemplazando en la fórmula se obtiene:

R2 = 0,316 + 0,081[(0,7344 + 1,409(49,89 ⋅ 0,081 − 2,900))] R2 = 0,506

Ecuación 3.7

Paso 4 Cálculo del tiempo efectivo de congelación hasta la temperatura de -10 °C .

tC =

⎛ D 2 ⎞⎤ ∆H V 10 ⎡ ⎛ D ⎞ ⎟⎥ + ⎢P ⎜ ⎟ R ⎜ (TZC − T∞ ) ⎢⎣ 2 ⎝ h ⎠ 2 ⎜⎝ k FZ ( −10°C ) ⎟⎠⎥⎦

Ecuación 3.8

siendo: tc = Tiempo efectivo de congelación (s) ∆Hv10 = Diferencia de entalpía volumétrica entre el punto inicial de congelación y -10°C.(J/m3)

Tzc = Temperatura inicial de congelación (°C). T∞ = Temperatura del medio (°C). P y R= Factores de forma de la ecuación de Plank (1941). D = Dimensión característica.(m) h = Coeficiente convectivo de transferencia de calor (W/m2 K). K FZ (−10°C ) = Conductividad térmica bajo el punto de congelación. (W/m K).

Reemplazando en la fórmula se obtiene:

⎛ ( 0,03 m ) 2 ⎞ ⎤ ⎛ 0,03 ( m ) ⎞ 193239786 ( J / m 3 ) ⎡ ⎟⎟ ⎥ ⎟⎟ + 0,506 ⎜⎜ 0,912 ⎜⎜ tC = 2 (− 2.63 °C − ( − 35 °C ) ) ⎢⎣ ⎝ 25 (W / m K ) ⎠ ⎝ 1,130 (W / mK ) ⎠ ⎦ t c = 8939,1 s ≈ 149 min Paso 5 9 Ahora, se debe extender hasta -11,8 °C, por el método de Cleland y Earle (1984b), el cual amplia los otros métodos de cálculo del tiempo de congelación que sólo llegan hasta -10°C.

⎡ 1,65Ste ⎛ Tf − T∞ ⎞ ⎤ ⎟⎟ ⎥ ⋅ ln⎜⎜ tc = tc′ ⎢1 − K FZ ⎝ Tref − T∞ ⎠ ⎦ ⎣ siendo:

Ecuación 3.9

tc’: El tiempo de congelación hasta -10 ºC. Ste: Número de Stefan. KFZ: Conductividad térmica bajo el punto de congelación (W/m K). Tf: Temperatura en el centro térmico del producto al final del proceso ºC. T∞: Temperatura del medio ºC. Tref: Temperatura de referencia -10 ºC.

Por lo tanto, reemplazando en la fórmula se obtiene:

⎡ ⎛ (−11,8°C − (−35°C ) ⎞ ⎤ 1,65 ⋅ 1,409 ⎟⎟ ⎥ ⋅ ln⎜⎜ t c = 8939,1 s ⎢1 − ⎣ 1,130(W / mK ) ⎝ − 10°C − (−35°C ) ⎠ ⎦

t c = 10313,4s ≈ 171,9 min Así el “tiempo caracteristico 7” es 171,9 min Nota: Es importante destacar que el tiempo calculado también se puede calcular utilizando las Cartas de Heisller o Gourney interceptando las temperaturas adimensionales de planchas infinitas.

