C u r s o : Matemática Material N° 18 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 15 UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ECUACIÓN DE LA RECTA SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL

Para determinar la posición de los puntos de un plano usando coordenadas cartesianas rectangulares, se emplean dos rectas perpendiculares y el punto de intersección se considera como origen. Y (Ordenadas) 6

II Cuadrante

I Cuadrante

5 4

A

3 2 1

B

-6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2

C III Cuadrante

1

2 3 4 5 6

X (Abscisas)

-3 -4

IV Cuadrante

-5 -6

OBSERVACIONES Å Los puntos destacados en la figura son; A = (4, 4), B = (0, 0) y C = (-5, -3) Å Los puntos que están en el eje x, tienen ordenada igual a cero. Su forma es (x, 0) Å Los puntos que están en el eje y, tienen abscisa igual a cero. Su forma es (0, y) EJEMPLO

1.

Sean a y b números enteros, de modo que a > b. Entonces, el punto D cuyas coordenadas son (a – b, b – a) se ubica en A) B) C) D) E)

el el el el el

primer cuadrante segundo cuadrante origen del sistema tercer cuadrante cuarto cuadrante 1

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

La distancia entre dos puntos (medida del segmento generado por dichos puntos), A(x1, y1) y B(x2, y2), se determina mediante la expresión: y dAB =

B

y2

(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2

y 2 − y1 A

y1

x 2 − x1

0

x1

x2

x

COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

Dados los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2), las coordenadas del punto medio del segmento AB son xm

x + x2 = 1 , 2

ym

y

y + y2 = 1 2

B

y2 M

ym y1 0

A x1

xm

x2

x

EJEMPLOS

1.

¿Cuánto mide el radio de una circunferencia de diámetro AB determinado por los puntos A (-1, -5) y B (-7, 3)? A) B) C) D) E)

2.

5 2 2 10 4 2 10

En la circunferencia del ejercicio 1, ¿cuáles son las coordenadas del centro? A) B) C) D) E)

(-8, -2) (-4, -1) (-3, -4) ⎛ 7 3⎞ ⎜- 2, - 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 9 1⎞ ⎜ - 2 ,- 2 ⎟ ⎝ ⎠ 2

PENDIENTE DE UNA RECTA

Es la tangente trigonométrica del ángulo de inclinación (ángulo que forma la recta con el eje x, en sentido antihorario, desde el eje x hacia la recta) y L B y2 y − y1 BP y2 – y1 m = tg α = = 2 AP x2 − x1 A α y1 P α

x1

x2

x

x2 – x1 RELACIÓN ENTRE EL ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y LA PENDIENTE DE LA RECTA

Sea α el ángulo de inclinación y sea m la pendiente de la recta L. Entonces: Å

(α = 0º) si y sólo si (m = 0)

Å

(0º < α < 90º) si y sólo si (m > 0)

y

y L L

α

x

0

L es paralela al eje x Å

x

0

L tiene pendiente positiva

(α = 90º), si y sólo si (m no está definida) y L

Å

(90º < α < 180º) si y sólo si m < 0)

y L

α

0

α

x

0

L es paralela al eje y

L tiene pendiente negativa

EJEMPLOS

1.

La pendiente de la recta pasa por los puntos A(1, -1) A) B) C) D) E)

x

6 5 6 7 7 8 8 5 8 7 -

3

y

B(-6, 7) es

2.

¿Cuál de los siguientes gráficos muestra una recta de pendiente positiva? A)

B)

C) y

y

E) y

y

x

3.

D)

x

y

x

x

x

¿Cuál de las siguientes rectas tiene pendiente 7? A)

B)

y

C)

y

D)

y

x

-7

y 7

7

1

E)

y 1

1

7

x

x

7

x

-1

x

-1

4.

Si los puntos A(2, 3), A) B) C) D) E)

5.

B(3, -2) y C(a, 8) son colineales, entonces a =

5 3 1 -3 -7

Dados los puntos A(2, 5), B(-1, -4), C(3, -1) y D(k, -3), ¿cuánto debe ser el valor de k para que el producto de las pendientes de AB y CD sea -1?

