C u r s o : Matemática Material N° 16 GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 13 UNIDAD: GEOMETRÍA ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA Y TEOREMAS DEFINICIONES

CIRCUNFERENCIA:

Dado un punto O y una distancia r, se llama circunferencia de centro O y radio r al conjunto de todos los puntos del plano que están a la distancia r del punto O. Trazo cuyos extremos son el centro de la circunferencia y un punto de ésta ( OA ).

RADIO:

Trazo cuyos extremos son dos puntos

CUERDA:

de una circunferencia ( DE ).

0: Centro r: Radio C(O,r) = (O,r)

r O 1

D

cuerda

E arco

diámetro

B

O

secante

P

C radio

T

A Q M

tangente

DIÁMETRO:

Cuerda que contiene al centro de la circunferencia, mide 2 radios, es decir d = 2r en la figura, ( BC ).

SECANTE:

Recta que intersecta en dos puntos a la circunferencia (PQ)

TANGENTE:

Recta que intersecta a la circunferencia en un solo punto (TM). T punto de tangencia.

ARCO:

Es una parte de la circunferencia determinada por dos puntos distintos
). de ella, por ejemplo arco CE ( CE

ÁNGULO DEL CENTRO:Es todo ángulo interior cuyo vértice es el centro de la circunferencia (EOD).

EJEMPLOS

1.

¿Cuál de las siguientes opciones es falsa? A) B) C) D) E)

El radio de una circunferencia mide la mitad del diámetro. Dos cuerdas son congruentes si los arcos que subtienden son congruentes. En circunferencias congruentes los diámetros son congruentes. Al cortarse dos cuerdas en el centro de la circunferencia forman ángulos del centro. Por tres puntos en el plano siempre pasa una circunferencia.

2.

Dos circunferencias son concéntricas

A) B) C) D) E)

3.

¿Cuál de las siguientes opciones es verdadera?

A) B) C) D) E)

4.

si una pasa por el centro de la otra. sólo si sus radios son congruentes. sólo si tienen el mismo centro. sólo si tienen dos cuerdas congruentes. si el radio de una es el doble del radio de la otra.

Una cuerda no puede pertenecer a una secante. La mayor secante es el diámetro. La tangente corta en dos puntos a la circunferencia. Toda cuerda pasa por el centro. El diámetro es la cuerda de mayor longitud.

En la circunferencia de centro O de figura 1, AC y BD son diámetros. Si OD = 4x – 2 y AC = 6x + 4, entonces OC =

D

A A) B) C) D) E)

5.

8 10 12 14 16

O fig. 1 C

B

En la circunferencia de centro O de la figura 2, AB es diámetro y AO = CD . ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) II) III)

AB // CD AB = 2 CD ∆OCD es equilátero.

fig. 2 O

A A) B) C) D) E)

Sólo I Sólo II Sólo III Sólo II y III I, II y III

C

2

B D

MEDIDA ANGULAR DE UN ARCO

En toda circunferencia la medida angular de un arco es igual a la medida del ángulo del centro que subtiende dicho arco. D

O centro de la circunferencia

α O


= EOD = α DE E

H ÁNGULO INSCRITO:

Es todo ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia y parte de sus rayos son cuerdas de ésta (FHG).

G F

TEOREMA

Todo ángulo inscrito en una circunferencia, tiene como medida la mitad del ángulo del centro, que subtiende el mismo arco.

α

O

α 2

EJEMPLOS

1.

En la circunferencia de centro O de la figura 1, AB y CF son diámetros. ¿Cuál(es) de las siguientes relaciones es (son) siempre verdadera(s)? F I) 2ODC = DOF II)

AE ≅ OE

III)

AB ⊥ DC

D

A A) B) C) D) E)

2.

B O

E

fig. 1

C

Sólo I Sólo II Sólo III Sólo I y III I, II y III

Si en la circunferencia de centro O de la figura 2, AC es diámetro, la medida del ángulo x es

A) B) C) D) E)

C

B

26,5º 27º 63,5º 64º 90º

x

53º

O fig. 2 A 3

3.

En la circunferencia de centro O de la figura 3, ¿cuánto mide el suplemento de β?