4. Una planta de congelación trabaja con cortes de carne de cordero de 12 x 6 x 3 cm. El producto tiene una temperatura inicial de 10°C. La temperatura del aire es -35°C y el coeficiente convectivo de transferencia de calor es igual a 35 W/m²-K. Calcule el tiempo para que un 15% del agua libre del producto no se congele. Carne de Cordero: Humedad = Densidad =

70% 1060 Kg/m³

El corte de carne de cordero corresponde a un paralelepípedo.

b

a c

Datos: Ti = 10 C h = 35[W/m2 K]

T∞= -35°C TZC= -3,07°C (Foodproperty)

- Se deben tener presentes los siguientes datos: Fracción total de agua ≈ YWZ = 0,70[kg/kg] Fracción del contenido de sólidos totales ≈ YS = 0,30[kg/kg] 3

Cálculo de fracción de agua no congelable (o ligada)

Yb = Ys ⋅ 0,3

Ecuación 4.0

Reemplazando se obtiene:

Yb = 0,3( Kg / kg ) ⋅ 0,3 Yb = 0,09( Kg / Kg ) 3

Cálculo de agua libre

Agua libre = YWZ − Yb Reemplazando se obtiene:

Agua libre = 0,70( Kg / Kg ) − 0,09( Kg / Kg ) Agua libre = 0,61( Kg / Kg )

Ecuación 4.1

Por lo tanto: 0,61 → 100 % X → 15 % X = 0,0915 representa la fracción del 15 % del agua libre. - En el esquema se puede observar el tiempo característico 7.

T(°C)

10°C

TZC=-3,07°C TA

t(Y=0,1812)

- Foodproperty calcula, en la segunda columna el agua no congelable, la cual está compuesta por el agua libre (o congelable) más el agua no congelable (o ligada), por lo tanto se debe calcular el YW, ya que esta fracción entrega la temperatura en la cual el 15 % del agua libre del producto no se congela. Esto se realiza de la siguiente forma. 3

Cálculo de YW YW = YWA+ Yb

Ecuación 4.2

Por lo tanto al reemplazar en la fórmula se obtiene: YW = 0,0915[kg/kg] + 0,09[kg/kg] YW = 0,1815 [kg/kg] Este valor se consigue probando con diferentes temperaturas y lo expuesto por Foodproperty resulta ser finalmente: Temperatura (°C) -17,2 Así,

TA = -17,2°C

Fracción de agua 0,181

Fracción de hielo 0,1519

Este tiempo se calcula de acuerdo a los siguientes pasos mediante el método de Cleland y Earle (1979b), el cual se utiliza para paralelepípedos. Paso 1 3 Cálculo de ∆H V 10

∆H v10 = hTZ ⋅ ρTZ − h−10 ⋅ ρ −10

Ecuación 2.1

Estos valores se obtienen de Foodproperty.

⎡J ⎤ ⎥ ⎣ kg ⎦

h(-3,07°C)= 260493 ⎢ h(-10°C) = 100935

⎡J ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ kg ⎦

⎡ kg ⎤ 3⎥ ⎣m ⎦

ρ(-3,07°C) = 1059,7 ⎢ ρ(-10°C) = 1018,4

⎡ kg ⎤ ⎢ m3 ⎥ ⎣ ⎦

Al reemplazar los datos se obtiene:

∆H V 10 = 260493( J / Kg ) ⋅ 1059,7( Kg / m 3 ) − 100935( J / Kg ) ⋅ 1018,4(kg / m 3 ) ∆H V 10 = 173252228,1( J / m 3 ) ≈ 173252,2( KJ / m 3 )

∆Η 10 = hTZ − h−10

Por lo tanto

Ecuación 2.2

∆H 10 = 260493( J / Kg ) − 100935( J / Kg ) ∆H 10 = 159558( J / Kg ) Paso 2 Cálculo de números adimensionales. 9

Cálculo del número de Biot.

Bi =

hD K FZ

Ecuación 2.3

Reemplazando los datos obtenidos en Foodproperty se obtiene:

35(W / m 2 K ) ⋅ 0,03(m) 1,029(W / mK ) Bi = 1,020 Bi =

9

Cálculo del número de Plank.

Pk =

CpUZ (T0 − TZC ) ∆H10

Ecuación 2.4

Al reemplazar los datos obtenidos en Foodproperty se obtiene:

3433,2( J / KgK ) ⋅ (10°C − (−3,07°C )) 159558( J / Kg ) Pk = 0,281 Pk =

9

Cálculo del número de Stefan.