A) B) C) D) E)

-9 -3 3 9 15

4

ECUACIÓN PUNTO Y PENDIENTE

La ecuación de la recta que pasa por un punto (x1, y1) y cuya pendiente es m es y – y1 = m(x – x1)

CASO PARTICULAR: Si el punto dado está sobre el eje y, llamando n a su ordenada, la ecuación

anterior se escribe: y = mx + n

Ecuación principal de la recta n: coeficiente de posición

EJEMPLOS

1.

La ecuación de la recta que pasa por el punto (4, -3) y tiene pendiente -

A) B) C) D) E)

2.

2x 2x 2x 2x 2x

+ 3y + 17 = 0 + 3y – 17 = 0 + 3y – 6 = 0 – 3y – 1 = 0 + 3y + 1 = 0

1⎞ ⎛ La ecuación de la recta que pasa por los puntos ⎜1, ⎟ y ⎝ 2⎠

A)

y=

B)

y=

C)

y=

D)

y=

E)

y=

3 x–1 2 3 - x+2 2 2 7 - x+ 3 6 2 1 x– 3 6 2 1 x+ 3 3

5

-3 ⎞ ⎛ ⎜ -2, ⎟ es ⎝ 2⎠

2 es 3

RECTAS PARALELAS

Dos rectas son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales. Sean L1 y L2 rectas de pendientes m1 y m2 respectivamente (fig. 1). Entonces: y L2 L1 // L2 si y sólo si m1 = m2

fig. 1

L1

α

α

0

x

RECTAS PERPENDICULARES

Dos rectas son perpendiculares si y sólo si el producto de sus pendientes es -1. Sean L1 y L2 rectas de pendientes m1 y m2 respectivamente (fig. 2). Entonces: y L2 L1 L1 ⊥ L2 si y sólo si m1 ⋅ m2 = -1

fig. 2

0

x

EJEMPLOS

1.

¿Qué valor debe tener k para que las rectas 2x + ky = 0 perpendiculares? A) B) C) D) E)

2.

y

3x – 5y = 6 sean

10 3 6 5 6 5 5 4 10 3

-

¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto (4, -1) y es paralela a la recta 2y – x + 8 = 0? A) B) C) D) E)

x – 2y – 2 = 0 2x + y – 7 = 0 x – 2y + 6 = 0 x – 2y – 6 = 0 x – 2y + 9 = 0 6

EJERCICIOS

1.

¿Cuál de los siguientes puntos pertenece a la recta de ecuación 4x – 3y + 2 = 0? A) B) C) D) E)

2.

¿Qué valor debe tener k para que la recta (k – 1)x + (2k + 1)y – 1 = 0 pase por el punto (2, 1)? A) B) C) D) E)

3.

(5, 6) (4, -6) (1, -2) (-2, -2) (3, 4)

2 1 2 0 1 2 -2

En el gráfico (fig. 1), ABCD es un rectángulo en que sus vértices A, B, C y D tienen por coordenadas (-2, 0), (6, 0), (6, 4) y (-2, 4), respectivamente. ¿Cuál es el valor de la pendiente de la diagonal AC ?

A) B) C) D) E)

4.

y

1 2 1 2 -2 1 2

C

D

A

Con respecto a las rectas L1, L2 afirmaciones es(son) verdadera(s)?

y

fig. 1

B

x

L3 de la figura 2, ¿cuál(es) de las siguientes y

I) II) III) A) B) C) D) E)

La pendiente de L1 es cero. La pendiente de L2 es positiva. La pendiente de L3 es negativa.

Sólo I Sólo II Sólo I y III Sólo II y III I, II y III

L1

x

0 L3 L2

7

fig. 2

5.

En el triángulo ABC (fig. 3), AB // OX. Si m1, m2 y m3 son las pendientes de AB , BC y CA , respectivamente, entonces un orden creciente está representado por

A) B) C) D) E)

Y

m1 < m2 < m3 m3 < m1 < m2 m2 < m1 < m3 m2 < m3 < m1 m3 < m2 < m1

fig. 3

C

O

X A

6.