A) 4º B) 64º C) 86º D) 116º E) 180º

3x + 10º

x

O β

fig. 3

x + 30º

4.

En la circunferencia de centro O de la figura 4, 2α + β = 120º. Entonces, el valor de β es

A) B) C) D) E)

5.

15º 30º 45º 60º 75º

β O α

fig. 4

En la figura 5, CD es un diámetro de la circunferencia de centro O. Si el AOD = 40º,

D y DB  son congruentes, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) A falsa(s)? I)

A) B) C) D) E)

6.

CAO = 20º

II)

CBO = BOD

III)

2AOB = ACB

A O

D

Sólo I Sólo II Sólo I y II Sólo II y III I, II y III

C fig. 5

B

En la circunferencia de centro O y diámetro BC de la figura 6, ¿cuánto mide el AOC? C A) 14º B) 34º C) 56º D) 90º E) 112º

fig. 6 O 56º

A

4

B

TEOREMA

Todos los ángulos inscritos en una circunferencia que subtienden un mismo arco tienen igual medida.

β α

α=β

TEOREMA

Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto, (subtiende un arco de 180º). C BCA = 90º

A

B

O

O: centro de la circunferencia

TEOREMA

D

En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los ángulos opuestos son suplementarios.

α + γ = 180º β + δ = 180º

γ

δ

C

β

α A

B

TEOREMA

La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia.

O

Q

r P

QP tangente en P ⇒ QP ⊥ OP

EJEMPLOS

1.

Si en la figura 1, TQ es diámetro, RPQ = 40º y 2QRP = 50º. ¿Cuánto mide el TQR? A) B) C) D) E)

2.

T

20º 25º 30º 40º 50º

R

fig. 1 P

Q

Si en la circunferencia de la figura 2, α + β + 3γ = 100°, entonces el valor de β es A) B) C) D) E)

15º 20º 25º 33,3º 60º

α β γ P

5

Q

fig. 2

3.

En la figura 3, el cuadrilátero ABCD está inscrito en la circunferencia. Entonces, x = D A) B) C) D) E)

4.

35º 40º 45º 85º faltan datos.

C 40º

fig. 3 60º

x

35º

A

B

En la figura 4, AC es diámetro de la circunferencia de centro O. ¿Cuánto mide el ángulo BCA?

A) B) C) D) E)

15º 25º 35º 55º 70º

A

O

C

55º

fig. 4 B

5.

En la figura 5, PT es tangente a la circunferencia de centro O, en T. ¿Cuánto mide el PTQ? T A) 20º 50º B) C) 90º D) 110º E) Faltan datos.

6.

P 40º

O

Q

fig. 5

En la circunferencia de centro O de la figura 6, PB es tangente en B, ¿cuánto mide el ángulo BCO? B 20º A) B) 30º 40º C) D) 50º E) 100º

50º

C

P

A

O

fig. 6 7.

En la figura 7, el cuadrilátero ABCD está inscrito en la circunferencia. Si β = 115° y α = β – δ, entonces γ = D

δ A) B) C) D) E)

100° 125° 130° 135°

fig. 7

A α

γ

140°

β B

6

C

ANGULO INTERIOR DE LA CIRCUNFERENCIA

El ángulo interior de la circunferencia es aquel que se forma al cortarse interiormente dos cuerdas, como se muestra en la figura 1, y su medida corresponde a la semisuma de los arcos que subtiende. B A B α

 + CD  BA α= 2

fig. 1 D

C ANGULO EXTERIOR EN LA CIRCUNFERENCIA

El ángulo exterior, está formado por dos rectas secantes, o tangentes o una recta secante y una tangente, que se intersectan en un punto exterior a la circunferencia, como se muestra en la figura 2, y su medida corresponde a la semidiferencia de los arcos que subtiende. C

A


− AB  DC β= 2

P

β

fig. 2 B D

ANGULO SEMI INSCRITO

Es el ángulo δ formado por una recta tangente a la circunferencia y una cuerda que pase por el punto de tangencia, como se muestra en la figura 3, su medida corresponde a la del ángulo inscrito que subtiende el mismo arco ε. A B

δ=ε

fig. 3

ε

δ C EJEMPLOS

1.