Ste =

Cp FZ ⋅ (TZC − T∞ ) ∆Η 10

Ecuación 2.5

Al reemplazar los datos obtenidos en Foodproperty se obtiene:

8356,2( J / KgK ) ⋅ (−3,07°C − (−35°C )) 159558( J / Kg ) Ste = 1,672 Ste =

Paso 3 Cálculo de los factores de forma para un paralelepípedo definido por Cleland y Earle (1979b). →

Cálculo de P.

P=

β1 ⋅ β 2 2(β1 ⋅ β 2 + β1 + β 2 )

Ecuación 2.9

Siendo : β 1 = Razón entre la segunda dimensión y la dimensión mas pequeña.

β 2 = Razón entre la tercera dimensión y la dimensión mas pequeña. Por lo tanto

β1 =

6 =2 3

β2 =

12 =4 3

Reemplazando en la fórmula se obtiene:

2⋅4 2(2 ⋅ 4 + 2 + 4 ) P = 0,29 P=

→

Cálculo de P1.

⎡ 0,0182 ⎞⎤ ⎛ P1 = P ⎢1,026 + 0,5808 Pk + Ste⎜ 0,2296 Pk + + 0,1050 ⎟⎥ Bi ⎠⎦ ⎝ ⎣

Ecuación 3.0

Al reemplazar en la fórmula se obtiene:

⎡ 0,0182 ⎛ ⎞⎤ P1 = 0,29 ⎢1,026 + 0,5808 ⋅ 0,281 + 1,672⎜ 0,2296 ⋅ 0,281 + + 0,1050 ⎟⎥ 1,020 ⎝ ⎠⎦ ⎣ P1 = 0,436

→

Cálculo de P2.

P2 = P1 + P[(0,1136 + Ste(5,766 P − 1,242 ))]

Ecuación 3.1

Reemplazando se obtiene:

P2 = 0,436 + 0,29[(0,1136 + 1,672(5,766 ⋅ 0,29 − 1,242))] P2 = 0,678 →

Cálculo de Q.

[

1 = 4 (β1 − β 2 )( β1 − 1) + ( β 2 − 1) 2 Q

]

1/ 2

Ecuación 3.2

Al reemplazar en la formula se obtiene:

[

1 = 4 (2 − 4)(2 − 1) + (4 − 1) 2 Q Q = 0,094 →

]

1/ 2

Cálculo de m.

m=

{

[

]

}

Ecuación 3.3

]

}

Ecuación 3.4

1 β1 + β 2 + 1 + ( β1 − β 2 )( β1 − 1) + ( β 2 − 1) 2 3

1/ 2

Reemplazando se obtiene:

{

1/ 2 1 2 + 4 + 1 + ⎡⎣(2 − 4)(2 − 1) + (4 − 1) 2 ⎤⎦ 3 m = 3, 215

m=

→

}

Cálculo de n.

n=

{

[

1 β1 + β 2 + 1 − ( β1 − β 2 )( β1 − 1) + ( β 2 − 1) 2 3

1/ 2

Reemplazando se obtiene:

{

1/ 2 1 2 + 4 + 1 − ⎡⎣ (2 − 4)(2 − 1) + (4 − 1) 2 ⎤⎦ 3 n = 1, 451

n=

→

R=

}

Cálculo de R.

Q ⎛ m ⎞ ⎛ n ⎞ 1 (m − 1)( β1 − m)( β 2 − m) ln⎜ (2β1 + 2 β 2 − 1) ⎟ − (n − 1)( β1 − n)( β 2 − n) ln⎜ ⎟+ − m 2 1 ⎝ ⎠ ⎝ n − 1 ⎠ 72 Ecuación 3.5

Reemplazando en la fórmula se obtiene:

R=

0, 094 ⎛ 3, 215 ⎞ ⎛ 1, 451 ⎞ (3, 215 − 1)(2 − 3, 215)(4 − 3, 215) ln ⎜ − (1, 451 − 1)(2 − 1, 451)(4 − 1, 451) ln ⎜ ⎟ ⎟ 2 ⎝ 3, 215 − 1 ⎠ ⎝ 1, 451 − 1 ⎠

1 (2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 4 − 1) 72 R = 0, 081 +

→

Cálculo de R1.