¿Cuál de los siguientes gráficos podría representar a la recta y = 5x – 2? A)

B)

y

C)

y

x

D)

y

x

x

E)

y

x

7.

B

y

x

Si la pendiente de una recta es -3 y su coeficiente de posición es 2, su ecuación general es A) B) C) D) E)

3x 3x 3x 3x 2x

+y+2=0 –y–2=0 +y–2=0 –y+2=0 –y–3=0

8

8.

¿Cuáles son, respectivamente, los valores de la pendiente y del coeficiente de posición de la recta 3x + 2y + 6 = 0? A) B) C) D) E)

9.

-3 3 2 3 2 3 2 3 2

y -6 y

y -3 y -3 y

A) B) C) D) E)

La recta intersecta al eje x en el punto (4, 0). La recta intersecta al eje y en el punto (0, 6). La pendiente de la recta es negativa.

Sólo III Sólo I y II Sólo I y III Sólo II y III I, II y III

El área del triángulo formado por los ejes coordenados y la recta de ecuación 4x + 3y = 12 es A) B) C) D) E)

11.

3

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) con respecto a la recta 2y + 3x – 12 = 0? I) II) III)

10.

3

5 6 7,5 10 12

La ecuación de la recta que pasa por el punto (5, 1) y de pendiente -

A) B) C) D) E)

x x x x x

+ 3y – 16 = 0 + 3y – 8 = 0 + 3y + 2 = 0 – 3y + 8 = 0 + 3y – 2 = 0

9

1 es 3

12.

La ecuación de la recta que pasa por los puntos A(-2, 4) y B(-7, -12) es A) B) C) D) E)

13.

16x 16x 5x 16x 16x

– 9y + 4 = 0 + 5y + 12 = 0 – 16y + 74 = 0 – 5y – 74 = 0 – 5y + 52 = 0

Según el gráfico de la figura 4, la ecuación de la recta L es A) B) C) D) E)

2x 3x 3x 2x 2x

+ 3y = 0 + 2y – 6 = + 2y – 4 = – 3y + 6 = + 3y – 6 =

y

L 0 0 0 0

2 fig. 4 0

14.

x

3

En la figura 5, ¿cuál es la ecuación de la recta L? A) B) C) D) E)

x x x x x

y

–y–4=0 –y+4=0 +y–4=0 +y+4=0 +y=0

fig. 5

135º x

4 L

15.

¿Cuál de los siguientes gráficos corresponde a la recta de ecuación x – 1 = 0? A)

B)

C) y

y

D)

E) y

y

y

1 -1

x

x

x

-1

10

1

x

-1

1

x

16.

¿Cuál de las siguientes rectas del plano cartesiano es representada por la ecuación y – b = 0? A) B) C) D) E)

17.

recta recta recta recta recta

paralela al eje y que pasa por el punto (b, paralela al eje y que pasa por el punto (0, paralela al eje x que pasa por el punto (b, paralela al eje x que pasa por el punto (0, que pasa por los puntos (0, 0) y (b, b)

0) b) 0) b)

El punto P de ordenada 10 está en la recta cuya pendiente es 3 y que pasa por el punto A(7, -2). Entonces, la abscisa de P es A) B) C) D) E)

18.

La La La La La

11 29 3 7 -1 -3

Dada la recta L: 5 – 2y – 3x = 0, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) II) III)

A) B) C) D) E)

Sólo Sólo Sólo Sólo Sólo

Una recta perpendicular a L tiene pendiente

2 . 3

5⎞ ⎛ La recta L intersecta al eje de las abscisas en el punto ⎜ 0, ⎟ . 2⎠ ⎝ 3 Una recta paralela a L tiene pendiente - . 2

I II I y II I y III II y III

11

19.

¿Cuál debe ser el valor de k en la ecuación de la recta 4kx + 5y – 1 = 0 para que sea paralela a la recta 3x – 2y + 1 = 0?