= 90º y L es En la circunferencia de centro O de la figura 4, AD es diámetro, DE tangente en E. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) II) III) A) B) C) D) E)

β – α = 25º δ + α = 90º β + α = δ – β + 50º

A B C

Sólo I Sólo II Sólo III Sólo I y II I, II y III

α D

7

fig. 4

O δ δ β

65º

E

L

EJERCICIOS

1.

En la circunferencia de centro O de la figura 1, si α + β = 56º, entonces el valor del ángulo λ es B A) 28º B) 56º C) 74º D) 112º E) no se puede determinar.

C

λ O

α

A fig. 1

β D

2.

En la circunferencia de centro O de la figura 2, el ángulo ONM mide 48º. ¿Cuál es la medida del ángulo LON? M A) 24º B) 48º C) 96º D) 132º E) 156º

O fig. 2 L N

3.

 = En la circunferencia de centro O de la figura 3, BC

1  DA . Si DOA mide 90º, ¿cuánto 3

mide BEA? A A) 60º B) 90º C) 100º D) 120º E) 130º

B

E O

fig. 3

C D

4.

 = 3 CA , ¿cuál es En la figura 4, AB es el diámetro de la circunferencia de centro O. Si BC la medida de α? A) B) C) D) E)

75º 67,5º 45º 30º 22,5º

B

O

A α C

8

fig. 4

5.

D = EB  , entonces la En la figura 5, AB ≅ BC y O es el centro de la circunferencia. Si A medida del ángulo α es A) B) C) D) E)

A

10º 20º 40º 60º 80º

B

fig. 5

α α O• D E

30º

C

6.

En la figura 6, AB es el diámetro de la circunferencia con centro en O. Si L es tangente a la circunferencia en B, la medida del ε es L A) B) C) D) E)

22,5º 35º 55º 72,5º faltan datos.

ε

B

C O

55º

fig. 6

A

7.

B = 80º y α = 20º, luego la medida de β es En la circunferencia de la figura 7, A A) B) C) D) E)

80º 60º 40º 30º 20º

A

C

α β

D fig. 7 B

8.

En la circunferencia de centro O de la figura 8, E es punto de tangencia, EOH = 110º, ¿cuál es la medida del ángulo ε?

A) 110º B) 90º C) 75º D) 60º E) 55º

O

fig. 8 H

E

9

ε

9.

 = 80º Si en la circunferencia de centro O de la figura 9, AC es el diámetro, FB ⊥ AC , FB E = 40º, ¿cuánto mide el ángulo ACB? y C F A) B) C) D) E)

50º 25º 20º 15º Faltan datos.

E

D

O

A

C fig. 9

B

10. El ∆ABC está inscrito en la circunferencia la figura 10, y A’, B’ y C’ son los puntos en que la circunferencia es cortada por las bisectrices de los ángulos α, β y γ. Entonces, el ángulo β mide C A)

α+γ α +γ B) 2 C) 2(α + γ) α +γ D) 4 2(α + γ ) E) 3

A’

B’

A

fig. 10

γ

α

B

β C’

 = BC  y 11. En la circunferencia de centro O de la figura 11, AD y BE son diámetros. Si DE el β = 72º, entonces la medida del α es E A) 9º B) 18º C) 36º D) 72º E) 108º

A

α

β D

O

fig. 11 B

C

12. Si en la circunferencia de centro O de la figura 12, AB es un diámetro y el ABD = 37º, entonces el BCD mide D

C A) B) C) D) E)

53º 74º 84º 90º faltan datos.

A

O

B fig. 12

10

13.

En la circunferencia de centro O de la figura 13, BC = OA . Si OBC = 30º, ¿cuánto mide α? D A) 60º B) 80º C) 90º D) 120º E) Falta información.