R1 = R[1,202 + Ste(3,410 Pk + 0,7336)]

Ecuación 3.6

Reemplazando en la fórmula se obtiene:

R1 = 0,081[1,202 + 1,672(3,410 ⋅ 0,281 + 0,7336)] R1 = 0,326 →

Cálculo de R2.

R2 = R1 + R[(0,7344 + Ste(49,89 R − 2,900 ))]

Ecuación 3.7

Reemplazando en la fórmula se obtiene:

R2 = 0,326 + 0,081[(0,7344 + 1,672(49,89 ⋅ 0,081 − 2,900))] R2 = 0,540 Paso 4 Cálculo del tiempo efectivo de congelación hasta la temperatura de -10 °C.

⎛ D 2 ⎞⎤ ∆H V 10 ⎡ ⎛ D ⎞ ⎟⎥ tC = ⎢P ⎜ ⎟ + R ⎜ (TZC − T∞ ) ⎢⎣ 2 ⎝ h ⎠ 2 ⎜⎝ k FZ ( −10°C ) ⎟⎠⎥⎦

Ecuación 3.8

siendo: tc = Tiempo efectivo de congelación. (s). ∆Hv10 = Diferencia de entalpía volumétrica entre el punto inicial de congelación y -10°C. (J/m3)

Tzc = Temperatura inicial de congelación (°C). T∞ = Temperatura del medio (°C). P y R= Factores de forma de la ecuación de Plank (1941). D = Dimensión característica. h = Coeficiente convectivo de transferencia de calor (W/m2 K). K FZ (−10°C ) = Conductividad térmica bajo el punto de congelación. (W/m K).

Reemplazando en la fórmula se obtiene:

tC =

⎛ ( 0,03 m ) 2 ⎞ ⎤ ⎛ 0,03 ( m ) ⎞ 173252228 ,1( J / m 3 ) ⎡ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ ⎟ ⎜ + 0 , 678 0 , 540 ⎜ 35 (W / m 2 K ) ⎟ (− 3,07 °C − ( − 35 °C ) ) ⎢⎣ ⎠ ⎝ ⎝ 1,029 (W / mK ) ⎠ ⎦ t c = 5716 s ≈ 95,3 min

Paso 5 9 Ahora, se debe extender hasta -17,2°C, por el método de Cleland y Earle (1984b), el cual amplia los otros métodos de cálculo del tiempo de congelación que sólo llegan hasta -10°C.

⎡ 1,65Ste ⎛ Tf − T∞ ⎞ ⎤ ⎟⎟ ⎥ ⋅ ln⎜⎜ tc = tc′ ⎢1 − K FZ ⎝ Tref − T∞ ⎠ ⎦ ⎣ siendo:

Ecuación 3.9

tc’: El tiempo de congelación hasta -10 ºC. Ste: Número de Stefan. KFZ: Conductividad térmica bajo el punto de congelación (W/m K). Tf: Temperatura en el centro térmico del producto al final del proceso ºC. T∞: Temperatura del medio ºC. Tref: Temperatura de referencia -10 ºC.

Por lo tanto, reemplazando en la fórmula se obtiene

⎡ ⎛ (−17,2°C − (−35°C ) ⎞ ⎤ 1,65 ⋅ 1,672 ⎟⎟ ⎥ t c = 5761 s ⎢1 − ⋅ ln⎜⎜ ⎣ 1,029(W / mK ) ⎝ − 10°C − (−35°C ) ⎠ ⎦

t c = 11007,5s ≈ 183,5 min