A) B) C) D) E)

20.

¿Qué valor debe tener k para que las rectas (3 – k)x + 2y – 5 = 0 y -4x + y – 7 = 0 sean perpendiculares? A) B) C) D) E)

21.

15 8 5 6 8 15 5 6 15 8

11 11 4 7 2 5 2 -5

¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, -3) y que es paralela a la recta que une los puntos (4, 1) y (-2, 2)? A) B) C) D) E)

x + 6y + 16 = 0 x + 6y – 10 = 0 x + 6y – 20 = 0 x – 6y – 20 = 0 6x + y – 9 = 0

12

22.

¿Cuál es la ecuación de la recta perpendicular al segmento AB determinado por los puntos A(2, 7), B(6, -3) y que pasa por el punto medio de éste? A) B) C) D) E)

23.

+ 2y – – 5y + – 5y + + 5y – + 5y –

24 = 0 31 = 0 2=0 18 = 0 39 = 0

Una recta L1 pasa por el punto (2, 1) y tiene pendiente 3. Si una recta L2, perpendicular con L1, contiene al punto (6, -2), entonces la ordenada del punto donde se cortan L1 y L2 es

A) B) C) D) E)

24.

5x 2x 2x 2x 2x

31 8 1 2 1 3 2 31 10

-

En una panadería la relación entre el costo de fabricación del pan y su precio de venta es lineal. El costo de un kilogramo de pan blanco es de $ 320 y se vende en $ 600; un kilogramo de pan dulce tiene un costo de $ 680 y se vende en $ 1.050. Si el costo de un kilogramo de pan negro es de $ 340, ¿cuál es su precio de venta? A) B) C) D) E)

$ $ $ $ $

637,5 625 620 616 525

13

25.

2 y que forma con los ejes coordenados positivos 3 un triángulo de área 48 cm2, ¿cuál(es) de la(s) siguiente(s) afirmaciones es(son) verdadera(s)?

Respecto a la recta que tiene pendiente -

I) II) III) A) B) C) D) E)

26.

27.

Intersecta al eje de las abscisas en el punto (12, 0). Tiene coeficiente de posición n = 8. Su ecuación es 3y + 2x – 24 = 0.

Sólo I Sólo I y II Sólo I y III Sólo II y III I, II y III

Se puede determinar la pendiente de una recta L si : (1)

La recta L pasa por el punto (-2, 0).

(2)

El ángulo formado por la recta L y el eje x es 45º.

A) B) C) D) E)

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

Se puede determinar la ecuación de una recta si : (1)

Se conoce la pendiente y el punto donde la recta corta al eje y.

(2)

Se conoce la distancia entre dos puntos de ella.

A) B) C) D) E)

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

14

28.

29.

30.

La ecuación de la recta L se conoce si : (1)

L es paralela a la recta 2x – y + 5 = 0.

(2)

L pasa por el punto (-1, 3).

A) B) C) D) E)

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

Se puede calcular el área del triángulo OAB (fig. 6) formado por la recta L y los ejes coordenados, si : (1)

Conocemos las coordenadas del punto A.

(2)

Conocemos la pendiente de la recta L.

A) B) C) D) E)

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

(2)

L1: y = -3x + 2 L2: 3y = x – 15 y 2

L2 2

3a

x

-4 -a

A) B) C) D) E)

L

fig. 6 B

O

Las rectas L1 y L2 son perpendiculares si : (1)

y

L1

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

15

A

x

RESPUESTAS

Ejemplos

Págs.

1

1

E

2

A

3

E

4

2

3

4

B C

5

E

D

6

C

D

E

C

CLAVES PÁG. 7

5

D

1. 2. 3. 4. 5. 6.

D B A C C A

7. 8. 9. 10. 11. 12.

C D E B B E

13. 14. 15. 16. 17. 18.

E C D D A D

19. 20. 21. 22. 23. 24.

E D A C B B

25. 26. 27. 28. 29. 30.

E B A C C D

DOMA18

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