C α

A

B

E

O

fig. 13

14. En la circunferencia de la figura 14, BD y BC son tangentes a la circunferencia en los puntos C y D, respectivamente. Si BCD = 65º, entonces α – β es igual a

C

A) 180º B) 165º C) 65º D) 55º E) 30º

fig. 14

B

β

α D

A

 : RQ  : PR  = 4 : 3 : 2, 15. Si en la circunferencia de la figura 15, L es tangente en P y QP entonces la medida del ángulo x L

P A) B) C) D) E)

x

80º 120º 160º 170º ninguna de las anteriores.

fig. 15 R Q

16. En la figura 16, los arcos AB, BC y CD son congruentes. Si el ángulo AFD mide 84º, la medida del ángulo BEC es F E

A) 168º B) 84º C) 42º D) 28º E) 14º

84º

x

A

D B

11

fig. 16

C

17. En la circunferencia de centro O de la figura 17, OA // BC , AOB = 62º. Entonces, la medida del ángulo x es

A) 31º B) 62º C) 83º D) 87º E) 128º

O

C x

A

fig. 17

B

18. En la circunferencia de centro O de la figura 18, AC es diámetro. Entonces, el ángulo x en función de α mide D A) B) C) D) E)

α 90º –   2 90º + α 90º – α 180º – α 180º – 2

C

α O

fig. 18 x A

B

19. Si en la figura 19, A, B, C y D son puntos que pertenecen a la circunferencia y el BCD = 80º, entonces el ángulo x mide D A) B) C) D) E)

80º 100º 160º 200º 280º

A

C

x

fig. 19 B

20. En la circunferencia de centro O de la figura 20, está inscrito un hexágono regular, cuyos vértices son A, B, C, D, E y F. Si unimos A con D y D con F, entonces la medida del ángulo ADF es E D A) 30º B) 60º C) 90º D) 120º E) faltan datos.

O

F

C fig. 20

A 12

B

21. De las afirmaciones siguientes, es falsa

A) en todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia sus ángulos opuestos son suplementarios. B) el ángulo semi-inscrito mide lo mismo que el ángulo del centro que subtiende el mismo arco. C) el ángulo exterior es equivalente a la semi-diferencia de los arcos que subtiende. D) el ángulo interior es equivalente a la semi-suma de los arcos que subtiende. E) al inscribir polígonos regulares en una circunferencia, tendrá mayor ángulo interior, aquel que tenga un mayor número de lados.

22. En la circunferencia de la figura 21, el DEC es

D

A) 10º B) 20º C) 40º D) 60º E) 120º

E

60º

fig. 21 A

C

80º

23. Los puntos A, B y C pertenecen a la circunferencia de centro O de la figura 22. Entonces, el ángulo α mide

A) B) C) D) E)

fig. 22

120º 160º 180º 240º 300º

α O 70º

50º

C

A B


= AE
, 24. Los puntos A, B, C, D y E son puntos de la circunferencia de la figura 23. Si 2 ED entonces el ángulo ACE mide

E

A A) 13,5º B) 27º C) 54º D) 81º E) 108º

fig. 23

B

81º

D C

13

25. En la circunferencia de la figura 24, la medida del ángulo exterior AGC es A F

A) 120º B) 100º C) 80º D) 40º E) 20º

B

20º

G E

C 60º

fig. 24 D

26.

Siendo A, C y D puntos que pertenecen a la circunferencia de centro O de la figura 25, se puede conocer el valor del ángulo DCO si : D

(1) DBA = 40º (2) COA = 100º y BA tangente en A. A) B) C) D) E)

C O

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

B A

fig. 25

27. En la circunferencia de centro O de la figura 26, AC es diámetro, se puede conocer el valor de α si : (1) BOC = 2α (2) ABO = α A) B) C) D) E)

α

B

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

A

O fig. 26 C

28. En la circunferencia de centro O de la figura 27, AC y BD son diámetros. Se puede conocer el valor del ángulo x si :


= 120º (1) CD (2) CDB + BAC = 60º

D

C O

A) B) C) D) E)

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

A

14

x

fig. 27 B

29. Si AB es diámetro de la circunferencia de centro O y L es tangente en C (fig. 28). La medida del CBA se puede determinar si : B

(1) AB = 2 AC (2) ACL = 150º O A) B) C) D) E)

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

A

fig. 28 L

C

30. En la figura 29, el cuadrilátero ABCD está inscrito en la circunferencia. Se puede determinar la medida del CDA si : C (1) BCD = 120º

B

(2) DAB = 60º D A) B) C) D) E)

fig. 29

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

A

DMDMA16

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